文档内容
专题 16.3 轴对称十六大必考点
【人教版】
【考点1 轴对称中坐标与图形变化】...................................................................................................................1
【考点2 格点中的轴对称】...................................................................................................................................2
【考点3 设计轴对轴图案】...................................................................................................................................3
【考点4 镜面对称】...............................................................................................................................................5
【考点5 利用轴对称求最值】...............................................................................................................................5
【考点6 寻找构成等腰三角形的点的个数】.......................................................................................................6
【考点7 利用三线合一求值】...............................................................................................................................7
【考点8 利用三线合一证明】...............................................................................................................................8
【考点9 利用等角对等边证明边长相等】...........................................................................................................9
【考点10 利用等角对等边证明】.........................................................................................................................10
【考点11 作等腰三角形】.....................................................................................................................................12
【考点12 等边三角形的判定与性质】.................................................................................................................13
【考点13 含30度的直角三角形】........................................................................................................................15
【考点14 尺规作垂直平分线或垂线】.................................................................................................................16
【考点15 垂直平分线的判定与性质】.................................................................................................................17
【考点16 等腰三角形中的新定义问题】.............................................................................................................19
【考点1 轴对称中坐标与图形变化】
【例1】（2022·贵州省遵义市第一初级中学八年级阶段练习）已知点P (2a-b,2)和P (-7,4a+2b)关于
1 2
x轴对称，则ab=__．
【变式1-1】（2022·内蒙古·霍林郭勒市第五中学七年级期中）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2
个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为__________．
【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）已知点P（2a+b，-3a）与点P′（8，b+2）．
(1)若点p与点p′关于x轴对称，求a、b的值．
(2)若点p与点p′关于y轴对称，求a、b的值．
5
【变式1-3】（2022·吉林白山·八年级期末）在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣ ）和B
211
（3，﹣ ）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（
2
）
3 3
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣ ） C．（﹣ ，﹣9） D．（﹣2，﹣1）
2 2
【考点2 格点中的轴对称】
【例2】（2022·湖北·武汉市光谷实验中学八年级开学考试）如图，是一个8×10正方形格纸，△ABC中A
点坐标为(﹣2，1)，B点的坐标为(﹣1，2)．
(1)请在图中建立平面直角坐标系，指出△ABC和△A'B'C'关于哪条直线对称？（直接写答案）
(2)作出△ABC关于x轴对称图形△A B C ；请直接写出A'、B'、C'三点坐标．
1 1 1
(3)在x轴上求作一点M，使△AB'M的周长最小，请直接写出M点的坐标．
【变式2-1】（2022·山东济南·八年级期中）如图，平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C
（﹣1，3），过点（1，0）作x轴的垂线l．
(1)作出△ABC关于直线l的轴对称图形△A B C ；
1 1 1
(2)直接写出A （ ， ），B （ ， ），C （ ， ）；
1 1 1
(3)在△ABC内有一点P（m，n），则点P关于直线l的对称点P 的坐标为（ ， ）（结果用含m，
1n的式子表示）．
【变式2-2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在正方形网格中，点A，B，C，M，N都在格点上．
(1)作△ABC关于直线MN对称的图形△A B C ；
1 1 1
(2)若网格中最小正方形边长为1，求△ABC的面积；
(3)在直线MN上找一点P，使得PC-PA 的值最大，并画出点P的位置．
1
【变式2-3】（2022·天津市红桥区教师发展中心八年级期中）如图，已知三点A（-2，3），B（3，-3），
C（-3，1）， ABC与 ABC 关于x轴对称，其中A，B，C 分别是点A，B，C的对应点．
1 1 1 1 1 1
△ △
(1)画出 ABC ，并写出三个顶点A，B，C 的坐标；
1 1 1 1 1 1
(2)若点△ 是 上一点，其关于 轴的对称点为 ，求 ， 的值．
M(m+2，n-1) △ABC x M' (-m-4，n-3) m n
【考点3 设计轴对轴图案】
【例3】（2022·江苏·八年级课时练习）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角
形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部
分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种涂法．A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-1】（2022·河北·九年级专题练习）如图为5×5的方格，其中有A、B、C三点，现有一点P在其它
格点上，且A、B、C、P为轴对称图形，问共有几个这样的点P（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式3-2】（2022·全国·七年级专题练习）在3×3的正方形网格中，有三个小方格涂上阴影，请再在余下
的6个空白的小方格中，选两个小方格并涂成阴影，使得图中的阴影部分组成一个轴对称图形，共有 ( )种
不同的填涂方法．
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【变式3-3】（2022·江苏·八年级专题练习）现有如图1所示的两种瓷砖，请你从两种瓷砖中各选两块，拼
成一个新的正方形，使拼成的图案为轴对称图形，如图2，要求：在图3，图4中各设计一种与示例拼法不
同的轴对称图形．【考点4 镜面对称】
【例4】（2022·江苏·宜兴外国语学校八年级阶段练习）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际
时间最接近9：00（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到汽车车
牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为____．
【变式4-2】（2022·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习）从镜子中看到背后墙上电子钟的示意数为
10：05,这时的实际时间为______.
