文档内容
1.1 三角形内角和定理 导学案
第3课时 多边形的内角和
1.能通过不同方法探索多边形的内角和公式.
2.学会运用多边形的内角和公式解决问题.
3.体会转化思想的应用，建立数学与生活的联系，增强用几何知识解决实际问题的意识.
学习重点：多边形的内角和公式的推导及应用.
学习难点：：正多边形的内角计算及运用抽象思维解决综合问题.
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①三角形内角和定理的推论：
推论1：三角形的一个外角等于和 的两个内角的和.
推论2：三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角.
②多边形：
(1)由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 平面图形叫做多边形.
(2)连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的 .
(3)从n边形的一个顶点出发，可以引出 条对角线，把这个n边形分成(n－2)个三角形，n边形共
有 条对角线.2.情景引入
小明和小亮经常到如图所示的广场进行体育锻炼.
这个广场中心有一个正五边形的花坛，施工团队在铺设地砖时，需要计算出这个五边形每个内角的度数，
才能精准切割地砖。大家想一想，我们只知道三角形的内角和是180°，怎么才能求出五边形的内角和呢？
新知自研：自研课本第7--8页的内容．【学法指导】
自研课本P7-8页随堂练习上面的内容，思考：
●探究一：多边形的内角和
◆1、议一议
（1）小明和小亮分别利用图①和图②求出了五边形五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗？
思路：把五边形分割为几个三角形，将五边形五个内角的和转化为求几个三角形内角的和.
【解答】解：方法一：分割点在顶点，五边形可以分割成 个三角形来算．
五边形五个内角的和= = °.
方法二：分割点在内部，五边形可以分割成 三角形来计算．
五边形五个内角的和= = °.
（2）你还有其他的方法吗？与同伴进行交流.
其他不同的分割方法：说一说以下方法是如何计算五边形内角和的.
【解答】解：
方法三：分割点在顶点，五边形可以分割成一个三角形和一个 来计算.
五边形五个内角的和=360°+ = .
方法四：分割点在边上，五边形可以分割成 个三角形来计算.
五边形五个内角的和=180°×4- =
方法六：分割点在外部，五边形可以分割成 个三角形来计算.
五边形五个内角的和=180°× -180°=
思考：根据以上求五边形内角和的过程，你有什么发现？
总结：结论：五边形的内角和为 .
◆2.尝试思考
（1）按照图①的方法，六边形能分成多少个三角形？n（n是大于或等于3的自然数）边形呢？你能确定
n边形的内角和吗？
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 … n边形
图形 …
分割出三角形的个
…
数
多边形内角和 1×180º=180º …
（2）按照图②的方法再试一试.
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 … n边形
图形 …
分割出
三角形 …
的个数
多边形 3×180º-360°
…
内角和 =180º
◆3.知识归纳
多边形的内角和定理：
n边形的内角和等于 注意：（1）其中n≥3，且为自然数；
（2）多边形的内角和与它的 有关.
◆4.新知探究
例：在四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°，那么∠B和∠D有什么关系？试说明理由.结论：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
◆5.练一练
一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是( )
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
●探究点二：正多边形的内角
◆1.想一想
(1)正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度？
多边形 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形
图形
正多边形内角和
正多边形每个内角的度数
(2)怎样计算正多边形每个内角的度数？
◆2.知识归纳
正多边形的内角：∵正n边形的内角= .（其中n≥3，且为自然数）
◆3.思考交流
剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形？它的内角和是多少度？与同伴进行交流.
↓ ↓ ↓
边形，内角和是 °. 边形，内角和是 °. 边形，内角和是°.
总结：截一个多边形的一个角时，一定注意截法，注意分类讨论.
◆4.练一练
①正十二边形的一个内角的度数是（ ）
A.120° B.135° C.150° D.108°
②如图所示，将一张四边形纸片沿直线剪开,如果剪开后的两个图形的内角和相等,那么下列四种剪法中,符
合要求的是( )
A.①② B.①③
C.②④ D.③④
【例题导析】
自研下面的例1和例2的内容，回答问题：
典例分析
例1 如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠1＝∠2，且∠D+∠C＝220°，求∠AOB的度数.
