文档内容
能力提高 / 初三 / 秋季
第 1 讲 矩形菱形综合
例题练习题答案
例1
(1)如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC = 4，BC = 3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于
E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值为__________．
(2)如图所示，在矩形ABCD中，AB = 6，AD = 8，P是AD上的一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于
F，则PE +PF的值为_____________．
(3) 如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE = 15∘ ，则下列结论：
①△ODC是等边三角形；
②BC = 2AB；
③∠AOE = 135∘ ；
④S = S ，
△AOE △COE
其中正确的结论有_________________．
1/176
(4)如图，在矩形ABCD中，AB = 3，BC = 5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是
_____________．
练1.1
(1)如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AB = 10，BC = 6，P为AB上一动点，且PE⊥AC
于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值为_________．
(2)如图所示，在矩形ABCD中，AB = 3，BD = 5，P是AD上的一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于
F，则PE +PF的值为_________．
(3) 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE = 15∘ ，则∠BOE
的度数为_________．
(4)如图，在矩形ABCD中，AB = √2，BC = 2，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长
是________．
2/176
例2 如图，P是□ABCD的边AD的中点，且PB = PC．求证：四边形ABCD是矩形．
练2.1 如图，P是□ABCD的边AD的中点，且PB = PC，则∠APB和∠DPC的大小关系是_____________．
例3
(1)如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，BE = 1，EF = 2，则矩形的面积是
________．
(2)如图，在矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，CF⊥BD，AG平分∠BAD，与FC的延长线交于点
E，求CE的长．
3/176
练3.1
(1)在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，BE = 1，EF = 2，则AE的长是________．
(2)在矩形ABCD中，AB = 1，AD = √3，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交
于点H，下列结论中：①AF = FH；②BO = BF；③CA = CH；④BE = 3ED，正确的个数是
（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例4
4/176
(1) 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC = 45∘ ，点A的坐标为 ( √2,0 ) ，则点
B的坐标为____________．
(2) 如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD = 120∘ ，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则
EF +BF的最小值是______________．
练4.1
(1) 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC = 60∘ ，点A的坐标为(2,0)，则点B
的坐标为____________．
(2)如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE = 1，AF = 2，若P为对角线BD上一动点，则EP +FP
的最小值为___________．
例5 如图，菱形ABCD的较短对角线BD为5√3，∠ADB = 60∘ ，E、F分别在AD、CD上，且△BEF的一
个内角等于60∘ ，判断△BEF的形状，并求AE +CF的值．
5/176
练5.1 如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A = ∠EDF = 60∘ ，有下列结论：
①AE = BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE = ∠BEF．
其中结论正确的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例6 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若
∠BAD = ∠BCD，AM = AN，求证：四边形ABCD是菱形．
练6.1 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若
∠BAD = ∠BCD = 110∘ ，AM = AN，连接AC，则∠MAC的度数是（ ）
6/176
A： 20∘
B： 35∘
C： 55∘
D： 75∘
能力提高 / 初三 / 秋季
第 1 讲 矩形菱形综合
自我巩固答案
1 如图，在 △ ABC中，AB = 3，AC = 4，BC = 5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于
F，M为EF的中点，则AM的最小值为（ ）
A： 5
4
B： 5
2
C： 5
3
7/176
D： 6
5
2 如图，在矩形ABCD中，AB = 5，BC = 12，P是AD上的一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则
PE +PF的值为（ ）
A： 5
B： 12
C： 13
D： 60
13
3 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若AC = 2AB，则∠OEA的度数
为（ ）
A： 15∘
B： 30∘
C： 45∘
D： 75∘
4 如图，P是□ABCD的边AD的中点，且PB = PC，BC = 2AB，则∠APB = （ ）
8/176
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 无法确定
5 在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE//BC交CD于E，若OE = 3，CE = 2，则矩形ABCD
的周长为（ ）
A： 10
B： 15
C： 20
D： 22
6 在矩形ABCD中，AB = 1，AD = √3，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点
H，则∠H的度数是（ ）
A： 15∘
9/176
B： 30∘
C： 45∘
D： 60∘
7 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标为(4,3)，则点B的坐标为（ ）
A： (8,3)
B： (3,8)
C： (9,3)
D： (4,8)
8 如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD = 120∘ ，点E是AB的中点，点F是BD上的一动点，则
EF +AF的最小值是（ ）
A： 2
B： 2√3
C： 4
D： 4√3
9 如图，菱形ABCD的较短对角线BD为4，∠ADB = 60∘ ，E、F分别在AD、CD上，∠EBF = 60∘ ，
则AE +CF的值为（ ）
10/176
A： 4
B： 4√3
C： 6
D： 6√3
10 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，并且BE = BF，求证：
四边形ABCD是菱形．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 1 讲 矩形菱形综合
课堂落实答案
1 如图， △ ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC = 12，BC = 5，P为AB上一动点，且PE⊥AC于
E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值为（ ）
A： 12
5
11/176
B： 13
C： 60
13
D： 17
2 如图，矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．当
四边形BEDF是菱形时，EF = （ ）
A： 17
5
B： 15
4
C： 3√2
D： 9
2
3 如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD = 135∘ ，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则
EF +BF的最小值是____________．
4 如图，菱形ABCD的较短对角线BD为6，∠ADB = 60∘ ，E、F分别在AD、CD上，且 △ BEF的一
个内角等于60∘ ，则AE +CF的值为（ ）
12/176
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
5 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，并且DE = DF，求
证：四边形ABCD是菱形．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 1 讲 矩形菱形综合
精选精练
1 如图，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，AC = 4，P为AB上一动点，且PE⊥AC于
E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值为（ ）
A： √2
13/176
B： 4√2
C： 2√2
D： 4
2 如图，矩形ABCD中，AB = 2，AD = 4，AC的垂直平分线EF交AD于点E，交BC于点F，则DE =
__________．
3 如图，在△ABC中，AC = 9，AB = 12，BC = 15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于
点H．
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH是否存在最小值？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
4 如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB的长度为
3，则PM+PB的最小值为__________．
5 如图，菱形ABCD中，∠D = 60∘ ，点E、F分别在边BC、CD上，且BE = CF．若EF = 2，则△AEF
的面积为（ ）
14/176
A： 4√3
B： 3√3
C： 2√3
D： √3
6 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平
行四边形ECFG．
（1）如图1，求证：平行四边形ECFG为菱形；
（2）如图2，若∠ABC = 90∘ ，M是EF的中点，求∠BDM的度数；
（3）如图3，若∠ABC = 120∘ ，请直接写出∠BDG的度数．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 2 讲 正方形的高级技巧
例题练习题答案
例1
(1)如图，以正方形ABCD的一边向外作等边三角形ABE，BD与EC交于点F，且DF = EF，则
∠AFD等于（ ）
A： 60∘
15/176
B： 50∘
C： 45∘
D： 40∘
(2)如图，四边形ABCD是正方形，点E、F在AC上（除端点外），且AF = CE，下列结论不一定
成立的是（ ）
A： △ ADF ≅△ CBE
B： 四边形BEDF是平行四边形
C： BF∥DE，BF = DE
D： AE = AD
例2 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下
列五个结论：
①AP = EF；
②AP⊥EF；
③∠PFE = ∠BAP；
④PD = EC；
2 2 2
⑤PB +PD = 2PA ，
正确的有____________．
16/176
练2.1 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的任意一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，
已知正方形边长为5，则EF的最小值为____________．
例3 如图，正方形ABCD中，M、N分别为BC和CD边上的两点，∠MAN = 45∘ ．
（1）求证：BM +DN = MN；
（2）若AB = 6，MN = 5，求△CMN的面积．
练3.1 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC > AD），∠B = 90∘ ，AB = BC，E是AB上一点，且
∠DCE = 45∘ ，AD = 6，DE = 10，则梯形ABCD的面积为______________．
例4 如图，正方形ABCD中有一点P，使得PA = 1，PB = 2，PC = 3．
（1）求∠APB的度数；
（2）求正方形的面积．
练4.1 P为正方形ABCD的对角线BD上一动点，若AB = 2，则AP +BP +CP的最小值为（ ）
17/176
A： √2+√5
B： √2+√6
C： 4
D： 3√2
例5 已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB > CE．
（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG = DE；
（2）如图2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时，恰好使得CG//BD，BG = BD，求
∠BDE的度数；
（3）在（2）的条件下，当正方形ABCD的边长为√2时，请直接写出正方形CEFG的边长．
练5.1 在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连接ED与FC交于点M，则∠DMC =
______________．
18/176
例6 如图1，在正方形ABCD中，P是CD上的一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，
垂足为E、F．
（1）求证：BE = EF +DF；
（2）如图2，若点P是DC延长线上的一个动点，请探索BE、DF、EF三条线段之间的数量关系，
并说明理由；
（3）如图3，若点P是CD延长线上的一个动点，请探索BE、DF、EF三条线段之间的数量关系．
练6.1 过正方形ABCD的顶点B作直线l，分别过A、C作l的垂线，垂足为E、F，若AE = 3，CF = 1，则
AB = （ ）
A： 1
B： 2
C： √10
D： 4
能力提高 / 初三 / 秋季
第 2 讲 正方形的高级技巧
自我巩固答案
19/176
1 在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AB = 2，E是BC中点，点P在对角线AC上滑动，则
BP +EP的最小值是（ ）
A： √3
B： 2
C： √5
D： 2√2
2 如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC = 90∘ ，DE⊥AB，若四边形ABCD的面积为16，
则DE的长为（ ）
A： 3
B： 2
C： 4
D： 8
3 如图，正方形ABCD中，∠ADE = 17∘ ，DE交对角线AC于点M，连接BM并延长与AD交于点F，
则∠BMC的度数为（ ）
A： ∘
34
20/176
B： ∘
51
C： ∘
62
D： ∘
68
4 如图，正方形ABCD的对角线交于点O，过点O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE = 4，
CF = 3，则EF的值是（ ）
A： 7
B： 5
C： 4
D： 3
5 如图，正方形ABCD中，CE = MN，∠MCE = 35∘ ，则∠ANM = （ ）
A： ∘
35
B： ∘
45
C： ∘
55
D： ∘
65
6 如图，将边长为12的正方形ABCD折叠，使得A点落在CD边上的E点，FG为折痕，若GF = 13，
则CE的长为（ ）
21/176
A： 4
B： 5
C： 6
D： 7
7 如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB和BC边上的两点，∠EDF = 45∘ ，△BEF的周长是3a，则正
方形的边长为（ ）
A： 3a
B： 5
a
2
C： 2a
D： 3
a
2
8 E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△BEF是等腰直角三角形，其中∠EBF = 90∘ ，连
接CE、CF，则△CEF是（ ）
22/176
A： 锐角三角形
B： 等腰三角形
C： 直角三角形
D： 等腰直角三角形
9 如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE = BF = CG = DH = 5，则四边形EFGH的面
积是（ ）
A： 30
B： 34
C： 36
D： 40
10 如图，E是正方形ABCD的边BC上的一个动点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在
射线EP上截取线段EF，使得EF = AE，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．
（1）求证：FG = BE；
（2）探究点F是否在∠DCG的平分线上，并说明你的理由．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 2 讲 正方形的高级技巧
课堂落实答案
23/176
1 如图，正方形ABCD中，∠DAF = 23∘ ，交对角线BD于点E，交CD于点F，则∠BEC的度数为
（ ）
A： ∘
20
B： ∘
45
C： ∘
68
D： ∘
78
2 如图，在正方形ABCD中，CE = BN，∠BCE = 40∘ ，则∠ANB = （ ）
A： ∘
70
B： ∘
60
C： ∘
50
D： ∘
40
3 边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，现将正方形OABC绕原点O顺时
针旋转，当A点第一次落在直线y = x上时停止旋转，在旋转的过程中，AB边交直线y = x于点
M，BC边交x轴于点N，则△MBN的周长为（ ）
24/176
A： 4
B： 3
C： 2
D： 无法确定
4 如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG = AB，∠CAE = 15∘ 且AE = AC，连接GE．
将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，使DF = GE，则∠CAF的度数为（ ）
A： ∘ ∘
40 或50
B： ∘ ∘
30 或60
C： ∘ ∘
45 或55
D： ∘ ∘
40 或60
5 直线l ∥l ∥l ，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在l 、l 、l 上，l 、l 之间的距离是4，l 、
1 2 3 1 2 3 1 2 2
l 之间的距离是5，则正方形ABCD的面积是__________．
3
能力提高 / 初三 / 秋季
25/176
第 2 讲 正方形的高级技巧
精选精练
1 如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且AE = EF = FA．下列结论：
① △ ABE≌ △ ADF； ② CE = CF； ③ ∠AEB = 75∘ ； ④ BE +DF = EF； ⑤
S +S = S ，其中正确的是__________（只填写序号）．
△ABE △ADF △CEF
2 如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边
AB⇒BC⇒CD
⇒DA⇒AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是（ ）
A：
B：
C：
D：
26/176
3 如图，线段AC = n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正
方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB = 1时，△AME的面积记为S ；当AB = 2时，
1
△AME的面积记为S ；当AB = 3时，△AME的面积记为S ；……当AB = n时，△AME的面积记为S
2 3 n
．当n ≥ 2时，S −S = __________．
n n−1
4 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE = BF
时，∠AOE的大小是__________．
5 （1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF = BE．
求证：CE = CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE = 45∘ ，请你
利用（1）的结论证明：GE = BE +GD；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC > AD)，∠B = 90∘ ，AB = BC，E是AB上一点，
且∠DCE = 45∘ ,BE = 4,DE = 10，求直角梯形ABCD的面积．
27/176
6 如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角，且点E、A、B三点共线，若AB = 2，则
阴影部分的面积是________．
7 如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．
（1）求证：AE = BF；
（2）如图，连接DF、CE，探究线段DF与CE的关系并证明．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 3 讲 一元二次方程的解法
例题练习题答案
例1
(1) ( 2 ) 2
关于x的方程 k −1 x +2(k−1)x+2k+2 = 0，当k____时，方程为一元二次方程．
(2) 2
已知关于x的一元二次方程ax +bx+c = 0有一个根为1，有一个根为−1，a+c的值为______．
练1.1
(1) |m|+1
当m___________时，关于x的方程(m−1)x +3x−2 = 0是一元二次方程．
(2) 2
已知关于x的一元二次方程(a−1)x +x+|a|−1 = 0有一个根为0，a的值为___________．
28/176
例2
(1)用直接开方法解方程：
2
①x −9 = 0；
2
②4(x−2) −36 = 0；
2 2
③(2x−5) = (3x−1) ．
(2)用配方法解方程：
2
①x +2x−1 = 0；
2
②−2x −5x+10 = 0．
例3 用公式法解下列一元二次方程：
2
（1）x −x−2 = 0；
2
（2）2x −5x−1 = 0；
2
（3）0.3y +y = 0.8；
（4）x 2 −3√2x+3 = 0．
例4 用因式分解法解方程：
(1) 2
x −6x+5 = 0
(2)x(x−4) +5(x−4) = 0
练4.1 用因式分解法解方程：
2 2
（1）x +2x−15 = 0；（2）2x −9x−5 = 0.
