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能力提高 / 初三 / 寒假
第 1 讲 一轮复习之特殊三角形
例题练习题答案
例1 已知直线m//n，将一块含45∘ 角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D
．若∠1 = 25∘ ，则∠2的度数为( )
A： 60∘
B： 65∘
C： 70∘
D： 75∘
例2 在ΔABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则( )
A： 必有一个内角等于30∘
B： 必有一个内角等于45∘
C： 必有一个内角等于60∘
D： 必有一个内角等于90∘
例3 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A： 3，4，8
B： 5，6，10
C： 5，5，11
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D： 5，6，11
例4 如图，等边ΔOAB的边长为2，则点B的坐标为( )
A： (1,1)
B： (1,√3)
C： (√3，1)
D： (√3，√3)
例5 如图，在ΔABC中，AB = AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C = 42∘ ，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF//AC交AD的延长线于点F．求证：AE = FE．
例6 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延
长线于点E，则DE的长为 ．
例7 在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(4,0)，(4,4)，(0,4)，点P在x轴上，点D在直线
AB上，若DA = 1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为 ．
例8 如图，四边形ABCD中，∠BAD = 90∘ ，∠DCB = 90∘ ，E、F分别是BD、AC的中点，
（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；
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（2）当AC = 8，BD = 10时，求EF的长．
例9 如图，一块含有45∘ 角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的
内框线之间的距离均为√2cm，则图中阴影部分的面积为 cm²（结果保留根号）．
例10 已知在Rt△BAC中，∠BAC = 90∘ ，AB = AC，点D为射线BC上一点（与点B不重合），过点C作
CE⊥BC于点C，且CE = BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠ADE的度数；
（2）当点D在线段BC的延长线上时，依题意在图2中补全图形并判断（1）中结论是否成立？若成
立，请证明；若不成立，请说明理由．
能力提高 / 初三 / 寒假
第 1 讲 一轮复习之特殊三角形
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自我巩固答案
1 一个等腰三角形的两边长分别为 4,8,则它的周长为（ ）
A： 12
B： 16
C： 20
D： 16或20
2 下列说法正确的是（ ）
A： 同位角相等
B： 在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C： 相等的角是对顶角
D： 在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
3 如图所示，AB，CD，AE和CE均为笔直的公路，已知AB//CD，AE与AB的夹角∠BAE为32∘
，若线段CF与EF的长度相等，则CD与CE的夹角∠DCE为（ ）
A： 58∘
B： 32∘
C： 16∘
D： 15∘
4 如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能
添加的一组条件是（ ）
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A： ∠B=∠E，BC=EF
B： BC=EF，AC=DF
C： ∠A=∠D，∠B=∠E
D： ∠A=∠D，BC=EF
5 如图,等腰△ABC的周长为21,底边BC = 5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周
长为（ ）
A： 13
B： 14
C： 15
D： 16
6 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB = 3，BC = 4，CD = 5，则AD的长为（ ）
A： 3√2
B： 4
C： 2√3
D： 4√2
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7 如图，AB = DC，AE = DF，CE = BF，∠B = 55∘ ，则∠C = （ ）
A： 45∘
B： 55∘
C： 35∘
D： 65∘
8 如图，在ΔABC中，AB = 4，AC = 6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN//BC分
别交AB、AC于M、N，则ΔAMN的周长为（ ）
A： 10
B： 6
C： 4
D： 不确定
9 如图，一艘巡逻船由A港沿北偏西60∘ 方向航行5海里至B岛，然后再沿北偏东30∘
方向航行4海里至
C岛，则A、C两港相距（ ）
A： 4海里
B： √41海里
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C： 3海里
D： 5海里
10 已知:在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE = AC,延长BE交AC于F,求证:AF = EF.
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第 1 讲 一轮复习之特殊三角形
课堂落实答案
1 如图，AB//CD，BC平分∠ABE，∠C = 33∘ ，则∠BED的度数是（ ）
A： 16∘
B： 33∘
C： 49∘
D： 66∘
2 如图,AE//DF,AE = DF.则添加下列条件还不能使△EAC ≅ △FDB.（ ）
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A： AB = CD
B： CE//BF
C： CE = BF
D： ∠E = ∠F
3 如图，正方形A、B、C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A、B的边长分别为3和5，则
正方形C的面积为（ ）
A： 16
B： 12
C： 15
D： 18
4 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．
若BC=3，则DE的长为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
5 如图，在ΔABC中，AE⊥AB，AF⊥AC，AE = AB，AF = AC．试判断EC与BF的数量与位置关系，
并说明理由．
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第 1 讲 一轮复习之特殊三角形
精选精练
1 如图，线段OA = 2，OP = 1，将线段OP绕点O任意旋转时，线段AP的长度也随之改变，则下列结
论：
①AP的最小值是1，最大值是4；
②当AP = 2时，ΔAPO是等腰三角形；
③当AP = 1时，ΔAPO是等腰三角形；
④当AP = √3时，ΔAPO是直角三角形；
⑤当AP = √5时，ΔAPO是直角三角形．
其中正确的是（ ）
A： ①④⑤
B： ②③⑤
C： ②④⑤
D： ③④⑤
2 如图，MN//OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段
AB的右方作点D，使得AD⊥BD．设∠DAB = α （α为锐角）．
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（1）求∠NAD与∠PBD的和；（提示过点D作EF//MN）
（2）当点B在直线OP上运动时，试说明∠OBD−∠NAD = 90∘ ；
（3）当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，请求出此时α
的值
3 如图，在△ABC中，∠BAC = 90∘ ，AB = AC，D、E是BC上的两点，且满足∠DAE = 45∘ ．
（1）求证：BD+EC > DE；
（2）若BD = 2，EC = 4，求DE的长．
4 如图四边形ABCD中，AD//BC，∠BCD = 90∘ ，AB = BC+AD，∠DAC = 45∘ ，E为CD上一点，
且∠BAE = 45∘ ．若CD = 4，则 △ ABE 的面积为（ ）
A： 12
7
B： 24
7
C： 48
7
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D： 50
7
5 如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，
则CD的最大值是 ．
6 如图1，在△ABC中，∠ACB = 90∘ ，∠BAC = 60∘ ，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂
线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接
EF，HF．
（1）如图1，若点H是AC的中点，AC = 2√3，求AB，BD的长；
（2）如图1，求证：HF = EF；
（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理
由．
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第 2 讲 一轮复习之全等与相似
例题练习题答案
例1 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①AC⊥BD；②
CB = CD；③△ABC≌△ABD；④DA = DC．其中所有正确结论的序号是__________．
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例2 已知△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，∠ADC = 60∘ ，且AB > AC，BD > DC．
（1）求证：BD−DC < AB −AC；
（2）若点E在AD上，且DE = DB，延长CE交AB于点F，求∠BFC的度数．
例3 已知：如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC = ∠DAE = 90∘ ，AB = AC，AD = AE，点C、D、E三
