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专题18.20 菱形（直通中考）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·四川达州·统考中考真题）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在 中，若 ，则 是直角三角形
2．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在菱形 中， ，则 的长为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在 中，分别以B，D为圆心，大于 的长为半
径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交 于点O，交 于点E，F，下列结论不正
确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的
中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）A．6 B．12 C．24 D．48
5．（2022·广西河池·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论
中错误的是（ ）
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC
6．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在平行四边形 中， ， ，将线段 水
平向右平移a个单位长度得到线段 ，若四边形 为菱形时，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，
▱
ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的
是（ ）
A．若OB＝OD，则
▱
ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则
▱
ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则
▱
ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则
▱
ABCD是菱形
8．（2022·西藏·统考中考真题）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE
翻折，使点B落在 上，连接 ．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则 的度数为（ ）A．50° B．60° C．80° D．90°
9．（2023·湖南·统考中考真题）如图，菱形 中，连接 ，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·西藏·统考中考真题）如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知 ，则
阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在四边形 中， ， 于点 ．
请添加一个条件： ，使四边形 成为菱形．12．（2023·陕西·统考中考真题）点 是菱形 的对称中心， ，连接 ，则 的
度数为 ．
13．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点 在 轴的
正半轴上，点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
14．（2022·湖南娄底·统考中考真题）菱形 的边长为2， ，点 、 分别是 、
上的动点， 的最小值为 ．
15．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，
，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
16．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC到E，在
∠DCE内作射钱CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF= ，则BD的长为
（结果保留很号）．17．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，将 沿着 方向平移得到 ，只需添加一个条
件即可证明四边形 是菱形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
18．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在菱形 中， 为菱形的对角线，
，点 为 中点，则 的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2022·山东聊城·统考中考真题）如图， 中，点D是AB上一点，点E是AC的中
点，过点C作 ，交DE的延长线于点F．
（1）求证： ；
（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，
证明你的结论．20．（8分）（2022·四川南充·中考真题）如图，在菱形 中，点E，F分别在边 上，
， 分别与 交于点M，N．求证：
（1） ．
（2） ．
21．（10分）（2022·青海·统考中考真题）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点
（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
22．（10分）（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，矩形 中，过对角线 的中点 作 的
垂线 ，分别交 ， 于点 ， ．（1）证明： ；
（2）连接 、 ，证明：四边形 是菱形．
23．（10分）（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知四边形 是平行四边形，其对角线相
交于点O， ．
（1） 是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形 是菱形．
24．（12分）（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O，．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求四边形 的面积．
参考答案：
1．C
【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可．
解：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、设 ，
∵三角形内角和为 ，
∴ ，
∴
∴ ，则 为锐角三角形，
∴该选项为假命题，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；解决此题的关键
是掌握平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理．
2．D
【分析】连接 与 交于O．先证明 是等边三角形，由 ，得到， ，即可得到 ，利用勾股定理求出 的长度，即可求得
的长度．
解：连接 与 交于O．
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，且 ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、 角所对直角边等于
斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质．
3．D
【分析】根据作图可知： 垂直平分 ，得到 ，于是得到点O为 的对称中心，
，根据全等三角形的性质得到 ，根据平行线的性质得到 ，
推出四边形 是菱形，据此判断即可．
解：根据作图可知： 垂直平分 ，
∴ ，∴点O为 的对称中心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故B正确；
∴ ，
∴ ，故A正确；
∴四边形 是菱形，
∴ ，故C正确；
与 不一定相等，故D错误，
故选：D．
【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，尺规作图，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等
知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
4．C
【分析】由菱形的性质可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根据中位线的性质可得 ，结
合菱形的周长公式即可得出结论．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，
∵OE=3，且点E为CD的中点，
是 的中位线，∴BC=2OE=6．
∴菱形ABCD的周长为:4BC=4×6=24．
故选：C．
【点拨】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出BC=6．
5．C
【分析】根据菱形的性质逐项分析判断即可求解．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，故A、B、D选项正确，
不能得出 ，故C选项不正确，
故选：C.