练4.2 按要求解下列一元二次方程：
(1) 2
2x +4x−7 = 0（配方法）．
(2) 2
2x −3x+2 = 0（公式法）．
(3) 2
x −7x+10 = 0（用适当方法）．
29/176
(4) 2
5(x+1) = 7(x+1)（用适当方法）．
例5
(1) 2
求证：关于x的方程x +(m−1)x−m = 0（其中m是实数）一定有实数根．
(2) 2
求证：不论m为任何实数，关于x的方程x −2mx+6m−10 = 0总有两个不相等的实数根．
练5.1 2
求证：关于x的方程2x −3kx−1 = 0一定有两个不相等的实数根．
练5.2 2
已知关于x的一元二次方程x +(m+3)x+m+1 = 0．求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等
的实数根．
例6 2
已知关于x的方程mx −(m+2)x+2 = 0．证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
例7 2
已知关于x的一元二次方程mx +2x−1 = 0（m为常数）没有实数根，则m的取值范围是_____．
练7.1
(1) 2
若关于x的一元二次方程−2kx −4x−k = 1有两个相等的实数根，则k = __________．
(2) 2
已知关于x的方程(m+2)x −3x+1 = 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A： 1
m < 且m ≠ −2
4
B： 1
m < − 且m ≠ −2
4
C： 1
m <
4
D： 1
m < −
4
练7.2
30/176
(1) 2
已知关于x的一元二次方程3x +4x+m = 2有两个相等的实数根，则m = ______．
(2) 2 2
关于x的方程k x +2(k−1)x+1 = 0有两个实数根，则k的取值范围为（ ）
A： 1
k <
2
B： 1
k ≤
2
C： 1
k < 且k ≠ 0
2
D： 1
k ≤ 且k ≠ 0
2
例8 ( 2 ) 2
当m为何值时，关于x的方程 m −4 x +2(m+1)x+1 = 0有实根．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 3 讲 一元二次方程的解法
自我巩固答案
1 关于x的一元二次方程 ( a−√3 ) x 2 +x+a 2 −3 = 0的一个根是0，则a的值为（ ）
A： −√3
B： √3
C： √3或−√3
D： 1.5
2 2
一元二次方程(x−2) = 9的两个根分别是（ ）
A： x = 1，x = −5
1 2
31/176
B： x = −1，x = −5
1 2
C： x = 1，x = 5
1 2
D： x = −1，x = 5
1 2
3 2
用配方法解方程3x −6x+1 = 0，则方程可变形为（ ）
A： 1
2
(x−3) =
3
B： 1
2
3(x−1) =
3
C： 2
(3x−1) = 1
D： 2
2
(x−1) =
3
4 下列用因式分解法解方程正确的是（ ）
A： (x−2)(x+1) = 0，∴x−2 = 0
B： 1 1
( )
x+ (1−x) = 0，∴x+ = 0或1−x = 0
2 2
C： (x+1)(x−1) = 2，∴x+1 = 1或x−1 = 2
D： (3−x)(x+2) = 2×4，∴3−x = 2或x+2 = 4
5 2
解方程：x +x−3 = 0．
6 2 2
已知k是x −2017x+1 = 0的一个不为0的根，不解方程，请求出2k −4034k的值．
7 2
已知关于x的方程kx +(1−k)x−1 = 0，下列说法正确的是（ ）
A： 当k = 0时，方程无解
B： 当k = 1时，方程有一个实数解
32/176
C： 当k = −1时，方程有两个相等的实数解
D： 当k ≠ 0时，方程总有两个不相等的实数解
8 2
若关于x的一元二次方程x +2x+k−1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请你选取一个合适的k的值代入方程并求出这个方程的两根．
9 2
已知关于x的一元二次方程2x −3x−m = 0．
(1)当m = 1时，求方程的根；
(2)若方程有两个不相等的根，求m的取值范围．
10 2
关于x的一元二次方程(m−1)x −2mx+m+1 = 0．(m ≠ 1)
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）求出该方程一个固定的根．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 3 讲 一元二次方程的解法
课堂落实答案
1 2
如果关于x的方程(m+3)x −mx+1 = 0是一元二次方程，则（ ）
A： m ≠ −3
B： m ≠ 3
C： m ≠ 0
D： m ≠ −3且m ≠ 0
2 用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A： 2 2
方程x −6x−5 = 0，可化为(x−3) = 4
33/176
B： 2 2
方程y −2y−2015 = 0，可化为(y−1) = 2015
C： 2 2
方程a +8a+9 = 0，可化为(a+4) = 25
D： 3 23
( )2
2
方程2x −6x−7 = 0，可化为 x− =
2 4
3 用公式法解方程x 2 +2√2x−6 = 0的结果是（ ）
A： x = x = 1
1 2
B： x = 0，x = −2√2
1 2
C： x = √2，x = −3√2
1 2
D： x = −√2，x = 3√2
1 2
4 下列方程没有实数根的是（ ）
A： 2
3x −2x = 0
B： 2
3x +2 = 4x
C： 2
(1−2x) −2 = 0
D： √2x 2 −3x−√3 = 0
5 2 2
求证：关于x的方程2x +3(m−1)x+m −4m−7 = 0对于任何实数m，永远有两个不相等的实数
根．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 3 讲 一元二次方程的解法
精选精练
1 2 2
解方程：ax −2 = 2x ．
34/176
2 2 2
解关于x的方程：x +x−2+k(x +2x) = 0．
3 若实数a，b满足(2a+2b)(2a+2b−2) −8 = 0，则a+b = _____．
4 ( 2 2 )( 2 2 ) 2 2
已知 x +y +1 x +y +3 = 8，则x +y 的值为（ ）
A： −5或1
B： 1
C： 5
D： 5或−1
5 2
若关于x的一元二次方程x −2x+kb+1 = 0有两个不相等的实数根，则一次函数y = kx+b的大致
图象可能是（ ）
A：
B：
C：
D：
6 √
2 2
若关于x的一元二次方程x +2x+m = 0有两个不等的实数根，化简|2−m|− m −2m+1 .
35/176
能力提高 / 初三 / 秋季
第 4 讲 一元二次方程的应用
例题练习题答案
例1 为进一步发展基础教育，自2016年以来，某县加大了教育经费的投入，2016年该县投入教育经费
6000万元，2018年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相
同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2019年该县投入教育经费
多少万元．
练1.1 我省2016年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务
迅猛发展，2018年的快递业务量达到4.5亿件．设2017年与2018年这两年的平均增长率为x，则下列
方程正确的是（ ）
A： 1.4(1+x) = 4.5
B： 1.4(1+2x) = 4.5
C： 2
1.4(1+x) = 4.5
D： 2
1.4(1+2x) +1.4(1+2x) = 4.5
练1.2 某钢铁厂今年1月份钢产量为4万吨，3月份钢产量为4.84万吨，每月的增长率相同，问2、3月份平
均每月的增长率是_______．
例2 为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平
均每次降价的百分率为_______%．
练2.1 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本
是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
(1)求每个月生产成本的下降率；
36/176
(2)请你预测4月份该公司的生产成本．
例3 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．
为了促销，同时又要使消费者得到更多实惠，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西
瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要
想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
练3.1 将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖出500个．已知这种商品每涨价1元，其销售量减少
10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为（ ）
A： 60元
B： 80元
C： 60元或80元
D： 30元
练3.2 商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当
的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种
冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（ ）元．
A： 100
B： 200
C： 300
D： 400
例4 如图，用长为22m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14m），围成中间隔有一道篱笆的长
方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．
（1）设花圃的一边AB长为xm，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为________m；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m 2 ，求此时花圃的长与宽．
37/176
练4.1 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆
2
围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m ，设与墙垂直的
一边长为xm，则可以列出关于x的方程是（ ）
A： x(26−2x) = 80
B： x(24−2x) = 80
C： (x−1)(26−2x) = 80
D： x(25−2x) = 80
练4.2 有12米长的木料，要做成一个窗框(如图)．设窗框横档的长度为x米，那么窗框的面积是（ ）
A： x(6−x)平方米
B： x(12−x)平方米
C： x(6−3x)平方米
D： 3
( )
x 6− x 平方米
2
例5 某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了几个人？
练5.1 某实验室需要培养一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培养后，总和达到24000个，其中每
个有益菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮培养中平均每个有益菌可分裂出多少
个有益菌？
例6 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他学生各赠送一件，全组共互赠了182件．如果
全组共有x名学生，则根据题意列出的方程是（ ）
38/176
A： x(x+1) = 182
B： 1
x(x+1) = 182×
2
C： x(x−1) = 182
D： x(x−1) = 182×2
练6.1 参加商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．设共有x家公
司参加商品交易会，则x满足的关系式为（ ）
A： 1
x(x+1) = 45
2
B： 1
x(x−1) = 45
2
C： x(x+1) = 45
D： x(x−1) = 45
能力提高 / 初三 / 秋季
第 4 讲 一元二次方程的应用
自我巩固答案
1 某钢铁厂1月份生产某种钢材5万吨，3月份生产这种钢材7.2万吨，设平均每月增长的百分率
为x，则根据题意可列方程为（ ）
A： 5(1+x) = 7.2
B： ( 2 )
5 1+x = 7.2
C： 2
5(1+x) = 7.2
D： 2
7.2(1+x) = 5
39/176
2 某种商品经过两次大的降价后，售价仅为原售价的49%，则平均每次的降价率为（ ）
A： 30%
B： 40%
C： 50%
D： 51%
3 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少
2
了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m ，求原正方形空地的边长．设原正方形的空
地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A： (x+1)(x+2) = 18
B： 2
x −3x+16 = 0
C： (x−1)(x−2) = 18
D： 2
x +3x+16 = 0
4 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个
航空公司共有飞机场（ ）
A： 5个
B： 6个
C： 7个
D： 8个
5 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价
x（元）满足关系：P = 100−2x．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据
题意，下面所列方程正确的是（ ）
40/176
A： (x−30)(100−2x) = 200
B： x(100−2x) = 200
C： (30−x)(100−2x) = 200
D： (x+30)(2x−100) = 200
6 元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组
共互送了90张贺卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为
（ ）
A： x（x﹣1）=90
B： x（x﹣1）=2×90
C： x（x﹣1）=90÷2
D： x（x+1）=90
7 某商场将进价为30元的台灯按40元出售，平均每月能售出600盏．调查表明，这种台灯的售价每
上涨1元，其销售量减少10盏．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多
少元？这时应进台灯多少盏？
8 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支
的总数是91，每个支干长出多少小分支？
9 一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正
方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为
2
264cm ，求剪掉的正方形纸片的边长．
10 东台市某楼盘准备以每平方米8000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，
购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格进行下调，经过两次下调后，决定以
每平方米6480元的均价开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率．
41/176
(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米100元，请通过计算说明哪种方案更优
惠？
能力提高 / 初三 / 秋季
第 4 讲 一元二次方程的应用
课堂落实答案
1 某商场将每件进价为20元的玩具以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价
每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3750元利润，则每件玩具应涨多少元？如果设
每件玩具应涨x元，则下列说法错误的是（ ）
A： 涨价后每件玩具的售价是(30+x)元
B： 涨价后每天少售出玩具的数量是10x件
C： 涨价后每天销售玩具的数量是(300−10x)件
D： 可列方程为(30+x)(300−10x) = 3750
2 有4人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感，设每轮传染中平均每人传染了x个人，根
据题意可列方程为（ ）
A： 4+4(1+x) = 100
B： 2
4(1+x) = 100
C： 4+x+4(1+x) = 100
D： 2×4(1+x) = 100
3 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的
增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A： 2
50(1+x) = 182
B： 2
50+50(1+x) +50(1+x) = 182
42/176
C： 50(1+2x) = 182
D： 2
50+50(1+x) +50(1+2x) = 182
4 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，
2
如果要使整个挂图的面积是5400cm ，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A： 2
x +130x−1400 = 0
B： 2
x +65x−350 = 0
C： 2
