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能力提高 / 初三 / 春季
第 1 讲 一轮复习之二次函数（一）
例题练习题答案
例1 2
抛物线y = ax −2x+c与x轴交点坐标为A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交点坐标为C(0,n)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积．
例2 2
已知二次函数y = x +mx+n的图象经过点(2,4)，且其顶点在直线y = 2x+1上，则它的解析式为
（ ）
A： 2
y = x −x+2
B： 2
y = x −2x+3
C： 2
y = x −2x+5
D： 2
y = x −2x+4
例3 2
已知抛物线y = x −2ax+a−1．
(1)若抛物线经过原点，求a的值；
(2)若抛物线的对称轴是直线x = 3，求a的值；
(3)过(0,1)作一条与x轴平行的直线，交抛物线于A、B两点，若AB = 4，求a的值．
例4 2
抛物线y = x +bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的
面积为1，则b的值为_____．
例5 1
2 2 2
如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y = −3x ，②y = − x ，③y = −x 的图象，则从
2
里到外的三条抛物线对应的函数依次是__________．（填序号）
1/118
例6 2 2 2 2
如图为函数：y = x −1，y = x +6x+8，y = x −6x+8，y = x −12x+35在同一平面直角坐标系
2
中的图象，其中最有可能是y = x −6x+8的图象的序号是 ．
例7 2
二次函数y = ax +bx的图象如图所示，则一次函数y = ax+b的图象大致是（ ）
A：
B：
2/118
C：
D：
例8 2
二次函数y = ax 与一次函数y = ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A：
B：
C：
D：
3/118
例9 2
已知a，b是非零实数，|a| > |b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y = ax +bx与一次函数
1
y = ax+b的大致图象不可能是（ ）
2
A：
B：
C：
D：
例10 2
已知二次函数y = ax +bx+c中的y与x的部分对应值如下表：
x −1 0 1 3
y −3 1 3 1
下列结论中：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x = 1；③当x < 1时，函数值y随x的增大
2 2 2
而增大；④方程ax +bx+c = 0有一个根大于4；⑤若ax +bx = ax +bx ，且x ≠ x ，则
1 1 2 2 1 2
x +x = 3，其中正确的结论有（ ）
1 2
A： ①②③
4/118
B： ①②③④⑤
C： ①③⑤
D： ①③④⑤
例11 2
小轩从如图所示的二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc < 0
3
2
；②a+b+c < 0；③b+2c > 0；④4ac−b > 0；⑤a = b．你认为其中正确信息的个数有
2
（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
例12 2
二次函数y = ax +bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x = 1．下列结论：①abc < 0； ②
2 2
3a+c > 0；③(a+c) −b < 0；④a+b < m(am+b)（m为实数）．其中结论正确的个数为
（ ）
A： 1个
B： 2个
5/118
C： 3个
D： 4个
能力提高 / 初三 / 春季
第 1 讲 一轮复习之二次函数（一）
自我巩固答案
1 2
若二次函数y = x +bx−16的图象的对称轴是经过点(3,0)且平行于y轴的直线，则该抛物线与x轴
的交点坐标是 ．
2 函数y＝x 2 +bx+c的图像经过（1，0）和（2，5）两点，
（1）求这个函数的解析式；
（2）这个函数的顶点坐标是 ．
3 1
2 2 2
关于y = x ，y = x ，y = 3x 的图象，下列说法中不正确的是（ ）
3
A： 顶点相同
B： 对称轴相同
C： 图象形状相同
D： 最低点相同
4 1
2 2 2
如图所示，在同一坐标系中，作出①y = 3x ②y = x ③y = x 的图象，则图象从里到外的三条抛
2
物线对应的函数依次是_____________（填序号）．
5 2
在同一直角坐标系中，一次函数y = ax−b和二次函数y = −ax −b的大致图象是（ ）
6/118
A：
B：
C：
D：
6 2
在同一个直角坐标系中，函数y = ax+b与y = bx +a的图象可能是（ ）
A：
B：
C：
7/118
D：
7 2
二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)中的x与y的部分对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 …
给出以下结论：
2
（1）二次函数y = ax +bx+c有最小值，最小值为﹣3；
1
（2）当− < x < 2时，y < 0；
2
( ) ( )
（3）已知点A x ,y 、B x ,y 在函数的图象上，则当−1 < x < 0，3 < x < 4时，y > y ．
1 1 2 2 1 2 1 2
上述结论中正确的结论个数为（ ）
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
8 2 2
已知函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象如图，给出下列4个结论：①abc > 0； ②b > 4ac； ③
4a+2b+c > 0；④2a+b = 0．其中正确的有（ ）个．
A： 1
B： 2
8/118
C： 3
D： 4
9 2
如图，根据二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象，有下列几种说法：
① a+b+c > 0； ② 该 抛 物 线 的 对 称 轴 是 直 线 x = −1； ③ 当 x = 1 时 ， y = 2a； ④
2
am +bm+c > 0(m ≠ −1)． 其中正确的个数是（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
10 2
如图，二次函数y = ax +bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB = OC，下列结
1
2 2
论：①b > 1且b ≠ 2；②b −4ac < 4a ；③a > ；其中正确的个数为（ ）
2
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
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第 1 讲 一轮复习之二次函数（一）
课堂落实答案
1 2
已知二次函数y = x −6x−c的图象与x轴的一个交点坐标为(2,0)，则它与x轴的另一个交点的坐标
为 ．
2 2
已知二次函数y = ax +bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
那么关于它的图象，下列判断正确的是（ ）
A： 开口向上
B： 2
x = 3是方程ax +bx+c = 0的一个解
C： 与y轴交于负半轴
D： 在直线x = 1左侧y随x的增大而减小
3 2 2
二次函数y = mx 、y = nx 的图象如图所示，则m n（填“>”或“<”）．
1 2
4 2
二次函数y = ax +bx+c的图象如图所示，那么一次函数y = ax−bc的图象大致是（ ）
10/118
A：
B：
C：
D：
5 2
已知二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象如图，有下列6个结论：
①abc < 0；②b < a−c；③4a+2b+c > 0；④2c < 3b；⑤a+b < m(am+b)，（m ≠ 1、m为实
数）；⑥2a+b+c > 0，其中正确的结论有 ．
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第 1 讲 一轮复习之二次函数（一）
精选精练
1 2
如图：二次函数y = ax +bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的
值为（ ）
A： 1
−
2
B： 1
−
4
C： −1
D： −2
2 2
已知抛物线y = ax +(2−a)x−2 (a > 0)的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴
交于点C．给出下列结论：
①在a > 0的条件下，无论a取何值，点A是一个定点；
②在a > 0的条件下，无论a取何值，抛物线的对称轴一定位于y轴的左侧；
12/118
③y的最小值不大于﹣2；
1+√5
④若AB = AC，则a = ．
2
其中正确的结论有（ ）个．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
3 2 2
在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y = −2x +4mx−2m +2m，线段AB的两个端点分别
为A(1,2)，B(3,2)．
(1)若抛物线经过原点，求出m的值；
(2)求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；
(3) 若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．
4 2 ( ) ( )
已知抛物线y = ax +bx+c 过点A(0,3)，且抛物线上任意不同两点M x ,y ，N x ,y 都满足：
1 1 2 2
( )( ) ( )( )
当x < x < 0时， x −x y −y > 0；当0 < x < x 时， x −x y −y < 0．以原点O为
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°，
则抛物线的解析式为 ．
13/118
5 2 ( )
已知二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象与x轴交于点A(−2,0)、B x ,0 且1 < x < 2，与y轴正
1 1
半轴的交点在(0,2)的上方，顶点为C．直线y＝kx+m（k ≠ 0）经过点C、B．则下列结论：①b > a
；②2a−b > −1；③2a+c < 0；④k > a+b；⑤k < −1，其中正确的结论有 ．
6 2
下图是抛物线y = ax +bx+c(a ≠ 0)图象的一部分，已知抛物线的对称轴是x = 2，与x轴的一个交
点是(−1,0)，有下列结论：①abc > 0；②4a+2b+c > 0；③4a+b = 0；④抛物线与x轴的另一个
( ) ( )
交点是(5,0)；⑤点 −3,y ， 6,y 都在抛物线上，则有y = y ．其中正确的是 ．
1 2 1 2
能力提高 / 初三 / 春季
第 2 讲 一轮复习之二次函数（二）
例题练习题答案
例1 2
二次函数y = (x−1) −3的最小值是_____．
例2 2
当2 ≤ x ≤ 5时，二次函数y = −(x−1) +2的最大值为______．
例3 2 2
已知二次函数y = ax +2ax+3a +3（其中x是自变量），当x ≥ 2时，y随x的增大而增大，且
−2 ≤ x ≤ 1时，y的最大值为9，则a的值为_____．
例4 2
当a ≤ x ≤ a+1时，函数y = x −2x+1的最小值为1，则a的值为( )
A： −1
B： 2
C： 0或2
14/118
D： −1或2
例5 如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简
2
单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y = x +1，则原抛物线的解析式不可能
是（ ）
A： 2
y = x −1
B： 2
y = x +6x+5
C： 2
y = x +4x+4
D： 2
y = x +8x+17
例6 2
如图，将抛物线y = −x +x+5的图象x轴上方的部分沿x轴折到x轴下方，图象的其余部分不变，
得到一个新图象．则新图象与直线y = −5的交点个数为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例7 1 45
2
如图，抛物线y = x −7x+ 与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C ，将C
1 1
2 2
1
向左平移得到C ，C 与x轴交于点B、D，若直线y = x+m与C 、C 共有3个不同的交点，则m的
2 2 1 2
2
取值范围是（ ）
15/118
A： 45 5
− < m < −
8 2
B： 29 1
− < m < −
8 2
C： 29 5
− < m < −
8 2
D： 45 1
− < m < −
8 2
例8 2
已知P( −3,m)和Q(1,m)是抛物线y = x +bx−3上的两点．
（1）求b的值；
2
（2）将抛物线y = x +bx−3的图象向上平移k（是正整数）个单位长度，使平移后的图象与x轴无
交点，求k的最小值；
2
（3）将抛物线y = x +bx−3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到
一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y = x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值
范围．
例9 2
二次函数y = ax +2x过点A(−2,0)和点B，过点A，B作一次函数y = kx+b，若点B的横坐标为1．
1 2
16/118
(1)求出二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，当y > y 时，请直接写出x的取值范围；
2 1
(3)若P点在抛物线y 上，且横坐标为−1，求△ABP的面积．
1
例10 2
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y = ax +bx−3交x轴于点A(−3,0)、B(1,0)，在y轴上有一
点E(0,1)，连接AE．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值．
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第 2 讲 一轮复习之二次函数（二）
自我巩固答案
17/118
1 2
将抛物线y = x 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为
（ ）
A： 2
y = (x+2) −3
B： 2
y = (x+2) +3
C： 2
y = (x−2) +3
D： 2
y = (x−2) −3
2 2
已知二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m,0)和点B，
且m < 4，那么AB的长是（ ）
A： 8−2m
B： m
C： 2m−8
D： 4+m
3 2
已知二次函数y = 2x −4x和一次函数y = −2x，规定：当x任取一个值时，x对应的函数值分别为
1 2
y 、y ，若y ≠ y ，取y 、y 中的较大值为M；若y = y ，则M = y = y ，下列说法错误的是
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
（ ）
A： 当x > 2时，M = y
1
B： 当x < 0时，M随x的增大而减小
C： M的最小值为−2
D： 1
若M = −1，则x =
2
4 1
2
如图，在直角坐标系xOy中，若抛物线l:y = − x +bx+c(b，c为常数）的顶点D位于直线y = −2
2
与x轴之间的区域（不包括直线y = −2和x轴），则l与直线y = −1交点的个数是( )
18/118
A： 0个
B： 1个或2个
C： 0个、1个或2个
D： 只有1个
5 3
2
对于题目“二次函数y = (x−m) +m，当2m−3 ⩽ x ⩽ 2m时，y的最小值是1，求m的值．”甲的
4
结果是m = 1，乙的结果是m = −2，则( )
A： 甲的结果正确
B： 乙的结果正确
C： 甲、乙的结果合在一起才正确
D： 甲、乙的结果合在一起也不正确
6 2
已知抛物线y = ax +bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对
称轴x = 1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b = 0，②x = 3 是
ax 2 +bx+3 = 0的一个根，③ΔPAB周长的最小值是√10+3√2．其中正确的是( )
A： ①②③
B： 仅有①②
19/118
C： 仅有①③
D： 仅有②③
( ) ( )
7 如图，一条抛物线与x轴相交于A x ,0 、B x ,0 两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN
1 2
上移动．M、N的坐标分别为(−1,2)、(1,2)．x 的最小值为−3，则x 的最大值为（ ）
1 2
A： −1
B： 1
C： 3
D： 5
8 如图，已知抛物线的顶点为A(1,4)，抛物线与y轴交于点B(0,3)，与x轴交于C，D两点．点P是x轴
上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当PA +PB的值最小时，求点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点Q（Q与B不重合），使△CDQ的面积等于△BCD的面积？若存在，直
