文档内容
能力提高 / 初二 / 暑假
第 1 讲 勾股定理
例题练习题答案
例1 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S 、S 、S ，且S = 5，S = 12，则S =
1 2 3 1 2 3
_____．
练1.1 如图，以直角三角形的各边为边长向外作正方形，字母B所代表的正方形的面积是_____．
例2 一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（ ）
A： 13
B： 5
C： 13或5
D： 4
练2.1 已知直角三角形的三边长为6、8、x，x为斜边，则以x为边的正方形的面积为_____．
练2.2 如图，已知在直角三角形ABC中，以直角边BC、AC为边的正方形的面积分别为25、144，则AB
的长为（ ）
1/128
A： 169
B： 119
C： 13
D： 17
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，D为AC上一点，且DA = DB = 5，又△DAB的面积为10，那
么DC的长是（ ）
A： 4
B： 3
C： 5
D： 4.5
练3.1 如图，AB = AC = 15，AP = 12，P是BC中点，则BC的值是（ ）
A： 18
B： 20
C： 25
D： 30
2/128
练3.2 在 △ ABC中，∠C = 90∘ ，其中a、b、c分别为 △ ABC三边．
（1）若a = 6，b = 8，则c = ____________；
（2）若a = 24，c = 25，则b = ____________；
（3）若b:c = 5:13 ，a = 2.4，则b = ____________．
例4 如图，在△ABC中，∠ACB = 90∘ ，BC = 15，AC = 20，CD是高．
(1)求AB的长；
(2)求△ABC的面积；
(3)求CD的长．
例5 如果一个三角形三边的长度之比为5:12:13 ，那么这个三角形是（ ）
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 无法判断
练5.1 有四个三角形，分别满足下列条件：
①一个内角等于另外两个内角之和；
②三个内角之比为3:4:5 ；
③三边长分别为9，40，41；
④三边之比为8:15:17 ．
其中，能构成直角三角形的个数有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
3/128
D： 4个
练5.2 已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（ ）
A： 2
24cm
B： 2
30cm
C： 2
40cm
D： 2
48cm
例6 在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）
A： a = 15，b = 8，c = 17
B： a = 9，b = 12，c = 15
C： a = 7，b = 24，c = 25
D： a = 3，b = 5，c = 7
练6.1 下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长是（ ）
A： 6，8，10
B： 7，24，25
C： 9，12，15
D： 2，5，7
练6.2 下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A： 3，4，5
B： 7，24，25
C： 8，15，17
D： 5，7，9
能力提高 / 初二 / 暑假
4/128
第 1 讲 勾股定理
自我巩固答案
1 如图，以直角三角形的各边为边长向外作正方形，字母B所代表的正方形的面积是_____．
2 已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm 2 ，则斜边长为（ ）
A： 30cm
B： 80cm
C： 90cm
D： 120cm
3 一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边是（ ）
A： 13
B： 12
C： 15
D： 10
4 如图，△ABC中，AB = AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB = 5，AD = 3，则BC的长为（ ）
A： 5
B： 6
C： 8
D： 10
5/128
5 下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A： 1 1 1
， ，
3 4 5
B： 0.6，0.8，1.0
C： 1，2，3
D： 9，40，41
6 下列各组数为勾股数的是（ ）
A： 1，2，5
B： 15，8，17
C： 9，12，13
D： 3 4 5
, ,
2 2 2
7 分别以下列五组数为一个三角形的边长：
1 1 1
①13，5，12；②7，25，24；③1，2，3；④9，40，41；⑤3 ，4 ，5 ．
2 2 2
其中不能构成直角三角形的组数为（ ）组．
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
8 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A： 三内角之比为1:2:3
B： 三边长的平方之比为1:2:3
C： 三边长之比为3:4:5
6/128
D： 三内角之比为3:4:5
9 三角形的三边长为a、b、c，下列条件不能判定它是直角三角形的是（ ）
A： a:b:c = 8:16:17
B： 2 2 2
a −b = c
C： 2
a = (b+c)(b−c)
D： a:b:c = 13:5:12
10 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC = 20，BC = 15，DB = 9．
（1）求CD、AD的值；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 1 讲 勾股定理
课堂落实答案
1 如图，三个正方形围成一个直角三角形，字母C所表示的正方形面积是100，字母B所表示的正方
形面积是36，则字母A所表示的正方形面积为_____．
2 一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边是（ ）
A： 13
7/128
B： 12
C： 15
D： 10
3 一直角三角形两直角边长分别为3和4，则下列说法不正确的是( )
A： 斜边长是25
B： 斜边长是5
C： 面积是6
D： 周长是12
4 分别以每一组的三个数为一个三角形的边长：（1）3、4、5；（2）5、12、13；（3）8、15、
17；（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有（ ）
A： 4组
B： 3组
C： 2组
D： 1组
5 若一个三角形三边的长度之比为3:4:5 ，且周长为60cm，则它的面积是__________．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 1 讲 勾股定理
精选精练
1 2 2 2
在Rt△ABC中，斜边BC = 2，则AB +BC +CA = （ ）
A： 8
B： 4
C： 6
8/128
D： 无法计算
2 如图，两阴影部分都是正方形，如果两正方形面积之比为1:2，那么，两正方形的面积分别为
________．
3 直角三角形的两直角边边长之比是3:4，而斜边的长是15cm，那么这个三角形的面积是_______．
4 如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东55°方向航行，乙船以
每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距
50海里，请你求出乙船的航行方向．
5 如图，分别以△ABC的三边为直径作三个半圆，面积分别为S 、S 、S ，S +S = S ，求证：
1 2 3 1 2 3
∠ACB = 90∘ ．
9/128
6 如图，在四边形ABDC中，∠A = 90∘ ，AB = 9，AC = 12，BD = 8，CD = 17．
（1）连接BC，求BC的长；
（2）求△BCD的面积．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 2 讲 实数（一）
例题练习题答案
例1 求下列各数的算术平方根：
1 9
1 0.36 1
196 16
例2 求下列各数的值：
(1)−√0.81=_______；
√
(2) 11
− 1 = _______．
25
例3 2
小明房间的面积为10.8m ，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？
例4 36的算术平方根是______；√36的算术平方根是________．
10/128
练4.1 √4的算术平方根等于（ ）
A： 2
B： −2
C： ±2
D： √2
练4.2 （1）√49的算术平方根是_____________；
（2）√121的算术平方根是_____________．
例5 计算下列各数的平方根：
（1）169的平方根是_______；
（2）47的平方根是_________；
（3）0.25的平方根是_______；
100
（4） 的平方根是_________．
49
例6 关于平方根，下列说法正确的是（ ）
A： 任何一个数有两个平方根，并且它们互为相反数
B： 负数没有平方根
C： 任何一个数只有一个算术平方根
D： 以上都不对
练6.1 下列说法正确的是（ ）
A： 平方根等于它本身的数是0，1
B： 平方等于它本身的数只有0
C： 算术平方根等于它本身的数是0，1
D： 倒数等于它本身的数只有1
例7 如果一个正数的平方根分别为x+1和x−3，则x的值是（ ）
11/128
A： 4
B： 2
C： 1
D： ±2
练7.1 一个正数的两个平方根分别是2a−2与a−4，求a的值和这个正数的值．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 2 讲 实数（一）
自我巩固答案
1 1
的算术平方根是（ ）
144
A： 1
12
B： 1
−
12
C： 1
±
12
D： 1
2
144
2 求下列各数的算术平方根．
1
（1）81；（2） ； （3）0.64．
169
12/128
3 √36
的算术平方根是（ ）
4
A： 18
B： √6
−
2
C： √6
2
D： √6
±
2
4 求下列各数的算术平方根．
4
（1）√225；（2） ； （3）√0.36．
√81
5 一个自然数的算术平方根是x，则下一个自然数的算术平方根是（ ）
A： √x+1
B： √x+1
C： √ 2
x +1
D： x+1
6 49的平方根是（ ）
A： 7
B： −7
C： ±7
D： √49
7 下列语句中正确的是（ ）
13/128
A： −9的平方根是−3
B： 9的平方根是3
C： 9的算术平方根是±3
D： 9的算术平方根是3
8 一个数若有两个不同的平方根，则两个平方根的和（ ）
A： 大于0
B： 等于0
C： 小于0
D： 不能确定
9 一个正数的两个不同的平方根是a+3和2a−6，则这个正数是（ ）
A： 1
B： 4
C： 9
D： 16
10 设x = ( −√3 )2 ，y = √ ( −3) 2 ，那么xy等于（ ）
A： 3
B： −3
C： 9
D： −9
能力提高 / 初二 / 暑假
第 2 讲 实数（一）
14/128
课堂落实答案
1 64的算术平方根是（ ）
A： 8
B： −8
C： ±8
D： √8
2 √100的算术平方根是______．
3 −(−13)的平方根是（ ）
A： √13
B： −√13
C： ±√13
D： 169
4 下列说法正确的是（ ）
A： −0.02是0.4的平方根
B： 任何一个非负数的平方根都不大于这个数
C： 2
若x = a，则a的平方根是x
D： 平方根等于本身的数为零
5 一个正数的两个平方根分别为2x+1和x−7，则这个正数为（ ）
A： 5
B： 10
C： 25
D： ±25
15/128
能力提高 / 初二 / 暑假
第 2 讲 实数（一）
精选精练
1 √16的算术平方根是_____；______是√81的算术平方根；√289的算术平方根是______．
2 2 2 的平方根是__________；√625的平方根是
________________.
3 一个正数x的两个平方根分别是2a+1与3a+4，求a的值和这个正数x的值．
4 如果a，b分别是2018的两个平方根，那么a+b=______.