x −130x−1400 = 0
D： 2
x −65x−350 = 0
5 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀
请多少个球队参加比赛？
能力提高 / 初三 / 秋季
第 4 讲 一元二次方程的应用
精选精练
1 若两个连续整数的积为56，则这两个连续整数的和为（ ）
A： 15
B： −15
C： ±15
D： −1
43/176
2 某两位数的十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得
的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．
3 子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心
所欲，不逾矩．”——《论语∙第二章∙为政篇》
列方程解决下面问题：
• • •
读诗词解题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
4 我市城建公司新建了一个购物中心，共有商铺30间，据调查分析，当每间的年租金为10万元时，
可全部租出，若每间的年租金每增加0.5万元，则少租出商铺一间，为统一管理，城建公司租出的
商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用0.5万元．
(1)当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？
(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为275万元？（收益=租金-各种费
用）
5 经市场调研发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．在每件降价幅度不超过18元
的情况下，若每件童装降价1元，则每天可多售出2件，设降价x元．
(1)降价x元后，每件童装盈利是_____元，每天销售量是_____件；
(2)要想每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
(3)每天能盈利1800元吗？如果能，每件童装应降价多少元？如果不能，请说明理由．
6 将一条长为40cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1) 2
要使这两个正方形的面积之和等于52cm ，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
(2) 2
两个正方形的面积之和可能等于48cm 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理
由．
44/176
能力提高 / 初三 / 秋季
第 5 讲 相似经典模型
例题练习题答案
例1 如图，D、E是AB的三等分点，DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S 、S 、S ，则
1 2 3
S :S :S = （ ）
1 2 3
A： 1:2:3
B： 1:2:4
C： 1:3:5
D： 2:3:4
练1.1 下列说法正确的是（ ）
A： 所有的矩形都是相似图形
B： 有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
C： 对应角相等的两个多边形相似
D： 对应边成比例的两个多边形相似
练1.2 AD
如图，在矩形ABCD中，E、F分别为AD与BC的中点，且矩形ABCD∽矩形AEFB， 的值为
AB
（ ）
45/176
A： 2
B： 5
3
C： √2
D： √3
例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC．
(1)求证：△ABD∽△DCB；
(2)如果AD=4，BC=9，求BD的长．
练2.1 如图，点P在△ABC的边AC上，下列条件中不能判断△ABP∽△ACB的是（ ）
A： ∠ABP = ∠C
B： ∠APB = ∠ABC
C： AP AB
=
AB AC
D： AB AC
=
BP CB
46/176
练2.2 2 5
′ ′ ′ ′ ′ ′
已知△ABC与△A B C 的相似比为 ，△A B C 与△A″B″C″的相似比为 ，则△ABC与△A″B″C″的相
3 4
似比为（ ）
A： 5
6
B： 6
5
C： 5 6
或
6 5
D： 8
15
例3 如图， △ ABC与 △ A B C 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心坐标是（ ）
1 1 1
A： (6,2)
B： (6,1)
C： (4,2)
D： (2,6)
练3.1
(1)如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面
′
积比是4:9，则OB :OB为（ ）
47/176
A： 2:3
B： 3:2
C： 4:5
D： 4:9
(2)如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A、B、C的坐标分别是(1, −1)、(2,1)、(1,1)．
①作图：以点O为位似中心，在y轴的左侧把原来的四边形OABC放大两倍（不要求写出作图
过程）；
②直接写出点A、B、C的对应点A′、B′、C′的坐标．
练3.2 在平面直角坐标系中，已知点E(−4,2)，F(−2, −2)，以原点O为位似中心，相似比为2:1，把
△ EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A： (−2,1)
B： (−8,4)
48/176
C： (−2,1)或(2, −1)
D： (−8,4)或(8, −4)
例4
(1)如图，在△ABC中，AB = 9，AC = 6，BC = 12，点M在边AB上，AM = 3，过点M作直线MN
与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为____________．
(2)如图，在△ABC中，AB = 20，BC = 12，D是AC上一点，过点D作DE∥BC交AB于E，
作DF∥AB交BC于F，设四边形BEDF为菱形．
①求菱形的边长；
②求菱形BEDF的面积与△ABC的面积之比．
练4.1 如图，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，下面的说法中正确的是（ ）
① △ ABC与 △ DEF是相似三角形；② △ ABC与 △ DEF的相似比为1:2；
③ △ ABC与 △ DEF的周长之比为2:1；④∠BAC = ∠EDF．
A： ①②③
B： ②③④
C： ①②④
49/176
D： ①③④
练4.2 BF CE 4 DE
如图，已知点D、E、F分别在 △ ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC， = = ，则 =
CF AE 3 BC
____________．
例5 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC = 120mm，高AD = 80mm，把它加工成正方形零件如
图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1） 求证： △ AEF∽ △ ABC；
（2） 求这个正方形零件的边长；
（3） 如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
练5.1 如图，在 △ ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另外两个顶点G、H分别在AC、AB
上，BC = 15，BC边上的高是10，则正方形的面积为（ ）
A： 6
B： 36
C： 12
D： 49
50/176
练5.2 如图，在 △ ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，AH是BC边
上的高，AH与GF交于点K．若AH = 32cm，BC = 48cm，矩形DEFG的周长为76cm，矩形DEFG的
面积为______________．
例6 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且AE=3ED，连接CE并延长交AB于F，则
BF:AB=（ ）
A： 1:2
B： 1:3
C： 2:3
D： 2:5
练6.1 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC = ∠DBC，那
么下列结论不一定正确的是（ ）
A： △AOD∽△BOC
B： △AOB∽△DOC
C： CD=BC
D： BC⋅CD = AC⋅OA
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练6.2 如图，点D是AB边的中点，AF∥BC，CG:GA = 3:1，BC = 8，则AF = ______．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 5 讲 相似经典模型
自我巩固答案
1 如图，正方形ABCD的边长为2，BE = CE，MN = 1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM
为（ ）时， △ ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
A： √5
5
B： 2√5
5
C： √5 2√5
或
5 5
D： 2√5 3√5
或
5 5
2 如图，在直角坐标系中， △ ABO三个顶点及点P的坐标分别是O(0,0)、A(4,2)、B(2,4)、P(4,4)，
以点P为位似中心，画 △ DEF与 △ ABO位似，且相似比为1：2，请在网格中画出符合条件的
52/176
△DEF．
3 在 △ ABC中，DE∥BC，AD:AB = 3:4， △ ABC的面积等于48，则 △ ADE的面积等于（ ）
A： 12
B： 24
C： 27
D： 36
4 如图，点D在△ABC的边AB上，连接CD，若∠ADC = ∠ACB，BD = 1，AD = 2，则CA的值为
（ ）
A： 5
B： 4
C： 6
D： √6
53/176
5 如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平
行线交AC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A： AD AE
=
BD EC
B： AF DF
=
AE BE
C： AE AF
=
EC FE
D： DE AF
=
BC FE
6 如图，在△ABC中，EFGH是正方形，E、F在BC边上，H、G分别在AB、AC边上，BC = a，BC边
上的高为h，则正方形EFGH的边长为（ ）
A： ah
a+h
B： 2
h
a
C： 2
a
h
54/176
D： 2
ah
2
(a+h)
7 如图，AB∥CD，AD、BC相交于点O，点E、F分别是OA、OB的中点，若OB = 4，OC = 3，
EF = 4，则CD的长为（ ）
A： 8
3
B： 4
C： 6
D： 8
8 如图，在 △ ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S :S = （ ）
△DOE △COB
A： 1:4
B： 2:3
C： 1:3
D： 1:2
9 如图，□ABCD中，E、F是边BC的三等分点，AF交DE于点M，则AM:AF等于（ ）
55/176
A： 3:2
B： 2:3
C： 3:4
D： 4:3
10 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、AB中点，连接FC、AE，且AE与FC交于点M，AE
的延长线与DC的延长线交于点N．若AB=2，BF = 2ME，线段AN的长为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
能力提高 / 初三 / 秋季
第 5 讲 相似经典模型
课堂落实答案
1 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的
三角形所在的网格图形是（ ）
56/176
A：
B：
C：
D：
2 如图，已知点E(−8,4)，F(−4, −4)，以点O为位似中心画三角形，使它与△EFO位似，且相似比为
1
，则点E的对应点的坐标为___________．
2
3 如图，要在一块△ABC的纸片上截取正方形DEFG模型．其中，G、F在BC边上，D、E分别
在AB、AC边上，AH⊥BC交DE于M，若BC = 12cm，AH = 8cm，则正方形DEFG的边长是
（ ）
57/176
A： 24
cm
5
B： 4cm
C： 24
cm
7
D： 5cm
4 如图，已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点
E、F、G，若BE = 5，EF = 2，则FG的长为（ ）
A： 11
2
B： 15
2
C： 21
2
D： 23
2
5 如图， △ ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF//BC交AD于点F，则FG:AG是（ ）
58/176
A： 1:4
B： 1:3
C： 1:2
D： 2:3
能力提高 / 初三 / 秋季
第 5 讲 相似经典模型
精选精练
1 如图，△ABC中，AB = 4，BC = 6，点D、点E分别是边AB、BC上的两个动点，若按照下列条件，
将△ABC沿DE剪开，剪下的△BDE与原三角形不相似的是（ ）
A： ∠BDE = ∠C
B： DE∥AC
C： AD = 3，BE = 2
D： AD = 1，CE = 4
2 如图，在 △ ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB=AD．
（1）判断 △ FDB与 △ ABC是否相似，并说明理由；
（2）AF与DF相等吗？为什么？
59/176
3 如图，有一块三角形余料ABC，BC = 120mm，高线AD = 80mm，要把它加工成一个矩形零件，
使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB、AC边上，若满足PM:PQ = 3:2，则PM的长为（ ）
A： 60mm
B： 20mm
C： 160
mm
13
D： 240
mm
13
4 如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∠EAF = ∠GAC．
（1）求证： △ ADE∽ △ ABC；
AF
（2）若AD=3，AB=5，求 的值．
AG
5 如图，点M是平行四边形ABCD边CD上的一点，BM的延长线交AD的延长线于点N，则图中相似
的三角形有（ ）
60/176
A： 3对
B： 2对
C： 1对
D： 0对
6 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F ，
S :S = 4:25，则DE:EC = （ ）
△DEF △ABF
A： 2:5
B： 2:3
C： 3:5
D： 3:2
能力提高 / 初三 / 秋季
第 6 讲 反比例函数初步
例题练习题答案
例1
(1)下面是一些关于x的函数，请找出所有的反比例函数，并在后面写出常数k是多少．
x
①y = ；
3
1
②y = − ；
x−1
③xy = 1；
61/176
2
m +2
④y =
x
π
⑤y = − ；
x
−2
⑥y = −3x ；
−1
⑦y = (π−3.14)x ；
3
⑧y = +1．
x
(2) |m|−2
若y = (m−1)x 是反比例函数，则m的值是______________．
练1.1
(1)下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A： 1
y = −
2x
B： 1
y = −
2
x
C： 1
y = −
x+1
D： 1
y = 1−
x
(2) ( 2 ) −|m−1|
函数y = m −m x 是反比例函数，则m满足的条件是___________________．
练1.2
(1)下列关系式中，哪个表示y是x的反比例函数（ ）
A： 3
y =
2
x
62/176
B： x
y =
2
C： 1
y = +2
x
D： 1
y = −
x
例2
(1) 1 2 1
在同一平面直角坐标系中画出下列反比例函数的图象：①y = ；②y = ；③y = − ．
x x 2x
(2) b
若ab < 0，则正比例函数y = ax与反比例函数y = 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
x
练2.1
(1) 2
m +1
下列关于反比例函数y = 的图象的说法正确的是（ ）
x
A： 图象在第一、三象限
B： 图象在第二、四象限
C： 图象在第一、二象限
D： 图象在第三、四象限
63/176
(2) a
函数y = （a ≠ 0）与y = a(x+1)（a ≠ 0）在同一坐标系中的大致图象是（ ）
x
练2.2
(1) 2
−(n−1)
下列关于反比例函数y = 的图象的说法正确的是（ ）
x
A： 图象在第一、三象限
B： 图象在第二、四象限
C： 图象在第一、二象限
D： 图象在第三、四象限
(2) −k
在同一直角坐标系中，函数y = kx+1与y = （k ≠ 0）的图象大致是（ ）
x
例3 k
已知点(2,3)是反比例函数y = 图象上的点，求反比例函数的解析式．
x
练3.1 k 1
( )
已知反比例函数y = 的图象经过点 −1, ，则反比例函数的解析式为______________．
x 2
练3.2 k
已知反比例函数y = 的图象经过点(−2, −3)，则反比例函数的解析式为______________．
x
64/176
例4
(1) 4
反比例函数y = − 的图象上一点A，过A点分别作x轴、y轴的垂线，垂足为B、C，求矩形
x
ABOC的面积．
(2) 2 4
反比例函数y = 与y = 在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交反比
x x
例函数于B、A两点，交x轴于点H，连结OA、OB，则△AOB的面积为____________．
练4.1 3
