文档内容
能力提高 / 初二 / 秋季
第 1 讲 勾股定理
例题练习题答案
例1 在Rt △ ABC中，a = 3，b = 5，则c2 为（ ）
A： 4
B： 34
C： 16
D： 16或34
练1.1 在Rt △ ABC中，∠C = 90∘ ，a = 8，c = 17，则b的长是（ ）
A： 25
B： 12
C： 15
D： 13
练1.2 在一个直角三角形中，如果斜边长是15，一条直角边长是9，那么另一条直角边长是（ ）
A： 10
B： 11
C： 12
D： 13
例2 图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（ ）
A：
1/146
B：
C：
D：
练2.1 如图，x、y、z分别表示以直角三角形三边为边长的正方形面积，则下列结论正确的是（ ）
A： x2 = y2 +z2
B： x < y +z
C： x−y > z
D： x = y +z
例3 如图，在Rt △ ABC中，∠ACB = 90∘ ，AC = 5cm，BC = 12cm，其斜边上的高为（
）
A： 6 cm
B： 8.5 cm
60
C： cm
13
30
D： cm
13
2/146
练3.1 如图，在△ABC中，∠ACB = 90∘ ，CD⊥AB于点D，AB = 5，BC = 3，求CD的长．
例4 如图，在Rt △ ABC中，∠B = 90∘ ，AB = 3，BC = 4，将△ ABC折叠，使点B恰好落
在边AC上，与点B′ 重合，AE为折痕，则EB′ =_____．
练4.1 如图，矩形ABCD中，AB = 8cm，BC = 16cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，求图中阴
影部分的面积．
例5 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题：有一个水池，池底是一个边长为12
尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如下图所示，如果把这根芦苇垂
直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？
练5.1 如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，芦苇高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一
边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（ ）
A： 10尺
3/146
B： 11尺
C： 12尺
D： 13尺
能力提高 / 初二 / 秋季
第 1 讲 勾股定理
自我巩固答案
1 如图所示，三个正方形中两个的面积分别为S = 169，S = 144，则S =（ ）
1 2 3
A： 50
B： 25
C： 100
D： 30
2 如图，则正方形A的边长是（ ）
A： 6
B： 36
C： 64
D： 8
3 若△ABC的两边长为4和5，则能使△ABC是直角三角形的第三边长的平方是（ ）
4/146
A： 9
B： 41
C： 3
D： 9或41
4 如图，正方形ABCD的面积为25cm2 ，△ABP为直角三角形，∠APB = 90∘ ， 且
PB = 3cm，那么AP的长为（ ）
A： 5cm
B： 3cm
C： 4cm
D： 不能确定
5 一直角三角形两直角边长分别为3和4，则下列说法不正确的是( )
A： 斜边长是25
B： 斜边长是5
C： 面积是6
D： 周长是12
6 如图，在△ABC中，∠ACB = 90∘ ，CD⊥AB于D，垂足为D，若AC = 6，BC = 8，则CD
等于（ ）
A： 2
B： 4
5/146
C： 6
D： 4.8
7 △ABC中，∠ACB = 90∘ ，BC = 12，AB = 20，CD⊥AB于D．
（1）求AC的长；
（2）求CD的长．
8 将矩形ABCD沿直线CE折叠，顶点B恰好落在AD边上F点处，如图所示，已知AB = 3cm，
BC = 5cm，求AE的长．
9 在矩形ABCD中，AB = 5，BC = 4，将矩形折叠，使得点B落在线段CD上的点F处，则线段BE
的长为多少？
10 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，
红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是（
）
A： 35 cm
6/146
B： 40 cm
C： 50 cm
D： 45 cm
能力提高 / 初二 / 秋季
第 1 讲 勾股定理
课堂落实答案
1 如图，以直角三角形的各边为边长的三个正方形中，两个较大正方形的面积分别为225，289，则
字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A： 4
B： 8
C： 16
D： 64
2 在一个直角三角形中，如果斜边长是10，一条直角边长是6，那么另一条直角边长是（ ）
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
3 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB = 1，EC = 2，那么正方形ABCD的面积
为（ ）
7/146
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
4 在Rt △ ABC中，∠ACB = 90∘ ，CD是高，AC = 4m，BC = 3m，则线段CD的长为
（ ）
A： 5m
12
B： m
5
5
C： m
12
4
D： m
3
5 如图，在三角形纸片ABC中，∠A = 90∘ ，AB = 12，AC = 5．折叠三角形纸片，使点A落
在BC边上的点E处，则AD =_____．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 1 讲 勾股定理
精选精练
8/146
1 图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若
AC = 6，BC = 5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示
的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A： 72
B： 52
C： 80
D： 76
2 如图，△ ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则
BD的长为（ ）
4
A：
5
8
B：
5
16
C：
5
24
D：
5
3 如图，在△ ABC中，AB⊥AC，AB = 5cm，BC = 13cm，BD是AC边上的中线，则
△ BCD的面积是（ ）
9/146
A： 15cm2
B： 30cm2
C： 60cm2
D： 65cm2
4 一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处玩耍的身高为1m的小明
（ ）
A： 没有危险
B： 有危险
C： 可能有危险
D： 无法判断
5 图①是一张直角三角形纸片，∠C = 90∘ ，AB = 13cm，BC = 5cm，将其折叠，使点C落
在斜边上的点C′
处，折痕为BD（如图②），求DC的长．
6 如图，将Rt △ ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．AC = 6，
BC = 8．
（1）求△ ACE的周长；
（2）求CE的长．
能力提高 / 初二 / 秋季
10/146
第 2 讲 实数
例题练习题答案
−−−−− −−−−
例1 若√2a+6+√b−1 = 0，则2a+b =_______．
−−−−−−−
练1.1 若 √a+b−1 +|b+1| = 0，则(b+a) 2016 的值为（ ）
A： −1
B： 1
C： 52016
D： −52016
xy
练1.2 若√ − x − + −− 6+(y −1) 2 +|z −3| = 0，求 的值．
z
例2
−−−−
125
(1) 27的立方根是__________， 3 =__________；
√ 8
−− −−−
(2)√64的立方根是__________，√3 512的立方根为__________；
(3)若(x+5) 3 = 27，则x =__________；若8(x−2) 3 +1 = 0，则x =__________．
练2.1 （1）−125的立方根是_____；0的立方根是_____；
（2）−216的立方根是_____；立方根等于2的数是_____．
练2.2 计算：
−−−− −−−
（1）√3 1000； （2）√3 −1；
−−−−
64 −−
（3）
3
； （4）
√ 3 a3
．
√125
−−−−− −−−−−
例3 已知√3 2a−3+√3 7 −3a = 0，求a+3的平方根．
−−−−− −−−−−−
练3.1 若√3 3x−9 = √3 −x−1，则x的值为________．
练3.2 若√3 − 5 − − −− 2 − a和 √3 − 2 − b − − −− 1 − 1互为相反数，则a−b的值为________．
例4 下列说法中，正确的是（ ）
11/146
A： 带根号的数不一定都是无理数
B： −1是1的算术平方根
−−
C： √25 = ±5
D： a2 一定没有平方根
练4.1 下列实数中，是有理数的是（ ）
–
A： √2
–
B： √3 5
π
C：
4
D： 3.14159
例5 下列实数在哪两个连续的整数之间？
−−
(1)_______<√26<_______；
–
(2)_______<2 +√5<_______．
练5.1 下列实数在哪两个连续的整数之间？
−−
(1)_______<−√15<_______；
−−−
2
(2)
_______< 3 <_______．
√ 3
– −−
练5.2 2√6、√27、5三个数的大小关系是（ ）
– −−
A： 2√6 < 5 < √27
−− –
B： √27 < 5 < 2√6
– −−
C： 2√6 < √27 < 5
−− –
D： √27 < 2√6 < 5
−− −−
例6 已知7+√19的小数部分是m，11 −√19的小数部分为n，则m+n =__________．
–
练6.1 若√7的整数部分是a，小数部分是b，则2a+b的值为_________．
12/146
–
练6.2 设4 −√2的整数部分为a，小数部分为b，则a−b的值为（ ）
–
√2
A：
1 −
2
–
B： √2
–
√2
C：
1 +
2
–
D： −√2
能力提高 / 初二 / 秋季
第 2 讲 实数
自我巩固答案
1 16的算术平方根与25的平方根的和是（ ）
A： 9
B： −1
C： 9或−1
D： −9或1
−−
√36
2
的算术平方根是（ ）
4
A： 18
–
√6
B：
−
2
–
√6
C：
2
–
√6
D：
±
2
−−−−−−−−
3 若 (2a−1) 2 = 1 −2a，则（ ）
√
1
A： a <
2
13/146
1
B： a ≤
2
1
C： a >
2
1
D： a ≥
2
−−−− −−−−
4 若a、b为实数，且b = √a−1 +√1 −a +4，则a+b的值为（ ）
A： ±1
B： 3
C： 4
D： 5
−−
5 下列命题：①9的平方根是3；②√16的平方根是±2；③−0.003没有立方根；④−3是27的负的
立方根；⑤若一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数是0．其中正确命题的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
−−
6 若x2 = (−5) 2 ， 3 y3 = −5，则x+y的值是（ ）
√
A： 0
B： −10
C： 0或−10
D： 0或±10
7 在(√2 – ) 0 ，√3 8 – ，0，√9 – ，√3 4 – ，0.010010001…， π ，−0.333…，√5 – ，3.1415中，无
2
理数有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
14/146
D： 5个
8 下列各组两数的大小关系中，错误的是（ ）
3
A： −0.375 > −
8
B： 0.1 > −|0|
5 7
C： <
6 8
5 5
D： − < −
6 7
−−
9 若m < √14 < n，且m、n为连续的正整数，则n +m的值为（ ）
A： 5
B： 7
C： 9
D： 11
– –
10 已知5 +√7的小数部分是a，整数部分是m，5 −√7的小数部分是b，整数部分是n，求
(a+b) 2015 −mn的值．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 2 讲 实数
课堂落实答案
−−−−−− −−−−−
1 y
1
若 x−3+ 2 + = 0，则x+y =( )
√ 2 √ 3
A： −10
B： 0
C： 2
D： 10
15/146
2 下列说法正确的是（ ）
A： −0.064的立方根是0.4
B： −9的平方根是±3
−−
C： 16的立方根是√3 16
D： 0.01的立方根是0.000001
1
3 若 (x+5) 3 −27 = 0，则x =（ ）
8
A： −1
B： 0
C： 1
27
D：
8
3a−1
4 已知一个数的两个平方根分别是 和a+13，求这个数的立方根．
2
–
5 已知2 +√3的整数部分是a，小数部分是b，则a2 +b2 =（ ）
–
A： 13 −2√3
–
B： 9 +2√3
–
C： 11 +√3
–
D： 7 +4√3
能力提高 / 初二 / 秋季
第 2 讲 实数
精选精练
2
1 (−6) 的平方根是（ ）
A： −6
16/146
B： 36
C： ±6
–
D： ±√6
2 若2m−4与3m−1是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A： −3
B： −1
C： 1
D： −3或1
3 下列说法中，正确的是（ ）
1 1
A： 的立方根是±
27 3
B： 立方根等于它本身的数是1
C： 负数没有立方根
D： 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数
4 下列计算正确的是（ ）
−−−−
A： √−16 = −4
−−
B： √16 = ±4
−−−−−
C： (−4) 2 = −4
√
−−−−−
D： 3 (−4) 3 = −4
√
5 上课时，李老师在黑板上写了一个实数，学生A，B，C，D争先恐后地说出了这个数的一些特征：
学生A：在数轴上表示这个数的点在原点的左边；
学生B：它是一个无理数；
学生C：它的绝对值小于2；
学生D：它的平方大于1．
老师表扬了A，B，C，D四名学生，因为他们都说对了．
现在，请你猜猜看，下列四个数中，可能是老师在黑板上写下的实数的是（ ）
17/146
–
A： √3
–
B： −√2
–
C： −√5
D： −1.5
6 对于实数a、b，给出以下三个判断：
−−
①若|a| = |b|，则√a = √b．
②若|a| < |b|，则a < b．
③若a = −b，则(−a) 2 = b2 ．其中正确判断的个数是（ ）
A： 3
B： 2
C： 1
D： 0
能力提高 / 初二 / 秋季
第 3 讲 勾股定理综合
例题练习题答案
例1 下列各组数中是勾股数的是（ ）
A： 4，5，6
B： 0.3，0.4，0.5
C： 1，2，3
D： 5，12，13
练1.1 以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（ ）
A： 2，3，4
B： 4，4，6
18/146
C： 6，8，10
D： 7，12，13
练1.2 下列各组数据为勾股数的是（ ）
– – –
A： √3，√4，√5
– –
B： 1，√2，√3
C： 5，12，13
D： 2，3，4
−−−−−−−−−−
例2 已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式 √c2 −a2 −b2 +|a−b| = 0，则△ABC的形状
为__________________．
练2.1 三角形的三边为a、b、c，下列条件不能判定它是直角三角形的是（ ）
A： a : b : c = 8 : 16 : 17
B： a2 −b2 = c2
C： a2 = (b+c)(b−c)
D： a : b : c = 13 : 5 : 12
练2.2 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A： b2 −c2 = a2
B： a : b : c = 3 : 4 : 5
C： ∠A : ∠B : ∠C = 9 : 12 : 15
D： ∠C = ∠A −∠B
例3 如图，△BCD中，AB = 4，AD = 3，BC = 13，CD = 12，且∠BAD = 90∘ ，求△BCD
的面积．
19/146
–
练3.1 如图，已知∠B = 90∘ ，AB = 2√3cm，BC = 2cm，CD = 3cm，AD = 5cm．求四
边形ABCD的面积．
练3.2 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三
斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形
沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度
单位，1里= 0.5千米，则该沙田的面积为（ ）平方千米．
A： 7.5
B： 15
C： 75
D： 750
例4 葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一
手绝招，就是它绕树盘升总是沿最短路线——螺旋线前进的，难道植物也懂数学？
阅读以上信息，解决下列问题：
(1)如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，
则它爬行一圈的路程是多少？
(2)如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？
