文档内容
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能力提高 / 初一 / 寒假
第 1 讲 幂运算
例题练习题答案
例1 计算：
1 1
( )5 ( )2
（1） × = ________；
2 2
（2）a⋅a2⋅a5 = _______；
7 6
（3）11 ×(−11) = _______；
（4）(x−y)2⋅(y−x)6 = ________．
练1.1 计算：
5 11
（1）m⋅m ⋅m ；
3 3 5
（2）(−2) ×(−2) ×(−2) ；
（3）(−2)5×26
；
6 3
（4）(m−n) ⋅(n−m) ．
例2 已知3m×33m = 312 ，则m = _________．
练2.1 m 2m+1 25
已知a ⋅a 等于a ，则m = _________．
例3 计算：
( )5
（1）
32
；
[ ]3
（2）
(2x+y)3
；
[ ]4
9
（3） (−b) ．
练3.1 计算：
(
3
)8
（1） 2 ；
1/60-
[ ]7
（2）
(m+3n)3
；
[ ]3
（3）
(−a)3
．
例4 ( )4
6 2
计算：a ⋅ a = （ ）
A： a12
B： 36
a
C： a14
D： 48
a
练4.1 计算：
( )2
（1）
x2 ⋅x2
；
[ ]2 ( )3
（2） (−x)3 ⋅ x2 ．
例5 计算：
3
（1）(3mn) ；
( )2
（2）− 2xy3 ；
1
( )2
（3） − ab2 ；
2
[
2
]3
（4） −3(a+b) ．
练5.1 计算：
2
( )2
（1） xy ；
3
(
2
)3
（2） −2a ；
(
4
)4
（3）− −2ab ；
[ ]4
（4）
−2(x+y)3
．
2/60-
例6 计算：
10 2 17 5
（1）a ÷a ； （2）n ÷n ；
（3）(−a)2017÷a2016
；
（4）(x−3y)7÷(3y−x)4
．
练6.1 下列计算正确的是（ ）
A： 3
a ÷a = 3
B： b6÷b3 = b2
C： 8 7
(−1.5) ÷(−1.5) = −1.5
D： 8 7
−1.5 ÷(−1.5) = −1.5
练6.2 计算：
（1）−b2020÷(−b)2018
；
11 4
（2）(2a−b) ÷(b−2a) ．
能力提高 / 初一 / 寒假
第 1 讲 幂运算
自我巩固答案
1 下面的计算不正确的是（ ）
A： 5a3−a3 = 4a3
B： m n m+n
2 ⋅3 = 6
C： m n m+n
2 ⋅2 = 2
( )
D： −a2⋅ −a3 = a5
2 3 5
计算a ⋅(−a) 的结果等于（ ）
A： −a15
3/60-
B： 8
−a
C： a15
D： 8
a
3 下列计算结果正确的是（ ）
A： x2+x3 = x5
B： (
3
)3
6
x = x
C： x⋅x2 = x2
D： 2 3
x⋅(−2x) = 4x
4 下列计算结果是1012
的是（ ）
( )3 ( )7 ( )6
2 3 2 2 6
A． 10 B． 10 C． 10 D．10 ⋅10
5 (−2xy)4
的计算结果是（ ）
A： 4 4
−2x y
B： 8x4y4
C： 4 4
16x y
D： 4
16xy
6 计算：
(
3
)2
（1） −a ；
(
2
)n
（2） a ．
7 ( )2
x2⋅ x3
的计算结果是（ ）
A： 7
x
B： x8
4/60-
C： 10
x
D： x9
8 计算：
( )3
（1）x⋅ x4 ；
( )n
3 2
（2）a ⋅ a ．
9 下列运算正确的是（ ）
A： x2⋅x3 = x6
B： 3 2
x ÷x = x
C： x6÷x3 = x2
D： (
3
)2
5
x = x
10 计算：
（1）315÷313
；
14 2
（2）−y ÷y ；
（3）(n−m)9÷(m−n)4
．
能力提高 / 初一 / 寒假
第 1 讲 幂运算
课堂落实答案
1 下列计算正确的是（ ）
A： 5 5 5
t ⋅t = 2t
B： 4 2 6
t +t = t
C： t3⋅t4 = t12
5/60-
D： 2 3 5
t ⋅t = t
2 (
n
)3
计算： x =__________．
3 下列计算正确的是（ ）
A： a2⋅a3 = a6
B： 2 2 4
a +a = a
C： (
−a3
)2
= a6
D： (
a2b
)2