（1）反比例函数y = 的图象上一点A，过A点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、C，则矩形
x
ABOC的面积为_________．
2 5
（2）双曲线y = − 与y = − 在第二象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的线段分别交双
x x
曲线于B、A两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为________．
练4.2
(1) 2
反比例函数y = − 的图象经过点A，过点A作AB⊥x轴于点B，则ΔAOB的面积为____．
x
65/176
(2) 5
如图，点A、B是反比例函数y = 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若阴影
x
部分面积为2，则S +S = _________．
1 2
能力提高 / 初三 / 秋季
第 6 讲 反比例函数初步
自我巩固答案
1 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A： y = 2x
B： 2
y =
2
x
C： 3
y =
x
D： y = −x
2 2
m −2
函数y = (m−1)x 是反比例函数，则m的值是（ ）
A： m = ± 1
B： m = 1
C： m = ± √3
D： m = −1
66/176
3 a
函数y = 和一次函数y = −ax+1(a ≠ 0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
x
A：
B：
C：
D：
4 m−1
反比例函数y = 的图象在第一、三象限，则m的取值范围是（ ）
x
A： m ≥ 1
B： m ≤ 1
C： m > 1
D： m < 1
5 1
( ) ( ) ( )
在反比例函数y = − 的图象上有三点 x ,y 、 x ,y 、 x ,y ．若x > x > 0 > x ，则下列各
1 1 2 2 3 3 1 2 3
x
式正确的是（ ）
A： y > y > y
3 1 2
B： y > y > y
3 2 1
67/176
C： y > y > y
1 2 3
D： y > y > y
1 3 2
6 点A(x,y)在某反比例函数的图象上，xy = 4，则此函数的表达式为（ ）
A： 4
y =
x
B： 8
y =
x
C： 8
y = −
x
D： 4
y = −
x
7 k
如图，点P、Q是反比例函数y = 图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴
x
于点M，QB⊥y轴于点B，连结PB、QM，记S = S ，S = S ，则S 和S 的大小关系为
ΔABP 1 ΔQMN 2 1 2
（ ）
A： S > S
1 2
B： S < S
1 2
C： S = S
1 2
D： 无法判定
68/176
8 k
如图，点A是双曲线y = 在第二象限分支上的任意一点，点B、C、D分别是点A关于x轴、坐标原
x
点、y轴的对称点．若四边形ABCD的面积是8，则k的值为（ ）
A： −1
B： 1
C： 2
D： −2
9 如图，在平面直角坐标系中，一个正方形的中心在原点O处，且一组对边与y轴平行，点
k
A(2a, −5a)是反比例函数y = 的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于25，
x
则k的值为（ ）
A： 5
B： −5
C： 10
D： −10
69/176
10 1
如图，A、B是函数y = 的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴．
x
1
( )
（1）已知A的坐标为(1,1)，写出点B的坐标，并求出此时△ABC的面积；点A的坐标为 2, ，写
2
出点B的坐标，并求出此时△ABC的面积；
1
( )
（2）已知点A的坐标为 a, ，求出点B的坐标，并求出此时△ABC的面积．
a
能力提高 / 初三 / 秋季
第 6 讲 反比例函数初步
课堂落实答案
1 m−5
若y = 2x 为反比例函数，则m = （ ）
A： −4
B： −5
C： 4
D： 5
2 a
在同一直角坐标系中，函数y = 2x+a与y = （a ≠ 0）的图象可能是（ ）
x
70/176
A：
B：
C：
D：
3 1−m
对于反比例函数y = ，其图象在每个象限内y的值都随x值的增大而减小，则m的取值范围是（
x
）
A： m > 0
B： m > 1
C： m < 0
D： m < 1
4 已知反比例函数的图象过点M(−1,2)，则此反比例函数的表达式为（ ）
A： 2
y =
x
B： 2
y = −
x
71/176
C： 1
y =
2x
D： 1
y = −
2x
5 如图所示，一个反比例函数的图象在第二象限内，点A是图象上的任意一点，AM⊥x轴于M，O是
原点，若S = 3，求该反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围．
△AOM
能力提高 / 初三 / 秋季
第 6 讲 反比例函数初步
精选精练
1 ( ) 2
2 m −3m+1
函数y = m −m x 是反比例函数，则（ ）
A： m≠0
B： m≠0且m≠1
C： m=2
D： m=1或2
2 a
函数y = ax−a与y = （a ≠ 0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
x
A：
72/176
B：
C：
D：
3 k
如图，反比例函数y= 的图象经过点M，则此反比例函数的解析式为（ ）
x
A： 1
y = −
2x
B： 1
y =
2x
C： 2
y = −
x
D： 2
y =
x
73/176
4 k
如图，正比例函数y = ax的图象与反比例函数y = 的图象相交于点A，B，若点A的坐标为(−2,3)，
x
则点B的坐标为____________．
5 k
如图，A、B是双曲线y = 上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面
x
积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A： 4
3
B： 8
3
C： 3
D： 4
6 k
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y = （x > 0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交
x
边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=______．
74/176
能力提高 / 初三 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 2
一元二次方程3x −2x−4 = 0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A： 3，﹣4，﹣2
B： 3，﹣2，﹣4
C： 3，2，﹣4
D： 3，﹣4，0
2 2
一元二次方程x +4x+a−1 = 0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A： a < 5
B： a > 5
C： a ≤ 5
D： a ≥ 5
3 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A： 当AB = BC时，它是菱形
B： 当AC⊥BD时，它是菱形
C： 当∠ABC = 90∘ 时，它是矩形
D： 当AC = BD时，它是正方形
4 如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 80∘ ，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，
则∠CDF等于（ ）
75/176
A： 50∘
B： 60∘
C： 70∘
D： 80∘
5 2
用配方法解方程：x −4x+2 = 0，下列配方正确的是（ ）
A： 2
(x−2) = 2
B： 2
(x+2) = 2
C： 2
(x−2) = −2
D： 2
(x−2) = 6
6 2
三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x −6x+8 = 0的解，则这个三角形的周长是（ ）
A： 11
B： 13
C： 11或13
D： 不能确定
7 如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：
①∠ACP = ∠B；②∠APC = ∠ACB；③AC 2 = AP ⋅AB；
④AB ⋅CP = AP ⋅CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（ ）
A： ①②③
76/176
B： ①③④
C： ②③④
D： ①②④
8 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为（ ）
A： 10∘
B： 15∘
C： 20∘
D： 12.5∘
9 6
如图，已知点P为反比例函数y = − 上一点，过点P向坐标轴引垂线，垂足分别为M，N，那么四
x
边形MONP的面积为（ ）
A： 2
B： 3
C： 6
D： 12
10 在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在反比例函数的图象上，如果点P的纵坐标是3，
OP = 5，那么该函数的表达式为（ ）
77/176
A： 15
y = −
x
B： 12
y = −
x
C： 15
y =
x
D： 12
y =
x
11 2
方程x +8x−9 = 0的解为_________．
12 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB = 5，AD = 12，则四边
形ABOM的周长为___________．
13 2
关于x的一元二次方程 x −3x+k = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
14 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD = 3，∠ADE = 60∘ ，则AE的长为_________．
15 如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠DCE = _________．
78/176
16 如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF = ∠D = 60∘ ，∠FAD = 45∘ ，则
∠CFE = __________．
17 下列函数中，y随x增大而减小的有_____（填序号）．
1 5 2
①y = (x > 0)；②y = x−2；③y = −3x+1；④y = ；⑤y = (x < 0)．
x x x
18 如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB = 2米，CD = 5米，点
P到CD的距离是3米，则P到AB的距离是__________米．
19 2
解方程：2x +3x−1 = 0
20 2
已知关于x的方程x +mx+m−1 = 0，若该方程的一个根为4，求m的值及该方程的另一根．
21 如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，射线AE交BD于点G，交DC的延长线于点F，
AB = 6，BE = 3EC，求DF的长．
22 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑
材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为
2
多少时，猪舍面积为80m ．
79/176
23 如图，在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC垂足是D，AN是 ∠BAC 的 外 角 ∠CAM的 平 分
线，CE⊥AN，垂足是E，连接DE交AC于F．
①求证：四边形ADCE为矩形；
1
②求证：DF∥AB，DF = AB．
2
24 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接
BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB = 4，AD = 8，求MD的长．
25 如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线
MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．
80/176
26 已知关于x的一元二次方程(1−2k)x 2 −2√k+1x−1 = 0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
2 2
(2)若该方程的两根为x ，x ，是否存在实数k，使x +x = 1，若存在，请求出k值，若不存在，
1 2 1 2
请说明理由．
27 如图，在Rt△ABC中，AB = 3，AC = 4，∠BAC = 90∘ ，AD⊥BC于点D，O为AC边中点，连接BO
OF
交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E，求 的值．
OE
能力提高 / 初三 / 秋季
第 8 讲 反比例函数综合
例题练习题答案
例1 k 1
( )
如图，反比例函数y = 与一次函数y = ax+b的图象交于点A(2,2)、B ,n ．
x 2
（1）求这两个函数解析式；
k
（2）将一次函数y = ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y = 的
x
图象有且只有一个交点，求m的值．
81/176
练1.1 1
在平面直角坐标系中，直线y = x+b与反比例函数y = − 只有一个公共点，则b的值是（ ）
x
A： 1
B： ±1
C： ±2
D： 2
练1.2 1
直线y = x+b与反比例函数y = − 最多只有一个公共点，则b的取值范围是_______．
x
例2 k
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A(2,5)在反比例函数y = 的图象上，一次函数
x
y = x+b的图象过点A，且与反比例函数图象的另一个交点为B．
（1）求k和b的值；
（2）设反比例函数值为y ，一次函数值为y ，求y > y 时x的取值范围．
1 2 1 2
82/176
练2.1 k
如图，一次函数y = ax+b与反比例函数y = 的图象如图所示，当y < y 时，x的取值范围是
1 2 1 2
x
（ ）
A： x < 2
B： x > 5
C： 2 < x < 5
D： 0 < x < 2或x > 5
练2.2 k k
如图，一次函数y = ax+b和反比例函数y = 的图象相交于A、B两点，使不等式ax+b− > 0成
x x
立的x的取值范围是（ ）
A： x < −1或x > 4
B： −1 < x < 4
C： x < −1或0 < x < 4
D： −1 < x < 0或x > 4
83/176
例3 k
如图，一次函数y = ax+b的图象与反比例函数y = 的图象交于A(−3,2)，B(2,n)．
x
k
（1）求反比例函数y = 的解析式；
x
（2）求一次函数y = ax+b的解析式；
k
（3）观察图象，直接写出不等式ax+b− < 0的解集．
x
练3.1 1 4 1 4
如图，直线y = x与反比例函数y = 相交于(−4, −1)和(4,1)两点，则不等式 x− > 0的解集为
4 x 4 x
（ ）
A： −4 < x < 0或x > 4
B： x < −4或0 < x < 4
C： −4 < x < 4且x ≠ 0
D： x < −4或x > 4
84/176
练3.2 k k
如图，直线y = −x−1交反比例函数y = 于A、B两点，则不等式−x−1 < 的解集为_____．
x x
例4 k
已知反比例函数y = 和一次函数y = 2x−1，其中一次函数的图象经过(a,b)、(a+k,b+k+2)两
2x
点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数两个交点A、B的坐标；
k
（3）根据函数图象，求不等式 > 2x−1的解集；
2x
（4）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使ΔAOP是等腰三角形？若存在，把符合条件的点P
的坐标求出来；若不存在，请说明理由．
练4.1 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点A的坐标为(2,0)，顶点B的坐标为
k
(0,1)，顶点C在第一象限，若函数y = (k > 0)的图象经过点C，则k的值为____．
x
85/176
练4.2 k
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y = −2x的图象与反比例函数y = 的图象的一个交点为
x
A(−1,n)．
k
（1）求反比例函数y = 的解析式；
x
（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA = OA，直接写出点P的坐标；
（3）若P是x轴上一点，且满足ΔAPO为等腰三角形，直接写出点P的坐标
例5 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y = ax−a（a为常数）的图象与y轴相交于点A，与函数
2
y = (x > 0)的图象相交于点B(m,1)．
x
（1）求点B的坐标及一次函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△PAB为直角三角形，请直接写出点P的坐标．
86/176
练5.1 k
如图，一次函数y = x+2的图象与反比例函数y = 的图象交于A、B两点，且点A的坐标为(1,m)．
x
k
（1）求反比例函数y = 的表达式；
x
k
（2）点C(n,1)在反比例函数y = 的图象上，求ΔAOC的面积；
x
（3）在x轴上是否存在点P，使得ΔABP是直角三角形，若存在，请求出所有点P的坐标，若不存
