1 幂的乘除
第4课时 同底数幂的除法
课题 第4课时 同底数幂的除法 授课人
1.掌握同底数幂的除法运算性质,理解零指数幂和负整数指数幂的意义.
教 2.会用科学记数法表示绝对值小于1的数,能进行它们的乘除运算,并将结果用科学记数
法表示出来,也能将用科学记数法表示的数还原成原数.
学
3.在进一步体会幂的意义的过程中,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,提高学生
目
观察、归纳、类比、概括等能力.
标
4.借助自己熟悉的事物感受绝对值较小的数据,进一步发展学生的数感,体会估测微小事
物的方法与策略.
1.同底数幂的除法运算法则及其应用.
教学
2.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.
重点
3.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.
教学 1.零指数幂和负整数指数幂意义的理解.
难点 2.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.
授课
新授课 课时
类型
教具 多媒体
教学活动
教学
师生活动 设计意图
步骤
【课堂引入】
活动内容:一种液体每升含有1012个有害细菌.为了试验某种
灭菌剂的效果,科学家进行了实验,发现1滴灭菌剂可以杀死109个
用实际背景来引入
有害细菌.
同底数幂的除法,让学生
活动 (1)要将1 L液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂多少滴? 体会数学与现实生活是
紧密联系的,而这个问题
一: (2)你是怎样计算的?
学生运用有理数知识就
创设 (3)你能再举几个类似的算式吗? 能解决,为下面类比解决
情境
“式”的问题提供思路.
处理方式:解决问题(1)时学生可能根据题意列出算式1012÷109,也
第(3)问的目的是帮助学
导入 1012
生抓住“同底数幂”
有可能列出 ,应让学生认识到两种形式的实质是一样的.
新课 109 “相除”这些本质特征,
同时也为进一步的探索
问题(3)应尽可能多地在黑板上呈现学生举出的算式,在教学时可 提供素材.
以通过追问“这些算式举得对不对?”帮助学生抓住特征:同底数
幂、除法.还可以再追问“这些算式应该叫作什么运算呢?”引入这
节课的研究对象:同底数幂的除法运算.
活动 【探究1】 同底数幂的除法的运算法则
二: 【尝试·思考】
探究
1.计算下列各式,并说明理由(m,n都是正整数,且m>n).
与
(1)1012÷109;(2)10m÷10n;(3)(-3)m÷(-3)n.
应用
处理方式:学生尝试计算后,教师展示解题过程.总结:我们利用幂的意义,得到:
(1)1012÷109=103=1012-9.
(2)10m÷10n=10m-n.
(3)(-3)m÷(-3)n=(-3)m-n.
2.如果m,n都是正整数,且m>n,那么am÷an等于什么?你是怎么得
到的?
m个a 1.利用类比结合探究的
形式引导学生逐步深入
⏞a·a·…·a
思考同底数幂如何相除,
学 情 预 设 : 板 书 推 理 过 程 :am÷an= =
⏟a·a·…·a 从学生已有的知识和经
验出发,引导学生探索发
现同底数幂的除法的运
n个a
(m-n)个a 算性质,遵循循序渐进的
⏞a·a·…·a
=am-n,但学生可能会忽视“a≠0,m,n都是正整数, 认知规律,由幂的意义和
同底数幂的乘法得出同
且m>n”的要求,教学时可以追问“a都可以取哪些值呢?”来引导
底数幂的除法法则,知识
学生类比有理数的除法中对除数不为0的要求来理解这里的a≠0,
的生成自然,学生很容易
再借助上面的计算过程中出现(m-n)个a得到m>n.
接受,从而得到同底数幂
【概括新知】 的除法法则.
同底数幂的除法法则:
am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,且m>n).
同底数幂相除,底数 不变 ,指数 相减 .