【点拨】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
6．B
【分析】首先根据平行四边形的性质得到 ，然后根据菱形的性质得到 ，然后
求解即可．
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点拨】此题考查了平行四边形和菱形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识
点．
7．D
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC= AC，OB=OD= BD，
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的
判定是解题的关键．
8．C
【分析】由翻折的性质知∠BAE= =50°， =AB，再由菱形的性质得∠BAD=120°， =AD，
最后利用三角形内角和定理可得答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=120°，
∴∠BAD=∠C=120°，AB=AD，
∵将 ABE沿直线AE翻折，使点B落在 上，
∴∠B△AE= =50°， =AB，
∴ =100°， =AD，
∴ =20°，
∴ = =（180°-20°）÷2=80°，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，求出 =20°是解
题的关键．
9．C
【分析】根据菱形的性质可得 ，则 ，进而即可求解．
解：∵四边形 是菱形
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
故选：C．【点拨】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键．
10．D
【分析】首先过点 作 于点E， 于点 ，由题意可得四边形 是平行四边形，
继而求得 的长，判定四边形 是菱形，则可求得答案．
解：过点 作 于点E， 于点 ，
根据题意得： ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含 角的直角三角
形的性质等知识，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线．
11． （答案不唯一）
【分析】根据题意，先证明四边形 是平行四边形，根据 ，可得四边形 成为菱形．
解：添加条件
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，∵ ，
∴四边形 成为菱形．
添加条件
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 成为菱形．
添加条件
∵ ，
∴
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 成为菱形．
添加条件
在 与 中，
∴
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 成为菱形．
故答案为： （ 或 或 等）．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
12．62°
【分析】连接 ，根据中心对称图形的定义得出点 是菱形 的两对角线的交点，根据菱形的性质得出 ， ，那么 ．
解：如图，连接 ，
点 是菱形 的对称中心， ，
点 是菱形 的两对角线的交点，
， ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了菱形的性质，菱形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心，掌握菱形的两
条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．
13．
【分析】根据点 的坐标是 ，可得 的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点 的坐标．
解： 点 的坐标是 ，
，
四边形 为菱形，
， ，
则点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
14．
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即
可求解．
解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知
CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
菱形 的边长为2， ，
中，
PQ+QC的最小值为
故答案为：
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是
解题的关键．
15．AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等（只需写出一个条件即可）
【分析】由菱形的判定方法进行判断即可．
解：可以添加的条件是：AB＝CD，理由如下：
∵ ，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加条件是： ，理由如下：
∵ ，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加的条件是OA=OC，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，∴ （AAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加的条件是OB=OD，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∴ （AAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等．（只需写出一个条件即可）
【点拨】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，熟
记“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，是解题的关键．
16．
【分析】连接AC交BD于H，证明 DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长
度． △
解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，
又∵∠ECM=30°，
∴∠DCF=50°，
∵DF⊥CM，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=40°，又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=40°，
在△CDH和△CDF中， ，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DH=DF= ，
∴DB=2DH= ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，
得出∠HDC=∠FDC是这个题最关键的一点．
17．AB=BE（答案不唯一）
【分析】由题目提供的条件可以得到四边形 是平行四边形，再添加一个条件使其成为菱形即可．
解：添加AB=BE，
∵将 沿着 方向平移得到 ，
∴AB=DE，AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB=BE，
∴四边形 是菱形，
故答案为：AB=BE（答案不唯一）
【点拨】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、平移的性质，证明四边形ABED是平行
四边形是解题的关键．
18．
【分析】根据题意得出 是等边三角形，进而得出 ，根据中位线的性质即可求解．
解：∵在菱形 中， 为菱形的对角线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，点 为 中点，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解
题的关键．
19．（1）见分析；（2）当 时，四边形ADCF是菱形，证明见分析
【分析】（1）由 得∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，结合 ，可证
，根据全等三角形的性质即求解；
（2）由 ， ，易得四边形ADCF是平行四边形，若 ，点D是AB的中点，可
得 ，即得四边形ADCF是菱形．
解：（1）证明：∵ ，
∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA．
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
∴ ，
∴ ；
（2）解：当 时，四边形ADCF是菱形．
证明如下：
由（1）知， ，
∵ ，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵ ，
∴ 是直角三角形．
∵点D是AB的中点，
∴ ，
∴四边形ADCF是菱形．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及
菱形的判定定理．
20．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）先利用菱形的性质和已知条件证明 ，即可利用SAS证明 ；
（2）连接BD交AC于点O，先利用ASA证明 ，推出 ，再由（1）中结论推
出 ，即可证明 ．
解：（1）证明：由菱形的性质可知， ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ．
（2）证明：如图，连接BD交AC于点O，
由菱形的性质可知 ， ，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
21．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）根据菱形的性质可得 ， ，即可求证；
（2）根据 ，可得 ，再由AB∥CD，可得 ，即可求证
解：（1）证明：∵四边形 为菱形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）证明∶∵ ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴AB∥CD，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形
的判定和性质是解题的关键．
22．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）根据矩形的性质得出 ，则 ，根据 是 的中点，可得
，即可证明 ；
（2）根据 可得 ，进而可得四边形 是平行四边形，根据对角线互相垂
直的四边形是菱形，即可得证．
解：（1）证明：如图所示，∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
在 与 中
，
∴ ；
（2）∵
∴ ，
又∵
∴四边形 是平行四边形，
∵
∴四边形 是菱形．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性
质与判定是解题的关键．
23．（1） 是直角三角形，理由见分析；（2）见分析
【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得 ，再根据勾股定理的逆定理，即可
得出结论；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求证．
（1）解： 是直角三角形，理由如下：
∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ ，
∴ 是直角三角形．
（2）证明：由（1）可得： 是直角三角形，
∴ ，
即 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解题的关键是掌握平
行四边形对角线互相平分，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
24．（1）见分析；（2）3
【分析】（1）先根据矩形的性质求得 ，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析
推理；
（2）根据矩形的性质求得 的面积，然后结合菱形的性质求解．
（1）解：∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵矩形 中， ，
∴平行四边形 是菱形；
（2）解：矩形 的面积为 ，
∴ 的面积为 ，
∴菱形 的面积为 ．
【点拨】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，
正确推理论证是解题关键．
