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能力提高 / 初二 / 春季
第 1 讲 等腰三角形与等边三角形
例题练习题答案
例1
(1) 如图，AB = AC，BD = BC，若∠A = 40∘ ，则∠ABD的度数是（ ）
A： 20°
B： 30°
C： 35°
D： 40°
(2)等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（ ）
A： 40°
B： 40°或70°
C： 80°或70°
D： 70°
(3) 等腰三角形ABC中，∠ABC = ∠ACB，BD是腰AC上的高，∠ABD = 40∘ ，则∠ACB的度数为
______．
(4)若等腰三角形的一条边长为4cm，另一条边长为9cm，则它的周长为_____．
例2 如图，△ABC中，BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于点F，交BC于点E，
求证：△DBE是等腰三角形．
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练2.1 如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 36∘ ，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中
点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
例3 已知：如图，CD平分∠ACB，DE//BC，∠AED = 80∘ ，求∠EDC的度数．
练3.1 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， BC = 5cm ， BP ， CP 分 别 是 ∠ABC 和 ∠ACB 的 角 平 分 线 ，
且PD∥AB，PE∥AC，求△PDE的周长．
例4 如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，点E在AC上，AE = AD，则∠EDC = _______．
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练4.1 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于
（ ）
A： 15°
B： 30°
C： 45°
D： 60°
例5 如图，D是等边△ABC中AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE = DB，△ABC的周长是9，则
∠E = _______°，CE = _______．
练5.1 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG = CD，DF = DE，则
∠E = _______°．
例6 下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A： 有两个内角是60°的三角形
B： 有两边相等且是轴对称图形的三角形
C： 三边都相等的三角形
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D： 有一个角是60°且是轴对称图形的三角形
练6.1 如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．
练6.2 如图，AB = AC，∠BAC = 120∘ ，AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．
例7 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，∠A = 30∘ ，AB = 4，则BC = ________．
练7.1 如图，△ABC中，∠ACB = 90∘ ，CD是△ABC的高，∠A = 30∘ ，AB = 4，求BD的长．
能力提高 / 初二 / 春季
第 1 讲 等腰三角形与等边三角形
自我巩固答案
1 如图，在等腰△ABC中，AB = AC，若点D为BC的中点，则点D到AB，AC的距离相等．请说明理
由．
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2 如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 36∘ ，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，则图中的
等腰三角形有（ ）
A： 5个
B： 4个
C： 3个
D： 2个
3 如图，△ABC中，点D为AB上一点，点E为BC上一点，且AC = CD = BD = BE，∠A = 60∘ ，则
∠CDE的度数为（ ）
A： 45∘
B： 50∘
C： 51∘
D： 52∘
4 已知：在△ABC中，∠ACB = 90∘ ，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点
M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ = MN．求证：
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（1）△APM是等腰三角形；
（2）PC = AN．
5 如图，∠ABC = 50∘ ，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF = DE
，则∠DFB的度数为（ ）
A： 25∘
B： 130∘
C： 50∘ 或130∘
D： 25∘ 或130∘
6 如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线CF相交于点F，过点F作FD∥BC交AC于E，交AB于点
D，若BD = 8，DE = 3，求CE的长．
7 如图，若△ABC是等边三角形，AB = 6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE = CD，则
BE = （ ）
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A： 7
B： 8
C： 9
D： 10
8 有下列三角形：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（ ）
A： ①②③
B： ①②④
C： ①③
D： ①②③④
9 如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）求证：AE = EB．
10 已知：△ABC中，AB = AC，∠C = 30∘ ，AB⊥AE，DE⊥AC．
（1）求证：AE = EC；
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（2）若DE = 2，求BC的长．
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第 1 讲 等腰三角形与等边三角形
课堂落实答案
1 等腰三角形的周长为11cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A： 4.5cm
B： 2cm
C： 2cm或4.5cm
D： 5.5cm
2 如图，在Rt△ABC中，∠BAC = 90∘ ，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE
于点E，D，若AC = 3，AB = 4，则DE的长为（ ）
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
3 如图，△ABC中，∠B = 60∘ ，AB = AC，BC = 3，则△ABC的周长为（ ）
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A： 9
B： 8
C： 6
D： 12
4 给出下面的几种三角形：①外角都相等的三角形；②三边上的高都相等的三角形；③有一个角为
60°且一边上的高也是这边的中线的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
5 如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠ACB = 1:2:3，CD⊥AB于点D，若AB = 4，则DB的长为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
能力提高 / 初二 / 春季
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第 1 讲 等腰三角形与等边三角形
精选精练
1 如图所示，在 △ ABC中，AB = AC，∠A = 36∘ ，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线且相
交于点F，则图中的等腰三角形有（ ）
A： 6个
B： 7个
C： 8个
D： 9个
2 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点
N，若BM +CN = 9，则线段MN的长为（ ）
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
3 如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B = 30∘ ，则∠C的度数为（ ）
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A： 50∘
B： 40∘
C： 30∘
D： 20∘
4 如图，AB = AC，DB = DC，若∠ABC为60∘ ，BE = 3cm，则AB = ______cm．
5 如图，在等边 △ ABC中，AB = 9cm，点P从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B
出发沿BA边向点A以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒．
(1)你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．
(2)请问几秒后， △ PBQ为等边三角形？
(3) 若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿 △ ABC三边运动，请问经
过几秒后点P与点Q第一次在 △ ABC的哪条边上相遇？
6 如图，OP平分∠AOB，∠AOP = 15∘ ，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC = 4，则PD = _______．
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能力提高 / 初二 / 春季
第 2 讲 垂直平分线与角平分线
例题练习题答案
例1 如图，在△ABC中，AB = 4，BC = 2，DB = 1，CD = √3，则AC = ________．
练1.1 如图：四边形ABCD中，AB = CB = √2，CD = √5，DA = 1，且AB⊥CB于B．
试求：
(1)∠BAD的度数；
(2)四边形ABCD的面积．
例2 如图，在△ABC中，∠BAC = 90∘ ，AB = AC，D在AC上，E在BA的延长线上，BD = CE，BD的延
长线交CE于点F．求证：BF⊥CE．
练2.1 如图，四边形AECD中，BE=DF，CE⊥AB，CF⊥AD，CB = CD，
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试说明：△ACE≌△ACF．
例3
(1)老师准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5米远的水底，竹竿露出水面的部
分刚好0.5米，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，请你帮老师计算河水的
深度是多少米？
(2)有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A处爬到与A相对的点B处，如图，已知杯子高8 cm，
点B距杯口3 cm，杯子底面半径为4 cm．蚂蚁从A点爬到B点的最短路程为多少？（π取3）
练3.1 操场上有一根竖直立在地面上的旗杆，绳子自然下垂到地面还剩余2米，当把绳子拉开8米后，绳
子刚好斜着拉直下端接触地面（如图①）
（1）请根据你的阅读理解，将题目的条件补充完整：如图②，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8米，
____________．求AC的长．
（2）根据（1）中的条件，求出旗杆的高度．
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练3.2 如图，长方体的长、宽、高分别为8，4，5，一只蚂蚁沿长方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走
过的路程最短为______．
例4 如图，在Rt△ABC中，∠B = 90∘ ，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知
∠BAE = 10∘ ，求∠C的度数．
练4.1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E．
（1）求线段AB的长；
（2）求线段AE的长．
例5 如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，
∠A = ∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB = AC，∠A = 46∘ 时，求∠EBC及∠F的度数．
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练5.1 如图，在△ABC中，AD是角平分线，E是AB上一点，AE=AC，EF∥BC交AC于点F．有下列结论：
①△ADC≌△ADE；②EC平分∠DEF；③AD垂直平分CE．
其中正确的是_________（填序号）．
例6 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面
积是_______．
练6.1 如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积为36 cm 2 ，
AB=18 cm，BC=12 cm，求DE的长．
例7 如图，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD = CD
．
练7.1 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD．过点C作CE⊥AB于点E，并且
1
AE = (AB +AD)，求∠ABC+∠ADC的度数．
2
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能力提高 / 初二 / 春季
第 2 讲 垂直平分线与角平分线
自我巩固答案
1 已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB = 1，BC = 2，CD = 2，AD = 3，求四边形ABCD的
面积．
2 如图，在 △ ABC中，AB = AC，AE是经过点A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，
CE⊥AE于E，AD = CE，则∠BAC的度数是（ ）
A： 45∘
B： 60∘
C： 90∘
D： 120∘
3 一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
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（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了2米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
4 小东拿着一根长竹竿进一个宽为4米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高
0.5米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，则竿长为多少米？
5 如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若
AB = 3cm，BC = 5cm，BF = 6cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘
蛛走过的路程是多少厘米？
6 如图，△ABC中，DG垂直平分AB交AB于点D，交BC于点M，EF垂直平分AC交AC于点E，交BC于
点N，且点M在点N的左侧，连接AM，AN，若BC = 12 cm，则△AMN的周长是（ ）
A： 10 cm
B： 12 cm
C： 14 cm
D： 16 cm
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7 如图，在△ABC中，∠ABC = 60∘ ，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且
DE = DF = √3，则线段BE的长为（ ）
A： √3
B： 2
C： 3
D： 2√3
8 如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在
∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交
点，其中正确的是（ ）
A： ①②③④
B： ①②③
C： ④
D： ②③
9 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD = 90∘ ，BD平分∠ABC，AB = 6，BC = 9，CD = 4，则四边
形ABCD的面积是（ ）
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A： 24
B： 30
C： 36
D： 42
10 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC+∠B = 180∘ ，求证：
2AE = AB +AD．
能力提高 / 初二 / 春季
第 2 讲 垂直平分线与角平分线
课堂落实答案
1 如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB = 13，AD = 12，CD = 9，BD = 5，求AC的长．
2 如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE = DF，AB = DC，若BE = 2，EF = 4，则BC的
长为（ ）
A： 8
B： 10
19/147
C： 12
D： 14
3 如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属
丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
A： 4√2dm
B： 2√2dm
C： 2√5dm
D： 4√5dm
4 下列说法错误的是（ ）
A： E，D是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD = BD，AE = BE
B： 若AD = BD，AE = BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线
C： 若PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
D： 若PA = PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
5 如图，∠AOB = 70∘ ，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC = QD，则∠CQO = _______°．
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能力提高 / 初二 / 春季
第 2 讲 垂直平分线与角平分线
精选精练
1 如图，在四边形ABCD中，AB = AD = BD = 8，BC = 10，四边形的周长为32，DE是BC边上的
高．求：
（1）∠CDB=_______；
（2）S _______；
△CDB
（3）DE = _______．
2 如图,一架长为10 m的梯子AB斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离是8 m.如果梯子的顶端下滑
2 m,那么它的底端是否也滑动2 m?请你通过计算来说明.
3 如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶
的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（ ）
A： 115cm
B： 125cm
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C： 135cm
D： 145cm
4 长方形纸片ABCD中，AD = 4，AB = 10，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DF
的长为__________．
5 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD与BE交于点F，且CD = BE．
（1）判断∠ABC与∠ACB的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC．
6 如图，在△ABC中，∠BAC、∠MBC的平分线交于点D．求证：点D在∠NCB的平分线上．
能力提高 / 初二 / 春季
第 3 讲 一元一次不等式组
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例题练习题答案
例1
(1) x > 1
{
不等式组 的解集是（ ）
x ≥ 2
A： x ≥ 2
B： x > 1
C： 1 < x ≤ 2
D： 无解
(2) x ≥ −1
{
不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
x < 2
练1.1
(1) x > 3
{
不等式组 的解集是（ ）
x < 4
A： x > 3
B： x < 4
C： 3 < x < 4
D： 无解
(2) x ≤ 2
{
请在数轴上表示不等式组 的解集．
x < 4
(3)不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组可能是（ ）
23/147
A： x < −3，
{
x ≤ −1
B： x < −3，
{
x ≥ −1
C： x > −3，
{
x ≤ −1
D： x > −3，
{
x ≥ −1
例2 解不等式组并将解集在数轴上表示出来．
(1){ −2x < 6，
3(x+1) ≤ 2x+5；
(2) 3x−1 ≥ x+1，
{
5x+1
2x−1 < .
