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专题18.21 菱形（直通中考）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，菱形 的对角线 与 相交于点O，E为边 的
中点，连结 ．若 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．4
2．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，将矩形 对折，使边 与 ， 与 分别重合，
展开后得到四边形 ．若 ， ，则四边形 的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图， 的面积为12， ， 与 交于点
O．分别过点C，D作 ， 的平行线相交于点F，点G是 的中点，点P是四边形 边上的动
点，则 的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．34．（2023·河北·统考中考真题）如图，直线 ，菱形 和等边 在 ， 之间，点A，F
分别在 ， 上，点B，D，E，G在同一直线上：若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作
DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32 ，则CD的长为（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
6．（2022下·山东淄博·八年级统考期末）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连
接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（ ）
A．16 B．6 C．12 D．30
7．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若 ，，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形 ，点 、 、 、 均在坐标轴上，
，点 ，点 是 的中点，点 是 上的一动点，则 的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
9．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一
次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形 ；第二次，顺次连接四边形 各边的中
点，得到四边形 ；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形 的面积是（ ）A． B． C． D．
10．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为
圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022下·广东中山·八年级统考期中）如图，菱形 的两条对角线相交于点 ，若 ，
，则菱形 的周长是 ．
12．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，交
于点O，连接 ， ，过点C作 ，交 的延长线于点F，连接 ．若 ， ，
则四边形 的面积为 ．
.13．（2022·陕西·统考中考真题）如图，在菱形 中， ．若M、N分别是边
上的动点，且 ，作 ，垂足分别为E、F，则 的值为 ．
14．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，菱形 的对角线 相交于点O，点E在
上，连接 ，点F为 的中点，连接 ，若 ， ， ，则线段 的长为
．
15．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，菱形 的边长为2， ，对角线 与
交于点 ， 为 中点， 为 中点，连接 ，则 的长为 ．
16．（2022·山东德州·统考中考真题）如图，线段 ， 端点的坐标分别为 ， ，
， ，且 ，将 平移至第一象限内，得到 （ ， 均在格点上）．若四边
形 是菱形，则所有满足条件的点 的坐标为 ．17．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
， ，AH是 的平分线， 于点E，点P是直线AB上的一个动点，则 的最小
值是 ．
18．（2020·辽宁盘锦·中考真题）如图，菱形 的边长为4， ，分别以点 和点 为圆心，
大于 的长为半径作弧，两弧相交于 两点，直线 交 于点 ，连接 ，则 的长为
．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，四边形 是平行四边形，连接 ，
交于点 ， 平分 交 于点 ， 平分 交 于点 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若四边形 是菱形且 ， ，求四边形 的面积．20．（8分）（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在 中，点 ， 分别在 ， 的延
长线上，且 ，连接 与 交于点 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求四边形 的周长．
21．（10分）（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图， 是菱形 的对角线．
（1）作边 的垂直平分线，分别与 ， 交于点 ， （尺规作图，不写作法，保留作图痕
迹）；
（2）在（1）的条件下，连接 ，若 ，求 的度数．22．（10分）（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂
足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．
23．（10分）（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且
， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 时，求证：四边形 是菱形．
24．（12分）（2023·吉林长春·统考中考真题）将两个完全相同的含有 角的直角三角板在同一平面
内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结 、 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；（2）已知 ，当四边形 是菱形时． 的长为__________ ．
参考答案：
1．B
【分析】先由菱形的性质得 ， ， ，再由勾股定理求出 ，然后由直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．
解：∵菱形 ，
∴ ， ， ，
∴由勾股定理，得 ，
∵E为边 的中点，
∴
故选：B．
【点拨】本考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性
质是解题的关键．
2．B
【分析】由题意可得四边形 是菱形， ， ，由菱形的面积等于对角线
乘积的一半即可得到答案．
解：∵将矩形 对折，使边 与 ， 与 分别重合，展开后得到四边形 ，
∴ ， 与 互相平分，
∴四边形 是菱形，
∵ ， ，
∴菱形 的面积为 ．
故选：B
【点拨】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的
一半是解题的关键．
3．A
【分析】先证明 ，四边形 是菱形，如图，连接 ， ，而点G是 的中点，可得
为菱形对角线的交点， ，当 时， 最小，再利用等面积法求解最小值即可．
解：∵ ， ，
∴ 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是菱形，如图，连接 ， ，而点G是 的中点，
∴ 为菱形对角线的交点， ，
∴当 时， 最小，
∵ 即矩形 的面积为12， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由菱形的性质可得： ，
∴ ，
∴ ，即 的最小值为1．
故选A
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含
义，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．
4．C
【分析】如图，由平角的定义求得 ，由外角定理求得，
，根据平行性质，得 ，进而求得 ．
解：如图，∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵∴
