文档内容
能力提高 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程初步
例题练习题答案
例1 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A： 2
(x+1) = 2(x+1)
B： 1 1
+ −2 = 0
2 x
x
C： 2
ax +bx+c = 0
D： 2 2
x +2x = x −1
练1.1 判断下列方程是否是一元二次方程：
1 1
2 2 2 2 3 2 3
（1）x = ；（2）x = x +x；（3）3x +6x = 9；（4）y +x = 2x +y ；（5） = 1．
2 2
x
例2 将方程3x(x−1) = 5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并且写出其中的二次项系数、一次项系
数及常数项．
练2.1 2
将一元二次方程4x +7 = 3x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A： 4、3
B： 2
4x 、−3x
C： 4、7
D： 4、−3
练2.2 2
将一元二次方程5x −3+x = 2x+1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
1/185
A： 5、−2
B： 2
5x 、−2x
C： 5、−4
D： 5、−1
例3 |a−1|
已知关于x的方程(a−3)x +(a+1)x−3 = 0是一元二次方程，求参数a的值．
练3.1 |m|
关于x的方程(m−2)x +3mx+1 = 0是一元二次方程，则（ ）
A： m = ± 2
B： m = 2
C： m = −2
D： m ≠ ± 2
练3.2 |n+1|
已知关于x的方程nx +(n−1)x−3 = 0是一元二次方程，则n的值为__________．
例4 请使用直接开平方法解下列方程：
2 2
（1）x = 25；（2）4x = 9；
2 2
（3）(x−1) = 3； （4）(2x+3) = 49．
练4.1 请使用直接开平方法解下列方程：
1
2 2
（1）x = 12；（2） x = 5；
3
1 1
( )2 ( )2
（3） x+ = 4；（4） x+3 = 16．
2 2
练4.2 2
方程x −2 = 0的解为（ ）
A： 2
B： √2
C： 2与−2
2/185
D： √2与−√2
例5
(1) 2
一元二次方程x −6x−1 = 0配方后可变形为（ ）
A： 2
(x+3) = 10
B： 2
(x+3) = 8
C： 2
(x−3) = 10
D： 2
(x−3) = 8
(2) 2
利用配方法解一元二次方程2x −8x−1 = 0时，应先将其变形为（ ）
A： 2
(2x−4) = 17
B： 2
(2x−4) = 15
C： 2
2(x−2) = 7
D： 2
2(x−2) = 9
(3)用配方法解方程：
2
①x +2x = 0；
2
②x −4x−1 = 0；
1
2
③ x +2x−5 = 0；
3
2
④3x −6x−15 = 0．
练5.1 2
用配方法解一元二次方程x +4x−3 = 0时，原方程可变形为（ ）
A： 2
(x+2) = 1
B： 2
(x+2) = 7
C： 2
(x+2) = 13
3/185
D： 2
(x+2) = 19
练5.2 2
用配方法解一元二次方程x −6x−10 = 0时，下列变形正确的为（ ）
A： 2
(x+3) = 1
B： 2
(x−3) = 1
C： 2
(x+3) = 19
D： 2
(x−3) = 19
能力提高 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程初步
自我巩固答案
1 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A： 2
a(x+1) = 2(x+1)
B： 2 1
+ −2 = 0
2 x
x
C： 2 2
x +2x = x −1
D： 2
x +1 = 0
2 2 2
一元二次方程−2(x−1) = x+3化成一般形式ax +bx+c = 0后，其中a = 2，则b、c的值是
（ ）
A： b = 3，c = 5
B： b = −3，c = 5
C： b = −3，c = −5
D： b = 3，c = −5
4/185
3 下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
2 1 √2
2 2 2
①x +3x = ； ②7x = 0； ③ x − = x；
x 5 2
2 2 2
④(x+3) = (x+2)(x−3)；⑤2x −5y = 0； ⑥ax +bx+c = 0．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
4 |a|+1
关于x的方程(a−1)x −3x+2 = 0是一元二次方程，则（ ）
A： a ≠ ± 1
B： a = 1
C： a = −1
D： a = ± 1
5 |a+2|
关于x的方程(a+4)x +3ax+1 = 0是一元二次方程，则（ ）
A： a = −4
B： a = 0，a = −4
C： a = 0
D： a ≠ −2
6 2
一元二次方程(x−2) = 9的两个根分别是（ ）
A： x = 1，x = −5
1 2
B： x = −1，x = −5
1 2
C： x = 1，x = 5
1 2
D： x = −1，x = 5
1 2
5/185
7 2
一元二次方程x +8x+1 = 0配方后可变形为（ ）
A： 2
(x+4) = 17
B： 2
(x+4) = 15
C： 2
(x−4) = 17
D： 2
(x−4) = 15
8 2
一元二次方程x +6x+5 = 0的根是（ ）
A： x = 1，x = 5
1 2
B： x = −1，x = 5
1 2
C： x = 1，x = −5
1 2
D： x = −1，x = −5
1 2
9 2
一元二次方程x −2x−1 = 0的两个实数根中较大的根是（ ）
A： 1+√2
B： 1−√2
C： 1−√2
2
D： 1+√2
2
10 2
解方程：2x −4x = 1．
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第 1 讲 一元二次方程初步
6/185
课堂落实答案
1 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A： 2
x +x+1 = 0
B： 2
ax +bx = 0
C： 1
2
x + = 0
2
x
D： 2 2
3x −2xy−5y = 0
2 将一元二次方程x(x−9) = −3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和
常数项分别是（ ）
A： 9，3
B： 9，−3
C： −9，−3
D： −9，3
3 2
m +1
若方程(m−1)x −2x−m = 0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A： −1
B： 1
C： 5
D： −1或1
4 2
将方程2x −4x−3 = 0配方后所得的方程正确的是（ ）
A： 2
(2x−1) = 0
B： 2
(2x−1) = 4
C： 2
2(x−1) = 1
7/185
D： 2
2(x−1) = 5
5 解下列一元二次方程：
2 2
（1）x +10x+25 = 0；（2）x −x−1 = 0．
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第 1 讲 一元二次方程初步
精选精练
1 2 2 2
已知关于x的方程：（1）ax +bx+c = 0；（2）x −4x = 8+x ；（3）1+(x−1)(x+1) = 0；
( )
2 2
（4） k +1 x +kx+1 = 0中，一元二次方程的个数为（ ）个．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
2 2
将方程(x+1)(2x−3) = 1化成“ax +bx+c = 0”的形式，其中a = 2，则b、c的值为（ ）
A： b = −1，c = −3
B： b = −5，c = −3
C： b = −1，c = −4
D： b = 5，c = −4
3 2 2
方程3x −5x+2 = 0的一个根是a，则6a −10a+2 = _____．
4 2 2
已知m是关于x的方程x −2x−3 = 0的一个根，则2m −4m = _____．
5 2 2 2 2
若A = 10a +2b −7a+6，B = a +2b +5a−1，则A −B的值是（ ）
A： 正数
8/185
B： 负数
C： 0
D： 可正可负
6 √
2
已知a为实数，则代数式 27−12a+2a 的最小值为（ ）
A： 0
B： 3
C： 3√3
D： 9
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第 2 讲 一元二次方程的解法
例题练习题答案
例1
(1) 2
用公式法解一元二次方程3x −2x+3 = 0时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是
（ ）
A： a = 3，b = 2，c = 3
B： a = −3，b = 2，c = 3
C： a = 3，b = 2，c = −3
D： a = 3，b = −2，c = 3
(2)用公式法解方程：
2 2
①x +2x−8 = 0；②2x +3x+1 = 0；
2 2
③2x −3x−9 = 0； ④2x +4x−7 = 0．
9/185
练1.1
(1) 2
用公式法解方程5x −6 = −x时，a、b、c的值依次是（ ）
A： 5、−1、−6
B： 5、1、−6
C： 5、1、6
D： 5、−1、6
(2) 2
用公式法解一元二次方程x −5x−7 = 0，其中较小的根是__________．
练1.2
(1) 2
用公式法解方程x −2 = −3x时，a、b、c的值依次是（ ）
A： 0、−2、−3
B： 1、3、−2
C： 1、−3、−2
D： 1、−2、−3
(2) 2
一元二次方程x −x−1 = 0的两个实数根中较大的根是（ ）
A： 1+√5
B： 1+√5
2
C： 1−√5
2
D： −1+√5
2
例2 用公式法解方程：x(2x+3) = 4x+6．
10/185
练2.1 2 2
用公式法解方程(x+2) = 6(x+2) −4时，b −4ac的值为（ ）
A： 52
B： 32
C： 20
D： −12
练2.2 方程x(x+2) = 3(x+2)的解是（ ）
A： 3和−2
B： 3
C： −2
D： 无解
例3 2
一元二次方程x = 2x的解为（ ）
A： x = 2
B： x = −2
C： x = 2，x = 0
1 2
D： x = −2，x = 0
1 2
练3.1 方程x(x+2) = 0的根是（ ）
A： x = 2
B： x = 0
C： x = 0，x = −2
1 2
D： x = 0，x = 2
1 2
练3.2 2
如果代数式x +4x+4的值是16，则x的值是（ ）
A： −2
11/185
B： 2√3，−2√3
C： 2，−6
D： 30，−34
例4
(1)下列用因式分解法解方程正确的是（ ）
A： x(x+2) = 0，∴x+2 = 0
B： (x+3)(x−1) = 1，∴x+3 = 0或x−1 = 1
C： (x−2)(x−3) = 2×3，∴x−2 = 2或x−3 = 3
D： (2x−2)(3x−4) = 0，∴2x−2 = 0或3x−4 = 0
(2)请使用因式分解法解下列一元二次方程：
2 2
①5x = 4x；②x −9 = 0；
2 2
③x +2x+1 = 0；④x −x−2 = 0；
2 2
⑤3x −x−4 = 0；⑥2(x+5) = x(x+5)．
练4.1 方程x(x−2) = 3x的解为（ ）
A： x = 5
B： x = 0，x = 5
1 2
C： x = 2，x = 0
1 2
D： x = 0，x = −5
1 2
练4.2 用因式分解法解下列方程：
2 2
（1）x −2x−35 = 0；（2）2x −x−15 = 0；
（3）x+3−x(x+3) = 0；（4）x(x−4) = 8−2x．
能力提高 / 初三 / 暑假
12/185
第 2 讲 一元二次方程的解法
自我巩固答案
1 2
用公式法解−x +3x = 1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（ ）
A： −1、3、−1
B： 1、−3、−1
C： −1、−3、−1
D： −1、3、1
2 2
一元二次方程3x −2x−2 = 0的两个实数根中较大的根是（ ）
A： 1+√7
B： 1−√7
C： 1−√7
3
D： 1+√7
3
3 2
方程x +x−1 = 0的根是（ ）
A： 1+√5 1−√5
x = ，x =
1 2
2 2
B： −1+√5 −1−√5
x = ，x =
1 2
2 2
C： −1+√3 −1−√3
x = ，x =
1 2
2 2
D： 没有实数根
4 2
用公式法解方程4y = 12y+3，得到（ ）
13/185
A： −3± √6
y =
2
B： 3± √6
y =
2
C： 3± 2√3
y =
2
D： −3± 2√3
y =
2
5 2
一元二次方程x −3x = 0的解为（ ）
A： x = 3，x = −3
1 2
B： x = −3，x = 0
1 2
C： x = 3，x = 0
1 2
D： x = x = 3
1 2
6 一元二次方程x(x−3) = 3−x的根是（ ）
A： −1
B： 3
C： −1和3
D： 1和2
7 2
一元二次方程x −5x−6 = 0的根是（ ）
A： x = 1，x = 6
1 2
B： x = 2，x = 3
1 2
C： x = 1，x = −6
1 2
14/185
D： x = −1，x = 6
1 2
8 关于x的方程x(x+6) = 16的解为（ ）
A： x = 2，x = 2
1 2
B： x = 8，x = −4
1 2
C： x = −8，x = 2
1 2
D： x = 8，x = −2
1 2
9 2
方程2x +1 = 3x的两个根为（ ）
A： x = 2，x = 1
1 2
B： 1
x = ，x = 1
1 2
2
C： x = −2，x = 1
1 2
D： 1
x = − ，x = 1
1 2
2
10 解下列一元二次方程：
2 2
（1）x +3x+1 = 0；（2）(x−2) = 3x−6．
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第 2 讲 一元二次方程的解法
课堂落实答案
1 2
方程2x −3x−1 = 0用公式法求解，先确定a、b、c的值，正确的是（ ）
A： a = 2，b = −3，c = −1
B： a = −2，b = 3，c = 1
15/185
C： a = −2，b = −3，c = −1
D： a = 2，b = 3，c = −1
2 2
一元二次方程x +2x−2 = 0的解为（ ）
A： x = −1+√3，x = −1−√3
1 2
B： x = √3+1，x = √3−1
1 2
C： x = 1+√3，x = 1−√3
1 2
D： x = −2+2√3，x = −2−2√3
1 2
3 2
方程x = 4x的解是（ ）
A： x = 4
B： x = 0，x = 4
1 2
C： x = 0
D： x = 2，x = −2
1 2
4 2
一元二次方程x −4x+3 = 0的解是（ ）
A： x = 1
B： x = −1，x = −3
1 2
C： x = 3
D： x = 1，x = 3
1 2
5 解下列一元二次方程：
2
（1）2(x−3) = 3x(x−3)；（2）x −2x−2 = 0．
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16/185
第 2 讲 一元二次方程的解法
精选精练
1 解方程：
(1) 2
2x −7x+1 = 0；
(2)x(x−3) +x−3 = 0．
2 解方程：
(1) 2
x −2x = 0；
(2) 2
x −6x−1 = 0．
3 解下列关于x的一元二次方程：
(1) 2
x −10x+9 = 0；
(2) 2
x −3x−1 = 0．
4 用适当的方法解下列方程：
(1)x(2x−5) = 4x−10；
(2) 2
2x +5x+1 = 0；
(3) 2
x +5x+7 = 3x+6．
5 2
解方程：2(x−2) = 338．
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第 3 讲 平行与比例
17/185
例题练习题答案
例1 回答下列问题．
(1)不为0的四个实数a、b、c、d满足ab = cd，将其改写成比例式为_______．
(2) x−y 2 x
如果 = ，那么 = _________．
y 3 y
(3) a c 1 a+c
已知 = = ，则 (b+d ≠ 0)的值为__________．
b d 3 b+d
(4) a c e
如果 = = = k(b+d+f ≠ 0)，且a+c+e = 3(b+d+f)，那么k = ____．
b d f
(5) b+c a+c a+b
已知： = = = k，则k = ________．
a b c
练1.1 a b 2a+b
（1）若 = (a ≠ b)，则 = ______________．
4 5 a−b
3x+3y 3y+3z 3z+3x
（2）若 = = = m，则m的值为______________．
z x y
练1.2 完成下列各题．
(1) a 1 a
已知 = ，那么 的值为（ ）
b 3 a+b
A： 1
3
B： 2
3
18/185
C： 1
4
D： 3
4
(2) c b a
已知 = = = k（a+b+c ≠ 0），则k = （ ）
a+b a+c b+c
A： 0
B： 1
C： 2
D： 1
2
例2 已知a、b、c、d是成比例线段，其中a = 2cm，b = 3cm，c = 4cm，则线段d的长是（ ）
A： 6cm
B： 5cm
C： 8
cm
3
D： 3
cm
8
练2.1 下列线段中能成比例的是（ ）
A： 3cm，5cm，7cm，9cm
B： 2cm，5cm，6cm，8cm
C： 3cm，6cm，9cm，18cm
D： 1cm，3cm，4cm，7cm
练2.2 已知线段a = 4，b = 16，线段c是a、b的比例中项，那么c等于 （ ）
19/185
A： 10
B： 8
C： −8
D： ±8
例3 回答下列问题.
