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能力提高 / 初二 / 寒假
第 1 讲 等腰三角形
例题练习题答案
例1 如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 30∘ ，点D在AC上，BD = BC，求∠ABD的度数．
练1.1 如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB = AC，∠A = 40∘ ，折叠该纸片，使点A落在点B处，
折痕为DE，则∠CBE =_______°．
练1.2 “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三
等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C
点固定，OC = CD = DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE = 75∘ ，则∠CDE的度数是
（ ）
A： 60∘
B： 65∘
C： 75∘
1/56
D： 80∘
例2 如图，在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC于点D，若AB = 6，CD = 4，则△ABC的周长是
（ ）
A： 10
B： 14
C： 16
D： 20
练2.1 在△ABC中，AB = AC，AD为中线，∠B = 50∘ ，则∠CAD =_____．
练2.2 如图，等腰三角形ABC中，AB = AC，BE⊥AC，D是BC中点，连接AD交BE于点F，已知
∠BFD = 70∘ ，则∠BAC =（ ）
A： 30°
B： 40°
C： 50°
D： 60°
2/56
例3 如图，已知AD⊥BC于点D，AE⊥CE于点E，∠ACE = ∠B，AD = AE，求证：D是BC中
点．
练3.1 如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，E在BC上，AB = EC，BE = CD，EF⊥
AD于点F．求证：F是AD中点．
练3.2 如图所示，△ABC中，AB = AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD = AE，连接DE．求
证：DE⊥BC．
例4 如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 36∘ ，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，则图
中的等腰三角形有（ ）
3/56
A： 5个
B： 4个
C： 3个
D： 2个
练4.1 在△ ABC中，∠ABC = 60∘ ，∠C = 45∘ ，AD是BC边上的高，∠ABC的角平分线BE交AD
于点F，则图中共有等腰三角形（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
例5 如图，已知△ABC中，BC边上有D，E两点，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4．求证：△ABC是等腰三角
形．
练5.1 如图，在Rt△ABC中，在斜边AB和直角边AC上分别取点D，E，使DE = DA，延长DE交BC的延
长线于点F．△DFB是等腰三角形吗？请说明你的理由．
4/56
练5.2 如图所示，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC．
（1）图中哪个三角形是等腰三角形？请说明理由；
（2）若∠A = 80∘ ，∠B = 40∘ ，求∠DEC的度数．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 1 讲 等腰三角形
自我巩固答案
1 如图，在△ABC中，AB = AC，过点A作AD∥BC，若∠BAD = 110∘ ，则∠BAC的大小为
（ ）
A： 30∘
B： 40∘
C： 50∘
D： 70∘
5/56
2 如图，在△ABC中，AB = AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD，交CB的延长线于
点E，若∠AEB = 25∘ ，则∠ADB的度数为（ ）
A： 50∘
B： 70∘
C： 75∘
D： 80∘
3 如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 36∘ ，以B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接
BD，则∠ABD =_______．
4 如图，在等腰△ABC中，顶角∠A = 44∘ ，BD平分底角∠ABC交AC于点D，E是BC延长线
上一点，且CD = CE，则∠E的度数为（ ）
A： 22∘
B： 44∘
C： 34∘
D： 68∘
6/56
5 如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC的中点，∠B = 40∘ ，则∠BAD =（ ）
A： 100∘
B： 80∘
C： 50∘
D： 40∘
6 如图，△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC ，垂足为点E ， 若
∠CBE = 20∘ ，则∠BAC的度数为（ ）
A： 20°
B： 30°
C： 40°
D： 60°
7 如图所示，共有等腰三角形（ ）
A： 4个
B： 5个
C： 3个
7/56
D： 2个
8 下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A： a = 3，b = 3，c = 4
B： a : b : c = 2 : 3 : 4
C： ∠B = 50∘ ，∠C = 80∘
D： ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 1 : 2
9 如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB = AC，AD = AE．求证：BD = CE．
10 如图所示，在△ABC中，AB = AC，E在CA的延长线上，AE = AF，AD是高，试判断EF
与BC的位置关系，并说明理由．
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第 1 讲 等腰三角形
课堂落实答案