5 若一个正数的算术平方根是a，则比这个正数大3的正数的平方根是（ ）
A： √ 2
a +3
B： √ 2
− a +3
C： √ 2
± a +3
D： ±√a+3
6 2 2
已知a，b都是实数，且(b+4) +|3a−b−5| = 0，求13a −b的平方根．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 3 讲 实数（二）
例题练习题答案
例1 求下列各数的立方根：
16/128
(1) 1000
− ；
27
(2)5；
(3)−11；
(4)√64；
(5) 3
√64．
练1.1 填空：
(1)64的平方根是________，立方根是________；
(2)−512的立方根是________；
(3) 3
√7是_______的立方根；
(4)−√64的立方根是________．
练1.2 计算：
√3
3
① (100) ；
√3
3
② ( −1) ；
√
3 2 3
③( ) ；
3
√3
3
④ a ．
例2 将下列各数填入相应的括号里：
⋅ ⋅
1 π 2 3
−2.5，5 ，0，8，−2， ，0.7，− ，−1.121121112…， ，−0.05．
2 2 3 4
正数{______________}；
负数{_____________}；
17/128
整数{_______________}；
有理数{__________________}；
无理数{_________________}．
练2.1 √3 1
在实数 ，−√4，0.33， 中，正确的是（ ）
2 7
A： √3
是分数
2
B： −√4是无理数
C： 0.33是分数
D： 1
是无理数
7
例3 下列说法正确的是（ ）
A： 无限小数是无理数
B： 无理数的相反数还是无理数
C： 无理数的倒数不一定是无理数
D： 开不尽的方根和分数统称实数
练3.1 下列说法正确的是_______（填序号）．
b
①一个实数不是有理数就是无理数；②无理数一定不能表示成 的形式；③不带根号的数是有理
a
数；④任何实数的绝对值都是非负数．
练3.2 下列说法正确的是__________________．
①数轴上有无数多个表示无理数的点；
②带根号的数不一定是无理数；
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；
⑤π 在数轴上找不到对应的点．
18/128
例4 比较下列数大小．
(1) √5−1
√5_______2； √5−1_______1； _______0.5．
2
√
(2) 1 √2 1
3
−√7_______−2； √7_______ 6 ； _______ ．
2 2 2
例5 下列实数在哪两个连续的整数之间？
(1)_______<√26<_______；
(2)_______<2+√5<_______．
练5.1 下列实数在哪两个连续的整数之间？
(1)_______<−√15<_______；
√
(2) 2
_______< 3 <_______．
3
能力提高 / 初二 / 暑假
第 3 讲 实数（二）
自我巩固答案
1 平方根和立方根都是本身的数是（ ）
A： 0
B： 0和1
C： ±1
D： 0和±1
19/128
2 下列说法正确的是（ ）
A： −0.064的立方根是0.4
B： −9的平方根是±3
C： 3
16的立方根是√16
D： 0.01的立方根是0.000001
3 −125的立方根是（ ）
A： −5
B： −5√5
C： −√5
D： −25
4 下列说法正确的是（ ）
A： 25的平方根是5
B： 2
−2 的算术平方根是2
C： 0.8的立方根是0.2
D： 5 25
是 的一个平方根
6 36
5 22
3
给出一组数0，π，√5，3.1415926，√9， ，0.1234567891011…（自然数依次相连），其中
7
无理数有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
20/128
6 能与数轴上的点一 一对应的是（ ）
A： 整数
B： 有理数
C： 无理数
D： 实数
7 如图，长方形OABC中，OC = 2，OA = 1．以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧交数轴于点
D，则数轴上点D表示的数是__________．
8 已知a、b为两个连续的整数，且a < √24 < b，则a+b = _____．
9 估计√7+1的值（ ）
A： 在1和2之间
B： 在2和3之间
C： 在3和4之间
D： 在4和5之间
10 2√6、√27、5三个数的大小关系是（ ）
A： 2√6 < 5 < √27
B： √27 < 5 < 2√6
C： 2√6 < √27 < 5
D： √27 < 2√6 < 5
能力提高 / 初二 / 暑假
第 3 讲 实数（二）
21/128
课堂落实答案
1 下列说法正确的是（ ）
A： 立方根是它本身的数只能是0和1
B： 如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
C： 16的平方根是4
D： −2是4的一个平方根
2 0.027的立方根为_____．
3 下列各数中，有理数是（ ）
A： √8
B： 22
7
C： 3
√4
D： π
2
4 如图，OA = OB，BC = 1，则数轴上点A所表示的数为（ ）
A： √10
B： √5
C： −√10
D： −3.5
5 估计√40的值在（ ）
A： 4和5之间
B： 5和6之间
22/128
C： 6和7之间
D： 7和8之间
能力提高 / 初二 / 暑假
第 3 讲 实数（二）
精选精练
1 3
一个正方体木块的体积为1000cm ，现要把它锯成8块同样大小的正方体小木块，小木块的棱长
是_____cm．
2 √3
2 2 3
若x = (−5) ， y = −5，则x+y的值是（ ）
A： 0
B： −10
C： 0或−10
D： 0或±10
3 把下列各数填在相应的表示集合的大括号内：
1 22
−2，π ，− ，−|−3|， ，−0.3，1.7，√5，0，1.1010010001⋯（每两个1之间依次多一个0），
3 7
−√4．
整 数集合：{____________________________________________}；
负分数集合：{___________________________________________}；
无理数集合：{_____________________________________________}．
4 下列说法：
①实数和数轴上的点是一一对应的；
②无理数是开方开不尽的数；
③负数没有立方根；
④16的平方根是±4，用式子表示是√16 = ± 4；
23/128
⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，
其中错误的是（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
5 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A： √5−1
B： −√5+1
C： √5+1
D： √5
6 若√13的整数部分为a，小数部分为b，则a−b的值为（ ）
A： −√13
B： 6−√13
C： 8−√13
D： √13−6
能力提高 / 初二 / 暑假
第 4 讲 二次根式的概念和性质
例题练习题答案
例1 判断下列根式是不是二次根式：
24/128
( 1 ) √−3；
( 2 ) √|−3|；
( 3 ) √ 3
( −3) ；
( 4 ) 3
√8；
( 5 ) √−a；
√
( 6 ) −2
；
−3
( 7 ) √ 2
−a −1；
( 8 ) √ 2
a +2a+1.
例2 已知实数m、n满足|n−2|+√m+1 = 0，则m+2n的值为_____．
练2.1 若√2x+1+(y+3) 2 = 0，则x−y = ________．
例3 若√a和√−a都有意义，则a应满足的条件是（ ）
A： a ≥ 0
B： a ≤ 0
C： a = 0
D： a ≠ 0
练3.1 若√x+√−x+4 = y，则y的算术平方根为（ ）
A： 2
B： −2
C： ±2
D： 4
例4 计算：
√ √
( 1 )2 ( 1)2
（1） − ； （2） ；
5 2
25/128
√ (√ )2
2 2
（3） (3−π ) ； （4） a ．
例5 化简下列各式：
（1）√18； （2）√320．
练5.1 化简下列各式：
（1）√32； （2）√72．
例6 化简下列各式：
√ √
50 2
（1） ； （2） ；
81 3
√
12 1
（3） ； （4） ．
7 √5
能力提高 / 初二 / 暑假
第 4 讲 二次根式的概念和性质
自我巩固答案
1 下列各式中不是二次根式的为（ ）
A： √ 2
b +1
B： √a(a < 0)
C： √0
D： √ 2
(a−b)
2 下列式子中二次根式的个数有（ ）
√ √
1 1
√
( )2
（1） ；（2）√−3；（3）− x 2 +1；（4）38；（5） − ；（6）√1−x(x > 1)；（7）
3 3
√
2
x +2x+3．
26/128
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
3 已知√x−2y+|y−1| = 0，则x+y的值是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
4 计算 ( √x−2 )2 − √ (1−x) 2 =__________．
5 已知y = √x+√−x+2，则y = ________．
6 已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足|a−6|+√b−8 = 0，那么这个三角形的最大边c的
取值范围是（ ）
A： c＞8
B： 8 ≤ c < 14
C： 6＜c＜8
D： 2＜c＜14
7 若a、b为实数，且√2a−1+|b+1| = 0，则a 2 +b 2015 的值是________．
8 下列属于最简二次根式的是（ ）
A： √8
B： √5
C： √4
√
27/128
√
D： 1
3
9 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A： 1
√2
B： √50
√
C： 2
7
D： √22
10 在下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?对不是最简二次根式的进行化简.
(1)√45
√
(2) 1
3
(3) √5
2
(4)√0.5
√
(5) 4
1
5
能力提高 / 初二 / 暑假
第 4 讲 二次根式的概念和性质
课堂落实答案
28/128
1 √ √ √
下列各式中①√15、② b 2 −4、③ x 2 +16、④ x 2 +6x+9、⑤√−121，一定是二次根式的是
____________．
2 若实数x、y满足|x−2|+√y+5 = 0，则xy的值是（ ）
A： 10
B： 3
C： 7
D： −10
3 已知√4−a+(b−5) 2 = 0，则a+b的算术平方根为（ ）
A： 3
B： −3
C： 9
D： −3或3
4 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A： √8
B： √10
C： √12
D： √27
√
5 1
化简： 4 = ________．
2
能力提高 / 初二 / 暑假
第 4 讲 二次根式的概念和性质
29/128
精选精练
1 √ √ √ √
下列各式中①√a、②√b+1、③ a 2 、④ a 2 +3、⑤ x 2 −1、⑥ x 2 +2x+1，一定是二次根式
的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 已知x、y是实数，若√3x+4+y 2 −6y+9 = 0，则3x−y的值是（ ）
A： 1
4
B： −7
C： −1
D： 7
−
4
3 若|3x−3|和√y−4互为相反数，求4x+3y的平方根．
4 若实数a、b、c满足 | a−√2 | +√b−2 = √c+√−c，求a、b、c．
5 下列各式中，最简二次根式是（ ）
A： √27
B： √ 5 2
m n
√
C： 1
2
D： √6
6 把下列二次根式化为最简二次根式：
√
30/128
√
2
9b
（1）√1200； （2） ．
2a
能力提高 / 初二 / 暑假
第 5 讲 二次根式的运算
例题练习题答案
例1 计算：
√
1
（1）√20× ;
2
（2）−2√0.27×√0.03;
√14
（3） ;
√2
√
1
（4）√2.5÷ ．
20
练1.1 下列选项计算不正确的是（ ）
A： √6×√12 = 6√2
√
B： 1
√18× = 3
3
C： √36÷ √9 = 2
D： √21
= √3
√7
例2 计算：
√ √ √
2 7 3
（1）− × × ；
7 6 5
√
31/128
√
4
( )
（2）2√5× ÷ −√15 ．
3
练2.1 下列计算中，错误的是（ ）
A： 16÷ 2√2×√2 = 8
B： √6
√10÷ 3√5×√3 =
3
√ √
C： 2 1 √15
1 ÷ 1 ×√5 =
3 4 3
D： √12×√5÷ √3 = 2√5
例3 下列二次根式中，与√5是同类二次根式的是（ ）
A： √25
√
B： 1
5
C： √10
D： √50
例4 3b−1
若最简二次根式 √a+2与√4b−a是同类二次根式，则a = ______，b = _______．
练4.1 若√75与最简二次根式√m+1是同类二次根式，则m的值为（ ）
A： 7
B： 11
C： 2
D： 1
例5 计算：
(1)√12+√3；
√
32/128
√
(2) 1
√8+ ；
8
(3)√80−√45；
(4)√75−√12．
练5.1 计算：
(1)√18+4√2；
(2)√98−√8．
例6 计算：
(1)√50+2√8−3√12+√27；
√
(2) 1
2√12−6 +3√48．
3
练6.1 计算：
√
(1) 1
√12−√3+ ；
3
√
(2) 1
3√20−√45+ ．
5
能力提高 / 初二 / 暑假
第 5 讲 二次根式的运算
自我巩固答案
1 下列式子中，不正确的是（ ）
33/128
A： √14 = √2×√7
B： √15 = √3×√5
√
C： 3 √3
=
8 √8
√ √ √
D： 5 2 3
= ×
6 3 2
√ √
2 2 5
计算− 1 ÷ ，结果正确的是（ ）
3 72
A： −3√6
B： −3√2
C： 3√2
D： −2√6
3 下列计算中，错误的是（ ）
A： 18÷ 3√2×2√2 = 12
B： 1
√20÷ 3√2×√15÷ = 20
2√6
√ √
C： 3 2
1 ÷ 1 ×√10 = 5
4 5
D： √24×√15÷ √6 = 2√15
4 下列二次根式中，与3√2是同类二次根式的是（ ）
√
A： 3
2
B： √3
34/128
C： √8
D： √12
5 若最简二次根式√3x+2 与√4x+1 是同类二次根式，求x.