点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE的位置关系，并证明．
例4 如图，在△ABC中，AB = AC = 2√2，∠BAC = 90∘ ，点D，E都在边BC上，且∠DAE = 45∘ ．若
BD = 2CE，则DE的长为__________．
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例5 如图，在长方形ABCD中，AB = CD = 6厘米，BC = 10厘米，点P从点B出发，以2厘米/秒的速度
沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）PC = _____厘米；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v厘米/秒的速度沿CD向点D运动，是否存
在这样的v值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
例6
(1)如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果
C S
△EAF 1 △EAF
= ，那么 的值是（ ）
C 2 S
△CDF △EBC
A： 1
2
B： 1
3
C： 1
4
D： 1
9
(2) 如图，在△ABC中，∠A = 78∘ ，AB = 4，AC = 6．将 △ ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的
阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
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A：
B：
C：
D：
(3)如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于
点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有
( )
A： 2处
B： 3处
C： 4处
D： 5处
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(4)如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B
向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知
杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5:1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压
____cm．
例7 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC = ∠A．
（1）求证：△BCD∽△ACB；
（2）如果BC = √6，AC = 3，求CD的长．
例8 （1）问题
如 图 1 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， 点 P 为 AB 上 一 点 ， ∠DPC = ∠A = ∠B = 90∘ ． 求 证 ：
AD⋅BC = AP ⋅BP；
（2）探究
如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC = ∠A = ∠B = θ时，上述结论是否依然成
立？说明理由；
（3）应用
请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB = 6，AD = BD = 5．点P以每秒
1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC = ∠A．设点P的运动时间为t
（秒），当DC与△ABD的边AB上的高相等时，求t的值．
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例9 如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40√2海里的A处，它沿正南方向航行一段时间
后，到达位于灯塔P的南偏东30∘
方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为（ ）海里．
A： 40+40√3
B： 80√3
C： 40+20√3
D： 80
例10 我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的
高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷
达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30∘ ．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的
雷达测得B处的仰角增加15∘ ，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千
米）(参考数据：√2 ≈ 1.41，√3 ≈ 1.73)
例11 如图，大楼AC的一侧有一个斜坡，斜坡的坡角为30∘ ．小明在大楼的B处测得坡面底部E处的俯角
为33∘ ，在楼顶A处测得坡面D处的俯角为30∘ ．已知坡面DE = 20m，CE = 30m，点C，D，E在同
一平面内，求A，B两点之间的距离．（结果精确到1m，参考数据：√3 ≈ 1.73，sin33∘ ≈ 0.54，
cos33∘ ≈ 0.84，tan33∘ ≈ 0.65)
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能力提高 / 初三 / 寒假
第 2 讲 一轮复习之全等与相似
自我巩固答案
1 如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AD = 2，DB = 3，BC = 6，则DE的长
为（ ）
A： 4
B： 2.5
C： 12
5
D： 10
2 EF
如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则 的值为（ ）
DF
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A： 1
2
B： 1
3
C： 1
4
D： 3
3 如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB，AB = AD+2BE，则下列结论：①AB +AD = 2AE；
②∠DAB +∠DCB = 180∘ ；③CD = CB；④S −2S = S ．其中正确结论的个数
△ACE △BCE △ADC
是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
4 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上，则tanC的值是
（ ）
A： 2
B： 4
3
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C： 1
D： 3
4
5 如图，平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，若AC = BC，AD = BE，CD = CE，
∠ACE=55∘ ，∠BCD = 155∘ ，则∠BPD的度数为（ ）
A： 110°
B： 125°
C： 130°
D： 155°
6 如图，已知Rt△ABC中，∠BAC = 90∘ ，AD⊥BC，下列选项中正确的是（ ）
A： 2
AB = AC⋅AD
B： 2
AB = BD⋅AC
C： 2
AC = CD⋅AB
D： 2
AD = BD⋅CD
7 2
如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD = 60∘ ，BP = 1，CD = ，则
3
△ABC的边长为（ ）
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A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
8 如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC = 20米．在点B，C分别测得
气球A的仰角∠ABD = 45∘ ，∠ACD = 60∘ ．则气球A离地面的高度为（ ）
( )
A： 30−10√3 米
B： 20√3米
( )
C： 30+10√3 米
D： 40√3米
9 如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B +∠D = 180∘ ，求证：AE = AD+BE．
10 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，DF⊥AB于F，交BE于G，FD、AC的延长线交于点
H．
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求证：（1）△FBG∽△FHA；
2
（2）DF = FG⋅FH．
能力提高 / 初三 / 寒假
第 2 讲 一轮复习之全等与相似
课堂落实答案
1 如图，已知∠BDA = ∠CDA，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A： BD = DC
B： AB = AC
C： ∠B=∠C
D： ∠BAD=∠CAD
2 如图，△ABC是边长为12的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC为120∘
的等腰三角形，以D为顶点作
一个60∘
角，角的两边分别交AB、AC于M、N，连接MN，则△AMN的周长是_________．
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3 如图，在平行四边形ABCD中，AB = 4，BC = 6，∠ABC、∠BCD的角平分线分别交AD于E、F两
点，BE与CF交于点G，则△EFG与△BCG的面积之比是（ ）
A： 1：3
B： 1：4
C： 1：8
D： 1：9
4 从一栋两层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45∘
，
看到楼顶部点D处的仰角为60∘
，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（ ）
( )
A： 6+6√3 米
( )
B： 6+3√3 米
( )
C： 6+2√3 米
D： 12米
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5 如图，在△PAB中，∠APB = 120 ∘ ，M，N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，求证：
BM ⋅PA = PN⋅BP．
能力提高 / 初三 / 寒假
第 2 讲 一轮复习之全等与相似
精选精练