1 夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图，中塔左右两边所挂的最长钢索AB = AC，塔柱底端D与点B
间的距离是228米，则BC的长是_____米．
2 如图，在△ABC中，AB = AC，D为BC中点，∠BAD = 35∘ ，则∠C的度数为（ ）
8/56
A： 35°
B： 45°
C： 55°
D： 60°
3 如图，在△ABC中，点D在BC上，AB = AD = DC，∠B = 80∘ ，则∠C的度数为（ ）
A： 30∘
B： 40∘
C： 45∘
D： 60∘
4 如图△ABC中，AB = AC，∠EBD = 20∘ ，AD = DE = EB，则∠C的度数为（ ）
A： 70∘
B： 60∘
C： 80∘
D： 65∘
9/56
5 把两个全等的含30°角的直角三角板，按如图所示的方式拼在一起，其中等腰三角形有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
能力提高 / 初二 / 寒假
第 1 讲 等腰三角形
精选精练
1 如图，在△ ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD = BC = AD，则∠A等于（ ）
A： 30∘
B： 40∘
C： 45∘
D： 36∘
2 在△ABC中，AB = AC，CD = CB，若∠ACD = 42∘ ，则∠BAC =_______．
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3 如图，△ ABC 中，AB = AC，分别在AB，BC 的延长线上截取点G，H ， 使
BG = BH，延长AC交GH于点K，若AK = KG，则∠BAC的大小等于（ ）
A： 45∘
B： 36∘
C： 30∘
D： 28∘
4 如图，△ABC中，AB = AC，D在AC上，E在AB上，且AD = DE = EB，BD = BC，那
么∠A =__________．
5 如图所示，AB = AC，D， E 分 别 是 边 BC 和 AC 上 的 点 ， 且 AD = AE ， 若
∠EDC = 30∘ ，则∠BAD =（ ）
11/56
A： 50∘
B： 60∘
C： 70∘
D： 80∘
6 如图，在△ABC中，AB = AC．
(1)如图1，如果∠BAD = 30∘ ，AD是BC上的高，AD = AE，则∠EDC =__________．
(2)如图2，如果∠BAD = 40∘ ，AD是BC上的高，AD = AE，则∠EDC =__________．
(3)通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：__________．
(4)如图3，如果AD不是BC上的高，AD = AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并
说明理由．
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第 2 讲 直角三角形
例题练习题答案
例1 如图，在直角△ ABC 中，∠ACB = 90∘ ，∠A = 35∘ ，CD⊥AB交AB于点D ， 则
∠DCB =__________ ∘ ．
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练1.1 如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB = 13，AD = 12，AC = 15，BD = 5，则BC的
长为______．
–
练1.2 如图，已知∠B = 90∘ ，AB = 2√3cm，BC = 2cm，CD = 3cm，AD = 5cm．求四边
形ABCD的面积．
例2 如图，BE⊥CD，BE = DE，BC = DA，求证：
（1）△BEC≌△DEA；
（2）DF⊥BC．
练2.1 如图所示，E，F分别为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB = CD，
AE = CF，BD交AC于点M．求证：
（1）Rt△ABF≌Rt△CDE；
（2）MB = MD．
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练2.2 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的
宽度DF相等，猜想这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的数量关系，并证明．
例3 如图，已知AB = AC，∠A = 40∘ ，AB = 10，DC = 3，AB的垂直平分线MN交AC于点
D，求∠DBC的度数和线段BD的长度．
练3.1 如图，在△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，交AC于点F，连接
BF，已知∠A = 48∘ ，AB +BC = 15 cm，求△ BCF的周长和∠BFE的度数．
例4 如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P．求证：点P也在BC的垂直平分线上．
练4.1 如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90∘ ，D是AB上一点，BD = BC，过点D作AB的垂线交AC于点
E，连接CD交BE于点F．求证：BE垂直平分CD．
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例5 在△ABC中，∠C = 90∘ ，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BD = 10 厘米，BC = 8 厘米，
则点D到直线AB的距离等于________厘米．
练5.1
(1)如图，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线的交点．求证：点O在∠A的平分线上．
(2)如图，在△ABC中，∠BAC，∠MBC的平分线交于点D．求证：点D在∠NCB的平分线上．
练5.2 如图所示，在△ABC中，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，且BE = CF，
求证：AD是△ABC的角平分线．
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第 2 讲 直角三角形
自我巩固答案
1 如图，在△ABC中，∠C = 90∘ ，点D，E分别在边AC，AB上，若∠B = ∠ADE，则下列结