接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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第 2 讲 一轮复习之二次函数（二）
课堂落实答案
1 2
已知二次函数y = x −4x−6，若−1 < x < 6，则y的取值范围为_____．
2 2
如果将抛物线y = x +2x−1向上平移，使它经过点A(0,3)，那么所得新抛物线的表达式是
__________．
3 2
如图，点A，B的坐标分别为(1,4)和(4,4)，抛物线y = a(x−m) +n的顶点在线段AB上运动，与x轴
交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为−3，则点D的横坐标最大值为_____．
4 已知抛物线经过A(−4,0)、B(0, −4)、C(2,0)三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB
的面积为S，则S的最大值为__________．
能力提高 / 初三 / 春季
第 2 讲 一轮复习之二次函数（二）
精选精练
1 如图，在△ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 10cm，BC = 8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运
动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边
形PABQ的面积的最小值为（ ）
21/118
A： 2
19cm
B： 2
16cm
C： 2
12cm
D： 2
15cm
2 2
如图，已知抛物线y = −x +mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3,0)．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA +PC的值最小时，求点P的坐标．
3 2
在平面直角坐标系xOy中，二次函数y = mx −(2m+1)x+m−5的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围；
（2）若m取满足条件的最小的整数，
①写出这个二次函数的解析式；
②当n ≤ x ≤ 1时，函数值y的取值范围是−6 ≤ y ≤ 4−n，求n的值；
③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为
2
y = a(x−h) +k，当x < 2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
4 2
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = mx −4mx+4m+4(m ≠ 0)的顶点为P．P，M两点关于原点
O成中心对称．
（1）求点P，M的坐标；
（2）若该抛物线经过原点，求抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿x轴翻折，翻折后的图象在0 ≤ x ≤ 5的部分记为图象H，点N
为抛物线对称轴上的一个动点，经过M，N的直线与图象H有两个公共点，结合图象求出点N的纵
坐标n的取值范围．
22/118
5 1 5
2
已知二次函数y = x − x+6的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
4 2
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）求过B、C两点的一次函数的解析式；
（3）如果P(x,y)是线段BC上的动点，试求ΔPOA的面积S与x之间的关系式．
6 2
已知：二次函数y = a(x+1) 的图象与一次函数y = kx+k的图象有一个公共点是(1,2)．
1 2
（1）求二次函数及一次函数解析式；
（2）求出另一个交点坐标；
（3）在同一坐标系中画出它们的图象，说明x取何值时，y = y ，y < y ，y > y ．
1 2 1 2 1 2
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第 3 讲 应用题综合
例题练习题答案
例1 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价
x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品
每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
例2 如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千
米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．
当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余
电量．
例3 某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成
本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，
2
经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x＝2n ﹣
2kn+9（k+3）（k为常数），且得到了表中的数据．
24/118
月份n（月） 1 2
成本y（万元/件） 11 12
需求量x（件/月） 120 100
（1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
（2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m．
例4 为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元
购买并投放一批A型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B型单车，B型单车的投
放数量与A型单车的投放数量相同，投资总费用减少20%，购买B型单车的单价比购买A型单车的
单价少50元，则A型单车每辆车的价格是多少元？设A型单车每辆车的价格为x元，根据题意，列
方程正确的是（ ）
A： 200 000 200 000(1−20%)
=
x x−50
B： 200 000 200 000(1+20%)
=
x x−50
C： 200 000 200 000(1−20%)
=
x x+50
D： 200 000 200 000(1+20%)
=
x x+50
例5 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十
一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，
那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x个人共同出钱
买鸡，根据题意，可列一元一次方程为______________．
例6 为了对学生进行革命传统教育，红旗中学开展了“清明节祭扫”活动．全校学生从学校同时出
发，步行4000米到达烈士纪念馆．学校要求九（1）班提前到达目的地，做好活动的准备工作．
25/118
行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达．分别
求九（1）班、其他班步行的平均速度．
例7 某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图1和图2．现有1号、2号两游览车分别从出
口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车
（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分．
探究：设行驶吋间为t分．
（1）当0 ≤ t ≤ 8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y ，y （米） 与t（分）的
1 2
函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；
（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次
数．
发现：如图2，游客甲在BC上的一点K（不与点B，C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK = x
米．
情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；
情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．
比较哪种情况用时较多？（含候车时间）
决策：己知游客乙在DA上从D向出口A走去．步行的速度是50米/分．当行进到DA上一点P （不与
点D，A重合）时，刚好与2号车迎面相遇．
（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由：____________
（2）设PA = s（0 < s < 800）米．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步
行这两种方式中．他该如何选择？
例8 某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位
每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴
纳管理费．
（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？
26/118
（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和
4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6
月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测
算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动
二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%，毎个摊位的
3
管理费将会减少 a%；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积
10
1
个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少 a%．这样，参加活动二的这部分商户6月份
4
5
总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少 a%，求a的值．
18
能力提高 / 初三 / 春季
第 3 讲 应用题综合
自我巩固答案
1 某校暑假准备组织该校的“三好学生”参加夏令营，由1名老师带队．
甲旅行社说：“若老师买全票一张，则学生可享受半价优惠．”
乙旅行社说：“包括老师在内都6折优惠”
若全票价是1200元，则：
（1）设三好学生人数为x人，则参加甲旅行社的费用是_________元；参加乙旅行社的费用是
________元．
（2）当学生人数取何值时，选择参加甲旅行社比较合算？
2 某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表．若工厂计划投入资金成本不超
过35万元，且获利不低于16万元．设生产A产品x件，总获利为y万元．
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
27/118
利润（万元/件） 1 3
（1）求出y与x的关系式，并求出自变量x的取值范围．
（2）如何安排生产获利最大？并求出最大利润．
3 某商店经销《超能陆战队》超萌“小白”玩具，“小白”玩具每个进价60元．为进行促销，商店
制定如下“优惠”方案：如果一次销售数量不超过10个，则销售单价为100元/个；如果一次销售
数量超过10个，每增加一个，所有“小白”玩具销售单价降低1元/个，但单价不得低于80元/个．
一次销售“小白”玩具的单价y（元/个）与销售数量x（个）之间的函数关系如图所示．
（1）求m的值并解释射线BC所表示的实际意义；
（2）写出该店当一次销售x个时，所获利润w（元）与x（个）之间的函数关系式；
（3）店长经过一段时间的销售发现：即并不是销量越大利润越大（比如，卖25个赚的钱反而比
卖30个赚的钱多）．为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把原来的最低单价
80（元/个）至少提高到多少元/个？
能力提高 / 初三 / 春季
第 3 讲 应用题综合
课堂落实答案
1 某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销
点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为10元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，
并将记录情况绘制成图象，图中的折线ABC表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数
关系．
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
28/118
（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数表达式，并求出日销售利润不超
过1040元的天数共有多少天？
（3）若5 ≤ x ≤ 17，直接写出第几天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少元（不用说明理
由）
能力提高 / 初三 / 春季
第 3 讲 应用题综合
精选精练
1 在“国庆节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得
利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/
个）之间的对应关系满足关系式：y = −30x+600，许愿瓶的进价为6元/个．
（1）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系
式；
（2）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，
并求出此时的最大利润．
2 “十一”黄金周期间，朱老师组织朋友去某影视城旅游．现有两家旅行社．报价都为520元．且提
供服务完全相同．但针对组团游的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费； 乙旅行社表示，若
人数不超过18人，每人都按八折收费．若超过18人，则超出部分按七五折收费，假设组团参加甲
乙两家旅行社旅游的人数均为x人．
（1）请分别写出甲，乙两家旅行社收取组团游的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式．
（2）如果朱老师和朋友一共有30人去旅游．那你计算下，在甲、乙两家旅行社中，朱老师应选择
哪家？
3 方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的
时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的
29/118
部分正确信息，乙先出发1h，甲出发0.5小时与乙相遇，请你帮助方成同学解决以下问题：
(1)分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式．
(2)当20 < y < 30时，求t的取值范围．
(3)分别求出甲、乙行驶的路程S 、S 与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别
甲 乙
画出它们的图象．
(4) 4
丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一条公路匀速前往M地，若丙经过 h与乙相遇，问丙
3
出发后多少时间与甲相遇．
4 国庆期间，为了满足百姓的消费需求，某商店计划用170000元购进一批家电，这批家电的进价和
售价如表：
类别 彩电 冰箱 洗衣机
进价（元/台） 2000 1600 1000
售价（元/台） 2300 1800 1100
若在现有资金允许的范围内，购买表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该
商店购买冰箱x台．
30/118
(1)商店至多可以购买冰箱多少台？
(2)购买冰箱多少台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？
5 某商店销售一种水产品，其成本价为40元∕千克，若按50元∕千克销售，一个月可售出500千克，市
场调查发现，销售价每涨1元，月销售量将减少10千克．
（1）设月销售量为y（单位：千克），销售单价为x（单位：元∕千克），月销售利润为w（单位：
元），分别写出y与x的函数关系式和w与x的函数关系式；
（2）当销售单价定为55元时，计算月销售量和销售利润；
（3）商店想使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（4）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
6 某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准．按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与
3
每月用水量x（m ）之间的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
3 3