强调:需要注意的是①在同底数幂相除的运算中,相同底数可以是
不为0的数,也可以是含字母的单项式或多项式(值不为0).②同底
数幂相除的运算中,也可以是三个或三个以上的同底数幂相除,幂
的底数必须相同,相除时指数才能相减.
【应用】
例 (教材例5)计算:
2.例题的设置帮助学生
(1)a7÷a4;(2)(-x)6÷(-x)3;(3)(xy)4÷(xy);(4)b2m+2÷b2. 体会同底数幂除法的运
算,同时帮助学生体会法
处理方式:请同学们利用刚才所学的知识来计算,小组间可以互相
则中的a可以代表数,也
讨论来完成,看看哪个小组既快又正确.各个小组积极地讨论,争先
可以代表含字母的单项
恐后地举手,强调根据同底数幂的除法:底数不变,指数相减得到结
式或多项式.
果.注意(2)题的结果要把括号去掉,(3)题的结果要利用积的乘方运
算法则展开. 3.把课堂交给学生,让学
生充分经历观察、类
【探究2】 零指数幂和负整数指数幂 比、归纳、概括的过程,
【思考·交流】 提高学生分析问题和解
决问题的能力.让学生经
(1)计算:23÷23,23÷25,a3÷a3,a3÷a5. 历从特殊到一般的研究
问题的过程,进一步培养
(2)要使得当m=n或m<n时,am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数)仍然
学生分析问题和解决问
成立,(1)中各式的结果用幂的形式又该如何表示?
题的能力.
(3)比较(1)(2)各式的对应结果,你有什么发现?与同伴进行交流.
处理方式:(1)让学生口答,并说明理由;(2)(3)引导学生讨论交流,形
成共识后小组指派代表发言,有问题时其他同学加以补充说明.
活动
二: 小结:我们前面这样推导了同底数幂的除法的运算法则:
探究m个a
⏞a·a·…·a (m-n)个a
am÷an= = =am-n(a≠0,m,n 都 是
⏟a·a·…·a ⏞a·a·…·a
n个a
正整数,且m>n).
当m=n时,我们可以类似地得到
m个a
⏞a·a·…·a
a0=am÷an= =1(a≠0,m,n都是正整数);
⏟a·a·…·a
n个a
当m<n时,先设p=n-m,那么m-n=-p,也可以类似地得到
m个a
1
⏞a·a·…·a 1 1
a-p=am÷an=
=⏟a·a·…·a=
=
⏟a·a·…·a an-m ap 4.熟悉零指数幂和
负整数指数幂的意义,并
(n-m)个a
n个a 将已学过的同底数幂的
(a≠0,p是正整数). 除法的运算性质中的m,n
【概括新知】
扩大到全体整数.
1
我们规定a0=1(a≠0),a-p= (a≠0,p是正整数).
ap
教师说明:有了这个规定后,已学过的同底数幂的乘法和除法运算
与
性 质 中 的 m,n 就 从 正 整 数 扩 大 到 全 体 整 数 了 , 即
应用 am·an=am+n,am÷an=am-n(a≠0,m,n都是整数).
【应用】
例 (教材例6)用小数或分数表示下列各数:
(1)10-3;(2)70×8-2;(3)1.6×10-4.
变式 计算:
1 1
(1)3-3;(2)（- ）-2;(3)（ ）0×10-1;(4)(a-1b2)-3.
2 3
1 1
解:(1)3-3= = .
33 27
1 1
1
(2)（- ）-2= 1 =1=4.
2 (- ) 2
2 4
1 1 1
(3)（ ）0×10-1=1× = .
3 10 10
5.运算能力的形成不是
a3 一蹴而就的,它的发展是
(4)(a-1b2)-3=a(-1)×(-3)·b2×(-3)=a3b-6= . 从简单到复杂,从低级到
b6
高级,从具体到抽象,有层
【探究3】 用科学记数法表示绝对值较小的数
次地进行的,因此这里设
计了由易到难的练习题,
【尝试·思考】 对本节课所学的知识进
行巩固和拓展,发展学生
有的细胞直径只有1微米(μm),即0.000001 m;
的运算能力.