论：①∠A和∠B互为补角；②△ADE是直角三角形；③∠AED和∠DEB互为余角；④
∠ADE和∠A互为余角，其中正确的有（ ）个．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
2 具备下列条件的三角形ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A： ∠A +∠B = ∠C
1
B： ∠A = ∠B = ∠C
2
C： ∠A = 90∘ −∠B
16/56
D： ∠A −∠B = 90∘
3 如图，已知CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，∠A = 30∘ ，求∠C的度数．
4 如图，已知四边形ABCD中，AB⊥BC，AB = 1，BC = 2，CD = 2，AD = 3，求四边
形ABCD的面积．
5 如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF = AC，FD = CD．求
证：BE⊥AC．
6 如图，在△ABC中，∠ABC = 90∘ ，∠C = 20∘ ，DE是边AC的垂直平分线，连接AE，则
∠BAE等于（ ）
A： 20°
B： 40°
C： 50°
D： 70°
17/56
7 如图，OE = OF，CE = CF，D是OC上一点，DE⊥OA于点E，DF⊥OB于点F．则下列结论
错误的为（ ）
A： DE = DF
B： OC平分∠ECF
C： CE = OE
D： △DEO≌△DFO
8 如图，AB∥CD，BP 和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若
AD = 8，则点P到BC的距离是（ ）
A： 8
B： 6
C： 4
D： 2
9 如图所示，已知AB = AC，BD = CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F ， 求 证 ：
DE = DF．
10 如图，已知∠ABC = ∠ACB，AD平分∠BAC，点P在直线AD上，求证：PB = PC．
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能力提高 / 初二 / 寒假
第 2 讲 直角三角形
课堂落实答案
1 如图，∠BAC = 90∘ ，AD⊥BC，则图中互余的角有（ ）
A： 2对
B： 3对
C： 4对
D： 5对
2 如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB = 13，AD = 12，CD = 9，BD = 5，
求AC的长．
3 如图，在△ABC中，AB = AC，AE是经过点A的一条直线，且B，C在AE的两侧，BD⊥AE于
D，CE⊥AE于点E，AD = CE，则∠BAC的度数是（ ）
19/56
A： 45∘
B： 60∘
C： 90∘
D： 120∘
4 如图，△ ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 5，△ ABD的周长为16，则△ ABC的
周长为（ ）
A： 18
B： 21
C： 24
D： 26
5 如 图 ， ∠AOB = 70∘ ， QC⊥OA 于 点 C ， QD⊥OB 于 点 D， 若 QC = QD ， 则
∠CQO =_______°．
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第 2 讲 直角三角形
精选精练
1 长方形纸片ABCD中，AD = 4，AB = 10，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，
则DF的长为__________．
2 如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB = 8cm，BC = 10cm，求
EC的长．
3 如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，有下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在
∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC，∠CBE，∠BCD的平
分线的交点．其中正确的是（ ）
A： ①②③④
B： ①②③
C： ④
21/56
D： ②③
4 如图，在△ABC中，∠B = ∠C，P，Q，R分别在AB，BC，AC上，且BP = CQ ，
BQ = CR，求证：点Q在PR的垂直平分线上．
5 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD与BE交于点F，且CD = BE．
（1）判断∠ABC与∠ACB的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC．
6 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC于点G，且平分BC，DE⊥AB于点E，
DF⊥AC交AC的延长线于点F．
(1)求证：AE = AF；
(2)求证：BE = CF；
(3)如果AB = 12，AC = 8，求AE的长．
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第 3 讲 不等式（组）初步
例题练习题答案
例1 下列给出四个式子,①x > 2;②a ≠ 0;③5 < 3;④a ≥ b,其中是不等式的是（ ）
A： ①④
B： ①②④
C： ①③④
D： ①②③④
练1.1 下列式子：①−3 < 0，②4x+3y > 0，③x = 3，④ x2 −y +1， ⑤ x ≠ 5， ⑥
x−3 < y +2，其中是不等式的有______________．
例2 根据题意列不等式．
（1）x的2倍大于1；
（2）a与b的差是非负数；
（3）a的2倍与7的和小于−2．
练2.1 用不等式表示下列数量的不等关系．
1
（1）x的 与6的差大于2；
5
2
（2）y的 与4的和小于x；
3
1
（3）a的3倍与b的 的差是非负数；
2
（4）x与5的和的30%不大于−2．
例3
(1)下列选项中是不等式2x+1 > 3的解的是（ ）
A： −4
B： −2
23/56
C： 0
D： 2
(2)已知x = −2是不等式ax2 −bx+c > 0的解，则下列式子正确的是（ ）
A： 4a−2b+c > 0
B： 4a+2b+c > 0
C： −4a−2b+c > 0
D： −4a+2b+c > 0
练3.1
(1)下列数中哪些是不等式3x−5 ≥ 0的解：−1、0、1、2、3、4；
