文档内容
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能力提高 / 初一 / 春季
第 1 讲 幂运算
例题练习题答案
9m = 2 9n = 5 9m+n =
例1 已知 ， ，则 ____________．
11m = 3 11n = 2 11m+n =
练1.1 若 ， ，则 （ ）
A： 12
B： 7
C： 6
D： 5
3a = 2 3b = 5 3a+b+1
练1.2 若 ， ，则 的值为（ ）
A： 30
B： 10
C： 6
D： 3
cn = 5 c2n
例2 若 ，那么 的结果等于_________．
x3n = 3 x6n =
练2.1 如果 ，那么 _________．
1
例3 2m = 32n = 2 23m+10n
已知 ， ，求 的值．
2
ax = −2 ay = 3 a3x+2y =
练3.1 已知 ， ，则 _________．
72n = b 492n =
练3.2 已知 ，则 ____________．（结果用b表示）
3m = 6 5m = 8 15m
例4 若 ， ，则 的值为_______．
5n = a 4n = b 20n =
练4.1 如果 ， ，那么 ________．
2016
1/152-
1 2016
例5 22017 ×(− )
式子 的结果是（ ）
2
1
A：
2
−2
B：
C： 2
1
D： −
2
(0.25)2005 ×(−4)2006 =
练5.1 计算 ____________．
2017
2
练5.2 ( ) ×(−1.5)2018
计算 的结果是（ ）
3
3
A： −
2
3
B：
2
2
C： −
3
2
D：
3
例6 若
am = 2
，
an = 8
，则
am−n
=____________．
练6.1 若
2021m = 6
，
2021n=4
，则
20212m−n
的值是____________．
例7
1 −2
(1) a = (−99)0 b = (−0.2)−1 c = ( ) a b c
如果 ， ， ，那么 ， ， 的大小关系为（ ）
3
a > b > c
A：
c > a > b
B：
a > c > b
C：
c > b > a
D：
(2)用科学记数法表示下列各数：
①0.000001；
0.00502
② ．
2
2/152-
5 −2
练7.1 a = (−0.1)0 b = (−0.1)−1 c = (− )
如果 ， ， ，那么a，b，c的大小关系为（ ）
3
a > b > c
A：
c > a > b
B：
c > b > a
C：
a > c > b
D：
能力提高 / 初一 / 春季
第 1 讲 幂运算
自我巩固答案
am = 2 an = 8 a2m+n
1 若 ， ，求 的值．
4
−(−3a2b3)
2 计算 的结果是（ ）
81a8b12
A：
12a6b7
B：
−12a6b7
C：
−81a8b12
D：
x2n = 4 x6n
3 如果 ，求 的值．
(0.5)2012 ×(−2)2013
4 计算： ．
4 2017
5 ( ) ×1.252018 ×(−1)2019
计算： ．
5
6 下列计算正确的是（ ）
a2 ⋅a3 = a6
A：
a6 ÷a3 = a2
B：
3/152-
4x2 −3x2 = 1
C：
3
(−2a2) = −8a6
D：
xm = 6 xn = 3 x2m−n
7 已知 ， ，则 的值为（ ）
A： 9
3
B：
4
C： 12
4
D：
3
0.0000032 0.0000032
8 生物学家发现了一种病毒的长度约为 毫米，数据 用科学记数法表示为
（ ）
0.32×10−6
A：
3.2×10−6
B：
3.2×10−5
C：
0.32×10−5
D：
2m = 3 2n = 5 24m−2n
9 已知 ， ，求 的值．
2 −2 3
10 a = ( ) b = 1−1 c = (− )0 a b c
若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
3 2
a > b = c
A：
a > c > b
B：
c > a > b
C：
b > c > a
D：
能力提高 / 初一 / 春季
第 1 讲 幂运算
4/152-
课堂落实答案
4x = 5 4y = 3 4x+y
1 已知 ， ，则 的值是______．
3
(−2a2) =
2 化简： ______．
a+b = 2 a−b = 5 (a+b)3 ⋅(a−b)3
3 已知实数a，b满足 ， ，则 的值是______．
3a = 5 9b = 10 3a+2b =
4 已知 ， ，则 （ ）
−50
A：
B： 50
C： 500
D： 以上都不对
10m = 3 10n = 5 102m−n =
5 已知 ， ，则 （ ）
9
A：
5
8
B：
5
7
C：
5
2
D：
能力提高 / 初一 / 春季
第 1 讲 幂运算
精选精练
2a+3b = 3 9a ⋅27b
1 已知 ，求 的值．
(−0.125)5 ×410 =
2 计算： ____________．
12 11
1 8
3 (3 ) ×( ) ×(−2)3
计算： ．
8 25
5/152-
xn = 5 yn = 4 (xy)2n
4 （1）已知 ， ，求 的值；
1 11
am+n = 36 am = 4 ( ) ⋅a11n
（2）已知 ， ，求 ．
9
a > 0 ax = 2 ay = 3 a2x−3y a3x+2y
5 若 且 ， ，则 的值为__________， 的值为__________．
2 −2 1 0
6 a = (− ) b = (− ) c = 0.8−1 a b c
若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
3 π
c > b > a
A：
a > b > c
B：
a > c > b
C：
c > a > b
D：
能力提高 / 初一 / 春季
第 2 讲 整式的乘除
例题练习题答案
(−4a2b3)⋅(−2ab)2
例1 计算：
练1.1 计算：
1
(1)(−3x2y)⋅( xy2)
3
3
(−3ab2) ⋅(a2b)
(2)
(−6ab)2 ⋅(3a2b)
练1.2 计算 的结果是（ )
18a4b3
A：
−36a4b3
B：
−108a4b3
C：
108a4b3
D：
6/152-
例2 计算：
2a2 ⋅(3a2 −5b+1)
(1)
(−7x2y)⋅(2x2y −3xy −y2)
(2)
(−3x)⋅(2x2 −5x−1)
练2.1 计算 的结果是（ ）
−6x2 −15x2 −3x
A：
−6x3 +15x2 +3x
B：
−6x3 +15x2
C：
−6x3 +15x2 −1
D：
(−3xy2)⋅(2y2 −xyz +1)
练2.2 计算 的结果是（ ）
−3xy4 +3x2y3 +3xy2
A：
−6xy4 +3x2y3z −3xy2
B：
−6xy4 −3x2y3z −3xy2
C：
−6xy4 +3x2y2z
D：
例3 计算：
(3a+5b)(2a−3b)
(1)
(2x−3)(x2 +2x−4)
(2)
(3a+2)(4a2 −a−1)
练3.1 的结果中二次项系数是（ ）
−3
A：
B： 8
C： 5
−5
D：
(y +3)(y −2) = y2 +my +n
例4 若 ，则m，n的值分别为（ ）
7/152-
m = 5 n = 6
A： ，
m = 1 n = −6
B： ，
m = 1 n = 6
C： ，
m = 5 n = −6
D： ，
(x− 3)(x+ 5) = x2 + ax+ b a+ b
练4.1 若 ,则 的值是（ ）
−13
A：
13
B：
2
C：
−15
D：
(x+2)(x−a) = x2 +bx−10
练4.2 若 ，则b的值为（ ）
−3
A：
B： 3
−5
C：
D： 5
(x+1)(5x+a)
例5 若 的乘积中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A： 5
−5
B：
1
C：
5
1
D： −
5
2x+m x+2 x m
练5.1 若 与 的乘积中不含 的一次项，则 的值为（ ）
−4
A：
B： 4
−2
C：
8/152-
D： 2
例6 计算：
2
(−3a3) ÷a2
(1)
(4x3y +6x2y2 −xy3)÷(−2xy)
(2)
(12x3 −8x2 +16x)÷(−4x)
练6.1 计算 的结果是（ ）
−3x2 +2x−4
A：
−3x2 −2x+4
B：
−3x2 +2x+4
C：
3x2 −2x+4
D：
(−8m4n +12m3n2 −4m2n3)÷(−4m2n)
练6.2 计算 的结果等于（ ）
2m2n −3mn +n2
A：
2n2 −3mn2 +n2
B：
2m2 −3mn +n2
C：
2m2 −3mn +n
D：
(−x−2y)(x−2y)+(2x3 −4x2y)÷2x x = −2 y = 1
例7 先化简，再求值： ，其中 ， ．
1
练7.1 (a2b−2ab2 −b3)÷b−(a+b)(a−b) a = b = −1
先化简，再求值： ，其中 ， ．
2
能力提高 / 初一 / 春季
第 2 讲 整式的乘除
自我巩固答案
2
(ab2)(−3a2b)
1 计算 的结果是（ ）
6a5b4
A：
9/152-
−6a5b4
B：
9a5b4
C：
9a3b4
D：
−4a(2a2 +3a−1)
2 计算 的结果是（ ）
−8a3 +12a2 −4a
A：
−8a3 −12a2 +1
B：
−8a3 −12a2 +4a
C：
8a3 +12a2 +4a
D：
x2 −3x−28
3 下列算式中，计算结果为 的是（ ）
(x−2)(x+14)
A：
(x+2)(x−14)
B：
(x−4)(x+7)
C：
(x+4)(x−7)
D：
(x−4)(x+8) = x2 +mx+n m+n
4 如果 ，那么 的值为（ ）
A： 36
−28
B：
C： 28
−36
D：
(x+ 3)(x+ n) = x2 + mx− 15 m
5 若 ,则 的值为（ ）
−5
A：
−2
B：
5
C：
2
D：
x+m 2 −x x m
6 若 与 的乘积中不含 的一次项，则 的值为（ ）
10/152-
−2
A：
B： 2
C： 0
D： 1
(−2xy)2 ÷xy2
7 计算 的正确结果是（ ）
2x
A：
4x
B：
2x2z
C：
4
D：
18x3y4 +9xy2 −27x2y2 9xy
8 已知长方形的面积为 ，长为 ，则宽为（ ）
2x2y3 +y +3xy
A：
2x2y2 −2y +3xy
B：
2x2y3 +2y −3xy
C：
2x2y3 +y −3xy
D：
1
9 a = (a−4)(a−3)−a(a+2)
当 时，代数式 的值为（ ）
3
A： 9
−9
B：
C： 3
1
D：
3
1
10 (a2b−2ab−a3)÷a+(a−1)(a+b) a = b = −1
先化简，再求值： ，其中， ， ．
2
能力提高 / 初一 / 春季
11/152-
第 2 讲 整式的乘除
课堂落实答案
(−3xy)2 ⋅(−x2z) =
1 计算： _______．
(x−2)(x+1) = x2 +mx+n m+n
2 如果 ，那么 的值为（ ）
−1
A：
B： 1
−3
C：
D： 3
(x+ m) (x+ 3) x m
3 若 与 的乘积中不含 的一次项,则 的值为（ ）
−3
A：
3
B：
0
C：
1
D：
(5m2 +15m3n −20m4)÷(−5m2)
4 计算 的正确结果是（ ）
1 −3mn +4m2
A：
−1 −3m+4m2
B：
4m2 −3mn −1
C：
4m2 −3mn
D：
1
5 (x−1)(x−2)+x(x+3) x =
先化简，再求值： ，其中 ．
3
能力提高 / 初一 / 春季
第 2 讲 整式的乘除
12/152-
精选精练
2 3
(−3a3) ⋅(−2a2) =
1 计算： _______．
2 下列计算正确的是（ ）
(2x−5)(3x−7) = 6x2 −29x+35
A：
(3x+7)(10x−8) = 30x2 +36x+56
B：
1 1 1 1
C： (−3x+ )(− x) = 3x2 + x+
2 3 2 6
(1 −x)(x+1)+(x+2)(x−2) = 2x2 −3
D：
x−a x2 +2x−1 x2
3 已知多项式 与 的乘积中不含 项，则常数a的值是（ ）
−1
A：
B： 1
C： 2
−2
D：
2x3 −ax2 −5x+5 = (2x2 +ax−1)(x−b)+3 a+b
4 若 ，其中a、b为整数，则 的值
为（ ）
−4
A：
−2
B：
C： 0
D： 4
−3a2b 6a3b2 −2a2b2 +9a2b
5 与单项式 的积是 的多项式是___________________
[(x−y)(x+5y)−(x+2y)(x−2y)]÷y 6 −4x+y = 0
6 先化简，再求值： ，其中 ．
能力提高 / 初一 / 春季
第 3 讲 乘法公式
13/152-
例题练习题答案
例1 下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
(x+1)(1 +x)
A：
1 1
B： ( a+b)(b− a)
2 2
(−a+b)(a−b)
C：
(x2 −y)(x+y2)
D：
练1.1 下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
(x+a)(x−a)
A：
(a+b)(−a−b)
B：
(−x−b)(x−b)
C：
(b+m)(m−b)
D：
练1.2 下列运算中，正确的是（ ）
(a+5)(a−5) = a2 −5
A：
(3b+2)(3b−2) = 3b2 −4
B：
(3m−2n)(−2n −3m) = 4n2 −9m2
C：
(x+2)(x−3) = x2 −6
D：
例2 计算：
199 ×201
(1)
2014 ×2016 −20152
(2)
练2.1
103 ×97 =
(1)计算： _________
20072 −2006 ×2008
(2) 的计算结果是（ ）
A： 1
14/152-
−1
B：
C： 2
−2
D：
例3 计算：
(2 +1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)(216 +1)(232 +1)+1= ____
．
(x4 + 1)(x2 + 1)(x+ 1)(x− 1)
练3.1 计算 的结果是（ ）
x8 + 1
A：
x8 − 1
B：
(x+ 1)8
C：
(x− 1)8
D：
(3 +1)(32 +1)(34 +1)(38 +1)
练3.2 化简 得（ ）
2
(38 +1)
A：
2
(38 −1)
B：
316 −1
C：
1
D： (316 −1)
2
例4 计算：
(2x+3y)2
(1)
(a−4b)2
(2)
(−2 +5x)2
(3)
(−2b−a)2
(4)
练4.1 下列乘法公式的运用，不正确的是（ ）
(2a+b)(2a−b) = 4a2 −b2
A：
(−2a+3)(3 +2a) = 9 −4a2
B：
15/152-
(3 −2x)2 = 4x2 +9 −12x
C：
(−1 −3x)2 = 9x2 −6x+1
D：
练4.2 下列计算正确的是（ ）
(−x−y)2 = −x2 −2xy −y2
A：
(4x+1)2 = 16x2 +8x+1
B：
(2x−3)2 = 4x2 +12x−9
C：
(a+2b)2 = a2 +2ab+4b2
D：
例5
x2 −8x+k k =
(1)多项式 是完全平方式，则 __________
9x2 +kx+25 k
(2)如果 是一个完全平方式，那么 的值是（ ）
A： 15
±5
B：
C： 30
±30
D：
练5.1
4x2 −12x+m m =
(1)多项式 是一个完全平方式，则 __________；
x2 +2(m−3)x+16 m
(2)若 是完全平方式，则 的值为（ ）
A： 1或5
B： 5
C： 7
−1
D： 7或
例6
a+b = 3 ab = 2 a2 +b2
(1)已知 ， ，则 的值为（ ）
16/152-
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
1 1
(2) a+ = 2 a2 +
已知 ，则 的值是________．
a a2
练6.1
x+y = −5 xy = 6 x2 +y2
(1)已知 ， ，则 的值是（ ）
A： 1
B： 13
C： 17
D： 25
1 1
(2) a+ = 6 a2 + =
若 ，则 ________．
a a2
能力提高 / 初一 / 春季
第 3 讲 乘法公式
自我巩固答案
1 下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
(3a+b)(3b−a)
A：
1 1
B： ( x+1)(− x−1)
6 6
(2x−y)(−2x+y)
C：
(−m+n)(−m−n)
D：
2 计算：
17/152-
(5m−6n)(−6n −5m)
(1)
1 1
(2)( x2y2 +3m)(−3m+ x2y2)
2 2
20042 −2003 ×2005
3 的计算结果是（ ）
A： 1
−1
B：
C： 2
−2
D：
(2 +1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)+1
4 计算 的结果是（ ）
A： 1024
28 +1
B：
216 +1
C：
216
D：
(a4 +b4)(a2 +b2)(b−a)(a+b)
5 计算 的结果是（ ）
a8 −b8
A：
a6 −b6
B：
b8 −a8
C：
b6 −a6
D：
6 计算：
(−3a+4)2
(1)
1 2
(2)(−2x− y)
5
7
y2 +12y +m
(1)已知 是完全平方式，则m的值是（ ）
18/152-
A： 36
±36
B：
C： 6
±6
D：
x2 +(a−1)x+25 a
(2)若 是一个完全平方式，则 的值为（ ）
−9
A：
−9
B： 或11
−11
C： 9或
D： 11
4y2 +my +9 m
8 已知 是完全平方式，则 的值为（ ）
A： 6
±6
B：
±12
C：
D： 12
x+ y = −5 xy = 3 x2 + y2 =
9 已知 , ,则 （ ）
25
A：
−25
B：
19
C：
−19
D：
1 1
10 a+ = 3 a2 +
已知 ，则代数式 的值为（ ）
a a2
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
19/152-
能力提高 / 初一 / 春季
第 3 讲 乘法公式
课堂落实答案
1 下列各式中，计算正确的是（ ）
(x−2)(2 +x) = x2 −2
A：
(x+2)(3x−2) = 3x2 −4
B：
(ab−c)(ab+c) = a2b2 −c2
C：
(−x−y)(x+y) = x2 −y2
D：
202 ×198
2 将 变形正确的是（ ）
2002 −4
A：
2022 −4
B：
2002 +2 ×200 +4
C：
2002 −2 ×200 +4
D：
(a+1)(a−1)(a2 +1)(a4 +1)
3 计算 的结果是（ ）
a8 −1
A：
a8 −a4 +1
B：
a8 −2a4 +1
C：
D： 以上都不对
x2 +mx+36
4 若 是完全平方式，则m的值为（ ）
A： 12
B： 18
−12
C：
20/152-
−12
D： 12或
a+b = 5 ab = 1 a2 +b2
5 已知 ， ，则 的值为（ ）
A： 6
B： 23
C： 24
D： 27
能力提高 / 初一 / 春季
第 3 讲 乘法公式
精选精练
1 下列计算正确的是（ ）
(2y +6)(2y −6) = 4y2 −6
A：
1 1 1
B： (5y + )(5y − ) = 25y2 −
2 2 4
(2x+3)(2x−3) = 2x2 −9
C：
(−4x+3)(4x−3) = 16x2 −9
D：
a b
2 从边长为 的正方形中去掉一个边长为 的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，
上述操作所能验证的等式是（ ）
a2 −b2 = (a+b)(a−b)
A：
(a−b)2 = a2 −2ab+b2
B： .