= a4b
4 在下列计算中，正确的是（ ）
A： (
2
)3
6
ab = ab
B： (3xy)3 = 9x3y3
C： (
−2a2
)2
= −4a4
D： 2 2
(−2z) = 4z
5 6 4
计算x ÷(−x) 的结果等于__________．
能力提高 / 初一 / 寒假
第 1 讲 幂运算
精选精练
1 若2x+y−2 = 0，则22x⋅2y = _________．
2 3 m−1 2 m−2 3 m−3
计算：x ⋅x +x ⋅x −3x ⋅x ．
3 计算：
6/60-
( )2
（1）
6xm+1
；
( )3
（2）
−xn+2
．
4 计算：
( )4
2 5
（1） −x y ；
[
3
]7
（2） −(x−y) ．
5 已知4×82n−1 = 217 ，则n = _______．
6 4m+3n 2n+8m 8
已知4 ÷(−2) = 2 ，则n = _______．
能力提高 / 初一 / 寒假
第 2 讲 整式的乘除
例题练习题答案
例1 计算：
1
( )
2 2 2
（1）ab⋅ −2a b ； （2）xy ⋅ x yz；
2
1
( )
( )
2 2
（3） a b ⋅ −2abc ．
4
练1.1 计算：
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
（1） −2x y ⋅3xy ； （2） −3a bc ⋅ −ab ；
( )
（3）3a3c3⋅ −2ab2
．
例2 计算：
1
( )
（1）6ab 2a2b− ab2 ； （2）(−2ab)⋅(9ab−3a+6b)．
3
7/60-
练2.1 计算：
1
（1） x(x−2y+1)； （2）(−4m)⋅(2m+3n)．
2
例3 计算：
（1）(x−1)(x−2) ； （2）(3x+2)(2x−1)；
（3）(x−4y)(x−3y)； （4）(2m−n)(3m−4n)．
练3.1 计算：
（1）(m+3)(m−2)； （2）(2m+3)(3m−2)；
（3）(4y−1)(5−y)； （4）(x+3y)(3y−x)．
例4 下列计算正确的是（ ）
( )
A： −2a2b3c ÷(−2ab) = ab2
B： ( 2 )
3x y−6xy ÷6xy = 0.5x
C： ( 21x5y2−9x4y3 ) ÷3x3y2 = 7x2−3xy
( )
D： 3x2y+xy ÷xy = 3x
练4.1 3
( )
2 2
计算 − x y z ÷(−3xy)的结果是（ ）
4
A： 1
xy
4
B： 9
xy
4
C： 1
xyz
4
D： 1
2
x z
4
8/60-
练4.2 ( 3 2 2 2 )
计算： 9x y −6x y+3xy ÷(−3xy)
能力提高 / 初一 / 寒假
第 2 讲 整式的乘除
自我巩固答案
1 计算 ( −3x2 ) ⋅2x3 的结果是( )
A： 6
−5x
B： −6x6
C： 5
−5x
D： 5
−6x
2 4 3
( )
2 3
计算 x y ⋅ − x 的结果是（ ）
3 2
A： 3 3
−x y
B： x3y3
C： 3 3
−2x y
D： 3
−2x
3 计算(−2x+1) ( −3x2 ) 的结果是（ ）
A： 3
6x +1
B： 6x3−3
C： 3 2
6x −3x
D： 3 2
6x +3x
9/60-
4 1
( )
3
计算6mn ⋅ 3− mn 的结果是（ ）
4
A： 3
2 4 3
18m n − mn
2
B： 3
18m2n4+ mn3
2
C： 3
3 2 4
18mn − m n
2
D： 3
18mn3+ m2n4
2
5 计算：
1 1
( )
2 4
（1） x(4x−2y) （2）−6mn ⋅ −2+ mn
2 3
6 下列算式计算结果为x2−4x−12的是（
）
A： (x+2)(x−6)
B： (x−2)(x+6)
C： (x+3)(x−4)
D： (x−3)(x+4)
7 2
若(x+2)(x−1) = x +mx+n，则m+n = （ ）
A： 1
B： −2
C： −1
D： 2
8 计算：
10/60-
7 2
( )
2
（1） mn mn+n
2 7
( ) ( )
（2） −x3y2 ⋅ −2xy−3x2y2
（3）(3x+5)(2x−3)
( )
2
（4）(3x−2) x −5x
9 计算4x3yz÷2xy的结果是（
）
A： 2xyz
B： 1
xyz
2
C： 2
2x z
D： 1
2