2
练2.1 2(x+1) > x，
{
x+7
解不等式组 并在数轴上表示它的解集．
1−2x ≥ ，
2
例3 2x−1 < 3，
{
x
不等式组 的整数解有（ ）
− ≤ 1
2
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
24/147
练3.1 3x+2 ≤ 2(x+3),
{
2x−1 x
解不等式组 ，并写出不等式组的整数解．
>
3 2
例4 解下列不等式组：
−2−3x
（1）−1 < < 1； （2）4 ≤ 1−3x ≤ 7．
4
练4.1 不等式组−3 ≤ 5−2x < 3的正整数解是__________．
练4.2 代数式2x−1的值小于1，但不小于−1，x的取值范围为___________．
例5 x+8 < 4x−1,
{
若关于x的不等式组 的解集是x > 3，则m的取值范围是________ ．
x > m
练5.1 x+9 < 5x+1
{
若关于x的不等式组 的解集是x > 2，则m的取值范围是（ ）
x > m+1
A： m ≤ 2
B： m ≥ 2
C： m ≥ 1
D： m ≤ 1
练5.2 x−a > b， b
{
若关于x的不等式组 的解集为2 < x < 5，求 的值．
2x−a < 2b+4 a
能力提高 / 初二 / 春季
第 3 讲 一元一次不等式组
自我巩固答案
25/147
1 x > −2， x > 0， {x 2 +1 < x， x+3 > 0， x+1 > 0，
{ { { {
有下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤
x < 3； x+2 > 4； x 2 +2 > 4； x < −7； y−1 < 0.
其中一元一次不等式组的个数有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
2 3x−1 > 2，
{
不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
8−4x ≤ 0
A：
B：
C：
D：
3 不等式组−2 ≤ x+1 < 1的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A：
B：
C：
D：
4 2x+1 ≤ 3
{
不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
x > −3
A：
26/147
B：
C：
D：
5
(1)解不等式组：
2x−1 ≥ x+1，
{
①
x+8 < 4x−1；
x−3 < 0，
{
②
2(x+1) ≤ x+3；
2x−5 < 0，
{
③
x−2(x+1) < 0；
1
{
x−1 < x，
④ 2
2x−4 > 3x+3.
(2) 1−3x 2x−7
解不等式组： < 2 ≤ 1− ．
5 3
6 1
不等式组− < 1−2x < 3的解是（ ）
2
A： 3
−1 < x <
4
B： 3
x <
4
C： x < −1
D： x > −1
27/147
7 3x+10 > 0，
{
16
不等式组 的最小整数解为（ ）
x−10 < 4x
3
A： −2
B： −3
C： −4
D： 7
8 x > m−1
{
关于x的不等式组 的解集为x > −1，则m的值是（ ）
x > m+2
A： −3
B： −2
C： 0
D： 1
9 1
{
(x+2) −3 > 0
关于x的不等式组 2 的解集是x > 4，那么m的取值范围是（ ）
x > m
A： m ≤ 4
B： m < 4
C： m ≥ 4
D： m > 4
10 3x−1 > 4(x−1)，
{
关于x的不等式组 的解集为x < 3，那么m的取值范围为（ ）
x < m
A： m = 3
B： m > 3
28/147
C： m < 3
D： m ≥ 3
能力提高 / 初二 / 春季
第 3 讲 一元一次不等式组
课堂落实答案
1 3x+1 > 4，
{
不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
2x−1 ≤ 3
A：
B：
C：
D：
2 x−1 ≤ 0，
{
不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
2x+4 > 0
A：
B：
C：
D：
3 1
{
x+1 ≥ 3，
不等式组 2 的最大整数解为（ ）
x−2(x−3) > 0
A： 8
29/147
B： 6
C： 5
D： 4
4 2x−1 < 3，
{
若不等式组 的解集是x < 2，则a的取值范围是（ ）
x < a
A： a < 2
B： a ≤ 2
C： a ≥ 2
D： 无法确定
5 x−a ≥ b−1，
{
已知关于x的不等式组 的解集为1 ≤ x < 3，试求a，b的值．
2x+a < 2b
能力提高 / 初二 / 春季
第 3 讲 一元一次不等式组
精选精练
1 某同学在解不等式组的过程中，画的数轴除不完整外，没有其它问题．他解的不等式组可能是
（ ）
A：
{
x−3 > 0，
x+1 ≤ 0
B：
{
x−3 ≤ 0，
x+1 > 0
C：
{
x−3 < 0，
x+1 ≥ 0
30/147
D：
{
x−3 ≥ 0，
x+1 < 0
2 1 3
不等式组x−2 < x+1 ≤ 2+ x的最大整数解为（ ）
2 2
A： −1
B： 0
C： 5
D： 6
3 x+2 > 0
{
不等式组 x−4 ≥ 0的解集是_____．
x−6 ≤ 0
4 等腰三角形的周长为20，则腰长x的取值范围是_____________．
5 2x−b ≥ 0,
{
若关于x的不等式组 的解集为3 ≤ x ≤ 4，则不等式ax+b < 0的解集为________．
x+a ≤ 0
6 x−a > −1
{
已知关于x的不等式组 的解集中任意一个x的值均不在0 ≤ x ≤ 4的范围内，则a的取值
x−a ≤ 2
范围是（ ）
A： a > 5或a < −2
B： −2 ≤ a ≤ 5
C： −2 < a < 5
D： a ≥ 5或a < −2
能力提高 / 初二 / 春季
31/147
第 4 讲 含参不等式
例题练习题答案
例1 5x−1 > 3(x+1)
{
x−3 3−4x
（1） < 6− ；（2） 1+2x ．
4 2 > x−1
3
练1.1 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
4x > 2x−6
{
1−x ≤ −2
{
x−1 x+1
（1） ；（2） ．
3(x−1) < x+5 ≤
3 9
例2 关于x的方程2x−m = 4的解是非负数，求m的取值范围．
练2.1 已知关于x的方程5(x−1) = x+3m−11的解都是非正数，则m的取值范围为_____________．
例3 5x+2y = 11a+18
{
已知关于x，y的方程组 ．
2x−3y = 12a−8
（1）用含a的式子表示x，y；
（2）x > 0，y > 0，求a的取值范围．
练3.1 2x−y = m
{
已知关于x、y的方程组 满足x < 0且y < 0，则m的取值范围是（ ）
x−2y = 2−m
A： 4
m >
3
B： 4
m <
3
C： 2 4
< x <
3 3
D： 2
m <
3
32/147
例4 4x−y = 2m
{
已知关于x，y的方程组 的解满足不等式x−y < −2，求m的取值
2x+y = m+1
范围．
练4.1 3x+y = 1+3m
{
已知关于x，y的方程组 的解满足x+y > 0，则m取值范围是（ ）
x+3y = 1−m
A： m > 1
B： m < −1
C： m > −1
D： m < 1
例5
(1) 1
{
x−1 < 0
若关于x的不等式组 2 有解，则m的取值范围是（ ）
x > m
A： m > 2
B： m < 2
C： m ≥ 2
D： m ≤ 2
(2) { 1+x > a
若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是___________．
2x−4 < 0
练5.1
(1) { x−3m < 0
若关于x的一元一次不等式组 无解，则m的取值范围为（ ）
x+2m > 7
A： 7
m ≤
5
33/147
B： 7
m >
5
C： 7
m > −
5
D： 7
m ≤ −
5
(2) t−2(t−1) ≤ 3
{
关于x的方程3x+m = 7的解是正整数，且关于t的不等式组 2m+2+t 有解，则符合条件
≥ t
3
的整数m的值的和为（ ）
A： 4
B： 5
C： 3
D： −2
例6 若关于x的不等式3 < x < a有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A： 5 ≤ a < 6
B： 5 < a ≤ 6
C： 6 < a ≤ 7
D： 6 ≤ a < 7
练6.1 已知关于x的不等式3x−m+1 > 0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（ ）
A： 4 ≤ m < 7
B： 4 < m < 7
C： 4 ≤ m ≤ 7
D： 4 < m ≤ 7
34/147
例7 x−a < 1
{
若关于x的不等式组 的整数解有3个，则a的取值范围是（ ）
x ≥ 1
A： 3 < a ≤ 4
B： 2 < a ≤ 3
C： 2 ≤ a < 3
D： 3 ≤ a < 4
练7.1 x−a ≥ 0
{
已知关于x的不等式组 的整数解有5个，则a的取值范围是_____．
3−2x > −1
能力提高 / 初二 / 春季
第 4 讲 含参不等式
自我巩固答案
1 3x−2y = 3t+2
{
已知关于x，y的二元一次方程组 ，当A = x−2y且−1 < t ≤ 2，求A的取值范围．
x+2y = t−2
2 3x+y = 1+a
{
若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y < 505，则a的取值范围（ ）
x+3y = 3
A： a > 2016
B： a < 2016
C： a > 505
D： a < 505
3 2x+y = 1+3m
{
已知关于x，y的方程组 的解x，y满足x+y < 1，且m为正数，求m的取值范围．
x+2y = 1−m
35/147
4 x+y = 2a+7
{
已知关于x，y的方程组 ．
x−2y = 4a−3
(1)若a = 2，求方程组的解；
(2)若方程组的解x，y满足x > y，求a的取值范围并化简|8a+11|−|10a+1|．
5 x−m ≥ 0
{
若关于x的不等式组 有解，则m的取值范围是？
5−2x ≥ 0
6 x−m < 0
{
关于x的不等式组 无解，那么m的取值范围为（ ）
3x−1 > 2(x−1)
A： m ≤ −1
B： m < −1
C： −1 < m ≤ 0
D： −1 ≤ m < 0
7
(1) 1 < x ≤ 2
{
若不等式组 无解，则k的取值范围是（ ）
x > k
A： k ≤ 2
B： k < 1
C： k ≥ 2
D： 1 ≤ k < 2
(2) x−a ≥ 0
{
已知关于x的不等式组 只有四个整数解，则实数a的取值范围是_______．
5−2x > 1
(3)定义[x]表示不大于x的最大整数，即x的整数部分．例如[4.7] = 4．
①根据定义，[π] = ________，[2] = ________，[−1.4] = _________；
36/147
②比较x、x+1、[x]、[x] +1的大小关系，按照从小到大的顺序用不等号连接的结果为
_________________；
1 1
[ ]
③解方程： 3x− = 2x+ ．
2 4
8 1
{− (x−a) > 0
2
若整数a使关于x的方程x+2a = 1的解为负数，且使关于x的不等式组 无解，则所有
2x+1
x−1 ≥
3
满足条件的整数a的值之和是（ ）
A： 5
B： 7
C： 9
D： 10
9 x−2(x−1) ≤ 3
{
x+3y = 3−2k
{
关于x，y的方程组 的解满足x+y > 0，且关于x的不等式组 2k+x 有
3x+y = 1+k ≥ x
3
解，则符合条件的整数k的值的和为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
10 x−a > 0
{
已知关于x的不等式组 有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
3x+4 < 13
A： a > −1
B： −1 ≤ a < 0
37/147
C： −1 < a ≤ 0
D： a ≤ 0
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第 4 讲 含参不等式
课堂落实答案
1 x−y = a+3
{
已知关于x，y的方程组 的解满足x > y > 0，求a的取值范围．
2x+y = 5a
2 2x−1 < 3，
{
若不等式组 的解集是x < 2，则a的取值范围是（ ）
x < a
A： a < 2
B： a ≤ 2
C： a ≥ 2
D： 无法确定
3 5−3x ≥ 0
{
若关于x的不等式组 有实数解,则实数m的取值范围是（ ）
x−m ≥ 0
A： 5
m ⩽
3
B： 5
m <
3
C： 5
m >
3
D： 5
m ⩾
3
38/147
4 x ≤ m+1
{
若关于x的不等式组 无解，则m的取值范围是__________．
x+4 ≥ 3(m+1)
5 已知关于x的不等式a ≤ x < b的整数解为7，8，9，10．当a，b为实数时，a，b的取值范围分别
为：_________，_________．
能力提高 / 初二 / 春季
第 4 讲 含参不等式
精选精练
1 ax−y = 11
{
整数a使得关于x，y的二元一次方程组 的解为正整数（x，y均为正整数），且使得关
3x−y = 1
1
{
(2x+8) ≥ 7
于x的不等式组 4 无解，则所有满足条件的a的和为（ ）
x−a < 2
A： 9
B： 16
C： 17
D： 30
2 9x−a > 0
{
如果关于x的不等式组 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b的有
8x−b < 0
序数对(a,b)共有_______个．
3 阅读以下材料：
对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最
−1+2+3 4
小的数．例如：M{−1，2，3} = = ；min{−1，2，3} = −1；min{−1，2，a}
3 3
39/147
a(a ≤ −1),
{
=
−1(a > −1).