能力提高 / 初二 / 秋季
20/146
第 3 讲 勾股定理综合
自我巩固答案
1 △ABC的三边分别为a = 1.2cm，b = 1.6cm，c = 2cm，则∠C是（ ）
A： 锐角
B： 直角
C： 钝角
D： 以上三种都有可能
2 在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A： a = 1.5，b = 2，c = 3
B： a = 2，b = 3，c = 4
C： a = 4，b = 5，c = 6
D： a = 5，b = 12，c = 13
3 下列各组数为勾股数的是（ ）
A： 1，2，5
B： 15，8，17
C： 9，12，13
3 4 5
D： , ,
2 2 2
4 已知三角形三边分别为a，b，c，且满足|a−2|+√ − b − − −− 2 +(c−2√2 – ) 2 = 0，此三角形的
形状是（ ）
A： 直角三角形
B： 等腰直角三角形
C： 等边三角形
D： 钝角三角形
21/146
5 如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量
∠ADC = 90∘ ，CD = 6m，AD = 8m，BC = 24m，AB = 26m，若每平方米草皮
需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？
6 如图，有一块土地的形状如图所示，∠B = ∠D = 90∘ ，AB = 20米，BC = 15米，
CD = 7米，计算这块土地的面积．
7 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD = 4米，CD = 3米，
∠ADC = 90∘ ，AB = 13米，BC = 12米，求这块空地的面积．
8 如图，在长、宽都为3cm，高为8cm的长方体纸盒的A处有一粒米粒，一只蚂蚁在B处去觅食，那
么它所行的最短路线的长是（ ）
–
A： (3√2+8)cm
B： 10cm
−−
C： √82cm
D： 无法确定
22/146
9 如图，有一圆柱，其高为12cm，它的底面半径为3cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得
到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为（ ）cm．（π取3）
A： 12
B： 15
C： 14
D： 18
10 如图，一个无盖的圆柱纸盒：高10cm，底面直径3cm，一只蚂蚁从A爬到B的最短距离的平方是
多少？
能力提高 / 初二 / 秋季
第 3 讲 勾股定理综合
课堂落实答案
1 下列四组数据，能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A： 2、4、6
B： 2、3、4
23/146
C： 5、7、12
D： 8、15、17
2 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A： 三内角之比为1 : 2 : 3
B： 三边长的平方之比为1 : 2 : 3
C： 三边长之比为3 : 4 : 5
D： 三内角之比为3 : 4 : 5
3 下列几组数中，是勾股数的有（ ）
2 7
①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④ 、2、 ．
3 3
A： 1组
B： 2组
C： 3组
D： 4组
4 如图，在四边形ABCD中，AB = BC = 2，CD = 3，DA = 1，且∠B = 90∘ ， 求
∠DAB的度数．
5 如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路
程（π取3）是（ ）
A： 20cm
24/146
B： 10cm
C： 14cm
D： 无法确定
能力提高 / 初二 / 秋季
第 3 讲 勾股定理综合
精选精练
– –
1 如果一个三角形的三边分别为1，√2，√3，则其面积为（ ）
–
A： √2
–
√2
B：
2
–
√3
C：
2
–
√6
D：
2
–
2 如图，在四边形ABCD中，AB = 3，BC = 4，CD = 1，AD = 2√6，AB⊥BC，则
四边形ABCD的面积为（ ）
A： 12
–
B： 6 +√6
–
C： 2√6
–
D： 2√6+6
25/146
3 观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c．根据你发现
的规律，解答以下问题：
（1）当a = 19时，求b，c的值；
（2）当a = 2n +1时，求b，c的值；
（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
4 如图，是一块长、宽、高分别是4cm，2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一
个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路
径的长是（ ）
A： 5cm
B： 5.4cm
C： 6.1cm
D： 7cm
5 如图，圆柱形玻璃容器高8cm，底面周长为30cm，在外侧下底的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相
对的圆柱形容器的上口外侧的点F处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度．（画出侧
面展开图并计算）
6 已知长方体盒子的长、宽、高分别为6cm、2cm、2cm，如图所示，在顶点A处的蚂蚁要去吃顶
点B处的食物，那么这只蚂蚁所要爬行的最短路线长为多少？
能力提高 / 初二 / 秋季
26/146
第 4 讲 二次根式
例题练习题答案
1
例1
使式子 +√
−
x
−−
+
−−
2成立的x的取值范围是（ ）
x2 −4
A： x ≥ −2
B： x > −2
C： x > −2，且x ≠ 2
D： x ≥ −2，且x ≠ 2
−−−−− −−−−− −−−−−
练1.1 已知y = √x−24+√24 −x−8，求√ 3 x−5y的值（ ）
A： 5
B： 4
C： 3
D： 2
−−−−−
练1.2 已知a、b、c满足2|a−1|+√2a−b+(c+b) 2 = 0，求2a+b−c的值（ ）
A： 6
B： 5
C： 4
D： 3
−−−−−−−
例2 计算(√ − x −− − −− 2) 2 − (1 −x) 2 =__________．
√
−−−−−−
练2.1 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ (a−b) 2 的结果是（ ）
√
A： −2a+b
B： 2a−b
C： −b
27/146
D： b
例3 化简下列各式：
−−
（1）√18；
−−−
50
（2） ；
√81
−−−−
（3）√0.75；
−−−−−−−
(b−c) 2
（4） (b < c)．
√ 2
练3.1 化简下列各式：
−−−
−−− 2 −−−− −−−
①√300 =______；② =______；③√0.36 =_____；④ √8a2=_____(a > 0)．
√15
例4 把下列各式分母有理化：
1 1
（1） −−；（2） –；
√12 2 +√3
–
1 7 +4√3
（3） – –；（4） – ；
2√3−3√2 2 +√3
−−
a√b−b√a a−b
（5） −− ；（6） −− ．
√ab √a −√b
练4.1
(1)把下列各式分母有理化：
1 1
① –； ② −−．
3√2 √54
– 2
(2) 已知a = √3+1，b = – ，则a与b的关系为（ ）
√3−1
A： ab = 1
B： a = −b
C： ab = −1
D： a = b
例5 计算：
−−
−− 1
（1）√20 × ;
√ 2
−−−− −−−−
（2）−2√0.27×√0.03;
−−
28/146
−−
√14
（3） – ;
√2
−−−
−−− 1
（4）√2.5÷ ．
√20
例6 计算：
–
−− √3 –
（1）2√24 × ÷3√2；
4
−− −−− −− 3
−− 6 2 1
（2）√45 ÷ × 1 × ；
√ 5 √ 3 (√ 3)
−− −−−
b −− a3
（3） ÷√ab ⋅ ．（a > 0，b > 0）
√a √ b
练6.1 计算：
−−−
1 – 1 −−
（1） √3÷ ×√27；
2 √12
– −− –
（2）3√5×2√10 ÷15√2；
−− −−−
−− 1 3 2
（3）9√45 ÷3 × 2 ．
√ 5 2√ 3
−−−−− −−−−−−
例7 若二次根式 a √+12a+5与 √4a+3b相等，则a =__________，b =__________．
例8 计算：
−−− −− −− −−
（1）√108−√96 +√54 −√75；
−−−
1 – −−− 1 −−
（2） √8−√0.5− 4 +2√50．
2 √ 2
练8.1 计算：
−−
−− 1 1 −−
（1）√27 −15 + √48；
√ 3 4
−− – –
（2）(√50 −√8)+√2．
例9 计算：
−−
−− −− – −− 1 −− 2 −− –
（1）√18 +√12 −√8−√27； （2）( √27 +2 −√24)×2√3；
3 √ 3
– – – – – 2
（3）(1 +2√3)×(√3−1)； （4）(√3+2)(√3−2)+(2√3−1) ．
练9.1 计算：
−−
−− −− 1
（1）√45 −2√20 +10 ；
√ 5
– –
−− −−
√2+√6
（2）√48 ÷√27 − – ．
√2
29/146
练9.2 计算：
−− –
（1）(π−3) 0 −√20 ÷√5+(−1) −1 ；
– – 2 – – – –
（2）(2√5+√3) −(√5+√2)(√5−√2)．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 4 讲 二次根式
自我巩固答案
−−−−− −−−−−
1 已知s = √3t−7 +√7 −3t −5，则st的值为（ ）
A： −35
B： 35
35
C： −
3
35
D：
3
−− −− −−−−−−
2 实数a、b在数轴上的位置如图，化简 √a2 −√b2 − (a−b) 2 ．
√
3 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
−−−
A： √0.2b
−−−−−−−−
B： √12a−12b
−−−−−−
C： x2 −y2
√
−−−−
D： √5ab2
−−
4 −−−− √a −√b
若(a−3) 2 +√b−2 = 0，则 的值为（ ）
−−
√a +√b
–
A： 5 −2√6
–
B： √6
30/146
–
C： 5 +√6
–
D： 3 −√6
5 下列计算中，错误的是（ ）
– –
A： 18 ÷3√2×2√2 = 12
–
B： −− – −− 5√6
√20 ÷3√2×√15 =
3
−−− −−−
C： 3 2 −−
1 ÷ 1 ×√10 = 5
√ 4 √ 5
−− −− – −−
D： √24 ×√15 ÷√6 = 2√15
−− – −− 1 –
6 计算：√10 ×√3÷2√10 ÷ √3．
6
−− −−−−−
7 若√12与最简二次根式√2a+2是同类二次根式，则实数a的值是__________．
−− −− −− −−−
8 计算√45+2√20 −√80 +√125的值为（ ）
–
A： 3√3
– –
B： 8√5+3√3
– –
C： 8√5−3√3
–
D： 8√5
9 计算：
−− −−
−− 1 −− 4 −− x
（1）2√12 −6 +√48； （2） √9x +6 ．
√ 3 3 √ 4
−−−−−−−− −−−−−−−−
10 计算：|√2 – −√6 – |+ (√2 – −1) 2 − (√6 – −3) 2 ．
√ √
能力提高 / 初二 / 秋季
第 4 讲 二次根式
课堂落实答案
−−−−− −−−−−
31/146
−−−−− −−−−−
1 1
1
若y = x− + −x −6，则xy =_____．
√ 2 √ 2
−−
−− −−− – – x
2 在二次根式√72， √5a3 ，√3，√9， 中，最简二次根式的个数有（ ）
√ 2
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
3 下列选项计算正确的是（ ）
– −− –
A： √6×√18=6√3
−−
B： −− 1 –
√45 × = √3
√ 5
−− −−
C： √36 ÷√18 = 2
−−
D： √28 –
= √2
–
√7
4 计算：
–
−− −− – −−− – √3 –
（1）√45 +√18 −√8+√125； （2）(√3−1)− +(1 −2√3)．
2
5 计算：
−−
−− 1 −− 1 −−
(1)
3√18 + √50 −4 ÷√32；
( 5 √ 2)
−− −−−
4 −−− x 1
(2) √25x +9 −2x2 ⋅ ．
5 √ 9 √x3
能力提高 / 初二 / 秋季
第 4 讲 二次根式
精选精练
32/146
−−−−− −−−−− 1
1 若y = √x2 −4+√4 −x2 + +2，则x−y的值为__________．
2 −x
1
2 化简： −−−−− = ____．
y −√y2 −1
– – −−
3
(√7+√3)(10 −2√21)
化简： – – =__________．
√7−√3
4 计算：
–
−− √3 –
（1）2√18 × ÷3√6 =________________
3
−− −−− −− 2
−− 1 3 1
（2）√45 ÷ × 1 × =____________
√ 7 √ 4 (√ 3)
−−− −−−
b −−− a3
（3） ÷√ab2 × =________（a > 0，b > 0）
√ a2 √ b
5 计算：
−− −−
√50 ×√32
（1） – −4
√8
−−−
−− 1 1 −−
（2）2√12 −9 + √48
√27 3
6 “双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也
常有这种相
– – – – – –
辅相成的“对子”，如：(2 +√3)(2 −√3) = 1，(√5+√2)(√5−√2) = 3，它们
的积中不含根号，我们说这两
个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以
这样解：
– – – – –
1 1 ×√3 √3 2 +√3 (2 +√3)(2 +√3) –
– = – – = ， – = – – = 7 +4√3．
√3 √3×√3 3 2 −√3 (2 −√3)(2 +√3)
像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．
解决下列问题：
1 –
（1）将 –分母有理化得__________；√2+1的有理化因式是__________；
√2
2
（2）化简： – – =__________；
√5+√3
1 1 1 1
（3）化简： – + – – + – – +……+ −−− −−．
√2+1 √3+√2 √4+√3 √100+√99
能力提高 / 初二 / 秋季
33/146
第 5 讲 位置与坐标
例题练习题答案
例1 如图是天安门广场周围的景点分布示意图的一部分，若表示“王府井”的点的坐标为(4,1)，表
示“人民大会堂”的点的坐标为(0,−1)，则表示“天安门”的点的坐标为（ ）
A： (0,0)
B： (−1,0)
C： (1,0)
D： (1,1)
练1.1 如图所示，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点(2,2)，“炮”位于点(−1,2)，写
出“兵”所在位置的坐标．
练1.2 如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用(1,−1)表示新宁莨山的位置，用(2,4)表示
隆回花瑶的位置，请在图中画出平面直角坐标系，并写出城市南山的坐标．
例2
34/146
(1)在平面直角坐标系中，点(−1,m2+1)一定在（
）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
(2)若点P (x,y)的坐标满足xy = 0，则点P（ ）
A： 在x轴上
B： 在y轴上
C： 是坐标原点
D： 在x轴上或在y轴上
练2.1 已知点P (x,y)，且满足xy > 0，则点P在（ ）
A： 第一象限或第二象限
B： 第一象限或第三象限
C： 第一象限或第四象限
D： 第二象限或第四象限
练2.2 若点A(m,n)在第二象限，那么点B(−m,|n|)在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
例3 点(−3,5)到x轴的距离是__________，到y轴的距离是__________．
练3.1 点P (−5,−6)到x轴的距离是（ ）
A： 5
35/146
B： −5
C： 6
D： −6
练3.2 平面直角坐标系中点B(a,b)，那么点B到x轴的距离是（ ）
A： b
B： a
C： |a|
D： |b|
例4 若点P在x轴的下方，y轴的左方，到每条坐标轴的距离都是3，则点P的坐标为（ ）
A： (3,3)
B： (3,−3)
C： (−3,−3)
D： (−3,3)
练4.1 已知点P位于y轴的右侧且位于x轴下方，到x轴、y轴的距离分别是4个单位长度、3个单位长度，则
点P的坐标为（ ）
A： (3,−4)
B： (−3,4)
C： (4,−3)
D： (−4,3)
练4.2 若x轴上的点P到y轴的距离为2，则点P的坐标为( )
A： (2,0)
B： (2,0)或(−2,0)
C： (0,2)
D： (0,2)或(0,−2)
36/146
例5
(1)已知A(−4,−5)、B(−2,0)、C (4,0)，求△ABC的面积．
(2)已知小方格的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，请在方格纸上建立平面直角坐标系，并计
算△ABC的面积.