(a+b)2 = a2 +2ab+b2
C：
a2 +ab = a(a+b)
D：
21/152-
3(22 +1)(24 +1)(28 +1)(216 +1)(232 +1)+1
3 计算结果的个位数是（ ）
A： 4
B： 5
C： 6
D： 8
4x2 +axy +25y2 a =
4 若 是一个完全平方式，则 （ ）
A： 20
−20
B：
±20
C：
±10
D：
9x2 −2(k−1)x+16
5 若 是完全平方式，则k的值为（ ）
−5
A： 或7
±7
B：
−11
C： 13或
−13
D： 11或
6
a2 +b2 = 13 ab = 6 a+b
(1)已知 ， ，则 的值是_______；
1 2 1 2
(2) (x+ ) = 9 (x− )
若 ，则 的值为_______．
x x
能力提高 / 初一 / 春季
第 4 讲 平行线的判定
例题练习题答案
22/152-
P a A B C a PB⊥a B PA⊥PC
例1 如图，点 是直线 外的一点，点 ， ， 在直线 上，且 ，垂足是 ， ，则
下列语句不正确的是（ ）
PB P a
A： 线段 的长是点 到直线 的距离
PA PB PC PB
B： ， ， 三条线段中， 最短
AC A PC
C： 线段 的长是点 到直线 的距离
PC C PA
D： 线段 的长是点 到直线 的距离
PA = 2
练1.1 若点P为直线l外一定点，点A为直线l上一定点，且 ，点P到直线l的距离为d，则d的取值
范围为（ ）
0 < d < 2
A：
d = 2 d > 2
B： 或
0 < d < 2 d = 0
C： 或
0 < d < 2 d = 2
D： 或
O AB OE ∠BOC OD⊥OE O ∠BOC = 80∘
例2 如图， 为直线 上一点， 平分 ， 于点 ，若 ，则
∠AOD
的度数是（ ）
A： 70°
B： 50°
C： 40°
D： 35°
∠DOF ∠EOF = 115∘
练2.1 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OB平分 ，若 ，则
∠COF
的度数是（ ）
23/152-
120∘
A：
130∘
B：
100∘
C：
110∘
D：
例3 如图所示，有下列五种说法：
∠1 ∠4 ∠3 ∠5 ∠2 ∠6 ∠5 ∠2
① 和 是同位角；② 和 是内错角；③ 和 是同旁内角；④ 和 是同位角；⑤
∠1 ∠3
和 是同旁内角．其中正确的是（ ）
A： ①②③
B： ①②③④
C： ①②③④⑤
D： ①②④⑤
练3.1 如图，下列结论正确的是（ ）
∠5 ∠2
A： 与 是对顶角
∠1 ∠3
B： 与 是同位角
∠2 ∠3
C： 与 是同旁内角
24/152-
∠1 ∠2
D： 与 是同旁内角
例4 如图所示，下列推理中正确的数目有（ ）
∠1 = ∠4 BC // AD
①因为 ，所以 ；
∠2 = ∠3 AB // CD
②因为 ，所以 ；
∠BCD+∠ADC = 180∘ AD // BC
③因为 ，所以 ；
∠1 +∠2 +∠C = 180∘ BC // AD
④因为 ，所以 ．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
BD // AC
练4.1 如图，点E在CD的延长线上，下列条件中不能判定 的是（ ）
∠1 = ∠2
A：
∠3 = ∠4
B：
∠5 = ∠C
C：
∠C +∠BDC = 180∘
D：
AB⊥BC BC⊥CD ∠1 = ∠2
例5 已知，如图， ， ，且 ．
BE // CF
求证： ．（请你在横线上填入合适的推理及理由）
25/152-
证明：
AB⊥BC BC⊥CD
∵ ， （已知），
∠ = ∠ = 90∘
∴ ______ ______ （____________________），
∠1 = ∠2
∵ （已知），
∠ABC −∠1 = ∠BCD−∠2
∴ （__________________），
∠ = ∠
即 ______ ______，
BE // CF
∴ （____________________________）．
∠ABC = ∠ADC ∠ABC ∠ADC ∠1 = ∠3
练5.1 如图， ，BF，DE分别平分 与 ，且 ．
AB // DC
求证： ．
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
∠ABC ∠ADC
证明：∵BF，DE分别平分 与 ，
1 1
∠1 = ∠ABC ∠2 = ∠ADC
∴ ， （________________________），
2 2
∠ABC = ∠ADC
∵ ，
∠ = ∠
∴ ________ ________，
∠1 = ∠3
∵ ，
∠2 =
∴ ________（__________________），
∴________∥________（___________________________________）．
DE ∠ADC CE ∠BCD ∠1 +∠2 = 90∘ AD BC
例6 如图， 平分 ， 平分 ，且 ．试判断 与 的位置关
系，并说明理由．
B DC BE ∠ABD ∠ABE = ∠C BE // AC
练6.1 如图，点 在 上， 平分 ， ，求证： ．
26/152-
AD ∠BAC E A C ∠DAC = ∠EFA EF
练6.2 如图，已知 平分 ， ， ， 在同一直线上， ，延长 交
BC G EG // AD
于 ，证明： ．
能力提高 / 初一 / 春季
第 4 讲 平行线的判定
自我巩固答案
OA⊥OB ∠BOC = 30∘ OD ∠AOC ∠BOD
1 如图， ， ， 平分 ，则 的大小是（ ）
20∘
A：
30∘
B：
40∘
C：
60∘
D：
2 如图， ∠AOB = ∠COD = 90∘ ， ∠COB = 58∘ ，则 ∠DOA 的度数是（ ）
102∘
A：
112∘
B：
122∘
C：
27/152-
142∘
D：
∠1 ∠2
3 如图，图中 与 是同位角的是（ ）
A： (2)(3)
B： (2)(3)(4)
C： (1)(2)(4)
D： (3)(4)
4 如图所示，对于下列各组角的位置，判断错误的是（ ）
∠C ∠CFG
A： 和 是同旁内角
∠CGF ∠AFG
B： 和 是内错角
∠BGF ∠A
C： 和 是同旁内角
∠BGF ∠AFD
D： 和 是同位角
5 如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断BD∥AE的是（ ）
∠1 = ∠2
A：
∠2 = ∠3
B：
∠A = ∠DCE
C：
∠3 = ∠4
D：
28/152-
EB // AC
6 如图，能判定 的条件是（ ）
∠C = ∠ABE
A：
∠BAC = ∠EBD
B：
∠ABC = ∠BAE
C：
∠BAC = ∠ABE
D：
BE ∠ABC E AD ∠ABE = ∠AEB AD BC
7 如图，已知 平分 ， 点在线段 上， ， 与 平行吗？为
什么？
BE ∠ABC
解：因为 平分 （已知），
∠ABE = ∠EBC
所以 （_____________________），
∠ABE = ∠AEB
因为 （_______），
∠ = ∠
所以 ______ _______（_______________），
AD // BC
所以 （_______________________________）．
8 如图，已知 ∠1 = 50∘ ， ∠2 = 65∘ ， CD 平分 ∠ECF ，则 CD // FG ．请说明理由．
∠1 = 50∘
解：∵ （_______），
∠ECF = 180∘ −∠1 =
∴ _________°，
CD ∠ECF
∵ 平分 ，
∠DCB = ∠ECB = ∘
∴ ______ _______ （_____________），
∠2 = 65∘
∵ ，
∠DCB = ∠2
∴ （________________），
29/152-
CD // FG
∴ （_________________________________）．
AB CD O ∠C = ∠COA ∠D = ∠BOD
9 如图， 和 相交于点 ， ， ．
AC // BD
求证： ．
∠EBC +∠EFA = 180∘ AD // BC
10 如图， ，求证： ．
能力提高 / 初一 / 春季
第 4 讲 平行线的判定
课堂落实答案
O AB CO⊥AB ∠COD = 52∘ ∠AOD
1 如图，点 在直线 上， ，若 ，则 的度数是（ ）
38∘
A：
128∘
B：
142∘
C：
150∘
D：
AB⊥BC AB = 3
2 如图，已知 ，垂足为B， ，点P是射线BC上的动点，则线段AP的长不可能是
（ ）
30/152-
A： 2.5
B： 3
C： 4
D： 5
3 下列四个图形中， ∠1 和 ∠2 是内错角的是（ ）
A：
B：
C：
D：
AB // CD
4 如图，下列条件中能判定 的是（ ）
31/152-
∠3 = ∠5
A：
∠2 = ∠4
B：
∠1 +∠5 = 180∘
C：
∠3 = ∠4
D：
∠1 = ∠3 ∠2 +∠3 = 180∘ AB DE
5 如图，已知 ， ，请说明 与 平行的理由．
∠2 ∠4
解：将 的邻补角记作 ，
∠2 +∠4 = 180∘
则 （_________________），
∠2 +∠3 = 180∘
因为 （_______），
∠3 = ∠4
所以 （_____________），
因为_____________（已知），
∠1 = ∠4
所以 （_____________），
AB // DE
所以 （___________________________）．
能力提高 / 初一 / 春季
第 4 讲 平行线的判定
精选精练
O AB OD ∠AOC OE⊥OC ∠BOC : ∠COD = 4 : 3
1 如图，点 在直线 上， 平分 ， ．若 ，则
∠DOE
度数是（ ）
30∘
A：
32/152-
36∘
B：
40∘
C：
54∘
D：
AD A BC
2 下列图形中，线段 的长表示点 到直线 距离的是（ ）
A：
B：
C：
D：
α
3 如图，能与 构成同位角的有（ ）
A： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个
4 如图所示，内错角共有_________对．
33/152-
∠ABC = ∠ACB BD ∠ABC CE ∠ACB ∠DBF = ∠F
5 如图： ， 平分 ， 平分 ， ，那么
EC DF
与 平行吗？为什么？请完成下面的解题过程．
BD ∠ABC CE ∠ACB
解：∵ 平分 ， 平分 （已知），
1 1
∠DBC = ∠ ∠ECB = ∠
∴ _________， ________（_________________），
2 2
∠ABC = ∠ACB
∵ （已知），
∠ = ∠
∴ ________ ___________（___________________），
∠ = ∠
∵ _______ ________（已知），
∠F = ∠
∴ ________，
EC // DF
∴ （_________________________________）．
∠AED = 60∘ ∠2 = 30∘ EF ∠AED EF // BD
6 如图，已知 ， ， 平分 ，可以判断 吗？为什
么？
能力提高 / 初一 / 春季
第 5 讲 平行线的性质判定综合
34/152-
例题练习题答案
∠1 = ∠B
例1 已知：如图，AB∥CD， ．求证：CD是∠BCE的平分线．
证明：∵AB∥CD（ ），
∠2 =
∴ ______（ ），
∠1 = ∠B
∵ （ ），
=
∴______ ______（ ），
∴CD是∠BCE的平分线．
CD ∠ACB AC // DE CD // EF EF ∠DEB
练1.1 如图，已知： 平分 ， ， ．求证： 平分 ．
CD ∠ACB
证明：∵ 平分 （已知），
∠DCA = ∠DCE
∴ （角平分线的定义），
AC // DE
∵ （已知），
∠DCA =
∴ ________（_________________________），
∠DCE = ∠CDE
∴ （等量代换），
CD // EF
∵ （已知），
= ∠CDE
∴______ （_________________________），
∠DCE = ∠BEF
（_________________________），
=
∴______ ______（等量代换），
EF ∠DEB
∴ 平分 ．
D′ C′ ∠1 = 56∘
例2 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D，C分别落在点 ， 处，若 ，则
∠EFC
的度数是（ ）
35/152-
110∘
A：
118∘
B：
120∘
C：
124∘
D：
ABCD EF ED′ BC G D C
练2.1 如图，把一张长方形纸片 沿 折叠后， 与 的交点为 ，点 ， 分别落在
D′ C′ ∠EFG = 55∘ ∠1 = ____∘ ∠2 = ____∘
， 的位置上，若 ，则 ， ．
∠1 = ∠2 ∠3 = 108∘
例3 如图， ，且 ，则∠4的度数为（ ）
72∘
A：
62∘
B：
82∘
C：
80∘
D：
∠B = ∠C ∠ADE = α ∠A =
练3.1 如图， ， ，则 （ ）
36/152-
180∘ −α
A：
90∘ +α
B：
2α
C：
α
D：
∠1 = ∠2 ∠B = 45∘ ∠DCE =
练3.2 如图，已知 ， ，则 ________．
