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专题 18.1 平行四边形中的几何综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
◆ 知识点总
结
一、平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
二、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形◆ 典例分析
【典例1】已知 ▱ABCD，BC=2．
（1）如图1，若以BC为边作等边△BCE，且点E恰好在边AD上，直接写出此时 ▱ABCD的面积；
（2）如图2，若以BC为斜边作等腰直角△BCF，且点F恰好在边AD上，过C作CG⊥CD交BF于G，
连接AG．
①依题意将图2补全；
②用等式表示此时线段CD，CG，AG之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，以BC为边作 ▱BCMN，且∠CMN=60°，BN=3．若NA⊥BD，直接用等式表示此时
BD与NA的数量关系．
【思路点拨】
（1）作EI⊥BC于点I，利用等边三角形的性质求得BI的长，再利用勾股定理求得EI的长，最后利用平
行四边形的面积公式求解即可；
（2）①依照题意补全图形即可；
②延长CF交BA的延长线于点H，延长CG交BA的延长线于点J，利用ASA证明△HBF≌△GCF，推出
GC=BH，FG=FH，再证明△AFG≌△AFH(SAS)，推出AG=AH，即可证明CG=CD+AG；
（3）连接BM，作BK⊥MN并交MN的延长线于点K，推出四边形ADMN是平行四边形，得到△BMD
是直角三角形，BD2+DM2=BD2+N A2=BM2，求得BM即可解决问题．
【解题过程】
（1）解：作EI⊥BC于点I，∵△BCE是边长为2的等边三角形，
1
∴BI=IC= BC=1，
2
∴ ，
EI=❑√BE2−BI2=❑√3
∴此时 ▱ABCD的面积为BC×EI=2×❑√3=2❑√3；
（2）解：①补全图形如图，
②CG=CD+AG；理由如下，
延长CF交BA的延长线于点H，延长CG交BA的延长线于点J，
∵△BCF是以BC为斜边的等腰直角三角形，
∴BF=CF，∠BFC=∠BFH=90°，∠FBC=45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠AFB=∠FBC=45°=∠AFH，
∵四边形ABCD是平行四边形，CG⊥CD，
∴∠BJG=∠GFC=90°，
∴∠HBF=90°−∠BGJ=90°−∠FGC=∠GCF，
{∠HFB=∠GFC=90°
)
在△HBF和△GCF中， BF=CF ，
∠HBF=∠GCF
∴△HBF≌△GCF(ASA)，
∴GC=BH，FG=FH，
又∵∠AFB=∠AFH，FA=FA，∴△AFG≌△AFH(SAS)，
∴AG=AH，
∴CG=BH=BA+AH=CD+AG；
（3）解：BD2+N A2=13．
连接BM，作BK⊥MN并交MN的延长线于点K，
由题意得MN=AD=BC=2，MN∥AC∥BC，
∴四边形ADMN是平行四边形，
∴MD=AN，MD∥NA，
∵NA⊥BD，
∴MD⊥BD，即△BMD是直角三角形，
∵四边形BCMN是平行四边形，且∠CMN=60°，
∴∠CBN=∠CMN=60°，∠KBN=90°−60°=30°，
∵BN=3，
1 3 3❑√3
∴KN= BN= ，BK=❑√BN2−K N2= ，
2 2 2
7
∴KM=KN+MN= ，
2
∴ ，
BM=❑√BK2+K M2=❑√19
∴BD2+DM2=BM2=19，即BD2+N A2=19．◆ 学霸必刷
1．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形ABCD中AB∥CD，∠ABC=∠ADC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）E是BC上一点，连接DE，F在DE上，连接AF、CF，AF=CF，∠DAF=∠DFC，求证：
CE=FD；
（3）在（2）的条件下，若∠BED−∠AFD=60°，DE=5，AF=2．求线段BE的长度．
2．（22-23八年级下·广东·开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC、BD相交
于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α(0°<α≤90°)，分别交线段BC、AD于点E、F，已知
AB=1，BC=❑√5，连接BF．
（1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段AF与EC的数量关系，并证明；
（2）如图②，当α=45°时，请写出线段BF与DF的数量关系，并证明；
（3）如图③，当α=90°时，求△BOF的面积．3．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过
点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．
（1）如图1，若点P在BC边上，此时PD=0，直接写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系；
（2）如图2，当点P在△ABC内，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）如图3，当点P在△ABC外，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系．（不用说明理由）
4．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知 ▱ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图，运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB=BP，求∠ABC的度数．
（2）如图，在（1）的条件下，连结CP并延长，与AB的延长线交于点F，连结DF，若CD=2❑√3cm，
直接写出：△DPF的面积为___________cm2．
（3）如图，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，