6 3x−10
若最简二次根式 √2x+y−5和√x−3y+11是同类二次根式，求x+y．
√
7 1 1
( )
化简 + − √2 的结果是（ ）
2 2
A： 1
B： −1
C： 2
D： 0
8 计算：
（1）√5−√20；
（2）√28+√63．
9 计算：
√
1 1
（1）√27−15 + √48；
3 4
( )
（2） √50−√8 +√2．
√
10 1
计算：√45−3 +√12+√4．
3
能力提高 / 初二 / 暑假
第 5 讲 二次根式的运算
35/128
课堂落实答案
1 计算√24×√3的结果为（ ）
A： 6
B： 6√2
C： √72
D： 3√8
√ √
2 2 5
计算− 1 ÷ 的结果正确的是（ ）
3 96
A： −3√6
B： −4√2
C： 4√2
D： −2√6
3 如果最简二次根式√1+a与√4a−2能合并，那么a = _____．
√
4 2
计算√24+9 的结果是（ ）
3
A： 5√6
B： −√6
C： 4
− √6
3
D： 4
√6
3
5 计算：
√
1
（1）√18−√8+ ；
8
√
36/128
√
1
（2）√27−6 ．
3
能力提高 / 初二 / 暑假
第 5 讲 二次根式的运算
精选精练
1 如果ab > 0，a+b < 0，那么下面各式：
√ √ √ √
a √a a b a
① = ，② × = 1，③√ab÷ = −b，其中正确的是（ ）
b √b b a b
A： ①②
B： ②③
C： ①③
D： ①②③
2 下列各式中，与√a是同类二次根式的是（ ）
A： √2a
B： √ 2
3a
C： 2√a
D： √ 4
a
3 下列运算正确的是（ ）
A： √x+√2x = √3x
B： 3√3−2√3 = 1
C： 2+√5 = 2√5
37/128
D： m√x−n√x = (m−n)√x
4 下列计算错误的是（ ）
A： 3√2−√2 = 3
B： √60÷ √5 = 2√3
C： √25a+√9a = 8√a
D： √14×√7 = 7√2
5 计算：
√
√3 1
（1）2√18× ÷ 3√6； （2）3√2−2√12−4 +3√48．
3 8
6 计算：
√
1
( )
（1）√3+√27−√12； （2）2√8−6 +√12− √18−√27 ．
3
能力提高 / 初二 / 暑假
第 6 讲 位置与坐标
例题练习题答案
例1 如图，O对应的有序数对为(1,3)，有一个英文单词的字母对应图中的有序数对分别为(1,2)，(5,1)
，(5,2)，(5,2)，(1,3)，这个英文单词是（ ）
A： HELLO
B： HELOL
38/128
C： HLLOE
D： LOELH
练1.1 文字密码游戏：如图，“家”字的位置记作(1,9)．
请你破解密码：(3,3)，(5,5)，(2,7)，(2,2)，(1,8)，(8,7)，(8,8)．
练1.2 如图，J对应的有序数对为(3,2)，某个英文单词的字母对应图中的有序数对分别为(6,2)，(1,1)，
(6,3)，(1,2)，(5,3)，请你把这个英文单词写出来为__________．
例2
如图，是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为
( 1,90∘)
，则其余各目标的
位置分别是什么？
39/128
例3 （1）如图所示，在平面直角坐标系中，A点坐标是________，B点坐标是________，C点坐标是
________，D点坐标是________．
（2）请在图上标出E(7, −4)、F(−10, −9)和G(−8,7)的位置．
练3.1 （1）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（ ）
A．(3, −2)
B．(−2,3)
C．(−3,2)
D．(2, −3)
（2）若某一点的坐标为(−2,3)，则这个点是（ ）
A．A
B．B
C．C
D．D
40/128
（3）如图，写出坐标平面内各点的坐标．
A( ， )；
B( ， )；
C( ， )；
D( ， )；
E( ， )；
F( ， )．
例4 如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（ ）
A： (5,2)
B： (−4, −6)
C： (3, −4)
D： (−2,3)
练4.1 ( 2 )
在平面直角坐标系中，点P −2,x +2 所在的象限是（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
41/128
练4.2 若点A(a,b)在第二象限，则点B(a, −b)在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
例5
(1)若点P(2a−6,a)在x轴上，求点P的坐标．
(2)若点A(−6,n)在x轴上，点B(n−1,n+1)在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
练5.1
(1)点M(m+1,m+3)在y轴上，则点M的坐标为（ ）
A： (0, −4)
B： (4,0)
C： (−2,0)
D： (0,2)
(2)如果P(m+3,2m+4)在y轴上，求点P的坐标．
练5.2 若点A(m,2)在y轴上，则点B(m−1,m+1)在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
42/128
C： 第三象限
D： 第四象限
例6 （1）点P(−5, −12)到x轴的距离为_____．
（2）在平面直角坐标系中，点M在x轴的上方，y轴的左侧，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离
为7，则点M的坐标是_________．
（3）在平面直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点P的坐标为______或
_______或______或_______．
练6.1 若x轴上的点P到y轴的距离为2，则点P的坐标为（ ）
A： (2,0)
B： (0,2)
C： (2,0)或(−2,0)
D： (0,2)或(0, −2)
练6.2
(1)平面直角坐标系中，点A(1, −2)到x轴的距离是______．
(2)已知点P在第四象限，该点到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为______．
(3)点M在x轴的上方，距离x轴3个单位长度，距离y轴2个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A： (3,2)
B： (−2,3)
C： (3,2)或(−3,2)
D： (2,3)或(−2,3)
能力提高 / 初二 / 暑假
第 6 讲 位置与坐标
43/128
自我巩固答案
1
如图，是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中A的位置为
( 5,30∘)
，则B的位置是（ ）
A： ( 3,120∘)
B： ( 2,90∘)
C： ( 3,90∘)
D： ( 2,270∘)
2 如图，若某一点的坐标为(3, −4)，则这个点是（ ）
A： A
B： B
C： C
D： D
3 在平面直角坐标系中，点P(1, −3)在（ ）
A： 第一象限
44/128
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
4 如果点M(a−1,a+1)在x轴上，则a的值为（ ）
A： a = 1
B： a = −1
C： a > 0
D： a的值不能确定
5 在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（ ）
A： (−3, −2)
B： (−2,5)
C： (1, −4)
D： (2,2)
6 已知P( −3, −4)，则P点到y轴的距离为（ ）
A： 5
B： 4
C： 3.5
D： 3
7 点C在x轴的下方，y轴的右侧，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，则点C的坐标为（ ）
A： ( −3,5)
B： (3, −5)
C： (5, −3)
D： ( −5,3)
45/128
8 在平面直角坐标系中，点P的横坐标是−3，且点P到x轴的距离为5，则点P的坐标是（ ）
A： (5, −3)或(−5, −3)
B： (−3,5)或(−3, −5)
C： (−3,5)
D： (−3, −3)
9 已知点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为8，且点P在第二象限，求点P的坐标．
10 已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，求点P的坐标（直接写结果）．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 6 讲 位置与坐标
课堂落实答案
1 若图中的有序数对(4,1)对应字母D，有一个英文单词的字母对应图中的有序数对分别为(1,1)，
(2,3)，(2,3)，(5,2)，(5,1)，则这个英文单词是__________（大小写均可）．
2 如图，若某一点的坐标为(2, −3)，则这个点是（ ）
A： A
46/128
B： B
C： C
D： D
3 如果点P(a−4,a)在y轴上，则点P的坐标是（ ）
A： (4,0)
B： (0,4)
C： (−4,0)
D： (0, −4)
4 已知点P的坐标为( −5,6)，则点P到y轴的距离是（ ）
A： 5
B： 6
C： −6
D： −5
5 点A到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，且点A在第二象限，则点A的坐标是（ ）
A： (3,1)
B： ( −3, −1)
C： ( −1,3)
D： ( −3,1)
能力提高 / 初二 / 暑假
第 6 讲 位置与坐标
精选精练
1 如图所示是某市区部分平面示意图，根据图中信息回答下列问题：
47/128
若公园的位置可表示为(2,1)，市政府可表示为(0,0)，那么动物园可表示为_______，图书馆可表示
为_____．
2 有趣玩一玩：
中国象棋中的马颇有骑士风度，自古有“马踏八方”之说，如图，按中国象棋中“马”的行棋
规则，图1中的马下一步有A、B、C、D、E、F、G、H八种不同选择，它的走法是一步
从“日”字形的长方形对角线的一个端点到另一个端点，不能多也不能少．
要将图2中的马走到指定的位置P处，即从（四，6）走到（六，4），现提供一种走法：
（四，6） → （六，5） → （四，4） → （五，2） → （六，4）
下面是提供的另一走法，请你填上其中所缺的一步：
（四，6） → （五，8） → （七，7） → （ ， ） → （六，4）
3 点A(2−a, −3a+1)在y轴上，则a = ________．
4 已知，点P(1−t,t+2)，随着t的变化，点P不可能在（ ）
A： 第一象限
48/128
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
5 点P位于y轴的左侧，距离y轴3个单位长度，位于x轴的上方，距离x轴4个单位长度，试确定点P的
坐标．
6 点P的坐标为(3a−2,8−2a)，若点P到两坐标轴的距离相等，则a的值是（ ）
A： 2
或4
3
B： −2或6
C： 2
− 或−4
3
D： 2或−6
能力提高 / 初二 / 暑假
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 64的平方根为（ ）
A： 8
B： ±8
C： −8
D： ±4
2 判断2√11−1之值介于下列哪两个整数之间？（ ）
A： 3，4
49/128
B： 4，5
C： 5，6
D： 6，7
3 如果√x+2在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（ ）
A： x ≠ −2
B： x < −2
C： x ≥ −2
D： x > −2
4 下列计算正确的是（ ）
A： √2×√5 = √10
B： 8 2 4
x ÷ x = x
C： (2a)3 = 6a 3
D： 2 3 6
3a ⋅2a = 6a
5 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
√
A： 1
2
B： √17
C： √75
D： √ 3
5a
6 如果点P(x y)满足xy = 0，那么点P必定在（ ）
A： 原点上
B： x轴上
C： y轴上
50/128
D： 坐标轴上
7 如图，三个四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中两个正方形的面积如图，则正方形A的
面积为（ ）．
A： 20
B： 25
C： 30
D： 35
8 如图，已知，直角△ABC中，∠ACB = 90∘ ，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长AD = 5，
BE = 2√10，则斜边AB之长为（ ）
A： √10
B： 10
C： 3√5
D： 2√13
9 若√a+b+5+|2a−b+1| = 0，则(b−a) 2016 的值为（ ）
A： −1
B： 1
C： 2016
5
D： 2016
−5
51/128
10 如图，在△ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD
长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A： 5个
B： 4个
C： 3个
D： 2个
√
11 3
( )2
− = ________________．
7
12 实数−π，−3.14，0，2四个数中，最小的是______________．
13 √x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______________．
14 若点M(a−2,2a+3)是x轴上的点，则点M的坐标为______________．
15 直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为_____________．
√
16 1
计算2 −√18的结果是________．
2
17 已知直角△ABC的周长为6+2√3，其中一条直角边的长为2√3，则另一条直角边的长为________．
18 √
2
已知a、b满足：|2a−4|+|b+2|+ (a−3)b +4 = 2a，则a−b的值为_____________．
19 计算：（1） 3√−8− ( 1+√2 )0 +√4
1
( )−1
| |
（2） − + −√3 +√27
3
√
20 1
( )
计算：（1） ÷ −√12 ×3√24
2
√ √
52/128
√ √
1 1
（2） 1 ÷ 2 ÷ √5
3 2
21 计算：（1）2√3+3√2−5√3−√2
| | | |
（2） √3−2 + √3−1
22 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，D是AC的中点，ED⊥AB于E．求证：
2 2 2
（1）AB +3BC = 4BD ；
2 2 2
（2）BE −AE = BC ．
23 （1）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√5、√17、√10，求这个三角形的面积．
如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出
边长符合要求的格点三角形ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需要求
△ABC的高，而借用网格就能就算出它的面积．
请你将△ABC的面积直接填写在横线上______________．
思维拓展：（2）已知△ABC三边的长分别为√13a、2√2a、√17a，求这个三角形的面积．我们把上
述求△ABC面积的方法叫做构图法．如图2，网格中每个小正方形的边长都是a，请在网格中画出相
应的△ABC，并求出它的面积．
53/128
24 1 1 1
观察下列二次根式的化简： = √2−1， = √3−√2 =√4−√3从计算结果中
√2+1 √3+√2 √4+√3
1 1 1 1
找到规律，利用这一规律计算式子 + + …+ 的值为________．
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2010+√2009
25 如图Rt△ABC中，AB = BC = 4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周
长的最小值为________．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 8 讲 函数初步
例题练习题答案
例1 下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A：
B：
C：
54/128
D：
练1.1 下列图象中y不是x的函数的是（ ）
A：
B：
C：
D：
例2
(1)下列关系式中，y是x的函数的是________________．
2 2
①y = 12x；②y = 2x ；③y = x；④y = |x|；
2 2
⑤x +y = 1；⑥y = 3x；⑦|2y| = x；⑧y = −2x+1．
(2)下面每个选项中给出某个变化过程中的两个变量x、y的数值，其中y不是x的函数的是（ ）
A：
x 1 1 3 3
y −1 −2 −3 −4
55/128
B：
x 1 2 3 4
y −1 −2 −3 −4
C：
x 1 2 3 4
y π √2 0 2 2016
D：
x 1 2 3 4
y 2 2 2 2
练2.1 下列关系式中，y不是x的函数的有（ ）个
|x| 3
2 2 2 2
①y = 5x−4；②y = 5x ；③y = −3x；④y = ；⑤x −y = 3；⑥y = 4− .