AB // CD AC BD O E CD F OD
例4 已知：如图， ， 和 相交于点 ， 是 上一点， 是 上一点，且
∠1 = ∠A FE // OC
．求证： ．
∠AEF +∠CFE = 180∘
练4.1 如图，直线AB，CD被直线EF所截， ，FG平分∠DFE，交AB于点G，
∠1 = 58∘
，求∠2的度数．
AB // CF ∠ABC = 85∘ ∠CDE = 150∘ ∠BCD = 55∘
练4.2 如图，已知 ， ， ， ．求证：
CF // DE
．
37/152-
∠2 = 90∘ ∠1 = 140∘ ∠3 =
例5 如图，已知a∥b， ， ，则 （ ）
110∘
A：
120∘
B：
130∘
C：
140∘
D：
AB // CD ∠A = 140∘ ∠APC = 120∘ ∠C
练5.1 如图，已知 ， ， ，那么 的度数为（ ）
100∘
A：
110∘
B：
120∘
C：
130∘
D：
∠1 = 58∘ ∠2
例6 如图，直线a∥b，将一个直角三角板按如图所示的位置摆放，若 ，则 的度数为
（ ）
A： 30°
B： 32°
38/152-
C： 42°
D： 58°
∠1 = 40∘ ∠2 = 60∘ ∠3 =
练6.1 如图，已知直线a∥b， ， ．则 ______°．
能力提高 / 初一 / 春季
第 5 讲 平行线的性质判定综合
自我巩固答案
DF // AB ∠AEC = 100∘
1 如图，直线AB，CD相交于点E， ．若 ，则∠D等于（ ）
70∘
A：
80∘
B：
90∘
C：
100∘
D：
EF ∠1 = 84∘ ∠2
2 如图，把一张上下两边平行的纸条沿 折叠，若 ，则 的度数为（ ）
106∘
A：
132∘
B：
84∘
C：
39/152-
127∘
D：
∠1 = 57∘ ∠2
3 如图， ，则 的度数为（ ）
120∘
A：
123∘
B：
130∘
C：
147∘
D：
∠1 = 80∘ ∠2 = 100∘ ∠3 = 85∘ ∠4
4 如图，直线a，b被直线c，d所截，若 ， ， ，则 的度数是
（ ）
80∘
A：
85∘
B：
95∘
C：
100∘
D：
∠AGB = ∠EHF ∠C = ∠D ∠A
5 如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若 ， ，则 与
∠F
的大小关系是（ ）
∠A +∠F = 90∘
A：
∠A > ∠F
B：
∠A < ∠F
C：
40/152-
∠A = ∠F
D：
a // b A a B C b BA⊥CA D BC
6 如图， ，点 在直线 上，点 ， 在直线 上，且 ，点 在线段 上，连接
AD AC ∠DAF ∠3 = ∠5
，且 平分 ．证明： ．
∵ BA⊥CA
证明： （已知），
∴ ∠BAC = ∠2 +∠3 = 90∘
（_________________），
∵ ∠1 +∠BAC +∠4 = 180∘
（平角的定义），
∴ ∠1 +∠4 = 180∘ −∠BAC = 180∘ −90∘ = 90∘
，
∵ AC ∠DAF
平分 （已知），
∴ ∠1 =
_______（__________________），
∴ ∠3 = ∠4
（__________________），
∵ a // b
（已知），
∴ ∠4 = ∠5
（____________________________），
∴ ∠3 = ∠5
（__________________）．
D E F △ ABC DF // AC ∠BFD = ∠CED
7 如图，点 ， ， 分别是 三边上的点， ， ，请写出
∠B ∠CDE
与 之间的数量关系，并说明理由．
EF // AD ∠1 = ∠2 ∠BAG = 60∘ ∠G
8 如图， ， ， ，求 的度数．
l l l ∠ABC = 130∘ ∠α
9 如图所示， 1∥ 2，AB⊥ 1， ，那么 的度数为（ ）
41/152-
60∘
A：
50∘
B：
40∘
C：
30∘
D：
∠B = 23∘ ∠D = 42∘ ∠E =
10 如图，AB∥CD， ， ，则 （ ）
23∘
A：
42∘
B：
65∘
C：
19∘
D：
能力提高 / 初一 / 春季
第 5 讲 平行线的性质判定综合
课堂落实答案
AB // CD AE // CF ∠A = 50∘ ∠C =
1 如图， ， ， ，则 （ ）
42/152-
40∘
A：
50∘
B：
60∘
C：
70∘
D：
∠ABC = 120∘
2 如图：一张宽度相等的纸条折叠后，若 ，则∠1的度数是（ ）
80∘
A：
70∘
B：
60∘
C：
50∘
D：
3 完成下列推理过程：
△ ABC DF // BC DE // AB
如图，点D，E，F分别是 的边AC，BC，AB上的点， ， ．
∠FDE = ∠B
求证： ．
∵ DF // BC
证明： ，
∴ ∠FDE =
___________（ ），
∵ DE // AB
，
∴ ∠B =
___________（ ），
∴ ∠FDE = ∠B
．
∠1 = 110∘ ∠2 = 70∘ ∠3 = 60∘
4 如图，直线a，b被直线c，d所截， ， ， ，则∠4的大小是
（ ）
43/152-
60∘
A：
70∘
B：
110∘
C：
120∘
D：
∠1 = 125∘ ∠2 = 115∘ ∠3 =
5 如图，直线a∥b，若 ， ，则 __________．
能力提高 / 初一 / 春季
第 5 讲 平行线的性质判定综合
精选精练
∠DEF = 20∘
1 如图a是长方形纸带， ，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的
∠CFE的度数是（ ）
110∘
A：
120∘
B：
140∘
C：
150∘
D：
44/152-
∠BEF ∠EFD
2 完成下面的证明：如图，AB∥CD∥GH，EG平分 ，FG平分 ．求证：
∠EGF = 90∘
．
证明：∵AB∥GH（已知），
∠1 = ∠3
∴ （_________________________________），
又∵CD∥GH（已知），
∴__________（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∠BEF+ = 180∘
∴ __________ （_________________________________），
∠BEF
∵EG平分 （已知），
1
∠1 =
∴ __________（__________________），
2
∠EFD
又∵FG平分 （已知），
1
∠2 = ∠EFD
∴ （_____________________），
2
1
∠1 +∠2 = +∠EFD
∴ （__________ ），
2
∠1 +∠2 = 90∘
∴ ，
∠3 +∠4 = 90∘
∴ （____________），
∠EGF = 90∘
即 ．
3 如图， EF // AD ， ∠1 = ∠2 ．
∠B = 55∘ ∠BDG
（1）若 ，求 的度数；
AD ∠BAC ∠DGC ∠FEA
（2）若 平分 ，直接写出 与 的数量关系．
4 如图， AB // DE ，那么 ∠BCD = （ ）
45/152-
180∘ +∠1 −∠2
A：
∠1 +∠2
B：
∠2 −∠1
C：
180∘ +∠2 −2∠1
D：
BC // DE ∠A = 35∘ ∠C = 24∘
5 如图， ，若 ， ，则∠E等于（ ）
24∘
A：
59∘
B：
60∘
C：
69∘
D：
AB CD E AB CD AE
6 如图①， ∥ ，点 在直线 与 之间，连接 ，CE．
∠A +∠C = ∠E
（1）证明： ；
E AB CD ∠A +∠E +∠C = 360∘
（2）当点 在如图②的位置时， ∥ ，证明： ；
E F G AB CD AB CD AE EF FG CG
（3）如图③，点 ， ， 在直线 与 之间， ∥ ，连接 ， ， ， ，
若
∠EFG = 28∘ ∠A +∠E +∠G+∠C = ∘
，则 _________ ．
能力提高 / 初一 / 春季
46/152-
第 6 讲 变量之间的关系
例题练习题答案
例1
x y y
(1)一本笔记本5元，买 本共付 元，则5和 分别是（ ）
A： 常量，常量
B： 变量，变量
C： 常量，变量
D： 变量，常量
(2)“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，_____随_____
变化而变化，其中自变量是_____，因变量是_____．
50km/h S (km) t(h)
练1.1 一辆汽车以 的速度行驶，行驶的路程 与行驶的时间 之间的关系式为
S = 50t
，其中变量是（ ）
A： 速度与路程
B： 速度与时间
C： 路程与时间
D： 三者均为变量
S r S =π r2
练1.2 圆面积 与半径 之间的关系式 中，自变量是_____，因变量是_____，常量是_____．
例2 为了解某种车的耗油量，专业技术人员对这种车在高速公路上做了耗油试验，测得的数据如下
表：
t …
汽车行驶时间 （时） 0 1 2 3
Q …
油箱剩余油量 （升） 100 94 88 82
（1）在这个变化过程中，________是自变量，________是因变量；
Q t
（2）根据上表的数据，写出 与 的关系式________；
（3）汽车行驶5小时后，油箱中的剩余油量是________．
47/152-
练2.1 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：
−20 −10
温度/℃ 0 10 20 30
声速/m/s 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是（ ）
A： 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B： 温度越高，声速越快
C： 当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m
D： 当温度每升高10℃，声速增加6m/s
A y(cm)
练2.2 在一次实验中， 同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，弹簧长度 随所挂物体
x(kg) y x
的质量 变化关系如下表，那么弹簧长度 与所挂物体质量 的关系式为（ ）
x(kg) 0 1 2 3 4 5
y(cm) 8 10 12 14 16 18
y = 10 +2x
A：
y = 8 +2x
B：
y = 8 −2x
C：
y = 10 −2x
D：
16cm xcm ycm2 y x
例3 已知矩形的周长为 ，其中一边长为 ，面积为 ，则这个矩形的面积 与边长 之间
的关系可表示为（ ）
y = x2
A：
y = (8 −x)2
B：
y = x(8 −x)
C：
y = 2(8 −x)
D：
A B A B / x
练3.1 已知 ， 两地相距3千米，小黄从 地到 地，平均速度为4千米 时，若用 表示行走的时间
y y x
（时）， 表示余下的路程（千米），则 关于 的关系式是（ ）
48/152-
y = 4x
A：
y = 4x−3
B：
y = 3 +4x
C：
y = 3 −4x
D：
y x
练3.2 某同学带100元钱去买书，已知每册定价8.2元，买书后余下的钱 元和买的册数 之间的函数关系
式是（ ）
y = 8.2x
A：
y = 100 −8.2x
B：
y = 8.2x−100
C：
y = 100 +8.2x
D：
例4 大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌
鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计
x y
时，设时间变量为 ，水位高度变量为 ，下列图象中最符合故事情景的大致图象是（ ）
A：
B：
C：
49/152-
D：
练4.1 “佩奇小组”在健走活动中先以均匀的速度走了一段路程，休息了一段时间后加快速度走完剩余
x y y x
的路程．设“佩奇小组”健走的时间为 ，健走的路程为 ，如图所示的能反映 与 之间的关系的
大致图象是（ ）
A：
B：
C：
D：
练4.2 下列各情景分别可以用哪一幅图来近似的刻画：
汽车紧急刹车（速度与时间的关系）； _________
人的身高变化（身高与年龄的关系）； _________
跳高运动员跳跃横杆（高度与时间的关系）； _________
一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）． _________
A
50/152-
B
C
D
例5 一天之中，海水的水深是不同的，如图是某港口从0时到12时的水深情况，结合图象回答下列问
题：
(1)大约在______时港口的水最深，深度约是______米；
A
(2)图中 点表示的是____________________________；
(3)在什么时间范围内，水深在增加？
练5.1 骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，如图是骆驼48小时的体温随时间变化
的函数图象．观察函数图象并回答：
51/152-
（1）第一天中，骆驼体温的变化范围是 ℃～ ℃，它的体温从最低到最高经过了 小
时．
（2）从16时到24时，骆驼的体温下降了 ℃．这两天中在 范围内骆驼的体温在上
升，在 范围内骆驼的体温在下降．