x z
2
10 ( 3 2 2 3 )
计算： 4a b−6a b +12ab ÷(−2ab)．
能力提高 / 初一 / 寒假
第 2 讲 整式的乘除
课堂落实答案
1 2 ( 3 )
计算：3x ⋅ −2xy = ___________．
2 计算：2m2n⋅ ( m2+n−1 ) = ________________．
3 计算(n+5)(n−1)的结果是（ ）
A： 2
n −5
B： 2n+4
11/60-
C： 2
n +6n−5
D： n2+4n−5
4 6 2
计算x ÷(−5x )的结果是（ ）
A： −5x4
B： 1
− x4
5
C： 1
3
− x
5
D： 5x3
5 计算(6xy−8y)÷(−2y)的结果是（ ）
A： 3x−4
B： −3x+4
C： 6xy+4y
D： −3x−8y
能力提高 / 初一 / 寒假
第 2 讲 整式的乘除
精选精练
1 2
若(x−m)(x+1) = x −x−m，且x ≠ 0，则m = ________．
2 计算： ( 2x2−3xy+4y2 ) ⋅(−xy) = _________________．
3 计算图中阴影部分的面积．
12/60-
4 计算：
( ) ( )
2 2
（1）(x+2) 4x +x−1 ； （2） 3x −2x+1 (2x−5)．
5 2 2
已知多项式x −mx+n与x−2的乘积中不含x 项和x项，试求m和n的值，并求这两个多项式的乘
积．
6 计算：
( ) ( )
(1) 9m2+6m3n−12m4 ÷ −3m2 ；
(2)(
3 2 2 2
)
10m n−m n +5mn −5mn ÷5mn．
能力提高 / 初一 / 寒假
第 3 讲 乘法公式
例题练习题答案
例1 计算：
（1）(−1−2x)(2x−1)；
1 1
( )( )
（2） 2x− − −2x ．
5 5
练1.1 计算：
1 1
( )( )
（1） 1+ a −1+ a ； （2）(−y−2x)(2x−y)．
5 5
13/60-
例2 如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a > b），把剩下的部分拼成一个梯
形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的公式是（ ）
A： a2+b2 = (a+b)(a−b)
B： 2 2
a −b = (a+b)(a−b)
C： 2 2 2
(a+b) = a +2ab+b
D： (a−b)2 = a2−2ab+b2
练2.1 在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a > b）．把余下的部分剪拼成一个矩形（如
图）．通过计算图形中阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A： 2 2
a −b = (a+b)(a−b)
B： (a+b)2 = a2+2ab+b2
C： 2
a −ab = a(a−b)
D： 2 2 2
(a−b) = a −2ab+b
例3 计算：
（1）(3a+b)2
；
（2）(x−2y)2
；
2 2
（3）(−3+2a) ； （4）(−y−2x) ．
练3.1 计算：
1 1
( )2 ( )2
（1） x+ y ； （2） x−y ；
2 3
2 2
（3）(−2x+5y) ； （4）(−4x−3y) ．
14/60-
例4 2
计算：(2a+1) −(2a+5)(2a−5)．
练4.1 计算：(x+2)2−(x+1)(x−1)．
能力提高 / 初一 / 寒假
第 3 讲 乘法公式
自我巩固答案
1 计算(1+2c)(1−2c)的结果是（ ）
A： 2
4c −1
B： 1−4c2
C： 2
4c −4c+1
D： 2
1+4c+4c
2 下列算式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A： (2a+b)(2b−a)
B： 1 1
( )( )
x+1 − x−1
2 2
C： (3x−y)(−3x+y)
D： (−m−n)(−m+n)
3 下列运算中，正确的是（ ）
A： 2 2
(−a−2b)(a+2b) = a −4b
B： (−a+2b)(a−2b) = −a2−2b2
C： 2 2
(a+2b)(a−2b) = −a −2b
15/60-
D： 2 2
(−a−2b)(−a+2b) = a −4b