4 x
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例3 求出下列函数中自变量x的取值范围：
3 √x−1
3
（1）y = 2x−3；（2）y = ； （3）y = ； （4）y = √x−1．
1−x x−2
练3.1 求出下列函数中自变量x的取值范围：
1
（1）y = ； （2）y = √2+x；
x−2
x−2
（3）y = 4x−5； （4）y = ．
x+3
例4 已知等腰三角形的周长为10cm，腰长为xcm，底边长为ycm．
（1）以腰长x为自变量，写出y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
56/128
（2）当y = 3时，求x的值．
练4.1 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（h）之间
的函数解析式是________，t的取值范围为________．
例5 某人骑车沿直线旅行，先前进了a km，休息了一段时间，又原路返回了b km（b < a），再前进c
km，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）
练5.1 为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”．张村和王村之间的道路需要进行
改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按
时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y与时间x的函数关系的大
致图象是（ ）
A：
B：
C：
D：
例6 周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得
特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了
公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（ ）
57/128
A： 小丽在便利店时间为15分钟
B： 公园离小丽家的距离为2 000米
C： 小丽从家到达公园共用时间20分钟
D： 小丽从家到便利店的平均速度为100米/分钟
能力提高 / 初二 / 暑假
第 8 讲 函数初步
自我巩固答案
1 下列变量之间的关系：
（1）三角形面积与它的底边（高为定值）；
（2）x−y = 3中的x与y；
（3）圆的面积与圆的半径；
（4）y = |x|中的x与y．其中是函数关系的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 下列四个选项中，y不是关于x的函数的是（ ）
A： |y| = x−1
B： 2
y =
x
58/128
C： y = 2x−7
D： 2
y = x
3 下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）
A：
B：
C：
D：
4 √x−1
函数y = 自变量x的取值范围是（ ）
x−3
A： x ≥ 1且x ≠ 3
B： x ≥ 1
C： x ≠ 3
D： x > 1且x ≠ 3
5 √x
函数y = 中的自变量x的取值范围是（ ）
x+1
A： x ≥ 0
B： x ≠ −1
59/128
C： x > 0
D： x ≥ 0且x ≠ −1
6 1
当x = 2时，函数y = x+1的值是（ ）
2
A： 3
B： 2
C： 1
D： 0
7 已知长方形周长为18，设其中一边长为x，另一边长为y．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围．
8 小华从家里出发前往宁波体育馆观看演唱会，先匀速步行到轻轨车站，等了一会儿，小华搭乘轻
轨至体育馆观看演出，演出结束后，小华搭乘邻居王叔叔的车顺利到家．其中x表示小华从家出发
后所用时间，y表示小华离家的距离，下列各图能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A：
B：
C：
D：
60/128
9 某星期天下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车
站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所
用的时间x（分）之间的函数关系，下列说法错误的是（ ）
A： 小强从家到公共汽车站步行了2公里
B： 小强在公共汽车站等小明用了10分钟
C： 公共汽车的平均速度是30公里/小时
D： 小强乘公共汽车用了20分钟
10 某农场租用收割机收割小麦，甲收割机单独收割2天后，又调来乙收割机参与收割，直至完成800
亩的收割任务．收割亩数与天数之间的函数关系如图所示，那么乙参与收割的天数是___天．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 8 讲 函数初步
课堂落实答案
1 下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（ ）
A：
61/128
B：
C：
D：
2 √x−3
在函数y = 中，自变量x的取值范围是（ ）
x−3
A： x > 3
B： x ≥ 3
C： x ≠ −3
D： x > −3且x ≠ 0
3 1
2
变量x与y之间的函数关系是y = x −1，则自变量x = −2时的函数值为_____．
2
4 1
已知函数y = (−x+3)+1，当x = ______时，函数值为1．
2
5 匀速地向如图所示的一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，能大致反映水面高度h随时
间t变化的图象是（ ）
62/128
A：
B：
C：
D：
能力提高 / 初二 / 暑假
第 8 讲 函数初步
精选精练
1 下列曲线中表示y是x的函数的是（ ）
63/128
A：
B：
C：
D：
2 某水池有水15m 3 ，现打开进水管进水，进水速度5m 3 /h；xh后这个水池内有水y m 3 ，则y关于x
的关系式为（ ）
A： y = 15−5x
B： y = 5x−15
C： y = 5x+15
D： y = 5x
3 √x+1
在函数y = 中，自变量x的取值范围是（ ）
2x−1
A： x≥1
64/128
B： 1
x＞1且x≠
2
C： 1
x≥1且x≠
2
D： x＞1
4 匀速地向一个容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h（cm）随时间t（s）的
变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状是图中的（ ）
A：
B：
C：
D：
5 如图，l ，l 分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．
A B
(1)B出发时与A相距_____千米．
(2)B走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是_____小时．
65/128
(3)B出发后_____小时与A相遇．
(4)若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，_____小时与A相遇，相遇点离B的出发点
_____千米．在图中表示出这个相遇点C．
(5)求出A行走的路程S与时间t的函数关系式．（写出过程）
6 一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速
同时驶往甲地，两车之间的距离s（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示，则下列
说法中：①甲、乙两地之间的距离为560km；②快车速度是慢车速度的1.5倍；③快车到达甲地
时，慢车距离甲地60km；④相遇时，快车距甲地320km．正确的是（ ）
A： ①②
B： ①③
C： ①④
D： ①③④
能力提高 / 初二 / 暑假
第 9 讲 一次函数
例题练习题答案
例1 |m|−3
已知关于x的函数y = (m+3)x +2n−6是正比例函数，则mn = _____．
练1.1 2a+b
已知函数y = 2x +a+2b是正比例函数，则a = _____．
练1.2 |a+1|
如果函数y = (a+2)x 是正比例函数，那么（ ）
66/128
A： a = 0或a = −2
B： a = 2
C： a = −2
D： a = 0
例2
( ) ( )
(1)已知P 1,y ，P 2,y 是正比例函数y = x的图象上的两点，则y ___y （填“ > ”或“ <
1 1 2 2 1 2
”或“ = ”）．
(2)下列关于正比例函数y = 3x的说法中，正确的是（ ）
A： 当x = 3时，y = 1
B： 它的图象是一条过原点的直线
C： y随x的增大而减小
D： 它的图象经过第二、四象限
练2.1 若正比例函数y = (1−2m)x的图象经过点A ( x ,y ) 和点B ( x ,y ) ，当x < x 时，y > y ，则m的取
1 1 2 2 1 2 1 2
值范围是（ ）
A： m < 0
B： m > 0
C： 1
m <
2
D： 1
m >
2
练2.2 已知正比例函数y = kx(k < 0)图象上的两点A ( x ,y ) 、B ( x ,y ) ，且x < x ，则下列不等式中恒成
1 1 2 2 1 2
立的是（ ）
A： y +y > 0
1 2
67/128
B： y +y < 0
1 2
C： y −y > 0
1 2
D： y −y < 0
1 2
例3 2
函数y = (m−2)x+m −4（m为常数），
(1)当m取何值时，y是x的正比例函数？
(2)当m取何值时，y是x的一次函数？
练3.1 |m|−2
当m、n为何值时，函数y = (m−3)x +n−2，
（1）是一次函数？
（2）是正比例函数？
练3.2 2
给出下列函数：①x+y = 0；②y = x−2；③y+3 = 3(x−5)；④y = 2x +1；
3
√
2
⑤y = +2；⑥y = x ，其中是一次函数的有（ ）
x
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
例4 给出下列函数：①y = 2x；②y = −2x；③y = 2x−1；④y = −2x+1，其中y随着x的增大而增大的
是（ ）
A： ①②
B： ③④
C： ①③
D： ②④
练4.1 一次函数y = 2x−3的图象不经过的象限是（ ）
68/128
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
例5 1
( ) ( )
已知P −1,y ，P −2,y 是函数y = x的图象上的两点，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 1 2 1 2
3
A： y > y
1 2
B： y < y
1 2
C： y = y
1 2
D： 以上都不对
练5.1 已知A ( x ,y ) 、B ( x ,y ) 两点在一次函数y = 3x+1的图象上，若y > y ，则x 与x 的大小关系是
1 1 2 2 1 2 1 2
（ ）
A： x < x
1 2
B： x > x
1 2
C： x = x
1 2
D： 无法确定
练5.2
(1) ( 2 )
若点M(−7,m)、N(−8,n)都在函数y = − k +2k+4 x+1（k为常数）的图象上，则m和n的
大小关系是（ ）
A： m > n
B： m < n
C： m = n
D： 不能确定
69/128
( ) ( )
(2)已知点 −1,y 、 4,y 在一次函数y = 3x−2的图象上，则y 、y 、0的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A： 0 < y < y
1 2
B： y < 0 < y
1 2
C： y < y < 0
1 2
D： y < 0 < y
2 1