例6 甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由 A 地到 B 地，行驶过程中路程与时间的关系的图象如图所
示．根据图象可知：
①先出发的是______（填“甲”或“乙”）；
②甲的行驶速度是______千米/分；
③乙的行驶速度是______千米/分．
y / t
练6.1 如图表示一辆汽车从出发到停止的行驶过程中速度 (米 分)随时间 (分)变化的情况，下列判断中
正确的是_________（填写正确答案的序号）．
①汽车从出发到停止共行驶了14分钟；
②汽车保持匀速行驶了8分钟；
③出发后4分到12分之间，汽车处于停止状态；
④汽车从减速行驶到停止用了2分钟．
52/152-
能力提高 / 初一 / 春季
第 6 讲 变量之间的关系
自我巩固答案
1 在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中
因变量是（ ）
A： 太阳光强弱
B： 水的温度
C： 所晒时间
D： 热水器
2 如图，圆锥的底面半径是 2cm ，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化．在
这个变化过程中，请找出自变量与因变量．
h/(km)
3 我们知道：“距离地面越高，气温越低．”下表表示的是某地某时气温t/(℃)随高度 变化
而变化的情况．
h/(km)
距离地面高度 0 1 2 3 4 5
−4 −10
气温t/(℃) 20 14 8 2
h
(1)请你用关系式表示出T与 的关系；
53/152-
6 km
(2)距离地面 的高空气温是多少？
15.5∘C
(3)当地某山顶当时的气温为 ，求此山顶与地面的高度．
106 y n
4 秀水村的耕地面积是 平方米，这个村的人均占地面积 （单位：平方米）随这个村人数 的变
y n
化而变化，求 与 的关系式．
50 L 100km 10 L
5 已知汽车油箱内有油 ，每行驶 耗油 ，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量
Q(L) s(km)
与行驶路程 之间的关系式是（ ）
s
Q = 50 −
A：
100
s
Q = 50 +
B：
100
s
Q = 50 −
C：
10
s
Q = 50 +
D：
10
6 如果每盒圆珠笔有12枝，售价18元，那么圆珠笔的销售额y（元）与圆珠笔的销售枝数x（枝）之
间的函数关系式是（ ）
3
A： y = x
2
2
B： y = x
3
y = 12x
C：
1
D： y = x
12
7 一个长方形的宽为
x cm
，长比宽多
2 cm
，面积为
S cm2
．
S x
（1）求 与 之间的关系式；
x = 8
（2）当 时，长方形的面积为多少？
8 电话每台月租费28元，市区内打电话（三分钟以内）每次0.20元，若某台电话每次通话均不超过3
y x
分钟，则每月应缴费 （元）与市内电话通话次数 之间的关系式是（ ）
y = 28x+0.20
A：
y = 0.20x+28x
B：
y = 0.20x+28
C：
54/152-
y = 28 −0.20x
D：
20cm 5cm y(cm) x
9 一支蜡烛长 ．若点燃后每小时燃烧 ．则燃烧剩余的长度 与燃烧时间 （小时）
之间的关系的图象大致为（ ）
A：
B：
C：
D：
10 今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山项的过程中，中途休息了一段时间，设他从山
t s s t
脚出发后所用的时间为 （分），所走的路程为 （米）， 与 之间的关系如图所示．
(1)小明中途休息用了_____分钟；
55/152-
(2)小明在上述过程中所走的路程为_____米；
(3)小明休息前爬山的平均速度和休息后爬山的平均速度各是多少？
能力提高 / 初一 / 春季
第 6 讲 变量之间的关系
课堂落实答案
1 将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的圆柱体锻压成底面直径为20厘米的圆柱体，在这个过程
中不改变的是（ ）
A： 圆柱的高
B： 圆柱的侧面积
C： 圆柱的体积
D： 圆柱的底面积
2 地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在这一问题中因变量是（ ）
A： 地表
B： 岩层的温度
C： 所处深度
D： 时间
y
3 下面的表格列出了一个实验室的部分统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度 与下降高度
x
的关系，能表示这种关系的式子是 ．
x
50 80 100 150
y
25 40 50 75
4 某同学放学回家，在路上遇到一个同学，一块去同学家玩了会儿，然后独自回家．下列图象能表
示这位同学所剩路程与时间变化关系的是（ ）
56/152-
A：
B：
C：
D：
5 海水受日月的引力而产生潮汐现象．早晨海水上涨叫做潮，黄昏海水上涨叫做汐，合称潮汐．
下面是某港口从0时到10时的水深情况，根据图象回答：
（1）在 时，港口的水深在增加；
（2）大约在 时，深度最深大约 m．
57/152-
能力提高 / 初一 / 春季
第 6 讲 变量之间的关系
精选精练
1 某种树木的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年时，树木的分枝数为______，其中自变量是
______，因变量是______．
年份 分枝数
第1年 1
第2年 1
第3年 2
第4年 3
第5年 5
s t
2 某物体运动的路程 (厘米)与运动的时间 (秒)之间的关系如图所示．则该物体运动20秒所经过的路
程是___________厘米．
3 嘉嘉将长为20 cm，宽为10 cm的长方形白纸，按图所示方法粘合起来，粘合部分（图上阴影部
分）的宽为3 cm．
（1）求5张白纸粘合后的长度；
58/152-
（2）设x张白纸粘合后总长为y cm，写出y与x之间的函数关系式；
（3）你认为若干张白纸粘合起来总长度可能为2021 cm吗？为什么？
4 为了解某品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如表数据：
s(km) …
轿车行驶的路程 0 100 200 300 400
Q(L) …
油箱剩余油量 50 42 34 26 18
L 150 km L
（1）该轿车油箱的容量为______ ，行驶 时，油箱剩余油量为______ ；
Q(L) s(km)
（2）根据上表的数据，写出油箱剩余油量 与轿车行驶的路程 之间的表达式；
A B B 30 L
（3）某人将油箱加满后，驾驶该轿车从 地前往 地，到达 地时油箱剩余油量为 ，求
A B
， 两地之间的距离．
l l
5 如图，甲、乙两人以相同路线前往距离单位10千米的培训中心参加学习，图中 1， 2分别表示
甲、乙两人前往目的地所走的路程s（千米）随时间t（分）变化的函数图象，以下说法中正确的是
（ ）
①甲比乙提前12分钟到达；
②甲的平均速度为15千米/时；
③甲、乙相遇时，乙走了6千米；
④乙出发6分钟后追上甲.
A： ①②
B： ③④
C： ①③④
59/152-
D： ②③④
s t
6 小李骑摩托车在一条笔直的公路上行驶，摩托车离出发地的距离 （千米）和行驶时间 （时）之
间关系的图象如图所示．根据图象回答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是什么？因变量是什么？
(2)摩托车共行驶了多少千米？
(3)摩托车在行驶过程中休息了多久？
(4)摩托车在整个行驶过程中的平均速度是多少？
(5)用自己的语言描述摩托车的行驶情况．
能力提高 / 初一 / 春季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 下列计算正确的是（ ）
2
(x3) =x6
A：
x2 ⋅x3=x6
B：
x+x2=x3
C：
x6 ÷x3=x2
D：
60/152-
10−9
2 纳米是一种长度单位，1纳米＝ 米，已知某种花粉的直径为3500纳米，那么用科学记数法表
示该种花粉的直径为( )
3.5×103
A： 米
3.5×10−5
B： 米
3.5×10−9
C： 米
3.5×10−6
D： 米
3 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
(3x−5y)(−3x−5y)
A：
(1 −5m)(5m−1)
B：
(−x+2y)(x−2y)
C：
(−a−b)(b+a)
D：
∠1 = 64∘ ∠2 = 64∘ ∠3 = 110∘
4 如图，直线AB，CD被两条直线所截，若 ， ， ，则∠4的度数为
（ ）
110∘
A：
70∘
B：
64∘
C：
46∘
D：
5 下列说法中正确的个数有（ ）
（1）在同一平面内，不相交的两条直线必平行；
（2）同旁内角互补；
（3）相等的角是对顶角；
61/152-
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；
（5）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
AE//BF ∠1 = 110∘ ∠2 = 130∘ ∠3 ( )
6 如图，直线 ， ， ，那么 的度数是
40∘
A：
50∘
B：
60∘
C：
70∘
D：
7 将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的圆柱体锻压成底面直径为20厘米的圆柱体，在这个过程
中不改变的是（ ）
A： 圆柱的高
B： 圆柱的侧面积
C： 圆柱的体积
D： 圆柱的底面积
a+b= ab= (a−b)2=
8 已知 5， 1，则 ( )
A： 23
B： 21
C： 19
D： 17
62/152-
x2 +6x+k2
9 如果 恰好是一个整式的平方，那么常数k的值为（ ）
A： 3
−3
B：
±3
C：
D： 9
10 如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运
△ MNR x = 9
动的路程为x， 的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当 时，点R应
运动到（ ）
A： N处
B： P处
C： Q处
D： M处
11 若
10y=
5，则
102−2y=
_____．
12 圆面积 S 与半径 r 之间的关系式 S =π r2 中，自变量是_____，因变量是_____，常量是_____．
13 如图，直线a，b被直线c所截．若a // b， ∠1 = 30∘ ，则 ∠2 = _________ ∘ ．
∠1 = 40∘ ∠AEF =
14 如图，把长方形纸片ABCD沿EF对折，若 ，则 __________
63/152-
15 下表是我市某一天在不同时段测得的气温情况：则这一天的气温的温差是__________℃，温度最接
近的两个时间是__________与__________．
0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 20：00
25℃ 27℃ 29℃ 32℃ 34℃ 30℃
(x−2)(x+m) = x2 +nx+2 (m−n)mn =
16 若 ，则 _____．
∠ABC = 120∘
17 珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若 ，
∠BCD = 80∘ ∠CDE =
，则 __________度．
…
18 如图，图1，图2，图3， 是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第n个“山”字
中的棋子个数是__________．
19 计算:
2 3
a⋅a5 +(2a3) +(−2a2)
(1)
(−2x2y)⋅(3xyz −2y2z +1)
(2)
20152 −2013 ×2017
(3)
(2x+4)(2x−5)−(2x−4)2
(4) .
am = 2 an = 5 a2m−n
20 （1） ， ，求 的值．
(x+1)(x−p) = x2 +qx−3 pq
（2） ，求 的值．
64/152-
1
21 [(2a+b)(2a−b)−3(2a−b)2 +4b2]÷(4a) a= b = 1
先化简，再求值: ，其中 ， ．
2
AD // BE ∠1 = ∠2 ∠A = ∠E
22 如图， ， ，求证： ．
23 为了解某种车的耗油量，专业技术人员对这种车在高速公路上做了耗油试验，测得的数据如下
表：
t …
汽车行驶时间 （时） 0 1 2 3
Q …
油箱剩余油量 （升） 100 94 88 82
（1）在这个变化过程中，________是自变量，________是因变量；
Q t
（2）根据上表的数据，写出 与 的关系式________；
（3）汽车行驶5小时后，油箱中的剩余油量是________．
∠A = ∠AGE ∠D = ∠DGC
24 如图，已知 ， ．
AB // CD
(1)求证： ；
∠2 +∠1 = 180∘ ∠BEC = 2∠B +30∘ ∠B
(2)若 ，且 ，求 的度数．
ABC DEF
25 在一副三角板 和 中.
AB // CD ∠DCB
(1)当 ,如图①,求 的度数.
65/152-
CD CB DE AC
(2)当 与 重合时,如图②,判定 与 的位置关系,并说明理由.
∠DCB AB // EC
(3)如图③,当 等于多少度时, ?