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理
确定角之间的数量关系是解题的关键．
5．C
【分析】在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长．
解：∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OC＝OA＝ ，AC⊥BD，
∴OH＝OB＝OD＝ （直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴OD＝4，BD＝8，
由 得，
＝32 ，
∴AC＝8 ，
∴OC＝ ＝4 ，
∴CD＝ ＝8，
故答案为：C．
【点拨】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长．
6．B
【分析】连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到 ，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，
BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，则
BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝ ，然后根据菱形的面积公
式计算它的面积．
解：连接AC交BD于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴ ，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，
∵E为AD边的中点，
∴DE＝2，
∵∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE＝2，
∵ ，
∴∠DEF＝∠BCF，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BF＝BC＝4，
∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，
∴OB＝OD＝3，
在Rt△BOC中， ，
∴AC＝2OC＝ ，∴菱形ABCD的面积＝ AC•BD＝ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两
条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积＝ ab（a、b是两条对角线的长度）．
7．D
【分析】由题意可得 ，由菱形的性质可得 ，由平
行线的性质可得 ，进行计算即可得到答案．
解：根据题意可得： ，
四边形 为菱形，
，
，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了菱形的性质、平行线的性质，熟练掌握菱形的性质、平行线的性质，是解题的关
键．
8．A
【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的
对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．
解：如图：连接BE，
，
∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD， ，点 ，
∴ ， ，
∴
∴△CDB是等边三角形
∴
∵点 是 的中点，
∴ ,且BE⊥CD，
∴
故选：A．
【点拨】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．
9．A
【分析】利用中位线、菱形、矩形的性质可知，每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一
半，由此可解．
解：如图，连接AC，BD， ， ．
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ， ， ．
∵ ， ， ， 分别是矩形四个边的中点，∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∵ ， ，
∴四边形 的面积为： ．
同理，由中位线的性质可知，
， ，
， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴四边形 的面积为： ．
∴每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，
∴四边形 的面积是 ．
故选:A．
【点拨】本题考查矩形的性质，菱形的性质以及中位线的性质，证明四边形 是菱形，四边形
是矩形是解题的关键．
10．B
【分析】根据作图可得 ，且平分 ，设 与 的交点为 ，证明四边形 为菱形，
即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得 ，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
解：如图，设 与 的交点为 ，
根据作图可得 ，且平分 ，
，
四边形 是矩形，
，
，
又 ， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
垂直平分 ，
，
四边形 是菱形，故①正确；
② ，
，
∠AFB＝2∠ACB；故②正确；
③由菱形的面积可得 AC•EF＝CF•CD；故③不正确，
④ 四边形 是矩形，
，
若AF平分∠BAC， ，
则 ，
，
，，
，
，
，
CF＝2BF．故④正确；
故选B
【点拨】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三
角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
11．
【分析】根据菱形性质得到 ， ，在 中利用勾股定理
得到 ，从而可以得到答案．
解：在菱形 的两条对角线相交于点 ，若 ， ，
， ，
在 中利用勾股定理得到 ，
菱形 的周长是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查菱形的性质，涉及菱形对角线相互垂直平分、勾股定理及菱形四条边相等等知识，
熟练掌握菱形性质是解决问题的关键．
12．24
【分析】根据平行线的性质可得 ，根据垂直平分线的性质可得 ，
，根据全等三角形的判定和性质可得 ， ，根据平行四边形的判定和
菱形的判定可推得四边形 为菱形，根据勾股定理求得 ，根据菱形的性质即可求得四边形
的面积．
解：∵ ，
∴ ，
∵ 的垂直平分线 交 于点 ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
又∵ ， ， ，
∴平行四边形 为菱形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
故菱形 的面积为 ，
故答案为：24．
【点拨】本题考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判
定，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
13．
【分析】连接AC交BD于点O，过点M作MG//BD交AC于点G，则可得四边形MEOG是矩形，以
及 ，从而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，运用勾股定理求出AO的长即可．
解：连接AC交BD于点O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO= ，AD//BC，
∴在Rt 中，AB=4，BO= ，
∵ ，
∴
过点M作MG//BD交AC于点G，
∴ ,
∴
又
∴ ，
∴四边形MEOG是矩形，
∴ME=OG，
又
∴
∴
在 和 中，
,
∴ ≌
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形
是解答本题的关键．
14．
【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，
再根据中位线性质，求出OF的长．解：已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，
∵OE=3，OA=4，
∴根据勾股定理得 ，
∵AE=BE，
∴ ，
在Rt△AOB中 ，
即菱形的边长为 ，
∵点F为 的中点，点O为DB中点，
∴ ．
故答案为
【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾
股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．
15．
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位线定理得
FH＝ AO＝ ，FH AO，然后求出OE、OH，由勾股定理可求解．