（2）若某用户二、三月份共用水40m （二月份用水量不超过25m ），缴纳水费79.8元，则该用
3
户二、三月份的用水量各是多少m ？
能力提高 / 初三 / 春季
第 4 讲 解三角形
例题练习题答案
例1
31/118
(1) 如图，△ABC中，∠B = 60∘ ，∠C = 75∘ ，AC = 3√2，求AB的长．
(2) 已知：如图，在△ABC，BC = 2，S ＝3，∠ABC = 135∘ ，求AC和AB的长．
△ABC
(3) △ABC中，AB = 12，AC = √39，∠B = 30∘ ，则△ABC的面积是__________．
例2
(1) 如图，在△ABC中，∠ABC = 90∘ ，∠A = 30∘ ，D是边AB上一点，∠BDC = 45∘ ，AD = 4，
求BC的长．（结果保留根号）
(2)如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两
点，点A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC = 75∘ ，∠BPD = 30∘ ，
则河流的宽度约为________米．
32/118
例3 1
如图，在△ABC中，∠C = 150∘ ，AC = 4，tanB = ．
8
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15∘ 的值．（精确到0.1，参考数据：√2 = 1.4，√3 = 1.7，√5 = 2.2）
例4
(1) 4 1
已知：如图， △ ABC中，AC = 10，sinC = ，sinB = ，求AB．
5 3
(2) 1 √2
如图，AD是△ABC的中线，tanB = ，cosC = ，AC = √2．求：
3 2
①BC的长；
②sin∠ADC的值．
例5 如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B
点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国
歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：
sin37∘ ≈ 0.60，cos37∘ ≈ 0.80，tan37∘ ≈ 0.75）
33/118
例6 如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°．
求这两座建筑物AB，CD的高度．（结果保留小数点后一位，√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732．）
例7 如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i = 1:1．为了测量山顶
A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα = 2，tanβ = 4，
求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．
例8 如图，高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂直，展开小桌板后，桌面会保
持水平，其中图1、图2分别是小桌板收起时和展开时的实物，图3中的实线是小桌板展开后的示意
图，其中OB表示小桌板桌面的宽度，BC表示小桌板的支架，连接OA，此时OA = 75厘米，
∠AOB = ∠ACB = 37∘ ，且支架长BC与桌面宽OB的长度之和等于OA的长度，求点B到AC的距
离．（参考数据sin37∘ ≈ 0.6，cos37∘ ≈ 0.8，tan37∘ ≈ 0.75）
34/118
例9 如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端
B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若
坡角∠FAE = 30∘ ，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48∘ ≈ 0.74，cos48∘ ≈ 0.67
，tan48∘ ≈ 1.11，√3 ≈ 1.73）
例10 车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置
（如图1中②的位置），例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车
身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到
车身宽度，则车辆就能通过．
（1）试说明长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯；
（2）为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（分别是以O为圆心，
′
以OM和ON为半径的弧），具体方案如图3，其中OM⊥OM ，请你求出ON的最小值．
能力提高 / 初三 / 春季
第 4 讲 解三角形
自我巩固答案
1 3
如图，在 △ ABC中，∠C = 90∘ ，AM是BC边上的中线，sin∠CAM = ，求tanB的值．
5
35/118
2 为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置
一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示，该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观
测到旗杆顶A（此时∠AEB = ∠FED)，在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3∘ ，平面镜E的俯角为45∘
，FD = 1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3∘ ≈ 0.82，
tan84.3∘ ≈ 10.02）
3 如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，
该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向
正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：√3 = 1.73）
4 如图，为了测得电视塔的高度EC，在D处用高2米的测角仪AD，测得电视塔顶端E的仰角为45°，
再向电视塔方向前进100米到达B处，又测得电视塔顶端E的仰角为60°，则电视塔的高度EC为
（ ）
36/118
( )
A： 50√3+152 米
( )
B： 52√3+150 米
( )
C： 50√3+150 米
( )
D： 52√3+152 米
5 5
如图，Rt △ ABC中，∠ACB = 90∘ ，cosA = ，D为AB上一点，且AD:BD = 1:2，若BC = 3√11
6
，求CD的长．
6 钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一
日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最
近距离为14.4km（即MC = 14.4km）．在A点测得岛屿的西端点M在点A的北偏东42∘ 方向；航行
4km后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东56∘
方向，（其中N，M，C在同一条直线
上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin42∘ ≈ 0.67，
cos42∘ ≈ 0.74，tan42∘ ≈ 0.90，sin56∘ ≈ 0.83，cos56∘ ≈ 0.56，tan56∘ ≈ 1.48）
37/118
能力提高 / 初三 / 春季
第 4 讲 解三角形
课堂落实答案
1 1
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C = 90∘ ，AC = 6，D是AC上一点，若tan∠DBA = ，则AD
5
的长为_________．
2 在中俄“海上联合2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30∘
，位于军舰A正上方1000
米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68∘
，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．
（结果保留整数，参考数据：sin68∘ ≈ 0.9，cos68∘ ≈ 0.4，tan68∘ ≈ 2.5，√3 ≈ 1.7)
能力提高 / 初三 / 春季
第 4 讲 解三角形
精选精练
38/118
1 AB
如图，Rt △ ABC中，∠ACB = 90∘ ，点D是BC边上一点．若∠B = α，∠ADC = β，则 为
AD
（ ）
A： sinα
sinβ
B： cosα
cosβ
C： sinβ
sinα
D： cosβ
cosα
2 如图，一架木梯AB的长为2.8米，梯子靠在竖直的墙上，测得木梯与地面的夹角∠ABC = 70∘ ，求
这架木梯的顶端离地面的距离AC是多少米？（结果精确到0.1，已知sin70∘ ≈ 0.94，cos70∘ ≈ 0.34
，tan70∘ ≈ 2.75，cos20∘ ≈ 0.94．）
3 如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测
得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE = 1.5米，则这棵树的高度为______米．（结果保留一
位小数．参考数据：sin54∘ = 0.8090，cos54∘ = 0.5878，tan54∘ = 1.3764）
39/118
4 如图，湛河两岸AB与EF平行，小亮同学假期在湛河边A点处，测得对岸河边C处的视线与湛河岸的
夹角∠CAB = 37∘ ，沿河岸前行140米到点B处，测得对岸C处的视线与湛河岸夹角∠CBA = 45∘ ，
问湛河的宽度约多少米？（参考数据：sin37∘ ≈ 0.60，cos37∘ ≈ 0.80，tan37∘ ≈ 0.75）
5 如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出
发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人
测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函
数和根式表示即可）
6 如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角
是45∘ ，信号塔底端点Q的仰角为31∘ ，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角
是68∘ ，求信号塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin68∘ ≈ 0.93，cos68∘ ≈ 0.37，
tan68∘ ≈ 2.48，tan31∘ ≈ 0.60，sin31∘ ≈ 0.52，cos31∘ ≈ 0.86）
40/118
能力提高 / 初三 / 春季
第 5 讲 一次函数与反比例函数
例题练习题答案
例1 √3 √3
如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（− ，0），（ ，1），连接AB，以AB为
2 2
边向上作等边三角形ABC．
（1）求点C的坐标；
（2）求线段BC所在直线的解析式．
例2 在平面直角坐标系中，直线y = kx+4(k ≠ 0)交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．
（1）k的值是 ；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点E为线段OB的中点，当四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；
33
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为 ，请直接写出点C的坐标．
4
例3 一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后都停留了一
段时间，然后分别按原速度一同驶往甲地后停车．设慢车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y
千米，图中折线表示y与x之间的函数图象，请根据图象解决下列问题：
41/118
（1）甲乙两地之间的距离为__________千米；
（2）求快车和慢车的速度；
（3）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
例4 某车间的甲、乙两名工人分别同时生产500只同一型号的零件，他们生产的零件y（只）与生产时
间x（分）的函数关系的图象如图所示．根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）甲每分钟生产零件_______只；乙在提高生产速度之前已生产了零件________只；
（2）若乙提高速度后，乙的生产速度是甲的2倍，请分别求出甲、乙两人生产全过程中，生产的
零件y（只）与生产时间x（分）的函数关系式；
（3）当两人生产零件的只数相等时，求生产的时间；并求出此时甲工人还有多少只零件没有生
产．
例5 1 k 1
如图，点P是直线y = x+2与双曲线y = 在第一象限内的一个交点，直线y = x+2与x轴、y轴的
2 x 2
交点分别为A、C，过P作PB垂直于x轴，若AB +PB = 9，则ΔPBC的面积为（ ）
42/118
A： 1
B： 2
C： 3
D： 6
例6 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别
k
为4、2，反比例函数y = （x > 0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2√5，则k的值
x
为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 6
例7 k
如图，反比例函数y = (x < 0)的图象经过点A(−1,1)，过点A作AB⊥y 轴，垂足为B，在y轴的正半
x
轴上取一点P(0,t)，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此
反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
43/118
A： 1+√5
2
B： 3
2
C： 4
3
D： −1+√5
2
例8 8
如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y = (x > 0)的图象交于A、B两点，与x轴交
x
2
于点C，且点B是AC的中点，分别过A、B两点作x轴的平行线，与反比例函数y = (x > 0)的图象交
x
于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为________．
例9 如图，点A(m,6)，B(n,1)在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC = 5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
1
（2）连接AB，E是线段AB上一点，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF = AD
3
，求出点E的坐标．
44/118
例10 k
如图，一次函数y = x+4的图象与反比例函数y = （k为常数，且k ≠ 0）的图象交于A(−1,a)，
x
B(b,1)两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA +PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求ΔPAB 的面积．
能力提高 / 初三 / 春季
第 5 讲 一次函数与反比例函数
自我巩固答案
1 如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为(10,0)，对角线OB、AC相交于D点，反比例
k
函数y = (x > 0)的图象经过D点，交BC的延长线于E点，且OB ⋅AC = 160，有下列四个结论：①
x
40 4
反比例函数的解析式为y = (x > 0)；②E点的坐标是(5,8)；③sin∠COA = ；
x 5
45/118
④AC+OB = 12√5．其中正确的结论有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反
k
比例函数y = (x > 0)与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD = 3AD，且△ODE的面积是9，则
x
k = （ ）
A： 9
2
B： 27
4
C： 24
5
D： 12
46/118
3 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(−2,0)的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点O顺时
针旋转90∘
后，分别与x轴、y轴交于点D、C．
（1）若OB = 4，求直线AB的函数关系式；
（2）连接BD，若ΔABD 的面积是5，求点B的运动路径长．
4 甲、乙两人匀速从同一地点到1500米外的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同
一路线行走．设甲、乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），s关于t的函数图象的一部分如
图所示．
(1)求甲行走的速度;
(2)在坐标系中，补画s关于t的函数图象的其余部分（可适当延长坐标轴）；
(3)问甲、乙两人何时相距 360 米?