ABC
26 已知：如图，△ 中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF的交
∠1 +∠2 = 180∘ ∠3 = ∠C
点为点H， ， ．
DH // EC
(1)求证 ；
∠4 = 32∘ ∠EFC
(2)若 ，求 ．
AB // DC
27 已知，直线 ，点P为平面上一点，连接AP与CP．
∠BAP = 60∘ ∠DCP = 20∘ ∠APC
（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当 ， 时，求 ．
∠BAP ∠DCP
（2）如图2，点P在直线AB、CD之间， 与 的角平分线相交于点K，写出
∠AKC ∠APC
与 之间的数量关系，并说明理由．
∠BAP ∠DCP ∠AKC ∠APC
（3）如图3，点P落在CD外， 与 的角平分线相交于点K， 与 有
何数量关系？并说明理由．
能力提高 / 初一 / 春季
第 8 讲 三角形的边
例题练习题答案
例1
△ ABC (a−b)2 = 0 △ ABC
(1)已知 的三边a，b，c满足 ，则 的形状是（ ）
66/152-
A： 钝角三角形
B： 直角三角形
C： 等腰三角形
D： 以上都不对
(2)图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 以上都有可能
例2 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A： 4 cm，5 cm，9 cm
B： 8 cm，8 cm，15 cm
C： 5 cm，5 cm，10 cm
D： 6 cm，7 cm，14 cm
练2.1 下列数据，能作为三角形三边长度的是（ ）
A： 1，2，3
B： 3，4，5
32 42 52
C： ， ，
D： 10，14，27
例3 已知三角形的三边长分别为4、a、8，那么a的取值范围是（ ）
0 < a < 8
A：
4 < a < 12
B：
67/152-
1 < a < 12
C：
4 < a < 6
D：
x
练3.1 若三角形两边长为8和12，则第三边 的范围是_____________．
例4 已知等腰三角形的两边长分别为4和7，则此三角形的周长为____________．
练4.1 等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm，则它的腰长是（ ）
A： 2 cm
B： 4 cm
C： 2 cm或4 cm
D： 8 cm或10 cm
练4.2 已知等腰三角形的两边长分别为6 cm和8 cm，则它的第三边长度为___________．
例5
S = 8 cm2 △ ADC
(1)如图，已知 △ABC ，AD是中线，DE是 的中线，则三角形ADE的面积为
（ ）
6 cm2
A：
4 cm2
B：
3 cm2
C：
2 cm2
D：
△ ABC AB = 20 AC = 18 AD △ ABD △ ACD
(2)如图，在 中， ， ， 为中线，则 与 的周
长之差为（ ）
68/152-
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
练5.1 如图，点D是△ABC中AC边上的一点，已知BD是中线，则下列结论错误的是（ ）
S = S
A： △ABD △BCD
AD = CD
B：
∠BAD = ∠CBD
C：
S = 2S
D： △ABC △BCD
BD △ ABC AB = 5 BC = 3 △ ABD △ BCD
练5.2 如图，已知 是 的中线， ， ， 和 的周长的差是
（ ）
A： 2
B： 3
C： 6
D： 不能确定
69/152-
△ ABC ∠BAC = 60∘ ∠CBE = 25∘
例6 如图所示，AD，CF是 的角平分线， ， ，则
∠DAC = ∘ ∠ABC = ∘
________ ， ________ ．
练6.1 如图，AE是△ABD的角平分线，AF是△ACD的角平分线，则下列结论不正确的是（ ）
1
A： ∠EAF = ∠CAB
2
1
B： ∠DAF = ∠DAC
2
1
C： ∠DAF = ∠EAF
2
1
D： ∠EAD = ∠BAD
2
△ ABC ∠ACD = 50∘
练6.2 如图所示，AD，BE，CF是 的角平分线， ，则下列说法正确的是
（ ）
∠FCA = 30∘
A：
∠EBC = ∠FCB
B：
∠ABE = 25∘ ∠ACD = ∠ABC
C： 若 ，则
∠BAC = 40∘ ∠ACF = ∠DAC
D： 若 ，则
△ ABC BC
例7 如图，在 中， 边上的高为（ ）
70/152-
BF
A：
CF
B：
BD
C：
AE
D：
△ ABC
练7.1 下列四个图形中，线段BE是 的高的是（ ）
A：
B：
C：
D：
能力提高 / 初一 / 春季
71/152-
第 8 讲 三角形的边
自我巩固答案
1 下面这个三角形被遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是（ ）
A： 一个锐角，一个钝角
B： 两个锐角
C： 一个是锐角，一个直角
D： 一个直角，一个钝角
2 已知 △ ABC 的三边a，b，c满足 (a−b)(a−c) = 0 ，则 △ ABC 的形状是（ ）
A： 钝角三角形
B： 直角三角形
C： 等腰三角形
D： 锐角三角形
3 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A： 3，2，6
B： 4，5，6
C： 2，4，6
D： 5，3，9
4 若一个三角形的两边长是1和8，则第三边长可能为（ ）
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
72/152-
△ ABC △ ACD S = 1
5 如 图 ， AD是 的 一 条 中 线 ， CE 是 的 一 条 中 线 ， △AEC ， 则
S =
△ABC （ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 无法计算
△ ABC AC = 9 cm BC = 3 cm △ ACD
6 如图所示，CD是 的中线， ， ， 那 么 和
△ BCD cm
的周长差是___________ ．
△ ABC ∠ACD = 60∘ ∠EBC = 15∘ ∠ABC
7 如图所示，BE，CD是 的角平分线， ， ，求 ，
∠ACB
的度数．
∠1 = ∠2 ∠3 = ∠4
8 如图所示， ， ，下列结论中错误的是（ ）
73/152-
A： BD是△ABC的角平分线
B： CE是△BCD的角平分线
1
C： ∠3 = ∠ACB
2
D： CE是△ABC的角平分线
△ ABC
9 如图，在 中，BC边上的高是（ ）
A： CE
B： DA
C： CF
D： BD
10 对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（ ）
A： 锐角三角形有三条高
B： 钝角三角形有两条高在三角形的外部
C： 直角三角形只有一条高
D： 锐角三角形的三条高都在三角形的内部
能力提高 / 初一 / 春季
第 8 讲 三角形的边
课堂落实答案
1 在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC是（ ）
A： 锐角三角形
74/152-
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 以上都有可能
2 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A： 5，6，10
B： 5，6，11
C： 3，4，8
4a 4a 8a(a > 0)
D： ， ，
△ ABC △ ABD 25cm 6cm △ ACD
3 如图，AD是 的中线，已知 的周长为 ，AB比AC长 ，则 的周
cm
长为________ ．
4 一个三角形的三条角平分线的交点在（ ）
A： 三角形内
B： 三角形外
C： 三角形的某边上
D： 以上三种情形都有可能
5 下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A：
B：
75/152-
C：
D：
能力提高 / 初一 / 春季
第 8 讲 三角形的边
精选精练
1 一个三角形至少有（ ）
A： 一个锐角
B： 两个锐角
C： 一个钝角
D： 一个直角
2 有四条线段，它们的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，从中选三条构成三角形，其中正确的选
法有（ ）
A： 1种
B： 2种
C： 3种
D： 4种
3 已知三角形的两边长分别为2cm和7cm，周长是偶数，则这个三角形是（ ）
A： 不等边三角形
B： 等腰三角形
76/152-
C： 等边三角形
D： 直角三角形
△ ABC D E F BC AD CE
4 如图所示，在 中，已知点 ， ， 分别为边 ， ， 的中点，且
S = 4 cm2
△ABC ，则阴影部分的面积等于（ ）
2cm2
A：
1cm2
B：
1
C：
cm2
2
1
D：
cm2
4
5 下列说法正确的是（ ）
A： 三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
B： 直角三角形只有一条高
C： 三角形的角平分线其实就是角的平分线
D： 三角形的三条高至少有一条在三角形内
|a−b+c|−2|c−a−b|+3|a+b+c|
6 已知a，b，c是△ABC的三边长，化简 ．
能力提高 / 初一 / 春季
第 9 讲 三角形的角
例题练习题答案
∠ABC =50∘ ∠ACB =70∘ ∠BAC
例1 如图，在△ABC中， ， ，AD平分 ．过点D作DE⊥AB于
∠ADE=
点E，则 _______°．
77/152-
∠B = 67∘ ∠C = 33∘ AD ∠CAD
练1.1 如图，在△ABC中， ， ， 是△ABC的角平分线，则 的度数为
（ ）
40∘
A：
45∘
B：
50∘
C：
55∘
D：
∠ABC ∠ABD = 30∘ ∠A = 70∘ ∠C
练1.2 如图，在△ABC中，BD平分 ， ， ，那么 的度数为
_______．
△ABC ∠A = 55∘ ∠B ∠C 25∘ ∠B
例2 在 中, , 比 大 ,则 等于（ ）
50∘
A：
75∘
B：
100∘
C：
125∘
D：
78/152-
2 : 3 : 4
练2.1 若一个三角形三个内角度数的比为 ，那么这个三角形是（ ）
A： 直角三角形
B： 锐角三角形
C： 钝角三角形
D： 等边三角形
例3
∠B = 45∘ ∠ADC = 75∘ ∠C =
(1)如图，AD是△ABC的角平分线， ， ，则 _______．
∠B = ∠C ∠ADC ∠AEB
(2)如图， ，则 和 的大小关系是（ ）
∠ADC > ∠AEB
A：
∠ADC = ∠AEB
B：
∠ADC < ∠AEB
C：
D： 大小关系不能确定
∠ACB = 100∘ ∠A = 20∘ D AB CD
练3.1 如图，在△ABC中， ， ， 是 上一点，将△ABC沿 折叠，使
B AC B′ ∠ADB′
点落在 边上的 处，则 等于（ ）
79/152-
40∘
A：
20∘
B：
55∘
C：
30∘
D：
∠1 ∠2 ∠3
练3.2 如图， ， ， 的大小关系是（ ）
∠2 > ∠1 > ∠3
A：
∠1 > ∠3 > ∠2
B：
∠3 > ∠2 > ∠1
C：
∠1 > ∠2 > ∠3
D：
例4 将一副直角三角板如图所示放置，使含
30∘
角的三角板的一条直角边和含
45∘
角的三角板的一条直
∠1
角边重合，则 的度数为（ ）
45∘
A：
80/152-
60∘
B：
75∘
C：
85∘
D：
30∘ 45∘ ∠C = 90∘
练4.1 如图，一副分别含有 和 角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中 ，
∠B = 45∘ ∠E = 30∘ ∠BFD
， ，则 的度数是（ ）
15∘
A：
25∘
B：
30∘
C：
10∘
D：
∠1 = 40∘ ∠2 = 75∘ ∠3
例5 如图，直线l1∥l2， ， ，则 等于（ ）
55∘
A：
60∘
B：
65∘
C：
70∘
D：
∠1 = 85∘ ∠2 = 35∘ ∠3 =(
练5.1 如图，直线a∥b， ， ，则 ）
81/152-
85∘
A：
60∘
B：
50∘
C：
35∘
D：
∠CAB = 50∘ ∠C = 60∘
例6 如图，在△ABC中，AD是高，AE是△ABC的角平分线， ， ，则∠DAE
的度数为_________．
∠BAC ∠B = 70∘ ∠C = 34∘ ∠DAE
练6.1 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分 ， ， ，求 的度数．
能力提高 / 初一 / 春季
第 9 讲 三角形的角
自我巩固答案
∠BAC ∠B = 40∘ ∠BAD = 30∘
1 如图，在△ABC中，AD平分 且与BC相交于点D， ， ，则
∠C
的度数是（ ）
82/152-
70∘
A：
80∘
B：
100∘
C：
110∘
D：
2 : 3 : 7
2 一个三角形三个内角的度数之比为 ，这个三角形一定是（ ）
A： 等腰三角形
B： 直角三角形
C： 锐角三角形
D： 钝角三角形
∠B ∠A ∠C ∠A 20∘ ∠A
3 已知在△ABC中， 是 的2倍， 比 大 ，则 等于（ ）
40∘
A：
60∘
B：
80∘
C：
90∘
D：
DF⊥AB F ∠A = 40∘ ∠D = 50∘ ∠ACB
4 如图，已知 于 ，交AC于G， ， ，求 的度数．
∠A = 60∘ ∠B = 40∘
5 如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若 ， ，则∠ECD等于
（ ）
40∘
A：
83/152-
45∘
B：
50∘
C：
55∘
D：
∠ACB = 80∘ ∠A = 25∘
6 如图，在△ABC中， ， ，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使B点
B′ ∠ADB′ =
落在AC边上的 处，则 （ ）
40∘
A：
45∘
B：
50∘
C：
55∘
D：
Rt △ ABC ∠ABC = 90∘ ∠A = 65∘ A CB
7 如图，在 中， ， ，将其折叠，使点 落在边 上
A′ BD ∠A′DC =
处，折痕为 ，则 （ ）
40∘
A：
30∘
B：
25∘
C：
20∘
D：
∠1 =
8 将一副三角板按图中方式叠放，则 （ ）
84/152-
30∘
A：
45∘
B：
60∘
C：
75∘
D：
∠A = 35∘ ∠C = 75∘ ∠E
9 如图，AB∥CD， ， ，则 的度数为（ ）
140∘
A：
40∘
B：
100∘
C：
75∘
D：
AD AE ∠B = 30∘ ∠C = 50∘
10 如图，在△ABC中， ， 分别是△ABC的高和角平分线．若 ， ．
∠DAE
（1）求 的度数；
∠DAE ∠C −∠B
（2）试写出 与 有何关系？（不必证明）
能力提高 / 初一 / 春季
第 9 讲 三角形的角
85/152-
课堂落实答案
∠1 = ∠B ∠C = 65∘ ∠BAC
1 如图，在△ABC中，AD⊥BC， ， ，则 的度数为______．
1 : 2 : 3
2 若三角形三个内角的度数之比为 ，则这个三角形是（ ）
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 等边三角形
∠A = 30∘
3 如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．已知 ，
∠FCD = 80∘ ∠D
，则 的度数为（ ）
36∘
A：
40∘
B：
44∘
C：
50∘
D：
l // l ∠A = 40∘ ∠1 = 60∘ ∠2
4 如图，已知 1 2， ， ，则 的度数为__________．
86/152-
∠B = 65∘ ∠C = 45∘ AD BC AE ∠BAC
5 如图，已知△ABC中， ， ， 是 边上的高， 是 的平分
∠DAE
线，求 的度数．
能力提高 / 初一 / 春季
第 9 讲 三角形的角
精选精练
1 如图，在△ABC中， ∠A = 45∘ ， ∠C = 75∘ ，BD是△ABC的角平分线，则 ∠BDC 的度数为
（ ）
60∘
A：
70∘
B：
75∘
C：
105∘
D：
3
2 ∠C = ∠ABC = ∠A ∠DBC
如图，在△ABC中， ，BD是AC边上的高，求 的度数．
2
87/152-
∠A = 27∘ ∠B = 45∘ ∠C = 38∘
3 如图， ， ， ，求：
∠BEF
（1） 的度数；
∠DFE
（2） 的度数．
∠1 = ∠2 ∠3 = ∠4 ∠BAC = 66∘ ∠DAC
4 如图，D是△ABC的边BC上的一点，且 ， ， ，求 的
度数．
∠A = 60∘ ∠C = 70∘ DE // BC
5 如图，在△ABC中， ， ，BD平分∠ABC， ，则∠BDE的度数是
（ ）
50∘
A：
25∘
B：
30∘
C：
35∘
D：
∠BAC = 2∠B ∠B = 2∠DAE
6 如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知 ， ，那么
∠C
的度数为（ ）
88/152-
80∘
A：
72∘
B：
48∘
C：
36∘
D：
能力提高 / 初一 / 春季
第 10 讲 全等三角形（一）
例题练习题答案
例1 下列说法正确的是（ ）
A： 两个面积相等的图形一定是全等图形
B： 两个长方形是全等图形
C： 两个全等图形形状一定相同
D： 两个正方形一定是全等图形
练1.1 下列各组图形中，全等的两个图形是（ ）
A： 两个周长相等的圆
B： 两个面积相等的长方形
C： 所有对应角都相等的两个三角形
D： 两个周长相等的三角形
BC = 3 CE = 4
例2 （1）如图，△ABC≌△EFC，B，C，E在同一条直线上，且 cm， cm，则
AF =
________．
∠BAE = 135∘ ∠BAD = 40∘ ∠BAC =
（2）已知△ABC≌△ADE，如果 ， ，那么 ________．
89/152-
练2.1
AC = 3 DE = 2 BC = 4
(1)已知△ABC≌△DEF，若 ， ， ，则△DEF的周长为（ ）
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4 ∠D : ∠E
(2)若△ABC≌△DEF，且 ，则 为（ ）
A： 2：4
B： 2：3
C： 3：4
D： 3：2
△ ABE △ ACD AB = 8 cm AD = 5 cm ∠A = 60∘ ∠B = 40∘
练2.2 如图， ≌ ， ， ， ， ，则
AE = ∠C = EC =
________， ________， ________．
AF = DC AB = DE BC = EF
例3 已知，如图，A，C，F，D在同一直线上， ， ， ，求证：
△ABC≌△DEF．
90/152-
补全下列过程：
AF = DC
证明：∵
AF −____ = DC −____
∴ ，
____ = ____
即：
在___________和____________中，
⎧⎪ __________( )
⎨AB = DE ( )
∵
⎩⎪
BC = EF ( )
∴_________________________（ ）
练3.1 如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上， AB = DE ， AC = DF ， BE = CF ．
求证：△ABC≌△DEF.