(1) AB 3
如图，l ∥l ∥l ，直线a、b与l 、l 、l 分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若 = ，
1 2 3 1 2 3
BC 5
DE = 6，则EF的长是（ ）
A： 18
5
B： 48
5
C： 10
D： 6
(2)如图，AD//BE//CF ，直线l ，l 与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，
1 2
AB 2
= ，DE=4，则EF的长为（ ）
BC 3
20/185
A： 8
3
B： 20
3
C： 6
D： 10
练3.1 已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
练3.2 如图，直线l ∥l ∥l ，直线AC分别交l 、l 、l 于点A、B、C，直线DF分别交l 、l 、l 于点
1 2 3 1 2 3 1 2 3
DE
D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH = 2，HB = 1，BC = 5，则 的值为（ ）
EF
A： 1
2
B： 2
21/185
C： 2
5
D： 3
5
例4 DE
如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD = 4，DB = 2，则 的值为_____．
BC
练4.1 BO 2
如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若 = ，AB = 10，则CD = ______．
OC 3
练4.2 如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A： AD BC
=
DF CE
B： BC DF
=
CE AD
C： CD BC
=
EF BE
D： CD AD
=
EF AF
22/185
例5 如图，△ ABC 中，点 D 、 E 分别在边 AB 和 AC 上， DE ∥ BC ，点 F 是 BC 上的点， AB = 6 ，
AD BF AE
EF = 2 ， = ，求 的值．
BD FC AC
练5.1 AD DE
如图，△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是DE延长线上的点， = ，连
BD EF
AE 2 AD
接FC，若 = ，求 的值．
AC 3 FC
练5.2 如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB = 2，CD = 3，则GH的长为_______．
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第 3 讲 平行与比例
自我巩固答案
1 a c
已知 = (a,b,c,d不为0)，则下列各式中错误的是（ ）
b d
A： ad = bc
B： a d
=
c b
23/185
C： b d
=
a c
D： a+c b+d
=
a b
2 a 3 a
若 = ，则 的值是（ ）
b 8 a+b
A： 8
11
B： 6
13
C： 3
11
D： 3
5
3 a b c d
如果 = = = = k，那么k = （ ）
b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c
A： −1
B： 1
2
C： 1
3
D： 1
或−1
3
4 已知线段d是线段a，b，c的第四比例项，其中a = 3cm，b = 4cm，c = 5cm，则d的值为（ ）
24/185
A： 20
cm
3
B： 6cm
C： 12
cm
5
D： 2 cm
5 如果a = 9，b = 4，且b是a和c的比例中项，那么c = （ ）
A： 4
9
B： 9
4
C： 16
9
D： 9
13
6 如图，AB∥CD∥EF，若AC=5，CE=7，BD=4，则BF=（ ）
A： 35
4
B： 28
5
25/185
C： 20
7
D： 48
5
7 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD = 2，BD = 4，那么下列条件能够判断DE//BC
的是（ ）
A： AE 1
=
AC 2
B： DE 1
=
BC 4
C： AE 1
=
AC 3
D： DE 1
=
BC 2
8 如图，已知DE//BC，EF//AB，则下列比例式中错误的是（ ）
A： AD AE
=
AB AD
B： CE AE
=
CF DE
26/185
C： AE AD
=
AC AB
D： AD DE
=
AB BC
9 如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO = 3，BO = 5，DC = 4，则AB长为（ ）
A： 6
B： 8
C： 20
3
D： 15
4
10 AF AE 2 DE
如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DF∥BE， = = ，求 的值．
FE CE 3 BC
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第 3 讲 平行与比例
课堂落实答案
27/185
1 x 1 x+y
若 = ，则 = （ ）
y 3 y
A： 4
3
B： 1
4
C： 2
3
D： 4
1
2 已知a、b、c、d是成比例线段，其中a = 3cm，b = 4cm，c = 6cm，则d为（ ）
A： 8cm
B： 19
cm
2
C： 4cm
D： 9
cm
2
3 已知线段a = 4，b = 2，a为b、c的比例中项，则c为（ ）
A： 2√2
B： 8
C： 4
D： 2
4 如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO:DO = 1:2，那么下列式子正确的是（ ）
28/185
A： BO:BC = 1:2
B： CD:AB = 2:1
C： CO:BC = 1:2
D： AD:DO = 3:1
5 如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD = 5，BD = 10，AE = 3，
求CE的长．
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第 3 讲 平行与比例
精选精练
1 已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为________．
2 a+4 b+3 c+8
已知a、b、c是△ABC的三边，且满足 = = ，且a+b+c = 12，请你探索△ABC的形
3 2 4
状．
3 如图，已知AB∥CD∥EF，且BC = 2EC，则AF:AD = _________．
4 如图，在△ABC中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且AE = ED = DC，FE∥MD，
29/185
FE
MD∥BC，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么 的值为______．
BN
5 如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点M，交
DF 3
BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F， = ．
FC 2
（1）若BD = 20，求BG的长；
CM
（2）求 的值．
CD
6 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA和CD的延长线交于P，AC和BD交于点O，连接PO并延长
分别交AD、BC于点M、N．求证：AM = DM．
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第 4 讲 相似三角形判定
例题练习题答案
例1 完成下列各题.
30/185
(1)下列两个图形一定相似的是____________（填序号）．
①两个菱形；②两个矩形；③两个正方形；④两个等腰梯形．
(2)下列图形中不一定是相似图形的是__________（填序号）．
①两个圆；②两个周长相等的长方形；③两个周长相等的正方形；④两个正五边形．
(3)如图，四边形ABCD和EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度x．
练1.1
(1)下列各组图形一定相似的是（ ）
A： 两个矩形
B： 两个等边三角形
C： 各有一个角是80°的两个等腰三角形
D： 任意两个菱形
(2)如图所示是两个相似四边形，边x的长为___________，边y的长为___________，∠α的大小为
___________．
练1.2 完成下列各题.
(1)下列各组中的两个图形一定相似的有（ ）
①两个等腰三角形；
②两个直角三角形；
③两个等腰直角三角形；
④两个等边三角形；
⑤两个矩形；
⑥两个菱形；
31/185
⑦两个正方形；
⑧两个等腰梯形；
⑨两个圆．
A： 3组
B： 4组
C： 5组
D： 6组
(2) ′ ′ ′ ′ ′ ′
已知四边形ABCD和四边形A B C D 是相似的图形，并且点A与点A 、点B与点B 、点C与点
′ ′ ′ ′ ′ ′
C 、点D与点D 分别是对应顶点，已知BC = 4，CD = 3.6，A B = 3.3，B C = 3，
∠B = 75∘ ，∠C = 105∘ ，∠D = 95∘ ，求AB = ___________，C ′ D ′ = ___________， ∠A ′ 的度
数为___________．
例2
(1)下列各组条件中，一定能推得△ABC和△DEF相似的是（ ）
A： ∠A = ∠E且∠D = ∠F
B： ∠A = ∠B且∠D = ∠F
C： AB EF
∠A = ∠E且 =
AC ED
D： AB DF
∠A = ∠E且 =
BC ED
(2) 如图，△ABC中，∠A = 36∘ ，AB = AC，BD平分∠ABC交AC于点D．
求证：△BDC∽△ABC．
32/185
练2.1 回答下列问题.
(1)在△ABC和△DEF中，AB = AC,DE = DF,根据下列条件，能判断△ABC和△DEF相似的是（ ）
A： AB AC
=
DE DF
B： AB BC
=
DE EF
C： ∠A = ∠E
D： ∠B = ∠D
(2)如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ACD = ∠B．求证：△ADC∽△ACB．
练2.2 完成下列各题.
(1) AB BC BC AC
在△ABC和△A ′ B ′ C ′ 中，有下列条件：① = ；② = ；③∠A = ∠A ′ ；
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
A B B C B C A C
④∠C = ∠C ′ ，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC和△A ′ B ′ C ′ 相似的共有
（ ）
A： 1组
B： 2组
C： 3组
D： 4组
(2)如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD = ∠EAC，∠C = ∠E．
33/185
求证：△ABC∽△ADE．
例3 2
如图，点D是△ABC的边AC上的一点，AB = AC⋅AD．
求证：△ADB∽△ABC．
练3.1 已知：如图，AB ⋅AD = AC⋅AE，求证：△ABC∽△AED．
例4 AD 1
如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且 = ，AE = EB．
AC 3
求证：△AED∽△CBD．
练4.1 如图，AB⊥BD，ED⊥BD，点C在线段BD上运动，当ED = 2，BC = 6，AB = 3，DC = 1时，求
证：△ABC与△CDE相似．
34/185
练4.2 如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A：
B：
C：
D：
例5 2
如图，在△ABC中，已知AB = AC，点D、E、B、C在同一条直线上，且AB = BD⋅CE．
求证：△ABD∽△ECA．
练5.1 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ）
35/185
A：
B：
C：
D：
练5.2 如图，点D、E、F分别为△ABC的三边中点，试说明△ABC∽△EFD．
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第 4 讲 相似三角形判定
自我巩固答案
1 下列说法中，一定正确的是（ ）
A： 有一个内角相等的两个等腰三角形相似
B： 底角为45°的两个等腰梯形相似
C： 任意两个菱形相似
D： 两个等腰直角三角形必相似
2 如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全
等，则CE＝（ ）
36/185
A： 3
B： 3.5
C： 4
D： 4.5
3 巡警小王在犯罪现场发现一只脚印，他把随身携带的一张百元钞票放在脚印旁进行拍照，照片送
到刑事科，他们测得照片中的脚印和钞票的长度分别为5cm和3.1cm，一张百元钞票的实际长度大
约为15.5cm，请问脚印的实际长度为 _____cm．
4 AD AE
如图，D、E分别是AB、AC上的点，在下列条件中：（1）∠AED = ∠B；（2） = ；
AC AB
DE AD
（3） = ，其中能判定△ADE与△ACB相似的是（ ）
CB AC
A： （1）（2）
B： （1）（3）
C： （1）（2）（3）
D： （2）（3）
5 如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的
是（ ）
37/185
A： ∠B=∠C
B： ∠ADC=∠AEB
C： BE=CD，AB=AC
D： AD：AC=AE：AB
6 已知如图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图（1）、（2）
中的两个三角形，下列说法正确的是（ ）
A： 都相似
B： 都不相似
C： 只有（1）相似
D： 只有（2）相似
7
如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（ ）
A： AC AB
=
CD BC
B： CD BC
=
AD AC
C： 2
AC = AD⋅AB
D： 2
CD = AD⋅BD
8 在 △ ABC和 △ A′B′C′中，若∠A = 68∘ ，∠B = 40∘ ，∠A ′ = 68∘ ，∠C ′ = 72∘ ，则这两个三角
形（ ）
38/185
A： 面积相等
B： 相似
C： 全等
D： 不能确定
9 有一个三角形三边分别为a = 3，b = 4，c = 5，另一个三角形a′ = 8，b′ = 6，c′ = 10，则这两个三
角形（ ）
A： 都是直角三角形，但不相似
B： 都是直角三角形，也相似
C： 都是钝角三角形，也相似
D： 都是锐角三角形，也相似
10 如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC = ∠B．点E在AD边上，CD = CE．
求证：△ABD∽△CAE．
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第 4 讲 相似三角形判定
课堂落实答案
1 如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A： 87°
B： 60°
39/185
C： 75°
D： 120°
2 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
若四边形ABCD与四边形A B C D 相似，AB与A B ，AD与A D 分别是对应边，AB = 8cm，
′ ′ ′ ′
A B = 6 cm，AD = 5cm，则A D 等于（ ）
A： 15
cm
2
B： 15
cm
4
C： 20
cm
3
D： 48
cm
5
3 如图，△ABC中，AB = 4，BC = 6，点D、点E分别是边AB、BC上的两个动点，若按照下列条件，
将△ABC沿DE剪开，剪下的△BDE与原三角形不相似的是（ ）
A： ∠BDE = ∠C
B： DE∥AC
C： AD = 3，BE = 2
D： AD = 1，CE = 4
4 P是△ABC边AB上一点(AB > AC)，下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是( )
A： ∠ACP = ∠B
B： ∠APC = ∠ACB
40/185
C： AC AP
=
AB AC
D： PC AC
=
BC AB
5 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD = 90∘ ，对角线BD⊥DC．
求证：△ABD∽△DCB．
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第 4 讲 相似三角形判定
精选精练
1 如图，矩形ABCD中，AB = 4，点E、F分别在AD、BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩
形DEFC，且相似比为1:2，求AD的长．
2 两个相似六边形的相似比为3:5，它们周长的差是24cm，那么较大的六边形周长为（ ）
A： 40cm
B： 50cm
C： 60cm
D： 70cm
3 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，
那么x的值（ ）
41/185
A： 只有1个
B： 可以有2个
C： 可以有3个
D： 有无数个
4 李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来
吗？证明步骤正确的顺序是（ ）
已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，DF∥AC，
求证：△ADE∽△DBF．
证明：①又∵DF∥AC，
②∵DE∥BC，
③∴∠A = ∠BDF，
④∴∠ADE = ∠B，
∴△ADE∽△DBF．
A： ③②④①
B： ②④①③
C： ③①④②
D： ②③④①
5 下列结论中正确的是（ ）
A： 有两条边长是3和4的两个直角三角形相似
B： 一个角对应相等的两个等腰三角形相似
42/185
C： 两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似
D： 有一个角为60°的两个等腰三角形相似
6 如图，△ABC与△AEF中，AB = AE，BC = EF，∠B = ∠E，AB交EF于D．
求证：△ADE∽△FDB．
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第 5 讲 反比例函数初步
例题练习题答案
例1
(1)下面是一些关于x的函数，请找出所有的反比例函数，并在后面写出常数k是多少．
x 1 3
−2