当点P停止运动时Q点也停止，设运动时间为t(t>0)，若AD=12cm，则t=___________秒时，以P、D、
Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
5．（22-23八年级下·浙江金华·期中）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=12，点P，Q分别是CA，AB上的动点，P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8
个单位长度的速度向终点B运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t
秒．过点Q作QM⊥BC于点M．
（1）AP=______，QM=______．（用含t的代数式表示）
（2）如图2，已知点D为BC中点，连接QD，PD，以QD，PD为邻边作平行四边形DPEQ．
①当PA=3PC时，求QD的长；
②在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平行四边形DPEQ的一边落在Rt△ABC的某边上？若存在，
求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
6．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）如图1所示，平行四边形ABCD是苏州乐园某主题区域的平面示意
图，A，B，C，D分别是该区域的四个入口，两条主干道AC，BD交于点O，请你帮助苏州乐园的管理人
员解决以下问题：（1）若AB=1.3km，AC=2km，BD=2.6km，你能判断△AOB的形状吗？请说明理由．
（2）在（1）的条件下，如图2，乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道
AN，MN，CM，其中点M在OB上，点N在OD上，且BM=ON（点M与点O，B不重合），并计划
在△AON与△COM两块绿地所在区域种植花期长久的马鞭草，求种植马鞭草区域的面积．
（3）若将该区域扩大，如图3，此时AC⊥BD，AC=6km，BD=3km，BM=ON，修建（2）中的绿
道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值．
7．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，
EF⊥AE交CD于F．（1）求证：AB=BE；
（2）求证：CE=CF；
（3）延长AD、EF交于点H，延长BA到G，使AG=CF，若AD=7，DF=3，EH=2AE，求GF的长．
8．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，BD⊥DC，
E、F分别为DC、DB上一点，G为DB延长线上一点，DE=DF=GB，EF的延长线交AB于M，交DA
的延长线于点N，∠DBC=∠DGM，DN=GM+BM．（1）①求证∠G=∠ADG；
②试判断四边形NBCD的形状，并加以证明；
（2）如图2，过点M作MP∥AD，BF=7，MF=4❑√2，求BG的长．
9．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，且
AF=DF．（1）如图1，求证：四边形ADCE是平行四边形．
（2）如图2，在（1）的条件下，∠ADB=120°，设对角线AC、DE交于点O，过点O作OQ⊥AC交
∠ADB的角平分线于点Q，OQ与AD交于点P，求证：AD−DC=DQ．
（3）如图3，在（2）的条件下，若CE=3，QD=1，求AP的长．
10．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=45°，AD=BD，
∠CBD=90°．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若点P为线段CD上的动点(点P不与点D重合)，连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．
①如图2，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；
②如图3，当点P在线段CD上时，求证：DA+❑√2DP=DE．
11．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在 ▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ADB=90°，
∠A=60°，AD=4．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AB−BC向终点C匀速运动，连结PO并延长交折线CD−DA于点Q，将线段PQ绕着点P逆时针旋转60°得到线段PE，连结QE，设点P的
运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示PB的长．
（2）当点P在边AB上运动时，求证：AP=CQ．
（3）当点E在△ABD内部时，求t的取值范围．
（4）当△PQE与△BCD的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出t的值．
12．（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，在 ▱ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、
BC的于点E、F，交BD于点O．（1）试说明：BF=DE；
（2）试说明：△ABE≌△CDF；
（3）如果在 ▱ABCD中，AB=5，AD=10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和
△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是
m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，直接写出m与n满足的数量关系．