补全下列过程：
BE = CF
证明：∵
BE +____ = CF +____ ____ = ____
∴ ，即：
在___________和____________中，
⎧⎪ AB = DE( )
⎨AC = DF ( )
∵
⎩⎪
_______( )
∴_________________________（ ）
AB = AC
练3.2 如图，在△ABC中， ，AD是BC边上的中线，求证：△ABD≌△ACD．
91/152-
A F C D B E AD AB = DE
例4 如图，点 ， ， ， 在同一直线上，点 和点 分别在直线 的两侧， ，且
AB // DE AF = DC
， ．求证：△ABC≌△DEF．
AB = ED BC = DB
练4.1 如图，点B在线段AD上，BC∥DE， ， ．求证：△ABC≌△EDB．
AC = BD
例5 已知：如图，C，D在AB上，且 ，AE∥FB，DE∥FC．
求证：△ADE≌△BCF．
∠AEB=∠DFC BF = CE
练5.1 如图，已知AB∥CD， ， ，求证：△ABE≌△DCF．
∠C = ∠B CO = BO
练5.2 如图，已知AB与CD相交于点O， ， ，求证：△AOC≌△DOB．
92/152-
能力提高 / 初一 / 春季
第 10 讲 全等三角形（一）
自我巩固答案
1 下列各组图形中是全等图形的是（ ）
A：
B：
C：
D：
2 下列说法不正确的是（ ）
A： 全等三角形是指能完全重合的两个三角形
B： 全等三角形对应边上的中线相等
C： 全等三角形是指面积相等的两个三角形
D： 两个全等三角形的周长、面积都相等
AC = AF ∠FAB = ∠EAB
3 如图，已知△ABC≌△AEF，则对于结论：① ，② ， ③
EF = BC ∠EAB = ∠FAC
，④ ，其中正确结论的个数是（ ）
A： 1个
93/152-
B： 2个
C： 3个
D： 4个
AB = 18 BD = 17 AD = 16
4 如图所示，△ABD≌△ACE， ， ， ，则BE的长是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
∠AOB OA OB
5 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图， 是一个任意角，在边 ， 上
OM = ON M N C
分别取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 ， 重合，过角尺顶点 作
OC
射线 ．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（ ）
A： SSS
B： SAS
C： ASA
D： AAS
6 如图，C是AB的中点， AD = CE ， CD = BE ．求证:△DCA≌△EBC．
94/152-
AC = DB AO = DO CD = 100m
7 如图所示，已知 ， ， ，则A，B两点间的距离（ ）
A： 大于100m
B： 等于100m
C： 小于100m
D： 无法确定
DA⊥AB EA⊥AC AB = AD AC = AE
8 如图， ， ， ， ，BE，CD相交于O，求证：
△ADC≌△ABE．
∠CAB = ∠DBA ∠ABC = ∠DAB E
9 如 图 ， ， ， AC、 BD相 交 于 点 ， 便 可 知 道
△ABD≌△BAC．这是根据（ ）得到的．
A： SSS
B： SSA
C： ASA
95/152-
D： SAS
BC = DE ∠B = ∠D ∠E = ∠C
10 如图， ， ， ．求证：△ABC≌△ADE．
能力提高 / 初一 / 春季
第 10 讲 全等三角形（一）
课堂落实答案
( )
1 下列各组中的两个图形为全等形的是
A： 两块三角尺
B： 两枚硬币
A4
C： 两张 纸
D： 两片枫树叶
∠DAE 80∘ ∠C 30∘ ∠DAC 35∘
2 如图，△ABC≌△ADE，若 ＝ ， ＝ ， ＝ ，AC、DE交于点F，则
∠CFE
的度数为________．
AC = FD BC = ED
3 如图，在△ABC和△FED中， ， ，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全
4 AE = FB AB = FE AE = BE BF = BE
等时，下面的 个条件中：① ；② ；③ ；④ ，可
利用的是（ ）
96/152-
A： ①或②
B： ②或③
C： ①或③
D： ①或④
4 如图所示， AB ∥ CD ，点C是BE的中点，直接应用“ASA”定理证明△ABC≌△DCE还需要的条件
是（ ）
AB = CD
A：
∠ACB = ∠E
B：
∠A = ∠D
C：
AC = DE
D：
5
AB = DC
(1)如图 ， ，若想利用“SAS”证明△ABD≌△DCA，可以补充的一个条件是
_______________．
AD = AE AB = AC ∠BAD = ∠CAE
(2)如图，在△ABC中，已知： ， ， ．
求证：△AEB≌△ADC．（需要写清楚证明过程）
97/152-
能力提高 / 初一 / 春季
第 10 讲 全等三角形（一）
精选精练
1 下列说法正确的是（ ）
①用一张相纸冲洗出来的10张1寸相片是全等形；②我国国旗上的4颗小五角星是全等形；③所有
的正方形是全等形；④全等形的面积一定相等．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
∠CAD = 10∘ ∠B = ∠D = 25∘ ∠EAB = 120∘
2 如图，△ABC≌△ADE，且 ， ， ， 则
∠DFB ∠DGB
= ， = ．
98/152-
AB = AC BD = CE AD = AE
3 如图所示， ， ， ，求证：△ABE≌△ACD．
AF = CD AB // DE AB = DE
4 已知，如图，A、F、C、D四点在同一直线上， ， ，且 ．
求证：△ABC≌△DEF．
∠C=90∘
5 如图，在△ABC中， ，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DE=CB，过点M作ME∥BC
交AB于点E．求证：△ABC≌△MED．
6 已知：如图， AC = EC ，E，A，D在同一条直线上，∠1=∠2=∠3．试说明：△ABC≌△EDC．
能力提高 / 初一 / 春季
第 11 讲 全等三角形（二）
99/152-
例题练习题答案
∠B = ∠C AD = AE ΔABE ΔACD
例1 如图，D在AB上，E在AC上，且 ， ，求证： ≌ ．
AB = AE ∠1 = ∠2 ∠C = ∠D
练1.1 如图， ， ， ．求证：△ABC≌△AED．
例2
(1)下列条件中，不能判定三角形全等的是（ ）
A： 三条边对应相等
B： 两边和一角对应相等
C： 两角和其中一角的对边对应相等
D： 两角和它们的夹边对应相等
∠1 = ∠2 AC = AD AB = AE BC = DE
(2)如图，已知 ， ，增加下列条件：① ；② ；③
∠C = ∠D ∠B = ∠E
；④ ，其中能使△ABC≌△AED的条件是________．（填写序号）
练2.1 根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A： AB=3，BC=4，AC=8
B： AB=4，BC=3，∠A=30°
100/152-
C： ∠A=60°，∠B=45°，AB=4
D： ∠C=90°，AB=6
AB // DC △ ABD △ CDB
练2.2 如图， ，如果想添加一个条件使得 ≌ ，那么可添加的条件为：
__________________或__________________或__________________．
AB = CD AD = CB
例3 如图， ， ，那么下列结论中错误的是（ ）
∠A = ∠C
A：
AB = AD
B：
C： AD∥BC
D： AB∥CD
AE = AD ∠B = ∠C BE = 4 AD = 5 AC =
练3.1 如图， ， ， ， ，则 _____．
∠B = ∠D ∠1 = ∠2 AB = AD AC = AE
练3.2 已知，如图， ， ， ．求证： ．
101/152-
△ ABC ∠BAC = 90∘ AB = AC BD⊥m
例4 如图，已知：在 中， ， ，直线m经过点A， ，
CE⊥m BD = 4 CE = 6 DE
，垂足分别为点D、E．若 ， ，则 =（ ）
A： 6
B： 8
C： 10
D： 12
∠ACB = 90∘ AC = BC
练4.1 如图，在△ABC中， ， ，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，
AD = 2.6 cm DE = 1.2 cm
， ，求CD的长．
∠BAC = 90∘ AB = AC
练4.2 如图所示，已知△ABC中， ， ，AE是过点A的一条直线，且B点和C点
BD = DE +CE
在AE的异侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE于E点．求证： ．
能力提高 / 初一 / 春季
第 11 讲 全等三角形（二）
102/152-
自我巩固答案
1 如图，已知△ABC，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（ ）
A： 只有乙
B： 只有丙
C： 甲和乙
D： 乙和丙
2 如图，已知AD平分 ∠BAC ，要使△ABD≌△ACD，根据“AAS”需要添加的条件是（ ）
AB = AC
A：
∠ADB = ∠ADC
B：
∠B = ∠C
C：
BD = CD
D：
∠A = ∠E BF = DC
3 如图，点F，C在BD上，AB∥DE， ， ．求证：△ABC≌△EDF．
103/152-
AB = AC
4 如图，在△ABC中， ，BE、CF是中线，则由（ ）可得△AFC≌△AEB．
A： SSS
B： SAS
C： AAS
D： ASA
5 如图，已知 ∠ABC = ∠BAD ，添加下列条件还不能判定 ΔABC ≅ΔBAD 的是（ ）
AC = BD
A：
∠CAB = ∠DBA
B：
∠C = ∠D
C：
BC = AD
D：
AB // CD △ ABD △ CDB
6 如图，在四边形ABCD中， ，不能判定 ≌ 的条件是（ ）
AB = CD
A：
AD = BC
B：
AD // BC
C：
∠A = ∠C
D：
104/152-
AD = AE AB = AC DC = EB
7 如图， ， ，证明： ．下列思路正确的是（ ）
DC = EB
A： 先用“AAS”证明△DBF≌△ECF，再证明
DC = EB
B： 先用“SAS”证明△ABE≌△ACD，再证明
DC = EB
C： 先用“SAS”证明△DBF≌△ECF，再证明
DC = EB
D： 先用“AAS”证明△ABE≌△ACD，再证明
B E F C AB = DC BE = CF ∠B = ∠C
8 已知，如图， 、 、 、 四点在同一条直线上， ， ， ．
∠A = ∠D
求证： ．
DF = CE
9 如图，在△ABC中，D是AC的中点，DE∥AB，DF∥BC．求证： .
10 课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图）， ∠ACB = 90∘ ，
AC = BC
，每块砌墙用的砖块厚度为8 cm，小聪很快就知道了两个墙脚之间的距离DE的长
为 cm．
105/152-
能力提高 / 初一 / 春季
第 11 讲 全等三角形（二）
课堂落实答案
1 如图，AB与CD相交于点O，O是AB的中点，请你添加一个合适的条件，使△AOC≌△BOD，你添加
的条件是____________．
∠1 = ∠2 AC = AE
2 如图，已知 ， ，下列条件无法确定△ABC≌△ADE的是（ ）
∠C = ∠E
A：
BC = DE
B：
AB = AD
C：
∠B = ∠D
D：
△ ABC △ DEF BC // EF ∠BAC = ∠D AB = DE = 4
3 如图所示，在 和 中， ， ，且 ，
BC = 5 AC = 6
， ，则EF的长为（ ）
106/152-
A： 4
B： 5
C： 6
D： 不能确定
∠A = ∠B = 50∘ AK = BN AM = BK ∠MKN
4 如图所示，在△ABC中， ， ， ，则 的度数
是（ ）
50∘
A：
60∘
B：
70∘
C：
100∘
D：
∠AOB = 90∘ OA = OB l l l
5 如图， ， ，直线 经过点O，分别过A，B两点作AC⊥ 交 于点C，
l l AC = OD
BD⊥ 交 于点D．求证： ．
能力提高 / 初一 / 春季
第 11 讲 全等三角形（二）
精选精练
∠A = ∠D ∠B = ∠C
1 如图，点B，E，F，C在同一直线上，已知 ， ，要使△ABF≌△DCE，以
“AAS”需要补充的一个条件是________（写出一个即可）．
107/152-
2 在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（ ）
AB = DE ∠B = ∠E ∠C = ∠F
A： ， ，
AC = DF BC = EF ∠A = ∠D
B： ， ，
AB = DE ∠A = ∠D ∠B = ∠E
C： ， ，
AB = DE BC = EF AC = DF
D： ， ，
∠ACB = 90∘ AD = BC
3 如图，在△ABC中， ，D是AC上的一点，且 ，DE⊥AC于点D，
∠EAB = 90∘ AB = AE
，求证： ．
∠A = ∠D ∠OBC = ∠OCB OA = OD
4 如图， ， ．求证： ．
AB = CD AD = BC O BC
5 如图， ， ，过 点的直线交AD于E，交 于F，则图中全等三角形有
（ ）
108/152-
A： 4对
B： 5对
C： 6对
D： 7对
AE = CF DE⊥AC BF⊥AC
6 如图①，A，E，F，C在一条直线上， ，过E，F分别作 ， ，若
BF = DE
．
(1)图①中有______对全等三角形，把它们写出来：___________________________________；
(2)求证：BD与EF互相平分于G；
△ ABF
(3)若将 的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成
立，如果成立，请予证明．
能力提高 / 初一 / 春季
第 12 讲 轴对称初步
例题练习题答案
例1 下列图形中对称轴最多的是（ ）
A： 等腰三角形
B： 正方形
C： 圆形
D： 线段
练1.1 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
109/152-
A：
B：
C：
D：
练1.2 下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A：
B：
C：
D：
例2 如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，则下列结论中不正确的是（ ）
A： △ABC和△ADE周长相等
B： △ABC和△ADE面积相等
∠DAC = ∠BAE
C：
D： 直线MN平分DE
10/152-
AB = CD
练2.1 如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若 ，有下面的结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；
AO = OC
③ ；④AB⊥BC．其中正确的结论有____________．
例3 如图，作出已知图形关于直线对称的图形．
ABC l A′B′C′
练3.1 作出已知图形△ 关于给定直线 的对称图形△ ．
AC = AD = BD ∠DAC = 80∘
例4 如图所示，△ABC中， ， ，则∠B的度数是（ ）
40∘
A：
35∘
B：
25∘
C：
20∘
D：
AB = AC ∠A = 36∘ ∠DBC
练4.1 如图，△ABC中， ， ，BD是AC边上的高，则 的度数是（ ）
11/152-
18∘
A：
24∘
B：
30∘
C：
36∘
D：
AB = AC
例5 如图，△ABC中， ，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
AD⊥BC
A：
B： AD平分∠BAC
AB = 2BD
C：
∠B = ∠C
D：
AB = AC ∠C = 70∘ ∠DAC =
练5.1 如图，△ABC中， ，D是BC中点， ，则 _______．
3 cm 7 cm
例6 等腰三角形的两边长分别为 和 ，则周长为（ ）
13 cm
A：
17 cm
B：
10 cm
C：
12/152-
13 cm 17 cm
D： 或
练6.1
(1)若等腰三角形的两条边长分别是7和5，则第三条边的长是（ ）
A： 5
B： 7
C： 7或5
D： 不能确定
(2)一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A： 12
B： 16
C： 20
D： 16或20
例7
120∘
(1)若等腰三角形一个角为 ，则它的另外两个角为_____________；
50∘
(2)若等腰三角形一个角为 ，则它的另外两个角为_____________________；
30∘
(3)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则顶角度数为（ ）
30∘
A：
60∘
B：
90∘
C：
120∘ 60∘
D： 或
130∘
练7.1 若等腰三角形中的一个外角等于 ，则它的顶角的度数是（ ）
50∘
A：
80∘
B：
13/152-
65∘
C：
50∘ 80∘
D： 或
40∘
练7.2 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则该等腰三角形的顶角为（ ）
50∘
A：
130∘
B：
50∘ 130∘
C： 或
120∘
D：
能力提高 / 初一 / 春季
第 12 讲 轴对称初步
自我巩固答案
1 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A：
B：
C：
D：
2 将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的
图形是（ ）
A：
14/152-
B：
C：
D：
3 下列说法中，正确的是（ ）
A： 关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B： 两个全等三角形一定关于某条直线对称
C： 面积相等的两个三角形一定关于某条直线对称
D： 周长相等的两个三角形一定关于某条直线对称
∠AMN = 35∘ ∠A = 80∘
4 如图，△AMN与△BMN关于MN所在的直线对称， ， ，则∠BNM的
度数为（ ）
55∘
A：
65∘
B：
75∘
C：
85∘
D：
ABDC l
5 如图，作出四边形 关于直线 的轴对称图形．
15/152-
AB = AC ∠B = 40∘ ∠BAD =
6 如图，在△ABC中， ，D是BC的中点， ，则 （ ）
100∘
A：
80∘
B：
50∘
C：
40∘
D：
AC = CD = BD = BE
7 如图，△ABC中，点D为AB上一点，点E为BC上一点，且 ，
∠A = 60∘ ∠CDE
，则 的度数为（ ）
45∘
A：
50∘
B：
51∘
C：
52∘
D：
8 若等腰三角形的两条边长分别是12和8，则第三条边的长是（ ）