(3)在平面直角坐标系中，点A(0,−1)、点B(0,−4)，已知点C在x轴上，若△ABC的面积为
9，求点C的坐标．
练5.1 在平面直角坐标系中，点A(3,0)、点B(0,−2)，点O为坐标原点，则△AOB的面积是______．
练5.2 在平面直角坐标系中，△ABC的各个顶点的坐标分别为A(−4,−2)，B(4,−2)，C (2,2)，则
△ABC的面积为（ ）
A： 8
B： 16
C： 32
D： 64
例6 在平面直角坐标系中，点P (−2,3)向右平移3个单位长度后的坐标为（ ）
A： (3,6)
37/146
B： (1,3)
C： (1,6)
D： (6,6)
练6.1 如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为(1,2)．
(1)写出点A、B的坐标：A（____，____）、B（____，____）；
(2)将△ABC先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到A′B′C′ ，则△A′B′C′
的
三个顶点坐标分别是A′ （____，____）、B′ （____，____）、C′
（____，____）；
(3)△ABC的面积为__________平方单位；
(4)画出平移后的三角形．
例7
(1)点A(−2,−3)关于x轴的对称点A 的坐标为______；点A关于y轴的对称点A 的坐标为
1 2
______；点A关于原点的对称点A 的坐标为________；点A 与点A 关于________对称．
3 3 1
(2)已知点P (a+3b,3)与点Q(−5,a+2b)关于x轴对称，则a =_____，b =______．
(3)如图，在平面直角坐标系中，△ ABC顶点坐标为A(−1,−1)，B(2,1)，C (0,2)．若
△ ABC与△ A 1 B 1 C 1 关于原点对称，△ ABC与△ A 2 B 2 C 2 关于y轴对称，作出
38/146
△ A 1 B 1 C 1 和△ A 2 B 2 C 2 ，并说明△ A 1 B 1 C 1 与△ A 2 B 2 C 2 关于哪条直线对称．
练7.1 在平面直角坐标系中，已知点A(−2,3)，则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A： (3,2)
B： (2,−3)
C： (−2,3)
D： (−2,−3)
练7.2 在平面直角坐标系中，△ ABC的顶点A(2,4)、B(−3,−2)、C (3,−1)．
(1)在图中画出△ ABC；
(2)在图中画出△ ABC关于y轴对称的△ DEF（A与D对应，B与E对应，C与F对应）；
并写出D、E、F的坐标．
能力提高 / 初二 / 秋季
39/146
第 5 讲 位置与坐标
自我巩固答案
1 在平面直角坐标系中，
（1）写出点A、B的坐标；
（2）描出点M (−2,1)，点N (2,−2)；
（3）求以C、D、E为顶点的三角形的面积．
2 已知点P (2 −a,3a+6)到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为（ ）
A： (3,3)
B： (6,−6)
C： (3,3)或(6,−6)
D： (3,−3)
3 已知点A(−1,0)，B(2,0)，在y轴上存在一点C，使三角形ABC的面积为6，则点C的坐标为
（ ）
A： (0,4)
B： (0,2)
C： (0,2)或(0,−2)
D： (0,4)或(0,−4)
4 请完成以下题目：
40/146
(1)在平面直角坐标系中，描出下列3个点:A(−1,0)、B(3,−1)、C (4,3)；
(2)顺次连接A、B、C，组成△ABC，求△ABC的面积．
5 点P先向左平移3个长度单位，再向下平移2个长度单位后的对应点Q(−1,3)，则P点的坐标为
（ ）
A： (−1,3)
B： (−4,1)
C： (2,5)
D： (1,0)
6 如图，A、B两点的坐标分别为(2,3)，(4,1)．
（1）求△ABO的面积；
（2）把△OAB向下平移3个单位后得到一个新△O′A′B′ ，求△O′A′B′
的3个顶点的坐标．
7 如图所示，△ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A(1,2)、B(4,3)、C (3,1)．
41/146
（1）△ A
1
B
1
C
1
向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到△ABC，试写出
△ A 1 B 1 C 1 三个顶点的坐标；
（2）求△ABC的面积．
8 如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的图形△ A
1
B
1
C
1
；
（2）写出A 、B 、C 三点坐标．
1 1 1
9 已知点A(2a−b,5 +a)、B(2b−1,−a+b)．
（1）若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
（2）若点A、B关于y轴对称，求(4a+b) 2016 的值．
10 如图，网格小正方形的边长表示1个单位长度．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A B C ；
1 1 1
（2）直接写出△ABC关于x轴对称的△A B C 的各顶点坐标．
2 2 2
42/146
能力提高 / 初二 / 秋季
第 5 讲 位置与坐标
课堂落实答案
1 如图是田媛同学画的一张脸，若用(1,4)表示左眼A的位置，则右眼B的位置可表示为（ ）
A： (5,6)
B： (6,5)
C： (5,4)
D： (6,6)
2 如图，网格中的小正方形边长为1，则图中的△ABC的面积等于_______．
3 在平面直角坐标系中，点P (−1,2)向上平移3个单位长度后的坐标为（ ）
43/146
A： (2,2)
B： (−4,2)
C： (−1,5)
D： (−1,−1)
4 平面直角坐标系内一点P (−2,3)关于原点对称的点的坐标为（ ）
A： (3,−2)
B： (2,3)
C： (−2,−3)
D： (2,−3)
5 在平面直角坐标系中，点P (−2,1)关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A： (−2,−1)
B： (2,1)
C： (2,−1)
D： (−2,1)
能力提高 / 初二 / 秋季
第 5 讲 位置与坐标
精选精练
1 如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图．若这个坐标系分别以正东、正
北方向为x轴、y轴的正方向．表示太和门的点的坐标为(0,−1)，表示九龙壁的点的坐标为
44/146
(4,1)，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（ ）
A： 景仁宫(4,2)
B： 养心殿(−2,3)
C： 保和殿(1,0)
D： 武英殿(−3.5,−4)
2 坐标平面内有一点A，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离恰为到x轴距离的3倍．若点A在第二象
限，则点A的坐标为（ ）
A： (−9,3)
B： (−3,1)
C： (−3,9)
D： (−1,3)
3 点P的坐标为(3a−2,8 −2a)，若点P到两坐标轴的距离相等，则a的值是（ ）
2
A：
或4
3
B： −2或6
2
C： − 或−4
3
D： 2或−6
4 已知：A(0,1)、B(2,0)、C (4,3)
（1）在坐标系中描出各点，画出△ABC；
45/146
（2）求△ABC的面积；
（3）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
5 如图，先将△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△ A
1
B
1
C
1
．
(1)画出经过两次平移后的图形，并写出A 、B 、C 的坐标；
1 1 1
(2)已知△ABC内部一点P的坐标为(a,b)，若点P随△ABC一起平移，请写出平移后点P的对应点
P 的坐标；
1
(3)求△ABC的面积．
6 在平面直角坐标系中，A(1,2)、B(3,1)、C (−2,−1)．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）写出△ABC关于x轴对称的△A B C 的各点坐标A ___，B ___，C ___；
2 2 2 2 2 2
46/146
（3）求△ABC的面积．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 6 讲 一次函数
例题练习题答案
例1 已知y = (m+1)x2−|m| +n +4．
（1）当m、n取何值时，y是x的一次函数？
（2）当m、n取何值时，y是x的正比例函数？
练1.1 （1）下列函数是一次函数，但不是正比例函数的是（ ）
1
A．y = 5x B．y = x C．y = x−4 D．y = 2x2 −3
3
（2）若y =
(m−1)xm2
+2m，y是x的一次函数，则m =_______________．
练1.2
(1)函数y = (3 −m)x2|m|−5 +(m−5)是一次函数，则m =（ ）
A： ±3
B： 3
C： ±2
D： −3
47/146
(2)若 函 数 y = (6 +3a)x+4b−4是 关 于 x 的 一 次 函 数 ， 则 a ， b 满 足 的 条 件
是________________；若是正比例函数，则a，b满足的条件是________________．
例2
(1)y = (3 −π )x图象经过_______象限，y的值随x的值增大而___________．
(2)正比例函数y = kx的y值随x的增大而增大，则此函数的图象经过（ ）
A： 一、二象限
B： 一、三象限
C： 二、三象限
D： 二、四象限
练2.1 已知正比例函数y = kx(k < 0)图象上的两点A(x ,y )、B(x ,y )，且x < x ，则下列
1 1 2 2 1 2
不等式中恒成立的是（ ）
A： y +y > 0
1 2
B： y +y < 0
1 2
C： y −y > 0
1 2
D： y −y < 0
1 2
练2.2 正比例函数y = 3x(x > 0)的大致图象是（ ）
A：
B：
C：
48/146
D：
例3
(1)对于一次函数y = kx+b(k ≠ 0)，下列说法中正确的是（ ）
A： 若k > 0，则y随着x的增大而减小
B： 若b > 0，则函数图象与y轴的交点位于y轴的负半轴
C： 若k > 0且b > 0，则函数图象一定不过第四象限
D： 若k < 0且b < 0，则函数图象一定不过第二象限
(2)已知一次函数y = x+2，则下列说法中正确的是（ ）
A： 函数图象与x轴交于正半轴
B： 函数图象与坐标轴所围成的面积为2
C： 当y = −1时，x = −1
D： 函数图象上一点A，若A点纵坐标为b，则其横坐标为b+2
(3)已知一次函数表达式为y = (a+1)x+(b−2)，若函数图象不经过第三象限，则a、b的
取值范围是______．
(4)直线y = mx+n与直线y = mnx(mn ≠ 0)在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A：
B：
49/146
C：
D：
练3.1 已知点(−2,y )，(−1,y )，(1,y )都在直线y = −3x+b上，则y ,y ,y 的值的大小关系是
1 2 3 1 2 3
（ ）
A： y > y > y
1 2 3
B： y < y < y
1 2 3
C： y > y > y
3 1 2
D： y < y < y
3 1 2
练3.2
(1)一次函数y = kx+b中，kb > 0且y随x的增大而减小，它的图象大致为（ ）
A：
B：
C：
50/146
D：
(2)若一次函数y = kx+b的图象如图所示，则函数y = −3kx−b的图象可能为（ ）
A：
B：
C：
D：
例4 对于一次函数y = kx+b（k，b为常数），下表中给出5组自变量和相应的函数值，其中只有一
个函数值计算有误，则这个函数值是（ ）
x 1 2 3 4 5
y 4 7 10 14 16
51/146
A： 7
B： 10
C： 14
D： 16
练4.1 若点A(2,4)在函数y = kx−2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A： (1,1)
B： (−1,1)
C： (−2,−2)
D： (2,−2)
练4.2 如图，直线l是一次函数y = kx+b的图象，若点A(3,m)在直线l上，则m的值是（ ）
A： −5
3
B：
2
5
C：
2
D： 7
例5 已知正比例函数y = kx图象经过点(3,−6)，求：
(1)这个函数的解析式；
(2)判断点A(4,−2)是否在这个函数图象上；
(3)图象上两点B(x ,y )、C (x ,y )，如果x > x ，比较y 、y 的大小．
1 1 2 2 1 2 1 2
练5.1 在直角坐标系中，一条直线经过A(−1,5)，P (2,a)，B(3,−3)．
52/146
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)求a的值；
(3)求△AOP的面积．
例6 一次函数y = kx+b，当1 < x < 4时，−3 < y < 3，则这个函数的解析式为___________．
练6.1 已知一次函数y = kx+b，当−3 ≤ x ≤ 1时，对应y的值为1 ≤ y ≤ 9，则k+b的值
为___________．
练6.2 若点M (x ,y )在函数y = kx+b(k ≠ 0)的图象上，当−1 ≤ x ≤ 2时，−2 ≤ y ≤ 1，
1 1 1 1
则这条直线的函数解析式为________________________．
例7 已知y与x−2成正比例，且当x = −4时，y = −3．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若点M (5.1,m)、N (−3.9,n)在此函数图象上，判断m与n的大小关系．
练7.1 已知y −3与x成正比例，且x = 2时，y = 7，则y与x的函数关系式为（ ）
A： y = 2x+3
B： y = 2x−3
C： y −3 = 2x+3
D： y = 3x−3
能力提高 / 初二 / 秋季
53/146
第 6 讲 一次函数
自我巩固答案
1 已知正比例函数y = (m+1)x，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A： m < −1
B： m > −1
C： m ≥ −1
D： m ≤ −1
2 已知正比例函数y = kx(k ≠ 0)中，y随x的增大而减小，那么一次函数y = kx−k的图象大致
是如图中的（ ）
A：
B：
C：
D：
3 下列函数的解析式中是一次函数的是（ ）
1
A： y =
−x
54/146
1
B： y = x+1
5
−−
C： y = √x
D： y = x2 +1
4 对于一次函数y = kx+k−1(k ≠ 0)，下列叙述正确的是（ ）
A： 当0 < k < 1时，函数图象经过第一、二、三象限
B： 当k > 0时，y随x的增大而减小
C： 当k < 1时，函数图象一定交y轴于负半轴
D： 函数图象一定经过点(−1,−2)
5 已知一次函数y = kx+b的图象经过A(x ,y )，B(x ,y )，且x = 1 +x 时，
1 1 2 2 2 1
y = y −3，则k等于（ ）
2 1
A： 2
B： 3
C： −2
D： −3
6 y +1与z成正比例，比例系数为2，z与x−1成正比例，当x = −1时，y = 7，那么y与x之间的
函数关系式为（ ）
A： y = 2x+9
B： y = −2x+5
C： y = 4x+11
D： y = −4x+3
7 对于一次函数y = kx+b，当1 ≤ x ≤ 4时，3 ≤ y ≤ 6，则一次函数的解析式为_____．
8 如图，把直线l沿x轴正方向平移2个单位得到直线l′ ，则直线l′ 的解析式为（ ）
55/146
A： y = 2x−3
B： y = −2x− 2
C： y = 2x− 4
D： y = −2x+ 2
9 将一次函数y = 2x−3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（ ）
A： y = 2x−5
B： y = 2x+8
C： y = 2x−8
D： y = 2x+5
10 若直线y = kx+b的图象向上平移1个单位，再向右平移2个单位，平移后的直线的函数解析式
为y = −3x−2，则k，b的值分别为（ ）
A： −3，9
B： −3，−8
C： −3，−9
D： −3，8
能力提高 / 初二 / 秋季
第 6 讲 一次函数
课堂落实答案
56/146
1 在平面直角坐标系中，已知一次函数y = (k−2)x−b的图象大致如图所示，则下列结论正确的
是（ ）
A： k > 2，b > 0
B： k > 2，b < 0
C： k < 2，b > 0
D： k < 2，b < 0
2 若y = (a+1)xa2 +(b−2)是正比例函数，则(a−b) 2015 的值是_____．
3 正比例函数y = kx(k ≠ 0)的图象经过点(6,−2)，则该正比例函数的表达式为（ ）
A： y = 3x
B： y = −3x
1
C： y = x
3
1
D： y = − x
3
4 已知y −2与x成正比，且当x = 1时，y = −6
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若点(a,2)在这个函数图象上，求a的值．
5 将直线y = −3x沿着x轴向右平移2个单位，所得直线的表达式为（ ）
A： y = −3x+6
B： y = −3x−6
C： y = −3x+2
D： y = −3x−2
57/146
能力提高 / 初二 / 秋季
第 6 讲 一次函数
精选精练
1 函数y = (k−1)x2|k|−3 是正比例函数，且y随x增大而减小，求(k+3) 2018 的值．
2 若一次函数y =
(m−2)xm2−8
+5，y随x的增大而减小，则m的值为（ ）
A： 2或﹣2
B： 3或﹣3
C： ﹣3
D： 3
3 请根据下列的一次函数解析式的特征按要求分类（填写字母序号）．
A．y = 3x B．y = x−4 C．y = −5x−4 D．y = 3x+6 E．y = −5x+1
（1）一次函数中，函数值y随x的增大而增大的有：______；
（2）几个一次函数图象与y轴的交点在y轴负半轴上的有：______；
（3）一次函数中，图象平行的有：______．
4 已知y −3与4x−2成正比例，且当x = 1时，y = 5．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求当x = −2时的函数值．
5 如图，正比例函数y = 2x的图象与一次函数y = kx+b的图象交于点A(m,2)，一次函数图象
经过点B(−2,−1)，与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
(1)求一次函数解析式；
58/146
(2)求C点的坐标．
6 八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面
积相等的两部分，则该直线l的解析式为 （ ）
3
A： y = x
5
3
B： y = x
4
9
C： y = x
10
D： y = x
能力提高 / 初二 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 2的平方根是（ ）
A： 4
–
B： √2
–
C： −√2
–
D： ±√2
2 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB = 17，BD = 15，DC = 6，则AC的长为（ ）
59/146
A： 11
B： 10
C： 9
D： 8
3 下列运算正确的是（ ）
– – –
A： √2+√3 = √5
– – –
B： 2√2×3√2 = 6√2
– –
C： √8÷√2 = 2
– –
D： 3√2−√2 = 3
−− – 22
4 在实数：3.14159，√3 64，√5，4.2 ˙ 1 ˙ ，π， 中，无理数的个数是（ ）
7
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
−−
5 判断2√11 −1之值介于下列哪两个整数之间？（ ）
A： 3，4
B： 4，5
C： 5，6
D： 6，7
6 已知点P位于第二象限，且距离x轴4个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点P的坐标是（ ）
A： (−3,4)
B： (3,−4)
C： (−4,3)
D： (4,−3)
60/146
7 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm，BC = 8cm，现将直角边AC沿直线AD
折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A： 2cm
B： 3cm
C： 4cm
D： 5cm
8 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,−2)，B(2,−4)，C (4,−1)．将
△ABC平移得到△A B C ，若点A的对应点A 的坐标为(−2,3)，则△ABC平移的方式可以为
1 1 1 1
（ ）
A： 向左3个单位，向上5个单位
B： 向左5个单位，向上3个单位
C： 向右3个单位，向下5个单位
D： 向右5个单位，向下3个单位
9 如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A ，A ，A ，A ，A 爬行，那么蚂蚁爬行的高度h随时
1 2 3 4 5
间t变化的图象大致是（ ）
A：
61/146
B：
C：
D：
−−−−−
10 若√x−1有意义，则x的取值范围是___________．
−−−−− −−−−−−
11 最简二次根式√3x−8和√17 −2x可以合并，则x =_____________．
12 一个正数x的平方根是2a−3与5 −a，则a =__________．
−−−−
13 若|x− y|+ √y − 2 = 0,则xy + 1的值为___.