13．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）我们知道：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．类比平行
四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平行六边形．数学兴趣小组的
同学对其性质进行了探究．如图1，在平行六边形ABCDEF中，AB∥DE,BC∥EF,AF∥CD，（1）探究∠A与∠D的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若AB=DE，则AF与CD相等吗？请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC,CE,AE，则△ACE与平行六边形ABCDEF的面积之比是
．
14．（22-23八年级上·天津东丽·期末）如图，共顶点的两个三角形△ABC，△ADE，若AB=AD，
AC=AE，且∠BAC+∠DAE=180°，已知AF是△ABC的中线．（1）如图1，若△ADE为等边三角形，直接写出DE与AF的数量关系______；
（2）如图2，若△ADE为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）如图2，若△ADE为任意三角形时，且S =10，则S =______．
△ABC △ADE
15．（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）（1）【问题探究】如图1，已知AD是△ABC的中线，延长
AD至点E，使DE＝AD，连接BE，CE可得四边形ABEC，求证：四边形ABEC是平行四边形．
（2）【拓展提升】如图2，在△ABC的中线AD上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作
ME∥AB，CE∥AD，连接AE．求证：四边形ABME是平行四边形．（3）【灵活应用】如图3，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=6，点D是BC的中点，点M是直线
AD上的动点，且ME∥AB，CE∥AD，当ME+MC取最小值时，求线段CE的长．
16．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）△ABE和△ACF始终有公共角∠A，连接BC，EF，BE，CF相
交于点O．（1）如图1，若∠ABE=∠ACF，BE=CF，求证：△ABE≌△ACF．
（2）如图2，若∠ABE=∠ACF=α，且CE=CF，求∠CBE的度数（用含α的式子表示）
（3）如图3，若BE=CF，过点C作CD∥AB且CD=AB，连接DO并延长交AC于点G，过点G作
GH⊥CF于点H，请直接写出∠OGH与∠COE的关系为：_____________．
17．（2023·陕西西安·一模）问题提出（1）如图①，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE=CD，连接BD，CE．则BD
与CE长度的大小关系是BD_________CE（填“＞”“＜”或“＝”；）
问题探究
（2）如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，若AE=EF，AC=8，求线段BF的长；
问题解决
（3）党的二十大报告提出全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，某地区规划出如图③所示的四边
形ABCD地块，计划开发出一个生态宜居，绿色人文的农业观光区，其中AD⊥CD，BC⊥CD，
∠BAD=120°，点E是BC上的一个休息站，CE=AB，AE是一条林荫小道．为使游客方便参观，现要
修建木制栈道BP与玻璃栈道AC，点P是AE的中点．已知木制栈道每米的造价是a元，玻璃栈道每米的造
价是3a元，请问修建玻璃栈道的总费用是修建木制栈道总费用的几倍？并说明理由．
18．（2023·河南开封·一模）在△ABC中，点D是边BC的中点．（1）如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，可得出△BDE≌△CDA，其依据是______．（填
序号）
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA
⑤HL
（2）如图②，在边AB上任取点E，（不与A、B两点重合）连接DE，并延长ED到点F，使DF=DE．
连接CF、CE、BF，在图②中画出相应的图形，并观察四边形EBFC是特殊的四边形吗？如果是，请写
出证明过程；如果不是，请说明理由．
（3）如图③，在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=90°，点E为平面内一点，EB=3，将线段EB绕点
E顺时针旋转90°得EF，点D为FC中点，当EF∥AC时，请求出AD的长．19．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）在△ABC中，∠ABC=45°，∠CAB=30°，BC=6，E是线段
AB上一动点，连接CE．
（1）如图1，若AE=AC，求△AEC的面积；
（2）如图2，若CE=CB，将线段CA绕C，逆时针旋转90°得到线段CF，连接BF．若点G是线段EB的
中点，过点G作GP∥EC交BC于点P，交AF于点H，证明AH=HF；
（3）如图3，将△CEB沿CE翻折至△CEB′，连接AB′．D是线段AC上的点，且AD=BE，直接写出当
CE+BD取得最小值时的长度．
20．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠A=30°，动点P从点B出发，沿BA方向以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位的
速度沿CB方向运动，当点P到达A点时，点Q也停止运动，以BP，BQ为邻边作平行四边形BPDQ，PD，
QD分别交AC于点E，F，设点P运动的时间为t秒．
（1）BQ= ______ (含t的代数式表示)；
（2）如图2，连接AD，PF，PQ，当AD∥PQ时，求△PQF的面积；
（3）如图3，连接PF，PQ，D点关于直线PF的对称点为D'点，若D'落在△PQB的内部(不包括边界)时，
则t的取值范围为______.