在，说明理由．
练5.2 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y = kx+b的图象经过A(0, −2)，B(1,0)两点，与反比例
m
函数y = (m ≠ 0)的图象在第一象限内交于点M，若△OBM的面积是2．
x
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P是x轴上一点，且满足△AMP是以AM为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 8 讲 反比例函数综合
自我巩固答案
87/176
1 1−k
函数y = 与y = 2x的图象没有交点，则k的取值范围是（ ）
x
A： k < 0
B： k < 1
C： k > 0
D： k > 1
2 k
在同一直角坐标系中，一次函数y = 2x+1与反比例函数y = 的图象没有交点，则k的取值范围是
x
（ ）
A： k > 0
B： k < 0
C： 1
k > −
8
D： 1
k < −
8
3 k
已知直线y = x+1与反比例函数y = 的图象的一个交点为P(a,2)，则ak的值为（ ）
x
A： 2
B： 1
2
C： −2
D： 1
−
2
88/176
4 4
已知直线y = −2x+6与双曲线y = 在同一坐标系的交点坐标是(1,4)和(2,2)，则当y > y 时，x
1 2 1 2
x
的取值范围是（ ）
A： x < 0或1 < x < 2
B： x < 1
C： 0 < x < 1或x < 0
D： x > 2
5 k
1
如图，反比例函数y = 与正比例函数y = k x的图象交于A，B两点，且点A的坐标为(−2,4)，
2
x
k
1
> k x，则x的取值范围是（ ）
2
x
A： −2 < x < 0
B： −2 < x < 2
C： −2 < x < 0或x > 2
D： x < −2或0 < x < 2
6 k
一次函数y = ax+b(a ≠ 0)与反比例函数y = (k ≠ 0)在同一平面直角坐标系xOy中的图象如图所
1 2
x
示，当y > y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
89/176
A： −1 < x < 3
B： x < −1或0 < x < 3
C： x < −1或x > 3
D： −1 < x < 0或x > 3
7 8
如图，已知一次函数y = kx+b的图象与反比例函数y = − 的图象交于A、B两点，且点A的横坐标
x
和点B的纵坐标都是−2，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积；
（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．
8 k
如图，点A是反比例函数y = (x > 0)图象上一点，AB⊥x轴于点B，点C在x轴上，且OB = OC，
x
若△ABC的面积等于6，则k的值为（ ）
A： 3
B： 6
C： 8
D： 12
90/176
9 2
在平面直角坐标系中，一次函数y = x+1与y轴交于点A，与反比例函数y = (x > 0)交于点B，点C
x
在y轴上，且使得△ABC是直角三角形，则点C的坐标是（ ）
A： (0,2)
B： (0,3)
C： (0,2)或(0,3)
D： 以上都不对
10 k
如图1，已知，点A(−1,1)绕原点O顺时针旋转90°后刚好落在反比例函数y = 图象上点B处，如图
x
2，直线OB与反比例函数图象交于另一点C，在x轴上是否存在点D，使△DBC是等腰三角形，符合
条件的点D的坐标为（ ）
( ) ( )
A： −√7−1,0 或 √7−1,0
( ) ( )
B： −√7,0 或 √7,0
( ) ( ) ( ) ( )
C： −√7−1,0 或 √7−1,0 或 −√7+1,0 或 √7+1,0
( ) ( )
D： −√7+1,0 或 √7+1,0
能力提高 / 初三 / 秋季
第 8 讲 反比例函数综合
课堂落实答案
91/176
1 3
反比例函数y = 的图象与一次函数y = x+2的图象交于点A(a,b)，则a−b+ab的值是（ ）
x
A： 1
B： −1
C： 3
D： 2
2 k
在同一平面直角坐标系中，函数y = kx+b与y = (k ≠ 0)的图象如图所示，则当y < y 时，x的取
1 2 1 2
x
值范围为（ ）
A： x < −3
B： x < −3或0 < x < 1
C： −3 < x < 0或x > 1
D： −3 < x < 1
3 1−k
已知函数y = 的图象与直线y = x+k+3交点的横坐标为2，那么k的值是（ ）
x
A： −3
B： −2
C： −1
D： 0
92/176
4 k
如图，直线y = x−2与y轴交于点A，与反比例函数y = 的图象交于点B，过点B作BC⊥y轴于点
x
C，三角形ABC的面积为8，则反比例函数的解析式为（ ）
A： 2
y =
x
B： 4
y =
x
C： 6
y =
x
D： 8
y =
x
5 2
如图，反比例函数y = 的图象与一次函数y = kx+b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为
x
1，−2．
（1）求一次函数的解析式；
2
（2）对于反比例函数y = ，当y < −1时，写出x的取值范围．
x
93/176
能力提高 / 初三 / 秋季
第 8 讲 反比例函数综合
精选精练
1 2
如图，点A在双曲线y = 上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于
x
M，则△AMC的周长为（ ）
A： 4√5
B： 3
C： 2√5
D： √21
94/176
2 m
已知A(−4,2)、B(n, −4)两点是一次函数y = kx+b和反比例函数y = 图象的两个交点．
x
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
m
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b− > 0的解集．
x
3 k
如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y = 图
x
象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知B（1，
3）．
（1）k=______；
（2）试说明AE=BF；
21
（3）当四边形ABCD的面积为 时，求点P的坐标．
4
4 k
2
如图，一次函数y = k x+b（k ≠ 0）与反比例函数y = （k ≠ 0）的图象交于点A(−1,2)，
1 1 2
x
B(m, −1)．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P（n，0）（n>0），使△ABP为等腰三角形？若存在，求n的值；若不
存在，说明理由．
95/176
5 k
如图，已知双曲线y = 经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过
x
D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
6 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y = x+2交x轴于点A，交y轴于点A ，点A 、A ，……在直
1 2 3
线l上，点B 、B 、B ，……在x轴的正半轴上．若 △ A OB ， △ A B B ， △ A B B 依次均为
1 2 3 1 1 2 1 2 3 2 3
等腰直
角三角形，且直角顶点都在x轴上，则第2017个等腰直角三角形A B B 顶点B 的横坐
2017 2016 2017 2017
标
为___________．
能力提高 / 初三 / 秋季
96/176
第 9 讲 解三角形
例题练习题答案
例1
(1) 在Rt △ ABC中，∠C = 90∘ ，AC = 3，BC = 4，tanB = （ ）
A： 3
4
B： 3
5
C： 4
3
D： 4
5
(2) 1
已知sinA = ，则下列正确的是（ ）
2
A： √2
cosA =
2
B： √3
cosA =
2
C： tanA = 1
D： tanA = √3
97/176
练1.1 如图，在Rt △ ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 13，BC = 12，则下列三角函数表示正确的是（ ）
A： 12
sinA =
5
B： 5
cosA =
13
C： 12
tanA =
13
D： 12
tanB =
5
练1.2 1
在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，cosA = ，则tanB等于（ ）
2
A： √3
B： √3
2
C： √3
3
D： 2√3
例2
(1)如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M(√5,2)，那么cosα的值是（ ）
98/176
A： √5
2
B： 2
3
C： 2√5
5
D： √5
3
(2)如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是 ．
练2.1 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(4,2)，则tanα的值是（ ）
A： 1
2
B： √5
C： √5
5
99/176
D： 2
练2.2 如图，将 △ ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是
（ ）
A： 2
B： 4
3
C： 1
D： 3
4
例3 在 △ ABC中，∠C = 90∘ ，AB = √6，BC = √3，则∠A的度数为（ ）
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 75∘
练3.1 A
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC = √3，则sin = ________．
2
练3.2 √2
在 △ ABC中，若sinA = ，tanB = √3，则这个三角形是（ ）
2
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
100/176
C： 钝角三角形
D： 等腰三角形
例4 计算：
1
( )−1
（1）tan60∘ −√8+ + | √3−2 | ；
3
（2）2sin30∘ +3cos60∘ −4tan45∘
．
练4.1 1
( )−1
计算： + | −√3 | −3tan30∘ +(3−π) 0
3
练4.2 计算sin 2 30∘+cos 2 45∘ +√2sin60∘ ⋅tan45∘ =________．
例5 3
如图，在 △ ABC中，∠C = 90∘ ，AM是BC边上的中线，sin∠CAM = ，求tanB的值．
5
练5.1 AB
如图，Rt △ ABC中，∠ACB = 90∘ ，点D是BC边上一点．若∠B = α，∠ADC = β，则 为
AD
（ ）
A： sinα
sinβ
B： cosα
cosβ
101/176
C： sinβ
sinα
D： cosβ
cosα
练5.2 1 5
如图，在△BAD中，∠BAD = 90∘ ，延长斜边BD到点C，使DC = BD，连接AC，若tanB = ，则
2 3
tan∠CAD的值=________．
例6 2
如图，已知在 △ ABC中，∠B = 45∘ ，AB = 2√2，tanC = ．求BC和AC的长．
3
练6.1 1 √2
如图，AD是 △ ABC的中线，tanB = ，cosC = ，AC = √2．求BC的长．
5 2
练6.2 3
如图，在 △ ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 10，sinB = ，点D为边BC的中点．
5
（1）求BC的长；（2）求∠BAD的正切值．
例7
102/176
(1) 如图，一艘船由A港沿北偏东65∘ 方向航行30√2km至B港，然后再沿北偏西40∘ 方向航行至C
港，C港在A港北偏东20∘ 方向，则A，C两港之间的距离为（ ）km．
A： 30+30√3
B： 30+10√3
C： 10+30√3
D： 30√3
(2)如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为
45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，则旗杆AB的高度为
________m．
练7.1 在一次综合社会实践活动中，小东同学从A处出发，要到A地北偏东60∘
方向的C处，他先沿正东方
向走了200m到达B处，再沿北偏东30∘
方向走，恰能到达目的地C，如图所示，可知B，C两地相
距________m．
练7.2 为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置
一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示，该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观
103/176
测到旗杆顶A（此时∠AEB = ∠FED)，在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3∘ ，平面镜E的俯角为45∘
，FD = 1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3∘ ≈ 0.82，
tan84.3∘ ≈ 10.02）
例8 如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米
到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i = 1:0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水
平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角
为24∘ ，求建筑物AB的高度．（精确到百分位）（参考数据：sin24∘ ≈ 0.41，cos24∘ ≈ 0.91，
tan24∘ ≈ 0.45）
练8.1 如图，一架木梯AB的长为2.8米，梯子靠在竖直的墙上，测得木梯与地面的夹角∠ABC = 70∘ ，求
这架木梯的顶端离地面的距离AC是多少米？（结果精确到0.1，已知sin70∘ ≈ 0.94，cos70∘ ≈ 0.34
，tan70∘ ≈ 2.75，cos20∘ ≈ 0.94．）
练8.2 重庆是一座美丽的山城，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教
学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角
∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．
4
（1）求斜坡AB的坡度i；（2）求DC的长．（参考数据：tan53∘ ≈ ，tan63.4∘ ≈ 2）
3
104/176
能力提高 / 初三 / 秋季
第 9 讲 解三角形
自我巩固答案
1 如图，在Rt △ ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 5，BC = 4，则下列三角函数表示正确的是（ ）
A： 3
tanA =
4
B： 4
tanB =
3
C： 3
sinA =
5
D： 3
cosA =
5
2 5
在Rt △ ABC中，∠C = 90∘ ，若cosA = ，则sinA的值为（ ）
13
105/176
A： 5
12
B： 8
13
C： 2
3
D： 12
13
3 3
点A(t,2)在第二象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα = ，则t的值为（ ）
2
A： 4
−
3
B： −2
C： 2
D： 3
4 如图，A、B、C分别是小正方形的三个顶点，且每个小正方形的边长均为1，则sin∠BAC的值为（
）
A： 1
2
B： √2
2
C： 1
D： √3
106/176
5 已知∠A是锐角，且满足3tanA −√3 = 0，则∠A的大小为（ ）
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 无法确定
6 1
如图，在 △ ABC中，AD是BC边上的高，tanC = ，AC=3√5，AB=4，求 △ ABC的周长．
2
7 如图所示， △ ABC中，∠B = 45∘ ，∠C = 30∘ ，AB = 2√2．求BC的长．
8 如图，C地在B地的正东方向，因有大山阻隔，由B地到C地需绕行A地，已知A地位于B地北偏东
67∘ 方向，距离B地520km，C地位于A地南偏东30∘
方向．若准备打通穿山隧道，建成两地直达高
铁，求建成高铁后从B地前往C地的路程．(sin67∘ ≈ 0.92，cos67∘ ≈ 0.39，tan67∘ ≈ 2.36，结果保
留整数）
9 如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30∘
，
测得其底部C的俯角为45∘ ，则这两座建筑物的底部距离DC为多少米？（结果保留根号）
107/176
10 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政
府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB = 200米，坡度为1:√3；
将斜坡AB的高度AE降低AC = 20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1:4．求斜坡CD的长．
（结果保留根号）
能力提高 / 初三 / 秋季
第 9 讲 解三角形
课堂落实答案
1 3
在Rt △ ABC中，∠C=90∘ ，若tanA = ，则sinA等于（ ）
4
A： 4
3
B： 3
4
C： 5
3
108/176
D： 3
5
2 1
cos30∘
的值是（ ）
3
A： 1
6
B： √2
6
C： √3
6
D： √3
3
3 √2sin45∘ +tan60∘ ⋅tan30∘ −cos60∘
=_____.