例6 已知一次函数y = (m+1)x−(4m−3)，y值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A： m > −1
B： m < −1
C： 3
−1 < m <
4
D： 3
m <
4
练6.1 已知一次函数y = (m+2)x+(1−m)，若y值随x值的增大而减小，且此函数图象与y轴的交点在x轴
的上方，则m的取值范围是（ ）
A： m > −2
B： m < 1
C： m < −2
D： m < 1且m ≠ −2
例7 在平面直角坐标系中，已知一次函数y = (k−2)x−b的图象大致如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
70/128
A： k > 2，b > 0
B： k > 2，b < 0
C： k < 2，b > 0
D： k < 2，b < 0
练7.1 函数y = kx+|k|(k ≠ 0)在直角坐标系中的图象可能是（ ）
A：
B：
C：
D：
能力提高 / 初二 / 暑假
第 9 讲 一次函数
自我巩固答案
71/128
1 若一次函数y = (a+3)x+(|a|−3)为正比例函数，则a的值为（ ）
A： ±3
B： −3
C： 3
D： 任意实数
2 已知正比例函数y = (m−3)x的图象经过第一、三象限，则m的取值范围是（ ）
A： m ≥ 3
B： m > 3
C： m ≤ 3
D： m < 3
3 若正比例函数y = (1−4m)x的图象y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A： 1
m >
4
B： 1
m <
4
C： m > 0
D： m < 0
4 1
( ) ( )
P x ,y 、P x ,y 是正比例函数y = − x图象上的两点，下列判断中，正确的是（ ）
1 1 1 2 2 2
2
A： y > y
1 2
B： y < y
1 2
C： 当x < x 时，y < y
1 2 1 2
D： 当x < x 时，y > y
1 2 1 2
72/128
5 正比例函数y = kx(k ≠ 0)函数值y随x的增大而增大，则y = kx−k的图象大致是（ ）
A：
B：
C：
D：
6 1 x+1
下列函数关系式中：①y = 2x+1；②y = ；③y = −x；④s = 60t；⑤y = 100−25x； ⑥
x 2
y = πx，表示一次函数的有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
7 ( 2 )
已知函数y = (m+1)x+ m −1 ，当m取什么值时，y是x的一次函数？当m取什么值时，y是x的
正比例函数？
8 已知函数y = (m+2)x−2，要使函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A： m ≥ −2
73/128
B： m > −2
C： m ≤ −2
D： m < −2
( ) ( )
9 点P x ,y 、点P x ,y 是一次函数y = −4x+3图象上的两个点，且x < x ，则y 与y 的大小
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
关系是（ ）
A： y > y
1 2
B： y > y > 0
1 2
C： y < y
1 2
D： y = y
1 2
10 已知一次函数y = (a+8)x+(6−b)，
(1)a、b为何值时，y随x的增大而增大？
(2)a、b为何值时，图象过第一、二、四象限？
(3)a、b为何值时，图象与y轴的交点在x轴上方？
(4)a、b为何值时，图象过原点？
能力提高 / 初二 / 暑假
第 9 讲 一次函数
课堂落实答案
1 若函数y = (k−1)x+b+2是正比例函数，则（ ）
A： k ≠ −1，b = −2
B： k ≠ 1，b = −2
74/128
C： k = 1，b = −2
D： k ≠ 1，b = 2
2 正比例函数y = 3x(x ≥ 0)的大致图象是（ ）
A：
B：
C：
D：
3 下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A： 1−x
y = −
2
B： 2
y = −
x
C： x
y = −
2
D： 2
y = x +1
4 对于一次函数y = kx+b(k ≠ 0)，下列说法中正确的是（ ）
75/128
A： 若k > 0，则y随着x的增大而减小
B： 若b > 0，则函数图象与y轴的交点位于y轴的负半轴
C： 若k > 0且b > 0，则函数图象一定不过第四象限
D： 若k < 0且b < 0，则函数图象一定不过第二象限
5 如果函数y = kx+2的图象不经过第三象限，那么k的取值范围是（ ）
A： k > 0
B： k ≥ 0
C： k < 0
D： k ≤ 0
能力提高 / 初二 / 暑假
第 9 讲 一次函数
精选精练
1 2
a 2019
若y = (a+1)x +(b−2)是正比例函数，则(a−b) 的值为_______．
2 若正比例函数y = kx（k是常数，k ≠ 0）的图象经过第二、四象限，则k的值可以是_______（写出一
个即可）．
3 2
4m +1
当m=_______时，函数y = −(m+2)x +6x−9是关于x的一次函数．
4 若一次函数y = kx+b的图象如图所示，则函数y = −3kx−b的图象可能为（ ）
76/128
A：
B：
C：
D：
5 若式子√k−1有意义，则一次函数y = (k−1)x+1−k的图象可能是（ ）
A：
B：
C：
77/128
D：
6 已知函数y = (5m−2)x+2m+1，
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
(2)若这个函数是一次函数，且y随x的增大而增大，求m的取值范围；
(3)若这个函数是一次函数，且图象不经过第一象限，求m的取值范围．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 10 讲 二元一次方程组（一）
例题练习题答案
例1 回答下列问题.
(1) m−1 3n+1
已知3x +y = 11是关于x、y的二元一次方程，则m+n = _____．
(2) |n| m−2020 m
已知(n−1)x −2y = 0是关于x、y的二元一次方程，则n = _____．
练1.1 3m−5 2n+3
已知2x −5y = 4是关于x，y的二元一次方程，则m = ________，n = ________．
例2 下列各组数值是二元一次方程x−3y = 4的解的是（ ）
A：
{
x = 1
y = −1
B：
{
x = 2
y = 1
78/128
C：
{
x = −1
y = −2
D：
{
x = 4
y = −1
练2.1 x = 2,
{
已知 是关于x、y的方程4kx−3y = −1的一组解，则k的值为（ ）
y = 3
A： 1
B： −1
C： 2
D： −2
练2.2 x = a，
{
已知 是关于x、y的方程3x−ay = 5的一个解，则a的值为( )
y = −2
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例3 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A： {3x 2 +y = 1，
10x−8y = −9
B： xy = 4，
{
x+2y = 6
C： x−y = 2，
{
1 7
−3y = −
x 4
79/128
D：
{
x+2y = 4，
7x−9y = 5
练3.1 下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A：
{
3x−2y = 1，
y = 4z−3
B：
{
2a+b = 7，
2b−3a = 2
C： 1
{ +y = 3，
x
1
−2x = 4
y
D：
{
mn = −1，
m+n = 3
例4 x = −1， x+ay = 0，
{ {
已知 是方程组 的解，则a，b的值分别为（ ）
y = 1 bx+y = 1
A： a = 0，b = 1
B： a = 1，b = 0
C： a = 0，b = 0
D： a = 1，b = 1
练4.1 2x+y = b x = 1
{ {
若方程组 的解是 ，则a−b的值是（ ）
x−by = a y = 0
A： 0
B： 1
C： −1
D： 2
80/128
例5 解方程组：
x = 6y+4，①
{
x = y+1， ①
{
x y 1
（1） （2）
2x+y = 8；② − = ；②
6 2 3
3x−2y = 8，① 2x−y = 5，①
{ {
（3） （4）
y+4x = 7； ② x+y = 1． ②
练5.1 2x+y = 6，① x = y+3， ①
{ {
（1） （2）
y = 3x+1； ② 3x−8y = 14．②
练5.2 { 3x−2y = 1，① { 2x−y = −3，①
（1） （2）
x+3y = 7． ② 4x+5y = 1． ②
能力提高 / 初二 / 暑假
第 10 讲 二元一次方程组（一）
自我巩固答案
1 |a|−2
若方程(a+3)x +3y = 1是关于x、y的二元一次方程，则a = （ ）
A： −3
B： 3
C： ±3
D： ±2
2 下列四组数中，是方程4x−y = 10的解的是（ ）
A：
{
x = 0，
y = −10
B：
{
x = 3.5，
y = −4
81/128
C：
{
x = 15，
y = 4
D：
{
x = 1，
y = 6
3 x = 5，
{
已知 是关于x、y的方程ax+ay = 12的一组解，那么a的值为（ ）
y = −1
A： 1
B： 3
C： −3
D： −1
4 下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A： 3x−2y = 0,
{
4x−1 = y
B： −2x = y+x,
{
x+y = 8
C： 3x−y = 6,
{
x−z = 1
D： 2x+y = 6,
{
2x = y
5 x = 2，
{
以 为解的二元一次方程组是（ ）
y = −1
A： x+y = 1，
{
x−y = −3
B： 2x+y = 3，
{
x−y = −1
82/128
C： x+y = 1，
{
x−y = 3
D： x+y = 0，
{
x−y = −2
6 x = 2， mx+y = 3，
{ {
已知 是关于x，y的二元一次方程组 的解，则m+n = （ ）
y = −1 x−(n−3)y = 10
A： 10
B： 12
C： 13
D： 15
7 { ax+4 = 14 { x = 5
若关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，求a+b的值．
−2+by = −22 y = 5
8 对于方程x−7y−5 = 0，用含y的代数式表示x，应是（ ）
A： x = 5+7y
B： x = 7y−5
C： x−5
y =
7
D： y = x−5
9 x+y = 6
{
方程组 的解是（ ）
3x−y = 2
A：
{
x = 2
y = 4
B：
{
x = 4
y = 2
83/128
C：
{
x = 1
y = 5
D：
{
x = 3
y = 3
10 用代入消元法解方程组：
x = 3y, m−n = 2, 5x+2y = 25,
{ { {
（1） （2） （3）
x+2y = −5； 2m+3n = 14； 3x+4y = 15.
能力提高 / 初二 / 暑假
第 10 讲 二元一次方程组（一）
课堂落实答案
1 |a|−1
若(a+2)x +3y = 1是关于x、y的二元一次方程，则a = __________．
2 x = 2，
{
若关于x、y的二元一次方程ax+2(y−3) = 7的一组解是 ，则a = ________．
y = 1.5
3 下列方程组中，哪些是二元一次方程组：____________．（填写序号）
x+y = 4,
{
①
2x+3y = 7;
2a−3b = 11,
{
②
5b−4c = 6;
x+y = 8,
{
③
2
x −y = 4;
xy−7 = 9,
{
④
y = 2x.