某种计算机完成一次基本运算的时间约为 1 纳秒(ns),即0.000000001 s;
一个氧原子的质量为0.00000000000000000000000002657 kg.
你能用负指数表示这些数吗?
处理方式:先让学生独立完成,然后让同学纠错,小组互相检查,核对
过程与结果,教师巡视,及时发现学生在解题过程中出现的问题.教
师强调书写要规范.
【概括新知】
一般地,一个小于 1 的正数可以表示为 a×10n的形式,其中
1≤a<10,n是负整数.
教师说明:用科学记数法可以很方便地表示一些绝对值较大的数,
同样,用科学记数法也可以很方便地表示一些绝对值较小的数.
【应用】
例 用科学记数法表示下列各数:
6.加深学生对科学
(1)0.0000000001; 记数法的理解.借助熟悉
的事物感受绝对值较小
活动 (2)0.0000000000029;
的数,进一步发展数感,形
二: (3)-0.000000001295. 成估测微小事物的方法
和策略.
探究 变式 写出下列用科学记数法表示的数的原数:
与 4.621×10-9= ;-7.8945×10-7= .
应用
【拓展提升】
1.太阳的质量约为1.989×1030 kg,地球的质量约为6×1024 kg,太阳 灵活地利用幂的运
的质量是地球质量的多少倍? 算法则,进一步提升.
2.已知am=3,an=5.求:(1)am-n的值;(2)a3m-2n的值.
【达标测评】
1.把0.00000000121用科学记数法表示为( )
A.12.1×10-9 B.1.21×10-9
C.1.21×10-8 D.1.21×10-10
2.填空:(1)a5÷a= ;
(2)(-x5)÷(-x)2= ; 给学生充足的思维
空间,养成思考的习惯,培
(3)y16÷ =y11;
养学生仔细观察问题的
(4)(x-y)9÷(x-y)3= . 习惯.通过练习题使学生
活动 能分析具体问题,知识得
3.计算:27m÷9m÷3= .
到巩固与深化,会举一反
三:
4.用小数、分数或整数表示下列各数: 三.
课堂
1
总结 (1)（ ）0; (2)(-2)-2;
3
反思
(3)2.7×10-4;(4)6-3.
5.若3x=a,3y=b,求32x-y的值.
处理方式:学生独立解答,检查汇报,教师针对情况讲评指导.
【板书设计】
第4课时 同底数幂的除法
1.同底数幂的除法 提纲挈领,重点突出.
am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,且m>n).
例2.零指数幂和负整数指数幂
a0=1(a≠0);
1
a-p= (a≠0,p是正整数).
ap
例
3.用科学记数法表示绝对值较小的数
例
【教学反思】
①[授课流程反思]
通过回顾所学知识为后续的探究活动提供知识基础和思维引导,
让学生比较好地理解同底数幂的除法的探究过程.在设置的引入
情境中通过分析、解决问题提供探究同底数幂除法的思路和依
据,使得新课探究伊始就引导了学生对法则的认识和理解.紧接着
利用同底数幂的除法法则引出零指数幂和负整数指数幂的运算性
质,承上启下,然后利用负整数指数幂表示较小的数,让学生以非常
熟悉的感觉接触新的知识,能有效地消除学生对新知识的畏惧感.
活动
②[讲授效果反思]
三:
课堂 反思,更进一步提升.
总结
反思
③[师生互动反思]
在负整数指数幂和零指数幂性质的探究中充分调动学生的积极
性,让学生有机会展示自己的想法,通过互相交流、讨论找到次数
的变化规律,猜测出负整数指数幂和零指数幂的相关性质,并引导
学生利用基本的算理进行验证,学生较好地突破了重难点.
④[习题反思]
好题题号
错题题号