4 1
如图在Rt △ ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 15，sinA = ，则BC=（ ）
3
A： 4
B： 5
C： 1
5
D： 1
45
109/176
5 如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30∘
，已知地面上的这点与楼
的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为_____m（结果保留根号）．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 9 讲 解三角形
精选精练
1 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、
CD相交于点P，则tan∠APD的值是（ ）
A： 0.5
B： 1
C： 2
D： 2.5
2 化简：cos 2 1∘ +cos 2 2∘ +cos 2 3∘ +⋯+cos 2 89∘ ．
3 定义：如果三角形某一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．
√3
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，求证：△ABC是“好玩三角形”；
2
（2）如图2，若等腰△DEF是“好玩三角形”，DF=EF，求腰和底的比值．
110/176
4 √2 1
如图，在 △ ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB = ，tanA = ，BC = 2√2，求
2 2
边AB的长和cos∠CDB的值．
5 为了方便学生在上下学期间安全过马路，南岸区政府决定在南开（融侨）中学校门口修建人行天
桥（如图1)，其平面图如图2所示，初三（8）班的学生小刘想利用所学知识测量天桥顶棚距地面
的高度．天桥入口A点有一台阶AB = 2m，其坡角为30∘ ，在AB上方有两段平层BC = DE = 1.5m，
且BC，DE与地面平行，BC，DE上方又紧接台阶CD，EF，其长度相等且坡度均为i = 4:3，顶棚
距天桥距离FG = 2m，且小刘从入口A点测得顶棚顶端G的仰角为37∘ ，请根据以上数据，帮小刘计
3
算出顶端G点距地面高度为（ ）m．（结果保留一位小数，参考数据：√3 ≈ 1.73，sin37∘ ≈ ，
5
4 3
cos37∘ ≈ ，tan37∘ ≈ )
5 4
A： 5.8 m
B： 5.0 m
C： 4.3 m
D： 3.9 m
111/176
6 周末小明和同学们去“绿博园”的枫湖坐船，观赏风景；如图，小明正在A处的小船上，B处小船
上的游客发现点A在点B的正西方向上，C处小船上的游客发现点A在点C的南偏东30∘
方向上，已知
点C在点B的北偏西60∘ 方向上，且B、C两地相距120米．
（1）求出此时点A到点C的距离；
（2）若小明从A处沿AC方向向C驶去，当到达点A ′ 时，测得点B在A ′ 的南偏东75∘ 的方向上，求此
时小明所乘坐的小船走的距离．（注:结果保留根号）
能力提高 / 初三 / 秋季
第 10 讲 二次函数的图象与参数
例题练习题答案
例1
(1) 2
2 2
抛物线y = ax 与y = x 的形状相同，则a的值为__________．
5
(2) 1
2
函数y = − x +1的图象是__________，开口__________，对称轴是直线__________，顶点坐标
3
是__________，它的图象有最__________点，这个点的坐标为__________．
(3) 2
函数y = −2(x+3) 的图象是__________，开口__________，对称轴是直线__________，顶点坐
标是__________，它的图象有最__________点，这个点的纵坐标是__________．
例2 1
2
已知函数y = − (x+1) −2，函数图象的开口方向是_________，对称轴是直线_______，顶点坐标
2
为__________；当x__________时，y随x的增大而增大．
112/176
练2.1 ( ) ( ) 2
已知点A x ,y 、B x ,y 在二次函数y = (x−1) +1的图象上，若x > x > 1，则y __________y
1 1 2 2 1 2 1 2
（填“>”、“<”或“=”）．
练2.2
(1) 2
对于二次函数y = (x−1) +2的图象，下列说法正确的是（ ）
A： 开口向下
B： 顶点坐标是(1,2)
C： 对称轴是直线x = −1
D： 与x轴有两个交点
(2) 2
函数y = 2x +12x+13的图象是__________，开口__________，对称轴是直线__________，顶点
坐标是__________，它的图象有最__________点，这个点的坐标为__________．
例3
(1) 2
如果二次函数y = ax +bx+c的图象如图所示，那么（ ）
A： a < 0，b > 0，c > 0
B： a > 0，b < 0，c > 0
C： a > 0，b > 0，c < 0
D： a < 0，b < 0，c < 0
(2) 2
二次函数y = ax +bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，则有（ ）
A： a > 0，b > 0，c = 0
B： a > 0，b < 0，c = 0
C： a < 0，b > 0，c = 0
113/176
D： a < 0，b < 0，c = 0
(3) 2
如图是二次函数y = ax +bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x = −2．
2
有下列结论：①ab < 0；②b −4ac > 0；③9a−3b+c < 0；④b−4a = 0；
2
⑤方程ax +bx = 0的两个根为x = 0，x = −4．其中正确的结论有（ ）
1 2
A： ①③④
B： ②④⑤
C： ①②⑤
D： ②③⑤
练3.1 2
如果二次函数y = ax +bx+c的图象如图所示，那么（ ）
A： a < 0，b > 0，c > 0
B： a > 0，b < 0，c > 0
C： a > 0，b > 0，c < 0
D： a < 0，b < 0，c < 0
练3.2 2
如图，二次函数y = ax +bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为−1、3，则下列结论正确的个数
有（ ）
114/176
2
①ac < 0；②2a+b = 0；③4a+2b+c > 0；④ax +bx ≥ a+b．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例4
(1) 2
二次函数y = −x +2x+4的最大值为________．
(2) 2
已知二次函数y = ax +4x+a−1的最小值为2，则a的值为________．
练4.1
(1) 2
函数y = (x−1) +3有最_______值，最_______值为_______．
(2) 2
对于抛物线y = x −m，若y的最小值是1，则m = ________．
练4.2 2
二次函数y = ax +bx+c中，已知a:b:c = 1:2:3，且函数的最小值为6，则函数的表达式为
______________．
例5
(1) 1
2
已知0 ≤ x ≤ ，那么函数y = −2x +8x−6的最大值为______．
2
(2) 2
在二次函数y = x −2x−3中，当0 ≤ x ≤ 3时，y的最大值为______，最小值为______．
(3) 2
在二次函数y = x +2x+3中，当0 ≤ x ≤ 3时，y的最大值为______，最小值为______．
练5.1
(1) 2
当3 ≤ x ≤ 6时，函数y = x −4x+3的最小值为_________．
(2) 2
已知−3 ≤ x ≤ −1，则二次函数y = −x +4x+5的最大值为_________．
115/176
练5.2
(1) 2
在二次函数y = −2x −4x+1中，当−5 ≤ x ≤ 0时，y的最大值为______，最小值为______．
(2) 2
在二次函数y = x −5x+9中，当1 ≤ x ≤ 4时，y的最大值为______，最小值为______．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 10 讲 二次函数的图象与参数
自我巩固答案
1 2
某抛物线的顶点坐标为(−2, −1)，开口方向、形状与抛物线y = 3x 相同，则此抛物线的解析式是
（ ）
A： 2
y = 3(x+2) −1
B： 2
y = 3(x−2) −1
C： 2
y = −3(x+2) −1
D： 2
y = 3(x+2) +1
2 2
关于二次函数y = 2x +3，下列说法中正确的是（ ）
A： 它的开口方向是向下
B： 它的顶点坐标是(2,3)
C： 当x = 0时，y有最大值3
D： 它的对称轴是y轴
3 2
二次函数y = a(x−m) −n的图象如图所示，则一次函数y = mx+n的图象经过（ ）
116/176
A： 第一、二、三象限
B： 第一、二、四象限
C： 第二、三、四象限
D： 第一、三、四象限
4 2
对于二次函数y = −x +2x−3的图象，下列说法正确的是（ ）
A： 开口向上
B： 顶点坐标是(−1, −2)
C： 抛物线与x轴有两个交点
D： 对称轴是直线x = 1
5 2
二次函数y = ax +bx+c的图象如图所示，则（ ）
A： a < 0，b > 0，c > 0
B： a > 0，b < 0，c > 0
C： a > 0，b > 0，c < 0
D： a < 0，b < 0，c < 0
6 2
已知二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象如图所示，给出以下结论：
①a+b+c < 0；②a−b+c < 0；③b+2a < 0；④abc > 0．其中所有正确结论的序号是（ ）
117/176
A： ③④
B： ②③
C： ①④
D： ①②③
7 2
已知函数y = 2x−x +m的最大值为5，则m = （ ）
A： 4
B： −4
C： 2
D： −2
8 2
在函数y = 2x +4x−5中，当−3 ≤ x ≤ −2时，y的最大值是（ ）
A： 1
B： −7
C： 11
D： 5
9 2
已知二次函数y = x −2x+3，当0 ≤ x ≤ 3时，y的最大值为（ ）
A： 9
B： 6
C： 8
D： 7
118/176
10 2
当−2 ≤ x ≤ 4时，求二次函数y = −(x−3) +8的最大值与最小值．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 10 讲 二次函数的图象与参数
课堂落实答案
1 2 2
已知抛物线y = ax 与y = 2x 的形状相同，则a = （ ）
A： 2
B： −2
C： ±2
D： 1
2
2 2
二次函数y = ax +bx+c的图象如图所示，则（ ）
A： a < 0，b > 0，c > 0
B： a > 0，b < 0，c > 0
C： a > 0，b > 0，c < 0
D： a < 0，b < 0，c < 0
3 2
已知二次函数y = ax +bx+c的图象如图所示，下列结论：（1）a+b+c < 0；（2）a−b+c > 0
；（3）abc > 0；（4）b = 2a．其中正确的结论有（ ）
119/176
A： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个
4 2
在二次函数y = −2x −4x+1中，当−1 ≤ x ≤ 2时，y的最大值和最小值分别为（ ）
A： 5，1
B： 3，−15
C： 2，−11
D： 3，−2
5 2
求y = x +2x+1在−3 ≤ x ≤ 2上的最大值与最小值．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 10 讲 二次函数的图象与参数
精选精练
1 2
若抛物线y = (x−m) +(m+1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ）
A： m > 1
B： m > 0
C： m > −1
120/176
D： −1 < m < 0
2 2
对于抛物线y = −(x+1) +3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x = 1；
③顶点坐标为(−1,3)；
④x > 1时，y随x的增大而减小．
其中正确结论的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
3 2
如图，已知二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc = 0；②
2
a+b+c > 0；③a > b；④4ac−b < 0．其中正确的结论有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
4 1
2
已知抛物线y = ax +bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc > 0；②a+b+c = 2；③a < ；
2
④b > 1．其中正确的结论是（ ）
121/176
A： ①②
B： ②③
C： ③④
D： ②④
5 定义符号 max {a,b}的含义为：当a ≥ b时， max {a,b} = a，当a < b时， max {a,b} = b．如：
{ }
2
max {1, −5} = 1，则 max x +x−2, −x 的最小值是________．
6 2
小明在学习中遇到这样一个问题：若1 ≤ x ≤ m，求二次函数y = x −6x+7的最大值．他画图研究
后发现，x = 1和x = 5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：
2
∵二次函数y = x −6x+7的对称轴为直线x = 3，
∴由对称性可知，x = 1和x = 5时的函数值相等．
2
∴若1 ≤ m ≤ 5，则x = 1时y的最大值为2；若m ≥ 5，则x = m时y的最大值为m −6m+7．
请你参考小明的思路，解决下列问题：
2
（1）当−2 ≤ x ≤ 4时，二次函数y = 2x +4x+1的最大值为________；
2
（2）若p ≤ x ≤ 2，求二次函数y = 2x +4x+1的最大值；
2
（3）若t ≤ x ≤ t+2时，二次函数y = 2x +4x+1的最大值为31，则t的值为_______．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 11 讲 二次函数的应用
例题练习题答案
例1 已知二次函数经过(−1,2)、(3,2)、(0, −1)三个点，求二次函数的解析式．
122/176
练1.1 2
已知抛物线y = 3x +bx+c的图象过点(1,10)，与y轴交于点(0,1)．则这个二次函数的解析式为
__________．
练1.2 已知二次函数的图象经过点(−1, −5)、(0, −4)和(1,1)，则这个二次函数的表达式为（ ）
A： 2
y = −6x +3x+4
B： 2
y = −2x +3x−4
C： 2
y = x +2x−4
D： 2
y = 2x +3x−4
例2
(1)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(−1,2)，且图象过点(1, −3)．求这个二次函数的解
析式．
(2)已知二次函数在x = 4时有最小值−3，且它的图象与x轴两交点之间的距离为6，求这个二次函
数的解析式．
练2.1 已知二次函数的图象的顶点坐标为(−2, −3)，且图象过点(−3, −2)，则这个二次函数的解析式为
______________．
练2.2 已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x = −3，则此二次函
数的解析式为______________．
例3
(1) 已知抛物线y = ax 2 +bx+c与x轴交于A、B两点，A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)．求
抛物线的解析式．
(2)已知二次函数的图象经过点A(3, −2)和B(1,0)，且对称轴是直线x = 3．求这个二次函数的解
析式．
练3.1 已知抛物线过点A(2,0)、B(−1,0)，与y轴交于点C，且OC = 2．则这条抛物线的解析式为（ ）
A： 2
y = x −x−2
123/176
B： 2
y = −x +x+2
C： 2 2
y = x −x−2或y = −x +x+2
D： 2 2
y = −x −x−2或y = x +x+2
例4 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成一个长方形的花圃．
设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）怎样围才能使长方形花圃的面积最大？最大值为多少？
练4.1 如图，有长为24m的护栏，一面利用墙（墙的最大可用长度为13m），围成中间隔有一道护栏的
2
矩形花园，设花园的宽AB为x（m），面积为S（m ）．
（1）求S与x之间的函数关系式；
2
（2）如果要围成面积为45m 的花园，AB的长是多少米？
2
（3）能围成面积比45m 更大的花园吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．
练4.2 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤为一边（岸堤足够长），用总长为80 m的围网在水
库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x
2
m，矩形区域ABCD的面积为y m ．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
124/176
例5 如图所示的是水面一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为
20米，拱顶距离正常水面4米，建立平面直角坐标系如图所示，求该抛物线的解析式．
练5.1 1 25
2
如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y = − x ，当水面离桥顶的高度为 米时，水面的
3 3
宽度为多少米？
练5.2 图中是抛物线形拱桥，当水面宽AB = 8米时，拱顶到水面的距离CD = 4米．如果水面上升1米，那
么水面宽度为_______________米．
能力提高 / 初三 / 秋季
125/176
第 11 讲 二次函数的应用
自我巩固答案
1 已知二次函数的图象经过(1,0)、(2,0)和(0,2)三点，则该函数的解析式是（ ）
A： 2
y = 2x +x+2
B： 2
y = x +3x+2
C： 2
y = x −2x+3
D： 2
y = x −3x+2
2 已知二次函数的图象的顶点坐标为(1, −6)，且经过点(2, −8)，则该二次函数的解析式为（ ）
A： 2
y = 2(x−1) −6
B： 2
y = −2(x−1) −6
C： 2
y = −2(x+1) −6
D： 2
y = −2(x+1) +6
3 已知二次函数y有最大值3，且图象与x轴两交点间的距离是6，对称轴为直线x = −2，则此二次函
数的解析式为（ ）
A： 1
y = (x+5)(x−1)
3
B： y = 3(x+5)(x−1)
C： 1
y = − (x+5)(x−1)
3
D： y = −3(x+5)(x−1)
4 一辆新汽车原价为20万元，如果每年折旧率为x，两年后这辆汽车的价钱为y万元，则y关于x的函
数关系式为（ ）
A： 2
y = 20(1+x)
126/176
B： 2
y = 20(1−x)
C： y = 20(1+x)
D： 2
y = 20+x
5 某商品现在的售价为每件20元，每星期可卖出400件．市场调查反映，该商品每降价1元，则每星
期可多卖出20件．设商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为
（ ）
A： y = 400(20+2x)
B： y = (20−x)(400+20x)
C： y = 400(20−x)
D： y = 420(20−x)
6 以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地（如图），已知篱笆长为定值20．则这块场地面积的最大
值为（ ）
A： 30
B： 100
3
C： 36
D： 40
7 3√2
有一块直角边为 的等腰直角三角形木板，现要锯出一个矩形做办公桌面，设矩形的一边长
2
为x，如图所示，则矩形的最大面积为（ ）
A： 1
127/176
B： 9
8
C： 2
D： 5
4
8 工艺商场按标价200元销售某种进价为155元的工艺品，每天可售出该工艺品100件．若每件工艺
品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．要使每天获得的利润最大，获得的最大利润是（ ）
元．
A： 4500
B： 4700
C： 4900
D： 5100
9 1
2
赵州桥的桥拱近似于抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y = − x ，
25
当水面离桥拱顶的高度DO是2米时，水面宽度AB为（ ）
A： −10米
B： 5√2米
C： 10米
D： 10√2米
10 株洲五桥主桥的主孔为拱梁钢构组合体系，如图1，小明在五桥观光，发现拱梁的路面部分均匀排
列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20米，拱高（中柱）10米，于是他建