14 已知平面内两点A(−1,−3)，B(x,5)，且AB = 10，则x的值是_____________．
15 已知点A(a,0)和点B(0,5)两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积大于10，则a的取值范
围是____________．
–
16 如图，在四边形ABCD中，AB = 3，BC = 4，CD = 1，AD = 2√6，AB⊥BC，四边
形ABCD的面积为___________________．
17 如图，所有正方形的中心均在坐标原点O，且各边均与x轴成y轴平行，从内到外，它们的边长依次
是2，4，6，8，…，每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记
62/146
为A ，A ，A ，A ，A ，A ，A ，A ；…，则顶点A 的坐标为________________．
1 2 3 4 5 6 7 8 10
18
–
(1)√3−1的绝对值是___________，相反数是___________．
(2)计算下列各式：
①√3 − − −− 6 − 4−|−3|−(−1) 2017 +√4 –
−− −− – –
②√3 27 −√81 +|√3−2|+(5 −√7)
–
(3)无理数√5的整数部分是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
−−
(4)对于实数a，如果将不大于a的最大整数记为[a]，则[√11 −5]=_____________
19 已知：A(4,0)，B(3,y)，点C在x轴上，AC = 5．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）若S
ΔABC
= 10，求点B的坐标．
20 如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′ 处，点A落在点A′ 处；
63/146
（1）求证：B′E = BF．
（2）若AE = 2，BC = 12，F为BC的中点，求DC的长度．
21 如图所示，甲、乙两轮船于上午8时同时从码头O分别向北偏东32°和北偏西58°的方向出发，甲轮
−− −−
船的速度为10√10海里/时，乙轮船的速度为10√15海里/时，则下午1时两轮船相距多少海里？
22 阅读下面的文字，解答问题．
如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标是(−3,1)，点A的坐标是(4,3)．
（1）点B和点C的坐标分别是________，__________．
（2）将△ABC平移后使点C与点D重合，点A、B分别与点E、F重合，画出△DEF，并直接写出E点
的坐标________，F点的坐标_________．
（3）若AB上的点M坐标为(x,y)，则平移后的对应点M′
的坐标为________．
（4）求△ABC的面积．
23 阅读下列材料，然后回答问题．
−−
5 2 2
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 –， ， – 这样的式子，其实我
√3 √ 3 √3+1
– – −− −−−−− –
5 5 ×√3 5√3 2 2 ×3 √6
们还可以将其进一步化简： – = – – = ； = = ；
√3 √3×√3 3 √ 3 √3 ×3 3
64/146
– –
2 2 ×(√3−1) 2(√3−1) –
√3 – +1
=
(√3 – +1)(√3 – −1)
=
(√3 – ) 2 −12
= √3−1．
以上这种化简的过程叫做分母有理化．
3
（1）化简： −−；
√27
2
（2）化简： – –；
√5+√3
1 1 1 1
（3）化简： – + – – + – – +⋯+ −−−−− −−−−−．
√3+1 √5+√3 √7+√5 √2n +1 +√2n −1
24 材料阅读：
−−
若a是正整数，则长度为√a的线段是有可能表示正方形网格中两个格点之间的距离（设小正方形
–
的长度为单位1）．如图1所示，A、B两点之间的距离就是√5．
–
（1）在图1中以A为一个端点，画出一条长为2√2的线段AC；
（2）65 = _____2 +_____2 = _____2 +_____2 （空格处填正整数，两组数要求不一
−−
样），并根据你填的数字，在图2中画出两种对应的线段，其长度均为√65；
−− −− −−
（3）利用材料所给的方法，直接写出三边长分别为√10、√29、√61的三角形的面积：
__________．
25 若直线y = (m−2)x+m+1不经过第三象限，则m的取值范围是______________．
26 在如图所示的方格中，点A，B，C，D都在格点上，且AB＝BC＝2CD＝4，P是线段BC上的动点，
连结AP，DP．
（1）设BP＝x，用含字母x的代数式分别表示线段AP，DP的长，求x＝2时，AP +DP的值；
（2）AP +DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值．
−−−−−−−−−−−
−−−−−
（3）根据（2）中的结论，请构图求出代数式√x2 +4+ (12 −x) 2 +9的最小值．
√
65/146
能力提高 / 初二 / 秋季
第 8 讲 二元一次方程组
例题练习题答案
y −(a−1)x = 5
例1
若方程组
是关于x，y的二元一次方程组，则ab
的值为______．
{y|a| +(b−5)xy = 3
2
练1.1 若(a+2)x|a|−1 −(b−1)y b = 7是关于x、y的二元一次方程，则a、b的值分别是（ ）
A： a = −2，b = −1
B： a = −2，b = 1
C： a = 2，b = 1
D： a = 2，b = −1
练1.2 若(m−3)x+2y|m−2| +8 = 0是关于x，y的二元一次方程，m= ．
x+y x−y
例2 + = 6
解方程组： 2 3
{4(x+y)−5(x−y) = 2
练2.1 解方程组：
3x+2y = 7 y = 2x−3
（1） （2）
{6x−2y = 11 {3x+2y = 8
例3 解下列方程：
x−2y = 3, 3x+5y = −9,
（1） （2）
{x+3y = −7; {4x−3y = 17;
66/146
x y
+ = 8,
2(x−1)+3(y +1) = 10,
⎧ 2 3
⎪
（3） （4） x y
{3x = 2(y −2);
⎨ − = 7.
⎩⎪ 5 2
练3.1
2x+y = 3,
(1)
二元一次方程组 的解是_______．
{ x−y = 3
4x+y = 3,
(2)
二元一次方程组 的解是_______．
{3x+2y = 5
(3)解方程组：
2(x−4)−3(y −1) = 3, x − y = 3,
3 2
① ②
{2x+3y = 0; { x + y = 5.
6 3
12x+23y = 1234
例4
方程组 中，则x+y =_______，10x−y =_______．
{34x+45y = 5678
2x−y = −3
练4.1
已知x、y是二元一次方程组 的解，则x+y =_______．
{ x+4y = 3
2x+y = −a+4
练4.2
已知:关于x、y的方程组 ，则x−y的值为（ ）
{x+2y = 3 −a
A： −1
B： a−1
C： 0
D： 1
mx+3ny = 1 5x−ny = n −2
例5
若两个关于x，y的二元一次方程组 与 有相同的解，
{3x−y = 6 {4x+2y = 8
则mn的值为_____．
3x−y = 5 ax−by = 8
练5.1
已知：关于x，y的方程组 与 的解相同，求a，b的值．
{4ax+5by +22 = 0 {x+3y = −5
ax+by = 2 x = 1
练5.2
甲、乙两人同解方程组 ，甲正确解得 ，乙因抄错c，解得
{cx−3y = −2 {y = −1
x = 2
，求a2 −b+c的值．
{y = −3
23x+22y = 47
例6
方程组 的解为（ ）
{22x+23y = 43
67/146
x = 1
A：
{y = 1
x = 3
B：
{y = −1
x = 2
C：
{y = 1
x = −1
D：
{y = 3
5x+4y = 16
练6.1
已知方程组 ，则x−y =（ ）
{4x+5y = 12
A： 4
B： 6
C： 0
D： 8
x = 2, mx+ny = 1,
练6.2
已知 是方程组 的解，则m+n =_______．
{y = 5 {nx+my = −15
例7
x+ay = 5 x = 2
(1) 甲、乙两人解同一个方程组： ，甲看错了系数a，解得 ；乙看错了
{ bx−y = 1 {y = 5
x = 3
系数b，解得 ，则方程组正确的解是___________．
{y = 1
ax+by = 2 x = 1
(2) 小刚和小明解同一个关于x、y的方程组 ，小刚正确地解得 ，而
{cx−3y = 5 {y = −1
x = 2
小明把c抄错了，解得 ，则a+2b+3c =___________．
{y = 6
练7.1 ax+5y = 15 ① x = −3
已知方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ，乙
{4x−by = −2 ② { y = −1
x = 5
看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，试求出a，b的值．
{y = 2
能力提高 / 初二 / 秋季
第 8 讲 二元一次方程组
68/146
自我巩固答案
1 若(k−2)x
|k|−1
−3y = 2是关于x、y的二元一次方程，那么k2 −3k−2的值为（ ）
A： 8
B： 8或−4
C： −8
D： −4
2 若方程(a−2)x+(a+1)y|a| = 2是关于x，y的二元一次方程，则a =（ ）
A： −1
B： 1
C： ±1
D： 2
3 解下列方程组：
2(2x+1) = y +2
（1） ；
{2(y +2)−3(2x+1) = 3
−1x+ 3y = 1
（2） 2 4 ．
{ −2x+y = −8
x−6 = 0 ax−by = −4
4
已知关于x、y的二元一次方程组 与 有相同的解，则a、b的值为
{y +2 = 0 {bx+ay = 8
（ ）
a = −1
A：
{ b = 1
a = 1
B：
{ b = 1
a = 1
C：
{b = −1
a = −1
D：
{b = −1
x+y = 2a
5 如果二元一次方程组 的解是方程3x−5y = 28的一个解，那么a的值是（ ）
{x−y = 4a
A： 1
69/146
B： 2
C： 3
D： 4
2x−y = 7
6
下列方程组中，解与 相同的是（ ）
{x+y = 2
3x+4y = 5
A：
{2x+y = 4
x+2y = 1
B：
{x−y = 4
x
C： +y = 2
3
{x−y = 4
3x+2y = 1
D：
{x+y = 2
2ax+by = 3 x = 1
7 已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则a−2b的值是（ ）
{ ax−by = 1 {y = −1
A： −2
B： 2
C： 3
D： −3
x+ay = 2， x = 1，
8
甲、乙两人解同一个方程组： 甲看错了系数a，解得 乙看错了系
{bx−y = 3， {y = −1；
x = −1，
数b，解得 则a+b =（ ）
{ y = 1，
A： 3
B： 5
C： 7
D： 9
3x+y = 12
9
已知 ，那么x＋y的值是（ ）
{x+3y = 8
A： 0
70/146
B： 5
C： －1
D： 1
ax+by = 2 x = 3
10
解方程组 时，正确的解是 ，由于看错了系数c得到的解是
{cx−7y = 8 {y = −2
x = −2
，则a+b+c的值是（ ）
{ y = 2
A： 5
B： 6
C： 7
D： 无法确定
能力提高 / 初二 / 秋季
第 8 讲 二元一次方程组
课堂落实答案
1 若x3m−2 −2yn−1 = 5是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．
5a+b = 12
2 已知a，b满足方程组 ，则a+b的值为（ ）
{3a−b = 4
A： −4
B： 4
C： −2
D： 2
3 用加减法解方程组：
x+y = 2
（1） ；
{2x−3y = 4
x+5y = 6
（2） ．
{3x−6y = 4
71/146
x = 1 ax+by = 2
4
若方程组 和 有相同解，则a，b的值为（ ）
{y = 5 {ax−by = 4
a = 3
A：
b = −1
{
5
a = 3
B：
b = 1
{
5
a = 3
C：
{b = −5
a = 3
D：
{ b = 5
23x+22y = 47
5
方程组 的解为（ ）
{22x+23y = 43
x = 1
A：
{y = 1
x = 3
B：
{y = −1
x = 2
C：
{y = 1
x = −1
D：
{y = 3
能力提高 / 初二 / 秋季
第 8 讲 二元一次方程组
精选精练
1 若(a−3)x+y|a|−2 = 1是关于x、y的二元一次方程，则a的值是__________．
x = 2 ax+b = 7
2 已知 是二元一次方程组 的解，则a−b的值为（ ）
{y = 1 {ax−by = 1
A： 3
B： 2
C： 1
72/146
D： −1
3 解方程组
3x+4y = 11
（1）
{ 5x−y = 3
3x+2y = 3
（2） ．
{5x−6y = −23
5x+3y = 3n
4 已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足方程x+y = 6，求n的值
{3x+2y = n +1
x+y = 4m
5 若方程组 的解满足3x−4y = 2，求m的值．
{x−y = 2m
2x−y = ●， x = ◆，
6
小强同学解方程组 时，求得方程组的解为 由于不慎，将一些墨水滴
{3x+y = 8 {y = −1，
到了作业本上，刚好遮住了●处和◆处的数，那么●处和◆处表示的数应该是（ ）
A： 7，3
B： 3，−1
C： 7，−1
D： 8，−1
能力提高 / 初二 / 秋季
第 9 讲 二元一次方程组应用题
例题练习题答案
例1 某商店从某公司批发部购100件A种商品，80件B种商品，共花去2800元．在商店零售时，每件A
种商品加价15%，每件B种商品加价10%，这样全部卖出后共收入3140元，问A、B两种商品买入
时的单价各为多少元？
练1.1 某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40%标价出售，“春节”期间商场搞优惠促销，决定将
甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售．某顾客购买甲、乙两种服装共付款182元，两种服
装标价之和为210元．问这两种服装的进价和标价各是多少元？
73/146
练1.2 某工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而
总收入比总支出多100万元．求去年的总收入和总支出．
例2 八年级（1）班课外手工制作小组30名学生制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机
翅，一个飞机模型要一个机身配两个机翅，为了使每小时制作的成品刚好配套，则做机身和机翅
的学生各有（ ）
A： 18名，12名
B： 12名，18名
C： 20名，24名
D： 24名，20名
练2.1 某车间共有75名工人生产A、B两种工件，已知一名工人每天可生产A种工件15件或B种工件20
件，但要安装一台机械时，同时需A种工件1件，B种工件2件，才能配套，当车间如何分配工人生
产才能保证连续安装机械时，两种工件恰好配套？
练2.2 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身25个，或40个盒底，一个盒身与两个盒底配成一套盒．
现有36张白铁皮，用多少张制作盒身，多少张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套？
例3 一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是
__________．
练3.1 一个两位数，十位上数字比个位上数字大2，且十位上数字与个位上数字之和为12，则这个两位数
为（ ）
A： 46
B： 64
C： 57
D： 75
练3.2 已知一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后
组成的两位数，求这个两位数．
74/146
例4 用四个完全一样的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是121，
小正方形的面积是9，若用x、y(x > y)表示长方形的长和宽，则下列关系中不正确的是（ ）
A： x+y=11
B： x2 +y2 = 180
C： x﹣y=3
D： x•y=28
练4.1 如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，则每个长方形地砖的面积是（ ）
A： 200 cm 2
B： 300 cm 2
C： 600 cm 2
D： 2400 cm 2
4
例5
小颖家离学校1.2千米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了 小时．假设
15
小颖走上坡路的平均速度是3千米/时，走下坡路的平均速度是5千米/时．求上坡路与下坡路各是
多少米？若设上坡路为x千米，下坡路为y千米，可列方程组为__________________．
练5.1 甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出
发1小时追及乙，那么在乙出发后经4小时两人相遇，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/
小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（ ）
2x−2y = 18
A：
{5x+4y = 18
2x+2y = 18
B：
{5x−4y = 18
75/146
2x+2y = 18
C：
{5x = 4y −18
2x+2y = 18
D：
{5x+4y = 18
练5.2 甲、乙两人相距6千米，若两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时同向出发4小时甲追上乙，
求甲、乙两人的平均速度．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 9 讲 二元一次方程组应用题
自我巩固答案
1 某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
单价
成本价（元/箱） 销售价（元/箱）
类别
甲 24 36
乙 33 48
（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
2 某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为
20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（ ）
A： 562.5元
B： 875元
C： 550元
D： 750元
3 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头
盒，现有120张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，得方程组（ ）
76/146
x+y = 120
A：
{40y = 16x
x+y = 120
B：
{40y = 32x
x+y = 120
C：
{40y = 20x
x+y = 120
D：
{20y = 40x
4 某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个．两个甲种部件和三
个乙种部件配成一套，问加工甲、乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配
套？
5 若一个两位数，加上2之后的各位数字之和只有原数字之和的一半，求所有这样的两位数．
6 小明在学习之余去买文具，打算购买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售
货员对话如下：
小明：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本．
售货员：好的，那你应该付52元．