解决下列问题：
（1）填空：如果min{2，2x+2，4−2x} = 2，则x的取值范围为________．
（2）如果M{2，x+1，2x} = min{2，x+1，2x}，求x．
4 社会主义核心价值观“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚
信、友善”体现了社会主义核心价值理念．我们用“核心符号”[x]来表示不大于x的最大整数（如
[1.5] = 1，[−1.5] = −2，我们把满足[x] = a（a为常数）的x取值范围叫做x的核心范围)(如[x] = 3
的x的核心范围为3 ≤ x < 4,[x] = −1的x的核心范围为−1 ≤ x < 0）．
(1)请直接写出[2.6]的值和[x] = 1的x的核心范围；
(2) x > [−1.2],
{
已知关于x的不等式 有且只有两个整数解，写出这两个整数解并求出a的取值范
x < a
围；
(3) [x] = 2,
{
若关于x的不等式组 无解，求a的取值范围．
a < x ≤ a+2
5 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：对于(x−2)(x−4) > 0，这类不等式我们可以通过下面的解题思路来分析：
x−2 > 0, x−2 < 0,
{ {
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得① ，② ，从而将陌生
x−4 > 0 x−4 < 0
的高次不等式化为学过的一元一次不等式组，分别去解两个不等式组即可求得原不等式的解集，
即：
解不等式组①得x > 4，解不等式组②得x < 2，
所以，(x−2)(x−4) > 0的解集为x > 4或x < 2．
请利用上述解题思想解决下面的问题：
(1)请直接写出(x−2)(x−4) < 0的解集；
(2) m
对于 > 0，请根据除法法则化为我们学过的不等式（组）；
n
40/147
(3) x+3
求不等式 > 0的解集．
x−1
6 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
2
例题：解一元二次不等式x −4 > 0．
2
解：∵x −4 = (x+2)(x−2)，
2
∴x −4 > 0可化为(x+2)(x−2) > 0．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
x+2 > 0, x+2 < 0,
{ {
得① ，② ，
x−2 > 0 x−2 < 0
解不等式组①，得x > 2，
解不等式组②，得x < −2．
2
∴x −4 > 0的解集为x > 2或x < −2，
2
即一元二次不等式x −4 > 0的解集为x > 2或x < −2．
2
（1）一元二次不等式x −16 > 0的解集为____________；
x−1
（2）分式不等式 > 0的解集为_________________．
x−3
能力提高 / 初二 / 春季
第 5 讲 不等式（组）综合
例题练习题答案
例1 根据一条直线上某点，写出形如ax+b>0
如图为一次函数y = ax+b的图象，则
（1）ax+b = 0的解为___________；
（2）不等式ax+b ≥ 0的解集为___________；
（3）不等式ax+b < 0的解集为___________；
（4）不等式ax+b ≤ −3的解集为____________．
41/147
练1.1 一次函数y = kx+b(k ≠ 0)的图象如图所示，则一元一次不等式kx+b > 0的解集为（ ）
A： x > −2
B： x < −2
C： x > 2
D： x < 2
练1.2 一次函数y = kx+b(k ≠ 0)的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b > 2的解集应是____________．
例2 根据两条直线的交点，写出形如ax+b>cx+d的不等式解集如图，直线y = kx+b经过点A(5,0)，
B(1,4)．
42/147
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线y = 2x−4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
(3)根据图象，写出关于x的不等式2x−4 ≥ kx+b的解集．
练2.1 直线l ：y = k x+b与直线l ：y = k x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，
1 1 2 2
则关于x的不等式k x+b < k x+c的解集为（ ）
1 2
A： x > 1
B： x < 1
C： x > −2
D： x < −2
练2.2 如图，直线y = mx经过P(2,1)和Q( −4, −2)两点，且与直线y = kx+b交于点P，则不等式
1 2
kx+b > mx的解集为（ ）
43/147
A： x > 2
B： x < 2
C： x > −4
D： x < −4
例3 在开山工程爆破时，已知导火索燃烧速度为0.5 cm/s，人跑开的速度是4 m/s，为了使放炮的人在
爆破时能安全跑到100 m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式是（ ）
A： x
4× ≥ 100
0.5
B： x
4× ≤ 100
0.5
C： x
4× < 100
0.5
D： x
4× > 100
0.5
练3.1 某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利
润率不低于10%，则至多可打（ ）
A： 六折
B： 七折
C： 八折
D： 九折
44/147
练3.2 在一次奥运知识竞赛中，共有25道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对
得4分，不选或错选扣2分，如果得分不低于60分才能得奖，那么要得奖至少应答对多少道题？
例4 某超市从厂家购进了A，B两种型号的体育器材共100件，总投资不越过1620元，A，B两种型号的
体育器材的进价分别为18元/件和15元/件．
（1）求A型号体育器材至多购进了多少件？
（2）若A，B两种型号的体育器材的售价分别为28元/件和20元/件，A型号体育器材的数量
用m（件）表示，超市售完这100件体育器材的毛利润用w（元）表示，求毛利润w（元）关于
m（件）的函数解析式，并求出毛利润w（元）的最大值．
（注：毛利润 = 售价−进价）
练4.1 学校近期举办了一年一度的经典诵读比赛．某班级因节目需要，须购买A，B两种道具．已知购买1
件A道具比购买1件B道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元．
（1）购买一件A道具和一件B道具各需要多少元？
（2）根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过620元．
①请问道具A最多购买多少件？
②若其中A道具购买的件数不少于B道具购买件数，该班级共有几种方案？试写出所有方案，并求
出最少费用为多少元？
例5 某种笔记本原售价是每本6元，凡一次购买两本或以上可享受优惠价格，第1种：两本按原价，其
余按七折优惠；第2种：全部按原价的八折优惠，若在购买数量相同的情况下，要使第1种比第2种
更优惠，则至少购买笔记本（ ）本．
A： 7
B： 6
C： 5
D： 4
练5.1 甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每把椅子80元．
甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三把椅子；乙厂家：桌子和椅
子全部按原价8折优惠，现某公司要购买3张办公桌和若干把椅子，若购买的椅子数为x把（x ≥ 9
）．
（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；
45/147
（2）顾客到哪个厂家购买更划算？
能力提高 / 初二 / 春季
第 5 讲 不等式（组）综合
自我巩固答案
1
(1)如图为一次函数y = kx+b的图象，则：
①kx+b = 0的解为___________；
②不等式kx+b ≥ 0的解集为___________；
③不等式kx+b < 0的解集为___________；
④不等式kx+b ≥ 3的解集为____________．
(2)如图，已知函数y = x+b和y = ax+3的图象交点为P，则不等式x+b > ax+3的解集为
__________．
(3)如图，直线y = kx+b过点A(0,2)，且与直线y = mx交于点P(1,m)，则不等式组mx > kx+b的
1 2
解集是（ ）
46/147
A： x > 1
B： x < 1
C： x > 2
D： x < 2
2 如图，直线y = kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式kx+b > 0的解集为__________．
3 如图，函数y = kx与y = ax+b的图象交于点P( −4, −2)，则不等式kx < ax+b的解集是( )
A： x < −2
B： x > −2
C： x < −4
D： x > −4
4 学校运动会长跑比赛中，张华跑在前面，离终点100米时，在他身后10米的李明想以4米/秒的速
度冲刺超过张华，假设这时张华需以x米/秒的速度进行以后的冲刺，这样才能在到达终点时始终
保持领先位置，则下列满足题意的不等式为（ ）
47/147
A： 110
x > 100
4
B： 110
x < 100
4
C： 110
x ≥ 100
4
D： 110
x ≤ 100
4
5 某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足
（ ）
A： n ≤ m
B： 100m
n ≤
100+m
C： m
n ≤
100+m
D： 100m
n ≤
100−m
6 某次知识竞赛，共有20道题，每小题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过85分，
他至少要答对（ ）道题．
A： 11
B： 12
C： 13
D： 14
7 某公司经营A，B两种商品，A种商品每件进价9万元，B种商品每件进价5万元，现准备购进A，B
两种商品共20件，所用资金不低于145万元，不高于160万元，该公司的进货方案共有（ ）
48/147
A： 2种
B： 3种
C： 4种
D： 5种
8 为鼓励同学们积极参加体育锻炼，学校计划拿出不超过2400元的资金购买一批篮球和排球，已知
篮球和排球的单价比为5：1，单价和为90元．
(1)篮球和排球的单价分别是多少元？
(2)若要求购买的篮球和排球共40个，且购买的篮球数量多于28个，有哪几种购买方案？
9 某商场用3600元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利600元．其中甲种商品每件进价120元，售
价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．
(1)该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件
数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要
使第二次经营活动获利不少于840元，乙种商品最低售价为每件多少元？
10 张老板要印制名片x张，有甲乙两个经销商来推销，甲经销商的价格是每份定价3元的名片打八
折，但另收900元的制版费，乙经销商的价格是每份名片定价3元不变，但制版费900元打六折．
（1）请直接用含x的式子表示甲、乙两个经销商的费用：甲 ，乙 ；
（2）请你替张老板根据印刷量来选择方案．
能力提高 / 初二 / 春季
第 5 讲 不等式（组）综合
课堂落实答案
1 一次函数y = kx+b(k ≠ 0)的图象如图所示，则一元一次不等式kx+b > 0的解集为（ ）
49/147
A： x > −2
B： x < −2
C： x > 2
D： x < 2
2 如图，函数y = ax+4和y = 2x的图象相交于点A(m,3)，则不等式ax+4 > 2x的解集为（ ）
A： 3
x <
2
B： x < 3
C： 3
x >
2
D： x > 3
3 某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小英得分不低于90分．设她
答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A： 10x−5(20−x) ≥ 90
B： 10x−5(20−x) > 90
C： 10x−(20−x) ≥ 90
D： 10x−(20−x) > 90
50/147
4 某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6辆，那么现在15天的产量就
超过了原来20天的产量．若设原来每天最多能生产x辆，则关于x的不等式为（ ）
A： 15x > 20(x+6)
B： 15(x+6) ≥ 20x
C： 15x > 20(x−6)
D： 15(x+6) > 20x
5 为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒
乓球每个1．5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明
应该买多少个球拍？
能力提高 / 初二 / 春季
第 5 讲 不等式（组）综合
精选精练
1 x+b > 0
{
如图，直线y = x+b和y = kx+2与x轴分别交于点A( −2,0)，点B(3,0)，则 解集为
kx+2 > 0
（ ）
A： x < −2
B： x > 3
C： x < −2或x > 3
D： −2 < x < 3
51/147
2 3x+1 > 0
{
观察下列图象，可以得出不等式组
−0.5x+1 > 0
的解集是（ ）
A： 1
x <
3
B： 1
− < x < 0
3
C： 0 < x < 2
D： 1
− < x < 2
3
3 某市出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元付费，不足1千米
按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路为x千米，则x应满足的关系式为（ ）
A： 14.6−1.2 < 5+1.2(x−3) ≤ 14.6
B： 14.6−1.2 ≤ 5+1.2(x−3) < 14.6
C： 5+1.2(x−3) = 14.6−1.2
D： 5+1.2(x−3) = 14.6
4 某市区现行出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千
米后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付
车费11元，那么甲地到乙地路程的最大值是（ ）
A： 5千米
B： 7千米
52/147
C： 8千米
D： 9千米
5 若干名学生住宿舍,每间住4人,2人无处住;每间住6人,空一间还有一间不空也不满,问多少学生多少宿
舍?设有x间宿舍,则可列不等式(组)为___.