4 { x = 2， { 2x+(m−1)y = 2，
2018
已知 是方程组 的解，则(m+n) 的值为（ ）
y = 1 nx+y = 1
84/128
A： −1
B： 0
C： 1
D： −2
5 y = 1−x，
{
用代入消元法解方程组 时，代入正确的是（ ）
x−2y = 4
A： x−2−x = 4
B： x−2−2x = 4
C： x−2+2x = 4
D： x−2+x = 4
能力提高 / 初二 / 暑假
第 10 讲 二元一次方程组（一）
精选精练
1 |a|−2
若(a−3)x+y = 1是关于x、y的二元一次方程，则a的值是__________．
2 2ax+by = 3， x = 1，
{ {
已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则a−2b的值是（ ）
ax−by = 1 y = −1
A： −2
B： 2
C： 3
D： −3
3 y−(a−1)x = 5
{
b
若方程组 是关于x，y的二元一次方程组，则a 的值为______．
|a|
y +(b−5)xy = 3
85/128
4 3x+7y = 10，
{
如果方程组 的解中的x与y的值相等，那么a的值是（ ）
2ax+(a−1)y = 5
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
5 x
{
+2=y， ①
解方程组： 9
②
2(x−8) −y=−1．
6 2x+5y = 3，①
{
阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解
4x+11y = 5 ②
法：
解：将方程②变形为4x+10y+y = 5，即2(2x+5y) +y = 5，③
把①代入③，得2×3+y = 5．
解得y = −1．
把y = −1代入①，得x = 4．
x = 4，
{
所以原方程组的解为
y = −1．
请你运用以上方法解决下列问题：
x+3y = 2， ①
{
模仿小红的方法解方程组
2x+7y = 6．②
能力提高 / 初二 / 暑假
第 11 讲 二元一次方程组（二）
例题练习题答案
例1 用加减消元法解方程组．
86/128
{ 7x−4y = 4， ① { x+2y = 1， ①
（1） （2）
8x−4y = 5； ② 3x−2y = 11．②
练1.1 用加减消元法解方程组．
{ 2m+3n = 6， ① { 6x−5y = 3， ①
（1） （2）
3n−4m = −6；② 6x+y = −15．②
例2 用加减消元法解方程组：
2x+y = 5
{
（1） ；
4x+3y = 7
2x−y = 1
{
（2） ．
3x+2y = 5
练2.1 用加减消元法解方程组．
7x−2y = 13，① 4x−3y = −7， ①
{ {
（1） （2）
3x−5y = −11；② 5x+4y = 30．②
例3 某年级学生共有 246 人,其中男生人数 y 比女生人数 x 的 2 倍少 2 人,则下面所列的方程组中符合题
意的有 （ ）
A： x+y = 246,
{
2y = x−2
B： x+y = 246,
{
2x = y+2
C： x+y = 216,
{
y = 2x+2
D： x+y = 246,
{
2y = x+2
练3.1 买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水的
桶数的75%，设买甲种水x桶，乙种水y桶，则所列方程组中正确的是（ ）
87/128
A：
{
8x+6y = 250，
y = 0.75x
B：
{
8x+6y = 250，
x = 0.75y
C：
{
6x+8y = 250，
y = 0.75x
D：
{
6x+8y = 250，
x = 0.75y
例4 学校八年级师生共466人准备到飞翔教育实践基地参加研学旅行，现已预备了49座和37座两种客
车共10辆，刚好坐满．求49座客车和37座客车的数量分别为多少？
练4.1 我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三
个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分
完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？
例5 某工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而
总收入比总支出多100万元．求去年的总收入和总支出．
练5.1 某农场去年大豆和小麦的总产量为200吨，今年大豆和小麦的总产量为225吨，其中大豆比去年增
产5%，小麦比去年增产15%，求该农场今年大豆和小麦的产量各是多少吨？
能力提高 / 初二 / 暑假
第 11 讲 二元一次方程组（二）
自我巩固答案
1 2x−y = −2，
{
二元一次方程组 的解为（ ）
x+y = 5
A：
{
x = −1，
y = 6
88/128
B： 7
{x = ，
3
8
y =
3
C：
{
x = 3，
y = 2
D：
{
x = 1，
y = 4
2 7x−6y = 14， ①
{
用加减消元法解方程组 方程①×2+②×3所得结果正确的是（ ）
3x+4y = 6， ②
A： 10x−2y = 20
B： 7y = 21
C： 7x = 63
D： 23x = 46
3 解方程组：
5x−y = 5,
{
（1）
x−y = 4；
x−y = −4,
{
（2）
2x+y = 13.
4 解方程组．
3x+4y = 11，
{
（1）
5x−y = 3；
3x+2y = 3，
{
（2）
5x−6y = −23．
5 解方程组．
89/128
3x−2y = 7，
{
（1）
2x+3y = 9；
2x−5y = −3，
{
（2）
5x−2y = −18．
6 鸿运旅行社组织了197人到香格里拉和九寨沟旅游，到香格里拉的人数x比到九寨沟的人数y的2倍
多5人，则下面所列的方程组中符合题意的是（ ）
A：
{
x = 2y−5，
x+y = 197
B：
{
2y = x+5，
x+y = 197
C：
{
x = 2y+5，
x+y = 197
D：
{
x = 2(y+5)，
x+y = 197
7 小明在学习之余去买文具，打算购买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售
货员对话如下：
小明：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本．
售货员：好的，那你应该付52元．
小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元．
请你判断在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付（ ）
A： 10元
B： 11元
C： 12元
D： 13元
8 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量
之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折
90/128
再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程
组是（ ）
A： y = x+4.5
{
1
y = x+1
2
B： y = x+4.5
{
1
y = x−1
2
C： y = 4.5−x
{
1
y = x+1
2
D： y = x−4.5
{
1
y = x−1
2
9 在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，
若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多
少千克．
10 某工厂去年的利润（总收入−总支出）为300万元，今年总收入比去年增加20%，总支出比去年减
少10%，今年的利润为420万元，去年的总收入、总支出各是多少万元？
能力提高 / 初二 / 暑假
第 11 讲 二元一次方程组（二）
课堂落实答案
1 5x−2y = −15， ①
{
已知方程组 ，由②−①得（ ）
5x+6y = 17 ②
91/128
A： 8y = 32
B： 8y = 2
C： 10x = 2
D： 10x = 32
2 4x+3y = 6,
{
二元一次方程组 的解是（ ）
2x+y = 4
A：
{
x = −3,
y = 2
B：
{
x = 2,
y = −1
C：
{
x = 3,
y = −2
D：
{
x = 3,
y = 2
3 解方程组．
2x+5y = 25，①
{
4x+3y = 15．②
4 一个长方形的长的2倍比宽的5倍还多1 cm，宽的3倍又比长多1 cm，求这个长方形的长与宽．设
长为x cm，宽为y cm，则下列方程组中正确的是（ ）
A：
{
2x−5y = 1
x−3y = 1
B：
{
5y−2x = 1
3y−x = 1
C：
{
2x−5y = 1
3y−x = 1
92/128
D：
{
5y−2x = 1
x−3y = 1
5 1
甲、乙两条绳共长17m，如果甲绳减去 ，乙绳增加1m，两条绳长相等，求甲、乙两条绳各长多
5
少米．若设甲绳长x（m），乙绳长y（m），则可列方程组（ ）
A： x+y = 17，
{
1
x− = y+1
5
B： x+y = 17，
{
1
x+ = y−1
5
C： x+y = 17，
{
1
x− x = y+1
5
D： x+y = 17，
{
1
x+ x = y−1
5
能力提高 / 初二 / 暑假
第 11 讲 二元一次方程组（二）
精选精练
1 解方程组．
93/128
x y
{ + = 8，①
x+y = 2，① 2 3 2(x−1) +3(y+1) = 10，①
{ {
（1） （2） （3）
x−y = 0；② x y 3x = 2(y−2)． ②
− = 7；②
5 2
2 解答下列各题．
2x+4y = 16,
{
（1）解方程组：
5x−2y = 4.
2(m+n) +4(m−n) = 16,
{
（2）在（1）的基础上，求方程组 的解．
5(m+n) −2(m−n) = 4
3 1
父子二人并排垂直站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的 ，儿子露出水面的高
3
1
度是他自身身高的 ，父子二人的身高之和为3.2米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则
7
可列方程组为（ ）
A： x+y = 3.2，
{
1 1
( ) ( )
1+ x = 1+ y
7 3
B： x+y = 3.2，
{
1 1
( ) ( )
1− x = 1− y
7 3
C： x+y = 3.2，
{
1 1
x = y
3 7
D： x+y = 3.2，
{
1 1
( ) ( )
1− x = 1− y
3 7
94/128
4 疫情之下，口罩的需求量大幅上升，小明去某厂调查口罩的生产速度，小明发现做5只普通医用口
罩、5只KN95口罩共需200秒，做4只普通医用口罩、8只KN95口罩共需300秒，请你帮小明计算
下平均做一只普通医用口罩与一只KN95口罩各需多少时间？
5 有一群小鸟，其中一部分在树上唱歌，另一部分在地上觅食．树上的一只小鸟对地上觅食的小鸟
1
说：“若从你们中飞上来一只，则树下的小鸟就是整个鸟群的 ；若从树上飞下去一只，则树上、
3
树下的小鸟一样多”．你知道树上树下各有几只小鸟吗？
6 现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3:7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4:1，
今要得到酒精与水的比为3:2的酒精溶液50kg．问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？
能力提高 / 初二 / 暑假
第 12 讲 二元一次方程与一次函数
例题练习题答案
例1 下面哪个点不在函数y = −2x+3的图象上（ ）
A： (−5,13)
B： (0.5,2)
C： (3,0)
D： (1,1)
练1.1 1
下面哪个点在函数y = x−1的图象上（ ）
3
A： (3,1)
B： (−3,1)
C： (−3,0)
D： (3,0)
95/128
例2 已知一次函数y = −2x−4的图象过点(a,0)和点(−1,b)，求a，b的值．
练2.1 已知一次函数y = kx+2经过点(1,0)，则k的值是（ ）
A： 1
−
2
B： 1
2
C： −2
D： 2
例3 已知直线y = −2x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点．求A、B两点的坐标．
练3.1 4
函数y = − x−4的图象交x轴于A，交y轴于B，则AB两点间的距离为______．
3
练3.2 一次函数y = 2x+2的图象与x轴的交点坐标是( )
A： (0,2)
B： (0, −2)
C： ( −1,0)
D： (1,0)
例4 已知一次函数y = 2x−3，回答下列问题：
（1）和x轴的交点坐标为__________，和y轴交点坐标为___________；
（2）和直线y = 3的交点坐标为___________，和直线x = −2的交点坐标为__________；
（3）和一三象限角平分线的交点为____________，和二四象限角平分线的交点坐标为
____________．
练4.1 已知一次函数y = −x−4，回答下列问题：
（1）和x轴的交点坐标为__________，和y轴交点坐标为___________；
（2）和直线x = 3的交点坐标为___________，和直线y = −5的交点坐标为_________；
（3）和一、三象限角平分线的交点坐标为____________．
96/128
练4.2 1
一次函数y = x−4和y = −3x+3的图象的交点坐标是________________．
2
例5 若一次函数y = kx−3k+6的图象过原点，则k = ______，一次函数的解析式为________．
例6 已知：一次函数y = kx+b(k ≠ 0)的图象经过M(0,2)，N(1,4)两点，求该一次函数的函数解析式．
练6.1 设一次函数y = kx+b(k ≠ 0)的图象经过A(1,3)、B(0, −2)两点，求此函数的解析式．