小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元．
请你判断在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付（ ）
A： 10元
B： 11元
C： 12元
D： 13元
7 如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依
题意列方程组正确的是（ ）
x+2y = 75，
A：
{y = 3x
77/146
2x+y = 75，
B：
{x = 3y
2x+y = 75，
C：
{y = 3x
x+2y = 75，
D：
{x = 3y
8 如图，宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
A： 400 cm 2
B： 500 cm 2
C： 600 cm 2
D： 4000 cm 2
9 从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走3千米，
平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲地到乙地需90分钟，从乙地到甲地需102分
钟，则甲地到乙地全程是多少千米？
10 现有两辆汽车从相距120 km的A，B两地同时出发匀速行驶，如果两辆车的行驶方向相同，那么6
h后，速度快的汽车追上速度慢的汽车，如果两辆车相向行驶，那么1.2 h后两车相遇，则速度快
的汽车和速度慢的汽车的速度分别为（ ）
A： 60 km/h；40 km/h
B： 80 km/h；60 km/h
C： 40 km/h；20 km/h
D： 80 km/h；40 km/h
能力提高 / 初二 / 秋季
78/146
第 9 讲 二元一次方程组应用题
课堂落实答案
1 从A地到B地有一段上坡路和一段平路，如果车辆保持上坡每小时行驶30km，平路每小时行驶
50km，下坡每小时行驶60km，那么车辆从A地到B地需要48分钟，从B地到A地需要27分钟，问
A，B两地之间的坡路和平路各有多少千米？若设A，B两地之间的坡路为xkm，平路为ykm，根据
题意可列方程组为（ ）
x y
A： + = 48
⎧ 30 50
⎪
x y
⎨ + = 27
⎩⎪ 60 50
x y
B： + = 27
⎧ 30 50
⎪
x y
⎨ + = 48
⎩⎪ 60 50
x y
C： + = 0.45
⎧ 30 50
⎪
x y
⎨ + = 0.8
⎩⎪ 60 50
x y
D： + = 0.8
⎧ 30 50
⎪
x y
⎨ + = 0.45
⎩⎪ 60 50
2 甲、乙两人相距42km，若相向而行，则需2小时相遇；若同向而行，乙要14小时才能追上甲，则
甲、乙二人每小时各走（ ）
A： 12km；9km
B： 11km； 10km
C： 10km； 11km
D： 9km；12km
3 某公司去年的利润（总产值−总支出）为200万元．今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年
减少了10%，今年的利润为780万元．如果去年的总产值x万元、总支出y万元，则下列方程组正确
的是（ ）
x−y = 200，
A：
{(1 +20%)x−(1 −10%)y = 780
x−y = 200，
B：
{(1 −20%)x−(1 +10%)y = 780
79/146
x−y = 200，
C：
{20%x−10%y = 780
x−y = 200，
D：
{(1 −20%)x−(1 −10%)y = 780
4 根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（ ）
A： 51元
B： 35元
C： 8元
D： 7.5元
5 某车间有56名工人生产螺栓和螺母，每人每天可生产螺栓16个或螺母24个，问怎样分配工人才能
使每天生产的螺栓和螺母按1 : 2配套？设生产螺栓为x人，生产螺母为y人，则方程组可列为
（ ）
x+y = 56，
A：
{2 ×16x = 24y
x+y = 56，
B：
{2 ×24y = 16x
x+y = 56，
C：
{2 ×16y = 24x
x+y = 56，
D：
{24x = 16y
能力提高 / 初二 / 秋季
第 9 讲 二元一次方程组应用题
精选精练
1 小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均
按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如表所示：
80/146
购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元
第一次购物 6 5 1140
第二次购物 3 7 1110
第三次购物 9 8 1062
(1)在这三次购物中，第_____次购物打了折扣；
(2)求出商品A、B的标价；
(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
2 一张桌子由桌面和四条桌腿组成，1立方米的木材可制成桌面50张或制作桌腿300条，现有5立方
米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌腿配套？
3 《孙子算经》是中国传统数学最重要的著作，约成书于四、五世纪．现在传本的《孙子算经》共
三卷．卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和算筹乘除法则；卷中举例说明算筹分数算法和算筹开
平方法；卷下记录算筹，不但提供了答案，而且还给出了解法．其中记载：“今有木，不知长
短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”
译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
问长木长多少尺？”设绳长x尺，长木为y尺，可列方程组为_______________．
4 一船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65千米需要5小时，若设船在静水中的速度为x千米/
时，水流速度为y千米/时，则可列二元一次方程组为____________________．
5 从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下
坡每小时走5km，那么从甲地到乙地用54分钟，从乙地到甲地用42分钟，甲地到乙地的全程是多
少？
6 甲、乙二人跑步，如果甲让乙先跑10米，甲跑5秒就能追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑
4秒钟就能追上乙，若设甲、乙每秒钟分别跑x，y米，则可列方程组为（ ）
5x = 5y +10，
A：
{4x−2 = 4y
81/146
5x+10 = 5y，
B：
{4x−4y = 2
5(x−y) = 10，
C：
{4(x−y) = 2x
5x−5y = 10，
D：
{4(x−y) = 2y
能力提高 / 初二 / 秋季
第 10 讲 二元一次方程和一次函数
例题练习题答案
例1
(1)对于直线：y = 2x−1，
①求向下平移4个单位后的解析式；
②求向右平移2个单位后的解析式；
③求先向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的解析式．
(2)若直线y = kx+b的图象向上平移3个单位，再向左平移1个单位，平移后的直线的函数解
析式为y = 2x+5，求k、b．
(3)若一次函数y = kx+b的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，平移后的图象与原
图象重合，你能确定k、b的值吗？
练1.1
(1)对于直线：y = −3x+2，
①将该直线向左平移1个单位后得到直线的解析式为_________________；
②将该直线向上平移5个单位后得到直线的解析式为_________________；
③将该直线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到直线的解析式为_________．
(2)若直线y = mx+n的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的直线的函数
解析式为y = 3x−2，则m =_______，n =_______．
82/146
(3)若一次函数y = kx+1的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，平移后的图象与原
图象重合，则k =_______．
练1.2 如图，A，B的坐标为(2,0)，(0,1)，若将线段AB平移至A B ，则a+b的值为（ ）
1 1
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
例2 把直线y = −2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点(m,n)，且2m+n = 8，则直线
AB的表达式为（ ）
A： y = −2x+4
B： y = −2x+8
C： y = −2x−4
D： y = −2x−8
练2.1 如图，把直线y = −2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点(a,b)，且2a+b = 6，则直
线AB的解析式是（ ）
83/146
A： y = −2x+6
B： y = −2x−6
C： y = −2x+3
D： y = −2x−3
练2.2 一次函数y = kx+b与y = 2x+1平行，且经过点(−3,4)，则表达式为：_____．
例3 直线y = 3x+b与x轴的交点坐标是(1,0)，则关于x的一元一次方程3x+b = 0的解是
______．
练3.1 如图，直线y = kx+b(k ≠ 0)与x轴交于点(−4,0)，则关于x的方程kx+b = 0的解为
______．
练3.2 已知直线l 的解析式为：y = −3x+3，求函数与x轴交点坐标．
1
例4 (1)已知直线y = 3x+b与y = ax−2的交点的横坐标为−2，则关于x的方程
3x+b = ax−2的解为x =_______．
(2)如图，已知函数y = ax+b和y = kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一
y = ax+b
次方程组 的解是（ ）
{y = kx
x = −2
A．
{y = −4
x = −4
B．
{y = −2
x = 2
C．
{y = −4
x = −4
D．
{y = 2
84/146
练4.1 已知：直线l ：y = a x−b 与直线l ：y = a x−b 相交于点P(−1,2)，则方程组的
1 1 1 1 2 2 2 2
a x−y = b
1 1
解为_______．
{a x−y = b
2 2
练4.2 如图，一次函数y = x+1与y = 2x−1图象的交点是(2,3)，观察图象，直接写出方程组
y = x+1
的解为（ ）
{y = 2x−1
x = 3
A：
{y = −1
x = 2
B：
{y = 3
x = 3
C：
{y = 1
x = −1
D：
{ y = 3
y = k x+b x = −2
例5 已知方程组 1 1 的解是 ，则一次函数y = k x+b 与y = k x+b 的
1 1 2 2
{y = k x+b { y = 3
2 2
交点坐标是____．
y = 3x−5 x = 12
练5.1
已知方程组 的解为 ，则一次函数y = 3x−5与y = 2x+7的交点坐
{y = 2x+7 {y = 31
标是________．
y +x = 5 x = 2
练5.2
二元一次方程组 的解为 ，则一次函数y = 5 −x与y = 2x−1的交点
{2x−y = 1 {y = 3
坐标为（ ）
A： （2，3）
B： （3，2）
C： （﹣2，3）
D： （2，﹣3）
85/146
能力提高 / 初二 / 秋季
第 10 讲 二元一次方程和一次函数
自我巩固答案
1 如图，把直线l沿x轴正方向平移2个单位得到直线l′ ，则直线l′ 的解析式为（ ）
A： y = 2x−3
B： y = −2x− 2
C： y = 2x− 4
D： y = −2x+ 2
2 将一次函数y = 2x−3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（ ）
A： y = 2x−5
B： y = 2x+8
C： y = 2x−8
D： y = 2x+5
3 若直线y = kx+b的图象向上平移1个单位，再向右平移2个单位，平移后的直线的函数解析式
为y = −3x−2，则k，b的值分别为（ ）
A： −3，9
B： −3，−8
C： −3，−9
86/146
D： −3，8
4 把直线 y = −3x 向上平移后得到直线 AB ，直线 AB 经过点 (m,n) ，且 3m+n = 10 ，则
直线 AB 的解析式为（ ）（ 1 分）
A： y = −3x−5
B： y = −3x−10
C： y = −3x+5
D： y = −3x+10
5 如图所示，直线y = kx+b(k ≠ 0)与x轴交于点(−5,0)，则关于x的方程kx+b = 0的解为
（ ）
A： 5
B： 4
C： 0
D： 1
6 如图，根据函数y = kx+b（k、b是常数，且k ≠ 0）的图象，求：
（1）方程kx+b = 0的解；
（2）式子b−k的值；
（3）方程kx+b = −3的解．
7 如图，根据函数y = kx+b（k、b是常数，且k ≠ 0）的图象，求：
87/146
(1)方程kx+b = 0的解；
(2)式子3k+b的值；
(3)方程kx+b = −2的解．
8 一次函数y = −2x+3的图象和y = kx−b的图象相交于点A(m,1)，则关于x，y的二元一次
2x+y = 3
方程组 的解为（ ）
{ kx−y = b
x = −1
A：
{ y = 5
x = 2
B：
{y = −1
x = 1
C：
{y = 1
x = 2
D：
{y = 3
9 用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所
示），则所解的二元一次方程组是（ ）
x+y −2 = 0
A：
{3x−2y −1 = 0
2x−y −1 = 0
B：
{3x−2y −1 = 0
88/146
2x−y −1 = 0
C：
{3x+2y −5 = 0
x+y −2 = 0
D：
{2x−y −1 = 0
y = kx+b
10 如图所示为函数y = kx+b与y = mx+n的图象，则方程组 的解是
{y = mx+n
__________．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 10 讲 二元一次方程和一次函数
课堂落实答案
1 将直线y = −3x沿着x轴向右平移2个单位，所得直线的表达式为（ ）
A： y = −3x+6
B： y = −3x−6
C： y = −3x+2
D： y = −3x−2
2 已 知 直 线 y = mx+n(m、 n为 常 数 ） 经 过 点 (0,−2)和 (3,0)， 则 关 于 x 的 方 程
mx+n = 0的解为（ ）
A： x = 0
B： x = 1
C： x = −2
D： x = 3
89/146
4x−y = 1
3 方程组 的解是______，则一次函数y = 4x−1与y = 2x+3的图象的交点坐标
{y = 2x+3
为______．
4 如图，已知直线y = 2x+4与直线y = kx+b交于点M(−1,a)，则关于x，y的二元一次方程组
2x−y +4 = 0
的解为_____．
{kx−y +b = 0
能力提高 / 初二 / 秋季
第 10 讲 二元一次方程和一次函数
精选精练
1 已知直线y = 7x−8．
（1）求它关于x轴对称的直线所对应的函数表达式；
（2）求它关于y轴对称的直线所对应的函数表达式．
2 如图，已知点C为直线y = x上在第一象限内一点，直线y = 2x+1交y轴于点A，交x轴于点
–
B，将直线AB沿射线OC方向平移√2个单位，则平移后直线的解析式为_______________．
3
3 一次函数y = − x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，将线段AB绕点A顺时针旋转90∘ 得
4
到线段AC．则过B、C两点直线的解析式为__________．
90/146
4 若函数y = −x+a与y = 4x+1的图象交于x轴上一点，则a的值为（ ）
A： 4
B： ﹣4
1
C： −
4
D： ±4
y = kx+b
5
已知如图，方程组 的解是（ ）
{y = mx+n
x = 1
A：
{y = 1
x = 0
B：
{y = 2
x = −1
C：
{ y = 1
x = −2
D：
{ y = 0
ax+y = 2 3
6 方程组 没有解，说明一次函数y = ax+2与y = x+ 的图象必定（ ）
{2x+2y = 3 2
A： 相交
B： 平行
C： 重合
D： 不能确定
能力提高 / 初二 / 秋季
91/146
第 11 讲 一次函数应用
例题练习题答案
例1 为了增强人们的节约用水意识，缓解城市用水压力．某市规定，每月用水18立方米以内（含18立
方米）和用水18立方米以上采取两种不同的收费标准．下图为该市的用户每月应交水费y（元）关
于用水量x（立方米）的函数图象．思考并回答下列问题：
(1)求出用水量小于18立方米时，每月应交水费y（元）关于用水量x（立方米）的函数表达式；
(2)若小明家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？
练1.1 某汽车租赁公司对一款汽车的租赁方式为按时段计费，该公司要求租赁方必须在9天内（包括9
天）将所租汽车归还，租赁费用y（元）随时间x（天）的变化图象为折线OA −AB −BC，
如图所示．
(1)当租赁时间不超过3天时，每日租金为_____元；
(2)当6 ≤ x ≤ 9时，求y与x的函数解析式；
(3)甲、乙两人租赁该款汽车各一辆，两人租赁时间一共为9天，甲租的天数少于3天，乙比甲多
支付费用720元，请问乙租这款汽车多长时间？
例2 在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行
海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶x(h)后，与B港的距离为y(km)，y与x的函数关系
如图所示．
92/146
(1)填空：A、C两港口间的距离为_______km，a =________；
(2)求y与x的函数关系式，并请解释图中点P坐标所表示的实际意义；
(3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接
收到该信号的时间有多长？
练2.1 某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了
学校．图中描述了他上学的途中离家距离s（米）与离家时间t（分）之间的函数关系．下列说
法中正确的个数是（ ）
（1）修车时间为15分；
（2）学校离家的距离为2000米；
（3）到达学校时共用时间20分；
（4）自行车发生故障时离家距离为1000米．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
例3 小明和小红沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校到图书馆的路程是4千米，小明骑
自行车，小红步行，当小明从原路回到学校时，小红刚好到达图书馆，图中折线
93/146
O−A −B −C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之
间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
（1）小明在图书馆查阅资料的时间为________分钟，小明返回学校的速度为_______千米/分钟；
（2）请求出小红离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系；
（3）当小明与小红迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
练3.1 在某次全民健身越野赛中，甲、乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如
图所示．下列四种说法：
①起跑后1小时内甲在乙的前面；
②第1小时两人都跑了10千米；
③甲比乙先到达终点；
④两人都跑了20千米．