(2)若x = −1是不等式ax2 +bx+c > 0的解，则a−b+c___0．
例4 在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）x < −2； （2）x ≥ 1．
练4.1 在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）x > 2.5；
（2）x < −2.5；
（3）x ≥ 3．
练4.2 不等式的解集在数轴上的表示如下图所示，则该不等式可能是_______．
例5 若a < b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A： a−1 < b−1
a b
B： >
3 3
C： −a < −b
D： ac < bc
练5.1 如果a > b,c < 0,那么下列不等式成立的是（ ）
24/56
A： a+c > b+c
B： c−a > c−b
C： ac > bc
a b
D： >
c c
练5.2 已知a > b，c ≠ 0，则下列关系式一定成立的是（ ）
A： c−a > c−b
B： ac > bc
C： ac2 > bc2
D： a2 > b2
例6 由x < y得到ax > ay的条件应是________．
练6.1 已知x > y，且(m−2)x < (m−2)y，则m的取值范围是________．
练6.2 如果x > y，且(a−1)x > (a−1)y，那么a的取值范围是________．
例7 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x > a”、“x < a”、“x ≥ a”或“
x ≤ a”的形式：
(1)x+2 > 3；
(2)2x ≤ 5；
(3)−3x ≥ 6；
(4)x+3 ≥ 2x．
练7.1 根据不等式的基本性质，
把下列不等式化成“x > a”或“x < a”的形式：
(1)3x−2 < 0；
1
(2)− x+3 > 5．
2
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第 3 讲 不等式（组）初步
自我巩固答案
1 下列各式中，不是不等式的是（ ）
A： 2x ≠ 1
B： 3x2 −2x+1
C： −3 < 0
D： 3x−2 ≥ 1
2 x与5的和的一半是负数，用不等式表示为（ ）
5
A： x+ > 0
2
1
B： (x+5) ≥ 0
2
1
C： (x+5) > 0
2
1
D： (x+5) < 0
2
3 “x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（ ）
A： 2x−3 ≤ 8
B： 2x−3 ≥ 8
C： 2x−3 < 8
D： 2x−3 > 8
4 不等式的解集x ≥ −1在数轴上表示为（ ）
A：
B：
26/56
C：
D：
5 不等式在数轴上的表示如图所示，该不等式为（ ）
A： x < 3
B： x ≤ 3
C： x > 3
D： x ≥ 3
6 设a > b，下列结论正确的是（ ）
A： a+2 > b+2
B： a+2 < b+2
C： a+2 = b+2
D： a+2 ≥ b+2
7 已知a < b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A： a+5 > b+5
B： −2a < −2b
3 3
C： a > b
2 2
D： 7a−7b < 0
8 下列不等式的变形中：
①若a > b，则a−3 > b−3；②若a > b，则−3a > −3b；③若a > b，则(m2 +1)a
> (m2 +1)b；④若a > b且m ≠ 0，则−ma < −mb．正确的结论有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
27/56
D： 4个
9 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x > a”或“x < a”的形式：
（1）4x > 3x+5； （2）−2x < 17．
10 已知m < n，利用不等式的性质比较−2m−1与−2n −1的大小．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 3 讲 不等式（组）初步
课堂落实答案
1 在式子−2 < 2,3x−2y > 0,x = 1,x2 +2x−y2 ,x ≠ −1,x+2 > y −3中，不等式的个
数为( )个
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
2 下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A： a不是负数，可表示成a > 0
B： x不大于3，可表示成x < 3
C： m与4的差是负数，可表示成m−4 < 0
D： x与2的和是非负数，可表示成x+2 > 0
3 图中表示的不等式的解集是_________．
4 如果a < b，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A： a2 < ab
28/56
B： ab < b2
C： a2 < b2
D： a−2b < −b
5 若a > b，则5 −2a______5 −2b（填“>”、“<”或“=”）．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 3 讲 不等式（组）初步
精选精练
1 有下列数学表达式：
①3 > 0；②4x+5 > 0；③x = 3；④x2 +x；⑤x ≠ −4；⑥x+2 < x+1．
其中是不等式的有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
2 x与y的平方和一定是非负数，用不等式表示为__________．
3 已知a > b，则−4a+5_____−4b+5（填“>”“<”或“=”）．
1 1
4 若a > b，则4 − a____4 − b（填“>”“<”或“=”）．
5 5
5 （1）①如果a−b < 0，那么a___b；②如果a−b = 0，那么a___b；③如果a−b > 0，那么
a__b；
（2）由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来；
（3）用（1）的方法你能否比较3x2 −3x+7与4x2 −3x+7的大小？如果能，请写出比较过
程．
6 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两个数大小的方法：
29/56
若a−b > 0，则a > b；