例7 如图，已知函数y = x+1和y = ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1．
x−y = −1，
{
（1）关于x，y的方程组 的解是_________________；
ax−y = −3
（2）a = _________；
（3）求出函数y = x+1和y = ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 12 讲 二元一次方程与一次函数
自我巩固答案
1 下列给出的四个点中，在函数y = 2x−3图象上的是（ ）
A： (1, −1)
B： (0, −2)
C： (2, −1)
D： (−1,6)
97/128
2 5
如果点M(3,m)在直线y = − x+2上，则m的值是__________．
3
3 若点A(2,4)在函数y = kx−2的图象上，则下列各点在函数图象上的是（ ）
A： (0, −2)
B： 3
( )
,0
2
C： (8,20)
D： 1 1
( )
,
2 2
4 一次函数y = −2x+3的图象与y轴的交点坐标是__________．
5
(1)一次函数y = −2x+2的图象与x轴的交点坐标为______________．
(2)已知一次函数y = −x+3；
①求一次函数与x轴、y轴交点坐标；
②画出一次函数y = −x+3的图象；
③求出一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积．
6 已知点A(2,0)在函数y = kx+3的图象上．
(1)求该函数的表达式；
(2)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
7 如图，在平面直角坐标系中，存在直线y = 2x和直线y = −x+3．
1 2
98/128
(1)直接写出直线y = −x+3与坐标轴的交点坐标：_____________、_____________；
2
(2)求出直线y = 2x和直线y = −x+3的交点坐标．
1 2
8 已知一次函数的图象过点(0,3)和(−2,0)，那么直线必过点（ ）
A： (4,6)
B： ( −4, −3)
C： (6,9)
D： ( −6,6)
9 如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y = 2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是
（ ）
A： y = 2x+3
B： y = x−3
C： y = 2x﹣3
D： y = −x+3
10 如图，直线l 的解析式为y = −3x+3，且l 与x轴交于点D，直线l 经过点A、B．直线l 、l 交于点
1 1 2 1 2
C，且A点坐标为(4,0)．
99/128
(1)求点D的坐标；
(2)求直线l 的解析式；
2
(3)求C点的坐标．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 12 讲 二元一次方程与一次函数
课堂落实答案
1 点A(1,3)__________（填“在”、或“不在”）直线y = −x+2上．
2 函数y = −3x+m的图象过点M（−1,4），那么m的值是_______．
3 一次函数y = 2x−4的图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B．
A、B两点的坐标分别为A（____，____）、B（____，____）．
4 一次函数y = 2−5x和y = 2x−5的图象的交点坐标是________________．
5 一次函数图象过点(0, −3)和(2,0)，则其表达式为（ ）
A： y = −2x+3
B： 3
y = x−3
2
C： y = −3x+2
100/128
D： 2
y = − x+2
3
能力提高 / 初二 / 暑假
第 12 讲 二元一次方程与一次函数
精选精练
1 已知一次函数y = −5x+m的图象经过点(−2,7)，则下列点在函数图象上的是（ ）
A： (0, −2)
B： (1,8)
C： (−3,12)
D： (−1,1)
2 一次函数y = −kx+3的图象经过点(−1,4)．
（1）求这个函数表达式；
（2）判断(9, −6)是否在此函数的图象上．
3 1
一次函数y = − x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点．
2
(1)画出该函数的图象；
(2)求A、B两点的坐标；
(3)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
4 已知一次函数y = −2x+1与y = x+2交于点(m,n)，则m+n = （ ）
A： 2
B： 2
3
101/128
C： 1
D： 4
3
5 在直角坐标系内，一次函数y = kx+b（k ≠ 0）的图象经过三点A(2,0)，B(0,2)，C(m,3)．求这个
一次函数解析式并求m的值．
6 已知一次函数y = kx+b(k ≠ 0)，当−1 ≤ x ≤ 3时，2 ≤ y ≤ 4，求一次函数解析式．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 13 讲 数据的分析
例题练习题答案
例1 8名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）分别为80，82，79，69，74，78，x，81，这组
成绩的平均数是78，则x的值为（ ）
A： 76
B： 74
C： 75
D： 81
练1.1 某小组某次英语听写的平均成绩为80分，5名同学中有4名同学的成绩分别为：82，85，90，
75，则另一名同学的成绩为__________分．
例2 某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试，他们的成绩（百分制）如下
表所示．
应聘者 面试 笔试
甲 87 90
乙 91 82
102/128
若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？
练2.1 晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中体育课外活动成绩占20%，期中考试成绩占
30%，期末考试成绩占50%，小桐三项体育成绩（百分制）依次为95分，90分，86分，则小桐这
学期的体育成绩是（ ）
A： 88分
B： 89分
C： 90分
D： 91分
例3 五一期间（5月1日-7日），北京每天最高温度（单位：℃）情况如图所示，则表示最高温度的这
组数的中位数是（ ）
最高温度
A： 24
B： 25
C： 26
D： 27
练3.1 六箱苹果的重量分别为（单位：千克）：18，20，21，22，19，19，则这六箱苹果重量的中位
数为（ ）
A： 20
B： 19.5
C： 19
103/128
D： 18.5
例4 某校学生参加体育测试，某小组10名同学完成引体向上的个数如下表：
完成引体向上的个数 10 9 8 7
人数 1 1 3 5
这10名同学引体向上个数的众数是（ ）
A： 10
B： 9
C： 8
D： 7
练4.1 在某次数学测验中，随机抽取了15份试卷，其成绩如下：72，77，81，81，85，81，92，87，
79，84，92，87，90，87，89，则这组数据的众数是（ ）
A： 81
B： 92
C： 87
D： 81和87
练4.2 有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛．已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额．某
同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在下列13名同学成绩的统计量中只需知道一
个量，它是（ ）
A： 众数
B： 都可以
C： 中位数
D： 平均数
例5 已知一组数据：4，−1，5，9，7，则这组数据的极差是__________．
练5.1 数据−1，0，3，5，x的极差为7，那么x等于（ ）
104/128
A： 6
B： −2
C： 6或−2
D： 不能确定
练5.2
(1)某天中央电视台的天气预报说，北京今天最高气温28℃，最低气温16℃，昆明最高气温24℃
，最低气温18℃，那么这两个城市当天气温的极差分别为________和________，气温波动大的
是_______．
(2)下列能够刻画一组数据变化范围的统计量是（ ）
A： 平均数
B： 众数
C： 中位数
D： 极差
例6 若甲、乙两个街舞团的人数相同，平均身高相同，通过计算身高的方差发现身高更整齐的街舞团
是甲，那么S 2 ______S 2 （填“＞”或“＜”）．
甲 乙
练6.1 小林同学对甲、乙、丙三个市场某月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月三个市场的
价格平均值相同，方差分别为S
2
=7.5，S
2
=1.5，S
2
=3.1，那么该月份白菜价格最稳定的
甲 乙 丙
是_______市场．
例7 （1）学完方差的知识后，小明了解了他最要好的四个朋友的身高，分别是176cm，174cm，
2
177cm，173cm，那么小明四个好朋友身高的方差是____________cm ；
（2）已知一组数据1，2，0，−1，x的平均数为1，则这组数据的方差为__________．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 13 讲 数据的分析
105/128
自我巩固答案
1 数据80，20，40，60，35，65的平均数是（ ）
A： 40
B： 50
C： 60
D： 70
2 某班学生每周课外阅读时间的统计结果如下表：则这些学生每周课外阅读的平均时间为（ ）
时间/小时 3 4 5 6 7
人数 2 5 15 11 7
A： 4.5 小时
B： 5小时
C： 5.4 小时
D： 5.5 小时
3 某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按70%，面试按30%计算加权平均数，作为总成绩．孔
明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是_____分．
4 研究霸王龙的体型大小，科学家主要关注已发现的霸王龙化石尺码的（ ）
A： 众数
B： 中位数
C： 平均数
D： 都可以
5 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的
一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）
A： 众数
B： 中位数
106/128
C： 平均数
D： 都可以
6 七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，下表是从七
年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况：
节水量（m 3 ） 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
家庭数（个） 1 2 2 4 1
那么这组数据的众数和平均数分别是（ ）
A： 0.4和0.34
B： 0.4和0.3
C： 0.25和0.34
D： 0.25和0.3
7 我市某中学举行“中国梦⋅校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手
组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩，如图所示．
(1) 根据图示填写下表：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
初中部 __________ 85 __________
高中部 85 __________ 100
(2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好？
8 已知一组数据：4，−1，5，9，7，6，7，则这组数据的极差和众数分别是（ ）
107/128
A： 10和7
B： 9和7
C： 10和9
D： 7和9
9 某市举行中学生“好书伴我成长”演讲比赛，某同学将所有选手的得分情况进行统计，绘成如图
所示的成绩统计图．思考下列四个结论：①比赛成绩的众数为6分；②成绩的极差是5分；③比赛
成绩的中位数是7.5分；④共有25名学生参加了比赛，其中正确的判断共有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
10 甲、乙两台机床同时生产一种零件，在5天中，两台机床每天出次品的数量（单位：个）如下表：
甲 0 1 2 0 2
乙 2 1 0 1 1
关于以上数据的平均数、中位数、众数和方差，说法不正确的是（ ）
A： 甲、乙的平均数相等
B： 甲、乙的众数不相等
C： 甲、乙的中位数相等
D： 甲的方差小于乙的方差
能力提高 / 初二 / 暑假
108/128
第 13 讲 数据的分析
精选精练
1 小明期末语、数、英三科的平均分为92分，他记得语文是88分，英语是95分，把数学成绩忘记
了，你知道小明数学多少分吗？（ ）
A： 93分
B： 95分
C： 92.5分
D： 94分
2 某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛．现有
甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项
成绩均按百分制记录．甲、乙、丙三个小组各项得分如表：
小组 研究报告 小组展示 答辩
甲 91 80 78
乙 81 74 85
丙 79 83 90
（1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序；
（2）如果按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%的比例计算各小组的成绩，哪个小
组的成绩最高？
3 若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（ ）
A： 0
B： 2.5
C： 3
D： 5
109/128
4 甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中进球分别为9，9，x，7．若这组数据的众数与平均