5 k
在平面直角坐标系中，点A(−3,4)关于y轴的对称点为点B，连接AB，反比例函数y = (x > 0)的图
x
象经过点B，过点B作BC⊥x 轴于点C，点P是该反比例函数图象上任意一点，过点P作PD⊥x轴于
点D，点Q是线段AB上任意一点，连接OQ、CQ．
47/118
(1)求k的值；
(2)判断△QOC与△POD的面积是否相等，并说明理由．
能力提高 / 初三 / 春季
第 5 讲 一次函数与反比例函数
课堂落实答案
1 k
如图，点A、B在反比例函数y = (k > 0,x > 0)的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别
x
为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM = MN = NC，△AOC的面积为6，则k的值为_______．
2 某景区的三个景点A，B，C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C，乙乘
景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离开景点A后的路
程S（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示．
根据以上信息回答下列问题：
（1）乙出发后多长时间与甲相遇？
（2）若当甲到达景点C时，乙与景点C的路程为360米，则乙从景点B步行到景点C的速度是多
少？
48/118
能力提高 / 初三 / 春季
第 5 讲 一次函数与反比例函数
精选精练
1 1
如图，平面直角坐标系中，直线y = − x+b交y轴于点A(0,1)，交x轴于点B．直线x = 1交AB于点
3
D，交x轴于点E，P是直线x = 1上一动点，且在点D的上方，设P(1,n)．
①求直线AB的解析式和点B的坐标；
②求△ABP的面积（用含n的代数式表示）．
2 小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96
m/min速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出
发后经过tmin，小明与家之间的距离为s m，小明爸爸与家之间的距离为s m，图中折线OABD、
1 2
线段EF分别表示s 、s 与t之间的函数关系的图象．
1 2
（1）求s 与t之间的函数关系式；
2
（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？
49/118
3 1 m
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A( ,2)，B(3,n)在反比例函数y = （m为常数）的图象G
2 x
上，连接AO并延长与图象G交于点C，过点A的直线l 与x轴的交点为点D(1,0)，过点C作CE//x 轴
交直线l于点E．
（1）求m的值及直线l对应的函数表达式；
（2）求点E的坐标；
（3）求证：∠BAE = ∠ACB．
4 有一项工作，由甲、乙合作完成，工作一段时间后，甲改进了技术，提高了工作效率．设甲的工
作量为y （件），乙的工作量为y （件），甲、乙合作完成的工作量为y（件），工作时间
甲 乙
为x（时）．y与x之间的部分函数图象如图①所示，y 与x之间的部分函数图象如图②所示．
乙
（1）分别求出甲2小时、6小时的工作量．
（2）当0 ≤ x ≤ 6时，在图②中画出y 与x的函数图象，并求出y 与x之间的函数关系式．
甲 甲
（3）求工作几小时，甲、乙完成的工作量相等．
（4）若6小时后，甲保持第6小时的工作效率，乙改进了技术，提高了工作效率．当x = 8时，甲、
乙之间的工作量相差30件，求乙提高工作效率后平均每小时做多少件．
50/118
5 2
−k −1
已知反比例函数y = （k为常数）．
x
(1−√3 ) ( 1 )
（1）若点P ,y 和点P − ,y 是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性
1 1 2 2
2 2
质比较y 和y 的大小；
1 2
（2）设点P(m,n)(m > 0)是其图象上的一点，过点P作PM⊥x轴于点M．若tan∠POM = 2 ，
2
k +1
PO = √5（O为坐标原点），求k的值，并直接写出不等式kx+ > 0的解集．
x
6 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A、点C分别
k
在x轴、y轴的正半轴上，函数y = 2x的图象与CB交于点D，函数y = （k为常数，k ≠ 0）的图象经
x
过点D，与AB交于点E，与函数y = 2x的图象在第三象限内交于点F，连接AF、EF．
k
（1）求函数y = 的表达式，并直接写出E、F两点的坐标；
x
（2）求 △ AEF 的面积．
51/118
能力提高 / 初三 / 春季
第 6 讲 统计与概率
例题练习题答案
例1
(1)甲、乙两组各有12名学生，组长绘制了本组5月份家庭用水量的统计图表，如图，
甲组12户家庭用水量统计表
用水量（吨） 4 5 6 9
户数 4 5 2 1
比较5月份两组家庭用水量的中位数，下列说法正确的是（ ）
A： 甲组比乙组大
B： 甲、乙两组相同
C： 乙组比甲组大
D： 无法判断
(2)今年，某省启动了“爱护眼睛保护视力”仪式，某小学为了了解各年级戴近视镜的情况，对
一到六年级近视的学生进行了统计，得到每个年级的近视的儿童人数分别为
20、30、20、34、36、40，对于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A： 平均数是30
B： 众数是20
C： 中位数是34
52/118
D： 176
方差是
3
例2 2019年淮安市“周恩来读书节”活动主题是“阅读，遇见更美好的自己”．为了解同学们课外阅
读情况，王老师对某学习小组10名同学5月份的读书量进行了统计，结果如下（单位：本）：5，
5，3，6，3，6，6，5，4，5，则这组数据的众数是（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
例3 2018年，宣传部主办“节约之星”活动，表彰节水先进典型，宣传部号召全社会以节水先进典型
为榜样，牢固树立节约用水理念，争做节俭美德的传承者，节约用水的践行者．小鹏想了解某小
区住户月均用水情况，随机调查了该小区部分住户，并将调查数据绘制成如图所示的频数分布直
方图（不完整）和如下的频数分布表．
月均用水量x（吨） 频数（户） 频率
0 < x ≤ 4 12 a
4 < x ≤ 8 32 0.32
8 < x ≤ 12 b c
12 < x ≤ 16 20 0.2
16 < x ≤ 20 8 0.08
20 < x ≤ 24 4 0.04
（1）求a，b，c的值，并将如图所示的频数分布直方图补充完整；
（2）求月均用水量超过12吨的住户占所调查总住户的百分比；
（3）若该小区有1000户住户，根据所调查的数据，该小区月均用水量没有超过8吨的住户有多
少？
53/118
例4 8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为
整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）． 【2019年南
通】
平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率
一班 7.2 2.11 7 6 92.5% 20%
二班 6.85 4.28 8 8 85% 10%
根据图表信息，回答问题：
（1）用方差推断， 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断， 班的阅读水平更好些；
（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更
好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？
例5
(1)不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中
一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A： 摸出的是3个白球
B： 摸出的是3个黑球
54/118
C： 摸出的是2个白球、1个黑球
D： 摸出的是2个黑球、1个白球
(2)一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取
得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）
A： m+n = 4
B： m+n = 8
C： m = n = 4
D： m = 3，n = 5
例6
(1)下列事件中，是必然事件的是（ ）
A： 购买一张彩票，中奖
B： 通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
C： 明天一定是晴天
D： 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
(2)一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取
1
得的球是白球的概率是 ，则m+n = _______．
3
例7 如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红
色区域的概率等于 ．
例8 如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．如图2，正方
形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是
几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．
55/118
如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D
开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B；…
设游戏者从圈A起跳．
（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P ；
1
（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P ，并指出她与嘉嘉落回到圈A的
2
可能性一样吗？
例9 某学校为了丰富学生课余生活，决定开设以下体育课外活动项目：A．版画 B．保龄球 C．航模
D．园艺种植，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果
绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有_________人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的保龄球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两
名参加保龄球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
例10 如图，放在平面直角坐标系中的圆O的半径为3，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子，
它有四个顶点，各顶点数分别是1，2，3，4，每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将
骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐
标）．
（ 1 ） 若 第 一 次 骰 子 朝 上 的 点 数 为 1 ， 第 二 次 骰 子 朝 上 的 点 数 为 2 ， 此 时 点
P____（填“是”或“否”）落在圆O内部；
（2）请你用树状图或列表的方法表示出P点坐标的所有可能结果；
56/118
（3）求点P落在圆O面上（含内部与边界）的概率．
例11 如图，放在平面直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面
体骰子（如图，它有四个顶点，各顶点数分别是1、2、3、4），每个顶点朝上的机会是相同的，
连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次
的点数为纵坐标）．
（1）求点P落在正方形面上（含边界，下同）的概率；
1
（2）将正方形ABCD平移数个单位，是否存在一种平移，使点P落在正方形面上的概率为 ？若存
4
在，指出其中的一种平移方式；若不存在，说明理由．
例12 如图，甲、乙两个转盘分别被分成了3等份与4等份，每份内均标有数字．分别旋转这两个转盘，
将转盘停止后指针所指区域内的两数相乘．
（1）请将所有可能出现的结果填入下表：
乙
积 1 2 3 4
甲
1
2
3
57/118
（2）积为9的概率为 ；积为偶数的概率为 ；
（3）从1 ∼ 12这12个整数中，随机选取1个整数，该数不是（1）中所填数字的概率为 ．
能力提高 / 初三 / 春季
第 6 讲 统计与概率
自我巩固答案
1 某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A： 21，21
B： 21，21.5
C： 21，22
D： 22，22
2 下列说法正确的是（ ）
A： 掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件
B： 2 2
甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差是S = 0.4，S
甲 乙
= 0.6，则甲的射击成绩更稳定
58/118
C： 1
“明天降雨的概率为 ”，表示明天有半天都在降雨
2
D： 了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式
3 为了解中考体育科目训练情况，某地从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次考前体育科
目测试，把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格，并将测
试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）请将两幅不完整的统计图补充完整；
（2）如果该地参加中考的学生将有4500名，根据测试情况请你估计不及格的人数有多少？
（3）从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是D级的概率是多少？
4 某水果公司购进10000kg苹果，公司想知道苹果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若干个进行统
计，部分结果如下表：
苹果总质量n(kg) 100 200 300 400 500 1000
损坏苹果质量m(kg) 10.50 19.42 30.63 39.24 49.54 101.10
m
苹果损坏的频率
0.105 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101
n
（结果保留小数点后三位）
估计这批苹果损坏的概率为___________（结果保留小数点后一位），损坏的苹果约为
____________kg．
能力提高 / 初三 / 春季
59/118
第 6 讲 统计与概率
课堂落实答案
1 某学院举行“我说我校训”大学生演讲比赛，参赛选手共有12名．梦梦根据比赛中七位评委所给
的某位参赛选手的分数制作了如下表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不
发生变化的是（ ）
众数 中位数 平均数 方差
9.2 9.1 9.1 0.2
A： 众数
B： 中位数
C： 平均数
D： 方差
2 在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸
2
出一个球，它是白球的概率为 ，则n = _________．
3
3 在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示的正整数
后，背面向上，洗匀放好．
2 2 2
（1）我们知道，满足a +b = c 的三个正整数a，b，c成为勾股数，嘉嘉从中随机抽取一张，求