4 如图，在边长为a的正方形的右下角，剪去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个平行
四边形，这一过程可以验证一个关于a，b的等式，则这个等式是（ ）
A： 2 2 2
(a−b) = a −2ab+b
B： a2+ab = a(a+b)
C： 2 2 2
(a+b) = a +2ab+b
D： 2 2
a −b = (a+b)(a−b)
5 计算：
1 1
( )( )
（1） − x+4 − x−4 ； （2）(−x−5y)(−5y+x)．
3 3
6 下列计算中，正确的是（ ）
A： 2 2 2
(a+b) = a +b
B： 1 1
( )2
2
a− = a −a+
2 4
C： 2 2 2
(a−b) = a +2ab−b
D： 2 2 2
(2a+b) = 2a +2ab+b
7 计算：
1
( )2
（1）(2a+3b)2 ； （2） 2x− y ．
5
8 计算：
16/60-
1 1
( )2
2
（1）(−5+3a) ； （2） − x− y ．
2 3
9 计算：(2x−1)2−(2x+3)(2x−3)．
10 2
计算：4(a−b) −(2a+b)(−b+2a)．
能力提高 / 初一 / 寒假
第 3 讲 乘法公式
课堂落实答案
1 计算：(a+7)(a−7)=__________．
2 运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A： (a+b)(a−b) = a2−b2
B： 2
(x+1)(x−1) = x −1
C： 2 2
(−a+b)(−a−b) = a −b
D： (2x+1)(2x−1) = 2x2−1
3 下列能用平方差公式计算的式子是（ ）
A： (a−b)(b−a)
B： (−x+1)(x−1)
C： (−a−1)(a+1)
D： (−x−y)(−x+y)
4 2
计算(a−2) 的结果是（ ）
A： a2−4
17/60-
B： 2
a −2a+4
C： a2−4a+4
D： 2
a +4
5 下列变形中，错误的是（ ）
①(b−4c)2 = b2−16c2 ；
2 2 2 2
②(a−2bc) = a +4abc+4b c ；
2 2 2
③(x+y) = x +xy+y ；
④(4m−n)2 = 16m2−8mn+n2 ．
A： ①②③
B： ①②④
C： ①③④
D： ②③④
能力提高 / 初一 / 寒假
第 3 讲 乘法公式
精选精练
1 2 2
( )( )
计算： − m+n − m−n = ____________．
3 3
2 下列选项中，利用平方差公式变形错误的是（ ）
A： (2x+4)(2x−4) = 4x2−16
B： ( 2 )( 2 ) 4 2 2
ab+c c −ab = c −a b
C： 2
(2a−6)(2a+6) = 2a −36
18/60-
D： ( 2 )( 2 ) 4
4x −5 5+4x = 16x −25
3 计算 ( x4+1 )( x2+1 ) (x+1)(x−1)的结果是（ ）
A： 8
x +1
B： x8−1
C： 8
(x+1)
D： 8
(x−1)
4 计算：
（1）(−xyz−2)2
；
（2）(3x+2y+4)2
．
5 计算：
2 2 2
（1）99.8 −0.2 ； （2）501 ．
6 计算：(x−y+9)(x+y−9) = ____________．
能力提高 / 初一 / 寒假
第 4 讲 相交线
例题练习题答案
例1 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A：
B：
19/60-
C：
D：
练1.1 如图，∠1和∠2是对顶角的图形有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
例2 如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOD = 120∘，则∠AOC = ________．
练2.1 如图，直线AB，DC交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD = 80∘，则∠COM的度数为（ ）
A： 30∘
B： 40∘
C： 50∘
D： 60∘
20/60-
例3