128/176
立如图2的坐标系，将余下的8根支柱的高度都算出来了，那么中柱右边第二根支柱的高度是多
少？
能力提高 / 初三 / 秋季
第 11 讲 二次函数的应用
课堂落实答案
1 2
已知抛物线y = ax +bx+c过(1, −1)、(2, −4)和(0,4)三点，那么a、b、c的值分别是（ ）
A： a = −1，b = −6，c = 4
B： a = 1，b = −6，c = −4
C： a = −1，b = −6，c = −4
D： a = 1，b = −6，c = 4
2 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(1, −1)，而且图象过点(0, −3)．则这个二次函数的解
析式为（ ）
A： 2
y = −2(x−1) −1
B： 2
y = 2(x−1) −1
C： 2
y = −2(x+1) −1
D： 2
y = −2(x−1) +1
3 已知抛物线的对称轴是直线x = 2，且经过(3,1)和(0, −5)，则这个二次函数的解析式为（ ）
A： 2
y = 2x +8x−5
129/176
B： 2
y = −2x +5x−8
C： 2
y = −2x +8x−5
D： 2
y = 2x +5x−8
4 以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地（如图），已知篱笆长为定值12，则这块场地面积的最大
值为（ ）
A： 8
B： 10
C： 12
D： 18
5 在体育测试时，九年级的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象
的一部分（如图所示）．如果这个男同学出手处A点的坐标是(0,2)，铅球路线的最高处的坐标是
(6,5)．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求OB的长．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 11 讲 二次函数的应用
精选精练
1 一个二次函数的图象的顶点坐标是(2,4)，且过另一点(0, −4)，则这个二次函数的解析式为
（ ）
130/176
A： 2
y = −2(x+2) +4
B： 2
y = −2(x−2) +4
C： 2
y = 2(x+2) −4
D： 2
y = 2(x−2) −4
2 已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A： 2
y = −3(x−1) +3
B： 2
y = 3(x−1) +3
C： 2
y = −3(x+1) +3
D： 2
y = 3(x+1) +3
3 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30∘
角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．
如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系
2
h = 20t−5t ．则下列叙述正确的是（ ）
A： 小球的飞行高度不能达到15m
B： 小球的飞行高度可以达到25m
C： 小球从飞出到落地要用时4s
D： 小球飞出1s时的飞行高度为10m
4 某超市购进一批牛肉销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这批牛肉32千克
的钱，现在可买33千克．
131/176
（1）现在实际购进这批牛肉每千克多少元？
（2）若这批牛肉的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．求y
与x之间的函数关系式；
（3）这批牛肉的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润 = 销售收入
−进货金额）
5 一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且
不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：
销售单价x（元/kg） 120 130 … 180
每天销量y（kg） 100 95 … 70
设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．
（1）直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
6 如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路
径、爆炸时的高度均相同．皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间的
函数图象如图2所示．
（1）求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米)随飞行时间t（秒)的函数表达式．
（2）第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？
（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16米．皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发
花弹与它处于同一高度，请通过计算说明花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
132/176
能力提高 / 初三 / 秋季
第 12 讲 二次函数与方程不等式
例题练习题答案
例1
(1) 2
已知抛物线y = ax +bx+c(a ≠ 0)与x轴的两个交点的坐标分别是(−3,0)、(2,0)，则方程
2
ax +bx+c = 0(a ≠ 0)的解是___________________．
( )
(2) 2 2
已知抛物线y = x −2023x+2024与x轴的交点为(m,0)、(n,0)，则 m −2023m+2024
( )
2
+ n −2023n+2024 的值是（ ）
A： 0
B： 2023
C： 2024
D： 2025
练1.1
(1) 2 2
如果二次函数y = ax +bx+c的图象与x轴交于点A(−1,0)、B(3,0)，那么方程ax +bx+c = 0
的根是_______________．
(2) 2 2
已知抛物线y = x −x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式m −m+2019的值为（ ）
A： 2018
133/176
B： 2019
C： 2020
D： 2021
练1.2 5
2 2
已知方程2x −3x−5 = 0的两根为x = 、x = −1，则抛物线y = 2x −3x−5与x轴的两个交点间
1 2
2
的距离为___________．
例2 2 2
已知二次函数y = x −2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x −2x+k = 0的解为
（ ）
A： 3
B： −1
C： 3，−2
D： 3，−1
练2.1 2 2
已知二次函数y = −x +4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程−x +4x+m = 0的
解是_________．
练2.2 2 2
已知二次函数y = −x +2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程−x +2x+m = 0的
解为_________．
134/176
例3 2 2
抛物线y = ax +bx+c(a < 0)的图象如图所示，则关于x的不等式ax +bx+c > 0的解集是（ ）
A： x < 2
B： x > −3
C： −3 < x < 1
D： x < −3或x > 1
练3.1 2
二次函数y = x −2x−3的图象如图所示．当y < 0时，自变量x的取值范围是__________．
练3.2 2 2
如图是二次函数y = ax +bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax +bx+c < 0的解集是（ ）
A： −1 < x < 5
135/176
B： x > 5
C： x < −1且x > 5
D： x < −1或x > 5
例4 2
二次函数y = kx −6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ）
A： k < 3
B： k < 3且k ≠ 0
C： k ≤ 3
D： k ≤ 3且k ≠ 0
练4.1 2 2
已知二次函数y = x −2mx+m +3（m是常数），该函数的图象与x轴的交点个数为
____________．
练4.2 2
抛物线y = mx +(2m−1)x+m−1与x轴交点的个数是（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 无法确定
例5
(1) 2
判断直线y = −x+1与抛物线y = x −3x+1是否有交点，如果有交点，求出交点坐标．
(2) 2
当b为何值时，直线y = 3x+b与抛物线y = x +2x−1只有一个交点．
练5.1 2
二次函数y = x +2x+b与一次函数y = x+1有两个交点，则b的取值范围是（ ）
A： 5
b > −
4
136/176
B： 5
b < −
4
C： 5
b >
4
D： 5
b <
4
练5.2 2
直线y = kx−1与抛物线y = 4x 有且只有一个交点，则k = _______．
例6 2
在平面直角坐标系中，抛物线y = ax 与直线y = 2x+3相交于A、B两点，已知点A的坐标是(−1,1)
，求点B的坐标．
练6.1 2
二次函数y = x −3x+2与一次函数y = −x+1的交点坐标为（ ）
A： (−1,2)
B： (1,0)
C： (1,2)
D： (−1,6)
能力提高 / 初三 / 秋季
第 12 讲 二次函数与方程不等式
自我巩固答案
1 2 2
已知抛物线y = x −x−1与x轴的交点为(m,0)，则代数式m −m+2011的值为（ ）
A： 2009
B： 2012
C： 2011
D： 2010
137/176
2 2 2
已知y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象经过(2,1)和(4,1)两点，则方程ax +bx+c−1 = 0的解是（ ）
A： x = x = 1
1 2
B： x = 1，x = 2
1 2
C： x = 2，x = 4
1 2
D： 无法确定
3 2
已知抛物线y = ax +bx+c的图象如图所示，若y > 0，则x的取值范围是（ ）
A： x > 3
B： 3
< x < 3
4
C： 3
x < −
2
D： 3
− < x < 3
2
4 2
二次函数y = ax +bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x = −1．
2
有以下结论：①abc > 0；②4ac−b < 0；③2a+b = 0；④a−b+c > 2．
其中正确的结论的个数是（ ）
138/176
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
5 2
抛物线y = x −2x−3与x轴的交点个数是（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 1个或2个
6 2
抛物线y = ax +(2a+1)x+a+1与x轴交点的个数是（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 无法确定
7 2
一次函数y = x−1与二次函数y = 2x −x−2的交点个数是（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 1个或2个
D： 无交点
8 2
一次函数y = x−5与二次函数y = −x +2x−3的交点坐标是（ ）
A： (1,0)、(−2, −7)
B： (−1, −6)、(2, −3)
C： (0, −5)
139/176
D： 没有交点
9 2
二次函数y = x +3x−2与一次函数y = 2x+b没有交点，则b的取值范围是（ ）
A： 9
b ≤ −
4
B： 9
b < −
4
C： 9
b ≥ −
4
D： 9
b > −
4
10 2
已知抛物线y = x −2x−3．
（1）它与x轴的交点的坐标为__________；
（2）在坐标系中利用描点法画出它的图象．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 12 讲 二次函数与方程不等式
课堂落实答案
1 2
已知抛物线y = ax +bx+c(a ≠ 0)与x轴的两个交点的坐标分别是(−5,0)、(3,0)，则方程
2
ax +bx+c = 0(a ≠ 0)的解是（ ）
A： x = 5，x = 3
1 2
B： x = −5，x = 3
1 2
C： x = −3，x = −5
1 2
D： x = 5，x = −3
1 2
140/176
2 2 2
已知抛物线y = x −x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式m −m+2016的值为（ ）
A： 2014
B： 2015
C： 2016
D： 2017
3 2
若二次函数的解析式为y = 2x −4x+3，则其函数图象与x轴交点的情况是（ ）
A： 没有交点
B： 有一个交点
C： 有两个交点
D： 以上都不对
4 2
二次函数y = x −3x+2与一次函数y = −x+5的交点坐标为（ ）
A： (−1,6)或(1,2)
B： (1,0)或(3,2)
C： (1,2)或(2,3)
D： (−1,6)或(3,2)
5 2
抛物线y = x +bx+c与直线y = −2x+m相交于A(−2,n)、B(2, −3)两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若y = 2x+k与抛物线没有交点，求k的取值范围．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 12 讲 二次函数与方程不等式
精选精练
141/176
1 2
已知二次函数y = x +bx+c，b+c = 0，写出它的图象一定经过的一个定点的坐标_________．
2 2 ( ) ( ) 2
已知抛物线y = x +3x−4与x轴的两个交点为 x ,0 、 x ,0 ，则x −3x +15 = _________．
1 2 1 2
3 2 2
抛物线y = ax +bx+c经过点A(−3,0)、B(4,0)两点，则关于x的一元二次方程a(x−1) +c = b−bx
的解是____________．
4 2
二次函数y = ax +(2a+3)x+(a+1)的图象与x轴只有一个交点，则a = _________．
5 2 2
二次函数y = x +bx的图象如图所示，对称轴为直线x = 1．若关于x的一元二次方程x +bx−2t = 0
（t为实数）在−1 < x ≤ 4的范围内有解，则t的取值范围是__________．
6 2
在平面直角坐标系中，抛物线y = (x−h) +k的对称轴是直线x = 1．
（1）若抛物线与x轴交于原点，求k的值；
（2）当−1 < x < 0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求k的取值范围．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 13 讲 与圆有关的位置关系
例题练习题答案
例1
(1)⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA = 3cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A： 点A在圆上
B： 点A在圆内
142/176
C： 点A在圆外
D： 无法确定
(2)在平面直角坐标系中，点M的坐标为(2,0)，⊙M的半径为4，那么点P(−2,3)与⊙M的位置关
系是（ ）
A： 点P在圆内
B： 点P在圆上
C： 点P在圆外
D： 无法确定
练1.1 ⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离OA = 4.5cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A： 点A在圆上
B： 点A在圆内
C： 点A在圆外
D： 无法确定
例2
(1) 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AC = 3，BC = 4，以点C为圆心，2为半径的圆与AB的位置关系是
（ ）
A： 相交
B： 相切
C： 相离
D： 不能确定
(2)已知⊙O的半径为3，M为直线AB上一点，若MO = 3，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A： 相切
B： 相交
C： 相切或相离
143/176
D： 相切或相交
练2.1 设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是
（ ）
A： d = 3
B： d ≤ 3
C： d < 3
D： d > 3
例3 如图，PC为⊙O的切线，C为切点．PO的延长线、PO与⊙O分别交于点A、点B，∠P = 30∘ ，连
接CO、AC、BC．求证：△ACB≌△PCO．
练3.1 如图，在△ABC中，AB = AC，∠B = 50∘ ，⊙A与BC相切于点D，与AB相交于点E，则∠AED =
（ ）
A： 50∘
B： 60∘
C： 70∘
D： 80∘
练3.2 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AC = BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么
BC的长等于（ ）
144/176
A： 2cm
B： 2√2cm
C： 2√3cm
D： 4cm
例4 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于P．
（1）若∠CAB = ∠P = 30∘ ，求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠COB = 2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．
练4.1 如图，在△ABC中，∠A = 90∘ ，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边的中点，求证：DE是⊙O
的切线．
练4.2 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN//BC交AB于点E，且ME = 1，AM = 2
，AE = √3，求证：BC是⊙O的切线．
145/176
例5 如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切
点分别是D、C、E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是__________．
练5.1 如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与 ⊙C相切于点P．若∠AOB = 90∘ ，OP = 6，
则OC的长为（ ）
A： 12
B： 12√2
C： 6√2
D： 6√3
练5.2 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA = 10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的
周长是（ ）
A： 10
B： 18
C： 20
146/176
D： 22
例6 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AC = 3，BC = 4，则△ABC的内切圆半径r = __________．
练6.1 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 5，内切圆的半径为1，则△ABC的周长为（ ）
A： 15
B： 12
C： 13
D： 14
能力提高 / 初三 / 秋季
第 13 讲 与圆有关的位置关系
自我巩固答案
1 已知⊙O的半径为5cm，点P到⊙O上的点的最近距离是2，那么点P到⊙O上的点的最远距离是
（ ）
A： 7cm
B： 8cm
C： 7cm或12cm
D： 8cm或12cm
2 ⊙O与直线l有两个交点，且⊙O的半径为3，则圆心O到直线l的距离不可能是（ ）
A： 0
147/176
B： 1
C： 2
D： 3
3 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的半径为2，圆心P的坐标为(−3,0)，将⊙P沿x轴正方向平
移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A： 1
B： 1或5
C： 3
D： 5
4 已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A： 相离
B： 相切
C： 相交
D： 无法判断
5 如图，∠O = 30∘ ，C为OB上一点，且OC = 6，以点C为圆心，4为半径的圆与OA的位置关系是（
）
A： 相离
B： 相交