抽到的卡片上的数是勾股数的概率P ；
1
（2）琪琪从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张（卡片用A，B，C，D
表示）．请用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率P ，并指出她与
2
嘉嘉抽到勾股数的可能性一样吗？
4 把一个球任意投入A、B、C、D四个盒子内，则A号盒子无球的概率是( )
60/118
A： 1
B： 1
2
C： 3
4
D： 1
4
5 现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字1，4，5，7，把卡片背面朝上洗匀，两个人依次从
中随机抽取一张卡片不放回，则这两个人抽取的卡片上的数字都是奇数的概率是（ ）
A： 1
3
B： 1
2
C： 2
3
D： 1
4
能力提高 / 初三 / 春季
第 6 讲 统计与概率
精选精练
1 一组数据1，2，a，4，5的平均数是3，则这组数据的方差为__________．
2 如图有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm、4cm、6cm，将圆盘分为三部分，飞镖可以落在
任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是________．
61/118
3 为了解某地某个季度的气温情况，用适当的抽样方法从该地这个季度中抽取30天，对每天的最高
气温x（单位：℃）进行调查，并将所得的数据按照12 ≤ x < 16，16 ≤ x < 20，20 ≤ x < 24，
24 ≤ x < 28，28 ≤ x < 32分成五组，得到如图频数分布直方图．
（1）求这30天最高气温的平均数和中位数（各组的实际数据用该组的组中值代表）；
（2）每月按30天计算，各组的实际数据用该组的组中值代表，估计该地这个季度中最高气温超过
（1）中平均数的天数；
（3）如果从最高气温不低于24℃的两组内随机选取两天，请你直接写出这两天都在气温最高一组
内的概率．
4 大数据在推动经济发展、改善公共服务等方面日益显示出巨大的价值．为创建大数据应用示范城
市，我市某机构针对市民最关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下
面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次参与调查的人数有________人；
62/118
（2）关注城市医疗信息的有________人，并补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D部分的圆心角是________度；
（4）说一条你从统计图中获取的信息．
5 双十一期间，某商厦为了促销，将两张形状完全相同的图片（如图1）从中间剪开，再把得到的四
张形状相同的小图片混合在一起（如图2），放到一个暗箱中，如果顾客在该商厦一次购物满300
元，就可以获得一次抽奖机会，其规则是：从四张图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，
如果抽出的两张小图片恰好能合成一张完整的图片，则可以返还20元的购物券，问：一次抽奖，
顾客获得购物券的概率是多少？
6 如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，转盘A被均匀地分成4等份，每份分别标上1、2、
3、4四个数字；转盘B被均匀地分成6等份，每份分别标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为
甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下：
（1）同时自由转动转盘A与B；
（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针
停留在某一数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到
的积是奇数，那么乙胜（如转盘A指针指向3，转盘B指针指向5，3×5=15，按规则乙胜）．你认为
这样的规则是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由．
能力提高 / 初三 / 春季
第 7 讲 三角形与四边形
63/118
例题练习题答案
例1
(1)如图，B、C、D在同一直线上， △ ABC和 △ DCE都是等边三角形，且在直线BD的同
侧，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N．
①求证：AD = BE；
②求证： △ ABF ∼△ ADB．
(2) 如图，在 △ ABC中，∠ABC = 45∘ ，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE = DC．
①求证： △ BDE≌ △ ADC；
5
②若BC = 8.4，tanC = ，求DE的长．
2
例2 如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．
求证：
（1）∠ECB＝∠FCG；
（2）△EBC≌△FGC．
例3 如图，∠AOB = 120∘ ，OP平分∠AOB，且OP = 2．若点M，N分别在OA，OB上，且 △ PMN为
等边三角形，则满足上述条件的 △ PMN有（ ）
64/118
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 3个以上
例4 如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD
上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF．
(1)若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．
(2) 1
若a：b的值为 ，求k的最大值和最小值．
2
(3)若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．
例5 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点
O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．
例6 如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
65/118
（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
例7 如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，
且AD = 3，DE = 1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H．
（1）求sin∠EAC的值．
（2）求线段AH的长．
例8 已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE ，求证：
OE = OG；
（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC， 交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于
点G．若OE = OG，
①求证：∠ODG = ∠OCE；
②当AB = 1时，求HC的长．
能力提高 / 初三 / 春季
66/118
第 7 讲 三角形与四边形
自我巩固答案
1 如图，在等腰ΔABC中， AB = AC，ΔADE是等边三角形，且DE//BC，AD，AE分别交BC于点
M，N．求证：BM = CN．
2 如图，在ΔABC 中，AB = AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD = ∠B．
（1）求证：AC⋅CD = CP ⋅BP；
（2）若AB = 10，BC = 12，当PD//AB时，求BP的长．
3 1
如图，在□ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE = BC，连接DE，CF．
2
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB = 4，AD = 6，∠B = 60∘ ，求DE的长．
4 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE
与BF交于点P，连接EF、PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB = 4，AD = 6，∠ABC = 60∘ ，求tan∠ADP的值．
67/118
5 如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC
于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM = CN；
MN
（2）若 △ CMN 的面积与 △ CDN 的面积比为3:1，求 的值．
DN
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第 7 讲 三角形与四边形
课堂落实答案
1 如图，锐角△ABC中，∠BAC = 60∘ ，O是BC边上的一点，连接AO，以AO为边向两侧作等边
△AOD和等边△AOE，分别与边AB，AC交于点F，G．求证：AF = AG．
2 如图1，在 △ OAB 中，∠OAB = 90∘ ，∠AOB = 30∘ ，OB = 8．以OB为边，在 △ OAB 外作等边
△ OBC ，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
68/118
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
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第 7 讲 三角形与四边形
精选精练
1 如图，已知在 △ ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，P为BE上一点，D为CF延长线上一
点，且BP = AC，CD = AB，求证：
（1）AD = AP；
（2）DA⊥PA．
2 如图， △ ABC是等边三角形，∠DAE = 120∘ ，求证：AD⋅AE = AB ⋅DE．
3 如图，菱形ABCD中，E、F分别为AD、AB上的点，且AE = AF，连接EF并延长交CB的延长线于点
G，连接BD．
（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；
69/118
（2）连结AG，若∠FGB = 30∘ ，GB = AE = 1，求AG的长．
4 如图1，在ΔABC中，AB = AC，∠BAC = 90∘ ．点D为BC上一动点，连接AD，以AD为一边且
在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）线段CF、BD之间的位置关系为______________，数量关系为_________________；
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图2，（1）中的结论是否依然成立，为什么？
5 已知：如图，D是 △ ABC 的边AB上一点，CN//AB ，DN交AC于点M，MA = MC．
①求证：CD = AN；
②若∠AMD = 2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．
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第 8 讲 圆
例题练习题答案
70/118
例1 如图，在 △ ABC中，∠BAC = 90∘ ，点E在BC边上，且CA = CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于
F，作直径AD，连接DE并延长交AB于点G，连接CD，CF．
(1)求证：四边形DCFG是平行四边形．
(2) 3
当BE = 4，CD = AB时，求⊙O的直径长．
8
例2
(1)如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB = ∠ACB = a，则a的值为（ ）
A： 135∘
B： 120∘
C： 110∘
D： 100∘
(2) 如图，⊙P与x轴交于点A( −5,0)，B(1,0)，与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB = 60∘ ，则点
C的纵坐标为( )
A： √13+√3
71/118
B： 2√2+√3
C： 4√2
D： 2√2+2
例3
(1)如图，⊙O的半径长为3，半径OA⊥OB，C是⊙O上的一点，连接AC交OB于点D，P是OB延
长线上一点，且满足PD = PC = 4，则BP的长为_______．
(2)如图，在 △ ABC中，AB = AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以
O为圆心，OD长为半径的圆过点B．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）若AB = 5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO = ．
(3)已知：如图，在 △ ABC中，AB = AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B
、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．求证：AE与⊙O相切．
72/118
例4 如图，扇形OAB中，∠AOB = 90∘ ．P为弧AB上一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于
点D．若PD = 2，CD = 1，则该扇形的半径长为 ．
例5 如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长
线交于点E．
（1）求证：DC = DE；
1
（2）若tan∠CAB = ，AB = 3，求BD的长．
2
例6 如图，在Rt △ ABC中，∠ACB = 90∘ ，∠A = 30∘ ，点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点
E，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证： △ BDF是等边三角形；
（2）连接AF、DC，若BC = 3，写出求四边形AFCD面积的思路．
例7 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=60°，求线段EF的长．
73/118
例8 如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC//BD，弦AD、BC相交于点E．
(1) ⌢ ⌢
求证：AC = CD；
(2)若CE = 1，EB = 3，求⊙O的半径；
(3)在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ//CB交⊙O于F
，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．
例9 如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线，作BM=AB并与AP交于点M，延
长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AB=BE；
（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长．
例10 如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过OA的中点C作FD//OB交⊙O于D、F两点，且CD = √3，以O
为圆心，OC为半径作弧CE，交OB于E点．
74/118
（1）求⊙O的半径OA的长；
（2）计算阴影部分的面积．