1 如图，已知在△ABC中，AB = AC = 12厘米，∠B = ∠C，BC = 8厘米，点D为AB的中点．如果点P
在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点
Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（ ）
A： 2
B： 3
C： 2或3
D： 1或5
2 （1）如图1，在Rt△ACB中，∠BAC = 90∘ ，AB = AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，
垂足为D、E．当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？
并说明理由；
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（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB = AC，D、A、E三点都在直线l上，并且
有∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE = BD+CE是否成立？
若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
3 如图，在△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有（ ）
A： 2
DE = AD⋅AE
B： 2
AD = AF ⋅AB
C： 2
AE = AF ⋅AD
D： 2
AD = AE ⋅AC
4 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC = ∠DAE = 90∘ ，四边形ACDE是平行四边
形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE = BD；②△ADC是等
腰直角三角形；③△AEC≌△AEB；④△CGD∽△CDF，一定正确的结论有（ ）
A： 1个
B： 2个
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C： 3个
D： 4个
5 小明在学习“锐角三角函数”的过程中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，
使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以
求出67.5∘
角的正切值是（ ）
A： √3+1
B： √2+1
C： 2.5
D： √5
6 一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一
条地毯，已知CA = 4米，楼梯宽度为1米，则地毯的面积至少为（ ）
A： 2
(4+4sinθ)米
B： 4
2
米
cosθ
C： 4
2
(4+ )米
tanθ
D： 2
(4+4tanθ)米
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能力提高 / 初三 / 寒假
第 3 讲 一轮复习之四边形
例题练习题答案
例1 如图，将□ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B ′ 处，若∠1 = ∠2 = 44∘ ，则∠B为（ ）
A： ∘
66
B： ∘
104
C： ∘
114
D： ∘
124
例2 如图，在□ABCD中，AB = 5，∠BAD的平分线AE与DC交于点E，BF⊥AE，BF与AD的延长线交于
点F，则BC等于（ ）
A： 2
B： 2.5
C： 3
D： 3.5
例3 如图，在矩形ABCD中，用直尺和圆规作BD的垂直平分线EF，交AB于点G，交DC于点H，若
AB = 4，BC = 3，则AG的长为（ ）
26/94
A： 25
8
B： 7
4
C： 7
8
D： 5
8
例4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC = ∠ADC = 90∘ ，对角线AC、BD交于点O，DE平分
∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB = 2，求△OEC的面积．
例5 如图，在菱形OBCD中，OB = 1，相邻两内角之比为1:2，将菱形OBCD绕顶点O顺时针旋转90∘ ，
′ ′ ′ ′
得到菱形OB C D ，则点C 的坐标为（ ）
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A： 3 √3
( ， )
2 2
B： √3 3
( ，− )
2 2
C： 3 √3
( ，− )
2 2
D： √3 3
( ， )
2 2
例6 如图，已知菱形ABCD的周长为16，∠ABC = 60∘ ，点E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，
则EP +AP的最小值为（ ）
A： 2
B： 2√3
C： 4
D： 4√3
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例7 如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一个动点，连接EF，过点C作AB
的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．
（2）若∠ABC = 120∘ ，AB = BC = 4，则在点E的运动过程中：
①当BE = ______时，四边形BECD是矩形，试说明理由；
②当BE = ______时，四边形BECD是菱形．
例8 如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，那么∠BED为（ ）
A： 60∘
B： 45∘
C： 30∘
D： 15∘
例9 如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上一点，对角线BD与AC交于点O，以线段AG为边作
一个正方形AEFG，连接EB、GD．
（1）求证：EB = GD；
（2）若AB = 5，AG = 2√2，求EB的长．
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例10 如图，在△ABC中，∠ACB = 120∘ ，BC = 4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是______．
例11 1
如图，∠ACB = 90∘ ，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE = CD，过点B作BF∥DE交AE的
4
延长线于点F．若BF = 10，则AB的长为______．
例12 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，某同学探索出如下结
论，其中不正确的是（ ）
A： 当E、F、G、H是各边中点且AC = BD时，四边形EFGH为菱形
B： 当E、F、G、H是各边中点且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C： 当E、F、G、H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
D： 当E、F、G、H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
例13 如图，点B是直线l外一点，在l的另一侧任取一点K，以B为圆心，BK为半径作弧，交直线l于点M、
1
N；再分别以M、N为圆心，以大于 MN为半径作弧，两弧相交于点P；连接BP交直线l于点A；点C
2
30/94
是直线l上一点，点D、E分别是线段AB、BC的中点；F在CA的延长线上，∠FDA = ∠B，AC = 8
，AB = 6，则四边形AEDF的周长为（ ）
A： 8
B： 10
C： 16
D： 18
能力提高 / 初三 / 寒假
第 3 讲 一轮复习之四边形
自我巩固答案
1 如图，在平行四边形ABCD中，∠ADC的角平分线DE交边AB于点E，连接CE，若∠ADE = 25∘ ，
∠BCE = 15∘ ，则∠BEC的度数为（ ）
A： 115∘
B： 120∘
C： 125∘
D： 130∘
31/94
2 如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作OE⊥AD于点E，若AB = 4，∠ABC = 60∘ ，
则OE的长是（ ）
A：
√3
B：
2√3
C： 2
D： 5
8
3 如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，过点O作OE∥AB，交AD于点E．若AB = 6，
BC = 8，则△BOE的周长为（ ）
A： 10
B： 8+2√5
C： 8+2√13
D： 14
4 如图，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为(8,6)，以A为圆
1
心，以任意长为半径画弧，分别交AC、AO于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于 MN长为半
2
径画弧，两弧交于点Q，作射线AQ交y轴于点D，则点D的坐标为（ ）
32/94
A： (0,1)
B： 8
(0, )
3
C： 5
(0, )
3
D： (0,2)
5 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边上的一个动点，∠BAD = 120∘ ，菱形
ABCD的周长为24，则OE的最小值为（ ）
A： 2√3
3
B： 3
C： 3√3
2
D： 4√3
3
6 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若
BE:EC = 2:1，则线段CH的长是（ ）
33/94
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
7 如图，在Rt△ABC中，∠B = 90∘ ，BC = 3，AB = 4，点D、E分别是AB，AC的中点，CF平分
Rt△ABC的一个外角∠ACM，交DE的延长线于点F，则DF的长为（ ）
A： 4
B： 5
C： 5.5
D： 6
8 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，过A点作AF⊥BF，垂足为F，延长AF交BC于点G，点D为AB中
点，连接DF并延长交AC于点E．若AB = 12，BC = 20，则线段EF的长为（ ）
A： 2
34/94
B： 3
C： 4
D： 5
9 在Rt△ABC中，∠BAC = 90∘ ，点D是BC的中点，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长
线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC = 4，AB = 5，求菱形ADCF的面积．
10 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘ ，分别以AB、BC为边向外作正方形ABFG、BCED，连接AD