若a−b = 0，则a = b；
若a−b < 0，则a < b；反之也成立．
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试比较4 +3a2 −2b+b2 与
3a2 −2b+1的大小．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 4 讲 一元一次不等式
例题练习题答案
例1 下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A： 4 > 1
B： 3x−2 < 4
1
C： < 2
x
D： 4x−3 < 2y −7
练1.1 下列选项为一元一次不等式的是（ ）
A： x+y > 5
1
B： +3 < 2
x
C： −x = 3
x x
D： + ≥ 1
3 2
1
练1.2 下列式子①7 > 4；②3x ≥ 2π +1；③x+y > 1；④x2 +3 > 2x；⑤ > 4中，是一元一
x
次不等式的有（ ）
A： 4个
B： 3个
C： 2个
30/56
D： 1个
例2 若3xm−1 −2 > 1是关于x的一元一次不等式，则m等于（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
练2.1 如果(m+1)x|m| > 2是关于x的一元一次不等式，则m =______．
1
练2.2 已知 (m+4)x|m|−3 +6 > 0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
2
A： 4
B： ±4
C： 3
D： ±3
例3 解不等式：
（1）x+3 ≤ 7 −x；
（2）5x−1 > 6x+4；
（3）3x−2 ≥ 4 +2(x−2)；
（4）3(x+1) < 4(x−2)−5．
练3.1
(1)解不等式x−3 ≤ 6 −2x，并把解集在数轴上表示出来；
(2)解不等式5x > 2(x−8)+10，并把解集在数轴上表示出来．
练3.2 一元一次不等式2(x−1) ≥ 3x−3的解集在数轴上表示为（ ）
A：
B：
31/56
C：
D：
例4
x+2 x−3
(1) 解不等式 > 1 − 时，去分母后结果正确的为（ ）
3 2
A： 2(x+2) > 1 −3(x−3)
B： 2x+4 > 6 −3x−9
C： 2x+4 > 6 −3x+3
D： 2(x+2) > 6 −3(x−3)
1 +x 2x+1
(2) 下面是小芳同学解不等式 − ≤ 1的过程，其中从上一步化简出错的步骤共
2 3
有（ ）
①去分母，得3(1 +x)−2(2x+1) ≤ 1；
②去括号，得3 +3x−4x+1 ≤ 1；
③移项，得3x−4x ≤ 1 −3 −1；
④合并同类项，得−x ≤ −3；
⑤系数化为1，得x ≤ 3．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
练4.1 解不等式：
x−2 8 −x
（1） < ；
2 4
x x−2
（2） > 1 − ；
2 5
2x−1 9x+2
（3） − ≤ 1．
3 6
4x−1
练4.2
（1）解不等式 −x > 1，并在数轴上表示解集；
3
32/56
x+2 x−2
（2）解不等式 − ≥ 2，并把解集表示在数轴上．
5 2
例5 不等式9 −2x > 1的最大整数解是______．
练5.1 不等式3(x−2) ≤ 5 −x的非负整数解有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
5(x+2)
练5.2
求不等式 > 2x−2的正整数解．
4
能力提高 / 初二 / 寒假
第 4 讲 一元一次不等式
自我巩固答案
1 下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
1
A： +1 > 2
x
B： x2 > 9
C： (x−3) < 10y
D： 2x+8 ≤ 5
x
2 下列各式：（1）−x ≥ 5；（2）y −3x < 0；（3） +5 < 0；（4）x2 +x ≠ 3；（5）
π
3
+3 ≤ 3x；（6）x+2 < 0是一元一次不等式的有（ ）
x
A： 2个
B： 3个
C： 4个
33/56
D： 5个
3 若3x2a+3 −9 > 6是关于x的一元一次不等式，则a =（ ）
A： 1
B： −1
C： 0
D： ±1
4 若(m−2)x|3−m| +2 ≤ 7是关于x的一元一次不等式，则m =（ ）
A： 4
B： 2
C： 2或4
D： 1
5 解不等式：
（1）−3x+2 ≤ −2x；
（2）x+2 > 6 −3x；
（3）5x−1 < 3(x+1)；
（4）2(2x−1)−(5x−1) ≥ 1．
6 解不等式：2(x−1) < 3(x+1)−2，并把它的解集在数轴上表示出来．
7 解不等式：
4 +x x
（1） > ；
3 2
2x−1 3x−4
（2） −1 ≤ ．
3 6
x+3 x−1 8
8 解不等式 − > ，并把解集在数轴上表示出来．
5 3 15
9 不等式4(x−2) > 2(3x−5)的非负整数解的个数为（ ）
A： 0个
B： 1个
34/56
C： 2个
D： 3个
3
10 使代数式4x− 的值不大于3x+5的值的x的最大整数值是（ ）
2
A： 4
B： 6
C： 7
D： 8
能力提高 / 初二 / 寒假
第 4 讲 一元一次不等式
课堂落实答案
1 下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A： 3x−2y < −1
B： −1 < 2
C： 2x−1 > 0
D： y2 +3 > 5
1
2 若 x2m−1 −8 > 5是一元一次不等式，则m的值为（ ）
2
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
3 不等式2(x+1) < 3x的解集在数轴上表示出来应为（ ）
35/56
A：
B：
C：
D：
2x+1
4 不等式x−3 > 的解集是（ ）
3
A： x > 10
B： x < 10
C： x > 2
D： x < 2
5 不等式2x > 5x−9的正整数解是________．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 4 讲 一元一次不等式
精选精练
1 下列不等式中是一元一次不等式的是（ ）
1
A： x−y < 1
3
B： x2 +5x−1 ≥ 0
1
C： > 3
x
1 1
D： x < −x
2 3
2
若(m−2)xm2−3
−2 ≥ 7是关于x的一元一次不等式，则m =______．
3 两个实数a，b，规定a⊕b = a+b−ab，则不等式2 ⊕(2x−1) < 1的解集为______．