(1)如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC = 50∘，OE⊥AB，则∠DOE的度数为（ ）
A： 40∘
B： 50∘
C： 70∘
D： 90∘
(2)如图，EO⊥CD，垂足为点O，OA平分∠EOD，则∠BOD的度数为________．
练3.1 如图，AO⊥OB，垂足为O，∠AOC = 120∘，射线OD平分∠AOB，则∠COD的度数是________．
例4
(1)某地计划在河的两岸搭建一座桥，在如图所示的搭建方式中，最短的是______，理由是
____________；
(2)如图，AD⊥BC，ED⊥AB，表示点D到直线AB距离的是（ ）
21/60-
A： 线段AD的长度
B： 线段AE的长度
C： 线段BE的长度
D： 线段DE的长度
练4.1 如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P → C路线，用几何知
识解释其道理正确的是（ ）
A： 两点确定一条直线
B： 垂线段最短
C： 两点之间线段最短
D： 经过一点有无数条直线
练4.2 点P为直线m外一点，点P到直线m上的点A的距离为PA = 3cm，则点P到直线m的距离为（ ）
A： 3cm
B： 小于3cm
C： 大于3cm
D： 不大于3cm
22/60-
例5 如图，下列说法错误的是（ ）
A： ∠A与∠C是同旁内角
B： ∠1与∠3是同位角
C： ∠2与∠3是内错角
D： ∠3与∠B是同旁内角
练5.1 下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A：
B：
C：
D：
练5.2 如图，∠1和∠2是内错角的是（ ）
A：
B：
23/60-
C：
D：
例6 如图，选项中与∠4是同旁内角的是（ ）
A： ∠1
B： ∠2
C： ∠3
D： ∠5
练6.1 如图，∠A的内错角是（ ）
A： ∠1
B： ∠2
C： ∠3
D： ∠4
练6.2 如图，用数字表示的各角中，∠1的同位角为（ ）
24/60-
A： ∠2
B： ∠3
C： ∠4
D： ∠5
能力提高 / 初一 / 寒假
第 4 讲 相交线
自我巩固答案
1 下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（ ）
A：
B：
C：
D：
2 下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
25/60-
A：
B：
C：
D：
3 如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB = 50∘，则∠BOD的度数是（ ）
A： 50°
B： 60°
C： 80°
D： 70°
4 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠BOE = 36∘，则∠AOC的度数为（ ）
A： 36°
B： 60°
C： 72°
D： 80°
26/60-
5 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM = 35 ∘ ，则∠CON的
度数为（ ）
A： 35∘
B： ∘
45
C： ∘
55
D： 65∘
6 如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列语句
不正确的是（ ）
A： 线段PB的长是点P到直线a的距离
B： PA，PB，PC三条线段中，PB最短
C： 线段AC的长是点A到直线PC的距离
D： 线段PC的长是点C到直线PA的距离
7 如图所示，与∠1是同旁内角的是（ ）
A： ∠2
B： ∠3
27/60-
C： ∠4
D： ∠5
8 如图，AB，AF被BC所截，则∠2的同位角是（ ）
A： ∠1和∠3
B： ∠3
C： ∠3和∠4
D： ∠4和∠1
9 如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是（ ）
A： 同位角
B： 内错角
C： 对顶角
D： 同旁内角
10 如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（ ）
A： ∠1与∠4是同位角
B： ∠2与∠3是内错角
C： ∠3与∠4是同旁内角
D： ∠2与∠4是同旁内角
28/60-
能力提高 / 初一 / 寒假
第 4 讲 相交线
课堂落实答案