解：如图，取OD的中点H，连接FH，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，
∴AO＝ AB＝1，BO＝ ＝DO，
∵点H是OD的中点，点F是AD的中点，
∴FH＝ AO＝ ，FH AO，
∴FH⊥BD，
∵点E是BO的中点，点H是OD的中点，
∴OE＝ ，OH＝ ，
∴EH＝ ，
∴EF＝ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
16． 或
【分析】分别以点A，B为圆心， 为半径作弧，交第一象限于格点 ， ， ， ， ， ，
根据菱形的性质即可得到结果．
解：分别以点A，B为圆心， 为半径作弧，交第一象限于格点 ， ， ， ， ， ，顺次
连接A，B， ， 及A，B， ， ，得到菱形 及菱形 ，观察图形可知点D对应点的坐
标为 或 或 ，点C对应点的坐标为 或 或 ，
∵点 ， 都在第一象限内，
∴符合条件的点 的坐标为 或 ．【点拨】本题考查菱形的性质、确定平面直角坐标系点的坐标，运用数形结合思想是解题的关键．
17． /
【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则
PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，
OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可．
解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则
PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB= = ，∴OA= ，
∴点O关于AB的对称点F，
∴OF⊥AB，OG=FG，
∴OF=2OG=OA= ，∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA= ，
∴∠AEC=∠CAE，
∵AH平分∠BAC，
∴∠CAE=15°，
∴∠AEO=∠CAE=15°，
∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，
∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，
∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF= ,
∴PO+PE最小值= ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O
关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，
最小值=EF的长是解题的关键．
18．
【分析】连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得BE=AE= ， 再得
∠EBC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度．
解：连接BE，如图：由题意可知，MN垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴ ，则∠AEB=90°，
在等腰直角三角形ABE中，AB=4，
∴BE=AE= ，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB=90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理，则
；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的
关键是熟练掌握所学的知识，正确得到∠EBC=∠AEB=90°．
19．（1）见分析；（2）
【分析】（1）由平行四边形的性质，角平分线定义推出 ，得到 ，判定
四边形 是平行四边形，推出 ，得到 ．
（2）由菱形的性质得到 ， ，推出四边形 的菱形，由平行线的性质得到
，判定 是等边三角形，得到 ， ，求出 ，得
到 ，由菱形的面积公式即可求出四边形 的面积．
解：（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
．
（2）解：由（1）知 ，
，
四边形 是菱形，
， ， ，
四边形 的菱形，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，四边形 的面积 ．
【点拨】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的
判定和性质，关键是由 ，得到 ，判定四边形 是平行四边形；证明四边
形 是菱形．
20．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 ， ，进而得出 ，证明
，根据 证明 ，即可得证；
（2）证明 是菱形，根据菱形的性质，即可求解．
解：（1）证明：∵四边形 是平行四边形
∴ ， （平行四边形的对边平行且相等）
∴ （两直线平行，内错角相等）
∵
∴ 即
在 和 中
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
又∵
∴ 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
∴ （菱形的四条边都相等）
∴菱形 的周长 .
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟练掌握以
上知识是解题的关键．21．（1）见分析；（2）
【分析】（1）分别以点 ，点 为圆心，大于 的长为半径作弧，交于点 ，点 ，作直线
交 于点 ，交 于点 ，连接 即可；
（2）连接 ，由菱形的性质得到 ， ，则 ，由线段
的垂直平分线的性质可得 ，故得到 ，则 ．
（1）解：
（2）解：连接 ，
菱形 ，
， ，
，
垂直平分 ，
，
，
．
【点拨】本题主要考查基本作图，菱形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质．按照
要求作出边 的垂直平分线是解题的关键．
22．证明见分析.
解：【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出 DOE≌△BOF，得到OE=OF，
利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，△进而利用对角线互相垂直的
平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．
解：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在 EOD和 FOB中，
△ △，
∴△DOE≌△BOF（ASA）,
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．
【点拨】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出
OE=OF是解题关键．
23．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）根据题意得出 ，再由全等三角形的判定和性质及平行线的判定证明即可；
（2）方法一：利用全等三角形的判定和性质得出 ，又 ，再由菱形的判定证明即可；
方法二：利用（1）中结论得出 ，结合菱形的判定证明即可．
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
即
在 和 中，
，
∴
∴ ，
∴
（2）方法一：在 和 中，
，∴
∴ ，又 ，
∴四边形 是平行四边形
∵ ，
∴ 是菱形；
方法二：∵ ，
∴
∴ ，
又 ，
∴四边形 是平行四边形
∵ ，
∴ 是菱形．
【点拨】题目主要考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些
知识点是解题关键．
24．（1）见分析；（2）
【分析】（1）由题意可知 易得 ， 即 ，依据一
组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；
（2）如图，在 中，由 角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得
， ；由菱形得对角线平分对角得 ，再由三角形外角和易
证 即可得 ，最后由 求解即可．
解：（1）证明：由题意可知 ，
， ，
，
四边形 地平行四边形；
（2）如图，在 中， ， ， ，
， ，
四边形 是菱形，
平分 ，
，
，
，，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，角所对的直角边等于斜边
的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．