【变式4-3】（2022·甘肃平凉·八年级期中）小明从平面镜子中看到镜中电子钟示数的像如图所示，这时的
时刻应是________．
【考点5 利用轴对称求最值】
【例5】（2022·湖南·李达中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，
AB＝10，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD何AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（ ）A．2.4 B．4 C．4.8 D．5
【变式5-1】（2022·河南驻马店·七年级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD=α，∠B=∠D=90°，
在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）
1
A． α B．2α-180° C．180°-α D．α-90°
2
【变式5-2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，AC＝
5，动点M在线段AC上运动(不与端点重合)，点M关于边AD，DC的对称点分别为M，M，连接MM，
1 2 1 2
点D在MM 上，则在点M的运动过程中，线段MM 长度的最小值是_______．
1 2 1 2
【变式5-3】（2022·福建龙岩·八年级期中）如图，在Rt ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，
M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、P△N和MN，则PM+PN+MN的最小值是 _______．
【考点6 寻找构成等腰三角形的点的个数】
【例6】（2022·广东·丰顺县潘田中学九年级开学考试）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都
在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【变式6-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级阶段练习）Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在
直线BC上取一点P使得 PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有△___个．
【变式6-2】（2022·安徽 △·利辛县汝集镇西关学校八年级期末）如图，△ABC的点A、C在直线l上，
∠B=120°,∠ACB=40°，若点P在直线l上运动，当△ABP成为等腰三角形时，则∠ABP度数是
_______．
【变式6-3】（2022·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是
A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有_____个．
【考点7 利用三线合一求值】
【例7】（2022·河北保定·八年级期末）如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角△
MNK，等腰直角△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC
＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（ ）
1 1 1 1
A． a2 B． a2 C． a2 D． a2
2 3 4 5
【变式7-1】（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且
∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E中同一条直线上，CM平分∠DCE，连接BE，以下结论：①AD=DC；②CM⊥AE；③AE-BE=2CM；④∠BCM=∠CBE，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7-2】（2022·浙江·平阳苏步青学校八年级阶段练习）如图，CD是等腰三角形 ABC底边上的中线，
BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则 BCE的面积是( ) △
△
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式7-3】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在 ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点
E，CF⊥AB于点F，若DE＝4，则CF的长为_____. △
【考点8 利用三线合一证明】
【例8】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）已知：如图△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它
们交于点H，且AE=BE．求证：
(1)△AHE≌△BCE；
(2)AH=2BD．
【变式8-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．
【变式8-2】（2022·北京·垂杨柳中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，其中AD，BE都是
△ABC的高．求证：∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．
【变式8-3】（2022·山东青岛·七年级期末）已知，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分
∠ACB交AB于点D，点E是AB边上的一动点（不与点A、B重合），连接CE．
(1)如图①，若E运动到BD上，过点A作CE的垂线交CD于点G，CE于点F，CB于点H，求证：CG=BE；
(2)如图②，若E运动到AD上，过点A作CE的垂线与CE延长线交于点F，延长AF交CD延长线于点G，
试猜想CG、BE的数量关系并证明．
【考点9 利用等角对等边证明边长相等】
【例9】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，已知 ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分线
相交于点D，过点D作BC的平行线，分别交AB，A△C于E，F，则 AEF的周长是_____.
△【变式9-1】（2022·湖南长沙·八年级期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角
∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求
CE的长为__cm．
【变式9-2】（2022·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC
于点D，E为AC上一点，AE＝AB，连接DE.