6 元旦联欢会上，班级为同学们买了一批小礼物，如果每个人分3个，还多5个；如果每个人分4个，
就会有一个人能分到但分不到4个，若已知班级学生的人数是奇数，试问这些小礼物共有多少个？
能力提高 / 初二 / 春季
第 6 讲 图形的平移与旋转
例题练习题答案
例1 如图，在△ABC中，∠BAC = 90∘ ，AB = 3，AC = 4，BC = 5，将△ABC沿直线BC向右平移2个单位
得到△DEF，连接AD，则下列结论①AC//DF；②ED⊥DF；③四边形ABFD的周长是16．其中正确
的个数为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 0
练1.1 如图，将△ABC向右平移5cm得到△DEF，如果△ABC的周长是16cm，那么五边形ABEFD的周长
是 cm．
53/147
练1.2 将Rt△ABC沿CB方向平移BE长度的距离后，得到直角三角形DEF，已知AG = 4，BE = 6，DE = 12
，则阴影部分的面积为_________．
例2
(1)对于直线：y = −3x+2，
①将该直线向左平移1个单位后得到直线的解析式为_________________；
②将该直线向上平移5个单位后得到直线的解析式为_________________；
③将该直线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到直线的解析式为_________．
(2)若直线y = mx+n的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的直线的函数解析
式为y = 3x−2，则m = _______，n = _______．
(3)若一次函数y = kx+1的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，平移后的图象与原图象
重合，则k = _______．
练2.1 一次函数y = kx+b的图象，如图所示．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）如果这个一次函数的图象向上平移m个单位得到的图象恰与它向右平移n个单位得到的图象
完全相同，求m，n之间的等式关系．
例3 如图所示，不用量角器，将方格纸中的四边形绕着点O按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的图
形．（不用写过程，直接画出图形即可）
54/147
练3.1 如图，将正方形图案绕中心O旋转180∘
后，得到的图案是（ ）
A：
B：
C：
D：
练3.2 如图，△DEF是由△ABC通过一次旋转得到的，请用直尺和圆规画出旋转中心．
例4 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点
为E，连接BE，下列结论一定正确的是（ ）
55/147
A： AC = AD
B： AB⊥EB
C： BC = DE
D： ∠A = ∠EBC
练4.1 如图，在正方形ABCD中，AB = 3，点E在CD边上，DE = 1，把△ADE绕点A顺时针旋转90∘ ，得到
△ ABE ′ ，连接EE ′ ，则线段EE ′ 的长为（ ）
A： 2√5
B： 2√3
C： 4
D： 2√10
练4.2 点E在正方形ABCD外，BE = 4，CE = 2，∠BEC = 135∘ ，将△BEC绕点B逆时针旋转得到△BFA，
求FE、FC的长．
56/147
例5 如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(5,3)在边AB上，以C为中心，把△CDB
旋转90∘ ，则旋转后点D的对应点D ′ 的坐标是（ ）
A： (2,10)
B： (−2,0)
C： (2,10)或(−2,0)
D： (10,2)或(−2,0)
练5.1
(1) (1,2)绕坐标原点逆时针旋转90∘
得到的点的坐标是_____
(2) 直线y = 2x−2绕坐标原点逆时针旋转90∘ 得到的直线解析式是_____，
(3)求直线y = x+2关于原点对称的直线的解析式．
例6 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A：
B：
C：
57/147
D：
练6.1
(1)下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（ ）
A： 成中心对称的两个图形，连接对称点的线段不一定经过对称中心
B： 成中心对称的两个图形，对称中心不一定平分连接对称点的线段
C： 成中心对称的两个图形，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分
D： 成中心对称的两个图形，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分
(2) 如图，△ABC与△DEF关于O点成中心对称．则AB = ______，BC∥_____，AC = _______，
∠ABC = _______，∠ACO = ________．
(3)作三角形关于点成中心对称图形：已知△ABC和点O，画出△DEF，使 △ DEF与△ABC关于O
成中心对称．
例7 在平面直角坐标系中，若点P(m,m−n)与点Q( −2,3)关于原点对称，则点M(m,n)在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
58/147
C： 第三象限
D： 第四象限
练7.1 2010
已知P (a,3)和P (−4,b)关于原点对称，则(a+b) 的值为（ ）
1 2
A： −1
B： 2010
7
C： 2010
−7
D： 1
练7.2 如图，将三角形ABC绕点C(0,1)旋转180∘ 得到△DEC，若点A的坐标为(3, −1)，则点D的坐标为
（ ）
A： (−3,1)
B： (−2,2)
C： (−3,3)
D： (−3,2)
能力提高 / 初二 / 春季
第 6 讲 图形的平移与旋转
自我巩固答案
1 下列说法错误的是（ ）
A： 平移和旋转都不改变图形的形状和大小
59/147
B： 成中心对称的两个图形中，对应点连线的中点是对称中心
C： 在平移和旋转图形的过程中，对应角相等，对应线段相等且平行
D： 一个图形和它经过旋转后所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等
2 如图，A，B的坐标为(2,0)，(0,1)，若将线段AB平移至A B ，则a+b的值为（ ）
1 1
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
3 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
(1)①若△ABC和△A B C 关于原点O成中心对称，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
②将△ABC绕着点A顺时针旋转90∘ ，画出旋转后得到的△AB C ；
2 2
(2)在x轴上找一点P，使PB +PC 最小，此时PB +PC 的值为 ．
1 1 1 1
60/147
4 如图，在△ABC中，∠CAB = 75∘ ，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB ′ C ′ 的位置，使得
CC ′ //AB，则∠BAB ′ = （ ）
A： 30∘
B： 35∘
C： 40∘
D： 50∘
5 已知直线l :y = 2x−4分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线l 绕点B顺时针旋转90∘ 得到直 线l ，
1 1 2
求直线l 的解析式．
2
6 如图1，在直角△ABC中，AB = AC，D，E是斜边BC上两动点，且∠DAE = 45∘ ，将△ABE绕点A逆
时针旋转90°后，得到△AFC，连接DF．
（1）试说明：△AED≌△AFD；
（2）当BE = 3，CE = 9时，求∠BCF的度数和DE的长；
（3）如图2，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC = ∠DAE = 90∘ ，D是斜边BC所在直
2
线上一点，BD = 3，BC = 8，求DE 的长．
7 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A：
B：
61/147
C：
D：
8 ′ ′
在平面直角坐标系中，将点A(a,b)纵坐标乘以−1，得到点A ，则点A与点A 的关系是（ ）
A： 关于x轴对称
B： 关于y轴对称
C： 关于原点对称
D： 将点A向x轴负方向平移一个单位得到点A′
9 2017
已知点M(a, −2)，B(3,b)关于原点对称，则(a+b) 的值为（ ）
A： −1
B： 0
C： 1
D： 3
10 如图，在6×10正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，作 △ ABC关于点O的中心对
称图形 △ A ′ B ′ C ′ ．
能力提高 / 初二 / 春季
第 6 讲 图形的平移与旋转
课堂落实答案
1 点A(−3, −5)向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（ ）
62/147
A： (1, −8)
B： (1, −2)
C： ( −6, −1)
D： (0, −1)
2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘ ，∠B = 60∘ ，BC = 1，△A ′ B ′ C由△ABC绕点C顺时针旋转得
′ ′ ′ ′ ′ ′
到，其中点A 与点A，点B 与点B是对应点，连接AB ，且A，B ，A 在同一条直线上，则AA 的长
为( )
A．3
A： 3
B： 2√3
C： 4
D： 4√3
3 将正三角形ABC绕它的顶点C按顺时针方向旋转90°，作出旋转后的图形．
4 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A：
B：
63/147
C：
D：
5 在平面直角坐标系中，点P(−2,3)与点Q关于原点对称，则点Q的坐标为（ ）
A： (−2, −3)
B： (3, −2)
C： (2,3)
D： (2, −3)
能力提高 / 初二 / 春季
第 6 讲 图形的平移与旋转
精选精练
1 如图，在 △ ABC中，∠BAC = 60∘ ，将△ABC绕着点A顺时针旋转40∘ 后得到 △ ADE，则
∠BAE = （ ）
A： 80∘
B： 90∘
C： 100∘
D： 110∘
64/147
2 如图所示，在平面直角坐标系中A(0,0)，B(2,0)，△AP B是等腰直角三角形，且∠P = 90∘ ，把△
1 1
AP B绕点B顺时针旋转180∘ ，得到△BP C；把△BP C绕点C顺时针旋转180∘ ，得到△CP D，依此
1 2 2 3
类推则旋转第2017次后，得到的等腰直角三角形的直角顶点P 的坐标为（ ）
2018
A： (4030,1)
B： (4029, −1)
C： (4033,1)
D： (4035, −1)
3 ′ ′ ′
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，△OAB沿x轴向右平移后得到△OA B ，点A的对
4
′ ′
应点A 是直线y = x上一点，则点B与其对应点B 间的距离为 ．
5
4 如图，在△ABC中，AB = 4，BC = 6，∠B = 60∘ ，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到
△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为 ．
5 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A：
65/147
B：
C：
D：
6 如图，将△ABC绕点C(0, −1)旋转180∘ 得到△A ′ B ′ C，设点A ′ 的坐标为(a,b)，则点A的坐标为
（ ）
A： (−a, −b)
B： (−a, −b−1)
C： (−a, −b+1)
D： (−a, −b−2)
能力提高 / 初二 / 春季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A：
66/147
B：
C：
D：
2 下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A：
{
x > 3
y < −2
B： x < 1
{
1
> 2
x
C：
{
x > 2
x < −1
D： {x 2 > x+1
x < 2
3 2
若△ABC三个内角的度数分别为m、n、p，且|m−n|+(n−p) = 0，则这个三角形为( )
A： 等腰三角形
B： 等边三角形
C： 直角三角形
D： 等腰直角三角形
4 如图，函数y = kx与y = ax+b的图象交于点P( −4, −2)，则不等式kx < ax+b的解集是( )
67/147
A： x < −2
B： x > −2
C： x < −4
D： x > −4
5 如图，将周长为8的△DEF 沿CB方向平移1个单位得到△ABC，则四边形ABFD 的周长为（ ）
A： 6
B： 8
C： 10
D： 12
6 若关于x的方程3(x+k) = x+6的解是非负数，则k的取值范围是（ ）
A： k ≥ 2
B： k > 2
C： k ≤ 2
D： k < 2
7 在△ABC中，∠ACB为直角，∠A = 30∘ ，CD⊥AB于D，若BD = 1，则AB的长度是（ ）
A： 4
68/147
B： 3
C： 2
D： 1
8 某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小英得分不低于90分．设她
答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A： 10x−5(20−x) ≥ 90
B： 10x−5(20−x) > 90
C： 10x−(20−x) ≥ 90
D： 10x−(20−x) > 90
9 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，则∠ADE的大小为
（ ）
A： 10°
B： 20°
C： 40°
D： 70°
10 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶
端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小
巷的宽度为（ ）
A： 0.7米
69/147
B： 1.5米
C： 2.2米
D： 2.4米
11 关于x的某个不等式组的解集在数轴上表示为如图,则不等式组的解集为___.
12 如图，在ΔABC中，AB = AC，D为BC的中点，∠BAD = 35∘ ，则∠C的度数为________________．
13 如图，△ABC以点A旋转中心，按逆时针方向旋转60°得到△AB′C′，则△ABB′是___三角形．
14 如图,在△ABC中,BC = 5 cm,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且PD//AB,PE//AC,则
△PDE的周长是___cm.