其中正确的是（ ）
A： ①②③④
B： ①②③
C： ①②④
D： ②③④
例4 一辆动车从A地开往B地，一辆高铁从B地开往A地．两车同时出发，设动车离A地的距离为
y （km），高铁离A地的距离为y （km），动车行驶时间为t（h），变量y 、y 之间的关系如
1 2 1 2
94/146
图所示：
(1)根据图象，求高铁和动车的速度；
(2)动车出发多少小时与高铁相遇．
练4.1 在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A、B两村出发，甲骑摩托
车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村．设甲、乙两人到C村的距离y 、y （km）与
1 2
行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，请回答下列问题：
(1)A、C两村间的距离为___km，a =___h；
(2)求出图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
(3)乙在行驶过程中，何时距甲10km？
例5 为迎接国家对城乡教育均衡化验收，在今年暑假东明县学校准备添置一批电脑，现有如下方案：
方案1：到商家直接购买，每台需要4000元；
方案2：学校买零部件组装，每台需要3000元，另外需要支付安装工工资等其他费用合计4000
元．设学校需要电脑x台，方案1与方案2的费用分别为y ，y 元．
1 2
95/146
(1)分别写出y ，y 的函数解析式；
1 2
(2)当学校添置多少台电脑时，两种方案的费用相同？
(3)若学校需要部署电脑50台，那么采用哪一种方案较省钱？说说你的理由．
练5.1 某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付
费30元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y （元），选择方式二的总费用
1
为y （元）．
2
（1）请分别写出y ，y 与x之间的函数表达式．
1 2
（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 11 讲 一次函数应用
自我巩固答案
1 3月份，某品牌衬衣正式上市销售，3月1日的销售量为10件，3月2日的销售量为35件，以后每
天的销售量比前一天多25件，直到日销售量达到最大后，销售量开始逐日下降，每天的销售量比
前一天少15件，直到3月31日销售量为0．
设该品牌衬衣的日销量为P（件），销售日期为n（日），P与n之间的关系如图所示．
（1）求3月_____日时，日销售量最大；
（2）写出P关于n的函数关系式；（注明n的取值范围）
96/146
2 某童装厂，现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共
50套．已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元，做一套M型号
的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，设生产L型号的童装套数为x（套），
用这些布料生产两种型号的童装所获得利润为y（元）．
(1)写出y（元）关于x（套）的代数式，并求出x的取值范围；
(2)该厂生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂的利润最大，最大利润是多少．
3 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知
甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图
所示，给出以下结论：①a = 8；②b = 92；③c = 123，其中正确的是（ ）
A： ①②③
B： 仅有①②
C： 仅有①③
D： 仅有②③
4 某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙
厂直接按印刷数量收取印刷费．甲，乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数
关系图象分别如图中甲，乙所示，下列四种说法：
①甲厂的制版费为1千元；
②当印制证书超过2千个时，乙厂的印刷费用为0.2元/个；
③当印制证书8千个时，选择乙厂节省费用，节省费用500元；
④甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下．每个证书最少降
低0.0625元．
其中正确的个数是（ ）
97/146
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
5 如图，l A，l B分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．
(1)B出发时与A相距_____千米．
(2)走了一段路后，自行车发生故障进行修理，所用的时间是_____小时．
(3)B出发后_____小时与A相遇．
(4)求出A行走的路程S与时间t的函数关系式．（写出计算过程）
(5)请通过计算说明：若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，何时与A相遇？
6 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出
水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之
间的关系如图所示．则8min时容器内的水量为（ ）
98/146
A： 20L
B： 25L
C： 27L
D： 30L
7 小凡与小光从学校出发到距学校5千米的图书馆看书，途中小凡从路边超市买了一些学习用品，如
图反应了他们两人离开学校的路程s（千米）与时间t（分钟）的关系，请根据图象提供的信息回答
问题：
(1)l 和l 哪一条是描述小凡的运动过程，说说你的理由；
1 2
(2)小凡和小光谁先出发，先出发了多少分钟？
(3)小凡与小光谁先到达图书馆，先到了多少分钟？
(4)小凡与小光从学校到图书馆的平均速度各是多少千米/小时？（不包括中间停留的时间）
8 某工程队要招聘甲，乙两种工种的工人150人，甲，乙两种工种的工人的月工资分别为600元和
1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，设招聘甲种工种工人是x人，所
聘工人共需付月工资y元．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）甲乙两种工种各招聘多少人时，可使每月所付的工资最少？是多少元？
99/146
9 A市和B市分别有库存的某联合收割机12台和6台，现决定开往C市10台和D市8台，已知从
A市开往C市、D市的运费分别为每台400元和800元，从B市开往C市和D市的运费分别为每台
300元和500元．
(1)设B市运往C市的联合收割机为x台，求总运费w关于x的函数关系式；
(2)若总运费不超过9000元，问有几种调运方案？
(3)求出总运费最低的调运方案，并求出最低运费．
10 有甲，乙两家通讯公司，甲公司每月通话（不区分通话地点）的收费标准如图所示，乙公司每月
通话收费标准如表所示．
（1）观察图象，求甲公司用户月通话时间不超过400分钟时应付的话费金额；
（2）求出甲公司的用户通话时间超过400分钟后，通话费用y（元）与通话时间t（分）之间的
函数关系式（写出计算过程）；
（3）王先生由于工作需要，从4月份开始经常去外市出差，估计每月各种通话时间的比例是：
本市接听时间:本市通话时间:外市通话时间=2 : 1 : 1．设王先生每月的各种通话时间总和
为t（分），通话费用为y（元），你认为t不少于多少时间时，乙通讯公司比甲公司更合
算？请说明理由．
月租费 本市接听费 本市拨打费 外市通话费
50元 0元/月 0.10元/分 0.90元/分
能力提高 / 初二 / 秋季
100/146
第 11 讲 一次函数应用
课堂落实答案
1 某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销
点进行了为期30天的试销售，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情
况绘成如图所示的图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关
系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．
(1)第24天的日销售量是 件，日销售利润是 元．
(2)求线段DE所对应的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）
(3)通过计算说明试销售期间第几天的日销售量最大？最大日销售量是多少？
2 园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S(平方米)与工作时间t(小时)的函
数图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为（ ）
A： 40m2
B： 50m2
C： 80m2
D： 100m2
3 甲，乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶（中途不停留）前往终点B地，甲，乙两车之间的距离
y（千米）与甲车行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示．小红通过图象得出4个信息：
101/146
①甲车速度为60千米/小时；
②A，B两地相距240千米；
③乙车行驶2小时追上甲车；
8
④乙车由A地到B地共用 小时．
3
上述信息正确的有（ ）个．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
4 一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元）
A类 50 25
B类 200 20
C类 400 15
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50 +25 ×20 = 550元，若一年内在该游泳
~
馆游泳的次数介于40 50次之间，则最省钱的方式为（ ）
A： 购买A类会员年卡
B： 购买B类会员年卡
102/146
C： 购买C类会员年卡
D： 不购买会员年卡
能力提高 / 初二 / 秋季
第 11 讲 一次函数应用
精选精练
1 用如图中的图像（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直道上的行驶过程中，汽车离出发地的距离
s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车共行驶了120千米；
②汽车在行驶途中停留了0.5小时；
160
③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 千米/时；
3
④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少．
其中正确的说法有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程S（单位：千米）与
时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示．放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速
度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为（ ）
103/146
A： 12分
B： 10分
C： 16分
D： 14分
3 甲、乙两工程队同时修筑水渠，且两队所修水渠总长度相等，下图是两队所修水渠长度y（米）与
修筑时间x（时）的函数图象的一部分，当乙队修筑的水渠长度超过甲队时的时间是（ ）
A： 开修后2小时
B： 开修后3小时
C： 开修后4小时
D： 开修后5小时
4 某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行,另一部分同学骑自行车，沿相同路线
前往．如图，a、b分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y（千米）与所用时间x（分
104/146
钟）之间的函数图象，则下列判断错误的是（ ）
A： 骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟
B： 步行的速度是6千米/小时
C： 骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟
D： 骑车的同学和步行的同学同时到达目的地
5 小明在银行存入一笔零花钱．已知这种储蓄的年利率为n%，若设到期后的本息和(本金+利息)为
y(元)，存入的时间为x(年)，那么，
(1)下列哪个图象更能反映y与x之间的函数关系？从图中你能看出存入的本金是多少元？一年后
的本息和是多少元？
(2)根据（1）的图象，求出y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)，并求出两年后
的本息和．
6 随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已
不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式（如表格，图象所示）：
设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为y ，y ．
A B
105/146
超时费
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h
（元/min）
A 7 25 0.01
B m n p
(1)如图是y 与x之间的函数关系图象，请根据图象填空：m =___，n =___．
B
(2)写出y 与x之间的函数关系式．
A
(3)若某同学每月上网学习时间为70小时，那么选择哪种方式上网学习合算，为什么？
能力提高 / 初二 / 秋季
第 12 讲 一次函数与几何综合
例题练习题答案
例1 在平面直角坐标系xOy中，直线y = kx+b经过点A(3,1)，与x轴交于点B，与y轴交于点C，连
接OA．若S
△AOB
: S
△BOC
= 1 : 2，求直线y = kx+b的解析式．
练1.1 如果一次函数y = kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为4，则k = ________．
练1.2 已知一次函数y = kx+b（k ≠ 0）图象过点(0,2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一
次函数的解析式为（ ）
A： y = x+2
B： y = −x+2
C： y = x+2或y = −x+2
D： y = −x+2或y = x−2
例2 已知正比例函数y = kx的图象经过点P (1,2)，函数y = ax+b的图象与直线y = −2x−6平
行，并且经过正比例函数图象上一点Q(2,m)．求正比例函数、一次函数y = ax+b与x轴所围
成的三角形的面积．
106/146
练2.1 如图，直角坐标系xOy中，一次函数y = kx+5的图象l 分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函
1
数y = 2x的图象l 与l 交于点C (m,4)．
2 1
（1）求m的值及l 的解析式；
1
（2）求S △AOC −S △BOC的值．
例3 如图（含备用图），在平面直角坐标系中，已知直线y = kx+3与x轴相交于点A(2,0)，与y轴
交于点B．
(1)求k的值及△ AOB的面积
(2)点C在x轴上，若△ ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标
3
练3.1 如图，一次函数y = − x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线CD对折，
4
使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
(1)点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
107/146
(2)求OC的长度；
(3)在x轴上有一点P，且△PAB是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P的坐标．
例4
1
(1)在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，B(2,0)，若点C在一次函数y = − x+2的图
2
象上，且△ ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
–
(2)在平面直角坐标系xOy中，点A(−4,0)，B(2,0)，设点C是函数y = −√3(x+1)图象
上的一个动点，若△ABC是直角三角形，则点C的坐标是___________________．
练4.1 如图，点A是第一象限内的一点，OA与y轴的夹角为45°，点B是坐标轴上的一点，则使得△OAB为
直角三角形的点B有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
例5 如图，在平面直角坐标系中，△ P
1
OA
1
，△ P
2
A
1
A
2
，△ P
3
A
2
A
3
，…，都是等腰直角三角
1
形，其直角顶点P
1
(3,3)，P
2
，P
3
，…，均在直线y = − x+4上，设△ P
1
OA
1
，
3
108/146
△ P 2 A 1 A 2 ，△ P 3 A 2 A 3 ，…的面积分别为S 1 ，S 2 ，S 3 ，…，依据图形所反映的规律，
S =________．
2019
–
练5.1 √3
如图，在平面直角坐标系中，直线l : y = x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A 、A 、
1 2
3
A
3
，…在x轴上，点B
1
、B
2
、B
3
，…在直线l上．若△ OB
1
A
1
，△ A
1
B
2
A
2
，
△ A 2 B 3 A 3 ，…均为等边三角形，则△ A 5 B 6 A 6 的周长是（ ）
–
A： 24√3
–
B： 48√3
–
C： 96√3
–
D： 192√3
能力提高 / 初二 / 秋季
第 12 讲 一次函数与几何综合
自我巩固答案
1 如图，在平面直角坐标系中，直线y = kx+4与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，已知△OAB
的面积为10，求这条直线的解析式．
109/146
2 在平面直角坐标系xOy中，直线y = kx+b经过点A(3,1)，与x轴交于点B，与y轴交于点C，连
接OA．若S
△AOB
: S
△BOC
= 1 : 2，求直线y = kx+b的解析式．
3 直线y = −2x+6与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
A： 8
B： 6
C： 9
D： 2
4 在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y = x+3分别与x轴，直线y = −2x交于点
A，B，则△ AOB的面积为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 6
5 直线y = x−1与两坐标轴分别交于A、B两点，点C在坐标轴上，若△ABC为等腰三角形，则满足
条件的点C最多有（ ）
A： 4个
B： 5个
C： 6个
D： 7个
110/146
1
6 如图，已知A(−4,0)，B(2,0)，点C在直线y = − x+2上移动，则使△ ABC为直角三角
2
形的点C共有（ ）
A： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个
7 已知一次函数y = ax+b的图象经过点(0,1)，它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则
a的值为 （ ）
A： 1
B： −1
C： ±1
D： 不确定
8 如图，在平面直角坐标系中，直线y = −2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C是AB的中点，