(1)求证：△ABD≌△AED；
(2)已知∠ABC＝2∠C且BD＝5，AB＝9，求AC长．
【变式9-3】（2022·福建·厦门双十中学八年级期末）如图， 为 的角平分线．
(1)如图1，若 于点 ，交 于点 ， ， ．则 _______；
(2)如图2， 于点 ，连接 ，若 的面积是6，求 的面积；
(3)如图3，若 ， ， ，则 的长为_______．（用含 的式子表示）
【考点10 利用等角对等边证明】
【例10】（2022·天津·八年级期中）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，AB＝AC，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，求证：BD＝CE．
【变式10-1】（2022·浙江·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点B作AD的垂线，
垂足为点D，DE∥AC，交AB于点E，CD∥AB．
(1)求证：△BDE是等腰三角形；
(2)求证：CD=BE．
【变式10-2】（2022·陕西西安·七年级期末）已知∠AOB=60°，小新在学习了角平分线的知识后，做了
一个夹角为120°（即∠DPE=120°）的角尺来作∠AOB的角平分线．
问题发现
(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD=OE，再移动角尺使PD=PE，然后他就说射线OP是
∠AOB的角平分线．请问小新的观点是否正确，为什么？
问题探究
(2)如图2，小新在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，若角尺旋转后恰好使得DP∥OB，发现线段OD与OE有一定的数量关系．请你直接写出线段OD与OE的
数量关系，并说明理由．
【变式10-3】（2022·江西·吉安县文博国际学校八年级开学考试）如图①，ΔABC中，AB=AC，∠B、
∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
(1)图①中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．
(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
(3)如图③，若ΔABC中∠B的平分线BO与∠ACG平分线CO交于O，过O点作OE∥BC，交AB于E，交
AC于F．EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
【考点11 作等腰三角形】
【例11】（2022·山东青岛·九年级专题练习）如图，已知：点P和直线BC．
求作：等腰直角三角形MPQ，是∠PMQ=45°，点M落在BC上．
【变式11-1】（2022·福建省福州屏东中学八年级期中）我们知道，含有36°角的等腰三角形是特殊的三角
形，通常把一个顶角等于36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．在△ABC中，已知：AB=AC，且
∠B=36°，请用两种不同的尺规作图在BC上找点D，使得△ABD是黄金三角形，并说明其中一种做法的
理由．【变式11-2】（2022·福建龙岩·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，射线CM∥AB．
(1)在线段AB上取一点E，使得CE=CB，在射线CM上确定一点D，使△CDE是以CE为底边的等腰三角
形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接AD，求证：AD=BC．
【变式11-3】（2022·山东省青岛第六十三中学八年级期中）已知∠α，线段a，求作：等腰△ABC，使得
顶角∠A=∠α，BC上的高为a．
【考点12 等边三角形的判定与性质】
【例12】（2022·全国·八年级期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，且BE
＝CD，AD与CE相交于点F，连接BF，延长FE至G，使FG＝FA，若△ABF的面积为m，AF：EF＝5：
3，则△AEG的面积是（ ）
2 1 3 3
A． m B． m C． m D． m
5 3 8 5
【变式12-1】（2022·河南·郑州市第四初级中学八年级期中）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC
上中线且BF＝2b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小
值是（ ）1 1 4 3
A． a+2b B． a+ b C．a+2b D． a
2 2 3 2
【变式12-2】（2022·广东·东华学校八年级期中）如图，已知 ABC和 CDE均是等边三角形，点B、C、
E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，△AC与BD△交于点F，连接OC、FG，
(1)求证：BD=AE，并求出∠DOE的度数；
(2)判断 CFG的形状并说明理由；
(3)求证△：OA+OC=OB．
【变式12-3】（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学八年级期末）晓芳利用两张正三角形纸片，进行了
如下探究：
初步发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，连接AE交BD延长线于点F，求证：∠AFB＝60°；
深入探究：如图2，在正三角形纸片△ABC的BC边上取一点D，作∠ADE＝60°交∠ACB外角平分线于点
E，探究CE，DC和AC的数量关系，并证明；
拓展创新：如图3，△ABC和△DCE均为正三角形，连接AE交BD于P，当B，C，E三点共线时，连接
PC，若BC＝3CE，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：AP-3PD
（1） ；
PC
AP+PC+2PD
（2） ．
BD-PC+PE
【考点13 含30度的直角三角形】
【例13】（2022·广东·丰顺县球山中学九年级开学考试）如图，在 △ABC 中，AB=AC，D，E 在
△ABC 内部，AD 平分 ∠BAC，∠EBC=∠E=60∘，若 BE=6，DE=2，则 BC 的长为____．
【变式13-1】（2022·福建省永春崇贤中学九年级阶段练习）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到
△DBE，且点E落在AB上，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA，BF，若∠ABC=60°，BF=AF．
(1)求证△ADF≌△BDF；
(2)若AF=2，求DF的长．
【变式13-2】（2022·福建省长乐第七中学八年级阶段练习）已知∠ABC＝60°，AB＝BC，D是BC边上一
点，延长AD到点E，使得AD＝DE，连接CE，过点D作BC的垂线，交CE的垂直平分线于点F，连接
EF．(1)如图1，当点D与点C重合时，证明：BF＝2DF；
(2)如图2，当点D不与B，C两点重合时，（1）中的结论是否还成立？并说明理由．
【变式13-3】（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图1，在△ABD中，点E，F分别是AB和AD上的
点，满足AE=EF，连接EF并延长交BD延长线于点C．
(1)若DC=DF=EF，求证：AB=BC；
(2)如图2，过B作BG⊥AD，垂足为G．
（i）求证：∠ABG=∠GBD+∠C；
（ii）如图3，连接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面积为4，求△AFC的面积．
【考点14 尺规作垂直平分线或垂线】
【例14】（2022·陕西省西安爱知中学八年级阶段练习）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规