【分析】首先根据四边形内角和为360度计算出∠DAB+∠ABC= ,再根据∠1＝∠2，∠1＝∠2计
算出∠2+∠3＝ ，然后利用三角形内角和为 度计算出∠AOB的度数即可解答.
【解答】例2 小明同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小明认真地检查
了一遍．
(1)若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
(2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
【分析】(1)设这个多边形的边数是n,重复计算的内角的度数是x,根据多边形的内角和公式(n-2)·180°可知,
多边形的内角度数是 的倍数，然后利用数的整除性进行求解.
【解答】(2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
【分析】设这个多边形的边数是n,没有计算在内的内角的度数是x,根据多边形的内角和公式(n-2)·180“可
知,多边形的内角度数是 的倍数,然后利用数的整除性进行求解.
【解答】
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.操作猜想验证多边形内角和定理；
B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1.一个多边形的内角和为540°，则它是( )
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
2.一个多边形的内角和为1 800°， 截去一个角后， 得到的多边形的内角和 为( )
A.1 620° B.1 800° C.1 980° D.以上答案都有可能
3.多边形每一个内角都等于150°，则该多边形的边数是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
4.m边形与n边形内角和的差为720°，则m与n的差为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是( )
A．4 B．5 C．6 D．76.如图，正六边形ABCDEF的对角线AD∥BC，则∠DAB( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
7. 已知甲多边形的内角和是乙多边形内角和的2倍，而从甲多边形一个顶点出发所引对角线的条数与从乙
多边形一个顶点出发所引对角线的条数的比是 7∶3，如果甲是十边形，那么乙是____边形.8. 若一个多边
形的内角和比四边形内角和的3倍多180°,则这个多边形的边数是____.
9.如图所示，已知正六边形ABCDEF，连接FD，则∠FDC的度数为_________.
10.如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，
则∠P的度数为______．
11.如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边
AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为______度．
12.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为 1 125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少
算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？13.如图所示的模板，按规定，AB，CD的延长线相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，质检员
测得∠BAE＝122°，∠DCF＝155°.如果你是质检员，判断此模板是否合格？为什么？
14.如果两个多边形的边数之比为1∶2,这两个多边形的内角之和为1440°,请你确定这两个多边形的边数.
题型一：多边形的内角和
1．一个多边形的内角和为720°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
2．若一个多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是（ ）
A．十二 B．十 C．八 D．十四
3．椒江章安剪纸是台州市非物质文化遗产代表性项目．如图是小明的窗花剪纸，外形为正八边形，则它
的内角和为（ ）A．900° B．1080° C．1260° D．1440°
4．有两个多边形，它们的边数的比为1：2，内角和的比为1：4，你能确定它们各是几边形吗？试试看．
5．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，BE、CD交于G点．
（1）如图1，若∠A＝90°，
①求证：∠EDG＝∠ABC；
②作DF平分∠ADC，如图2，求证：DF∥BG．
（2）如图3，作DF平分∠ADC，在锐角∠BAD内部作射线AN，交DF于N，若∠AND﹣∠GBC的大
小为45°，试说明：AN平分∠BAD．
题型二：求几何图形中多个角的和问题
6．如图，点 A，B，C，D，E 在同一平面内，连接 AB，BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100°，则
∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．280° B．260° C．240° D．220°
7．如图所示，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（ ）A．180° B．270° C．360° D．540°
8．在第24届北京冬季奥林匹克运动会上，花样滑冰运动因其是力与美的结合而吸引着不少人的关注，运
动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作，某位运动员就在冰面上滑出了如图
所示的几何图形，请利用所学知识计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．360° B．270° C．240° D．180°
9．如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，若∠BCD＝110°，则
∠A+∠B+∠D+∠E+∠F等于（ ）
A．470° B．450° C．430° D．410°
10．【建立模型】如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，求证：∠P＝∠1+
∠A+∠2；
【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 度；
【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠G的度数．
【提升思维】如图 4，将五角星的每个角都截去，则一共得到 10 个角，则这 10 个角的和
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J的度数是 度．题型三：多边形的截角问题
11．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边数不可能是（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6
13．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是
．
14．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
15．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7
▲1.多边形的内角和定理：
n边形的内角和等于 ．
注意：（1）其中n≥3，且为自然数；
（2）多边形的内角和与它的 有关.
2.正多边形的内角：∵正n边形的内角= .（其中n≥3，且为自然数）