过点C作直线CD⊥x轴于点D，点P是直线CD上的动点．
（1）填空：线段OA的长为_________；线段OB的长为____________；
（2）求点C的坐标；
（3）是否存在这样的点P，使△POB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
111/146
1
9 如图，直线l：y = − x+2与x轴，y轴分別交于点A，B，在y轴上有一点C (0,4)，动点M从
2
点A出发以毎秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为t秒．
（1）求点A的坐标；
（2）请从①，②两题中任选一题作答．
①．求△COM的面积S与时间t之间的函数表达式；
②．当△ABM为等腰三角形时，求t的值．
10 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A (−1,1)在直线y = x+b上，过点A 作A B ⊥x轴于
1 1 1 1
点B ，作等腰直角三角形A B B （B 与原点O重合），再以A B 为腰作等腰直角三角形
1 1 1 2 2 1 2
A A B ，以A B 为腰作等腰直角三角形A B B ；按照这样的规律进行下去，那么A 的坐
2 1 2 2 2 2 2 3 3
标为________，A 的坐标为________．
2019
能力提高 / 初二 / 秋季
112/146
第 12 讲 一次函数与几何综合
课堂落实答案
1 如果直线y = x+m与两坐标轴围成的三角形面积等于2，则m的值是____．
2 直线y = kx−4与两坐标轴所围成三角形的面积是4，则k =_____．
3 如图，一次函数y = −x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点M在x轴上，要使△ABM是以
AB为腰的等腰三角形，那么点M的坐标是_____．
4 如图，在平面直角坐标系中，过点A(0,6)的直线AB与直线OC相交于点C(2,4)，动点P沿路
线O → C → B运动．
(1)求直线AB的解析式；
A： y = −x+6
B： y = −x−6
C： y = x+6
D： y = x−6
1
(2)当△OPB的面积是△OBC的面积的 时，求出这时点P的坐标；
4
1
A：
,1
(2 )
113/146
B： (5,1)
1
C：
,1 或(5,1)
(2 )
D： (1,1)
(3)是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明
理由．
A： (3,3)
6 12
B：
, 或(3,3)
(5 5 )
6 12
C：
,
(5 5 )
12 6
D：
,
( 5 5)
能力提高 / 初二 / 秋季
第 12 讲 一次函数与几何综合
精选精练
–
√3
1
已知一次函数y = x+1与x轴，y轴交于A，B两点，点M在坐标轴上，若△ABM是等腰三角
3
形，则符合条件的点M有_____个．
2 如图，在平面直角坐标系中，已知A，B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P (2,p)在第一象
限，直线PA交y轴于点C (0,2)，直线PB交y轴于点D，且△AOP的面积为6．若△BOP与△DOP的
面积相等，则△BOD的面积为（ ）
114/146
A： 9
B： 12
C： 18
D： 24
1
3 在平面直角坐标系中，已知A(1,2)，B(7,10)，C为一次函数y = x+9的图象上动点，若
7
以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为_______________________．
4 如图，一次函数y = k x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y = k x的图象相交于点
2 1
A(4,3)，且OA = OB．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
4
5 如图：在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y = x与一次函数y = −x+7的图象交于
3
点A．
（1）求点A的坐标；
（2）在y轴上确定点M，使得△AOM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标；
（3）如图，设x轴上一点P (a,0)，过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交
4
y = x
3
14
和y = −x+7的图象于点B、C，连接OC，若BC = OA，求△ABC的面积及点B、点C
5
的坐标．
115/146
3
6 如图1，直线y = − x+6与y轴交于点A，与x轴交于点D，直线AB交x轴于点B，△AOB沿直线
4
AB折叠，点O恰好落在直线AD上的点C处．
（1）求OB的长；
（2）如图2，F，G是直线AB上的两点，若△DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐
标．
A： 3，(6,−6)
B： 4，(6,−6)
C： 3，(−6,6)
D： 4，(−6,6)
116/146
能力提高 / 初二 / 秋季
第 13 讲 数据的分析
例题练习题答案
例1 有10个数，它们的平均数是45，将其中最小的4和最大的70这两个数去掉，则余下数的平均数为
（ ）
A： 45
B： 46
C： 47
D： 48
练1.1 已知a，b，c三个数的平均数是4，且a，b，c，d四个数的平均数是5，则d的值为________．
练1.2 晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中体育课外活动成绩占20%，期中考试成绩占
30%，期末考试成绩占50%，小桐三项体育成绩（百分制）依次为95分，90分，86分，则小桐这
学期的体育成绩是（ ）
A： 88分
B： 89分
C： 90分
D： 91分
例2 某鞋厂为了了解初中生穿鞋的尺码情况，对某中学八年级（2）班的20名男生进行了调查，统计结
果如下表：
尺码 37 38 39 40 41 42
人数 3 4 4 7 1 1
则这20个数据的中位数和众数分别为（ ）
A： 4和7
117/146
B： 40和7
C： 39和40
D： 39和39
练2.1 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的
一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的
（ ）
A： 众数
B： 平均数
C： 中位数
D： 以上都可以
例3 某气象观测员测得古剑山景区五月份第一周前五天日最低气温并整理后得出下表：（单位：℃）
星期 一 二 三 四 五 平均气温 方差
最低气温 11 13 12 15 14 13
由于不小心被墨迹污染了一个数据，这个数据是_________．
练3.1 已知数据x ，x ，…，x 的平均数x¯ = 20，方差s2 = 0.015．
1 2 10
（1）求x +1，x +1，…，x +1的平均数和方差；
1 2 10
（2）求3x ，3x ，…，3x 的平均数和方差；
1 2 10
（3）求4x −2，4x −2，…，4x −2的平均数和方差；
1 2 10
（4）由（1）（2）（3）得出的结果，你能发现什么规律？
例4 数据−2、0、1、6、x的极差为9，那么x等于（ ）
A： 7
B： −3
C： 7或−3
D： 不能确定
练4.1 如果一组数据1，0，−2，2，x的极差是6，且x＞0，那么x的值是___．
118/146
例5 数据8，0，2，−4，4的标准差等于（ ）
−−
A： √15
B： 4
−−
C： √17
−−
D： √18
练5.1 一组数据3，5，2，x，5的平均数是4，则这组数据的标准差是___．
练5.2 已知x
1
，x
2
，x
3
，…，x n的标准差是s，则数据2x
1
−5，2x
2
−5，2x
3
−5，…，
2x
n
−5的方差是________．
例6 我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代
表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
(1)根据图示计算出a、b、c的值：
2
平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分 ）
初中部 a 85 b
s2
初中
高中部 85 c 100 160
(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
(3)计算初中代表队决赛成绩的方差s2
，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
初中
练6.1 为传承经典，某市开展“中华古诗词”朗读大赛，某中学甲、乙两名选手经过八轮预赛后脱颖而
出．甲、乙两名学生的成绩如图所示，甲、乙两名学生成绩的相关统计数据如表所示，请结合图
表回答下列问题：
119/146
平均数 方差
甲 a 118.25
乙 80 b
(1)甲、乙两名同学预赛成绩的中位数分别是：甲 分，乙 分；
(2)王老师说，两个人的平均水平相当，不知道选谁参加决赛，但李老师说，乙同学的成绩稳
定，请你先计算出a、b的值并选择所学过的平均数、方差等统计知识，对两位老师的观点进
行解释；
(3)若学校想从两名选手中选择一名冲击决赛金牌，会选择谁参加？请说明理由．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 13 讲 数据的分析
自我巩固答案
1 某快递员六月第三周投放快递物品的件数为：有1天是41件，有2天是35件，有4天是37件，则他
这周日平均投递物品件数为（ ）
A： 36件
B： 37件
C： 38件
120/146
D： 38.5件
2 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况
如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（ ）
A： 1.95元
B： 2.15元
C： 2.25元
D： 2.75元
3 某班40名学生的一次体育测验成绩统计如下：
成绩（分） 60 70 80 90 100
人数 7 x 12 y 3
如果已知该班平均成绩为76分，则x，y的值分别为（ ）
A： 14，4
B： 13，5
C： 12，6
D： 11，7
4 2016年欧洲杯足球赛中，某国家足球队首发上场的11名队员身高如表：
身高（cm） 176 178 180 182 186 188 192
人数 1 2 3 2 1 1 1
则这11名队员身高的众数和中位数分别是（ ）（单位：cm）
A： 180，182
121/146
B： 180，180
C： 182，182
D： 3，2
5 在4，5，6，6，9这组数据中，去掉一个数后，余下的数据的中位数不变，且方差减小，则去掉
的数是（ ）
A： 4
B： 5
C： 6
D： 7
6 已知两组数据：a ，a ，a ，a ，a 和a −1，a −1，a −1，a −1，a −1，下列判
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
断中错误的是（ ）
A： 平均数不相等，方差相等
B： 中位数不相等，标准差相等
C： 平均数相等，标准差不相等
D： 中位数不相等，方差相等
7 甲、乙两台机床同时生产一种零件，在5天中，两台机床每天出次品的数量（单位：个）如下表：
甲 0 1 2 0 2
乙 2 1 0 1 1
关于以上数据的平均数、中位数、众数和方差，说法不正确的是（ ）
A： 甲、乙的平均数相等
B： 甲、乙的众数不相等
C： 甲、乙的中位数相等
D： 甲的方差小于乙的方差
122/146
8 某市篮球队到市一中选拔一名队员．教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分球投篮测试，每人每
次投10个球，如图记录的是这两名同学5次投篮测试中所投中的个数．
(1)请你根据图中的数据，填写表格；
姓名 平均数 众数 方差
王亮 _______ 7 _______
李刚 7 _______ 2.8
(2)若你是教练，你打算选谁？简要说明理由．
9 下表是某校合唱团成员的年龄分布：
年龄/岁 13 14 15 16
频数 5 15 x 10 −x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量会发生改变的是（ ）
A： 中位数
B： 平均数
C： 众数
D： 极差
10 某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
123/146
（1）请将下表补充完整：
平均数 方差 中位数
甲 7 ________ 7
乙 ________ 5.4 ________
（2）请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看，________的成绩好些；
②从平均数和中位数相结合看，________的成绩好些；
③若其他队选手最好成绩在9环左右，现要选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 13 讲 数据的分析
课堂落实答案
1 已知一组数据a ，a ，a ，a ，a 的平均数为5，则另一组数据a +5，a −5，a +5，
1 2 3 4 5 1 2 3
a −5，a +5的平均数为（ ）
4 5
A： 4
B： 5
C： 6
D： 10
124/146
2 九年级（5）班小姜同学所在小组的7名成员的中招体育成绩（单位：分）依次为70，65，63，
68，64，68，69，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A： 68分，68分
B： 68分，65分
C： 67分，66.5分
D： 70分，65分
3 甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.2 9.2 9.2 9.2
2
方差（环 ） 0.035 0.015 0.025 0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是（ ）
A： 甲
B： 乙
C： 丙
D： 丁
4 在一次射击训练中，某位选手五次射击的环数分别为5，8，7，6，9，则这位选手五次射击环数
的方差为_______．
5 为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为：
16 9 14 11 12 10 16 8 17 19
则这组数据的中位数和极差分别是（ ）
A： 13cm，16cm
B： 14cm，11cm
C： 12cm，11cm
D： 13cm，11cm
125/146
能力提高 / 初二 / 秋季
第 13 讲 数据的分析
精选精练
1 已知a，b，c的平均值为5，且X，Y，Z的平均值为7，则2a+3X，2b+3Y，2c+3Z的
平均值
为（ ）
A： 31
31
B：
3
93
C：
5
D： 17
2 某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛．现有
甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项
成绩均按百分制记录．甲、乙、丙三个小组各项得分如表：
小组 研究报告 小组展示 答辩
甲 91 80 78
乙 81 74 85
丙 79 83 90
（1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序；
（2）如果按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%的比例计算各小组的成绩，哪个小
组的成绩最高？
3 某公司员工的月工资统计如下：
月工资/元 5000 4000 2000 1000 800 500
人数 1 2 5 10 28 4
126/146
（1）写出该表中的平均数、中位数、众数；
（2）根据以上三个数据，哪个更能反映该公司员工工资的实际水平？
4 现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数据的标准差是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
5 已知数据x 1 ，x 2 ，⋯，x n的方差是s2 1 ，且x 1 −a，x 2 −a，⋯，x n −a的方差是s2 2 ，则
（ ）
A： s2 > s2
1 2
B： s2 < s2
1 2
C： s2 = s2
1 2
D： s2 与s2 无法比较
1 2
6 经市场调查，某种优质西瓜质量为(5 ±0.25)kg的最为畅销．为了控制西瓜的质量，农科所采用
A，B两种种植技术进行试验．现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20个，记录它们的质量如
下（单位：kg）：
A：4.1 4.8 5.4 4.9 4.7 5.0 4.9 4.8 5.8 5.2
5.0 4.8 5.2 4.9 5.2 5.0 4.8 5.2 5.1 5.0
B：4.5 4.9 4.8 4.5 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9
5.4 5.5 4.6 5.3 4.8 5.0 5.2 5.3 5.0 5.3
（1）若质量为(5 ±0.25)kg的西瓜为优等品，根据以上信息完成表格：
优等品数量（个） 平均数 方差
A 4.990 0.103
B 4.975 0.093
（2）请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A，B两种技术作出评价；从市场销售的角度
看，你认为推广哪种种植技术较好？
127/146
能力提高 / 初二 / 秋季
第 14 讲 平行线与三角形
例题练习题答案
例1 如图，∠1 +∠2 = 180∘ ，∠3 = ∠B，EH与DF交于点G，求证：EF∥BC．
练1.1 如图所示，已知∠1 = ∠2，∠C = ∠D ，试说明AC // DF ．
练1.2 如图，∠A = ∠F，∠C = ∠D，试说明∠BMN与∠CNM互补吗？为什么？
例2
(1)△ABC的三个内角中，最大角∠A的范围是____________，最小角∠B的范围是_______．
(2)在△ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 3 : 4 : 5，则∠C等于（ ）
A： 45°
B： 60°
C： 75°
128/146
D： 90°
(3)如图，△ABC中，∠ACB = 90∘ ，CD⊥AB于点D，图中与∠A相等的角是哪个？与
∠B相等的角是哪个？
(4)在下列条件中：
①∠A +∠B = ∠C；②∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3；
③∠A = 90∘ −∠B；④∠A = ∠B −∠C；
⑤∠A +∠B < ∠C．
能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
练2.1 如图，四边形ABCD中，分别取AB、CD的延长线上一点E和F，连接EF，分别交BC、AD于点G和
H，若∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：∠E = ∠F．
练2.2 如图：∠A = 27∘ ，∠EFB = 95∘ ，∠B = 38∘ ，求∠D的度数．
129/146
例3
(1)如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，∠1 +∠2 = 210∘ ，则
∠B +∠C =（ ）
A： 120°
B： 135°
C： 145°
D： 150°
(2)如图，∠3 = 20∘ ，∠4 = 30∘ ，则∠1 −∠2 =________．
练3.1 如图，∠A = 60∘ ，∠B = 67∘ ，∠C = 91∘ ，∠D = 58∘ ，∠E = 22∘ ，则∠F =（ ）
A： 60°
B： 59°
C： 65°
D： 62°
练3.2 如图，△ABC中，已知∠A = α，∠ABD = β，∠ACE = γ，下列选项中结果为180∘ 的为
（ ）
130/146
A： β +γ −α
B： α+γ −β
C： α+β −γ
D： α+β +γ
例4 如图所示,在△ ABC中,BO、CO是角平分线.