36/56
4 解下列不等式：
(1)2(x−1)+2 < 5 −3(x+1)；
x−1 2x+3
(2)1 − ≤ +x．
3 3
x−2 x+1
5 x的值适合不等式 +1 ≤ ，且x是正整数，则x的值是（ ）
2 3
A： 0，1
B： 0，1，2
C： 1，2
D： 1
1 +x x−1
6 小英解不等式 − ≥ 1的过程如下，请指出她解答过程中错误步骤的序号，并写出
4 3
正确的解答过程．
解：去分母得：3(1 +x)−4(x−1) ≥ 1①
去括号得：3 +3x−4x+1 ≥ 1②
移项得：3x−4x ≥ 1 −3 −1③
合并同类项得：−x ≥ −3④
两边都除以−1得：x ≥ 3⑤
能力提高 / 初二 / 寒假
第 5 讲 因式分解的概念及基本解法
例题练习题答案
例1
(1)判断下列由左到右的变形是不是因式分解．
(x+1)(x−2) = x2 −x−2 （ ）
−8a2b6 = 2ab3 ⋅(−4ab3 ) （ ）
4x3 −16x2 = 4x2 (x−4) （ ）
37/56
1
2x2 +2x = 2x2 1 + （ ）
( x)
(2)如果2x2 −mx可以因式分解为2x(x+2)，那么m是（ ）
A： 2
B： −2
C： 4
D： −4
练1.1 下列等式中，由左到右的变形是分解因式的是（ ）
A： a(a−b) = a2 −ab
B： a2 −2a+2 = (a−1) 2 +1
C： 4x2y +3x2 = x2 (4y +3)
1
D： 4x2 −2x+1 = x 4x−2 +
( x)
练1.2 若x−2和x+3是多项式x2 +mx+n仅有的两个因式，则mn的值为（ ）
A： 1
B： −1
C： −6
D： 6
例2
(1)多项式15m3n2 +5m2n −20m2n3
的公因式是（ ）
A： 5mn
B： 5m2n2
C： 5m2n
D： 5mn2
(2)将多项式−6a3b2 −3a2b2
因式分解时，应提取的公因式是（ ）
38/56
A： −3a2b2
B： −3ab
C： −3a2b
D： −3a3b3
练2.1
(1)把多项式−4x2yz +2xy2 −2xy分解因式，应提的公因式是（ ）
A： −xy
B： −2xy
C： −2x2y
D： 2xy2
(2)把多项式−8a2b3c+16a2b2c2 −24a3bc3
分解因式，应提的公因式是（ ）
A： −8a2bc
B： 2a2b2c3
C： −4abc
D： 24a3b3c3
例3 多项式2(m+n)与4x(m+n)的公因式是（ ）
A： m+n
B： 2(m+n)
C： x(m+n)
D： 2x(m+n)
练3.1 多项式xy(x−y)与y(x−y) 2 的公因式是________．
练3.2
(1)将3x(a−b)−9y(b−a)因式分解，应提的公因式是（ ）
39/56
A： 3x−9y
B： 3x+9y
C： a−b
D： 3(a−b)
例4 分解因式：12x2y −15xy2 =__________．
1
练4.1
将
m2a+ma分解因式的结果是__________．
5
例5
(1)因式分解：6x(x−2)+3(x−2) =_________．
(2)因式分解：(x+2)x−x−2 =_________．
练5.1
1
(1)因式分解： (a+b) 2c+(a+b)c2 =_________．
2
(2)(1 −a)mn +a−1 =________(mn −1)．
练5.2
(1)因式分解：6(x−y) 3 −4(y −x) 2 ．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 5 讲 因式分解的概念及基本解法
自我巩固答案
1 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A： x2 − 9+ 6x = (x+ 3)(x− 3) + 6x
B： (x+ 5)(x− 2) = x2 + 3x− 10
40/56
C： x2 − 8x+ 16 = (x− 4) 2
D： 6ab = 2a⋅3b
2 各式从左到右的变形中，是因式分解的有（ ）
①x2 −1 = (x+1)(x−1)；
②x(x−y)−y(x−y) = (x−y) 2 ；
③(x+1) 2 (x−1) 2 = x4 −1；
④a2 −4ab+4b2 = (a−2b) 2 ．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
3 多项式(x+2)(2x−1)−(x+2)可以因式分解成2(x+m)(x+n)，则m−n的值是
（ ）
A： 0
B： 4
C： 3或−3
D： 1
4 将2x2a−6xab+2x分解因式，下面是四位同学分解的结果，其中正确的是（ ）
① 2x(xa−3ab)； ② 2xa(x−3b+1)； ③ 2x(xa−3ab+1)； ④
2x(−xa+3ab−1)．
A： ①
B： ②
C： ③
D： ④
5 下列因式分解，正确的是（ ）
41/56
A： 3(x−2)−2x(2 −x) = (x−2)(3 −2x)
B： 3(x−2)−2x(2 −x) = (x−2)(−3 −2x)
C： 3(x−2)−2x(2 −x) = x(x−2)
D： 3(x−2)−2x(x−2) = (x−2)(3 −2x)
6 分解因式b2(x−3)+b(x−3)的正确结果是（ ）
A： (x−3)(b2 +b)
B： b(x−3)(b+1)
C： (x−3)(b2 −b)
D： b(x−3)(b−1)
7 5m(a−b)−10n(b−a)的公因式是（ ）
A： 5(a−b)
B： m+n
C： 5(a+b)
D： 5m−10n
1
8 将− a2b−ab2 提公因式后，另一个因式是（ ）
2
A： a+2b
B： −a+2b
C： −a−b
D： a−2b
9 因式分解：3x3y −6x2y +3xy2 ．
10 如图，边长为a，b的矩形的周长为10，面积为6，求a3b2 +a2b3 的值．
42/56
能力提高 / 初二 / 寒假
第 5 讲 因式分解的概念及基本解法
课堂落实答案
1 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A： (x+3)(x+2) = x2 +5x+6
B： 4x2 −9 +6x = (2x+3)(2x−3)+6x
C： x2 +10x+25 = (x+5) 2
D： 10a2b = 2a2 ⋅5b
2 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A： x2y +xy2 = xy(x+y)
B： x2 −4x+4 = x(x−4)+4
1
C： y +1 = y 1 +
( y)
D： (x−1)(x−2) = x2 −3x+2
3 下列多项式能分解因式的是（ ）