、CF，AD与CF交于点M．
（1）求证：△ABD≌△FBC；
（2）如图2，已知AD = 6，求四边形AFDC的面积．
能力提高 / 初三 / 寒假
第 3 讲 一轮复习之四边形
课堂落实答案
35/94
1 1
如图，在□ABCD中，连接AC，分别以点A、C为圆心，以大于 AC长为半径作两弧相交于点P、Q
2
，作直线PQ交AD于点E，交BC于点F，连接CE，若△CED的周长为5，则□ABCD的周长为（ ）
A： 5
B： 10
C： 15
D： 20
2 如图，在矩形ABCD中，A( −2,0)，B(2,0)，C(2,2)，将AB绕点A旋转，使点B落在边CD上的点E
处，则点E的坐标为（ ）
A： (√3,2)
B： (2√3,2)
C： (1,2)
D： (2√3−2,2)
3 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若AH = DH，则
∠DHO的度数是（ ）
36/94
A： 25∘
B： 22.5∘
C： 30∘
D： 15∘
4 如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB = 7，MN = 3
，则AC的长为（ ）
A： 14
B： 13
C： 12
D： 11
5 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE = DF，连接AE、
AF、EF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
37/94
（2）若AE = 5，请求出EF的长．
能力提高 / 初三 / 寒假
第 3 讲 一轮复习之四边形
精选精练
1 如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，边长为2，点C在第一象限，∠AOC = 60∘ ，若将菱形OABC
绕点O顺时针旋转75∘ ，得到四边形OA ′ B ′ C ′ ，则点B的对应点B ′ 的坐标为________．
2 如图，已知 □ABCD中，AB = 3，BC = 5，∠BAC = 90∘ ，E、F分别是AB，BC上的动
点，EF⊥BC，△BEF与△PEF关于直线EF对称，若△APD是直角三角形，则BF的长为________．
3 如图，在矩形ABCD中，点G在AD上，且GD = AB = 1，AG = 2，点E是线段BC上的一个动点（点
E不与点B、C重合），连接GB、GE，将△GBE关于直线GE对称的三角形记作△GFE，当点E运动到
使点F落在矩形任意一边所在的直线上时，则所有满足条件的线段BE的长是________．
4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘ ，BC = 3，AC = 4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一
点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为________．
38/94
5 如图，在菱形ABCD中，AB = 4，∠DAB = 60∘ ，点H是AD边的中点，点E是AB边上一动点（点E
不与点A重合），连接EH并延长，交射线CD于点M，连接AM，DE．
（1）求证：四边形AEDM是平行四边形；
（2）填空：
①当AE的值为______时，四边形AEDM是矩形；
②当AE的值为______时，四边形AEDM是菱形．
6 已知，在△ABC中，∠BAC = 90∘ ，∠ABC = 45∘ ，D为直线BC上一动点（不与点B、C重合），以
AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出BC、CD、CF三条线段之间的数量关
系：________________；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成
立，请给出证明；若不成立，请你写出正确的结论，并给出证明；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不
变，请直接写出BC、CD、CF三条线段之间的数量关系．
39/94
能力提高 / 初三 / 寒假
第 4 讲 一轮复习之圆
例题练习题答案
例1
(1) 如图，在 △ ABC中，已知∠ACB = 130∘ ，∠BAC = 20∘ ，BC = 2，以点C为圆心、CB为半径
的圆交AB于点D，则BD的长为（ ）
A： √3
B： 2√3
C： √3
3
D： 4
(2) ⌢
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB = 40m，点C
⌢
是AB的中点，点D是AB的中点，且CD = 10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
40/94
A： 25m
B： 24m
C： 30m
D： 60m
(3)已知⊙O半径为5，AB、CD为⊙O的弦，且AB//CD，AB = 6，CD = 8，则AB、CD之间的距
离为_________．
(4)如图，在⊙O中，弦AB = 1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则
CD的最大值为________．
例2
(1) ⌢ ⌢
如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB = CD，∠CAD = 30∘ ，∠ACD = 50∘ ，则∠ADB＝
_____．
(2) 如图，点D在以AC为直径的⊙O上，如果∠BDC = 20∘ ，那么∠ACB的度数为（ ）
41/94
A： 20∘
B： 40∘
C： 60∘
D： 70∘
(3) 如图，AB是⊙O的弦，∠OAB = 30∘ ，OC⊥OA，交AB于点C，若OC = 6，则AB的长等于
____．
例3
(1) ⌢
如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(1,0)，O(0,0)，B(0,1)作圆．若点C在劣弧OB上，则
∠BCO的度数为（ ）
A： 125∘
B： 150∘
C： 105∘
D： 135∘
42/94
(2) 如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD = 120∘ ，则∠BOD的大小是（ ）
A： 80∘
B： 120∘
C： 100∘
D： 90∘
(3) ⌢ ⌢
如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC = CB．若∠C = 110∘ ，则∠ABC
的度数等于（ ）
A： 55∘
B： 60∘
C： 65∘
D： 70∘
例4
(1) 已知扇形的弧长为6π cm ，该弧所对圆心角为90∘ ，则此扇形的面积为（ ）
A： 2
36π cm
B： 2
72π cm
C： 2
36cm
D： 2
72cm
43/94
(2)已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A： 2
60π cm
B： 2
65π cm
C： 2
120π cm
D： 2
130π cm
例5
(1) 如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB = AC，∠A = 40∘ ，BD//AC，若⊙O的半径为2．则图
中阴影部分的面积是（ ）
A： 2π √3
−
3 2
B： 2π
−√3
3
C： 4π √3
−
3 2
D： 4π
−√3
3
(2) 如图，在△ABC中，AC = AB，∠CAB = 30∘ ，AC = 2√3．以AB的中点O为圆心、AB的长为
直径，在AB的上方作半圆，再以点A为圆心、AC的长为半径，作扇形DAC，且∠DAC = 30∘
，则图中阴影部分的面积为________．
44/94
(3) 如图，在扇形AOB中，∠AOB = 120∘ ，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA = 2√3，
则阴影部分的面积为_____．
例6 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上，若∠P = 102∘ ，则∠A +∠C =
________．
例7 如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下
列结论：①∠DOC = 90∘ ，②AD+BC = AB，③S = CD⋅OA，④
ABCD
2 2
BO ⋅S = BC ⋅S ，其中正确的有_____（填序号）．
△AOD △BOC
例8 如图，在Rt △ ABC中，∠C = 90∘ ，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A = ∠ADE；
45/94
（2）若AD = 8，DE = 5，求BC的长．
例9 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
⌢
（2）若DE = 6，BC = 6√3，求优弧BAC的长．
例10 3
如图，直径为10的半圆O，tan∠DBC = ，∠BCD的平分线交⊙O于F，E为CF延长线上一点，且
4
∠EBF = ∠GBF．
（1）求证：BE为⊙O切线；
2
（2）求证：BG = FG⋅CE；
（3）求OG的值．
能力提高 / 初三 / 寒假
第 4 讲 一轮复习之圆
自我巩固答案
46/94
1 已知⊙O的半径为5，P为⊙O内一点，且OP = 3，则过点P的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）
A： 4条
B： 3条
C： 2条
D： 1条
2 如图，在⊙O中，M是弦CD的中点，EM⊥CD，若CD = 4cm，EM = 6cm，则⊙O的半径为（ ）
A： 5
B： 3
C： 10
3
D： 4
3 如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若AC = CD，且∠ACD = 50∘ ，则∠BAC的度数为
（ ）
A： 20∘
B： 35∘
C： 25∘
D： 30∘
47/94
4 如图，点A、B、C、D都在半径为3的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30∘
，则弦BC的长为（ ）
A： 3√3
2
B： 3√3
C： 3
D： 2√3
5 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA = DC，∠CBE = 50∘ ，则∠DAC的大小为（ ）
A： 130∘
B： 100∘
C： 65∘
D： 50∘
6 如图，从一个直径为4的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60∘ 的扇形ABC，将剪下来的扇形围成一个
圆锥，则圆锥的底面圆半径为（ ）
48/94
A： 2
3
B： √3
3
C： 2√3
3
D： √3
2
7 如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P = 50∘ ，则∠ACB 的大
小是（ ）
A： 65∘
B： 60∘
C： 55∘
D： 50∘