(1)∠ABC = 50∘ ,∠ACB = 60∘ ,求∠BOC的度数,并说明理由.
(2)题中,如将"∠ABC = 50∘ ,∠ACB = 60∘ "改为"∠A = 70∘ ",求∠BOC的度数.
(3)若∠A = n∘ ,求∠BOC的度数.
练4.1 如图，△ABC中，OA、OB、OC为角平分线，若∠BOC = 125∘ ，则∠BAO的度数是（ ）
A： 30∘
B： 35∘
C： 40∘
D： 50∘
131/146
练4.2
(1)如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC = 42∘ ，
∠A = 50∘ ，则∠BFC =（ ）
A： 110∘
B： 115∘
C： 120∘
D： 125∘
(2)如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠A = 60∘ ，则
∠BFC =（ ）
A： 110∘
B： 115∘
C： 120∘
D： 125∘
例5 如图，△ABC中，∠A = 96∘ ，D是BC延长线上的一点，∠ABC与∠ACD（△ ABC的外角）
的平分线交于A 点，则∠A =________度；如果∠A = α，按以上的方法依次作出∠BA C，
1 1 2
132/146
∠BA
3
C，…，∠BA
n
C（n为正整数），则∠A
n
=______度（用含α的代数式表示）．
练5.1 如图，∠MAN = 100∘ ，点B、C是射线AM、AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的
平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小是（ ）
A： 40∘
B： 50∘
C： 80∘
D： 随点B、C的移动而变化
练5.2 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20∘ ，
∠ACP=50∘ ，求∠A +∠P为多少度？
例6 如图，△ABC中，分别延长△ ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱
动脑筋的小明在写作业的时候发现如下规律：
133/146
(1)若∠A=50°，则∠P= °；
(2)若∠A=90°，则∠P= °；
(3)若∠A=100°，则∠P= °；
(4)请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系，并说明理由．
1 1
练6.1 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠MBC = ∠DBC ， ∠MCB = ∠ECB ，
2 2
1 1
∠NBC = ∠ABC，∠NCB = ∠ACB，则∠M +∠N =__________ ∘ ．
2 2
练6.2 如图，在△ABC中，点P是△ABC的外角∠DBC、∠BCE的平分线的交点，若∠BPC = 70∘ ，
则∠BAC =________ ∘ ．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 14 讲 平行线与三角形
课堂落实答案
1 如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED．
134/146
2 如图，将等边△ABC剪去一个角后，∠BDE +∠CED = _________．
3 如图，已知△ABC中，∠B=∠ACB，∠BAC和∠ACB的角平分线交于D点．∠ADC=100°，那么
∠CAB是___度
4 如图，△ABC中，∠B = ∠C，∠A = 28∘ ，E为BC边上一点，且满足∠DEB = 60∘ ，若
∠ABC与∠ADE的角平分线相交于G，则∠G的度数为（ ）
A： 30°
B： 14°
C： 38°
D： 35°
1
5 如图所示，BP、CP分别平分∠FBC、∠ECB，求证：∠P = 90∘ − ∠A．
2
135/146
能力提高 / 初二 / 秋季
第 14 讲 平行线与三角形
自我巩固答案
1 已知：如图，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，∠CDG=∠B，求证：EF⊥BC．
2 △ABC中，若最大角∠A等于最小角∠C的两倍，最大角又比∠B大20∘ ，则△ABC的三个内角的度
数分别是多少？
3 如 图 ， 在 △ABC 中 ， ∠C = 80∘ ， D、 E 分 别 是 AC、 BC 边 上 的 点 ， 连 接 DE ， 则
∠1 +∠2 =（ ）
A： 120°
B： 180°
C： 270°
D： 260°
4 在△ ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点I，且∠BIC = 130∘ ，则∠A的度数是
（ ）
A： 40∘
B： 50∘
C： 65∘
136/146
D： 80∘
5 我们知道，任何一个三角形三个内角的和是180∘ ，如图，△ABC中，
∠BAC +∠ABC +∠ACB = 180∘ ．
（1）请画出∠ABC和∠ACB的角平分线，交点是D；
（2）若∠BAC = x∘ ，请用含x的代数式表示出∠BDC的度数，并简单说明理由；
（3）若∠BAC和∠BDC互补，求x的值．
6 如图，△ABC的外角平分线CP和内角平分线BP相交于点P，若∠BPC = 35∘ ，则∠A =（ ）
A： 70∘
B： 80∘
C： 55∘
D： 65∘
7 如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是△ABC的外角平分线，BD、CD交于点D，若∠A = 70∘ ，
求∠D．
8 如图，在△ABC中，∠B = 48∘ ，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∠AEC等
于（ ）
137/146
A： 56∘
B： 66∘
C： 76∘
D： 无法确定
9 如图，在△ABC中，点P是△ABC的外角∠DBC、∠BCE的平分线的交点，若∠BPC = 60∘ ，
则∠BAC的度数为（ ）
A： 40∘
B： 45∘
C： 55∘
D： 60∘
10 在△ABC中，∠A＝40∘ ：
（1）如图1，BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（2）如图2，BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（3）如图3，BO、CO分别是△ABC的内角和外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（4）根据上述三问的结果，当∠A＝n∘ 时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只
需写出结论）．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 14 讲 平行线与三角形
138/146
精选精练
1 如图所示，已知∠B = ∠C，∠1 = ∠2，求证：AE // DF．
2 在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是（ ）
A： 150°
B： 135°
C： 120°
D： 100°
3 如图，已知∠α = 133∘ ，∠β = 83∘ ，则∠A +∠B +∠C +∠D = _________．
4 如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，且AD平分∠BAC，∠ABE的平分线
BF交AD
于点F，求∠DBF的度数．
5 如图，∠ABC = ∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角
∠ACF．以下结论：
①AD∥BC；
②∠ACB = 2∠ADB；
139/146
③∠ADC = 90∘ −∠ABD；
④BD平分∠ADC；
1
⑤∠BDC = ∠BAC．
2
其中正确的结论有________（填序号）
6 如图，在ΔABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP把∠ABC,∠ACB的外角平分成三
等份，
且∠EBP : ∠PBC = ∠PCF : ∠PCB = 2 : 1．
（1）若∠A = 30∘ ，求∠BDC，∠BPC；
（2）求∠D+∠P与∠A的关系．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 16的平方根是（ ）
A： 4
B： −4
C： ±4
140/146
−−
D： √16
2 已知点A(−2,3)，将它先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到点B，则B点坐标为（ ）
A： (−6,4)
B： (−6,2)
C： (2,2)
D： (2,4)
2x−y = 7
3
下列方程组中，解与 相同的是（ ）
{x+y = 2
3x+4y = 5
A：
{2x+y = 4
x+2y = 1
B：
{x−y = 4
x
C： +y = 2
3
{x−y = 4
3x+2y = 1
D：
{x+y = 2
4 我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼
成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短
直角边长为a，较长直角边为b，那么(a+b) 2 的值为（ ）
A： 13
B： 19
C： 25
D： 169
−− −−−−−−−
5 若0 < x < 1，则 √x2 + (x−1) 2 的化简结果为（ ）
√
A： 2x−1
141/146
B： 1 −2x
C： 1
D： −1
6 买3斤苹果和2斤香蕉需20元，买2斤苹果和4斤香蕉需27元．若设1斤苹果x元，1斤香蕉y元，则可
列二元一次方程组（ ）
3x−2y = 20
A：
{2x+4y = 27
3x+2y = 27
B：
{2x+4y = 20
3x+2y = 20
C：
{2x+4y = 27
3y +2x = 20
D：
{2y +4x = 27
7 某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31、35、31、34、30、32、31，这组数
据的中位数、众数分别是（ ）
A： 32、31
B： 31、32
C： 31、31
D： 32、35
8 有一组数据如下：3、a、4、6、7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（ ）
A： 10
B： 2
–
C： √2
−−
D： √10
−− −−
9 −−− x 2
若√18x +2 +x = 10，则x的值等于（ ）
√ 2 √x
A： 4
B： ±2
142/146
C： 2
D： ±4
10 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A： 4，5，6
–
B： 1，1，√2
C： 6，8，11
D： 5，12，23
–
11 在数轴上离原点的距离为√5的点表示的数为_________________．
−−−−−−−−−
12 若(x+2y −1) 2 +√3x−y +2 = 0，则x+y =__________．
13 如图，在△ABC中，AB = 13，BC = 10，BC边上的中线AD = 12，线段AC为
___________．
x = 1
14 已知 是关于x、y的方程ax−by = 1的一组解，且a+b = −3，则
{y = −2
5a−2b =_____________．
y −ax = c x = −2
15 已知方程组 （a、b、c、k为常数，ak ≠ 0）的解为 ，则直线
{y −kx = b {y = 3
y = ax+c和直线y = kx+b的交点坐标为_______________．
16 如果直线y = −2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____________．
17 如图，已知△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD，CE交于点F，∠FBC，∠FCB的
平分线交于点O，则∠BOC的度数为____________．
143/146
18 一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动,在第一秒钟,它从原点跳动到(0,1),然后接着按图中箭头所
示方向跳动[即(0,0) → (0,1) → (1,1) → (1,0) →…],且每秒跳动一个单位,那么第35秒时跳
蚤所在位置的坐标是___
19 解下列方程组：
3x−y = 2
（1）
{2x+3y = 10
x
+3(y −1) = 8
⎧ 2
⎪
（2） y
⎨2(x−2)+ = 5
⎩⎪ 3
−−
20 2 −− 1
化简计算：（1） – +√18 −4
√2−1 √ 2
– – 2 −−
（2）√4+|1 −√2|−
–
−√3 27
√2
21 如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点G在AC边上，且∠AGD = ∠ACB，
（1）求证：EF∥CD；
（2）求证：∠1 = ∠2．
22 如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，
144/146
(1)请写出三角形ABC各顶点的坐标；
(2)把三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A′B′C′
，在图
中画出三角形A′B′C′ 的位置，并写出顶点A′ ，B′ ，C′
的坐标．
23 某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价 销售价（元/箱）
甲 24 36
乙 33 48
(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
24 如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴
3
上，且直线y = x+6与x轴交于A点、与y轴交于B点，∠ABO的平分线交x轴于点C．
4
（1）求线段AB的长；
145/146
（2）求C点的坐标及直线BC的解析式．
25 某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．
②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元．
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
26 若(a−2b+3c+4) 2 +(2a−3b+4c−5) 2 ≤ 0，则6a−10b+14c−3 =________．
27 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系，下面我们就来研究其中的几种位置关系中角所存
在的几种数量关系．
（1）问题探究1:如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠D=∠BOD，又因为∠BOD是
△POB的外角，故∠BOD=∠BPD+∠B，得∠BPD=∠D-∠B．将点P移到AB、CD内部，如图②，以
上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明
你的结论；
（2）问题探究2:在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD延长线于点Q，如
图③，则∠BPD﹑∠B﹑∠PDQ﹑∠BQD之间有何数量关系？请证明你的结论；
（3）根据(2)的结论直接写出图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
146/146