例11 如图，在Rt △ ABC中，∠ABC=90°，AB=2√3，BC=2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作
半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A： 5√3 π
−
4 2
B： 5√3 π
+
4 2
C： 2√3−π
D： π
4√3−
2
例12 如图，四边形ABCD是矩形，AB = 4，AD = 2√2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，
交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 ．
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第 8 讲 圆
自我巩固答案
1 如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为( )
A： π
√3−
2
B： 3
√3− π
2
C： π
2−
3
D： π
√3−
3
2 如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE = 2，EB = 6，∠DEB = 30∘ ，求弦CD的长．
3 已知：如图，点A，B，C三点在⊙O上，AE平分∠BAC，交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直
线l//BC，连接BE．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）如果DE = a，AE = b，写出求BE的长的思路．
76/118
4 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点
C、D、F，与AD相交于点G．
(1)求证：△AFG∽△DFC；
(2)若正方形ABCD的边长为4，AE = 1，求⊙O的半径．
能力提高 / 初三 / 春季
第 8 讲 圆
课堂落实答案
1 ⌢ ⌢
如图，在⊙O中，AB = AC，∠AOB = 40∘ ，则∠ADC的度数是（ ）
A： 40∘
B： 30∘
C： 20∘
77/118
D： 15∘
2 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交⊙O于E，交BC于D．若 ⊙O的半径
为5，AC = 6，那么DE的长为( )
A： 9
√5
5
B： √5
C： 2
D： √3
3 如图，在Rt △ ABC中，∠ABC = 90∘ ，D是AC的中点，过A、B、D三点的圆交CB的延长线于点
E．
(1)求证：AE = CE．
(2)若EF与过A、B、D三点的圆相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD = CF = 2cm，求过
A、B、D三点的圆的直径．
78/118
能力提高 / 初三 / 春季
第 8 讲 圆
精选精练
1 1
如图，扇形AOB为 个圆，半径为4厘米，以它的两条半径为直径，在扇形内部画两个半圆，求阴
4
影部分的面积．
2 在⊙O中，直径AB = 6，BC是弦，∠ABC = 30∘ ，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图1，当PQ//AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
3 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交⊙O于E，交BC于D．若 ⊙O的半径
为5，AC = 6，那么DE的长为( )
A： 9
√5
5
79/118
B： √5
C： 2
D： √3
4 如图，P为⊙O外一点，PB = BC = 6，PA = 4，求AD的长．
5 如图，已知：边长为1的圆内接正方形ABCD中，P为边CD的中点，直线AP交圆于E点．
（1）求弦DE的长．
（2）若Q是线段BC上一动点，当BQ长为何值时，△ADP与以Q，C，P为顶点的三角形相似？
6 如图，AB是⊙O的直径，弧AC = 弧BC，AB = 2，连接AC．
（1）求证：∠CAB = 45∘ ；
（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD = AB，BD所在的直线与AC所
在的直线相交于点E，连接AD．
①试探究AE与AD之间的数量关系，并证明你的结论；
EB
② 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
CD
能力提高 / 初三 / 春季
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第 9 讲 二次函数之三角形构造
例题练习题答案
例1 2 √3
2
抛物线y = − x +2bx与x轴的两个不同交点是点O和点A，顶点B在直线y = x上，则关于ΔOAB
3 3
的判断正确的是（ ）
A： 等腰三角形
B： 直角三角形
C： 等边三角形
D： 等腰直角三角形
例2 2
如图，抛物线y = ax +bx−5与x轴交于A(−2,0)、B(5,0)两点，与y轴交于点C，点P(m,n)为x轴下
方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P分别作x轴、y轴的垂线，D、E为垂足，用含有m的代数式表示四边形OEPD的周长l，
并求出周长l的最大值；
（3）作直线BC、OP，两直线交于点Q，试问是否存在点P，使得ΔQOC是等腰三角形？若存在，
请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
例3 如图，在平面直角坐标系中，直线y = −2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8,4)
，连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断ΔABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，
沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停
止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA = QA？
81/118
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存
在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例4 1 5
2
如图，直线y = x+2与抛物线y = ax +bx+6(a ≠ 0)相交于A( ， )和B(4,m)，点P是线段AB上异
2 2
于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．当ΔPAC为直角三角形时点P的坐标
为_________．
例5 2
如图，抛物线y = ax +bx−4a(a ≠ 0)经过A( −1,0)、C(0,4)两点，与x轴交于另一点B，连接AC，
BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP = 45∘
，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的ΔMAC是直角三角形？若存
在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
82/118
例6 2
已知抛物线y = −x +1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行
线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接PA、PD，PD交
AB于点E，ΔPAD与ΔPEA相似吗？( )
A： 始终不相似
B： 始终相似
C： 只有AB = AD时相似
D： 无法确定
例7 2
如图，二次函数y = ax +bx+2的图象与x轴交于点A(−1,0)、B(4,0)，与y轴正半轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：∠ACB = 90∘ ；
（3）P为抛物线上一点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M，连接OP，若 △ OPM ∽△ ABC ，求点P
的坐标．
能力提高 / 初三 / 春季
第 9 讲 二次函数之三角形构造
自我巩固答案
1 2
抛物线y = ax +bx+c交x轴于A( −1,0)，B(3,0)，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①
2
2a+b = 0；②2c < 3b；③当m ≠ 1时，a+b < am +bm；④当ΔABD是等腰直角三角形时，则
83/118
1
a = ；⑤当ΔABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有( )个．
2
A： 5
B： 4
C： 3
D： 2
2 2
已知:如图,抛物线y = ax −2ax+c(a ≠ 0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE//AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的
坐标;
(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在
这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
3
84/118
2
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线C :y = ax +bx(a < 0)经过点A和x轴上的
1
点B，AO = OB = 2，∠AOB = 120∘ ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）连接AM，求S ；
ΔAOM
（3）设点F是x轴上一点，如果ΔMBF与ΔAOM相似，求所有符合条件的点F的坐标．
能力提高 / 初三 / 春季
第 9 讲 二次函数之三角形构造
课堂落实答案
1 2
在平面直角坐标系中，抛物线y = mx −2x+n与x轴的两个交点分别为A( −3,0)，B(1,0)，C为顶
点．
（1）求m、n的值．
（2）在y轴上是否存在点D，使得ΔACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；
若不存在，说明理由．
能力提高 / 初三 / 春季
第 9 讲 二次函数之三角形构造
85/118
精选精练
1 25
( )
2
已知抛物线y = ax +bx+c的顶点坐标为P −4, − ，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其
2
中B点坐标为(1,0)．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段AC上是否存在这样的点Q使得△ADQ为等腰三角
形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2 2
已知抛物线y = ax +bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;
若不存在,请说明理由.
3 19
2
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y = kx+b与抛物线y = mx − x+n同时经过
4
点A(0,3)、B(4,0)．
86/118
（1）求m，n的值．
（2）点M是二次函数图象上一点，(点M在AB下方)，过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于
点Q．求MN的最大值．
（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，若不存
在，请说明理由．
4 2
抛物线y = ax −4ax+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，点D为抛物线的顶点，连接AB、AC，
已知ΔABC的面积为3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为m，过点P作PQ//AC交y轴于点Q，AQ的长度
为d，求d与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当d = 4时，作DN⊥y轴于点N，点G为抛物线上一点，AG交线段PD于点
M，连接MN，若ΔAMN是以MN为底的等腰三角形，求点G的坐标．
5 2
如图，直线AB经过x轴上一点A(3,0)，且与抛物线y = ax +1相交于B、C两点，点B的坐标为(1,2)
．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）若点D是抛物线上一点，且D在直线BC下方，若S = 3，求点D的坐标；
ΔBCD
（3）设抛物线顶点为M，问在抛物线上是否存在点P使ΔPMC是以MC为直角边的直角三角形？若
存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
87/118
6 如图，已知抛物线的顶点为A(0,2)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y
轴于点B(0,4)，且矩形其面积为32．
（1）此抛物线的解析式．
（2）点P是x轴上一点，若ΔPCF为等腰三角形，请直接写出P点坐标．
能力提高 / 初三 / 春季
第 10 讲 二次函数之四边形构造
例题练习题答案
例1 2
如图，抛物线y = ax +2ax+c(a > 0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．若点E
在x轴上，点P在抛物线上，且以A、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有(
)
A： 1个
B： 2个
88/118
C： 3个
D： 4个
例2 如图，在平面直角坐标系中， △ ABC 是等腰直角三角形，∠BAC = 90∘ ，A(1,0)，B(0,2)，
1
2
C(3,1)抛物线y = x +bx−2的图象过C点，交y轴于点D．
2
（1）在后面的横线上直接写出点D的坐标及b的值：______，b = _____；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l，设l与x轴交于点G(x,0)，当OG等于多少时，恰好将
△ ABC 的面积分为相等的两部分？
（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，直接写出P
点坐标；若不存在，说明理由．
例3 √3
2
如图，抛物线y = x +bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴的另一交点为( − ，0)．
3
（1）求抛物线的解析式；
√3 4
′
（2）若直线y = x+ 与抛物线相交于点A和点B（点A在第二象限），设点A 是点A关于原点O
3 3
′ ′
的对称点，连接A B，试判断△AA B的形状，并说明理由；
′
（3）在问题（2）的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A ，P为顶点的四边形
是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
89/118
例4 1
2
如图，抛物线y = −x +bx+c与直线y = x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为
2
7
( )
3, ．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
2
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由.
(3) 若存在点P,使∠PCF = 45 ∘ ,请直接写出相应的点P的坐标.