8 如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，且顶点C在⊙O上，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E
是BD中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
49/94
（2）若AC = 8，BC = 6，求BD和CE的长．
9 如图，AB = 16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转
⌢
270∘ 后得到扇形COD，AP、BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P、Q在AB异侧，连接OP．
（1）求证：AP = BQ；
⌢
（2）当BQ = 4√3时，求QD的长（结果保留π）．
10 如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过
点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P = 30∘ 时，
（1）求弦AC的长；
（2）求证：BC∥PA．
能力提高 / 初三 / 寒假
第 4 讲 一轮复习之圆
50/94
课堂落实答案
1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC = 5cm，CD = 8cm，则AE = （ ）
A： 8cm
B： 5cm
C： 3cm
D： 2cm
2 如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC = 126∘ ，则∠CDB = （ ）
A： 54∘
B： 64∘
C： 27∘
D： 37∘
3 ⌢
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA = 40∘ ，AB = 6，则BC的长为（ ）
51/94
A： 8π
3
B： 10π
3
C： 5π
3
D： 4π
3
4 如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50∘ ，则∠BOD等于
（ ）
A： 40∘
B： 50∘
C： 60∘
D： 80∘
5 如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA = ∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP//BC，且OP = 8，⊙O的半径为2√2，求BC的长．
52/94
能力提高 / 初三 / 寒假
第 4 讲 一轮复习之圆
精选精练
1 如图所示，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB = 8，
CD = 2，则EC的长度为（ ）
A： 2√5
B： 8
C： 2√10
D： 2√13
2 如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A +∠B +∠C = （ ）度．
A： 30
53/94
B： 45
C： 60
D： 90
3 如图，AB为半圆的直径，且AB = 4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴
影部分的面积为_________．
4 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PA = √3OA，阴影部分的面积为6π，则⊙O的半
径长为_____．
5 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接
PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线．
5
（2）若tanD = ，DE＝16，求PD的长．
12
6 如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，
连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE = EF；
54/94
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为_______时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为_______时，四边形ECOG为正方形．
能力提高 / 初三 / 寒假
第 5 讲 一轮复习之数与式
例题练习题答案
例1
(1) 2
− 的相反数是( )
5
A： 2
−
5
B： 2
5
C： 5
−
2
D： 5
2
55/94
(2)规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（ ）
A： +3
B： ﹣3
C： 1
−
3
D： 1
+
3
(3)如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为（ ）
A： ﹣6
B： 6
C： 0
D： 无法确定
(4) 1
3
已知实数− ，0.16，√3，π，√25，√4，其中为无理数的是___________________．
2
例2
(1)成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为
（ ）
A： 46×10 ﹣7
B： 4.6×10 ﹣7
C： 4.6×10 ﹣6
D： 0.46×10 ﹣5
(2)比较大小： −2√5___−3√2．（填“＞”、“＜”或“＝”）．
56/94
(3)在实数﹣5，−√3，0，π，√6中，最大的一个数是________．
例3 求2 1 +2 2 +2 3 +…+2 n 的值，解题过程如下：
1 2 3 n
解：设：S＝2 +2 +2 +…+2 ①
2 3 4 n+1
两边同乘以2得：2S＝2 +2 +2 +…+2 ②
n+1
由②﹣①得：S＝2 ﹣2
1 2 3 n n+1
所以2 +2 +2 +…+2 ＝2 ﹣2
1 2 3 n﹣1
参照上面解法，计算：1+3 +3 +3 +…+3 ＝________．
例4
(1)下列计算正确的是（ ）
A： 2 2 2
2a ⋅3a =6a
B： ( )2
2 4 2
−3a b =6a b
C： 2 2 2
(a−b) = a −b
D： 2 2 2
−a +2a =a
(2) 1
2
− x y是________次单项式．
2
(3) 2
分解因式：x −6x+9 = _____________．
2
分解因式：x −14x+48 = _____________．
2
分解因式：x y+2xy+y＝_____________．
2
分解因式：xy ﹣9x＝_____________．
2 2
分解因式：(a−b) −4b = _____________．
分解因式：(a−b)(a−4b) +ab = _____________．
3 2
分解因式：x −2x +x = _____________．
例5
(1)请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式简便计算；
57/94
2
①699
2
②2019 −2017×2021
(2) 先化简，再求值：(2x+y) 2 +(x−y)(x+y) −5x(x−y)，其中x = √2+1，y = √2−1．
(3) ( 2 ) ( 2 )
嘉淇准备完成题目：化简： (cid:0)x +6x+8 − 6x+5x +2 发现系数“(cid:0)”印刷不清楚．
2 2
①他把“(cid:0)”猜成3，请你化简：(3x +6x+8) −(6x+5x +2)；
②他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“(cid:0)
”是几？
例6
(1) x y
化简： − ，结果正确的是（ ）
x−y x+y
A： 1
B： 2 2
x +y
2 2
x −y
C： x−y
x+y
D： x 2 +y 2
(2)小明总结了以下结论：
①a(b+c)=ab+ac；②a(b−c)=ab−ac；③(b−c) ÷ a=b÷ a−c÷ a(a ≠ 0)；
④a÷ (b+c)=a÷ b+a÷ c(a ≠ 0)．其中一定成立的个数是（ ）
58/94
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
(3) a−2 8a a+2
化简：（ + ）÷ ．
a+2 2 2
a −4 a −2a
(4) 2 2
−2ab−b b
已知非零实数a，b互为相反数，设M = 1− ，N = 1− ，
2 2
a a
则M____N（填“ > ”“ < ”或“ = ”）．
例7
(1)下列运算正确的是（ ）
A： 3a+b a+b
=
6 2
B： a+b 2a+b
2× =
3 3
C： √ 2
a = a
D： |a|＝a（a≥0）
(2)面积为4的正方形的边长是( )
A： 4的平方根
B： 4的算术平方根
C： 4开平方的结果
D： 4的立方根
59/94
(3) 1
代数式 有意义时，x应满足的条件是________．
√x−8
(4) 3
√64的算术平方根是______．
(5)下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A： √30
B： √12
C： √8
√
D： 1
2
√ √ √
(6) a √a a b
如果ab > 0，a+b < 0，那么下面各式：① = ；② ⋅ = 1；
b √b b a
√
a
③√ab÷ = −b．其中正确的是（）
b
A： ①②
B： ②③
C： ①③
D： ①②③
例8
(1) 计算： ( −√3 ) × ( −√6 ) + | √2−1 | +(5−2π) 0
(2) 1
( )−2
3 | |
计算：−2× √−27+ 1−√3 −
2
(3) 1
( )1
计算：√12+ +(π−3.14) 0 − | 1−tan60∘|
2
60/94
例9
(1) 2
x+1 x −2x
( )
先化简，再求值： −1 ÷ ，其中x = √3．
x−2 2
x −4x+4
(2) 1 x
( )
先化简，再求值： −1 ÷ ，其中x = √2+1．
x+1 2
x −1
(3) 2 2
a −2ab+b 1 1
( )
先化简，再求值： ÷ − ，其中a = √2−1，b = √2+1．
a−b b a
(4) 2 2
x +2x+1 (1+x )
先化简，再求值： ÷ −2x ，其中x = √2+1．
2 x
x +x
例10
(1)某超市销售A、B、C、D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售
情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（ ）
A： 1.95元
B： 2.15元
C： 2.25元
D： 2.75元
(2)河南省旅游资源丰富，2013 ∼ 2017年旅游收入不断增长，同比增速分别为：15.3％，
12.7％，15.3％，14.5％，17.1％．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A： 中位数是12.7％
B： 众数是15.3％
61/94
C： 平均数是15.98％
D： 方差是0