A： x2 + y2
B： −x2 − y2
C： 2xy − x2 − y2
1
D： x2 − xy + y2
2
4 −4(x−y) 2 −2y(x−y) 2 分解因式，结果是（ ）
A： −2(x−y) 2 (2 +y)
B： −(x−y) 2 (4 −2y)
43/56
C： 2(x−y) 2 (y +2)
D： −(x−y) 2 (4 +2y)
5 把多项式m2 (a−2)+m(2 −a)分解因式正确的是（ ）
A： (a−2)(m2 +m)
B： m(a−2)(m+1)
C： m(a−2)(m−1)
D： (2 −a)(m2 +m)
能力提高 / 初二 / 寒假
第 5 讲 因式分解的概念及基本解法
精选精练
1 下列从左到右的变形：
（ 1 ） 10x2y = 2xy ⋅5x； （ 2 ） a2 −b2 = (a−b)(a+b)； （ 3 ）
1
a2 −2a+1 = (a−1) 2 ；（4）x2 +x+1 = x x+1 + ．
( x)
其中是因式分解的个数是（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
2 若x−3y = 5，则x2 −3xy −15y =______．
3 因式分解：
（1）3a(x−y)−5b(y −x)； （2）10a(x−y) 2 +5ax(y −x)．
4 因式分解(a+b)(a+b−1)−a−b+1的结果为____________．
44/56
5 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1 +x+x(x+1)+x(x+1) 2 = (1 +x)[1 +x+x(x+1)=] (1 +x) 2
(1 +x) = (1 +x) 3
（1）上述因式分解的方法是__________法，共应用了__________次；
（2）若把1 +x+x(x+1)+x(x+1) 2 +…+x(x+1) 2012 分解因式，则需要应用上述
方法________次，分解因式后的结果是__________；
（3）请用以上的方法分解因式：1 +x+x(x+1)+x(x+1) 2 +…+x(x+1) n （其中n
为正整数），必须有具体过程．
6 因式分解：
（1）2a(x−5y)+b(5y −x)； （2）3k(2k+3m)−2n(3m+2k)．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 6 讲 因式分解进阶
例题练习题答案
例1 分解因式：9m2 −1 =________．
练1.1 分解因式：
1
（1）4 − x2 ；
9
16 1
（2） x2 − y2 ．
25 4
例2 因式分解(a−1) 2 −9的结果是（ ）
A： (a+2)(a−4)
B： (a+8)(a+1)
C： (a−2)(a+4)
D： (a+2)(a−10)
练2.1
45/56
(1)分解因式(2x+2) 2 −x2 的结果是（ ）
A： 2(x2 +4x+3)
B： 2(x2 +2x+3)
C： (2x+3)(x+1)
D： (3x+2)(x+2)
(2)将(x+2y) 2 −(x−2y) 2 分解因式的结果是（ ）
A： −8x2
B： −8x(x−2y)
C： 16(x+y)
D： 8xy
练2.2 分解因式：
（1）(x+p) 2 −(x+q) 2 ；
（2）(2x+y) 2 −(x+2y) 2 ．
例3
(1)用简便方法计算：1002 −992 = _______．
(2)用简便方法计算：992 −1 = _______．
例4 分解因式：
（1）x2 −18x+81； （2）16x2 +24x+9．
练4.1 分解因式：
（1）a2 −2ab+b2 ； （2）a2b2 −6ab+9．
例5 分解因式(x−1) 2 −2(x−1)+1的结果是（ ）
A： (x−1)(x−2)
B： x2
C： (x−2) 2
46/56
D： (x+1) 2
练5.1 分解因式：
（1）4(x+y) 2 +25 −20(x+y)； （2）(x+4) 2 +8(x+4)+16．
例6 分解因式：
（1）2x2 −8；（2）a2 (x−y)−b2(x−y)；
（3）3ax2 +6axy +3ay2 ；（4）3x2y −18xy2 +27y3 ．
练6.1
(1)分解因式：9x2 (a−b)+y2(b−a)．
(2)若a+b = 4，ab = −6，求代数式a3b+2a2b2 +ab3 的值．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 6 讲 因式分解进阶
自我巩固答案
1 分解因式(2x+1) 2 −x2 的结果是（ ）
A： 2(x2 +3x+1)
B： 2(x2 +2x+1)
C： (2x+1)(x+2)
D： (3x+1)(x+1)
2 将多项式4x2 −y2 +2(2x−y)分解因式的结果为（ ）
A： (2x+y −2)(2x−y)
B： (2x−y −2)(2x−y)
C： (2x+y +2)(2x−y)
D： (2x−y +2)(−2x−y)
47/56
3 若x+y = 3，x−y = 1，则x2 −y2 的值为( )
A： 1
B： 2
C： 3
D： −3
4 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a−b，x−y，x+y，
a+b，x2 −y2 ，a2 −b2
分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将
(x2 −y2 )a2 −(x2 −y2 )b2
因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A： 我爱美
B： 中华游
C： 爱我中华
D： 美我中华
5 若多项式x2 +mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（ ）
A： 4
B： −4
C： ±2
D： ±4
6 把4x2 −20xy +25y2 进行因式分解，结果为（ ）
A： (x−5y) 2
B： (2x−5y) 2
C： (3x−5y) 2
D： (4x−5y) 2
7 把8a3 −8a2 +2a进行因式分解，结果正确的是（ ）
A： 2a(4a2 +4a+1)
48/56
B： 8a2 (a−1)
C： 2a(2a−1) 2
D： 2a(2a+1) 2
8 已知a+b = 3，ab = 2，求代数式a3b+2a2b2 +ab3 的值为（ ）
A： 6
B： 18
C： 28
D： 50
9 分解因式：
（1）x2 −14xy +49y2 ； （2）16(x−y) 2 −24(x−y)+9.
10 分解因式：
（1）3ax2 −6axy +3ay2 ； （2）−4abx2 +4abx−ab.