①y = ；②y = − ；③xy = 1；④y = −3x ；⑤y = +1．
3 x−1 x
(2) |m|−2
若y = (m−1)x 是反比例函数，则m的值是______________．
(3)学校食堂用1200元购买大米，写出购买的大米质量y（千克）与单价x（元）之间的函数表达
式，y是x的反比例函数吗？
练1.1 下列关系式中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A： 3
y =
2
x
B： x
y =
2
43/185
C： 1
y = +2
x
D： 1
y = −
x
练1.2 下列问题中，两个变量间的函数关系式是反比例函数的是（ ）
A： 小颖每分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花
B： 3 2
体积为10cm 的长方体，高为hcm，底面积为Scm
C： 2
用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm，面积为Scm
D： 汽车油箱中共有油50升，设平均每天用油5升，x天后油箱中剩下的油量为y升
例2
(1)在同一平面直角坐标系中画出下列反比例函数的图象：
1 2 1
①y = ；②y = ；③y = − ．
x x 2x
(2) b
若ab < 0，则正比例函数y = ax与反比例函数y = 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
x
44/185
练2.1
(1) 2
m +1
下列关于反比例函数y = 的图象的说法正确的是（ ）
x
A： 图象在一、三象限
B： 图象在二、四象限
C： 图象在一、二象限
D： 图象在三、四象限
(2) a
函数y = （a ≠ 0）与y = a(x+1)（a ≠ 0）在同一坐标系中的大致图象是（ ）
x
练2.2 a
在同一直角坐标系中，一次函数y = ax−a与反比例函数y = 的图象可能是（ ）
x
A：
B：
C：
45/185
D：
例3
(1) 3
关于双曲线y = − 的图象，以下说法正确的是（ ）
x
A： 双曲线的两支既关于x轴对称又关于y轴对称
B： 双曲线的两支既不关于x轴对称又不关于y轴对称
C： 双曲线的两支不关于x轴对称但关于y轴对称
D： 双曲线的两支关于x轴对称但不关于y轴对称
(2) m−2
若函数y = 的图象在每个象限内y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
x
A： m > −2
B： m < −2
C： m > 2
D： m < 2
(3) k
( ) ( )
已知点A −1,y 、B −2,y 是反比例函数y = (k < 0)图象上的点，则y _____y ．（填“ >
1 2 1 2
x
”“ < ”或“ = ”）
练3.1
(1) 5
对于反比例函数y = 图象的对称性叙述错误的是（ ）
x
A： 关于原点对称
B： 关于直线y = x对称
46/185
C： 关于直线y = −x对称
D： 关于x轴对称
(2) 2
( ) ( ) ( )
已知点 x ,y 、 x ,y 、 x ,y 在双曲线y = 上，当x < 0 < x < x 时，y 、y 、y 的大
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
x
小关系是（ ）
A： y < y < y
1 2 3
B： y < y < y
1 3 2
C： y < y < y
3 1 2
D： y < y < y
2 3 1
练3.2 m+1
如果反比例函数y = 在每个分支上的函数值y都随自变量x的增大而减小．那么m的取值范围
x
是（ ）
A： m < −1
B： m ≥ −1
C： m > −1
D： m ≤ −1
例4 k
已知点(2,3)是反比例函数y = 图象上的点，求反比例函数的解析式．
x
练4.1 k
若反比例函数y = 的图象经过点(2, −1)，则k的值为（ ）
x
A： −2
B： 2
C： 1
−
2
47/185
D： 1
2
练4.2 k
已知反比例函数y = 的图象经过点(2,3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ）
x
A： (−6,1)
B： (1,6)
C： (2, −3)
D： (−3,2)
例5
(1) 4
反比例函数y = − 的图象上取一点A，过A点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、C，求
x
矩形ABOC的面积．
(2) k
如图，过反比例函数y = (x > 0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S = 3
△AOB
x
，则k的值为（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
练5.1
48/185
(1)如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，若阴影部分面积为
6，则这个反比例函数的关系式是（ ）
A： 12
y = (x < 0)
x
B： 12
y = − (x < 0)
x
C： 6
y = (x < 0)
x
D： 6
y = − (x < 0)
x
(2)如图，P 、P 、P 是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到△P A O，△P A O
1 2 3 1 1 2 2
，△P A O，设它们的面积分别是S 、S 、S ，则（ ）
3 3 1 2 3
A： S < S < S
1 2 3
B： S < S < S
2 1 3
C： S < S < S
1 3 2
49/185
D： S = S = S
1 2 3
练5.2 5
如图，点A、B是双曲线y = 上的点，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S = 2，则
阴影
x
S +S = _________．
1 2
能力提高 / 初三 / 暑假
第 5 讲 反比例函数初步
自我巩固答案
1 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A： 1
y =
5x
B： 2
y =
2
x
C： y = 2x+1
D： 2y = x
2 2
−2
m
若函数y = (m+1)x 是反比例函数，则m的值是（ ）
A： ±1
B： 1
50/185
C： 0
D： −1
3 下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是（ ）
A： 正方形的面积S与边长a的关系
B： 正方形的周长L与边长a的关系
C： 长方形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系
D： 长方形的面积为40，长为a，宽为b，a与b的关系
4 k
在同一平面直角坐标系中，函数y = x+k与y = (k ≠ 0)的图象大致是（ ）
x
A：
B：
C：
51/185
D：
5 下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A： 9
y = − (x < 0)
x
B： 11
y = −
x
C： 3
y = (x > 0)
x
D： y = 2x
6 2
关于双曲线y = − 的对称性叙述错误的是（ ）
x
A： 关于原点对称
B： 关于直线y = x对称
C： 关于x轴对称
D： 关于直线y = −x对称
7 3
下列各点中，在反比例函数y = − 图象上的点是（ ）
x
A： (1,3)
B： (3,1)
C： 3
( )
2,
2
52/185
D： 3
( )
− ,2
2
8 6
如图，已知点P为反比例函数y = − 图象上一点，过点P向坐标轴引垂线，垂足分别为M，N，那
x
么四边形MONP的面积为（ ）
A： −3
B： 3
C： 6
D： 12
9 k
如图，点P是反比例函数y = (x < 0)图象上的一点，过P点向x轴作垂线，垂足为点D，连接OP．
x
若Rt△POD的面积为2，则k的值为（ ）
A： 4
B： 2
C： −4
D： −2
53/185
10 k
如图，A、B是双曲线y = 上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，过B点作BE⊥x
x
轴，垂足为E．若△ADO的面积为1，求四边形DCEB的面积．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 5 讲 反比例函数初步
课堂落实答案
1 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A： x
y =
2
B： 2
y = −
x
C： 1
y =
2−x
D： 1
y = −2
x
2 2
−5
m
若函数y = (m+2)x 是反比例函数，则m的值是（ ）
A： ±2
B： 2
54/185
C： −2
D： ±4
3 k
在同一直角坐标系中，函数y = kx+1与y = (k ≠ 0)的图象大致是（ ）
x
A：
B：
C：
D：
4 k
点(4, −3)是反比例函数y = 的图象上的一点，则k = （ ）
x
55/185
A： −12
B： 12
C： −1
D： 1
5 k
如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，已知反比例函数y = (k > 0)的图象经过点A(3,m)，过点A
x
1
作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为 ．求m的值及该反比例函数的表达式．
2
能力提高 / 初三 / 暑假
第 5 讲 反比例函数初步
精选精练
1 m(m−3)
函数y = 是反比例函数，则m必须满足（ ）
x
A： m ≠ 3
B： m ≠ 0或m ≠ 3
C： m ≠ 0
D： m ≠ 0且m ≠ 3
56/185
2 k
一次函数y = −kx+k与反比例函数y = − (k ≠ 0)在同一坐标系中的图象可能是( )
x
A：
B：
C：
D：
3 |m|−3
当m = _____时，函数y = (m−2)x 是反比例函数．
4 |m|−5
已知反比例函数y = (2m−3)x 的图象分布在第一、第三象限，求m的值，并写出反比例函数
的解析式．
5 k
如图，反比例函数y = 的图象经过点A(−1, −2)，则当x > 1时，函数值y的取值范围是（ ）
x
57/185
A： y > 1
B： 0 < y < 1
C： y > 2
D： 0 < y < 2
6 k k
1 2
如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y = (x > 0)及y = (x > 0)的图象分别交于点
1 2
x x
A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k −k 的值为（ ）
1 2
A： 2
B： 3
C： 4
D： −4
能力提高 / 初三 / 暑假
第 6 讲 锐角三角函数
例题练习题答案
例1
58/185
(1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，分别求出图1、图2中sinA、cosA、tanA、sinB、cosB、tanB
的值．
(2) 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，若BC = 1，AC = 2，则sinA的值为（ ）
A： √5
5
B： 2√5
5
C： 1
2
D： 2
(3) 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，若a = 3b，求sinB、cosB、tanB的值．
(4) 3
如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，BC = 9，sinA = ，求cosA、tanB、AB的值．
5
练1.1
(1) 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AC = 4，AB = 5，则tanA的值是（ ）
A： 2
3
59/185
B： 3
5
C： 3
4
D： 4
5
(2) 如图，在△ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 13，BC = 5，求sinB和tanB的值．
练1.2
(1) 在△ABC中，∠C = 90∘ ，若AB = 3，BC = 1，则sinA的值为（ ）
A： 1
3
B： 2√2
C： 2√2
3
D： 3
(2) 4
在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘ ，AC = 3，tanB = ，求AB的值．
3
例2
(1)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上．则cos∠A
的值为（ ）
60/185
A： 2√5
5
B： 2
C： √5
5
D： 1
2
(2)在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan B的值为__________．
练2.1 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，那么tanα的值是（ ）
A： 3
5
61/185
B： 4
5
C： 3
4
D： 4
3
练2.2 在正方形网格中，∠AOB如图放置．则tan∠AOB的值为（ ）
A： 2
B： 1
2
C： √5
5
D： 2√5
5
例3
(1)下列三角函数值错误的是（ ）
A： 1
sin30∘ =
2
B： √3
sin60∘ =
2
C： tan45∘ = 1
62/185
D： cos60∘ = √3
(2) √2
已知α为锐角，如果sinα = ，那么α等于（ ）
2
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 不确定
(3) √2
在△ABC中，若cosA = ，tanB = √3，则这个三角形一定是（ ）
2
A： 直角三角形
B： 等腰三角形
C： 钝角三角形
D： 锐角三角形
(4) 1
已知sinA = ，∠A为锐角，则cos2A的值为_______．
2
练3.1
(1) tan60∘
的值是（ ）
A： √3
3
B： √2
2
C： 1
D： √3
63/185
(2)已知tanA = 1，那么锐角∠A等于（ ）
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 75∘
练3.2
(1)4cos60°的值为（ ）
A： 1
2
B： 2
C： √2
3
D： 2√3
(2) 1 √3
在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA = ，cosB = ，则△ABC是（ ）
2 2
A： 直角三角形
B： 钝角三角形
C： 锐角三角形
D： 等边三角形
(3) √3
已知α为锐角，若sin
( α−10∘)
= ，则α为（ ）
2
A： 30°
B： 40°
64/185
C： 60°
D： 70°
例4
|
√2|
(
√3
)2
在△ABC中，若 sinA − + −cosB = 0，∠A，∠B都是锐角，求∠C的度数．
2 2
练4.1 ( )2 | |
在△ABC中，若 √3tanA −3 + 2cosB −√3 = 0，则△ABC为（ ）
A： 直角三角形
B： 等边三角形
C： 含60°的任意三角形
D： 顶角为钝角的等腰三角形
练4.2 在△ABC中，若(tanA −1) 2 + | 2cosB −√2 | = 0，则这个三角形是（ ）
A： 等腰直角三角形
B： 等边三角形
C： 含60°的任意三角形
D： 顶角为钝角的等腰三角形
例5 计算：
（1）2sin60∘ +2cos60∘
；
（2）cos 2 30∘ +sin 2 45∘ −tan 2 45∘ ；
2sin30∘
（3） ；
2cos30∘ −1
（4）√3cos30∘ +2 −1 −√2sin45∘ − ( √3−1 )0 ．
练5.1 计算2sin30∘ −sin 2 45∘ +tan30∘ 的结果是（ ）
A： 1
+3√3
2
65/185
B： 1 √3
+
2 3
C： √3+√2
D： 1−√3+√2
练5.2 1 1 2
( )0 ( )−1
| |
计算 − + ⋅ − tan45∘ −√3 的结果是（ ）
2 3 √3
A： 1+√3
B： 2+√3
C： 1+2√3
D： 2+2√3
能力提高 / 初三 / 暑假
第 6 讲 锐角三角函数
自我巩固答案
1 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列等式中，正确的是（ ）
A： b
sinA =
c
B： c
cosB =
a
C： a
tanA =
b
D： b
cotB =
a
66/185
2 如图，△ABC中，∠C=90°，则∠A的余弦值为（ ）
A： 8
17
B： 8
15
C： 15
17
D： 15
8
3 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为
（ ）
A： 3
5
B： 4
3
C： √10
5
D： 3
4
67/185
4 1
如果∠α是锐角，且cosα = ，那么sin 2 α的值是（ ）
2
A： √3
2
B： 1
4
C： 1
2
D： 3
4
5 已知sin 2 9∘ = a，sin81∘ = b，则sin9∘ = （ ）
A： √a
B： √b
C： a
2
D： b
2
6 1
已知在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，若sinA = ，则cosA等于（ ）
2
A： √3
2
B： √2
2
68/185
C： 1
2
D： 1
7 下列三角函数值错误的是（ ）
A： √2
cos45∘ =
2
B： √3
tan30∘ =
3
C： tan45∘ = 1
D： 1
sin60∘ =
2
8 √3
已知tanA = ，∠A为锐角，则cos2A的值为（ ）
3
A： √2
2
B： √3
3
C： 1
D： 1
2
9 在△ABC中，若(2cosA −1) 2 + | √3−tanB | = 0，则△ABC一定是（ ）
A： 直角三角形
B： 等腰三角形
C： 等边三角形
69/185
D： 等腰直角三角形
10 计算：
1
( )−1
（1） + | 1−√2 | −2cos45∘ ；
3
√2
（2）
sin45∘ +√12sin60∘ −2tan45∘
．
2
能力提高 / 初三 / 暑假
第 6 讲 锐角三角函数
课堂落实答案
1 5
如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，BC = 5，sinA = ，则cosA = （ ）
13
A： 12
13
B： 5
13
C： 5
12
D： 12
5
2 如图，每个小正方形的边长为1，点A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为（ ）
70/185