数恰好相等，则这组数据的中位数为_____．
5 如果一组数据1，0，−2，2，x的极差是6，且x＞0，那么x的值是___．
6 2
一组数据的方差为s ，如果把这组数据中的每个数据都扩大为原来的3倍，那么所得到的一组新数
据的方差为（ ）
A： 2
s
3
B： 2
s
C： 2
3s
D： 2
9s
能力提高 / 初二 / 暑假
第 14 讲 平行线的证明
例题练习题答案
例1 2
当n为正整数时，n +3n+1的值一定是质数吗？
练1.1 2
当n=1，2，3，…，39时，发现式子n +n+41的值都是质数，你能肯定对于所有的自然数n，式
2
子n +n+41的值都是质数吗？
例2
(1)下列语句中，命题有（ ）
①两个钝角相等；②等式两边加上同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；③今天天
气很晴朗啊；④三角形的内角和是180°．
A： 1个
110/128
B： 2个
C： 3个
D： 4个
(2)下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果…那么…
”的形式，再指出命题的条件和结论．
①同号两数的和一定不是负数；
②若x = 2，则1−5x = 0；
③延长线段AB至C，使B是AC的中点；
④互为倒数的两个数的积为1．
练2.1
(1)下列命题正确的有（ ）
0
①相等的角都是直角；②如果a为有理数，那么a = 1；③对顶角相等；④内错角相等．
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
(2)将下列命题写成“如果______那么______”的形式．
①互为相反数的两个数之和等于零；
②内错角相等，两直线平行；
③钝角都小于180°．
例3 根据图形填空：
（1）已知∠1+∠BCG = 180∘ ，可以得到_________，理由是：同旁内角互补，两直线平行；
（2）已知∠2 = _____，可以得到EF∥BC，理由是_______________________________；
（3）已知∠1 = ∠4，可以得到_________，理由是______________________________．
111/128
练3.1 如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：
①∠1 = ∠2；
②∠3 = ∠6；
③∠4+∠7 = 180∘ ；
④∠5+∠3 = 180∘ ；
⑤∠6 = ∠8．
其中能判断a//b的是_________（填序号）．
练3.2 如图，已知∠B = 40∘ ，要使AB∥CD，需要添加一个条件，这个条件可以是__________．
例4 如图，AE，DE分别平分∠DAB与∠ADC，且∠1+∠2 = 90∘ ．求证：AB//DC．
证明：∵AE，DE分别平分∠DAB与∠ADC（已知），
∴∠DAB = 2∠2，∠ADC = 2∠1（ ________），
∵∠1+∠2 = 90∘（ ________），
∴∠DAB +________=________（ ________ ），
∴AB//DC（ ________ ）．
练4.1 如图所示，AB和CD相交于点O，∠C = ∠COA，∠D = ∠BOD．求证：AC//BD．补全下面的证明
过程，并在括号内填上适当的理由．
112/128
证明：∵∠C = ∠COA，∠D = ∠BOD（ ），
又∵∠BOD = ∠COA（ ），
∴∠C = ________（等量代换），
∴AC//BD（ ）．
例5 根据图形填空：
（1）已知BE∥CG，可以得到∠1+_____ = ______，
理由是：两直线平行，同旁内角互补；
（2）已知EF∥BC，可以得到∠2 = _____，理由是
________________________________________；
（3）已知_________，可以得到∠1 = ∠4，理由是
_______________________________.
练5.1 如图，直线a//b，直线c与直线a、b都相交，∠1 = 70∘ ，则∠2 = _____．
113/128
练5.2 如图，AB//CD，∠1 = 50∘ ，∠2的度数是（ ）
A： 50°
B： 100°
C： 130°
D： 140°
例6 已知：如图，是一个形如“5”字的图形，AC//DE，AB//CD，∠D+∠E = 180∘ ．求证：
∠A = ∠E．
证明：
∵______________（已知），
∴∠A +∠C = 180∘ （____________________________），
∵AC//DE（________），
∴∠______ = ∠D（__________________________），
又∠D+∠E = 180∘ （已知），
∴∠A = ∠E（__________________）．
练6.1 请将下题证明过程的理由补充完整：
已知：如图，AB//CD，AD//BC．求证：∠A = ∠C．
证明：∵AB//CD（____________），
∴∠B +∠C = 180∘ （___________），
∵AD//BC（已知），
∴∠A +∠B = 180∘ （____________），
114/128
∴∠A = ∠C（_______________）．
能力提高 / 初二 / 暑假
第 14 讲 平行线的证明
课堂落实答案
1 2
当n=1，2，3，4，5，时，式子n −3n+7的值都是质数吗？你能肯定对于所有的自然数n，式子
2
n −3n+7的值都是质数吗？
2 "两条直线被第三条直线所截,同位角相等"的条件是___,结论是___.
3 如图，在四边形ABCD中，若∠1 = ∠2，则AD∥BC，理由是（ ）
A： 两直线平行，内错角相等
B： 同旁内角互补，两直线平行
C： 内错角相等，两直线平行
D： 同位角相等，两直线平行
4 如图，填推理过程的理由．
已知：∠1+∠2 = 180∘ ，求证：a∥b．
证明：∵∠1 = ∠3 （ ），
115/128
∠1+∠2 = 180∘ （ ），
∴∠3+∠2 = 180∘ （ ），
∴a∥b（ ）．
5 下列图形中，能由AB//CD得到∠1 = ∠2的是（ ）
A：
B：
C：
D：
能力提高 / 初二 / 暑假
第 14 讲 平行线的证明
自我巩固答案
1 2
关于代数式a −a+11的值叙述错误的是（ ）
A： 当a = 0，1，2，3时，代数式的值为质数
B： 不能肯定a为任何自然数时，代数式的值是质数
C： 当a = 11时，代数式的值为合数
D： 当a为任意实数时，代数式的值不是质数就是合数
116/128
2 给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）不相等的两个角不是同位角；
（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做该点到直线的距离；
（5）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条．
其中正确的有（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
3 如图，可以推断AB∥CD的是（ ）
A： ∠2 = ∠3
B： ∠1 = ∠4
C： ∠BCD = ∠BAD
D： ∠B +∠4+∠5 = 180∘
4 如图，已知∠2 = 100∘ ，要使AB//CD，则需要具备的另一个条件是（ ）
A： ∠1 = 100∘
117/128
B： ∠3 = 80∘
C： ∠4 = 80∘
D： ∠4 = 100∘
5 如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断BD∥AE的是（ ）
A： ∠1 = ∠2
B： ∠2 = ∠3
C： ∠A = ∠DCE
D： ∠3 = ∠4
6 如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角
∠ABC = 150∘ ，∠BCD = 30∘ ，则（ ）
A： AB//BC
B： BC//CD
C： AB//DC
D： AB与CD相交
7 如图，AB∥CD，如果∠1 = ∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由．
解：因为∠1 = ∠2，
根据__________________________，
118/128
所以________∥________．
又因为AB∥CD，
根据________________________________，
所以EF∥AB．
8 如图，将一块含有30∘ 角的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1 = 48∘ ，那么∠2的度数是
（ ）
A： 48∘
B： 78∘
C： 92∘
D： 102∘
9 如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1 = 46∘ ，则∠2 = （ ）
A： 120∘
B： 150∘
C： 157∘
D： 167∘
10 已知AC∥BD，BE平分∠ABD，求证：∠ABE = ∠AEB．
证明：∵AC∥BD（已知）
119/128
∴∠AEB = _______（ ）
∵BE平分∠ABD（ ）
∴∠ABE = _______（ ）
∴∠ABE = ∠AEB（ ）
能力提高 / 初二 / 暑假
第 14 讲 平行线的证明
精选精练
1 观察下列各式：
2 2
1=1 −0 ，
2 2
3 = 2 −1 ，
2 2
5 = 3 −2 ，
2 2
7 = 4 −3 ，
…
你能否得到结论：所有奇数都可以表示为两个自然数的平方差？所有偶数也能表示为两个自然数
的平方差吗？
2 “a，b，c不在同一平面内，a//b，b//c，那么a//c”是真命题吗？
3 在同一平面内有2017条直线a ，a ，…，a ，如果a ⊥a ，a //a ，a ⊥a ，a //a ，…，那
1 2 2017 1 2 2 3 3 4 4 5
么a 与a 的位置关系是__________．
1 2017
4 如图，已知∠ABC = ∠BCD，∠ABC+∠CDG = 180∘ ，求证：BC∥GD．
120/128
5 如图，将直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α = 43∘ ，则∠β的度数是________．
6 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图，探索这两个角之间的关系，并说明理
由．
(1)如图①，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是 ；
(2)如图②，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是 ；
(3)经过上述证明，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两
个角__________；
(4) 若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60∘
，则这两个角分别是多少度？
能力提高 / 初二 / 暑假
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 若点P(m,n)在第二象限，则点Q(−n, −m)是在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
121/128
C： 第三象限
D： 第四象限
2 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A： √12
√
B： a
b
C： √ 2
a +1
D： √4a+4
3 1 1
( )
以下六个点： , 、(2,0)、(−1,2)、(0,1)、(−1, −1)、(0,0)．其中在坐标轴上的点有（ ）
2 2
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
4 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A： x+y = 4
{
2x+y = 7
B： 2a−3b = 11
{
3b+4c = 12
C： {x 2 = 1
y = x
D： 2x−y = 3
{
1
= 2+y
x
122/128
5 若kb > 0，则函数y = kx+b的图象可能是（ ）
A：
B：
C：
D：
6 一个直角三角形的一条直角边长为12，斜边长为15，则此直角三角形的面积为（ ）
A： 54
B： 90
C： 108
D： 180
7 x = 2
{
已知一个二元一次方程组的解为 ，则这个二元一次方程组可以是（ ）
y = 3
A： 2x−1 = 5
{
x+y = 4
123/128
B： x+y = 5
{
x−2y = −4
C： 2x+y = 7
{
x+2y = 9
D： 1
{ x−y = −2
2
1
x− y = 0
3
8 某校九年级数学模拟测试中，六名学生的数学成绩如下（单位：分）：110，106，109，111，
108，110，下列关于这组数据描述正确的是（ ）
A： 众数是110
B： 方差是16
C： 平均数是109.5
D： 极差是6
9 如图，两直线y = kx+b和y = bx+k在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）
1 2
A：
B：
C：
124/128
D：
10 已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运
动时间为x，线段AP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能（
）
A：
B：
C：
D：
11 27的立方根是__________．
12 点A(3, −5)到x轴的距离为___________，到y轴的距离为__________．
13 已知点M(1,a)和点N(2,b)是一次函数y = −2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是
__________．
14 若A(3,5)、B(3, −1)，点C在坐标轴上，且△ABC的面积为12，则点C的坐标为________________．
15 x−y−3 = 0
{
已知直线y = x−3与y = 2x+2的交点为( −5 −8)，则方程组 的解是________．
2x−y+2 = 0
125/128
16 如果√28与最简二次根式√3a−8可以合并成一个二次根式，则a = ________．
17 一次函数y = kx+|k−2|的图象过点（0，3），且y随x的增大而减小，则k的值__________．
18 1
Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 6，BC = AB，则AC = ___________．
2
19 计算：
√
1 1
( )
（1）4 ÷ −√6 × √12
2 3
√
( 1 )
( )
（2） √32+√0.5 − 2 −√75
8
√
1
（3）√48÷ √3− ×√12+√24
2
√
( 1 )
（4） 3√12−2 +√48 ÷ 2√3
3
20 解二元一次方程组：
2x+3y = 19
{
（1）
3x−2y = 7
4(x+1) +3(y−2) = 7
{
x 2y−1
（2）
+ = 1
4 3
21 若（a−2b+1）2 与√3a−2b−5互为相反数，求a b 的值.
22 如图是轮船和快艇从甲港出发驶向乙港的函数图象．请根据函数图象，回答问题．
①____________先出发____________小时，
先到达乙港的船用了____________小时；
②轮船走后____________小时两船相遇，
相遇地离甲港____________千米；
③轮船的速度是____________千米/小时，
126/128
快艇的速度是____________千米/小时；
23 如图所示，平面直角坐标系中，每一个小方格代表一个单位长度．
（1）A点坐标为________，B点坐标为________，C点坐标为________；
（2）在图中标出D(5, −6)、E(−7, −3)；
（3）求 △ ABC的面积．
24 如图，直线PA是一次函数y = x+1的图象，直线PB是一次函数y = −2x+2的图象．
(1)求A、B、P三点的坐标；
(2)求四边形PQOB的面积．
127/128
25 如图，在平面直角坐标系中，A(−3,3)，B(−1, −1)，在y轴上画出一个点P，使PA +PB最小，并
写出点P的坐标．
26 观察下列各式及其验证过程：
√ √
√
√ √ √ ( 3 ) ( 2 ) √
3 2 −2 +2 2 2 −1 +2
2 2 2 2 2
2 = 2+ ，验证：2 = = = = 2+
3 3 3 3 2 2 3
2 −1 2 −1
√ √
√
√ √ √ ( 3 ) ( 2 ) √
3 3 −3 +3 3 3 −1 +3
3 3 3 3 3
3 = 3+ ，验证：3 = = = = 3+
8 8 8 8 2 2 8
3 −1 3 −1
√
5
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想5 的变形结果并进行验证；
24
（2）针对上述各式反应的规律，写出用n（n为任意自然数，且n ≥ 2）表示的等式，并说明它成
立．
128/128