例5 3
( )
2
已知抛物线y = ax +bx−2经过点A(−2,0)、C ,0 ，与y轴交于点B，动点P从原点出发以1个单
2
位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q，设点P的运动时间
为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
1
（2）当BQ = AP时，求t的值；
2
（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使四边形BMPQ为平行四边形？若存在，请直
接写出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．
90/118
例6 2
如图，二次函数y = x +bx+c的图象经过A(−1,0)和B(3,0)两点，且交y轴于点C，M为抛物线的顶
点．
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)若将该二次函数图象向上平移m(m > 0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在
△BOC的内部(不包含边界),求m的取值范围;
(3)点P是抛物线上一动点,PQ//BC交x轴于点Q,当以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,求
点P的坐标.
例7 2
如图，已知抛物线y = ax +bx+3(a ≠ 0)经过点A(1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线
BC于点D，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长．
②连接PB，PC，求ΔPBC的面积最大时点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否
存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点
M的坐标；如果不存在，请说明理由．
91/118
能力提高 / 初三 / 春季
第 10 讲 二次函数之四边形构造
自我巩固答案
1 2
如图,抛物线y = x −2x−3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点
的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平
行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
2 2
如图1，抛物线y = ax +bx+3(a ≠ 0)与x轴，y轴分别交于点A( −1,0)，点B(3,0)，点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D(2,m)在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在
一点P，满足∠PBC = ∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形
时，请直接写出点M的坐标．
92/118
3 4√3
如图，抛物线y = ax 2 +bx+c(a ≠ 0)的图象过点M( −2,√3)，顶点坐标为N( −1, )，且与x轴交
3
于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线y = −1上的动点，T是抛物线上的动点，若以A，C，P，T为顶点的四边形是平行
四边形，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使ΔQBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请
说明理由．
能力提高 / 初三 / 春季
第 10 讲 二次函数之四边形构造
课堂落实答案
1 如图，已知二次函数y = ax 2 +bx+c（a ≠ 0）的图象经过点A(1,0)，B(2,0)，C(0, −2)，直线
x = m(m > 2)与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x = m(m > 2)上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以
A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
93/118
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存
在，请求出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
能力提高 / 初三 / 春季
第 10 讲 二次函数之四边形构造
精选精练
1 如图，点A(2,6)和点B（点B在点A的右侧）都在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC//x轴，
tan∠ACB = 2，二次函数的图象经过A、B、C三点．
（1）求反比例函数和二次函数的解析式；
（2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，若以A，C，D，E为顶点的四边形
是平行四边形，求CD的长．
2 已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A(0,2)，B(1,0)分别在y轴和x轴
的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物
2
线y = ax +bx+c(a ≠ 0)过点D．
94/118
1
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a = −
3
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连接CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条
件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
2
（2）如图2，若该抛物线y = ax +bx+c(a ≠ 0)经过点E(1,1)，点Q在抛物线上，且满足∠QOB与
∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是3个，请直接写出a的值．
3 如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴
2
相交于点E，矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x −12x+32 = 0的两个根，且
OA > OC．
（1）求线段OA，OC的长；
（2）求证：ΔADE ≅ ΔCOE ，并求出线段OE的长；
（3）直接写出点D的坐标；
（4）若F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形
是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
4 2
如图，抛物线y = −x +2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，顶点为D．
95/118
(1)直接写出A，B，C三点的坐标：A（_____，_____）；B（_____，_____）；C（_____，_____）
(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点
M，交抛物线于点F．设点P的横坐标为m：
①用含m的代数式表示线段PF的长；
②当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
5 如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y = a(x+3)(x−1)(a > 0)与x轴交于A，B两
点（点A在点B的左侧）．
（1）求点A与点B的坐标；
1
（2）若a = ，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45∘ ，求点M的横坐标m的取值范
3
围．
（3）经过点B的直线l:y = kx+b与y轴正半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为点D，且
CD = 4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成
为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
6 2
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y = x +bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于
点C，直线y = x−3经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在
抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M
作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写
出自变量t的取值范围）；
96/118
（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点
T，连接OQ交CD于点S，当ST = TD时，求线段MN的长．
能力提高 / 初三 / 春季
第 11 讲 规律题探究
例题练习题答案
例1 古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个
三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第10个三角形数是_______．
例2 1 1
已知有理数a ≠ 1，我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 = −1，−1的差倒数是
1−a 1−2
1 1
= ．如果a = −2，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数……依此类
1 2 1 3 2 4 3
1−( −1) 2
推，那么a +a +…+a 的值是( )
1 2 100
A： −7.5
B： 7.5
C： 5.5
D： −5.5
97/118
例3 n
南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b) （n为非负整数）展开式的项数及各项
系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．
0
(a+b) = 1
1
(a+b) = a+b
2 2 2
(a+b) = a +2ab+b
3 3 2 2 3
(a+b) = a +3a b+3ab +b
4 4 3 2 2 3 4
(a+b) = a +4a b+6a b +4ab +b
5 5 4 3 2 2 3 4 5
(a+b) = a +5a b+10a b +10a b +5ab +b
…
9
则(a+b) 展开式中所有项的系数和是（ ）
A： 128
B： 256
C： 512
D： 1024
例4
(1)已知，如下图，我们可以用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭正多边形组成图案，图案①需8
根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，搭建第n个图案需要_______根火柴棒，搭建
第2017个图案需要________根火柴棒．
98/118
(2)如图，在矩形ABCD中，AD = 4，AB = 2，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接
AF、FG、AE三边的中点，得到三角形①；连接矩形GMCH对边的中点，又得到四个矩形，
顺次连接GQ、QP、GN三边的中点，得到三角形②；…；如此操作下去，得到三角形n，则
三角形n的面积为___________．
例5
(1)观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，
图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（ ）
A： 43
B： 45
C： 51
D： 53
(2)如图，点O，A在数轴上表示的数分别是0，0.1．
将线段OA分成100等份，其分点由左向右依次为M ，M ，…，M ；
1 2 99
再将线段OM ，分成100等份，其分点由左向右依次为N ，N ，…，N ；
1 1 2 99
继续将线段ON 分成100等份，其分点由左向右依次为P ，P ，…，P ．
1 1 2 99
则点P 所表示的数用科学记数法表示为_____________．
37
例6 如图，已知∠AOB = 7∘ ，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路
返回到点A，此时∠A = 90∘ −7∘ = 83∘ ．
99/118
当∠A < 83∘ 时，光线射到OB边上的点A 后，经OB反射到线段AO上的点A ，易知∠1 = ∠2．若
1 2
A A ⊥AO，光线又会沿A →A →A原路返回到点A，此时∠A = ________．
1 2 2 1
若光线从A点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值 = ________．
例7 如图，∠BOC = 9∘ ，点A在OB上，且OA = 1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A ，得第1条线段AA ；
1 1
再以A 为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A ，得第2条线段A A ；
1 2 1 2
再以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A ，得第3条线段A A ；…
2 3 2 3
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n = ________．
例8 如图，放置的ΔOAB ，ΔB A B ，ΔB A B ，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B
1 1 1 2 2 2 3 1
√3
、B 、B …都在直线y = x上，则点A 的坐标为（ ）
2 3 2016
3
A： (2016√3,2018)
B： (2016√3,2016)
C： (2016,2016√3)）
D： (2016,2018√3)
100/118
例9 1
如图，直线y = x+1分别与x轴、y轴交于点M，N，一组线段A C ，A C ，A C ，…A C 的端
1 1 2 2 3 3 n n
2
点A ，A ，A ，…A 依次是直线MN上的点，这组线段分别垂直平分线段OB ，B B ，B B ，
1 2 3 n 1 1 2 2 3
…，B B ，若OB = B B = B B = … = B B = 4，则点A 到x轴的距离为（ ）
n﹣1 n 1 1 2 2 3 n﹣1 n n
A： 4n−4
B： 4n−2
C： 2n
D： 2n−2
例10 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A ，A ，A ，…和B ，B ，B ，…分别在直线y = kx+b和x轴
1 2 3 1 2 3
7 3
( )
上， △ OA B ， △ B A B ， △ B A B ，…都是等腰直角三角形，如果A (1,1)，A , ，
1 1 1 2 2 2 3 3 1 2
2 2
那么点A 的纵坐标是________，点A 的纵坐标是___________．
3 n
例11
(1) √3
如图，直线l:y = x，点A 坐标为(0,1)，过点A 作y轴的垂线交直线l于点B ，以原点O为圆
1 1 1
3
心，OB 长为半径画弧交y轴于点A ，再过点A 作y轴的垂线交直线l于点B ，以原点O为圆
1 2 2 2
心，OB 长为半径画弧交y轴于点A ，…，照此作法进行下去，点A 的坐标为
2 3 2017
_______________．
101/118
(2)在平面直角坐标系中，直线l：y = x−1与x轴交于点A ，如图所示依次作正方形A B C O，正
1 1 1 1
方形A B C C ，…使得点A 、A 、A 、…在直线l上，点C 、C 、C 、…在y轴正半轴上，则
2 2 2 1 1 2 3 1 2 3
点B 的坐标是_________，B 的坐标是_______________________．
1 n
例12 已知y是x的函数，自变量x的取值范围x > 0，下表是y与x的几组对应值：
x … 1 2 3 5 7 9 …
y … 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 …
小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性