A： √3
2
B： √2
2
C： √3
3
D： 不能确定
3 √2
已知∠A为锐角，且cosA= ，那么∠A等于（ ）
2
A： 15∘
B： 30∘
C： 45∘
D： 60∘
4 | 1 | ( √3)2
在△ABC中，若 sinA − + cosB − = 0，则∠C = （ ）
2 2
A： 30∘
B： 60∘
C： 90∘
D： 120∘
71/185
5 计算：2cos 2 45∘ +sin30∘ −√3⋅tan60∘ ．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 6 讲 锐角三角函数
精选精练
1 √3
已知 < cosA < sin80∘ ，则锐角A的取值范围是（ ）
2
A： 60∘ < ∠A < 80∘
B： 30∘ < ∠A < 80∘
C： 10∘ < ∠A < 60∘
D： 10∘ < ∠A < 30∘
2 如图，过∠MAN的边AM上的一点B（不与点A重合）作BC⊥AN于点C，过点C作CD⊥AM于点
D，则下列线段的比等于tanA的是（ ）
A： CD
AC
B： BD
BC
C： BD
CD
72/185
D： CD
BC
3 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 4，AC = 1，则cosA的值为（ ）
A： 1
4
B： √15
4
C： √15
15
D： 4√17
17
4 DE 2
如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC， = ，则sinA的值为（ ）
BC 5
A： 2
5
B： √21
5
C： √21
2
D： 3
5
73/185
5 c a
在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若∠B = 60∘ ，则 + 的值为（ ）
a+b c+b
A： 1
2
B： √2
2
C： 1
D： √2
6 1
计算：sin30∘ +cos 2 45∘ + tan 2 60∘ = ___________．
3
能力提高 / 初三 / 暑假
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 下列函数关系式中，一定是反比例函数的是（ ）
A： 6
y =
x+1
B： 12
y = − +1
x
C： k
y =
x
74/185
D： 5
y = −
2x
2 k
若双曲线y = 与直线y = 2x+1 一个交点的横坐标为−1 ，则k的值为（ ）
x
A： −1
B： 1
C： −3
D： 3
3 2
用配方法解方程x +6x+2 = 0，配方正确的是（ ）
A： 2
(x+3) = 9
B： 2
(x−3) = 9
C： 2
(x+3) = 6
D： 2
(x+3) = 7
4 2
一元二次方程2x −5x+1 = 0的根的情况是（ ）
A： 有两个不相等的实数根
B： 有两个相等的实数根
C： 没有实数根
D： 无法确定
5 2
方程(x−1) = 4的解为（ ）
A： 1
B： 3
C： 3或−1
D： −3或1
75/185
6 如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，
且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（ ）
A： 5：8
B： 3：8
C： 3：5
D： 2：5
7 如图，D是△ABC的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定与△DBA相似的是（ ）
A： ∠C = ∠BAD
B： ∠BAC = ∠ADB
C： AC AD
=
BC AB
D： 2
AB = BD⋅BC
8 k
2
已知k < 0 < k ，则函数y = k x−1和y = 的图象大致是（ ）
1 2 1
x
76/185
A：
B：
C：
D：
9 1 1 1
已知点P(a,b)是反比例函数y = 图象上异于点( −1, −1) 的一个动点，则 + =
x 1+a 1+b
（ ）
77/185
A： 2
B： 1
C： 3
2
D： 1
2
10 2x+y
若x:y = 1:3，2y = 3z，则 的值是____．
z−y
A： −5
B： 10
−
3
C： 10
3
D： 5
11 2 2
若把代数式x +5x+7化为(x−m) +k的形式，其中m、k为常数，则k−m = ________．
12 2
等腰△ABC中，BC = 8，若AB、AC的长是关于x的方程x −10x+m = 0的根，则m的值等于
_______．
13 k
2
直线l ：y=k x+b与双曲线l ：y = 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等
1 1 2
x
k
2
式 > k x+b的解集为____________．
1
x
78/185
14 AD 3
如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，如果 = ，AE=6，那么EC的长
DB 5
为_________．
15 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，它们相交于G，延
长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有_____对．
16 2
如图，正比例函数y = kx(k > 0)与反比例函数y = 的图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线，
x
交x轴于B，过C作x轴的垂线，交x轴于D，则四边形ABCD的面积为___________．
17 解方程：
2
（1）x −2x−5 = 0；
2 2
（2）(2x−3) = x ．
18 用适当的方法解下列方程
2
（1）x +x−12 = 0；
2
（2）(x+3) = −2(x+3)．
79/185
19 2 1
解方程： = ．
2 x−1
x −1
20 解下列方程：
（1）3x(x−1) = 2(x−1)；（2）x(x+3) = 1．
21 如图，在△ABC中，∠C = 90∘ ，点D在AC上，DE⊥AB于点E，若AC = 8,BC = 6,DE = 3，求AD
的长．
22 由于受甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每斤猪
2
肉价格是原价格的 ，原来用60元买到的猪肉下调后可多买2斤．4月中旬，经专家研究证实，猪
3
流感不是由猪传染，很快更名为甲型H1N1流感．因此，猪肉价格4月底开始回升，经过两个月
后，猪肉价格上调为每斤14.4元．
(1)求4月初猪肉价格下调后每斤多少元？
(2)求5，6月份猪肉价格的月平均增长率．
23 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
24 如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连结DP并延长，交AB的延长线于点Q．
（1）求证：△DCP∽△QBP；
80/185
BP 1 AB
（2）若 = ，求 的值．
PC 3 AQ
25 k
如图，直线l :y = x与反比例函数y = 的图象c相交于点A(2,a)，将直线l 向上平移3个单位长度得
1 1
x
到l ，直线l 与c相交于B，C两点，（点B在第一象限），交y轴于点D．
2 2
（1）求反比例函数的表达式并写出图象为l 的一次函数的表达式；
2
（2）求B，C两点的坐标并求△BOD的面积．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 8 讲 解直角三角形
例题练习题答案
例1
(1) 1
如图1，在△ABC中，∠C = 90∘ ，BC = 1，tanA = ，下列判断正确的是（ ）
2
A： ∠A = 30∘
81/185
B： 1
AC =
2
C： AB = 2
D： AC = 2
(2) 如图2，在△ABC中，∠ACB = 90∘ ，CD是斜边AB的中线，若CD = 2，AC = 3，则sinB的值是
（ ）
A： 2
3
B： 3
2
C： 3
4
D： 4
5
(3) 3
如图3，在△ABC中，∠C = 90∘ ，AM是BC边上的中线，sin∠CAM = ，则tanB的值为（ ）
5
82/185
A： 3
2
B： 2
3
C： 5
6
D： 4
3
练1.1 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AC = 4，AB = 5，则tanA的值是（ ）
A： 2
3
B： 3
5
C： 3
4
D： 4
5
练1.2 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC = 30∘ ，点D是CB延长线上的一点，且BD = BA，则tanD的值
为（ ）
A： 2+√3
B： 2−√3
C： 2√3
83/185
D： 3√3
例2
(1) 如图，在△ABC中，∠C = 60∘ ，AC = 2，BC = 3，求tan∠B的值．
(2) 如图，在△ABC中，∠A = 30∘ ，∠B = 45∘ ，AC = 3√3，求AB的长．
(3) 如图，在△ABC中，∠A = 30∘ ，∠B = 45∘ ，AB = √3+1，求AC、BC的长．
(4) 如图，在△ABC中，∠B = 135∘ ，AB=4，BC = 2√2，求AC的长．
(5) 如图，在△ABC中，∠B = 120∘ ，∠C = 45∘ ，AB = 4，求AC的长．
练2.1
(1) 如图1，在△ABC中，∠B = 45∘ ，AB = 3√2，BC = 5，则cos∠C = __________．
84/185
(2) 如图，在△ABC中，∠A = 60∘ ，∠B = 45∘ ，BC = 3√2，则AB = _________．
练2.2 4
（1）如图，在△ABC中，∠A = 30∘ ，cosB = ，AC = 6√3．则AB的长为____________．
5
（2）如图，在△ABC中，∠B = 135∘ ，AC = 4，BC = 2，则AB的长为____________．
例3 如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB的坡度i = 1:3，斜
1
坡CD的坡度i = 1:1．
2
（1）求斜坡AB的长（结果保留根号）；
（2）求坝底AD的长度；
（3）求斜坡CD的坡角α．
练3.1 如图，一人乘雪橇沿坡比1:√3的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为_________米．
85/185
练3.2 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2√5米，则这个坡面的坡
度为______．
例4 如图，在一竖直平台AB的点B处，测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°．已
知楼高100米，求平台的高度．
练4.1 如图：从热气球P处看一栋高楼顶部M的仰角为72∘ ，看底部N的俯角为40∘
，以下符合条件的示意
图为（ ）
A：
B：
86/185
C：
D：
练4.2 如图，小强和小明去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60m的A处，用测角仪测得古塔顶的仰角
为30∘ ，已知测角仪高AD = 1.5m，则古塔BE的高为（ ）
( )
A： 20√3−1.5 m
( )
B： 20√3+1.5 m
C： 31.5m
D： 28.5m
例5 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地
后，导航显示车辆应沿北偏西60∘ 方向行驶12千米至B地，再沿北偏东45∘
方向行驶一段距离到达
古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．
87/185
练5.1 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速
度向西南方向航行，它们离开港口3小时相距（ ）海里．
A： 60
B： 30
C： 20
D： 80
练5.2 如图，一艘货轮以20海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯
塔B．货轮继续向北航行1小时后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75∘ 方向，那么此时货轮与灯塔B
的距离为___________海里（结果不取近似值）．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 8 讲 解直角三角形
自我巩固答案
1 3
如图，在△ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 15，sinB = ，则AC等于（ ）
5
88/185
A： 3
B： 9
C： 4
D： 12
2 1
在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 2√5，tanA = ，则BC的长是（ ）
2
A： 2
B： 8
C： 2√5
D： 4√5
3 3
如图，在锐角三角形ABC中，AB = 10，AC = 2√13，sinB = ，则tanC = （ ）
5
A： 1
B： 3
2
C： 2
89/185
D： 5
2
4 如图，在△ABC中，AB = 6，BC = 2√2，∠B = 45∘ ，则AC = （ ）
A： 1
B： √5
C： 2
D： 2√5
5 如图，在△ABC中，∠B = 15∘ ，∠C = 30∘ ，BC = 2，则AB的长为（ ）
A： 1
B： √2
C： 2
D： 2√2
6 如图，在△ABC中，∠BAC = 90∘ ，AD⊥BC于点D，设∠ABC = α，则下列结论错误的是（ ）
A： AC
BC =
sinα
B： CD = AD⋅tanα
C： BD = AB ⋅cosα
90/185
D： AC = AD⋅cosα
7 12
如图，△ABC中，∠C = 90∘ ，cos∠ABC = ，延长CB至点D，使BD = AB，则tan∠D的值为
13
（ ）
A： 3
B： 5
13
C： 12
13
D： 1
5
8 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55∘
方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行
到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（ ）
A： 2海里
B： 2sin55∘
海里
C： 2cos55∘
海里
D： 2tan55∘
海里
9 某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，
他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30∘
，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测
91/185
得点A的仰角为60∘
，则建筑物AB的高度是（ ）
A： 5m
B： 5√3m
C： 10m
D： 10√3m
10 如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i = 1:2.4（垂直高度与水平距离之比），斜
坡AB的长为13米，车库的高度为AH(AH⊥BC），为了让行车更安全，现将斜坡角改为14∘
（图中
∠ACB = 14∘ ）．
（1）求车库的高度AH；
（2）求点B与点C之间的距离（结果精确到1米）．
（参考数据：sin14∘ ≈ 0.24，cos14∘ ≈ 0.97，tan14∘ ≈ 0.25）
能力提高 / 初三 / 暑假
第 8 讲 解直角三角形
课堂落实答案
1 1
如图在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 15，sinA = ，则BC等于（ ）
3
92/185
A： 4
B： 5
C： 1
5
D： 1
45
2 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 6，AC = 2，CD⊥AB于D，设∠ACD = α，则cosα的值为
（ ）
A： 2√2
3
B： √2
2
C： 2√2
D： 1
3
3 如图，已知△ABC中，AB = AC = 5，BC = 8．则cosB的值是（ ）
93/185
A： 1.25
B： 0.8
C： 0.6
D： 0.625
4 4
如图，△ABC中，∠C = 90∘ ，cos∠ABC = ，延长CB至点D，使BD = AB，则tan∠D的值为
5
（ ）
A： 3
B： 1
3
C： 5
4
D： 3
5
5 如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为30cm，AB的坡度为i = 3:2（垂直高度与水平距
离之比），车库的高度为AH（AH⊥BC），为了让行车更安全，现将斜坡角改为15∘
（图中
∠ACB = 15∘ ）．
（1）求车库的高度AH；
（2）求点B与点C之间的距离（结果精确到1 cm）．
（参考数据：sin15∘ ≈ 0.259，cos15∘ ≈ 0.966，tan15∘ ≈ 0.268）
94/185
能力提高 / 初三 / 暑假
第 8 讲 解直角三角形
精选精练
1 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45∘ ，测得底部C的俯角为60∘
，此时航拍
无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC为（ ）米．
A： 90+30√3
B： 90+60√3
C： 90+90√3
D： 90+180√3
2 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(4,2)，则tanα的值是（ ）
A： 1
2
B： √5
C： √5
5
95/185
D： 2
3 12
如图，在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC于点D．若BC = 48，cosB = ，则AD的长为（ ）
13
A： 24
B： 20
C： 12
D： 10
4 如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为
（ ）
A： 1
3
B： √10
10
C： 1
2
D： √2
2
5 1 5
如图，在△BAD中，∠BAD = 90∘ ，延长斜边BD到点C，使DC = BD，连接AC，若tanB = ，则
2 3
tan∠CAD的值_____．
96/185
6 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形顶点上，AB与CD相交于
点O，则tan∠AOD等于（ ）
A： 1
2
B： 2
C： 1
D： √2
能力提高 / 初三 / 暑假
第 9 讲 二次函数的初步认识