15 若等腰三角形的一个内角度数为62°，则它的另外两个内角的度数为______________．
16 如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 40∘ ，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC =
___________．
70/147
17 x+2y = 3
{
已知关于x，y的方程组 的解满足不等式x+y < 3，则数a的取值范围是 ．
2x+y = 6a
18 如图，有一个直角 △ ABC，∠C = 90∘ ，AC = 6，BC = 3，一条线段PQ = AB，P、Q两点分别
在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP = ________时，才能使以点P、A、Q为顶
点的三角形与 △ ABC全等．
19 x−3
{
+3 ≥ x
解不等式组： 2 把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解．
3(x+2) > x+2
20 如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：AD是线段EF的垂直平分
线．
21 如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将△ABC向下平移4个单位，得
到△A ′ B ′ C ′ ，再把△A ′ B ′ C ′ 绕点C ′ 顺时针旋转90∘ ，得到△A″B″C″，请你画出△A ′ B ′ C ′ 和△A″B″C″
（不要求写画法）．
71/147
22 x−a > b b
{
若关于x的不等式组 的解集为2 < x < 5，求 的值．
2x−a < 2b+4 a
23 某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．
（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？
（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数2倍少4件，如果购买A、B两种商品的总件
数不少于32件，且该商店购买A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方
案？
24 x+y = −7−m
{
已知方程组 的解满足x为非正数，y为负数．
x−y = 1+3m
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m−3|−|m+2| ；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x < 2m+1的解为x > 1．
25 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC+∠B = 180∘ ．
求证：（1）BC = CD；（2）2AE = AB +AD．
26 x−m ≥ 0
{
若关于x的不等式组 有解，则m的取值范围是？
5−2x ≥ 0
27 如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形．其中线段BD交AC于点
G，线段AE交CD于点F．
72/147
（1）△ACE≌△BCD；
（2）△GFC是等边三角形．
能力提高 / 初二 / 春季
第 8 讲 旋转模型
例题练习题答案
例1
(1)如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，C点在BD上，AC，BE交于点G，AD，CE交于点F．
证明：①AD = BE；②△CGF是等边三角形．
(2)已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形．
求证：CF平分∠AFB．
73/147
练1.1 已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD，BE相交于点
P，AC，BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD = BE；②∠BMC = ∠ANC
；③∠APM = 60∘ ；④AN = BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有___________．
例2 如图，在△ABC中，D在AB上，且△CAD和△CBE都是等边三角形．
求证：（1）∠EDB = 60∘ ；（2）DE = CD+DB．
练2.1 已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点共线．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：DA −DB = DC．
74/147
例3 （1）如图，已知△ABE与△AFC都是等腰直角三角形，CE，BF相交于点M，
求证：EC⊥BF．
（2）如图，四边形ABCD，DEFG都是正方形，连接AE，CG．
求证：AE = CG．
练3.1 如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，且∠ACB = ∠DCE = 90∘ ．点A，D，E在同一直线
上，连接BE．
（1）求证：AD = BE；
（2）判断线段AE与BE的位置关系，并说明理由．
例4 已知：在△AOB和△COD中，OA = OB，OC = OD．
（1）如图1，若∠AOB = ∠COD = 60∘ ，求证：①AC = BD；②∠APB = 60∘ ．
（2）如图2，若∠AOB = ∠COD = α，则AC与BD间的等量关系式为________，∠APB的大小为
________．（直接写出结果，不证明）
75/147
练4.1 如图，点O为线段AB上的任意一点（不与A，B重合），分别以AO，BO为一腰在AB的同侧作等腰
△AOC和△BOD，OA = OC，OB = OD，∠AOC与∠BOD都是锐角，且∠AOC = ∠BOD，AD与BC
相交于点P，∠COD = 110∘ ，则∠APB = __________ ∘ ．
练4.2 7．在△ABC中，AB = AC，D是线段BC的延长线上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使
AE = AD，∠DAE = ∠BAC，连接CE．
（1）如图，点D在线段BC的延长线上移动，若∠BAC = 40∘ ，则∠DCE = _________°．
（2）设∠BAC = m，∠DCE = n．
①如图，当点D在线段BC的延长线上移动时，m与n之间的数量关系为_____________________．
②当点D在直线BC上（不与B、C重合）移动时，m与n之间的数量关系为_____________________．
能力提高 / 初二 / 春季
第 8 讲 旋转模型
自我巩固答案
76/147
1 如图，△ABC中，AB = BC，∠ABC = 90∘ ，点D在CB的延长线上，点E在AB上，且DB = EB．当
∠ACE = 30∘ 时，∠DAC的度数是（ ）
A： 45∘
B： 60∘
C： 75∘
D： 90∘
2 如图所示，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE，∠1 = 25∘ ，∠2 = 30∘ ，则∠3的角度为（ ）
A： 60∘
B： 55∘
C： 50∘
D： 无法计算
3 如图，OA = OC，OB = OD且OA⊥OB，OC⊥OD，下列结论：①△AOD≌△COB；②CD = AB；
③
77/147
∠CDA = ∠ABC，其中正确的结论是（ ）
A： ①②
B： ①②③
C： ①③
D： ②③
4 如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B，C，D三点在一条直线上，AD与BE相交于点
P，AC，BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD = BE；②∠BMC =
∠ANC；③∠APM = 60∘ ；④CP平分∠MCN；⑤△CMN是等边三角形．其中，一定正确的有
（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
5 如图所示，已知△ABC，分别以AB，AC边作图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE = AB，AF = AC，下列
结
论：①△AEC≌△ABF；②EC = FB；③EC⊥FB；④MA平分∠EMF，正确的有（ ）
78/147
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
6 如图，点B，C，E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是
（ ）
A： △ACE≌△BCD
B： △BGC≌△AFC
C： △DCG≌△ECF
D： △DBA≌△CEA
7 在△ABC中，AB = AC，点D为射线CB上一个动点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧
作△ADE，使AD=AE，∠DAE = ∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE．如图，若
∠BAC = 60∘ ，求证：△CEF是等边三角形．
79/147
8 在△ABC中，∠BAC = 90∘ ，AB = AC，AD⊥BC，过D作DE⊥DF．
求证：DE = DF．
9 如图，已知，△ABC和△ADE均为等边三角形，BD，CE交于点F．
（1）求证：BD = CE；
（2）求锐角∠BFC的度数．
10 图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形．
（1）如图1，求证：AD = CE；
（2）如图2，设CE与AD交于点F，连接BF．
①求证：∠CFA = 60∘ ；②求证：CF +BF = AF．
80/147
能力提高 / 初二 / 春季
第 8 讲 旋转模型
课堂落实答案
1 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等
边△CDE，AD与BE交于点O，求证：∠AOB = 60∘ ．
2 如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE，
若CD = 1，CE = 4，则BC的长度为（ ）
A： 4
B： 6
C： 5
D： 8
3 如图，在△ABC和△ADE中，AC = AB，AE = AD，∠CAB = ∠EAD = 90∘ ，则CE与BD之
间的关系为______________________．
81/147
4 已知点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且
CA = CD，CB = CE，∠ACD = ∠BCE，直线AE与BD交于点F．如图，若∠ACD = 60∘ ，则
∠AFD = _____°．
5 如图，△ABC为等边三角形，D为AC上一点，以BD为一边作等边△DBE，连接AE，
则AE，AC，AD之间的关系为__________________．
能力提高 / 初二 / 春季
第 8 讲 旋转模型
精选精练
82/147
1 如图，已知△ABC，AB = AC，∠BAC = 90∘ ，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别
交AB，AC于E，F，给出以下五个结论：①EF = CP；②CF = AE；③2PF = EF； ④
∠AEP +∠AFP = 180∘ ；⑤当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），
1
S = S ．上述结论中正确的有（ ）
四边形AEPF △ABC
2
A： ①②④⑤
B： ①②⑤
C： ①③④⑤
D： ②④⑤
2 如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角
形CDE，
AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论错误的是（ ）
A： PQ//AE
B： AP = BQ
C： DE = DP
D： ∠AOB = 60∘
3 在△ABC中，AB = CB，∠ABC = 90∘ ，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE = CF，若
∠CAE = 35∘ ，求∠ACF的度数为___________°．
83/147
4 在△ABC中，∠ABC = 45∘ ，AD，BE分别为BC，AC边上的高，AD，BE相交于点F，下列结论：①
∠FCD = 45∘ ；②AE = EC；③ ；④若BF = 2EC，则△FDC周长等于AB的
长．正确的是（ ）
A： ①②
B： ①③
C： ①④
D： ①③④
5 如图，在Rt△ABC中，∠BAC = 90∘ ，AC = 2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45∘ 的直角三角
板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的
数量及位置关系，并证明你的猜想．
6 问题情境：在课堂上，兴趣学习小组对一道数学问题进行了深入探究，在Rt△ABC中，
∠ACB = 90∘ ，∠A = 30∘ ，点D是AB的中点，连接CD．
84/147
探索发现：
（1）如图①，BC与BD的数量关系是___________；
猜想验证：
（2）如图②，若P是线段CB上一动点（点P不与点B，C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针
旋转60∘
，得到线段DF，连接BF，请猜想BF，BP，BD三者之间的数量关系，并证明你的结论；
拓展延伸：
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出
BF，BP，BD三者之间的数量关系．
能力提高 / 初二 / 春季
第 9 讲 因式分解高阶
例题练习题答案
例1 （1）因式分解：x(x−2) +x−2 = _________．
（2）因式分解：(4a−3)a+4a−3 = _________．
练1.1 因式分解：(2a+1)a−4a−2 = _________．
例2 分解因式：
2 2 2
（1）2x −8；（2）a (x−y) −b (x−y)；
2 2 2 2 3
（3）3ax +6axy+3ay ；（4）3x y−18xy +27y ．
练2.1 3 2
把8a −8a +2a进行因式分解，结果正确的是（ ）
85/147
A： ( 2 )
2a 4a −4a+1
B： 2
8a (a−1)
C： 2
2a(2a−1)
D： 2
2a(2a+1)
例3 用十字相乘法进行因式分解：
2 2
（1）x +5x+6 （2）a −5a+6
2 2
（3）k +7k−8 （4）b −5b−14
2
2 2
（5）c −12+4c （6）n −n+
9
练3.1
(1) 2
用十字相乘法分解因式：2x −5x−3 = (x−3)________；
(2) 2
分解因式：2x +9x−5．
练3.2 2
因式分解4x +8x+3的结果是（ ）
A： (2x+1)(2x+3)
B： (4x−1)(x+4)
C： (2x−1)(2x+3)
D： (4x+1)(x−4)
例4
(1) 2 2
分解因式：x −xy−2y = __________________；
86/147
(2) 2 2
把6m +6n −13mn分解因式的结果是（ ）
A： (3m+2n)(2m−3n)
B： (6m−n)(m−6n)
C： (6m−n)(m+n)
D： (2m−3n)(3m−2n)
练4.1
(1) 2 2
分解因式：x y −75xy−2500 = __________________；
(2) 2 2
分解因式：x −5xy+6y = __________________．
例5
(1) 2 2 2 2
分解因式：a b −a −b −2ab；
(2) 2 2
分解因式：1−4x +8xy−4y = __________________．
练5.1
(1)把ab−a−b+1分解因式的结果为（ ）
A： (a+1)(b+1)
B： (a+1)(b−1)
C： (a−1)(b−1)
D： (a−1)(b+1)
(2) 2
已知a−b = 3，b−c = −4，则代数式a −ac−b(a−c)的值为（ ）
A： 4
B： −4
C： 3
D： −3
87/147
能力提高 / 初二 / 春季
第 9 讲 因式分解高阶
自我巩固答案
1 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A： 2
x −9+6x = (x+3)(x−3) +6x
B： 2
(x+5)(x−2) = x +3x−10
C： 2 2
x −8x+16 = (x−4)
D： 6ab = 2a⋅3b
2 各式从左到右的变形中，是因式分解的有（ ）
2
①x −1 = (x+1)(x−1)；
2
②x(x−y) −y(x−y) = (x−y) ；
2 2 4
③(x+1) (x−1) = x −1；
2 2 2
④a −4ab+4b = (a−2b) ．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
3 下列各式，因式分解正确的是（ ）
A： 2 2
x y+xy +xy = xy(x+y)
B： 2 2 2
a −b = (a−b)
C： 2 2 2
16a −8ab+b = (4a−b)
88/147
D： 2 2 2
a +ab+b = (a+b)
4 分解因式：
（1）3m(b−c) −2n(c−b)；
（2）(a−b)(a−4b) +ab．
5 4 2
因式分解a −2a −8的结果是（ ）
A： ( 2 )
(a+2)(a−2) a +2
B： ( 2 )( 2 )
a +4 a −2
C： ( 2 )( 2 )
a −8 a −7
D： ( 2 )
(a+2)(a−2) a +7
6 2 2
把多项式x +3xy−4y 分解因式，正确的结果是（ ）
A： (x+4y)(x−y)
B： (x−4y)(x−y)
C： (x+4y)(x+y)
D： (x−4y)(x+y)
7 2
把多项式(x−y) −2(x−y) −8分解因式，正确的结果是（ ）
A： (x−y+4)(x−y+2)
B： (x−y−4)(x−y−2)
C： (x−y−4)(x−y+2)
D： (x−y+4)(x−y−2)
8 2 2
用分组分解法把多项式4x −2x−y −y分解因式，正确的分组方法应该是（ ）
A： ( 2 ) ( 2 )
4x −y − 2x+y
B： ( 2 2 )
4x −y −(2x+y)
89/147
C： 2 ( 2 )
4x − 2x+y +y
D： ( 2 ) ( 2 )
4x −2x − y +y
9 2 2
分解因式：9−a +4ab−4b ．
10 观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学的因式分解过程：
2
甲：x −xy+4x−4y
( )
2
= x −xy +(4x−4y)（分成两组）
= x(x−y) +4(x−y)（直接提公因式）
= (x−y)(x+4)．
2 2 2
乙：a −b −c +2bc
( )
2 2 2
= a − b +c −2bc （分成两组）
2 2
= a −(b−c) （运用完全平方公式）
= (a+b−c)(a−b+c)（再运用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
3 2 2 2
（1）m −2m −4m+8； （2）x −2xy+y −9．
能力提高 / 初二 / 春季
第 9 讲 因式分解高阶
课堂落实答案
1 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A： 2
(x+3)(x+2) = x +5x+6
B： 2
4x −9+6x = (2x+3)(2x−3) +6x
C： 2 2
x +10x+25 = (x+5)
D： 2 2
10a b = 2a ⋅5b
90/147
2 因式分解：
2 2 2 2
（1）2am −2an ； （2）(m+n) −4(m−n) ．
3 3 2
分解因式：2x −6x +4x = __________________．
4 2 2
分解因式：x y −84xy−1600 = __________________．
5 2 2
分解因式：a −2ab+b −4 = __________________．
能力提高 / 初二 / 春季
第 9 讲 因式分解高阶
精选精练
1 下列从左到右的变形：
2
（1）10x y = 2xy⋅5x；
2 2
（2）a −b = (a−b)(a+b)；
2 2
（3）a −2a+1 = (a−1) ；
1
( )
2
（4）x +x+1 = x x+1+ ，
x
其中是因式分解的个数是（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
2 因式分解：
2 2
（1）9(m+n) −16(m−n) ；
2
（2）(x+y) −10(x+y) +25．
91/147
3 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
2 2 3
1+x+x(x+1) +x(x+1) = (1+x)[1+x+x(x+1)] = (1+x) (1+x) = (1+x)
（1）上述因式分解的方法是______________法，共应用了______次，
2 2012
（2）若分解1+x+x(x+1) +x(x+1) +…+x(x+1) ，则需要应用上述方法____________次，
分解因式后的结果是_____________．
2 n
（3）请用以上的方法分解因式：1+x+x(x+1) +x(x+1) +…+x(x+1) ，（其中n为正整
数），必须有具体过程．
4 2
已知x −4x+n因式分解的结果为(x+2)(x+m)，则n = ___________．
5 2 2
分解因式：4x +4xy+y −4x−2y−3．
6 3 2 2 3
若一个长方形的周长为32，长为x，宽为y，且满足x +x y−xy −y = 0，求这个长方形的面积．
能力提高 / 初二 / 春季
第 10 讲 分式
例题练习题答案
例1
(1) 2 3
1 2xy 3a b 5 x y 10
在式子 ， ， ， ， + ，9x+ 中，属于分式的有（ ）
y π 4 6+x 7 8 y
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
(2) x
若分式 无意义，则x的值为___________；
|x|−1
92/147
(3)下列各式中，x满足什么条件时，分式的值为0？
2x+1 |x|−9
① ； ② ．
3x−1 x+9
练1.1
(1) x−2
使分式 有意义，x的取值应该满足（ ）
(x+1)(x−2)
A： x ≠ −1
B： x ≠ 2
C： x ≠ −1或x ≠ 2
D： x ≠ −1且x ≠ 2
(2) x−3
若分式 的值为0，则x的值为___________．
2x−3
例2 若x，y的值均扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？
x+y xy x−y
（1） ； （2） ； （3） ．
x−y x−y 2 2
x +y
练2.1 x+y
将分式 中x，y的值均变为原来的2倍，则分式的值（ ）
2 2
x +y
A： 1
缩小为原来的
2
B： 扩大为原来的2倍
C： 不变
D： 不能确定
93/147
例3 1 2
x− y
2 3
不改变分式 的值，将分子和分母中各项的系数化为整数，得到____________．
1 1
x+ y
3 4
练3.1 0.3x+0.2y
不改变分式 的值，将分子和分母中各项的系数化为整数，得到（ ）.