(3)甲、乙两人连续5次射击成绩如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A： 甲的成绩更稳定
B： 乙的成绩更稳定
C： 甲、乙的成绩一样稳定
D： 无法判断谁的成绩更稳定
(4)在一次体检中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均身高为1.65米，而甲、乙、丙三位同学的平
均身高为1.63米，下列说法一定正确的是（ ）
A： 四位同学身高的中位数一定是其中一位同学的身高
B： 丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高
C： 丁同学的身高为1.71米
D： 四位同学身高的众数一定是1.65
例11
(1)下列说法错误的是（ ）
A： 必然事件发生的概率是1
B： 通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C： 概率很小的事件不可能发生
D： 投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得
62/94
(2)现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些
球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率
是________．
(3)第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差
别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率．
例12 某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学
生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级成绩频数分布直方图：
b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级 平均数 中位数
七 76.9 m
八 79.2 79.5
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有________人；
(2)表中m的值为________；
(3)在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级
的排名谁更靠前，并说明理由；
63/94
(4)该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人
数．
能力提高 / 初三 / 寒假
第 5 讲 一轮复习之数与式
自我巩固答案
1 广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使
之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千
米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（ ）
A： 5
B： 5.2
C： 6
D： 6.4
2 1 1
已知有理数a ≠ 1，我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 = −1，−1的差倒数是
1−a 1−2
1 1
= ．如果a = −2，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数……依此类
1 2 1 3 2 4 3
1−( −1) 2
推，那么a +a +…+a 的值是( )
1 2 100
A： −7.5
B： 7.5
C： 5.5
D： −5.5
3 2
分解因式：x −4 = ________．
2
分解因式：x −5x−6 = ________．
64/94
2 2
分解因式：x −xy−2y −x−y = _______________．
4 2
如果多项式x −mx+6分解因式的结果是(x−3)(x+n)，那么m，n的值分别是( )
A： m = −2，n = 5
B： m = 2，n = 5
C： m = 5，n = −2
D： m = −5，n = 2
√
5 1
计算：|1−√2| +(3−π) 0 −6
2
6
(1)计算：(m−2n+3)(m+2n−3)
(2) 2
计算：(x+2) −(x−1)(x−2)
7 2 2 2
先化简，再求值：[(x +y ) −(x−y) +2y(x−y)] ÷ 4y，其中x = −4，y = −6．
8 先化简，再求值：[( −a+2b)(a−2b) +( −a+b)( −a−b)] ÷ ( −b)，其中a的算术平方根是它本
身，b是−8的立方根．
9 1 a
先化简，再求值： − ，其中a = √2−1
a+1 2
(a+1)
10 某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情
况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅
不完整的统计图：
65/94
(1)本次随机调查了多少名学生？
(2)补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
(3)若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
(4)学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求
出恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母
A，B，C，D表示）
能力提高 / 初三 / 寒假
第 5 讲 一轮复习之数与式
课堂落实答案
1 实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是( )
A： a−5 > b−5
B： 6a > 6b
C： −a > −b
D： a−b > 0
2 2
分解因式：x −5x+6 = ___________．
2 2
分解因式：ax −ay = ___________．
2 2
分解因式：x y−xy = ___________．
2 2
分解因式：a −2ab+b −1 = ___________．
3
(
√2)−1
3
计算：√8− √27+ = ___________．
2
66/94
4 a+1 a 3a+1
( )
化简： − ÷ ．
a−1 a+1 2
a +a
5 称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分
的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和
未完成的统计图（单位：千克）．
实际称量读数和记录数据统计表
序号
1 2 3 4 5
数据
甲组 48 52 47 49 54
乙组 −2 2 −3 −1 4
(1)补充完成乙组数据的折线统计图．
(2) ¯ ¯ ¯ ¯
①甲，乙两组数据的平均数分别为x ，x ，写出x 与x 之间的等量关系．
1 2 1 2
②甲，乙两组数据的方差分别为S 2，S 2，比较S 2与S 2的大小，并说明理由．
1 2 1 2
能力提高 / 初三 / 寒假
第 5 讲 一轮复习之数与式
精选精练
67/94
1 4
一般地，如果x = a(a ⩾ 0)，则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个．它们互为相反
4 √4
数，记为±√a，若 m 4 = 10，则m = _______．
2 在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数
分别是( )
A： 9.7m，9.9m
B： 9.7m，9.8m
C： 9.8m，9.7m
D： 9.8m，9.9m
3 2
分解因式：a b+2ab+b = ____________．
2
分解因式：a (a−b) −4(a−b) = ____________．
4 2
分解因式：x −5x +4 = ____________．
4 1
( )
计算： +√3 √3−√6 +√8．
√2−1
5 1
( )
先化简，再求值：(a−1) ÷ a+ −2 ，其中a = −1．
a
6 为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调
查，这8名学生分别标记为A，B，C，D，E，F，G，H，其中“√”表示投放正确，“×”表示投
放错误，统计情况如下表．
学生
A B C D E F G H
垃圾类别
68/94
厨余垃圾 √ √ √ √ √ √ √ √
可回收垃圾 √ × √ × × √ √ √
有害垃圾 × √ × √ √ × × √
其他垃圾 × √ √ × × √ √ √
(1)求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；
(2)为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两
人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．
能力提高 / 初三 / 寒假
第 6 讲 一轮复习之方程与不等式
例题练习题答案
例1 x
2
已知关于x的方程3a−x = +3的解为x=2，则代数式a −2a+1的值是_________．
2
例2 x = −1 3x+2y = m
{ {
已知 ，是二元一次方程组 的解，则m−n的值是（ ）
y = 2 nx−y = 1
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例3 x+2y = 3
{
已知关于x y的二元一次方程组 的解满足x+y = 0，求m的值．
3x+5y = m+2
69/94
例4 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各
几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合
伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为( )
A：
{
y = 5x+45
y = 7x+3
B：
{
y = 5x−45
y = 7x+3
C：
{
y = 5x+45
y = 7x−3
D：
{
y = 5x−45
y = 7x−3
例5
(1)若m > n，下列不等式不一定成立的是（ ）
A： m+2 > n+2
B： 2m > 2n
C： m n
>
2 2
D： 2 2
m > n
(2)不等式x−3 ≤ 3x+1的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（ ）
A：
B：
C：
D：
70/94
(3)张小寒同学到文具店买中性笔和笔记本，中性笔每只0.8元，笔记本每本1.2元，张小寒带了
10元钱，则可供她选择的购买方案的个数为（两样都买，余下的钱少于0.8元）（ ）
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
例6 6−3x < 0
{
不等式组 2 的解集为( )
x ⩽ 1+ x
3
A： 2 < x < 3
B： 2 < x ≤ 3
C： x < 2或x ⩾ 3
D： 无解
例7 x 1
{