例题练习题答案
例1
(1) 2
若y = mx +nx−p（其中m、n、p是常数）为二次函数，则（ ）
A： m、n、p均不为0
B： m ≠ 0且n ≠ 0
C： m ≠ 0
D： m ≠ 0或p ≠ 0
97/185
(2) 2
k +k
当k为何值时，函数y = (k−1)x +1是二次函数？
练1.1 2
若关于x的函数y = (2−a)x −x是二次函数，则a的取值范围是____________．
练1.2 2
m +2m+2
已知y = (m+2)x +mx+3是二次函数，则m的值为__________．
例2
(1) 2
关于函数y = x 的性质表达正确的一项是（ ）
A： 无论x为任何实数，y值总为正
B： 当x值增大时，y的值也增大
C： 它的图象关于y轴对称
D： 它的图象在第一、三象限内
(2) 1
2 2 2
关于y = x ，y = x ，y = 3x 的图象，下列说法中不正确的是（ ）
3
A： 顶点相同
B： 对称轴相同
C： 图象形状相同
D： 最低点相同
(3) |m|−3
若二次函数y = (2−m)x 的图象开口向下，则m的值为______．
(4) 如图所示，在同一坐标系中，作出①y = a x 2 ，②y = a x 2 ，③y = a x 2 的图象，比较a 、a 、
1 2 3 1 2
a 大小是________．
3
98/185
练2.1 1
2
下列关于函数y = x 的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点
2
(0,0)，其中正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
练2.2 下列抛物线中，开口最小的是（ ）
A： 1
2
y = − x
5
B： 2
y = −3x
C： 2
y = x
D： 2
y = 6x
例3 2 2
在同一直角坐标系中，画出y = x +2，y = x −2的图象，并思考这些二次函数的图象有什么共同
点和不同点？把下面的表格补充完整．
2 2
y = x +2 y = x −2
开口方向
对称轴
99/185
顶点坐标
增减性
最值
练3.1 2
二次函数y = −3x −1的顶点坐标是_______________，对称轴是_______________；
当x__________时，y随x增大而减小；
当x__________时，y随x增大而增大；
当x = ________时，y有最____值，是______．
练3.2 4
2
二次函数y = x −1的顶点坐标是_______________；对称轴是_______________．当x__________时，y
3
随x增大而减小；当x__________时，y随x增大而增大；当x = ________时，y有最____值，是______．
例4 2
对于二次函数y = −(x+1) ，下列结论：
①二次函数的图象开口向下；
②对称轴为直线x = 1；
③顶点坐标为(−1,0)；
④x > 1，y随x的增大而减小，
其中正确结论的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
练4.1 1
2
对于二次函数y = (x−2) ，下列结论：
2
①二次函数的图象开口向下；
②对称轴为直线x = 2；
③顶点坐标为(2,0)；
100/185
④x > 2，y随x的增大而增大，
其中正确结论的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
能力提高 / 初三 / 暑假
第 9 讲 二次函数的初步认识
自我巩固答案
1 2
当m不为何值时，函数y = (m−2)x +4x−5（m是常数）是二次函数（ ）
A： −2
B： 2
C： 3
D： −3
2 2
m −6m−5
若y = (m+1)x 是二次函数，则m = （ ）
A： 7
B： −1
C： −1或7
D： 以上都不对
3 1
2
下列可能是二次函数y = − x 的图象的是（ ）
2
101/185
A：
B：
C：
D：
4 ( 2 ) 2
y = m +1 x 是关于x的二次函数，则此函数图象的开口方向是（ ）
A： 向上
B： 向下
C： 向上或向下
D： 无法确定
5 2
抛物线y = −x 不具有的性质是（ ）
A： 开口向下
B： 对称轴是y轴
C： 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
102/185
D： 顶点是原点
6 2
抛物线y = 2x +3的顶点坐标是（ ）
A： (2,3)
B： (0,3)
C： (2, −3)
D： (3,0)
7 2 2 2
抛物线y = 2x ，y = −2x ，y = 2x +1共有的性质是（ ）
A： 开口向上
B： 对称轴都是y轴
C： 都有最高点
D： 顶点都是原点
8 2
抛物线y = 2(x−3) 的顶点坐标是（ ）
A： (2,3)
B： (−3,0)
C： (2, −3)
D： (3,0)
9 在下列函数中，其图象对称轴为x = −2的是（ ）
A： 2
y = (x+2)
B： 2
y = 2x −2
C： 2
y = −2x −2
D： 2
y = 2(x−2)
103/185
10 1 1
2 2
在同一直角坐标系内，画出y = x −3与y = x 的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标．
3 3
能力提高 / 初三 / 暑假
第 9 讲 二次函数的初步认识
课堂落实答案
1 2
m +2m+2
已知y = mx 是二次函数，则m的值为（ ）
A： 0，−2
B： 0，2
C： 0
D： −2
2 2
二次函数y = (3.14−π)x 的开口方向是（ ）
A： 向上
B： 向下
C： 向左
D： 向右
3 1
2
二次函数y = − x −3的顶点坐标是（ ）
2
104/185
A： 1
( )
, −3
2
B： (−3,0)
C： (0, −3)
D： (0,3)
4 2
下列关于抛物线y = −x +2的说法正确的是（ ）
A： 抛物线开口向上
B： 顶点坐标为( −1,2)
C： 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
D： 抛物线与x轴有两个交点
5 2
对于抛物线y = (x−2) ，下列说法正确的是（ ）
A： 顶点坐标是(2,0)
B： 顶点坐标是(0,2)
C： 顶点坐标是(−2,0)
D： 顶点坐标是(0, −2)
能力提高 / 初三 / 暑假
第 9 讲 二次函数的初步认识
精选精练
1 ( ) 2
（k 3k+2）
如果函数y = k 3 x +kx+1是二次函数,那么k的值一定是___.
2 2
m −m
若抛物线y = (m−1)x 开口向下，则m = _____．
105/185
3 2 2
二次函数y = mx 、y = nx 的图象如图所示，则m n（填“>”或“<”）．
1 2
4 2
对于函数y = −2(x−m) 的图象，下列说法不正确的是（ ）
A： 开口向下
B： 对称轴是x = m
C： 最大值为0
D： 与y轴不相交
5 2
如图，当ab > 0时，函数y = ax 与函数y = bx+a的图象大致是（ ）
A：
B：
C：
D：
6 2 2
在同一坐标系中，一次函数y = −mx+n 与二次函数y = x +m的图象可能是（ ）
106/185
A：
B：
C：
D：
能力提高 / 初三 / 暑假
第 10 讲 二次函数的图象与性质
例题练习题答案
例1 2
画出y = 2(x−1) +2的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点及增减性．
107/185
练1.1 2
画出y = −(x−1) +2的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点及增减性．
练1.2 2
二次函数y = 2(x+2) −1的图象是（ ）
A：
B：
C：
D：
108/185
例2 1
2
二次函数y = (x+2) −3的顶点坐标是_______________；对称轴是_______________．
3
当x__________时，y随x增大而减小；
当x__________时，y随x增大而增大；
当x = ________时，y有最____值，是______．
练2.1 2
二次函数y = −(x−2) +5图象的顶点坐标是____________．
练2.2 2
对于抛物线y = −(x+8) +3的图象说法：①抛物线开口向下；②对称轴是直线x = 8；③顶点坐标
为(−8,3)；④x > 8时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
例3 2 2
函数y = 2x −4x−1写成y = a(x−h) +k的形式是_________，
2
抛物线y = 2x −4x−1的顶点坐标是_________，对称轴是_________．
练3.1 2
抛物线y = x −4x+7的顶点坐标为（ ）
A： (−2,3)
B： (−2, −3)
C： (2, −3)
D： (2,3)
练3.2 2
抛物线y = x +2x−1的顶点坐标是__________．
例4 1
2
二次函数y = − x +x+2，
4
写出抛物线的开口方向_________，该图象的对称轴是____________，
顶点坐标是___________，当y随x的增大而增大时，求x的取值范围__________．
109/185
练4.1 2
已知二次函数y = 4x +24x+26，
（1）写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标．
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？
（3）当x取何值时，函数y有最值？其最值是多少？
练4.2 2
二次函数y = x −4x+3的最小值为__________．
例5 2
二次函数y = ax +bx+c（a ≠ 0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A： 2
4ac−b
< 0
4a
B： a > 0
C： c > 0
D： b
− < 0
2a
练5.1 2
抛物线y = ax +bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（ ）
A： a > 0，b > 0，c = 0
B： a > 0，b < 0，c = 0
C： a < 0，b > 0，c = 0
D： a < 0，b < 0，c = 0
练5.2 2
二次函数y = −x +bx+c的图象如图所示，则一次函数y = bx+c的图象不经过第___象限．
110/185
能力提高 / 初三 / 暑假
第 10 讲 二次函数的图象与性质
自我巩固答案
1 2
抛物线y = −2(x−2) +1的顶点坐标是（ ）
A： (−2, −1)
B： (−2,1)
C： (2, −1)
D： (2,1)
2 2
抛物线y = 2(x−3) +1的顶点坐标是（ ）
A： (3,1)
B： (3, −1)
C： (−3,1)
D： (−3, −1)
3 2
对于二次函数y = 2(x−1) −3的图象性质，下列说法不正确的是（ ）
A： 开口向上
B： 对称轴为直线x = 1
C： 顶点坐标为(1, −3)
D： 最小值为3
4 2
已知二次函数y = 2(x−3) −2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为(3, −2)；③其图象
与y轴的交点坐标为(0, −2)；④当x ≤ 3时，y随x的增大而减小．其中正确的有（ ）
A： 1个
111/185
B： 2个
C： 3个
D： 4个
5 2
抛物线一般式y = x −4x+3化为顶点式正确的是（ ）
A： 2
y = (x−2) +5
B： 2
y = (x−2) −1
C： 2
y = (x−2) −3
D： 2
y = (x−2) +7
6 2
抛物线y = 2x −12x+19的顶点坐标是（ ）
A： (3,1)
B： (3, −1)
C： (−3,1)
D： (−3, −1)
7 2
抛物线y = x −kx+1的顶点在x轴上，则k的值为（ ）
A： 2
B： −2
C： ±2
D： 以上都不对
8 1
2 2
用配方法把二次函数y = x −4x+5化为y = a(x+m) +k的形式，再指出该函数图象的开口方
2
向、对称轴和顶点坐标．
9 2
已知y = ax +bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
112/185
A： ac > 0
B： b > 0
C： ab < 0
D： bc < 0
10 2
已知y = ax +bx+c的图象如图所示，则y = ax−bc的图象一定不经过（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
能力提高 / 初三 / 暑假
第 10 讲 二次函数的图象与性质
课堂落实答案
1 2
二次函数y = (x−1) +1的图象顶点坐标是（ ）
A： (1, −1)
B： (−1,1)
C： (1,1)
113/185
D： (−1, −1)
2 2
对于抛物线y = (x−2) ，下列说法错误的是（ ）
A： 顶点坐标是(2,0)
B： 当x > 2时，y随x的增大而增大
C： 函数的对称轴为直线x = 2
D： 函数有最小值，最小值是2
3 2
二次函数y = x +4x−5的图象的对称轴为直线（ ）
A： x = 4
B： x = −4
C： x = 2
D： x = −2
4 2
抛物线y = −x +4x−6．
(1) 2
请把二次函数写成y = a(x+h) +k的形式；
(2)x取何值时，y随x的增大而减小？
5 2
已知二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A： a < 0，b > 0，c > 0
B： a < 0，b > 0，c < 0
C： a < 0，b < 0，c > 0
D： a < 0，b < 0，c < 0
114/185
能力提高 / 初三 / 暑假
第 10 讲 二次函数的图象与性质
精选精练
1 2
若二次函数y = (m−2)(x−m) +(m−3)的顶点在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A： m > 0且m ≠ 2
B： m < 3且m ≠ 2
C： 0 < m < 3
D： 0 < m < 3且m ≠ 2
2 2
二次函数y = a(x+m) +n的图象如图，则一次函数y = mx+n的图象经过（ ）象限．
A： 一、二、三
B： 一、二、四
C： 二、三、四
D： 一、三、四
3 2
如图，二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象如图所示，下列结论：①ac < 0，②b > 0，③
a−b+c > 0，其中正确的是（ ）
115/185
A： ①②
B： ②③
C： ①③
D： ①②③
4 2
已知抛物线y = ax +bx，当a > 0，b < 0时，它的图象经过（ ）
A： 一，二，三象限
B： 一，二，四象限
C： 一，三，四象限
D： 一，二，三，四象限
5 2
如图是二次函数y = ax +bx+c的图象，则一次函数y = ax+bc的图象不经过（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
6 2
在同一平面直角坐标系中，一次函数y = ax+b和二次函数y = ax +bx+c的图象可能为（ ）
116/185
A：
B：
C：
D：
能力提高 / 初三 / 暑假
第 11 讲 二次函数求解析式与平移
例题练习题答案
例1
(1) 2
已知二次函数y = ax +4x−1，其图象过点(−1, −8)，求这个函数的解析式．
(2) 2
已知二次函数y = ax +bx−3的图象经过点A(2, −3)，B(−1,0)，求这个函数的解析式．
(3)已知一个二次函数图象经过(−1,10)、(2,7)和(1,4)三点，求这个函数的解析式．
117/185
练1.1 2
已知点(−2, −2)在抛物线y = −x −(m−1)x+2m的图象上，则抛物线的解析式为_________，对称
轴为___________，顶点坐标为_________．
练1.2 2
如图，抛物线y = −x +bx+c过点C(3,8)，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0,5)，求该二次
函数的解析式．
例2
(1) 2
已知二次函数y = 2(x−h) +k，其图象的顶点为(2,3)，求这个二次函数的解析式．
(2) 2
已知二次函数y = a(x−3) +4，其图象过点(4,6)，求这个二次函数的解析式．
(3)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(−1,2)，且图象过点(1, −3)．求这个二次函数的解
析式．
练2.1 1
2
已知二次函数y = (x+h) +k，其图象的顶点为(4,5)，则这个二次函数的解析式为（ ）
3
A： 1
2
y = (x−4) −5
3
B： 1
2
y = (x+4) −5
3
C： 1
2
y = (x+4) +5
3
118/185
D： 1
2
y = (x−4) +5
3
练2.2 已知二次函数的顶点坐标为(−1, −3)，且其图象经过点(1,5)，求此二次函数的解析式．
例3 已知二次函数与x轴交于两点(−4,0)和(5,0)，且经过点(6,10)．求这个二次函数的解析式及顶点坐
标．
练3.1 2
已知抛物线y = ax +bx+c经过A(−3,0)，B(1,0)，C(0,3)，则该抛物线的解析式为
__________________．
练3.2 2
已知二次函数y = 2x +bx+c与x轴的两个交点的坐标为(−3,0)和(4,0)．则此抛物线的解析式为
（ ）
A： 2
y = 2x −2x−24
B： 2
y = x −x−12
C： 2
y = 2x −x−12
D： 2
y = 2x +2x−12
例4 已知二次函数当x = 3时有最大值1，且它的图象与x轴两交点之间的距离为2，则此二次函数的解析
式为______________________．
练4.1 已知二次函数当x = 4时有最小值−3，且它的图象与x轴两交点之间的距离为6，求这个二次函数的
解析式．
练4.2 已知二次函数当x = −1时有最小值−2，且它的图象与x轴两交点之间的距离为4，则此二次函数的
解析式为______________________．
例5
(1) 2
将抛物线y = (x−1) +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为
（ ）
A： 2
y = (x−2)
119/185
B： 2
y = (x−2) +6
C： 2
y = x +6
D： 2
y = x
(2) 2
抛物线y = x +bx+c向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为
2
y = x −2x−3，求b、c的值．
练5.1
(1) 2 2
抛物线y = (x+2) −1可以由抛物线y = x 平移得到，下列平移方法中正确的是（ ）