0.4y+2
A： 3x+2y
4y+2
B： 3x+2y
4y+20
C： 3x+2y
0.4y+2
D： 3x+2y
0.4y+20
练3.2 0.5x−1
不改变分式 的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，所得结果正确的为（ ）
0.3x+2
A： 5x−1
3x+2
B： 5x−10
3x+20
C： 2x−1
3x+2
D： x−2
3x+20
例4 下列各式中，变形正确的是（ ）
94/147
A： −3x 3x
− =
5y −5y
B： a+b −a+b
− =
c c
C： −a−b a−b
=
c −c
D： a a
− =
b−a a−b
练4.1 不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数．
2
−1+x
（1） = __________________；
2
−1−x
2
−x −x+1
（2） = _______________．
2
−x +x−1
例5 约分：
2 3 2
12x y (x−a) x(x+y)
（1） ； （2） ； （3） ．
3 2 3 2
−9x y (x−a) (x+y)
例6 约分：
2 2
a +3ab x −9
（1） ； （2） ．
2 2
3b +ab x +6x+9
练6.1 约分：
2 2 2
a −36 x −2xy+y
（1） ； （2） ．
2a+12 2 2
x −y
例7 计算：
95/147
a+2 1
（1） ⋅ ；
a−2 2
a +2a
2
a−1 a −1
（2） ÷ ．
2 2
a −4a+4 a −4
练7.1 2
x −1 1
计算： ⋅ ．
2 x+1
x −2x+1
练7.2 2 2
x −4 x +2x
计算： ÷ ．
2 2−x
x −4x+4
能力提高 / 初二 / 春季
第 10 讲 分式
自我巩固答案
1 2
2 1 x +1 3xy 3 1
， ， ， ， ，a+ 中属于分式的有（ ）
n 5 2 π x+y m
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
2 下列判断错误的是（ ）
A： 2 x+1
当x ≠ 时，分式 有意义
3 3x−2
96/147
B： ab
当a ≠ b时，分式 有意义
2 2
a −b
C： 1 2x+1
当x = − 时，分式 的值为0
2 4x
D： 2 2
x −y
当x ≠ y时，分式 有意义
y−x
3 x+2
若分式 的值为零，则（ ）
x−3
A： x = 3
B： x = −2
C： x = 2
D： x = −3
4 2
x −1
若分式 的值为0，则x的值为（ ）
x
A： −1
B： 1
C： ±1
D： 0
5 根据分式的基本性质，完成下列各等式．
2
1 ( ) xy ( )
（1） = (b ≠ 0)； （2） = ；
a ab 2 x
x y
2
3a 6ab x y ( )
（3） = (b ≠ 0)； （4） = ；
a+b ( ) 2 y
xy
97/147
( ) 2 2m ( )
( )
（5）3x−2 = x ≠ − ； （6） = ．
3x+2 3 m−n 2
(n−m)
6 0.3x+y
不改变分式的值，把分式 中分子和分母的系数化为整数．
0.02x−0.1y
7 ab
如果把分式 中的a和b都扩大为原来的2倍，那么分式的值一定（ ）
a+b
A： 是原来的2倍
B： 是原来的4倍
C： 1
是原来的
2
D： 不变
8 2
x
把分式 中的x和y都扩大为原来的3倍，分式的值（ ）
2x+y
A： 不变
B： 扩大为原来的3倍
C： 1
缩小为原来的
3
D： 扩大为原来的9倍
9 2 2
2a+2b a −b
计算： ÷ ．
3ab 2
9a b
10 2
−a (2a ) a
( )2 2
计算： ÷ ⋅ ．
b 5b 5b
98/147
能力提高 / 初二 / 春季
第 10 讲 分式
课堂落实答案
1 下列式子是分式的是（ ）
A： x
2019
B： 2019
x
C： x
2019π
D： x+y
2019
2 2x
如果分式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
x+5
A： x ≠ 0
B： x ≤ −5
C： x ≥ −5
D： x ≠ −5
3 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
A： 0.3a+b 3a+b
=
a+0.4b a+4b
99/147
B： 2
a −4 a+2
=
2 a−2
(a−2)
C： −a+b a+b
= −
c c
D： a ac
=
2b 2bc
4 xy
如果分式 中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
2x+3y
A： 扩大为原来的2倍
B： 1
缩小为原来的
2
C： 扩大为原来的4倍
D： 不变
5 2
m +mn mn
化简 ÷ 的结果是（ ）
m−n m−n
A： m+n
n
B： 2
m
m−n
C： m−n
n
D： 2
m
能力提高 / 初二 / 春季
100/147
第 10 讲 分式
精选精练
1 下列判断错误的是（ ）
A： 2
a −2a
代数式 是分式
a
B： 1 x+2
当x = 时，分式 没有意义
2 2x−1
C： 1 2a+1
当a = − 时，分式 有意义
2 a
D： x+3
当x = −3时，分式 的值为0
2x+6
2 2
使式子 有意义的x的取值范围是 ．
2x+1
3 |x|−1
若分式 的值为0，则x等于（ ）
(x+3)(x−1)
A： 1
B： 1或−3
C： −1或1
D： −1
4 2
x −16
当x = ________时，分式 的值为零．
(x+3)(x−4)
101/147
5 1 1
x− y
5 7
不改变分式 的值，将分子和分母中各项的系数化为整数，得到______________．
1
x−0.2y
2
6 阅读材料：
2
x 1 x
已知 = ，求 的值．
2 3 4
x +1 x +1
2
x 1 x +1 1
解：由 = 得 = 3，则有x+ = 3，
2 3 x x
x +1
4
x +1 1 1
2
2 2
由此可得 = x + = (x+ ) −2 = 3 −2 = 7；
2 2 x
x x
2
x 1
所以 = ．
4 7
x +1
请理解上述材料，并求解如下问题：
2
x x
已知 = a（a ≠ 0），用含a的代数式表示 的值．
2 4 2
x +x+1 x +x +1
能力提高 / 初二 / 春季
第 11 讲 分式的运算
例题练习题答案
例1 填空：
( y )
3
（1） − = __________；
2
3x
102/147
2
( a )
2
（2） = __________．
3
3b c
练1.1 填空：
2
( a )
4
（1） = __________；
3
−b
2
(−3x )
3
（2） = __________．
2
2y z
例2 2
(3a) c −3c
( )3
2
计算：(−2abc) ÷ ⋅ ．
3 b
b
练2.1 计算：
b ax 8a
( )2 ( )
（1） ÷ − ⋅ ；
2ax 3b 3
b
2
a 3ac 2b
( )2
（2） − ÷ ⋅ ．
b 4b 3a
例3 通分：
(1) 2
c a
与− ；
2 4 3
a b bc
(2) 1 x
与 ．
2 4−2x
x −4
练3.1 x+1 x
与 的通分结果为____________________．
3x 3x+6
103/147
练3.2 2x x
通分： 与 ．
2 2x+6
x −9
例4 计算：
2a 10
（1） − ；
a−5 a−5
2x x
（2） − ．
x−1 1−x
练4.1 计算：
a+3 a−2
（1） − ；
a+2 a+2
3x 3y
（2） + ．
x−y y−x
例5 计算：
a 1
（1） − ；
2 2 2a−10b
a −25b
2
2b
（2）a−b+ ．
a+b
练5.1 4x x
计算： − ．
2 x−2
x −4
例6 x+1 2x 1 1
( )2 ( )
计算： ⋅ − − ．
x x+1 x−1 x+1
练6.1 2
x y x 2y
( )2
计算： ⋅ − ÷ ．
2y 2x 2 x
y
104/147
能力提高 / 初二 / 春季
第 11 讲 分式的运算
自我巩固答案
1 下列计算错误的是（ ）
A： 3y x 1
⋅ =
2 3y x
x
B： 1
( )
2 2
a −b ⋅ = a−b
a+b
C： 2 1 2
÷ =
2 x−1 x+1
x −1
D： 3b
2
− ÷ 2ab = −6b
a
2 2
x (x ) x
( )2 3 ( )4
计算 − ⋅ ÷ 的结果是（ ）
y y y
A： 4
x
B： 4
x
2
y
C： 4
x
y
D： 4
−x
105/147
3 2 2
2a+2b a −b
计算： ÷ ．
3ab 2
9a b
4 2
−a (2a ) a
( )2 2
计算： ÷ ⋅ ．
b 5b 5b
5 x 1 1
通分： ， ， ．
2x+2 2 2
x +x x −1
6 下列计算正确的是（ ）
A： 1 1 1
+ =
2a 2b 2(a+b)
B： 1 1
+ = 0
a−b b−a
C： c c+1 1
− =
a a a
D： b b 2b
+ =
a c ac
7 2
a 1−2a
化简 − 的结果为（ ）
a−1 1−a
A： a+1
a−1
B： a−1
C： a
D： 1
106/147
8 a 4
化简 − 的结果是（ ）
a−2 2
a −2a
A： a+2
B： a
a+2
C： a
D： a+2
a
9 化简：
a 1
（1） − ；
2 2 3a+12b
a −16b
2a+4
（2） +1．
2
a −4
10 2
( 2 x+5 ) x +3x
化简： + ÷
x+2 2 x+2
x +4x+4
能力提高 / 初二 / 春季
第 11 讲 分式的运算
课堂落实答案
1 2
m +mn mn
化简 ÷ 的结果是（ ）
m−n m−n
A： m+n
n
107/147
B： 2
m
m−n
C： m−n
n
D： 2
m
2 b
( )3
计算 − 的结果是（ ）
2a
A： 3
b
−
3
2a
B： 3
b
−
3
6a
C： 3
b
−
3
8a
D： 3
b
3
8a
3 2
a 1
化简： − =__________．
a−1 a−1
4 1 a+b
通分： ， ．
2 2 2
3(a+b) 2a −2b
5 x 1
计算： − ．
2 2 2x−6y
x −9y
能力提高 / 初二 / 春季
108/147
第 11 讲 分式的运算
精选精练
1 计算：
3
2y x
（1） ⋅ ；
2 2
3x 4y
x−y
( )
2
（2） xy−x ÷ ．
xy
2 计算：
2
m −6m+9 m−2
（1） ⋅ ；
2 3−m
m −4
3 2 2
x +4x +4x x +2x
（2） ÷ ．
2 x−1
x −1
3 y x
通分： 与 ．
4a(x+2) 2
6(x +4x+4)
4 1 6 x+1
计算： − − ．
x−5 2 10+2x
x −25
5 2
2a−1 1−a
( )
化简： a− ÷ ．
a 2
a +a
6 x ( 1 )
( )
化简： x− ÷ 1+ ．
x+1 2
x −1
能力提高 / 初二 / 春季
109/147
第 12 讲 分式的化简求值及分式方程
例题练习题答案
例1 2
x+2 x +4x+4
( )
先化简，再求值： +x+2 ÷ ，其中x = −1．
x−2 x−2
练1.1 ( 2m+n 1 )
( )
2 2
如果m+n = 1，那么代数式 + ⋅ m −n 的值为（ ）
2 m
m −mn
A： −3
B： −1
C： 1
D： 3
练1.2 4 2−a
( )
2
如果2a +4a−1 = 0，那么代数式 a− ÷ 的值是____________．
a 2
a
例2 2 1 x−2 16
解方程：（1） − = 0；（2） − = 1．
x−2 x x+2 2
x −4
练2.1 4 x+2
解方程： + = −1．
2 2−x
x −4
练2.2 解下列分式方程：
1 1
（1） + = 1；
x−3 6−2x
5 3 6
（2） + =
x+1 x−1 2
x −1
110/147
例3 2 a+6
x = 2是分式方程 = 的解，则a的值是（ ）
x−1 x+1
A： −1
B： 0
C： 1
D： 3
练3.1 2ax+3 3
关于x的方程 = 的解为x = 1，则a = （ ）
a−x 4
A： 1
B： 3
C： −1
D： −3
练3.2 ax 2 6
若关于x的分式方程 − = 1的解与方程 = 2的解相同，则a = _______．
a+1 x−1 x
例4
(1)甲、乙两辆汽车同时分别从A，B两城沿同一条高速公路匀速驶向C城．已知A，C两城的距离
为360 km，B，C两城的距离为320 km，甲车比乙车的速度快10 km/h，结果两辆车同时到
达C城．设乙车的速度为x km/h．
①根据题意填写下表：
行驶的路程（km） 速度（km/h） 时间（h）
甲车 360 ________ ________
乙车 320 x ________
②求甲、乙两车的速度．
111/147
(2)一艘轮船在静水中的最大航速为35 km/h，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间，与
以最大航速逆流航行90 km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（ ）
A： 120 90
=
v+35 v−35
B： 120 90
=
35−v 35+v
C： 120 90
=
v−35 v+35
D： 120 90
=
35+v 35−v
练4.1
(1)小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若
校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校
时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（ ）
A： 5 1 5
+ =
x 6 2x
B： 5 1 5
− =
x 6 2x
C： 5 5
+10 =
x 2x
D： 5 5
−10 =
x 2x
(2)某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽
车出发，结果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各
是多少？
112/147
例5 甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成
4个．设甲每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是（ ）
A： 120 100
=
x x−4
B： 120 100
=
x x+4
C： 120 100
=
x−4 x
D： 120 100
=
x+4 x
练5.1
(1)某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交
货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为（ ）
A： 720 720
− = 5
48+x 48
B： 720 720
+5=
48 48+x
C： 720 720
− = 5
48 x
D： 720 720
− = 5
48 48+x
(2)为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对9000平方米的“外墙保