−2 ⩽ (x−7),
若数a使关于x的不等式组 3 4 有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程
6x−2a > 5(1−x)
1−2y a
− = −3的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是( )
y−1 1−y
A： −3
B： −2
C： −1
D： 1
例8
71/94
(1) x+m 3m
若关于x的方程 + = 3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
x−3 3−x
A： 9
m <
2
B： 9 3
m < 且m ≠
2 2
C： 9
m > −
4
D： 9 3
m > − 且m ≠ −
4 4
(2) x k x
当k = _______时，分式方程 + − = 0无解．
x−1 x−1 x+1
(3) 7x 2m−1
关于x 的分式方程 +5 = 有增根，则m的值为（ ）
x−1 x−1
A： 1
B： 3
C： 4
D： 5
例9 2
1 x −6x+9
先化简，再求值：(1− ) ÷ ，其中x = 4|cos30∘| +3
x−2 2x−4
例10 一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（ ）
A： 有两个不相等的实数根
B： 有两个相等的实数根
C： 只有一个实数根
72/94
D： 没有实数根
例11 5
2
若关于x的方程x +x−a+ = 0有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是( )
4
A： −1
B： 0
C： 1
D： 2
能力提高 / 初三 / 寒假
第 6 讲 一轮复习之方程与不等式
自我巩固答案
1 2x−1
若代数式4x−5与 的值相等,则x的值是（ ）
2
A： 1
B： 3
2
C： 2
3
D： 2
2 1
已知x = 2是关于x的方程a(x+1) = a+x的解，则a的值是（ ）
2
A： 4
5
73/94
B： 3
5
C： 2
5
D： 1
5
3 x = −1 3x+2y = m
{ {
已知 ，是二元一次方程组 的解，则m−n的值是（ ）
y = 2 nx−y = 1
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
4 2
一元二次方程x = 2x的解为（ ）
A： x = 2
B： x = −2
C： x = 2 , x = 0
1 2
D： x = −2 , x = 0
1 2
5 2
若方程3x −6x+m = 0有两个不相等的实数根，m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A：
B：
C：
D：
74/94
6 1
{
x+1 ≥ 3，
不等式组 2 的最大整数解为（ ）
x−2(x−3) > 0
A： 8
B： 6
C： 5
D： 4
7 |x|−2
分式 的值为0，则（ ）
x−2
A： x = −2
B： 3
x =
4
C： x = 2
D： x = 0
8 2 3x
分式方程 + = 1的解为（ ）
x−2 2−x
A： x = 1
B： x = 2
C： 1
x =
3
D： x = 0
9 足球比赛规定:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某足球队共进行了6场比赛,得了12分,该队获
胜的场数可能是（ ）
A： 1或2
75/94
B： 2或3
C： 3或4
D： 4或5
10 党的十九大提出实施乡村振兴战略，将生态宜居作为乡村振兴的总目标之一，《乡村振兴战略规
划(2018−2022年）》中更是把建设生态宜居美丽乡村作为重要内容以具体化．某县富强加工厂响
应“产业兴旺、生态宜居、生活富裕”的号召，拟计划投资兴建2条全自动生产线和1条半自动生
产线，共用资金260万元；而投资兴建1条全自动生产线和3条半自动生产线共用资金280万元．
（1）求每条全自动生产线和半自动生产线的成本各为多少万元？
（2）据预测，2019年每条全自动生产线的毛利润为260万元，每条半自动生产线的毛利润为160
万元这一年，该加工厂共投资兴建10条生产线，若想获得不少于1200万元的纯利润，则2019年该
加工厂至少需投资兴建多少条全自动生产线？
能力提高 / 初三 / 寒假
第 6 讲 一轮复习之方程与不等式
课堂落实答案
1 2x+7 > 1
{
不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( )
5−3x2
A：
B：
C：
D：
2 电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求
两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x千米/小时，应列方程为（ ）
A： 30 40
−1 =
x x−25
76/94
B： 30 40
−1 =
x x+25
C： 30 40
+1 =
x x25
D： 30 40
+1 =
x x+25
3 一元二次方程(x+1)(x−2)2x+3的根的情况是（ ）
A： 有两个不相等的实数根
B： 有两个相等的实数根
C： 只有一个实数根
D： 没有实数根
4 如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块
2
绿地的面积之和为480m ，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为xm
，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A： (30−3x)(24−2x) = 480
B： (30−3x)(24−x) = 480
C： (30−2x)(24−2x) = 480
D： (30−x)(24−2x) = 480
5 1 1 2
2
已知关于x的方程x −2ax+a = 0有两个相等的实数根，请先化简代数式( − ) ÷ ，
a−1 a+1 a+1
并求出该代数式的值．
77/94
能力提高 / 初三 / 寒假
第 6 讲 一轮复习之方程与不等式
精选精练
1 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七
客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每
一间客房住9人,那么就空出一间房.
(1)求该店有客房多少间?房客多少人?
(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费 20 钱,且每间客房最多入住
4 人,一次性定客房 18 间以上(含 18 间),房费按 8 折优惠.若诗中"众客"再次一起入住,他们如何
订房更合算?
2 华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B
品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌
足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，
恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品
牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过
3260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
3 2 2
关于x的一元二次方程x +(2m+1)x+m −1 = 0有两个不相等的实数根。
(1)求m的取值范围；
(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
4 5x+2 > 3(x−1)
{
1 3
已知关于x的不等式组 有四个整数解，求实数a的取值范围．
x ≤ 8− x+2a
2 2
78/94
5 2x+y = 1−m
{
在关于x，y的方程组 中，若未知数x，y满足x+y > 0，求m的取值范围，并在数轴
x+2y = 2
上表示出来．
6 已知关于x的一元二次方程x 2 6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x ，x ，且2x
1 2 1
x +x +x ≥20，求m的取值范围．
2 1 2
能力提高 / 初三 / 寒假
第 7 讲 一轮复习之一次函数与反比例函数
例题练习题答案
例1
(1) 3
设点A(a,b)是正比例函数y = − x图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（ ）
2
A： 2a+3b = 0
B： 2a−3b = 0
C： 3a−2b = 0
D： 3a+2b = 0
(2)下列关于一次函数y = kx+b(k < 0,b > 0)的说法，错误的是（ ）
A： 图象经过第一、二、四象限
B： y随x的增大而减小
C： 图象与y轴交于点(0,b)
79/94
D： b
当x > − 时，y > 0
k
(3)若一次函数y = kx+b(k，b为常数，且k ≠ 0)的图象经过点A(0, −1)，B(1,1)，则不等式
kx+b > 1的解为（ ）
A： x < 0
B： x > 0
C： x < 1
D： x > 1
例2
(1)如图，直线y = x+2与直线y = ax+c相交于点P(m,3)，则关于x的不等式x+2 ≤ ax+c的解为
___________．
(2) 1
如图，直角坐标系xOy中，一次函数y = − x+5的图象l 分别与x，y轴交于A，B两点，正比
1
2
例函数的图象l 与l 交于点C(m,4)．
2 1
①求m的值及l 的解析式；
2
②求S −S 的值；
ΔAOC ΔBOC
③一次函数y = kx+1的图象为l ，且l ，l ，l 不能围成三角形，直接写出k的值．
3 1 2 3
80/94
例3 某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：
商品 甲 乙
进价（元/件） x+60 x
售价（元/件） 200 100
若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？
（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件(a ⩾ 30)，设销售完50件甲、
乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值．
例4 小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，
沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数
关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
例5
81/94
(1) 4
反比例函数y = − (x > 0)的图象位于（ ）
x
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
(2) 2019
若A(x ,y )、B(x ,y )都在函数y = 的图象上，且x < 0 < x ，则( )
1 1 2 2 1 2
x
A： y < y
1 2