A： 12
B： 8
C： 12或8
D： 无法确定
112∘
9 若等腰三角形一个角为 ，则它的另外两个角为（ ）
34∘ 34∘
A： ，
112∘ 34∘
B： ，
112∘ 68∘
C： ，
16/152-
68∘ 34∘
D： ，
42∘
10 若等腰三角形一个角为 ，则它的另外两个角的度数为（ ）
A： 42°，96°
B： 69°，69°
C： 42°，96°或69°，69°
D： 无法确定
能力提高 / 初一 / 春季
第 12 讲 轴对称初步
课堂落实答案
1 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A： 魅
B： 力
C： 中
D： 国
∠AMN +∠ANM = 90∘
2 如图，四边形ANBM是轴对称图形，直线MN是对称轴．若 ，则
∠AMB +∠ANB =
（ ）
90∘
A：
120∘
B：
150∘
C：
17/152-
180∘
D：
AB = AD = DC ∠B = 80∘ ∠C
3 如图，在△ABC中，点D在BC上， ， ，则 的度数为（ ）
A： 30°
B： 40°
C： 45°
D： 60°
4 若等腰三角形的一边长为7 cm，另一边长为11 cm，则它的周长为________________________．
5 若等腰三角形的一个内角度数为62°，则它的另外两个内角的度数为______________．
能力提高 / 初一 / 春季
第 12 讲 轴对称初步
精选精练
1 下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
18/152-
2 下列说法错误的是（ ）
A： 关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B： 轴对称图形至少有一条对称轴
C： 两个全等三角形一定能关于某条直线对称
D： 角是轴对称的图形
3 如图，在正方形网格上有一个△ABC，A，B，C均为小正方形的顶点．
（1）画△ABC关于直线a的对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求所画出的对称图形的面积．
4 已知等腰三角形的一边长2，周长为8，那么它的腰长为（ ）
A： 2
B： 3
C： 2或3
D： 不能确定
5 等腰三角形的一个外角是100°，则这个等腰三角形的底角为__________．
AB = AC OD⊥AB
6 已知：如图，在等腰△ABC中， ，O是底边BC上的中点， 于点D，
OE⊥AC AD = AE
于点E．求证： ．
19/152-
能力提高 / 初一 / 春季
第 13 讲 简单的轴对称图形
例题练习题答案
例1
AB = 5 AC = 6 BC = 4 AB AC D
(1)如图，在△ABC中， ， ， ，边 的垂直平分线交 于点 ，
则△BDC周长是（ ）
A： 8
B： 9
C： 10
D： 11
∠A = 90∘ ∠ABD = ∠DBC ∠C
(2)如图，在△ABC中， ， ，DE为BC的垂直平分线，则 的
度数为_______．
AB AE = 3cm
练1.1 如图，在△ABC中， 的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E， ，△ADC的周长为
9cm
，则△ABC的周长是（ ）
120/152-
A： 10cm
B： 12cm
C： 15cm
D： 17cm
练1.2 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若
∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为（ ）
A： 25°
B： 45°
C： 50°
D： 70°
例2 如图，直线m表示一条公路，A，B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使其到A，B两所大
学的距离相等，请在图上找出这点P．
练2.1 如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分（要求：尺规
作图，保留作图痕迹，不写作法）．
例3
121/152-
∠AOB PC⊥OA PD⊥OB
(1)如图，OP为 的角平分线， ， ，垂足分别是C，D，则下列结论
错误的是（ ）
PC = PD
A：
∠CPO = ∠DOP
B：
∠CPO = ∠DPO
C：
OC = OD
D：
CD AB BE ∠ABC CD E BC = 5
(2)如图，在△ABC中， 是 边上的高线， 平分 ，交 于点 ， ，
DE = 2
，则△BCE的面积等于（ ）
A： 5
B： 7
C： 10
D： 3
∠C = 90∘ AD ∠BAC BC D AB = 10
练3.1 如图，在Rt△ABC中， ， 平分 ，交 于点 ， ，
S = 15 CD
△ABD ，则 的长为（ ）
A： 3
B： 4
122/152-
C： 5
D： 6
∠AOB ∠AOB
例4 如图，已知 ，求作射线OC，使OC平分 ，那么作法的合理顺序是_______．
①作射线OC；
OD = OE
②在OA和OB上分别截取OD，OE，使 ；
1
DE
③分别以D，E为圆心，以大于 的长为半径作弧，
2
∠AOB
两弧在 内交于C．
练4.1 如图，点C在 ∠AOB 的OB边上，用尺规作 ∠NCB ，使 ∠NCB = ∠AOB ．在作图痕迹中，
⌢
FG
是（ ）
A： 以点C为圆心，以OD的长为半径的弧
B： 以点C为圆心，以DM的长为半径的弧
C： 以点E为圆心，以OD的长为半径的弧
D： 以点E为圆心，以DM的长为半径的弧
12cm2
例5 如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是 ，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为
BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为__________cm．
123/152-
△ ABC AB = 3 AC = 4 BC = 5
练5.1 如图，在 中， ， ， ，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动
△ ABP
点，则 周长的最小值是________．
AB = AC BC = 5 S = 15
练5.2 如图，在△ABC中， ， ， △ABC ，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，
PB +PD
交AC于F，在EF上确定一点P使 最小，则这个最小值为（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
能力提高 / 初一 / 春季
第 13 讲 简单的轴对称图形
自我巩固答案
∠C = 90∘ AC = 3 BC = 4
1 如图，在Rt△ABC中， ， ， ，AB的垂直平分线交BC于点D，连接
AD，则△ACD的周长是（ ）
A： 7
124/152-
B： 8
C： 9
D： 10
BC = 8 cm AB AB D AC E
2 如图，在△ABC中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，△BCE的周
18 cm AC
长等于 ，则 的长等于（ ）
6 cm
A：
8 cm
B：
10 cm
C：
12 cm
D：
3 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若
∠A = 60∘ ∠ACF = 48∘
， ，则∠ABC的度数为（ ）
48∘
A：
36∘
B：
30∘
C：
24∘
D：
4 如图，在△ABC中， ∠C = 90∘ ，DE是AB边的垂直平分线，分别交AB，BC于D，E，
∠CAE = ∠B +30∘ ∠AEC
．求 的度数．
125/152-
∠C = 2∠B
5 如图，在△ABC中， ．
（1）用直尺和圆规在BC上找一点D，使得点D到A，B两点的距离相等．（不写作法，保留作图痕
迹）；
AC = AD
（2）连接点A与所作的点D．求证： ．
6 如图， OP 平分 ∠AOB ， PA⊥OA ， PB⊥OB ，垂足分别为 A 、 B ．下列结论中不一定成立
的是（ ）
PA = PB
A：
PO ∠APB
B： 平分
OA = OB
C：
AB OP
D： 垂直平分
∠C = 90∘ AD ∠BAC BC = 10 BD = 6 D AB
7 如图，在△ABC中， ， 平分 ， ， ，则点 到 的距
离是（ ）
A： 4
126/152-
B： 5
C： 6
D： 7
∠C = 90∘
8 如图，在Rt△ABC中， ，以顶点A为圆心，以适当的长为半径画圆弧，分别交AB，AC
1
DE
于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于 的长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF
2
CG = 3 AB = 10
交边BC于点G．若 ， ，则△ABG的面积是（ ）
A： 3
B： 10
C： 15
D： 30
AB = AC
9 如图，在△ABC中， ，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段
BP +EP
的长度等于 最小值的是（ ）
A： BC
B： CE
C： AD
D： AC
ABC BC AC EF AC
10 如图，等腰三角形 的底边 长为4，面积是16，腰 的垂直平分线 分别交 ，
AB E F D BC M EF
边于 ， 点．若点 为 边的中点，点 为线段 上一动点，则△CDM周长的最小值
127/152-
( )
为
A： 6
B： 8
C： 10
D： 12
能力提高 / 初一 / 春季
第 13 讲 简单的轴对称图形
课堂落实答案
BC = 8 AB AC BC E F
1 如图，在△ABC中， ， ， 的垂直平分线与 分别交于 ， 两点，则△AEF的
周长为（ ）
A： 2
B： 4
C： 8
D： 不能确定
△ ABC ∠C = 90∘ ∠CAE = 50∘ DE⊥AB
2 如图，在 中， ， ，D是AB的中点， 于D，交BC于
∠B
E，则 的度数是（ ）
128/152-
15∘
A：
20∘
B：
25∘
C：
30∘
D：
P ∠BAC AD PE⊥AB E PF⊥AC F
3 如图， 是 的平分线 上一点， 于 ， 于 ，下列结论中不正确
的是（ ）
PE = PF
A：
AE = AF
B：
C： △APE≌△APF
AP = PE +PF
D：
∠C = 90∘ AD ∠CAB BC = 8 cm BD = 5 cm
4 如图，在△ABC中， ， 平分 ， ， ，那么点
D AB
到 的距离是________cm．
5 如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现
有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A：
B：
129/152-
C：
D：
能力提高 / 初一 / 春季
第 13 讲 简单的轴对称图形
精选精练
AE = 4
1 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线， cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长
为________cm．
PM QN AB AC ∠PAQ = 40∘
2 如图，在△ABC中， ， 分别是线段 ， 的垂直平分线，若 ，则
∠BAC
的度数是（ ）
110∘
A：
100∘
B：
120∘
C：
70∘
D：
△ ABC ∠BAC DE⊥AB S = 18 DE = 3
3 如图，AD是 中 的角平分线， 于点E， △ ABC ， ，
AB = 8
，则AC的长是（ ）
130/152-
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
∠A = 90∘ AB = AC ∠ABE
4 如图，在△ABC中， ， ，BD平分 ，DE⊥BC，若△DEC的周长是
BC =
10 cm，则 （ ）
A： 8cm
B： 10cm
C： 11cm
D： 12cm
AC = BD
5 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且 ，若点A
到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ）
A： 750米
B： 1000米
C： 1500米
D： 2000米
131/152-
∠AOB = 40∘
6 如图，点P是∠AOB内任意一点，且 ，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动
点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
140∘
A：
100∘
B：
50∘
C：
40∘
D：
能力提高 / 初一 / 春季
第 14 讲 概率
例题练习题答案
例1 下列事件中，________是必然事件，________是不可能事件，________是随机事件．（填序号）
（1）任意投掷一枚均匀的骰子，向上一面的点数是奇数；
（2）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；
（3）拨打电话给同学时正好遇到忙音；
（4）抛出的篮球会下落；
a2 +b2 = −1
（5） （其中a，b都是有理数）．
练1.1 下列说法错误的是（ ）
A： “小明下周数学考试得99分”是随机事件
B： 不可能事件和必然事件都是确定事件
C： “穿十条马路连遇十次红灯”是不可能事件
D： “太阳东升西落”是必然事件
132/152-
练1.2 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A： 任意买一张电影票，座位号是偶数
B： 打开电视机，正在播放动画片
C： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
D： 三根长度为2cm、3cm、5cm的木棒首尾顺次相接，能组成三角形
1 2 1 1
例2 下列事件：①从装有 个红球和 个黄球的袋子中摸出的 个球是白球；②随意调查 位青年，他接
2 500 1
受过九年制义务教育；③花 元买一张体育彩票，喜中 万大奖；④抛掷 个小石块，石块会下
落．估计这些事件发生的可能性大小，并将它们的序号按可能性从小到大排列：
__________________．
练2.1 某路口的交通信号灯的时间设置为：红灯40秒，黄灯4秒，绿灯60秒．当人或车随意经过这一路
口时，遇到哪种颜色的信号灯的可能性最大？遇到哪种颜色的信号灯的可能性最小？说明理由．
练2.2 如图，一个圆形转盘被等分成八个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4，转盘指针的位置固
定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区
P P P P
域的可能性大小为 (3)，指针指向标有“4”所在区域的可能性大小为 (4)，则 (3)______ (4)
（填“>”或“=”或“<”）．
例3 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，下列说法正确的是（ ）
A： 频率就是概率
B： 频率与试验次数无关
C： 在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得的频率的值也会相同
D： 随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率数值附近
练3.1 在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验时，下列说法正确的是（ ）
A： 随着抛掷的次数增加，“正面朝上”的频率越来越小
B： 不同次数的试验，“正面朝上”的频率可能会不相同
133/152-
1
C： 当抛掷的次数很大时，“正面朝上”的次数一定占总抛掷次数的
2
1
D： 连续抛掷3次，硬币都是正面朝上，则第4次抛出现“正面朝上”的概率小于
2
练3.2 下列说法正确的是（ ）
A： “明天降雨的概率是75%”表示明天有75%的时间都在降雨
1
B： “抛一枚硬币正面朝上的概率为 ”表示每抛2次就有1次正面朝上
2
1
C：
“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是2的概率为 ”表示随着抛掷次数的增加，“抛出
6
1
朝上的点数是2”这一事件发生的频率稳定在 左右
6
D： “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖
例4 图中展示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是
0.616
；
0.618
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估
0.618
计“钉尖向上”的概率是 ；
0.620
③若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是 ．
其中合理的是（ ）
A： ①
B： ②
C： ①②
D： ①③
练4.1 某质检员从一大批种子中抽取若干批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
134/152-
种子粒 50 100 200 500 1000 2000 5000
发芽种子粒数 46 92 185 460 915 1821 4509
0.01
（1）计算各批种子发芽的频率；（精确到 ）
0.1)
（2）估计种子发芽的概率．（精确到
练4.2 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，试验结果统计如下：
移植总
50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
(n)
数
成活数
47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
(m)
成活频
m
( 0.94 0.87 0.923 0.883 0.89 0.915 0.905 0.897 0.902
率
n
)
由此可以估计该种幼树移植成活的概率为（ ）（结果保留小数点后两位）
0.88
A：
0.89
B：
0.90
C：
0.92
D：
例5 检查某产品，合格产品数随抽查的产品总数的变化情况如表：
(n)
抽查产品总数 50 100 200 500 1000
(m)
合格产品数 48 97 193 484 972
合格产品数与
m
( )
抽查产品总数之比
n
（1）求出表中空白处的各频率；
（2）从该产品中任抽取一件，抽到合格产品的概率是多少？
（3）如果任抽取2000件，其中不合格产品约有多少件？
135/152-
练5.1 一个不透明的盒子有n个除颜色外都相同的小球，其中有12个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇
匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳
定在0.3，那么盒子中小球的个数n约为（ ）
A： 20
B： 30
C： 40
D： 50
练5.2 某水果公司以2.2元/千克的成本价购进10000千克苹果．公司想知道苹果的损坏率，从所有苹果中
随机抽取若干进行统计，部分结果如表：
n(kg)
苹果总质量 100 200 300 400 500 1000
m(kg)
损坏苹果质量 10.60 19.42 30.63 39.24 49.54 101.10
m
苹果损坏的频率
n
0.106 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101
（结果保留小数点后三位）
估计这批苹果损坏的概率为______（精确到0.1），据此，若公司希望这批苹果能获得利润23000
元，则销售时（去掉损坏的苹果）售价应至少定为______元/千克．
9 ×9
例6 图中是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有 个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗
地雷，每个方格内最多只能藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如
A A
图所示的情况．我们把与标号3的方格相邻的方格记为 区域（画线部分）， 区域外的部分记为
B A
区域．数字3表示在 区域有3颗地雷．为了最大限度的避开地雷，下一步应该点击的区域是
A B
________．（填“ ”或“ ”）
136/152-
练6.1 图中所示的10张卡片上分别写有11至20十个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽一张，将下列
事件发生的概率填在横线上．
（1）P（抽到数字11）=______；
（2）P（抽到两位数）=______，P（抽到一位数）=______；
（3）P（抽到的数大于10）=______，P（抽到的数大于16）=______，P（抽到的数小于16）
=______；
（4）P（抽到的数是2的倍数）=______，P（抽到的数是3的倍数）=______．
练6.2 小明和小白做游戏，先是各自背着对方在手心写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定：若
两人所写的数字之和是偶数，则小明获胜；若和是奇数，则小白获胜；那么对于这个游戏，下列
说法正确的是（ ）
A： 游戏对小明有利
B： 游戏对小白有利
C： 这是一个公平的游戏
D： 不能判断对谁有利
例7
(1)用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是
108∘
．若宇宙中的一块陨石落在地球上，则它落在陆地上的概率约为（ ）
0.2
A：
0.3
B：
0.4
C：
0.5
D：
(2)如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为（ ）
137/152-
1
A：
9
1
B：
8
1
C：
12
1
D：
6
练7.1 乐乐家附近的商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，AB为转盘直径，如图所示，
并规定：顾客消费50元（含50元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针
正好对准9折、8折、7折区域，顾客就可以获得相应的优惠．某顾客正好消费66元，他转一次转
盘，获得三种打折优惠的概率分别是多少？
练7.2 如图，在 4 ×4 的方格中随机撒一颗大小忽略不计的沙粒，撒到阴影部分的概率是（ ）
7
A：
16
3
B：
8
3
C：
16
1
D：
4
138/152-
能力提高 / 初一 / 春季
第 14 讲 概率
课堂落实答案
1 下列说法正确的是（ ）
A： “通过长期努力学习，你会成为数学家”是必然事件
B： “明年有370天”是不确定事件
C： “掷一次质地均匀的骰子，向上一面的点数是5”是随机事件
D： “通常加热到100℃时，水沸腾”是不可能事件
2 一个布袋里装有2个红球，3个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下
列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A： 摸出的是白球
B： 摸出的是黑球
C： 摸出的是红球
D： 摸出的是绿球
7
3
在相同条件下重复试验，若事件A发生的概率是 ，则下列陈述中，正确的是（ ）
100
7
A：
事件A发生的频率是
100
B： 反复大量做这种试验，事件A只发生了7次
C： 做100次这种试验，事件A一定发生了7次
D： 做100次这种试验，事件A可能发生了7次
4 一个不透明的盒子里有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，摇匀后从中随机摸出一个
球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中100次摸到黑球，则
盒子中的白球大约有多少个？
139/152-
5 一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（ ）
4
A：
15
1
B：
3
1
C：
5
2
D：
15
能力提高 / 初一 / 春季
第 14 讲 概率
自我巩固答案
1 下列事件是确定事件的是（ ）
A： 明天一定是晴天
B： 走到路口正好遇到绿灯
C： 射击运动员射击一次，命中6环以上
D： 早上的太阳从西方升起
2 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A： 水涨船高
B： 守株待兔
C： 水中捞月
D： 缘木求鱼
3 小红任意买一张电影票，则下列情况中可能性最大的是 ( )
140/152-
A： 座位号是奇数
B： 座位号是1，11，21
C： 座位号是10的倍数
D： 座位号是8
4 下列说法正确的是（ ）
A： 商场举行抽奖促销活动，抽到一等奖的概率为0.1，若抽了9次都没有抽到一等奖，那么再抽
一次肯定抽到一等奖
4
B：
某次投篮活动中，张明同学投篮5次，投中4次，那么他投篮命中的概率为
5
C： 随机事件发生的概率大于等于0，小于等于1
0.5
D： “抛一枚正方体骰子，面朝上的数为奇数的概率是 ”表示如果抛这枚骰子很多很多次，那
么平均每2次就有1次面朝上的数为奇数
5 下列说法中，正确的是（ ）
A： 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
0.5
B： 随机事件发生的概率为
C： 概率很小的事件不可能发生
D： 不可能事件发生的概率为0
6 为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将6个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后
0.6
放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现白球出现的频率稳定在 附近，那么暗箱
里白球的个数约为（ ）
A： 15
B： 10
C： 9
D： 4
7 一个不透明的盒子里装有仅颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的
球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸
141/152-
到白色球”的频率折线统计图．
0.01
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近______（精确到 ），假如你摸一次，你摸
到白球的概率为______；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
3
(3)
在（2）的条件下，如果要使摸到白球的概率为 ，需要往盒子里再放入多少个白球？
5
8 以下说法合理的是（ ）
2
A：
小明做了3次掷图钉的试验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
3
B： 某彩票的中奖概率是1%，那么买1张一定不会中奖
1
C： 某运动员射击一次，只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
2
D： 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，由此频率表可知：这名球员投篮一次，投中的
0.6
概率约是
n
投篮次数 100 150 300 500 800 1000
m
投中次数 58 96 174 302 484 601
m/n
投中频率 0.580 0.640 0.580 0.604 0.605 0.601
9 在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外全部相同，其中有4个黄
球，6个蓝球．若随机摸出一个球是蓝球的概率是摸出其他颜色球概率的一半，则随机摸出一个球
是红球的概率为（ ）
2
A：
5
142/152-
1
B：
3
5
C：
12
4
D：
9
10 若小明将飞镖投中如图所示的正方形木板，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）
1
A：
6
1
B：
8
1
C：
9
5
D：
18
能力提高 / 初一 / 春季
第 14 讲 概率
精选精练
1 下列事件是随机事件的是（ ）
360∘
A： 画一个三角形，其内角和是
B： 将油滴在水中，油会浮在水面上
a2 = b2 a = b
C： 如果 ，那么
D： 367人中至少有两人生日相同
2 如图，转盘被划分成六个大小相同的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在
每个扇形的可能性相等．四名同学各自发表了下述见解：
甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形．
乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形．
143/152-
丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等．
丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会
加大．
( )
上述见解中，你认为正确的有
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
3 小明准备用6个球设计一个摸球游戏，下面四个方案中，不能实现的是（ ）
1 1
A： P（摸到白球） = ，P（摸到黑球） =
2 2
1 1 1
B： = = =
P（摸到白球） ，P（摸到黑球） ，P（摸到红球）
2 3 6
2 1
C： = = =
P（摸到白球） ，P（摸到黑球） P（摸到红球）
3 3
1
D：
摸到白球、黑球、红球的概率都是
3
10
4 某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物 元以上就能获得一次转动转盘的机
会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数
据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数m 79 121 162 392 653 794
m
落在“铅笔”的频率 0.78 0.82 0.79
n
144/152-
0.01
(1)计算并完成表格；（精确到 ）
n 0.1
(2)请估计，当 很大时，频率将会接近______；（精确到 ）
0.1
(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是______；（精确到 ）
1∘
(4)在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少？（精确到 ）
5 一个不透明的口袋里只放有3个红球和5个绿球，每个球除颜色外都相同．小明和小乐做摸球游
戏，每次摸球前都将袋中的球充分搅匀，从中任意摸出一个球，记录颜色后再放回，若是摸出红
球则小明得3分，若是摸出绿球则小乐得2分．游戏结束时得分多者获胜．
（1）你认为这个游戏对双方公平吗？
（2）若你认为公平，请说明理由；若你认为不公平，也请说明理由，并修改规则，使该游戏对双
方公平．
6
(1)如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完
全相同，那么它最终停留在阴影区域的概率是（ ）
2
A：
3
3
B：
4
4
C：
5
5
D：
6
(2)图中是由边长分别为2a和a的两个正方形组成的图形，闭上眼睛，用针随意扎这个图形，小孔
出现在阴影部分的概率是________．
145/152-
能力提高 / 初一 / 春季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 下列运算正确的是（ ）
a2 ⋅a3=a5
A：
a2 +a2=a4
B：
a3 ÷a=a3
C：
4
(a2) =a6
D：
2 下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
3 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A： 4，5，9
B： 8，8，15
C： 5，5，10
D： 6，7，14
146/152-
4 下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A： 一锐角对应相等
B： 两锐角对应相等
C： 一条边对应相等
D： 两条直角边对应相等
△ ABC ∠B = 32∘ ∠BAC
5 如图，在 中， ， 的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则
∠C
的度数为（ ）
90∘
A：
84∘
B：
64∘
C：
58∘
D：
m+n=2 mn=−2 (1 −m)(1 −n)
6 已知 ， ，则 的值为（ ）
−1
A：
B： 1
−3
C：
D： 5
l l ∠1 = 30∘ ∠2 +∠3 =( )
7 如图，直线 1∥ 2， ，则
150∘
A：
180∘
B：
147/152-
210∘
C：
240∘
D：
8 在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一
1
个，摸到红球的概率是 ，则n的值为（ ）
5
A： 3
B： 5
C： 8
D： 10
x y y x ( )
9 正方形的边长为3，如果边长增加 ，那么面积增加 ，则 与 之间的函数表达式是
y = 3x
A：
y = (3 +x)2
B：
y = 9 +6x
C：
y = x2 +6x
D：
1 1
10 ∠A = 60∘ ∠ABO = ∠ABC ∠ACO = ∠ACB ∠BOC =
如图， ， ， ，则 （ ）
3 3
120∘
A：
110∘
B：
100∘
C：
90∘
D：
a−b=5 ab = −4 a2 +b2=
11 已知 ， ，则 ____．
∠1 = 50∘ ∠2 =
12 将一长方形纸片如图所示的方式折叠后，再展开，若 ，则 __________．
148/152-
△ ABC AE = 3cm △ ABD
13 如图，在 中，DE是AC的垂直平分线， ， 的周长为13cm，则
△ ABC
的周长是__________cm．
14 如图，有一小球在如图所示的地板上面自由滚动，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率为
__________．
15 已知等腰三角形的两边长分别为6 cm和8 cm，则它的第三边长度为___________．
AD △ ABC ∠B = 30∘ ∠DAE = 65∘ ∠ACD
16 如图， 是 的外角平分线， ， ，则 等于_____
度．
FE // ON ∠FEO = 28∘ ∠MFE =
17 如图， ，OE平分∠MON， ，则 ________度．
Rt △ ABC
18 如图，在 中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点
1
MN
M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边
2
CD = 4 AB = 15 △ ABD
BC于点D，若 ， ，则 的面积是___．
149/152-
(2a+b)2 −4(a+b)(a−b)−b(3a+5b) a = −1 b = 2
19 先化简，再求值： ，其中 ， ．
20 如图表示一辆汽车在行驶途中的速度v（千米/时）随时间t（分）的变化示意图．
(1)从点A到点B、点E到点F、点G到点H分别表明汽车在什么状态？
(2)汽车在点A的速度是多少？在点C呢？
(3)司机在第28分钟开始匀速先行驶了4分钟，之后立即以减速行驶2分钟停止，请你在本图中补
上从28分钟以后汽车速度与行驶时间的关系图．
21 为了传承优秀传统文化，我市组织了一次七年级1200名学生参加的“汉字听写”大赛，为了更好
地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩（满分50分），整理得到如下的
统计图表：
组别 成绩分组 频数 频率
35 ≤ x < 38 0.08
A 8
38 ≤ x < 41 0.07
B a
41 ≤ x < 44 0.20
C 20
44 ≤ x < 47 0.35
D 35
47 ≤ x ≤ 50
E 30 b
请根据所提供的信息解答下列问题：
150/152-
a= b =
（1）频率统计表中 ____， _____；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中D组的圆心角是_____度；
（4）请根据抽样统计结果，估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人？
AB = CD AB // CD BE = FD △ ABF △ CDE
22 已知，如图， ， ， ，问 与 全等吗？
∠DCE=90∘ CD=CE AD⊥AC BE⊥AC
23 已知：如图， ， ， 于A， 于B．求证：
AB +AD=BE
．
∠ABC = 56∘ ∠ACB = 44∘
24 如图，在△ABC中， ， ，AD是BC边上的高，AE是△ABC的角平分
线，你能求出∠DAE的度数吗？请试一试！
25 如图所示，已知△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求
证：△ADE是等边三角形．
151/152-
∣a b∣ ∣3xy −2x2 −5xy +x2 ∣
26 ∣ ∣ = a−b+c−3d ∣ ∣ x = 2
若规定 ，计算： 的值，其中 ，
∣c d∣ ∣ −2x2 −3 −7 +4xy ∣
y = −1
．
PM +MN +NQ
27 如图，已知∠AOB内有两点P、Q，在OA、OB上各找一点M、N，使得 最
小．
152/152