能力提高 / 初二 / 寒假
第 6 讲 因式分解进阶
课堂落实答案
1 将多项式x2 −y2 +3(x−y)分解因式的结果为（ ）
A： (x+y −3)(x−y)
B： (x−y −3)(x−y)
C： (x+y +3)(x−y)
D： (x−y +3)(−x−y)
2 因式分解：
（1）2am2 −2an2 ； （2）(m+n) 2 −4(m−n) 2 ．
49/56
3 因式分解：4a2 +4a+1 =____________．
4 若x2 −mxy +25y2 能用完全平方公式进行因式分解，则m =_________．
5 因式分解：a2 −10ab+25b2 ．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 6 讲 因式分解进阶
精选精练
1 分解因式：9(a−b) 2 −(a+b) 2 =___________．
2 利 用 因 式 分 解 计 算 ：
1 1 1 1 1 1
1 − 1 − 1 − ⋯ 1 − 1 − ⋯ 1 − ．
( 22)( 32)( 42) ( 92)( 102) ( n2)
3 因式分解：
（1）6xy2 −9x2y −y3
；
（2）(p−4)(p+1)+3p．
4 若|a+2|+a2 −4ab+4b2 = 0，求a，b的值．
5 分解因式：a3 +2a2 (b−c)+a(b−c) 2 .
6 因式分解：x2 −2xy +y2 +4(x−y)+4．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 7 讲 阶段自检
期末试卷答案
1 等腰三角形一底角为80∘ ，则顶角为（ ）
50/56
A： 20∘
B： 30∘
C： 40∘
D： 50∘
2 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 3，AC = 2，则BC的值（ ）
–
A： √5
–
B： √6
–
C： √7
−−
D： √13
3 多项式a2 −9与a2 −3a的公因式是（ ）
A： a+3
B： a−3
C： a+1
D： a−1
4 x ≤ 4的非负整数解有（ ）
A： 4个
B： 5个
C： 6个
D： 无数个
5 三角形的三边长为a，b，c，且满足(a+b) 2 = c2 +2ab，则这个三角形是（ ）
A： 等边三角形
B： 钝角三角形
C： 直角三角形
D： 锐角三角形
51/56
6 下列不等式的变形不正确的是（ ）
A： 若a > b，则a+3 > b+3
B： 若a < b，则−a > −b
1
C： 若− x < y，则x > −2y
2
1
D： 若−2x > a，则x > − a
2
7 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB = AC，∠CAD = 20∘ ，则∠ACE的度
数是（ ）
A： 20∘
B： 35∘
C： 40∘
D： 70∘
8 如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 100∘ ，AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点
D，E，则∠BAE =（ ）
A： 80∘
B： 60∘
C： 50∘
D： 40∘
9 下列命题：①若|a| > |b|，则a > b；②若a+b = 0，则|a| ≠ |b|；③等边三角形的三个内角
都相等．④线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．以上命题的逆命题是真命题的有
52/56
（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
10 如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB = AC = CE，给出下
列结论：①AD⊥BC，②CF⊥AE，③∠1 = ∠2，④AB +BD = DE，其中正确的结论
有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
11 比较大小关系：x2 +2x−3___x2 +2x−1．
12 将x3 −xy2 分解因式的结果为_________________________．
13 不等式的解集在数轴上表示如下图所示，则该不等式可能是_______．
1
14 已知 (m+4)x|m|−3 +6 > 0是关于x的一元一次不等式，则m的值为________．
2
15 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆
折断之前的高度是________．
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16 如图，在Rt△ABC中，∠B = 90∘ ，E为BC边上一点，ED⊥AC于D，连结AE，AD = CD，
若∠BAE = 20∘ ，则∠C =________ ∘ ．
17 在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，∠B = ∠C = 90∘ ，E是BC的中点，DE平分
∠ADC，∠CED = 35∘ ，则∠EAB的度数是_____．
18 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下面四个
结论：①DA平分∠EDF；②EB=FC；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等
的点，到DE、DF的距离也相等，其中正确的结论有___．（填序号）
19 因式分解：
（1）4m2 −1；
（2）9ab2 −6ab+a．
20 解下列不等式：
（1）3(1 −x) ≥ 2x+9；
（2）x−3(x−1) < 8 −x．
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21 已知：|a−b−3|+(a+b−2) 2 = 0，求a2 −b2 ．
22 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n = m2n −mn −3n， 如 ：
1※2 = 12 ×2 −1 ×2 −3 ×2 = −．6
–
（1）求(−2)※√3；
（2）若3※m ≥ −6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
23 如图，在△ABC中，△ABC的周长为38cm，∠BAC = 140∘ ，AB +AC = 22cm，AB、AC
的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G，求：
（1）∠EAF的度数；
（2）求△AEF的周长．
24 如图，在△ABC中，AB = AC，AD是BC 边上的中线，BE⊥AC 于点E ．求证：
∠CBE = ∠BAD．
25 如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
AB=6，AC=3，求BE的长．
26 若a、b、c是△ ABC的三边，
满足a2 −2ab+2b2 −2bc+c2 = 0，
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则△ ABC的形状是________．
27 已知在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三
角形）△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，-2），是否存在等腰三角形△ABC，且点
C在坐标轴上，若存在请在图中标注符合条件的点C，并写出点C的坐标；若不存在请说明理由．
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