质进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的
点，画出该函数的图象；
102/118
（2）根据画出的函数图象，写出：
①x = 4对应的函数值y约为________；
②该函数的一条性质：___________________________．
例13 2
x
有这样一个问题：探究函数y = 的图象与性质．
2x−2
下面是小文的探究过程，请补充完整：
2
x
（1）函数y = 的自变量x的取值范围是________；
2x−2
（2）如表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …
9 2 1 9 8 25
y … − − − 0 2 …
8 3 4 4 3 8
如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．
①观察图中各点的位置发现：点A 和B ，A 和B ，A 和B ，A 和B 均关于某点中心对称，则该
1 1 2 2 3 3 4 4
点的坐标为___________；
2
x
②小文分析函数y = 的表达式发现：当x < 1时，该函数的最大值为0，则该函数图象在直线
2x−2
x = 1左侧的最高点的坐标为__________；
1 1 3 9
( ) ( )
（3）小文补充了该函数图象上两个点 , − ， , ，
2 4 2 4
①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；
103/118
②写出该函数的一条性质：_____________________________________．
能力提高 / 初三 / 春季
第 11 讲 规律题探究
课堂落实答案
1 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②
个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形
中小圆圈的个数为（ ）
A： 21
B： 24
C： 27
D： 30
2 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次
接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，…按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动
点P的坐标是___________．
104/118
3 观察下列各式：
√
1 1 1 1
( )
1+ + = 1+ = 1+ 1− ，
2 2 1×2 2
1 2
√
1 1 1 1 1
( )
1+ + = 1+ = 1+ − ，
2 2 2×3 2 3
2 3
√
1 1 1 1 1
( )
1+ + = 1+ = 1+ − ，
2 2 3×4 3 4
3 4
…
请利用你发现的规律，计算：
√ √ √ √
1 1 1 1 1 1 1 1
1+ + + 1+ + + 1+ + +…+ 1+ + ，
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 3 4 2018 2019
其结果为_________．
能力提高 / 初三 / 春季
第 11 讲 规律题探究
自我巩固答案
1 如图，已知∠AOB = 30∘ ，以O为圆心、a为半径画弧交OA、OB于A 、B ，再分别以A 、B 为圆
1 1 1 1
心、a为半径画弧交于点C ，以上称为一次操作．再以C 为圆心a为半径重新操作，得到C ．重复
1 1 2
以上步骤操作，记最后一个两弧的交点（离点O最远）为C ，则点C 到射线OB的距离为（ ）
K K
105/118
A： a
2
B： √3
a
2
C： a
D： √3a
2 1 1
如图，直线y = x+ 分别与x轴、y轴交于点C和点D，一组抛物线的顶点A ，A ，A ，…，A ，
1 2 3 n
2 2
依次是直线CD上的点，这组抛物线与x轴的交点依次是B ，B ，B ，…，B ，B ，且
1 2 3 n﹣1 n
OB = B B = B B = … = B B ，点A 坐标（1，1），则点A 坐标为____________．
1 1 2 2 3 n﹣1 n 1 n
3 1
图①是一块边长为1，周长记为P 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为 的正三角形纸
1
2
板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（其边长为前一块被剪掉的正
1
三角形纸板边长的 ）后，得图③，④，…，记第n(n ≥ 3)块纸板的周长为P ，则P −P 的值为
n n n﹣1
2
（ ）
106/118
A： 1
( )n−1
4
B： 1
( )n
4
C： 1
( )n−1
2
D： 1
( )n
2
4 如图，在第1个△A BC中，∠B = 20∘ ，A B = CB；在边A B上任取一点D，延长CA 到A ，使
1 1 1 1 2
A A = A D，得到第2个△A A D；在边A D上任取一点E，延长A A 到A ，使A A = A E，得到
1 2 1 1 2 2 1 2 3 2 3 2
第3个△A A E，…按此做法继续下去，则第5个等腰三角形的底角度数是_________．
2 3
5 如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正
方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9
个，…，按此规律，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为________．
107/118
能力提高 / 初三 / 春季
第 11 讲 规律题探究
精选精练
1 下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有5个⊙，第2个图形中
一共有8个⊙，第3个图形中一共有11个⊙，第4个图形中一共有14个⊙，…，按此规律排列，第
1001个图形中基本图形的个数为（ ）
A： 2998
B： 3001
C： 3002
D： 3005
2 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 、O 、O ，…组成一条平滑的
1 2 3
π
曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第2015秒时，点P
2
的坐标是（ ）
A： (2014,0)
108/118
B： (2015, −1)
C： (2015,1)
D： (2016,0)
3 如图，已知Rt△ABC的面积为1，D 是斜边AB的中点，过D 作D E ⊥AC于E ，连接BE 交CD 于
1 1 1 1 1 1 1
D ；过D 作D E ⊥AC于E ，连接BE 交CD 于D ；过D 作D E ⊥AC于E ，…，如此继续，可
2 2 2 2 2 2 1 3 3 3 3 3
以依次得到点D ，D ，…，D ，分别记 △ BD E ， △ BD E ， △ BD E ，…， △ BD E 的
4 5 n 1 1 2 2 3 3 n n
面积为S ，S ，S ，…S ．则S 等于（ ）
1 2 3 n n
A： 1
2
(n+1)
B： 1
2
(2n)
C： 1
4n
D： 1
n+1
2
4 用火柴棒按以下方式搭小鱼：
（1）数一数：搭1条小鱼用火柴棒8根，
搭2条小鱼用火柴棒______根，
搭3条小鱼用火柴棒______根；
（2）想一想：按照这个规律搭下去，搭10条小鱼用火柴棒______根；
（3）猜一猜：按照这个规律搭下去，搭n（n是正整数）条小鱼用火柴棒______根；
（4）说一说：试说明你的猜想的正确性．
109/118
5 如图，在平面直角坐标系中，函数y = 2x和y = −x的图象分别为直线l ，l ，过点(1,0)作x轴的垂
1 2
线交l 于点A ，过点A 作y轴的垂线交l 于点A ，过点A 作x轴的垂线交l 于点A ，过点A 作y轴的
1 1 1 2 2 2 1 3 3
垂线交l 于点A ，…依次进行下去，则点A 的坐标为______，A 的坐标为______．
2 4 2017 2n+1
6 有 这 样 一 个 问 题 ： 探 究 函 数 y = (x−1)(x−2)(x−3) 的 图 象 与 性 质 ． 小 东 对 函 数
y = (x−1)(x−2)(x−3)的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）函数y = (x−1)(x−2)(x−3)的自变量x的取值范围是全体实数；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣2 -1 0 1 2 3 4 5 6 …
y … m -24 -6 0 0 0 6 24 60 …
①m = ______；
②若M(−7, −720)，N(n,720)为该函数图象上的两点，则n = ________；
( ) ( )
（3）在平面直角坐标系xOy中，A x ,y ，B x , −y 为该函数图象上的两点，且A为2 ≤ x ≤ 3
A A B A
范围内的最低点，A点的位置如图所示．
①标出点B的位置；
②画出函数y = (x−1)(x−2)(x−3)（0 ≤ x ≤ 4）的图象．
110/118
能力提高 / 初三 / 春季
第 12 讲 阶段自检
期末试卷答案
1 1
− 的绝对值为（ ）
3
A： 1
−
3
B： 1
±
3
C： 1
3
D： 3
2 下面四个立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
111/118
A：
B：
C：
D：
3 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A：
B：
C：
D：
4 已知数据：2，1，4，6，9，8，6，1，则这组数据的中位数是（ ）
112/118
A： 4
B： 6
C： 5
D： 4或6
5 下列计算正确的是（ ）
A： 2 2
x⋅x = x
B： 2 2 2
x ⋅x = 2x
C： 2 3 5
x +x = x
D： 2 3
x ⋅x = x
6 1 1
2 2
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = x 经过平移得到抛物线y = x −2x，其对称轴与两段抛
2 2
物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
A： 2
B： 4
C： 8
D： 16
7 写出一个3到4之间的无理数_________．
8 3
因式分解：9a b−ab = ____________________．
113/118
9 某市常住人口约为5245000 人，数字5245000 用科学记数法表示为______________．
10 若使√x+1有意义，则x的取值范围是____________．
11 在一个不透明的布袋中装有红球6个，白球3个，黑球1个，这些球除颜色外没有任何区别，从中任
意取出一球为红球的概率是___________．
12 将一副三角尺按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则∠α 的度数是__________．
13 2
二次函数y = x −2x+m的图象与x轴的一个交点的坐标是(−1,0)，则图象与x轴的另一个交点的坐
标是__________．
14 如图，在⊙O中，∠D = 70∘ ， ∠ACB = 50∘ ，则∠BAC = ____．
15 如图，Rt △ ABC的斜边AB = 16，Rt △ ABC 绕点O顺时针旋转后得到Rt △ A ′ B ′ C ′ ， 则
Rt △ A ′ B ′ C ′ 的斜边A ′ B ′ 上的中线C ′ D的长度为_________．
\
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16 2
如图，已知反比例函数y = （x > 0）的图象绕原点O逆时针旋转45∘ ，所得的图象与原图象相交
x
2
于点A，连接OA，以O为圆心，OA为半径作圆，交函数y = （x > 0）的图象于点B，则扇形AOB
x
的面积为___________．
17 1
( )−2
( )0
计算： + √3+√5 −√27÷ √3．
2
18 2−x ≤ 0
{
解不等式组：
3(5x+1) > 4x−8
19 2
( x 4 ) x+2
先化简，再求值： + ÷ ，其中x = 2．
x−1 1−x x−1
20 有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌
放回，洗匀后乙再抽取一张．
（1）列表或画树状图表示所有取牌的可能性；
（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案：A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；B方
案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案获胜概率更高？
21 如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB//DE，AC = DF，AB = DE．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠ABC = 90∘ ，AB = 8，BC = 6，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．
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22 随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也
大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一
台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器
的台数相同．
（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型
空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化
器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果
每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为
多少元？
23 如图， △ ABC 中，∠ACB = 90∘ ，AC = 4cm，BC = 3cm，点D为AB中点，点O为AC上一点，
以O为圆心，半径为1cm的圆与AB相切，点E为切点．
（1）求线段AO的长；
（2）若将⊙O以1cm/s的速度移动，移动中的圆心记为P，点P沿O ⇒ C ⇒ B ⇒ A 的路径运动，
设移动的时间为t(s)，则当t为何值时，⊙P与直线CD相切？
24 如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为 ( 2√3,0 )
，解答下列各题：
（1）求线段AB的长；
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标；
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（3）在⊙C上是否存在一点P，使得 △ POB 是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP的度数；若不
存在，请说明理由．
25 如图1，ABCD为正方形，直线MN分别过AD边与BC边的中点，点P为直线MN上任意一点，连接
PB、PC分别与AD边交于E、F两点，PC与BD交于点K，连接AK与PB交于点G．
●探索发现 当点P落在AD边上时，如图2，试探究PB与AK的位置关系以及PB、PK、AK三者的数
量关系（直接写出无需证明）；
●延伸拓展 当点P落在正方形外，如图1，以上两个结论是否仍然成立？如果成立请给出证明，如
果不成立请说明你的理由；
●应用推广 如图3，在等腰Rt △ ABD 中，其中∠BAD = 90∘ ，腰长为3，M、N分别为AD边与BD
边的中点，K为线段DN中点，F为AD边上靠近于D的三等分点．连接KF并延长与直线MN交于点
P，连接PB分别与AD、AK交于点E、G．试求四边形EFKG的周长及面积．
26 2
已知：二次函数y = ax −2x+c的图象与x轴交于A、B，（A在点B的左侧），与y轴交于点C，对
称轴是直线x = 1，平移一个单位后经过坐标原点O
（1）求这个二次函数的解析式；
1
（2）直线y = − x+1交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC = α，∠CBE = β，求α−β的值；
3
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（3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA = PC，在y轴右侧的抛物线上是
否存在点M，使得 △ BDM 的面积等于PA 2 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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