B： y = y
1 2
C： y > y
1 2
D： y = −y
1 2
(3) 1 3
如图，点A、B分别在双曲线y = 和y = 上，点C、D在x轴上，且四边形ABCD为矩形，则
x x
矩形ABCD的面积为( )
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
82/94
(4) k
如图，P是反比例函数y = 图象上的一点，过点P向x轴作垂线交于点A，连接OP．若图中阴
x
影部分的面积是1，则此反比例函数的解析式为______________．
例6
(1)已知正比例函数y 的图象与反比例函数y 的图象相交于点A(2,4)，下列说法正确的是（ ）
1 2
A： 8
反比例函数y 的解析式是y = −
2 2
x
B： 两个函数图象的另一交点坐标为(2, −4)
C： 当x < −2或0 < x < 2时，y < y
1 2
D： 正比例函数y 与反比例函数y 都随x的增大而增大
1 2
(2) k
在同一平面直角坐标系中，函数y = kx+1(k ≠ 0)和y = (k ≠ 0)的图象大致是（ ）
x
A：
83/94
B：
C：
D：
(3) k
如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y = (x > 0)的图象交于点C，若
x
S = S = 1，则k = （ ）
ΔAOB ΔBOC
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例7 2
如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y = ，
1
x
（1）当x______时，y > 0；
1
84/94
（2）直线y = −x+b，当b = 2√2时，直线与双曲线有唯一公共点，问：b______时，直线与双曲
2
线有两个公共点；
2
（3）如果直线y = −x+b与双曲线y = 交于A、B两点，且点A的坐标为(1 , 2),点B的纵坐标为
2 1
x
1．设E为线段AB的中点，过点E作x轴的垂线EF，交双曲线于点F．求线段EF的长．
例8 12
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y = kx+b(k ≠ 0)的图象与反比例函数y = 的图象交于
x
A、B两点，点A在第一象限，点B的坐标为(−6 , n)，直线AB与x轴交于点C，E为x轴正半轴上一
4
点，且tan∠AOE = ．
3
（1）求点A的坐标．
（2）求一次函数的表达式．
（3）求 △ AOB的面积．
例9 k
在平面直角坐标系xOy中，直线y = x−1与y轴交于点A，与双曲线y = 交于点B(m,2)．
x
（1）求点B的坐标及k的值；
85/94
（2）将直线AB平移，使它与x轴交于点C，与y轴交于点D，若△ABC的面积为6，求直线CD的表
达式．
例10 k
如图，一次函数y = mx+n(m ≠ 0)的图象与反比例函数y = (k ≠ 0)的图象交于第二、四象限内的点
x
A(a,4)和点B(8,b)．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
k
（2）结合图象直接写出mx+n < 的解集；
x
（3）在x轴上取点P，使PA −PB取得最大值时，求出点P的坐标．
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第 7 讲 一轮复习之一次函数与反比例函数
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自我巩固答案
1 如图，已知直线l :y = −2x+4与直线l :y = kx+b(k ≠ 0)在第一象限内交于点M．若直线l 与x轴
1 2 2
的交点为A(−2,0)，则k的取值范围是（ ）
A： −2 < k < 2
B： −2 < k < 0
C： 0 < k < 4
D： 0 < k < 2
2 ′ ′
已知一次函数y = kx+5和y = k x+7，假设k > 0且k < 0，则这两个一次函数的图象的交点在（
）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
( ) ( )
3 已知直线y = −3x+4过点 −2,y 和点 −3,y ，则y 和y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A： y < y
1 2
B： y > y
1 2
C： y = y
1 2
D： 不能确定
4 下列四个点中，恰好与点( −2,4)在同一个正比例函数图象上的是（ ）
87/94
A： (4, −2)
B： (2, −4)
C： ( −4,2)
D： (2,4)
5 一次函数y = 4x−2的图象关于y轴对称直线的函数解析式为（ ）
A： y = −4x−2
B： y = −4x+2
C： y = 4x+2
D： y = −4x+4
6 k
如图，点A(m,1)、B(2,n)在双曲线y = (k ≠ 0)上，连接OA，OB．若S = 8，则k的值是
△ABO
x
（ ）
A： −12
B： −8
C： −6
D： −4
7 k
反比例函数y = 的图像经过点( −2,3)，则它还经过点（ ）
x
A： (6, −1)
B： ( −1, −6)
88/94
C： (3,2)
D： ( −2, −3)
8 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，
k
∠ABC = 90∘ ，CA⊥x轴，点C在函数y = (x > 0)的图象上，若AB = 1，则k的值为（ ）
x
A： 1
B： √2
2
C： √2
D： 2
9 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲
超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元
之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元(x > 300)．
(1)请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
(2)李明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由；
(3)计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？
10 m
如图，已知一次函数y = kx+b与反比例函数y = 的图象在第一、第三象限分别交于A(3,4)，
1 2
x
B(a, −2)两点，直线AB与y轴，x轴分别交于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）比较大小：AD________BC（填“＞”或“＜”或“＝”）；
（3）直接写出y < y 时x的取值范围．
1 2
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第 7 讲 一轮复习之一次函数与反比例函数
课堂落实答案
1 3
设点A(a,b)是正比例函数y = − x图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是( )
4
A： 4a+3b = 0
B： 4a−3b = 0
C： 3a−4b = 0
D： 3a+4b = 0
2 如图，一次函数y = x+b与一次函数y = kx+4的图象交于点P(1,3)，则关于x的不等式
1 2
x+b > kx+4的解集是( )
A： x > −2
B： x > 0
90/94
C： x > 1
D： x < 1
3 k
点A(−3,2)在反比例函数y = （k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
x
A： −6
B： 3
−
2
C： −1
D： 6
4 m+1
已知点A是直线y = 2x与双曲线y = (m为常数）一支的交点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，
x
且OB = 2，则m的值为（ ）
A： −7
B： −8
C： 8
D： 7
5 3 7
如图所示，曲线是反比例函数y = 与y = − 在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点
x x
C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点，若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于（ ）
A： 5
B： 4
91/94
C： 10
D： 20
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第 7 讲 一轮复习之一次函数与反比例函数
精选精练
1 P ( −2,a)，P (3,b)是正比例函数y = −x图象上两点，则下列判断正确的是（ ）
1 2
A： a > b
B： a < b
C： a = b
D： 不能确定
2 对于一次函数y = kx+k−1(k ≠ 0)，下列叙述正确的是（ ）
A： 当0 < k < 1时，函数图象经过第一、二、三象限
B： 当k > 0时，y随x的增大而减小
C： 当k < 1时，函数图象一定交y轴于负半轴
D： 函数图象一定经过点(−1, −2)
3 如图，直线y = 2x+4与x、y轴分别交于A、B两点，以OB为边在y轴右侧作等边△OBC，将点C向左
′ ′
平移，使其对应点C 恰好落在直线AB上，则点C 的坐标为______________．
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4 12
已知点A(1,a)与点B(3,b)都在反比例函数y = − 的图象上，则a与b之间的关系是（ ）
x
A： a > b
B： a < b
C： a ≥ b
D： a = b
5 从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路
返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知
小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时
多5km．设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数
关系．
（1）小明骑车在平路上的速度为________km/h；他途中休息了__________h；
（2）求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式；
（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？
6 4
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y = kx−3与双曲线y = 的两个交点为A、B，其中
x
A(−1 , m)．
（1）求m的值及直线的表达式．
（2）若点M为x轴上一个动点，且△AMB为直角三角形，直接写出满足条件的点M的个数．
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