A： 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B： 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C： 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D： 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
(2) 2
把抛物线y = −2x +4x+1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关
系式是（ ）
A： 2
y = −2(x−1) +6
B： 2
y = −2(x−1) −6
C： 2
y = −2(x+1) +6
D： 2
y = −2(x+1) −6
练5.2 2
已知将二次函数y = x +bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为
2
y = x −4x−5，则b、c的值为（ ）
A： b = 0，c = 6
B： b = 0，c = −5
C： b = 0，c = −6
120/185
D： b = 0，c = 5
能力提高 / 初三 / 暑假
第 11 讲 二次函数求解析式与平移
自我巩固答案
1 2
函数y = ax (a ≠ 0)的图象经过点(a,8)，则a的值为（ ）
A： ±2
B： −2
C： 2
D： 3
2 2
已知二次函数y = ax +bx+10的图象经过点A(1,4)，B(2,0)，则该二次函数的解析式为（ ）
A： 2
y = 2x −12x+14
B： 2
y = x +7x−10
C： 2
y = x −7x−10
D： 2
y = x −7x+10
3 若抛物线经过(0,1)，(−1,0)，(1,0)三点，则此抛物线的解析式为（ ）
A： 2
y = x +1
B： 2
y = x −1
C： 2
y = −x +1
D： 2
y = −x −1
4 2
如果二次函数y = −x +bx+c的图象顶点为(1, −3)，则b和c的值为（ ）
121/185
A： b = 2，c = 4
B： b = 2，c = −4
C： b = −2，c = 4
D： b = −2，c = −4
5 某抛物线的顶点坐标为(1, −2)，且经过(2,1)，则抛物线的解析式为（ ）
A： 2
y = 3x −6x−5
B： 2
y = 3x −6x+1
C： 2
y = 3x +6x+1
D： 2
y = 3x +6x+5
6 一个二次函数的图象的顶点坐标为(3, −1)，与y轴的交点(0, −4)，这个二次函数的解析式是
（ ）
A： 1
2
y = x −2x+4
3
B： 1
2
y = − x +2x−4
3
C： 1
2
y = − (x+3) −1
3
D： 2
y = −x +6x−12
7 2
已知二次函数y = 2x +bx+c与x轴的两个交点的坐标为(−3,0)和(4,0)，则此抛物线的解析式为
（ ）
A： 2
y = 2x −2x−24
B： 2
y = x −x−12
C： 2
y = 2x −x−12
122/185
D： 2
y = 2x +2x−12
8 已知二次函数与x轴交于两点(−2,0)和(4,0)，且经过点(1,9)．求这个二次函数的解析式及顶点坐
标．
9 2
将抛物线y = x −4x−3向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A： 2
y = (x+1) −2
B： 2
y = (x−5) −2
C： 2
y = (x−5) −12
D： 2
y = (x+1) −12
10 2 2
抛物线y = x +mx+n可以由抛物线y = x 向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到，则mn的值
为（ ）
A： 6
B： 12
C： 54
D： 66
能力提高 / 初三 / 暑假
第 11 讲 二次函数求解析式与平移
课堂落实答案
1 如果抛物线经过点(−1,12)，(0,5)和(2, −3)三点，则该二次函数的解析式为（ ）
A： 2
y = x −6x+5
B： 2
y = x +3x+5
C： 2
y = x −3x+5
123/185
D： 2
y = x +x+12
2 2
已知抛物线y = −x +bx+c的图象过点(2,1)，与y轴交于点(0, −3)．则这个二次函数的解析式为
（ ）
A： 2
y = x −4x−3
B： 2
y = x +4x−3
C： 2
y = −x +4x−3
D： 2
y = −x −4x−3
3 已知二次函数的图象经过点(1,10)，顶点坐标为(−1, −2)，则此二次函数的解析式为（ ）
A： 2
y = 3(x−1) −2
B： 2
y = 3(x+1) +2
C： 2
y = 3(x+1) −2
D： 2
y = −3(x+1) −2
4 已知二次函数与x轴交于两点(1,0)和(4,0)，且经过点(−2,4)，求此抛物线的解析式．
5 2
将二次函数y = x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是
（ ）
A： 2
y = (x−1) +2
B： 2
y = (x+1) +2
C： 2
y = (x−1) −2
D： 2
y = (x+1) −2
能力提高 / 初三 / 暑假
124/185
第 11 讲 二次函数求解析式与平移
精选精练
1 2
设抛物线y = ax +bx+c(a ≠ 0)过点A(0 , 2)、B(4 , 3)、C三点，其中点C在直线x = 2上，且点C到
抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为______________________．
2
(1) 2
已知抛物线y = ax +bx+c与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)．求抛物线的
解析式．
(2)已知二次函数的图象经过点A(3, −2)和B(1,0)，且对称轴是直线x = 3．求这个二次函数的解
析式．
3
(1) 已知二次函数y = x 2 +bx+c的图象经过点 ( 3+√3,2 ) 和 ( 3−√3,2 ) ，求二次函数的解析式．
(2) 1 1
( )
已知二次函数的图象经过原点及点 − , − ，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，
2 4
求该二次函数的解析式．
4 2
已知抛物线y = x +bx+c的对称轴为y轴，且过点C(0, −4)．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点( −2,y )与(3,y )都在此抛物线上，则y ___y （填“ > ”、“ = ”或“ < ”）．
1 2 1 2
5 2
已知二次函数y = x +bx+c的图象经过点(4,3)，(3,0)．
(1)求b、c的值；
125/185
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在所给坐标系中画出该函数的图象；
(3) 2
该函数的图象经过怎样的平移得到y = x 的图象？
6 2
将抛物线y = −x 向左平移3个单位，再向上平移4个单位．
(1)写出平移后的抛物线的函数关系式．
(2)若平移后的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点分别是B、C，求 △ ABC的面积．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 12 讲 垂径定理
例题练习题答案
例1
(1)下列说法正确的有_________________（填序号）；
①直径是弦；
②半圆是弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④所对圆心角相等的两条弧是等弧；
⑤半径相等的两个圆是等圆（圆心不同）；
⑥两个半圆是等弧．
(2)下列结论错误的是（ ）
A： 圆是轴对称图形
B： 圆是中心对称图形
C： 半圆不是弧
D： 顶点在圆心的角叫做圆心角
126/185
练1.1 有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不
一定是半圆．其中错误说法的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
练1.2 给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半
圆；④半径相等的两个半圆是等弧，其中正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
例2
(1) 如图所示，MN为⊙O的弦，∠MON = 70∘ ，则∠N的度数为（ ）
A： 40∘
B： 50∘
C： 55∘
D： 60∘
(2)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，若AB = 2DE，
∠E = 18∘ ，则∠C = ________，∠AOC = ________．
127/185
练2.1
(1) 如图所示，MN为⊙O的弦，∠M = 55∘ ，则∠MON的度数为（ ）
A： 50∘
B： 55∘
C： 60∘
D： 70∘
(2) 如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE = OB，∠AOC = 87∘ ，则∠E =
________，∠C = ________．
练2.2
(1) 如图所示，MN为⊙O的直径，点P是圆上一点，连接OP，MP，已知∠P = 50∘ ，则∠PON的
度数为（ ）
128/185
A： 80∘
B： 90∘
C： 100∘
D： 110∘
(2) 如图，CD是⊙O的直径，∠EOD = 84∘ ，AE交⊙O于点B，且AB = OC，则∠A的度数是
__________．
例3 如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确的是（ ）
A： CE = DE
B： AE = OE
C： ⌢ ⌢
BC = BD
D： △OCE≌△ODE
练3.1 在⊙O上作一条弦AB，再作一条与弦AB垂直的直径CD，CD与AB交于点E，则下列结论中不一定
正确的是（ ）
129/185
A： AE = BE
B： ⌢ ⌢
AC = BC
C： CE = EO
D： ⌢ ⌢
AD = BD
练3.2 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A： CE = DE
B： ⌢ ⌢
BC=BD
C： ∠BAC = ∠BAD
D： OE = BE
例4 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB = 8，则CD的长是（ ）
130/185
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
练4.1 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB = 6cm，OD = 4cm，则DC的长为（ ）
A： 5cm
B： 2.5cm
C： 2cm
D： 1cm
练4.2 如图，⊙O的直径CD = 10，弦AB = 8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为（ ）
A： 5
B： 6
C： 7
D： 8
例5 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD = 12，BE = 2，则⊙O的直径为（ ）
131/185
A： 8
B： 10
C： 16
D： 20
练5.1 如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB = 8，CD = 3，则⊙O的半径为
（ ）
A： 4
B： 5
C： 25
6
D： 19
6
练5.2 如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB = √6，则⊙O的半径为（ ）
A： √2
B： 2√2
132/185
C： √2
2
D： √6
2
能力提高 / 初三 / 暑假
第 12 讲 垂径定理
自我巩固答案
1 下列说法正确的是（ ）
A： 长度相等的两条弧是等弧
B： 能够完全重合的两条弧是等弧
C： 劣弧和劣弧是等弧
D： 弦是直径
2 下列说法中，正确的个数是（ ）
①在同圆中，优弧一定比劣弧长；②同一条弦所对的两条弧是等弧；③弧是半圆；④半圆是弧．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
3 如图所示，AB为⊙O的弦，∠A = 60∘ ，则∠AOB的度数为（ ）
133/185
A： 40∘
B： 50∘
C： 55∘
D： 60∘
4 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，若AB = 8，∠E = 24∘ ，
∠AOC = 72∘ ，则DE = （ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
5 ⌢
如图，扇形OMN所在圆的直径是10，四边形PAOB是矩形，顶点P在MN上，且不与M、N重合，
⌢
2 2
点A、B分别在OM、ON上，当P点在MN上移动时，PA +PB 的值为（ ）
A： 5√2
B： 5
C： 25√3
D： 25
134/185
6 如图所示，⊙O的半径为13，弦EF的长度是24，ON⊥EF，垂足为N，则ON = （ ）
A： 5
B： 7
C： 9
D： 11
7 如图，⊙O的半径等于4，半径OC与弦AB互相平分，则AB的长为（ ）
A： 4√3
B： 3√3
C： 2√3
D： √3
8 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE=8，BE=2，则CD=（ ）
A： 5
135/185
B： 8
C： 2√10
D： 4√5
9 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，OP是小圆的半径，AB是大圆的弦，OP⊥AB．若大圆的半
径为2，小圆的半径为1，则AB的长为（ ）
A： 2√3
B： 2√2
C： √5
D： 2
10 如图，点A、B是⊙O上的两点，AB = 10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接
AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F．求线段EF的长．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 12 讲 垂径定理
课堂落实答案
136/185
1 下列说法正确的是（ ）
A： 长度相等的两条弧是等弧
B： 优弧一定大于劣弧
C： 不同的圆中不可能有相等的弦
D： 直径是弦且是同一个圆中最长的弦
2 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB = 2DE，若△COD
为直角三角形，则∠E的度数为（ ）
A： 20∘
B： 22.5∘
C： 25∘
D： 30∘
3 如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是（ ）
A： 6cm
B： 8cm
C： 10cm
D： 20cm
4 如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，且CD = 1，弦AB的长度
为（ ）
137/185
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
5 ⌢
如图，已知AB是⊙O的弦，C是AB的中点，AB = 8，AC = 2√5，求⊙O的半径的长．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 12 讲 垂径定理
精选精练
1 如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形（即矩形的4个顶点在扇形的圆弧或半径上），顶点P
⌢ ⌢
在MN上，且不与M、N重合，当P点在MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的
长度（ ）
138/185
A： 不变
B： 变小
C： 变大
D： 不能确定
2 下列语句中正确的是（ ）
A： 形状相同的两条弧是等弧
B： 平分弦的直径垂直于弦
C： 相等的圆心角所对的弧相等
D： 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
3 如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A： 2√3cm
B： 4√3cm
C： √3cm
D： √2cm
4 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE，若AB = 6，CD = 1，
则AE的长为（ ）
A： 3√3
139/185
B： 8
C： 12
D： 8√3
5 据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用
钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧在河面上，桥拱半径OC为13m，河面
宽AB为24m，则桥高CD为（ ）
A： 15m
B： 17m
C： 18m
D： 20m
6 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF = CD = 4cm，则球的
半径为________cm．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 13 讲 圆周角定理
例题练习题答案
例1
140/185
(1) 如图，A、B均为⊙O上一点，若∠AOB = 80∘ ，则∠ACB = （ ）
A： 80∘
B： 70∘
C： 60∘
D： 40∘
(2) 如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B = 22∘ ，则∠A = ________；
(3) 如图所示，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠ACD = 50∘ ，则∠DAB = _______
；
(4)如图，⊙A经过坐标系的原点，与x轴交于点B(8,0)，与y轴交于点C(0,6)，则⊙A的半径为
_________．
练1.1
141/185
(1) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B = 60∘ ，则∠ACO = _________；
(2) 如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥OC，∠OAB = 25∘ ，则∠B = _________；