温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队
每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务．问甲
队每天完成多少平方米？
113/147
练5.2 甲、乙两人合做一项工程，4小时后甲因另有工作离开，剩下的工作由乙独做6小时完成．已知甲
的工作效率是乙的工作效率的2倍，问两人单独做各需几小时？
能力提高 / 初二 / 春季
第 12 讲 分式的化简求值及分式方程
自我巩固答案
1 x ( 1 )
( )
先化简： x− ÷ 1+ ，然后在−1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求
x+1 2
x −1
值．
2 下列关于x的方程中，属于分式方程的有（ ）
2
1 x 1 x x
3
①− x +3x = 0；② +b = 1；③ −1 = 2；④ + = 6．
2 2 2 x 4
b x
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
3 1 a−2
若x = 4是分式方程 −3 = 的根，则a的值为（ ）
x x
A： 9
B： −9
C： 13
D： −13
114/147
4 2 3
关于x的分式方程 + = 0的解为x = 4，则常数a的值为（ ）
x x−a
A： 1
B： 2
C： 4
D： 10
5 2x 3x+2
解方程： +3 = ．
x−2 x−2
6 2−y 1
解分式方程：1− = ．
y−3 3−y
7 2 2x 1
解分式方程： − = ．
x+1 2 x−1
1−x
8 货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车
的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A： 25 35
=
x x−20
B： 25 35
=
x−20 x
C： 25 35
=
x x+20
D： 25 35
=
x+20 x
9 一艘轮船在静水中的最大航速为24千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行120千米，再以最大航
速返航．经过与顺流航行相等的时间，返航行程恰好比顺航行程的一半多20千米．求江水的流
115/147
速．
10 某县城要铺一条自来水管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程
队每天多铺10m，且甲工程队铺设350m所用的天数与乙工程队铺设250m所用的天数相同．甲、乙
两个工程队每天各能铺设多少米管道？
能力提高 / 初二 / 春季
第 12 讲 分式的化简求值及分式方程
课堂落实答案
1 2
( 2 x+5 ) x +3x
先化简，再求值： + ÷ ，其中x = −1．
x+2 2 x+2
x +4x+4
2 下列方程不是分式方程的是（ ）
A： x−3
= 1
x
B： x 1
+ = 1
x+1 x−1
C： 3 4
+ = 2
x y
D： 1 x−2
− = x
2 3
3 a−2 1
若x = 4是分式方程 = 的根，则a的值为（ ）
x x−3
A： 6
B： −6
116/147
C： 4
D： −4
4 x−4 3
解分式方程： + = 2．
x+1 x+1
5 用A，B两种型号的机器加工运动服，A型机器比B型机器每小时多加工20套，A型机器加工1600套
运动服所用时间比B型机器加工1080套运动服所用时间多2小时，求两种型号的机器每小时分别加
工多少套运动服．如果设B型机器每小时加工x套运动服，则所列方程正确的是（ ）
A： 1600 1080
= +2
x−20 x
B： 1600 1080
= −2
x+20 x
C： 1600 1080
= +2
x+20 x
D： 1600 1080
+2 =
x−20 x
能力提高 / 初二 / 春季
第 12 讲 分式的化简求值及分式方程
精选精练
1 2
1 a −6a+9
（1）先化简(1− ) ÷ ，然后在−2，0，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
a−2 2
a −4
2
m +4m+4 m+2
2
（2）如果m +2m = 1，那么 ÷ 的值为________．
m 2
m
117/147
2 3
对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”：a⊗b = ，等式右边是通常的四则运算．若
2
a −ab
( −3) ⊗x = 2⊗x，则x的值为（ ）
A： −2
B： −1
C： 1
D： 2
3 3x+6 ≥ 0 2x+1 3
{
解不等式组 ，并判断分式方程 = 的解是不是该不等式组的解？
4−2x > 0 3−x 2
4 阅读下面材料，解答后面的问题．
x−1 4x
解方程： − = 0．
x x−1
x−1 4
解：设y = ，则原方程化为：y− = 0，
x y
2
方程两边同时乘以y得：y −4 = 0，解得：y = ± 2，
4
经检验：y = ± 2都是方程y− = 0的解，
y
x−1 x−1 1
∴ 当y = 2时， = 2，解得：x = −1；当y = −2时， = −2，解得：x = ，
x x 3
1
经检验：x = −1或x = 都是原分式方程的解，
3
1
∴ 原分式方程的解为x = −1或x = ．
3
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
x−1 4x+4 x−1
问题：（1）若在方程 − = 0中，设y = ，则原方程可化为：________；
x+1 x−1 x+1
118/147
x−1 3
（2）模仿上述换元法解方程： − −1 = 0．
x+2 x−1
5 一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，现有两块小麦田面积均为10公顷，第
2
一块由一台收割机和100个农民同时开始收割，收割了 小时后收割机转入第二块进行收割，而第
5
一块仍由这100人继续收割，结果两块地同时收割完．若收割机中间转移所用的时间忽略不计，且
每个农民的工作效率相同，这台收割机每小时收割多少公顷小麦？
6 几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用350元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：
小芳：今天看演出，如果我们每人一张票，会差两张票的钱．
小明：过两天就是“儿童节”了，到时票价会打七折，我们每人一张票，还能剩35元钱呢！
根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．
能力提高 / 初二 / 春季
第 13 讲 平行四边形基础
例题练习题答案
例1 平行四边形的一边长为6，周长为28，则这边的邻边长为（ ）
A： 22
B： 16
C： 11
D： 8
练1.1 如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点C的坐标是(1,3)，点
A的坐标是(5,0)，则点B的坐标是______．
119/147
练1.2 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列式子中不一定成立的是（ ）
A： AB//CD
B： OA = OC
C： ∠ABC+∠BCD = 180∘
D： AB = BC
例2 如图，在□ABCD中，AD = 8，AB=12，AE平分∠BAD，交DC边于点E，则CE的长为
_______________．
练2.1 如图，在平行四边形ABCD中，AD = 9，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE = 5，则AB的长为
（ ）
A： 4
B： 5
C： 3
D： 6
120/147
练2.2 如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AB，DE平分∠ADC，AC = 3，AD = √13，则BE的长为
（ ）
A： √10
B： √13−√10
C： 2
D： √13−2
例3
(1) □ABCD中，∠A = 100∘ ，则∠B +∠D的度数是__________．
(2)□ABCD中，若∠C = ∠B +∠D，则∠A = ______________．
练3.1 如图，已知在□ABCD中，∠A +∠C = 140∘ ，则∠B的度数是（ ）
A： 110∘
B： 120∘
C： 140∘
D： 160∘
练3.2 已知□ABCD中，∠B = 4∠A，则∠D =（ ）
A： 18∘
B： 36∘
C： 72∘
121/147
D： 144∘
例4 平行四边形的一边长是10，一条对角线长是6，则它的另一条对角线a的取值范围为（ ）
A： 4 < a < 16
B： 14 < a < 26
C： 12 < a < 20
D： 8 < a < 32
练4.1 如图，□ABCD的周长为60 cm，对角线AC，BD相交于O，△AOB的周长比
△BOC的周长大8 cm，则AB =___________，BC = ______________．
练4.2 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于O，过O作直线EF，与AD交于E，与BC交于F．求证：
AE = CF．
例5 学习了平行四边形的相关知识后，小明采用下列方法钉制了一个平行四边形框架：如图，将两根
木条AC，BD的中点重叠并用钉子固定，然后用木条将AB，BC，CD，DA分别钉起来．此时四边形
ABCD即为平行四边形，这样做的依据是（ ）
A： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D： 对角线互相平分的四边形是平行四边形
122/147
练5.1 如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，AD所在直线上的点，AC，EF交于点O，请你添加一
个条件，使四边形AECF是平行四边形，下列选项中不能推断四边形AECF是平行四边形的是
（ ）
A： AE = CF
B： EO = FO
C： AE//CF
D： AF = EC
练5.2 已知：点D，E分别是 △ ABC的边AB，AC的中点，如图所示．
1
求证：DE//BC，且DE = BC．
2
证明：延长DE到点F，使EF = DE，连接FC，DC，AF，又AE = EC，则四边形ADCF是平行四边
形，接着是以下排序错误的证明过程：
① ∴ DF//BC；
② ∴ CF//AD，即CF//BD；
③ ∴ 四边形DBCF是平行四边形；
1
④ ∴ DE//BC，且DE = BC．
2
则正确的证明顺序应是：( )
A： ② → ③ → ① → ④
B： ② → ① → ③ → ④
C： ① → ③ → ④ → ②
123/147
D： ① → ③ → ② → ④
例6 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，且
AE = CF，BE = DF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
练6.1 如图，□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE = CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
练6.2 如图，在□AECF中对角线相交于点O，BD经过点O，分别与AE，CF交于点B，D．连接AD，BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
练6.3 如图，在□ABCD中，∠ABC和∠ADC的平分线分别交CD，AB边于点F，E．求证：
（1）∠1 = ∠2．
（2）四边形DEBF是平行四边形．
能力提高 / 初二 / 春季
第 13 讲 平行四边形基础
自我巩固答案
1 平行四边形ABCD的周长为34，两邻边之差为3，则两邻边长分别为（ ）
124/147
A： 10，7
B： 18.5，15.5
C： 11，6
D： 12，5
2 如图，□ABCD中，AD = 5，AB = 3，AE平分∠BAD且交BC于点E，则线段EC的长为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
3 平行四边形ABCD中，若∠A +∠C = 160∘ ，则∠D的度数是（ ）
A： 120°
B： 100°
C： 60°
D： 70°
4 如图，□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，∠EAF = 45∘ ，则∠BAD的度数为
（ ）
A： 120°
B： 150°
125/147
C： 105°
D： 135°
5 平行四边形的一边长是10．那么它的两条对角线的长度可能是（ ）
A： 8和12
B： 8和14
C： 6和10
D： 6和28
6 如图，点O是□ABCD的对角线交点，AC = 38mm，BD = 24mm，AD = 14mm，那么△OBC的周
长等于（ ）
A： 40mm
B： 44mm
C： 45mm
D： 50mm
7 如图，已知□ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．则下列结论中正确的有
（ ）
①AB = CD；②∠B = ∠D；③CD = FA；④∠F = ∠BCF．
A： 1个
126/147
B： 2个
C： 3个
D： 4个
8 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB∥CD，添加下列条件后仍不能判定四边
形ABCD是平行四边形的是（ ）
A： AB = CD
B： AD//BC
C： OA = OC
D： AD = BC
9 下面给出四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边
形的是（ ）
A： 3:4:4:3
B： 2:2:3:3
C： 4:3:2:1
D： 4:3:4:3
10 如图，△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，过D作DF∥BE交AC于O，EF∥AB．
求证：四边形ADEF是平行四边形．
能力提高 / 初二 / 春季
127/147
第 13 讲 平行四边形基础
课堂落实答案
1 已知□ABCD的周长为30，相邻两边之比为3:2，则它的两邻边的长度分别为（ ）
A： 18，12
B： 6，4
C： 9，6
D： 12，8
2 在□ABCD中，若∠A的补角与∠B互余，则∠D的度数为（ ）
A： ∘
45
B： ∘
60
C： ∘
90
D： ∘
135
3 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD的长度分别为10和6，则AB长度的最大整数值是
（ ）
A： 8
B： 5
C： 6
D： 7
4 如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠D，AD∥BC，AD = 3，CD = 5，则四边形ABCD的周长是
（ ）
128/147
A： 12
B： 14
C： 16
D： 18
5 满足下列条件的四边形，不一定是平行四边形的是（ ）
A： 两组对边分别平行
B： 两组对边分别相等
C： 一组对边平行且相等
D： 一组对边平行，另一组对边相等
能力提高 / 初二 / 春季
第 13 讲 平行四边形基础
精选精练
1 如图，A，B，C，D为一个平行四边形的四个顶点，则点D的坐标不可能为（ ）