C： 相切
148/176
D： 相交或相切
6 已知：如图，在△ABC中，AC = BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交
BC的延长线于点F．求证：
(1)AD = BD；
(2)DF是⊙O的切线．
7 ∘
已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点P在AB的延长线上，且∠A = ∠P = 30 ．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）连接BC，若AB = 4，求△PBC的面积．
8 如图，P为 ⊙O外一点，PA、PB分别切 ⊙O于A、B，CD切 ⊙O于点E，分别交PA、PB于点C
、D，若PA = 5，则△PCD的周长为（ ）
A： 5
B： 7
C： 8
D： 10
149/176
9 如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD = 20，则△ABC的周长为（ ）
A： 20
B： 30
C： 40
D： 50
10 如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点．
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）如果AC＝6，BC＝8，求内切圆⊙O的半径．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 13 讲 与圆有关的位置关系
课堂落实答案
1 一点到圆周上的点的最大距离是11，最小距离是3，则该圆的半径是（ ）
A： 4
B： 6
C： 7
D： 4或7
150/176
2 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，BC = 3cm，AC = 4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与
直线AB的关系是（ ）
A： 相交
B： 相切
C： 相离
D： 无法确定
3 下列命题中正确的是（ ）
A： 垂直于半径的直线是圆的切线
B： 经过半径外端的直线是圆的切线
C： 经过切点的直线是圆的切线
D： 圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
4 如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，且∠C = 90∘ ．已知AC = 12，BC = 5，则
四边形OFCE的面积为（ ）
A： 1
B： 15
C： 15
2
D： 4
5 如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为_____．
151/176
能力提高 / 初三 / 秋季
第 13 讲 与圆有关的位置关系
精选精练
1 在平面直角坐标系xOy中，若点P(4,3)在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A： 0 < r < 4
B： 3 < r < 4
C： 4 < r < 5
D： r > 5
2 在平面直角坐标系中，以点(2,3)为圆心，2为半径的圆必定（ ）
A： 与x轴相离，与y轴相切
B： 与x轴，y轴都相离
C： 与x轴相切，与y轴相离
D： 与x轴，y轴都相切
3 如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD相切，若正方形ABCD的边长为2，则⊙O的半径
为（ ）
152/176
A： 1
B： √5
2
C： 4
3
D： 5
4
4 如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（ ）
A： AB = 4， AT = 3，BT = 5
B： ∠B = 45∘ ，AB = AT
C： ∠B = 55∘ ，∠TAC = 55∘
D： ∠ATC = ∠B
5 ⌢
如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是ABC
上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB = 80∘ ，则∠ADC的度数是（ ）
A： 15∘
153/176
B： 20∘
C： 25∘
D： 30∘
6 如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC = 140∘ ，则∠BIC的度数为（ ）
A： 110∘
B： 125∘
C： 130∘
D： 140∘
能力提高 / 初三 / 秋季
第 14 讲 圆中的计算
例题练习题答案
例1
(1)已知正六边形的边心距为√3，则它外接圆的半径为（ ）
A： 2
B： 4
C： 2√3
D： 4√3
154/176
(2) ⊙O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是（ ）
A： √3:2
B： 1:1
C： 1:√2
D： √2:√3
练1.1 ⌢
如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是EF上一点，则∠BPD的度数是（ ）
A： 30°
B： 60°
C： 55°
D： 75°
练1.2 如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边
长之比为_____________．
例2
155/176
(1)如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A、C，则劣弧AC的长度为（ ）
A： 3
π
5
B： 3
π
4
C： 4
π
5
D： 2
π
3
(2) 如图，半径为30cm的转动轮转过80∘ 时，传送带上的物体A平移的距离为________．
练2.1 如图，四边形ABCD中，AB = CD，AD//BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四
⌢
边形AECD是平行四边形，AB = 3，则AE的长为（ ）
A： π
2
B： π
156/176
C： 3π
2
D： 3
练2.2 如图，将半径为1、圆心角为60∘ 的扇形纸片AOB，在直线上向右作无滑动的滚动至扇形A ′ O ′ B ′
处，则顶点O经过的路线总长为____________．
例3
(1) 如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA = 2，∠COD = 120∘
，则图中阴影部分的面积等于___________．
(2) 如图，半圆O的直径AB = 20，将半圆O绕点B顺针旋转45∘ 得到半圆O ′ ，与AB交于点P．
①求AP的长；
②求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
练3.1 如图，圆的半径是6，空白部分的圆心角分别是60°与30°，则阴影部分的面积是（ ）
157/176
A： 9π
B： 27π
C： 6π
D： 3π
练3.2 如图，在半径为3，圆心角为90∘ 的扇形ACB内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影
部分的面积是（ ）
A： 5π 3
−
9 2
B： 9π 9
+
4 4
C： 9π 9
−
4 4
D： 9π 9
−
8 4
例4
(1)如图，圆锥的底面半径OB = 6cm，高OC = 8cm．则这个圆锥的侧面积是（ ）
158/176
A： 2
30cm
B： 2
30πcm
C： 2
60πcm
D： 2
120cm
(2)现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不
计）．该圆锥底面圆的半径为__________cm．
练4.1 如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（ ）
A： 15π
B： 24π
C： 20π
D： 10π
练4.2 如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为
（ ）
A： 1
2
B： √2
2
C： √2
D： 2√2
159/176
例5
(1) 如图所示，菱形ABCD，∠ABC = 120∘ ，AD = 1，扇形BEF的半径为1，圆心角为60∘ ，则图
中阴影部分的面积是___________．
(2)如图，两个半圆如图放置，大半圆中长为8cm的弦AB平行于直径CD，且与小半圆相切，则图
2
中阴影部分的面积为____________cm ．
练5.1 如图，在正方形ABCD中，边长AD = 2，分别以顶点A、D为圆心，线段AD的长为半径画弧交于点
E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A： 2
π
3
B： 4
π−√3
3
C： 4
π−2√3
3
D： π−√3
160/176
练5.2 ⌢
如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，若分别以AB，BC，CD，DA为折痕，将AB，
⌢ ⌢ ⌢
BC，CD，DA向内对折，则图中阴影部分的面积为___________．(结果保留π)
能力提高 / 初三 / 秋季
第 14 讲 圆中的计算
课堂落实答案
1 如图，等边三角形ABC内接于半径为4的⊙O，则三角形ABC的边长为（ ）
A： 2√3
B： 4
C： 4√3
D： 6
2 如图，从一块圆形纸片上剪出一个圆心角为90∘ 的扇形ABC，使点A、B、C在圆周上，将剪下的扇
形作为一个圆锥侧面，如果圆锥的高为3√30cm，则这块圆形纸片的直径为（ ）
161/176
A： 12cm
B： 20cm
C： 24cm
D： 28cm
3 圆锥母线长5cm，底面半径为3cm，求它的侧面展开图的圆心角度数．
4 如图，在等腰直角△ABC中，AB = AC = 8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D．则阴影部分的面
积为（结果保留π）（ ）
A： 24−4π
B： 32−4π
C： 32−8π
D： 24−2π
5 在正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A： 1
2 2
πa −a
2
B： 1
2 2
a − πa
2
162/176
C： 1
2
a
2
D： 1
2
πa
4
能力提高 / 初三 / 秋季
第 14 讲 圆中的计算
自我巩固答案
1 等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
A： 1:2:√3
B： 2:3:4
C： 1:√3:2
D： 1:2:3
2 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A： 1
B： √3
C： 2
D： 2√3
3 正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（ ）
163/176
A： 60∘
B： 120∘
C： 60∘ 或120∘
D： 30∘ 或150∘
4 2
一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm ，则此扇形的圆心角的度数是（ ）
A： 300∘
B： 150∘
C： 120∘
D： 75∘
5 ⌢
已知圆O的半径是3，A，B，C三点在圆O上，∠ACB = 60∘ ，则AB的长是（ ）
A： 2π
B： π
C： 3
π
2
D： 1
π
2
6 如图，在 △ ABC中，CA = CB = 4，∠ACB = 90∘ ，以AB中点D为圆心，作圆心角为90∘ 的扇形
⌢
DEF，点C恰好在EF上，则图中阴影部分的面积是（ ）
164/176
A： π −2
B： π −1
C： 2π −4
D： 不确定
7 如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．
(1)仅用无刻度的直尺在图1中作出∠BAD的平分线，并说明理由；
(2) 如图2，当∠BAD = 45∘ ，OC = 4时，①连接BC，求∠ABC的度数；②求扇形AOC的面积
（阴影部分）．
8 如图所示，点A、B、D都在⊙O上，BC是⊙O的切线，AD//BC，∠C = 30∘ ，AD = 4√3．
（1）求∠A的度数；
⌢
（2）求由线段BC、CD与BD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
9 如图，C、D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD = 8cm，P是直径AB上的任意一点．
⌢
（1）求CD的长；
（2）求阴影部分的面积．
165/176
(1) ⌢
求CD的长；
(2)求阴影部分的面积．
10 ⌢ ⌢
如图，△ABC中，AB = AC，E在AC上，经过A、B、E三点的⊙O交BC于点D，且BD = DE．
(1)求证：AB为⊙O的直径；
(2) 若AB = 8，∠BAC = 45∘ ，求阴影部分的面积．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 14 讲 圆中的计算
精选精练
1 如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（ ）
166/176
A： π +1
B： π +2
C： π −1
D： π −2
2 ⌢
如图，三个同心圆扇形的圆心角∠AOB为120∘ ，半径OA为6cm，C、D是AB的三等分点，则阴影部
2
分的面积等于_____cm ．
3 如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中
阴影部分的面积是__________．
4 ′ ′ ′ ′
已知：如图，⊙O的半径为2，正方形ABCD、A B C D 分别是⊙O的内接正方形和外切正方形．
求两正方形的面积比S ：S ．
内 外
5 如图，在 △ ABC中，∠ACB = 90∘ ，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，
AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF = EF，EF与AC交于点G．
167/176
(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2) 若OA = 2，∠A = 30∘ ，求图中阴影部分的面积．
6 如图，在平行四边形ABCD中，过A、C、D三点的圆O交AB于点E，连接DE、CE ，
∠BCE = ∠CDE．
(1)求证：直线BC为圆O的切线；
(2)猜想AD与CE的数量关系，并说明理由；
(3) 若BC = 2，∠BCE = 30∘ ，求阴影部分面积．
能力提高 / 初三 / 秋季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A： 对角线互相平分
B： 对角线互相垂直
168/176
C： 对角线相等
D： 对角线平分一组对角
2 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，已知∠AOB = 100∘ ，那么∠ACB的度数是（ ）
A： 30∘
B： 40∘
C： 50∘
D： 60∘
3 下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A： y = 2x+1
B： 2 2
y = (x−1) −x
C： 2
y = 2x −7
D： 1
y = −
2
x
4 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，高CD=3，则sinA+sinB等于（ ）
A： 3
5
169/176
B： 4
5
C： 1
D： 7
5
5 EF
在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE = 2ED,EC交对角线BD于点F，则 等于
FC
（ ）
A： 1
3
B： 1
2
C： 2
3
D： 3
2
6 将二次函数y=5x 2 的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，所得的图象的函数表达式
是( )
A： y=5(x-3) 2 +4
B： y=5(x+3) 2 -4
C： y=5(x+3) 2 +4
D： y=5(x-3) 2 -4
170/176
7 如图，四边形ABCD是菱形，AC = 8，DB = 6，DH⊥AB于H，则DH = （ ）
A： 24
5
B： 12
5
C： 12
D： 24
8 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD为直径，弦AC的长为3，∠B = 60∘ ，则⊙O的半径为（ ）
A： 4
B： √3
C： 3
D： 2√3
9 2
如图，一次函数y = mx+n(m ≠ 0)与二次函数y = ax +bx+c(a≠0)的图象相交于两点
1 2
A(-1,5)、B(9,3)，请你根据图象写出使y ≥ y 成立的x的取值范围（ ）
1 2
171/176
A： -1≤x≤9
B： -1≤x<9
C： -1 0的解
x x
集是( )
A： x>1
B： x<-1
C： 00)的图象经过点D，交BC边于点E．
x
若△BDE的面积为1，则k=______．
14 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB = 8，AE = 1，则弦CD的长是_______．
15 如图，A为上的一点⊙O，AD⊥AO，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA = 36∘ ，则∠ACB
的度数为________．
16 计算：√2sin45∘ +tan60∘ ⋅tan30∘ −cos60∘ = _____．
17 2
一个底面半径为5cm，母线长为16cm的圆锥，它的侧面展开图的面积是_____cm ．
18 2
抛物线y = ax +bx+c与直线y = mx+n的图象如图所示，下列判断中:①abc<0；②a−b+c > 0
1 2
1
；③5a−c = 0 ；④当x< 或x>6时，y > y ，其中正确的序号是__________________．
1 2
2
173/176
19 2
用配方法解方程：3x −6x+1 = 0
20 某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经
验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润
W（元）．
（1）写出y与x的函数关系式_______；
（2）求出W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）．
21 如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB = PC．
（1）求证：△APC∽△ACB；
（2）若AP = 3，PC = 6，求AC的长．
22 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC = CB，延长DA与⊙O的另一个交点
为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B = ∠D；
（2）若AB = 4，BC−AC = 2，求CE的长
23 k
如图，反比例函数y= (k≠0)的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A(1,a)，B两点，点C在第四象
x
限，CA∥y轴，∠ABC=90°．
174/176
(1)求k的值及点B的坐标；
(2)求tanC的值．
24 如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）求证：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE =
___________．
25 2
如图，一次函数y = kx+b的图象与二次函数y = −x +c的图象相交于A(−1,2)，B(2,n)两点．
(1)求一次函数和二次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
2
(3)设二次函数y = −x +c的图象与y轴相交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．
26 为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在
北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏
175/176
东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．(结果保留整数，参考数据:√2≈1.414，√3
≈1.732)
27 2
如图，对称轴为x = −1的抛物线y = ax +bx+c(a ≠ 0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为
(−3,0)．
（1）求点B的坐标．
（2）已知a = 1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S = 4S ，求点P的坐标．
ΔPOC ΔBOC
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
176/176