(3) 如图所示，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠C = 40∘ ，则∠ABD = _______．
练1.2
(1) 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OCB = 60∘ ，则∠BAC = _________；
(2) ⌢
如图，在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的半圆交BC、AC于D、E，若DE的度数为40∘ ，则
∠A = _________．
142/185
例2
(1) 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠B = 60∘ ，则∠ADC = ________．
(2)圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3:4:6，则∠D的度数为______．
练2.1
(1) 如图，已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOC = 150∘ ，则∠ABC = （ ）
A： 105∘
B： 120∘
C： 135∘
D： 150∘
(2) 已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOB = 60∘ ，则∠ACB = ________．
练2.2
(1)圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2:3:7，则∠D的度数为________．
143/185
(2) 已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOC = 120∘ ，则∠ABC = ________．
例3 如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
练3.1 如图，已知△ABC内接于⊙O，∠C = 45∘ ，AB = 2，求⊙O的半径．
练3.2 ⌢
如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧AD上（不与A、D点重合）．若⊙O的半径为1，
2 2 2 2
则PA +PB +PC +PD 的值为（ ）
A： 2
B： 4
C： 6
D： 8
例4
(1) ⌢ ⌢
如图，在⊙O中，AB = AC，∠A = 40∘ ，则∠B的度数为___________；
144/185
(2)已知六边形ABCDEF是⊙O的内接六边形，且AB = BC = CD，DE = EF = FA．
求证：∠BAF = ∠CDE = 120∘ ．
练4.1 ⌢ ⌢
如图，在⊙O中，AB = AC，∠AOB = 40∘ ，则∠ADC的度数是（ ）
A： 40∘
B： 30∘
C： 20∘
D： 15∘
145/185
练4.2 如图，A、B、C、D为⊙O上的点，DC = AB，则AD与BC的大小关系为_______．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 13 讲 圆周角定理
自我巩固答案
1 如图，OA、OB均为⊙O的半径，若∠OBA = 40∘ ，则∠ACB = （ ）
A： 40∘
B： 50∘
C： 60∘
D： 80∘
2 如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A = 40∘ ，则∠OBC = （ ）
A： 30∘
146/185
B： 40∘
C： 50∘
D： 60∘
3 如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD = 53∘ ，则∠BCD = （ ）
A： 37∘
B： 47∘
C： 45∘
D： 53∘
4 如图，⊙A经过坐标系的原点，与x轴交于点B(12,0)，与y轴交于点C(0,5)，则⊙A的半径为（ ）
A： 5
B： 6
C： 6.5
D： 7
5 如图，在圆内接四边形ABCD中，∠D = 65∘ ，则∠B = （ ）
147/185
A： 90∘
B： 100∘
C： 115∘
D： 120∘
6 已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOC = 90∘ ，则∠ABC=（ ）
A： 45∘
B： 90∘
C： 135∘
D： 45∘ 或135∘
7 如图，等边三角形ABC内接于半径为4的⊙O，则三角形ABC的边长为（ ）
A： 2√3
B： 4
C： 4√3
D： 6
8 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘ ，∠A = 56∘ ，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一
⌢ ⌢
点，且CE = CD，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F = （ ）
148/185
A： 112∘
B： 108∘
C： 92∘
D： 124∘
9 ⌢
如图，BC为半圆的直径，点O是圆心，A、D为半圆上的两点，若A为BAC的中点，则∠ADC =
（ ）
A： 105°
B： 120°
C： 135°
D： 150°
10 ⌢
如图，AB是⊙O的直径，AP、BP交⊙O于C、D两点，若∠P = 75∘ ，求CD所对的圆心角的度数．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 13 讲 圆周角定理
149/185
课堂落实答案
1 ⌢
如图，等边三角形ABC的外接圆为⊙O，点P在劣弧AC上（不与C点重合），则∠BPC = （ ）
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 75∘
2 如图，⊙A经过坐标系的原点，与x轴交于点B(4,0)，与y轴交于点C(0,3)，则⊙A的直径为（ ）
A： 5
B： 6
C： 6.5
D： 7
3 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠BAD = 110∘ ，则∠BCD = （ ）
150/185
A： 110∘
B： 90∘
C： 70∘
D： 20∘
4 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A： AB = AD
B： BC = CD
C： ⌢ ⌢
AB = AD
D： ∠BCA = ∠DCA
5 如图，已知⊙O中，AB为直径，AB = 10，AC = 6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求线段
BC，AD，BD的长．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 13 讲 圆周角定理
精选精练
151/185
1 如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若∠BAC = 35∘ ，∠ACB = 40∘ ，则∠ADC = _________
°．
2 如图，A，B，C是⊙O上的三点，且∠ABC = 70∘ ，则∠AOC的度数是（ ）
A： 35∘
B： 140∘
C： 70∘
D： 70∘ 或140∘
3 如图，OA、OB分别为 ⊙O的半径，若CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，∠P = 70∘ ，则
∠DCE的度数为（ ）
A： 70∘
B： 60∘
C： 50∘
D： 40∘
152/185
4 如图，AB是 ⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB = 30∘ ，点E，F分别是AC，BC的中
点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为6，则GE +FH的最大值为（ ）
A： 6
B： 9
C： 10
D： 12
5 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB ≠ AC，∠ABC和∠ACB的角平分线分别交 ⊙O于点D，
E，且BD = CE，则∠A等于（ ）
A： 90∘
B： 60∘
C： 45∘
D： 30∘
6 如图，已知A、B、C、D、E在⊙O上，且AB = BC = CD = DE，AB∥ED．
（1）求∠A、∠E的度数；
153/185
⌢
（2）连接CO并延长，交AE于G，交AE于H，写出四条与直径CH有关的正确结论．（不必证明）
能力提高 / 初三 / 暑假
第 14 讲 概率
例题练习题答案
例1
(1) 1
在六张卡片上分别写有 、π 、1.5、5、0、√2六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无
3
理数的概率是（ ）
A： 1
6
B： 1
3
C： 1
2
D： 5
6
(2)一个箱子装有除颜色外都相同的3个白球，2个黄球，x个红球．从中随机摸取1个球，摸到红
球的概率是0.5，那么x的值是 ．
154/185
练1.1 小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页、数学2页、英语6页，他随机地从讲
义夹中抽出 1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（ ）
A： 1
2
B： 1
3
C： 1
6
D： 1
12
练1.2 在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一
1
个，摸到红球的概率是 ，则n的值为（ ）
5
A： 3
B： 5
C： 8
D： 10
例2
(1)一个布袋内装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球，从布袋中随机摸出一个球，
记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则摸出1个红球，1个白球的概率为（ ）
A： 1
4
B： 3
8
155/185
C： 1
2
D： 5
8
(2)有四张背面完全相同的扑克牌，牌面数字分别是2、3、4、5，将四张牌背面朝上放置并搅匀
后，从中任意摸出一张，不放回，再任意摸出一张，摸到的两张牌的牌面数字都是奇数的概
率是（ ）
A： 1
3
B： 1
4
C： 1
8
D： 1
6
(3)小张同学去展览馆看展览，该展览馆有2个验票口A、B（可进出），另外还有2个出口C、
D（不许进）．小张不从同一个验票口进出的概率是（ ）
A： 1
2
B： 1
3
C： 1
4
D： 3
4
156/185
(4)在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中S ，S ，S 表示电路的开关，L表示小灯泡，R
1 2 3
为保护电阻．若闭合开关S ，S ，S 中的任意两个，则小灯泡L发光的概率为（ ）
1 2 3
A： 1
6
B： 1
3
C： 1
2
D： 2
3
练2.1
(1)“五∙一”小长假，小颖和小梅两家计划从“北京天安门”“三亚南山”“内蒙古大草原”三
个景区中任意选择一景区游玩，小颖和小梅制作了如下三张质地大小完全相同的卡片，背面
朝上洗匀后各自从中抽去一张来确定游玩景区（第一人抽完放回洗匀后另一人再抽去），则
两人抽到同一景区的概率是（ ）
A： 1
4
B： 2
3
157/185
C： 1
3
D： 1
2
(2)某校九年级一共有1、2、3、4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，
则恰好抽到 1 班和 2 班的概率是 （ ）
A： 1
6
B： 1
8
C： 3
8
D： 1
2
练2.2 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可
使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A： 1
2
B： 1
3
C： 1
4
158/185
D： 1
6
例3 在学习概率的课堂上，老师提出问题：一口袋装有除颜色外均相同的2个红球，1个白球和1个蓝
球，小刚和小明想通过摸球来决定谁去看电影，同学甲设计了如下的方案：第一次随机从口袋中
摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一红一白”，则小刚
看电影；摸到“一白一蓝”，则小明看电影．
（1）同学甲的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；
（2）你若认为这个方案不公平，那么请你改变一下规则，设计一个公平的方案．
练3.1 小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字3、4、5，现将标有数字的
一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小
明和小亮抽得的两个数字之和．如果和为奇数，则小明胜；和为偶数，则小亮胜．
(1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为8的概率；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．
练3.2 一天，小华和小夏玩掷骰子游戏，他们约定：他们用同一枚质地均匀的骰子各掷一次，如果两次
掷的骰子的点数相同则小华获胜；如果两次掷的骰子的点数的和是6则小夏获胜．
（1）请你列表或画树状图列举出所有可能出现的结果；
（2）请你判断这个游戏对他们是否公平并说明理由．
例4 某鱼塘里养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞实验后发现，捕捞
到草鱼的频率稳定在0.5左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为（ ）
A： 3
4
B： 1
2
C： 2
7
159/185
D： 3
14
练4.1 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有3个红球．若每次将球充分搅匀
后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定
在20%左右，则a的值约为（ ）
A： 12
B： 15
C： 18
D： 21
练4.2 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，
随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大
量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（ ）
A： 20
B： 30
C： 40
D： 50
例5 在如图的四个转盘中，C、D转盘被分成8等份，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影
区域内的概率最大的转盘是（ ）
A：
B：
160/185
C：
D：
练5.1 如果小强将镖投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为（ ）
A： 1
9
B： 1
8
C： 1
12
D： 1
6
练5.2 如图，让转盘自由转动一次，则指针落在A区域的概率是（ ）
A： 2
3
161/185
B： 1
2
C： 1
3
D： 1
4
能力提高 / 初三 / 暑假
第 14 讲 概率
自我巩固答案
1 一次抽奖活动中，印发100张奖券，其中一等奖5张，二等奖10张，三等奖20张，一位抽奖者仅买
一张奖券，中奖的可能性为（ ）
A： 7
20
B： 1
10
C： 1
5
D： 1
20
2 1
口袋里有除颜色不同其它都相同的红、黄、白三种颜色小球20个，摸到红球的概率是 ，摸到黄球
5
1
的概率是 ，则袋子里有白球（ ）
2
162/185
A： 10个
B： 4个
C： 5个
D： 6个
3 一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色
后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（ ）
A： 1
4
B： 1
16
C： 3
4
D： 9
16
4 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4、5，先从中摸出
一个小球，再从余下的球中摸出一个小球，第二次摸到小球的编号大于第一次编号的概率是（ ）
A： 2
3
B： 1
2
C： 3
5
D： 3
4
5 如图，随机闭合开关S 、S 、S 中的两个，则灯泡发光的概率是（ ）
1 2 3
163/185
A： 2
3
B： 3
4
C： 1
3
D： 1
2
6 一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有4个，若每次将球搅匀后，任意摸
出1个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，
那么可以推算出a大约是（ ）
A： 25
B： 20
C： 15
D： 10
7 小聪计划中考后参加“我的中国梦”夏令营活动，需要一名家长陪同，爸爸、妈妈用猜拳的方式
确定由谁陪同，即爸爸、妈妈都随机作出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规
定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，手势相同，不分胜负．
（1）爸爸一次出“石头”的概率是多少？
（2）妈妈一次获胜的概率是多少？请用列表或画树状图的方法加以说明．
8 如图，一个圆形转盘被分成了6个圆心角都为60∘
的扇形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转
动时，指针指向阴影区域的概率是（ ）
164/185
A： 1
B： 0
C： 1
2
D： 1
3
9 如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一
致，那么它最终停留在黑色区域的概率是（ ）
A： 1
3
B： 1
4
C： 1
5
D： 1
6
10 如图，现分别旋转两个标准的转盘，两个转盘分别被分成两等份和三等份，则转盘所转到的两个
数字之积为奇数的概率是（ ）
165/185
A： 3
5
B： 1
3
C： 1
2
D： 1
6
能力提高 / 初三 / 暑假
第 14 讲 概率
课堂落实答案
1 有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取一张后，放回并混在一
起，再随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率是（ ）
A： 1
2
B： 1
4
C： 3
10
166/185
D： 1
6