A： (3,0)
B： (5,4)
C： (−1,2)
129/147
D： (6,4)
2 已知：如图，平行四边形ABCD中，AB = 12，AB边上的高为3，BC边上的高为6，则平行四边
形ABCD的周长为__________．
3 如图，在▱ABCD中，AD = 6，AD与BC的距离为4，则阴影部分的面积为________．
4 如图，□ABCD中，M，N分别在DA，DC的延长线上，且MN∥AC．
求证：MQ = NP．
5 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE = CF．求证：四边
形BFDE是平行四边形．
6 如图，四边形ABCD中，AD//BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE = CF．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
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能力提高 / 初二 / 春季
第 14 讲 中位线与多边形
例题练习题答案
例1 已知△ABC中，D为BC上的一点，E，F，H，G分别是AC，CD，DB，AB的中点，EF +AD = 6
cm，则GH的长度是_______．
练1.1 已知△ABC的三边AB = 3，BC = 6，AC = 7，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形DBCE的周长
为（ ）
A： 9
B： 19
C： 14
D： 11
练1.2 如图，在四边形ABCD中，AB = 3，BC = 5，∠A = 130∘ ，∠D = 100∘ ，AD = CD．若点E，F分
别是边AD，CD的中点，则EF的长是（ ）
A： √2
131/147
B： √3
C： 2
D： √5
例2 如图，任意做一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，那么这个新
的四边形是平行四边形吗？请证明你的结论．
练2.1 △ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG且EF = DG．
练2.2 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，若AB = 4，BC = 3，AC = 5，则∠ADE的度数为
（ ）
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 90∘
例3 如图所示，在△ABC中，点D在BC上，且CD = CA，CF平分∠ACB，
132/147
1
AE = EB，求证：EF = BD．
2
练3.1 如图，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，若AB =14，AC = 19，MN的长为
_______．
练3.2 如图，在△ABC中，AD是∠CAB的平分线，AE是BC边的中线，CF⊥AD于点F，AC = 5，AB = 13
，则EF的长为（ ）
A： 13
5
B： 13
4
C： 3
D： 4
例4
(1) 如果一个多边形的内角和等于1980∘
，则这个多边形的边数是（ ）
A： 11
133/147
B： 12
C： 13
D： 14
(2)过一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，那么这个多边形是
_____边形，内角和为_________．
练4.1 一个多边形的内角和比四边形的内角和多540∘
，那么这个多边形的边数为（ ）
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
练4.2 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080∘
，那么原多边形的边数为（ ）
A： 7
B： 7或8
C： 8或9
D： 7或8或9
例5 ∘
十七边形的外角和等于__________ ．
练5.1 一个正多边形的内角和为 540 ∘ ,则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A： ∘
60
B： ∘
72
C： ∘
90
D： ∘
108
例6 若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（ ）
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A： 180°
B： 720°
C： 1080°
D： 540°
练6.1 一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180∘
，求这个多边形的边数及内角和．
能力提高 / 初二 / 春季
第 14 讲 中位线与多边形
课堂落实答案
1 如图所示，点D，E分别是AB，AC中点，若DE = 4，则BC = （ ）
A： 2
B： 4
C： 6
D： 8
2 如图，在△ABC中，AB = 6，AC = 10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的
周长为（ ）
A： 8
135/147
B： 10
C： 12
D： 16
3 在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80∘ ，点M为BC的中点，N为AB中点，则∠AMN = （ ）
A： 30∘
B： 40∘
C： 50∘
D： 80∘
4 ∘
十六边形的内角和等于__________ ．
5 若一个多边形的每一个内角都等于156∘
，则这个多边形是_________边形．
能力提高 / 初二 / 春季
第 14 讲 中位线与多边形
自我巩固答案
1 如图，在△ABC中，已知AB = 8，AC = 4√3，∠C = 90∘ ，DE是中位线，则DE的长为（ ）
A： 4
B： 3
C： 2√3
D： 2
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2 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，已知∠ADE = 65∘ ，则∠CFE的度
数为（ ）
A： 60∘
B： 65∘
C： 70∘
D： 75∘
3 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点．已知AB = 4，BC = 5，
AC = 6，则四边形AFDE的周长为（ ）
A： 15
2
B： 9
C： 10
D： 11
4 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC = 3，
BD = 2，则四边形EFGH的周长为（ ）
137/147
A： 4
B： 5
C： 6
D： 7
5 如图，在四边形ABCD中，P，R分别是BC和DC上的点，E，F分别为AP，PR的中点．当点P在
线段BC上从点B移动到点C而点R不动时，EF的长度是否变化．
6 在△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC于点N，若
AB = 4，DM = 1，则AC的长为（ ）
A： 5
B： 6
C： 7
D： 8
138/147
7 七边形的内角和是（ ）
A： 360∘
B： 540∘
C： 720∘
D： 900∘
8 一个正n边形的内角和为1080∘
，则n的值为（ ）
A： 7
B： 8
C： 9
D： 10
9 若从一个正多边形的一个顶点出发的对角线可将这个多边形分成10个三角形，则它的外角的度数
是（ ）
A： 10∘
B： 20∘
C： 30∘
D： 40∘
10 若一个多边形的每条边都相等，每个内角都相等，且它的每一个外角与内角的度数之比为1:2，则
这个多边形是（ ）
A： 正五边形
B： 正六边形
C： 正七边形
D： 正九边形
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能力提高 / 初二 / 春季
第 14 讲 中位线与多边形
精选精练
1 如图，□ABCD的周长为32cm，点O是□ABCD的对称中心，AO = 5cm，点E，F分别是AB，BC的中
点，则△OEF的周长为_______cm．
2 如图，在四边形ABCD中，AD = BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC=15∘ ，
∠ACB=87∘
，则∠FEG等于（ ）
A： 39°
B： 18°
C： 72°
D： 36°
3 如图，已知□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若
AC+BD = 24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF的长是（ ）厘米．
A： 6
B： 9
140/147
C： 12
D： 3
4 如图，四边形ABCD中，∠A = 90∘ ，AB = 3√3，AD = 3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点
（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为
_________．
5 已知一个n边形，除去一个内角α 外，其余内角和等于1500∘ ，则这个内角α = _________ ∘ ．
6 将一个n边形截去一个角后得到的新多边形的内角和为1440∘
，则n为_____________．
能力提高 / 初二 / 春季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 2 2 2
1 4x x −y 1 5x
下列各式 (1−x)， ， ， +x， ，其中分式共有（ ）个．
5 π−3 2 x x
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
2 一个等腰直角三角形的斜边中线长为4，则这个三角形的面积为（ ）
A： 4
141/147
B： 8
C： 16
D： 32
3 x−a > 0
{
已知关于x的不等式组 有解，则a的取值范围是（ ）
x−2 ≤ 0
A： a < 2
B： a ≤ 2
C： a > 2
D： a ≥ 2
4 下列多项式中，不能因式分解的是（ ）
A： ab−a
B： 2
a −9
C： 2
a +2a+5
D： 2
4a +4a+1
5 如图，ΔABC 中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC = 5cm，BC = 4cm，那么ΔDBC 的周长是
（ ）cm
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
142/147
6 1
使分式 有意义的x的取值范围是（ ）
x+1
A： x ≠ 1
B： x ≠ −1
C： x < 1
D： x > 1
7 (x−1)(x+2)
已知分式 的值为0，那么x的值是（ ）
2
x −1
A： −1
B： −2
C： 1
D： 1或−2
8 周末，小亮和同学去书店买书，他们先用30元买一种文学书，又用60元买一种艺术书．已知艺术
书的价格比文学书高出一半，他们所买的艺术书比所买的文学书多1本．如果设文学书的价格为x
元/本，那么依题意可列方程为（ ）．
A： 30 60
− = 1
x 1.5x
B： 60 30
− = 1
1.5x x
C： 60 30
− = 1
0.5x x
D： 30 60
− = 1
x 0.5x
9 若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（ ）
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A： 180°
B： 720°
C： 1080°
D： 540°
10 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的
是（ ）个
A： AB//CD，AD//BC
B： OA = OC，OB = OD
C： AD = BC，AB//CD
D： AB = CD，AD = BC
11 不等式2x+8 ≥ 3(x+2)的解集为______________．
12 3 2
因式分解：x −2x +x = ___________．
13 如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD+BC = 9，则
四边形EFGH的周长是______．
14 2x 2
分式方程 = 1− 的解为________．
2x−1 x+2
15 y x
( )
计算： ÷ 1− 的结果是________．
2 2 x+y
x −y
16 如图，正方形ABCD中，截去∠A，∠C后，∠1，∠2，∠3，∠4的和为_____．
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17 如图，在平行四边形ABCD中，已知AD = 8cm，AB = 6cm，DE平分∠ADC 交BC边于点E，则BE等
于_________．
18 对于平面内任意一个四边形ABCD，现从以下四个关系式①AB = CD；②AD = BC；③AB//CD ；
④∠A = ∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的组合是
_____________．
19 已知：在 △ AOB和 △ COD中，OA = OB，OC = OD．
（1）如图①，若∠AOB = ∠COD = 60∘ ，求证：①AC = BD;②∠APB = 60∘ ．
（2）如图②，若∠AOB = ∠COD = α，则AC与BD间的等量关系式为_______，∠APB的大小
为_______（直接写出结果，不证明）
20 2 2
x +2x+1 x −1
先化简，再求值： + ，其中x = −2．
x+1 x−1
21 某服装制造厂要在开学前赶制3000套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人
力，使每天完成的校服比原计划多20% ，结果提前4天完成任务，问原计划每天能完成多少套校
服？
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22 如图，E是平行四边形ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：ΔADE≌ΔFCE；
（2）若∠BAF = 90∘ ，BC = 5，EF = 3，求CD的长．
23 如图，在平行四边形AECF中对角线相交于点O，BD经过点O，分别与AE，CF交于点B，D．连接
AD、BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
24 如图，在ΔABC 中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF = DE．
（1）图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由；
（2）若ΔAEF 的面积是3，求四边形BCFD的面积．
25 2
1 x
已知x+ = 3，求 得值．
x 4 2
x +x +1
26 如图所示．在四边形ABCD中，CD > AB，AB与CD不平行，E，F分别是AC，BD的中点．求证：
1
EF > (CD−AB)．
2
146/147
147/147