作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP=AC．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式14-1】（2022·重庆市第十一中学校七年级阶段练习）如图，已知∠β、∠α和线段m，请用尺规完成如下作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)求作△ABC，使∠B=∠β,∠A=∠α,AB=m；
(2)作出（1）中△ABC的三条高．
【变式14-2】（2022·广东广州·八年级期中）如图，在钝角△ABC中．
(1)用尺规作图法作AC的垂直平分线，与边BC、AC分别交于点D、E（保留作图痕迹，不用写作法）；
(2)在（1）的条件下，画出△ABC的AC边上的高BH（可用三角板画图），连接AD，直接写出∠ADE和
∠HBC的大小关系．
【变式14-3】（2022·江苏·八年级阶段练习）小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足OB>2OA．
求作：线段OB上的一点C，使△AOC的周长等于线段OB的长．
以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经
找到，即△AOC得周长等于OB的长，那么由OA+OC+AC=OB=OC+BC，可以得到OA+AC= ．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得BD=AO，那么就可以得到CA= ．
若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到
了．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．【考点15 垂直平分线的判定与性质】
【例15】（2022·广东·广州市第九十七中学八年级期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂
直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．
（1）证明：BM=CN；
（2）当∠BAC=70°时，求∠DCB的度数．
【变式15-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC中，BE平分∠ABC，E在AC垂直平分线上，
EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，
求证： （1）AG＝CF；
（2）BC﹣AB＝2FC．
【变式15-2】（2022·山西临汾·八年级阶段练习）情景一：小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于
一个△ABC，分别作边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图1所示，此时经过测量后，得到
∠MAN＝30°，根据上述条件，能不能得到∠BAC的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证．
证明：∵DM是边AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，
∴∠MAB＝∠B．
同理可得∠NAC＝∠C，
则¿
解得∠BAC＝105°．
情景二：小明继续对上述问题进行探究发现：若边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图2所示，试判断∠MAN与∠BAC之间的数量关系．
(1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______．
(2)在图1的情况下，若∠MAN的度数为α，则∠BAC的大小为______（用含α的代数式表示）．
(3)请写出情景二中∠MAN与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．
【变式15-3】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点
M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP
于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．
【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小
为______度．
【探究】如图②，若∠C＝β．
（1）求证：△BCN≌△ACM．
（2）∠BDE的大小为______度（用含β的代数式表示）．
1
【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝ DF，DE＝1，则△DEF
2
的面积为______．
【考点16 等腰三角形中的新定义问题】
【例16】（2022·山西临汾·八年级阶段练习）综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角
形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两
个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角
形，其中∠BAC=∠DAE，则△ABD≌△ACE(SAS)．
(1)【初步把握】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，
则有_______≌________．
(2)【深入研究】如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，并连接
BE，CD，求证：BE=CD．
(3)【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，
∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由．
【变式16-1】（2022·福建厦门·八年级期末）定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为
两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫
做这个三角形的等直分割线段．
例如：
如图，在△ABC中，
∵AD⊥BC于D，且BD=AD，
∴△ACD是直角三角形，△ABD是等腰三角形，
∴△ABC是等直三角形，
AD是△ABC的一条等直分割线段．(1)如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，请说明AD是△ABC的一条等直分割线
段．
(2)若△ABC是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，∠B和∠C均小于45°，求证：△ABC是等腰三
角形．
【变式16-2】（2022·浙江·八年级单元测试）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为
“兄弟三角形”．
(1)如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD=CE．
(2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，连接
BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
【变式16-3】（2022·河南省直辖县级单位·八年级期末）阅读下列材料，解答问题：
定义：线段BM把等腰△ABC分成△ABM与△BCM（如图1），如果△ABM与△BCM均为等腰三角形，
那么线段BM叫做△ABC的完美分割线．(1)如图1，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=36∘，BM为△ABC的完美分割线，且CMNC，将
△ACN沿直线AN折叠后，点C落在点C 处，AC 交BN于点M．求证：BM=C N．
1 1 1