2 一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机摸出一个小
球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（ ）
A： 1
6
B： 1
5
C： 1
4
D： 1
3
3 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子
里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球
的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A： 20
B： 24
C： 28
D： 30
4 向如图所示的地砖上随机地掷一个小球，当小球停下时，最终停在地砖上阴影部分的概率是（ ）
A： 1
2
167/185
B： 1
3
C： 1
4
D： 1
8
5 小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动
两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重
转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 14 讲 概率
精选精练
1 图中展示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616
；
168/185
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估
计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．
其中合理的是（ ）
A： ①
B： ②
C： ①②
D： ①③
2 小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为（ ）
A： 1
6
B： 1
3
C： 1
2
D： 2
3
3 一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个
球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通
2
过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是 ，则袋中红球约为_____个．
7
4 在某次数学竞赛考试中，有三道“四选一”的单项选择题（每题都给出A，B，C，D四个选择项，
其中只有一个正确）．小明对第一题已正确地判断A、C选择项不能选，对第二题已正确地判断
B、D选择项不能选，对第三题已正确地判断A选择项不能选，对其它选择项毫无把握，他便从排
除后剩下的选择项中随机选择一个选项作为答案，完成这三道单项选择题．问：小明三题全错的
概率比他答对了两道题的概率大吗？请写出你的理由．
169/185
5 在如图的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域内的概率为_____．
6 有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘 A、B，均被分为三等份．游戏规定，转动两个转盘
各一次，指向大的数字获胜．现由你和小明各选择一个转盘进行游戏，若想获胜机会大，你会选
择哪一个，为什么？
能力提高 / 初三 / 暑假
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 2
将抛物线y = 2x 的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是
（ ）
A： 2
y = 2(x−2) −3
B： 2
y = 2(x−2) +3
C： 2
y = 2(x+2) −3
D： 2
y = 2(x+2) +3
2 2
二次函数y = ax +bx−1(a ≠ 0)的图象经过点(1,1)，则a+b+1 的值是（ ）
A： −3
B： −1
C： 2
170/185
D： 3
3 如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，连接BD，若∠D = 30∘ ，BD = 2，则AE的长为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
4 1
2
已知抛物线y = − (x−5) +3，下列说法正确的是（ ）
3
A： 开口向下，顶点坐标(5,3)
B： 开口向上，顶点坐标(5,3)
C： 开口向下，顶点坐标(−5,3)
D： 开口向上，顶点坐标(−5,3)
5 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA的值是（ ）
A： √3
2
B： 1
2
171/185
C： √5
5
D： √2
2
6 如图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，若矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的解析式
是（ ）
A： 3
y =
x
B： 3
y = −
x
C： x
y =
3
D： x
y = −
3
7 一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色外其余都相同的球，如果口袋中装有4个红球且摸到红球
1
的概率为 ，那么口袋中球的总数为（ ）
2
A： 8个
172/185
B： 6个
C： 4个
D： 2个
8 如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若OD = 3，则弦AB的长为（ ）
A： 10
B： 8
C： 6
D： 4
9 2
已知二次函数y = ax +bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A： a > 0
B： c < 0
C： 2
b −4ac < 0
D： a+b+c > 0
10 如图，⊙O是ΔABC的外接圆，∠BOC = 120∘ ，则∠BAC的度数是（ ）
173/185
A： 120∘
B： 80∘
C： 60∘
D： 30∘
11 如图，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC=____°．
12 2 2
若抛物线y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象与抛物线y = x −4x+3的图象关于y轴对称，则函数
2
y = ax +bx+c的解析式为___________．
13 已知：如图，线段AB、DE表示一个斜靠在墙上的梯子的两个不同的位置，若CB = 3m，
∠ABC = 45∘ ，要使∠EDC = 60∘ ，则需BD = __________m．
14 2
已知抛物线y = ax +bx+c(a ≠ 0)的对称轴是x = 1，且经过点(3, −1)，则a−b+c = __________．
15 √3
在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y =
x
上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是___________．
174/185
16 7
2
配方法解方程：x − x+3 = 0．
2
17 2
解方程：x −8x+1 = 0．
18 2
1 3x−x
解方程： = 2+ ．
1−x 2
1−x
19 2
抛物线y = −x +bx+c过点(0, −3)和(2,1)，试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点
坐标．
20 已知反比例函数的图象经过点P(2，−3)．
（1）求该函数的解析式；
（2）若将点P沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴方向平移n（n＞0）个单位得到点P′，使点P′
恰好在该函数的图象上，求n的值和点P沿y轴平移的方向．
21 如图，某种新型导弹从地面发射点L处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y(km)与
1 1
2
飞行时间x(s)之间的关系式为y = x + x(0 ≤ x ≤ 10)．发射3s后，导弹到达A点，此时位于与L同
18 6
一水平面的R处雷达站测得AR的距离是2km，再过3s后，导弹到达B点．
（1）求发射点L与雷达站R之间的距离；
（2）当导弹到达B点时，求雷达站测得的仰角（即∠BRL）的正切值．
22 已知函数y与x+1成反比例，且当x = −2时，y = −3．
(1)求y与x的函数关系式；
175/185
1
(2)当x = 时，求y的值．
2
23 先阅读以下材料，然后解答问题：
2
材料：将二次函数y = −x +2x+3 的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛
物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．
2
解：在抛物线y = −x +2x+3图象上任取两点A(0,3)、B(1,4) ，由题意知：点A向左平移1个单位
′ ″ ′
得到A (−1,3)，再向下平移2个单位得到A (−1,1)；点B向左平移1个单位得到B (0,4)，再向下平
″
移2个单位得到B (0,2)．
2 ″ ″
设平移后的抛物线的解析式为y = −x +bx+c．则点A (−1,1)，B (0,2)在抛物线上．可得：
−1−b+c = 1 b = 0
{ {
2
，解得： ．所以平移后的抛物线的解析式为：y = −x +2 ．
c = 2 c = 2
根据以上信息解答下列问题：
将直线y = 2x−3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．
24 已知：如图，矩形纸片ABCD的边AD = 3，CD = 2，点P是边CD上的一个动点（不与点C重合，把
这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD于点M，折痕交边BC于点N．
（1）写出图中的全等三角形．设CP = x，AM = y，写出y与x的函数关系式；
（2）试判断∠BMP是否可能等于90°．如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说明理
由．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 16 讲 【补充选讲】】矩形基础
176/185
例题练习题答案
例1 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是（ ）
A： ∠ABC = 90∘
B： AC = BD
C： OA = AB
D： OA = OB
练1.1 如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE:∠EDC = 3:2，则∠ACD的度数为（ ）
A： 54∘
B： 72∘
C： 36∘
D： 18∘
练1.2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠BAE = 30∘ ，BE = 1，则BD = _____．
例2 如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD=120°，AB = 6，则AC等于________．
177/185
练2.1 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE = BD，连接AE，若∠ADB = 36∘ ，则∠E = ______．
练2.2 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE∥DB，交AD的延长线于点
E．试说明AC = CE．
例3 如图，直角三角形ABC中，∠ABC = 90∘ ，点D是斜边AC的中点，BD = 3cm，则AC = ___cm．
练3.1 48
如图，在△ABC中，AB=AC，BD = ，BD为高，M为AB中点，且DM=5，则△ABC的面积为
5
__________．
练3.2 如图所示，BD、CE是△ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点．
求证：MN⊥DE．
178/185
例4 要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是__________．（填一个即可）
练4.1 四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC = BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形
的是（ ）
A： AB = CD
B： 对角线互相平分
C： 对角线互相垂直
D： AB//CD
练4.2
(1)在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的
是（ ）
A： AB = CD，AD = BC，AC = BD
B： AO = CO，BO = DO，∠BAD = 90∘
C： AD∥BC，AD = BC，AC = BD
D： ∠BAD = ∠BCD，∠ABC+∠BCD = 180∘ ，AC⊥BD
(2) 如图，在四边形ABCD中，∠ABC = ∠BCD = 90∘ ，AC = BD，求证：四边形ABCD是矩形．
例5 在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF = BE，连接BF，求证：四边
形BFDE是矩形．
练5.1 如图，在△ABC中，AB = AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足
为点E．求证：四边形ADCE为矩形．
179/185
练5.2 如图，将□ABCD的边BA延长到点E，使AE = AB，连接EC，交AD于点F，连接AC、ED．
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若∠AFC = 2∠B，求证：四边形ACDE是矩形．
能力提高 / 初三 / 暑假
第 17 讲 【补充选讲】菱形与正方形
例题练习题答案
例1 菱形和矩形一定都具有的性质是（ ）
A： 四条边相等
B： 对角线互相垂直
C： 对角线互相平分且相等
D： 对角线互相平分
练1.1 菱形的对角线不一定具有的性质是（ ）
A： 互相平分
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B： 互相垂直
C： 每一条对角线平分一组对角
D： 相等
练1.2 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A： 对边分别平行
B： 对角线互相垂直
C： 对角线互相平分
D： 对边分别相等
例2 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边中点，菱形ABCD的周长为32．则
OH的长等于（ ）
A： 8
B： 4
C： 7
D： 16
练2.1 一个菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则这个菱形的面积等于（ ）
A： 2
48cm
B： 2
24cm
C： 2
12cm
D： 2
18cm
181/185
练2.2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO = 3，∠ABC = 60∘ ，则菱形ABCD的面积是
______．
例3 下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A： AC⊥BD，AC与BD互相平分
B： AB = BC = CD = DA
C： AB = BC，AD = CD，AC⊥BD
D： AB = CD，AD = BC，AC⊥BD
练3.1 如图，在□ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF、BE．求
证：四边形AFBE是菱形．
练3.2 两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置，AB = BF．求证：四边形BNDM为菱形．
例4 正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A： 四边相等
B： 对角线相等
C： 两组对边分别平行
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D： 一条对角线平分一组对角
练4.1 如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E．若∠BCF = 25∘ ，则∠AED的度数
为（ ）
A： 60∘
B： 65∘
C： 70∘
D： 75∘
练4.2 如图，在正方形ABCD中，点P、Q在对角线BD上，分别过点P、Q作边CD的平行线交BC于点E、H
，作边AD的平行线交AB于点F、G．若AB = 2，则图中阴影部分图形的面积和为________．
例5 如图，E是正方形ABCD对角线上一点，且AE = AB，EF⊥AC，交BC于F．求证：BF = EC．
练5.1 如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA = AE交CB的延长线于点F，若AB = 4，则四
边形AFCE的面积是（ ）
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A： 4
B： 8
C： 16
D： 无法计算
练5.2 如图，已知正方形ABCD，点E、F分别在边BC、CD上，若BE = CF，判断AE、BF的关系并证
明．
例6
(1)如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相等且互相平分，再添加一个条件，使得四边形
ABCD是正方形，可添加的条件是_________．（写出一个条件即可）
(2)下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）
A： 对角线互相垂直且相等的四边形
B： 一条对角线平分一组对角的矩形
C： 对角线相等的菱形
D： 对角线互相垂直的矩形
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练6.1 平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：__________，使得
平行四边形ABCD为正方形．
练6.2 如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点E作EF⊥AD于点F．求证：四边形
ABEF是正方形．
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