1 如图，直线AB，CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，若∠1等于40∘，则∠2等于（ ）
A： 50∘
B： 60∘
C： 70∘
D： 80∘
2 如图，自来水公司为某小区A改造供水系统，沿路线AO铺设管道和主管道BO衔接（AO⊥BO），
采用这种方法铺设管道的路线最短，工程造价最低，根据是________________．
3 如图，三条直线相交于点O．若∠BOC = 90 ∘ ，∠1 = 56 ∘ ，则∠2等于（ ）
A： 30∘
B： ∘
34
C： 45∘
29/60-
D： ∘
56
4 下列四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A：
B：
C：
D：
5 如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（ ）
A： ∠1与∠2是邻补角
B： ∠1与∠3是对顶角
C： ∠2与∠4是同位角
D： ∠3与∠4是内错角
能力提高 / 初一 / 寒假
30/60-
第 4 讲 相交线
精选精练
1 如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1+∠2 = 100 ∘ ，则∠BOC等于（ ）
A： 130°
B： 140°
C： 150°
D： 160°
2 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE平分∠AOC，若∠BOD = 68 ∘ ，则∠BOE等于（ ）
A： 34∘
B： 112∘
C： 146∘
D： 148∘
3 如图，能表示点到直线的距离的线段共有（ ）
A： 2条
31/60-
B： 3条
C： 4条
D： 5条
4 如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A： ∠1与∠A是同旁内角
B： ∠3与∠4是内错角
C： ∠5与∠6是同旁内角
D： ∠2与∠5是同位角
5 如图所示，图中能与∠C构成同旁内角的角有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
6 如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．
32/60-
能力提高 / 初一 / 寒假
第 5 讲 平行线的判定
例题练习题答案
例1 下列说法正确的是（ ）
A： 不相交的两条线段平行
B： 不相交的两条射线平行
C： 不相交的两条直线平行
D： 同一平面内，不相交的两条直线平行
练1.1 如图，若AB∥CD，CD∥EF，则AB与EF的位置关系是（ ）
A： 平行
B： 延长后才平行
C： 垂直
D： 无法确定
练1.2 若AB//CD，AB//EF，则________//________，理由是________．
例2 如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：
①∠1 = ∠2；
②∠3 = ∠6；
③∠4+∠7 = 180∘；
33/60-
④∠5+∠3 = 180∘；
⑤∠6 = ∠8．
其中能判断a//b的是_________（填序号）．
练2.1 如图所示，不能得出a//b的是（ ）
A： ∠1 = ∠2
B： ∠2 = ∠3
C： ∠1 = ∠3
D： ∠1+∠4 = 180∘
练2.2 如图，能判断AB//CD的条件是（ ）
A： ∠A = ∠DCE
B： ∠A = ∠ACD
C： ∠B = ∠ACB
34/60-
D： ∠B = ∠ACD
例3 如图，E，F分别在AB，CD上，∠1 = ∠D，∠2+∠C = 90∘，EC⊥AF．
求证：AB//CD．
证明：∵EC⊥AF（已知），
∴∠CHF = 90∘（ ），
∴∠1+∠C = 90∘（三角形的内角和为180°），
∵∠2+∠C = 90∘（ ），
∴∠1 = ∠2（ ），
又∵∠1 = ∠D（ ），
∴∠2 = ∠D（ ），
∴AB//CD（ ）．
练3.1 如图，AE，DE分别平分∠DAB与∠ADC，且∠1+∠2 = 90∘．
求证：AB∥DC．
证明：
∵AE，DE分别平分∠DAB与∠ADC（已知），
∴∠DAB = 2∠2，∠ADC = 2∠1（ ），
∵∠1+∠2 = 90∘（ ），
∴2∠1+2∠2 = 180∘（ ），
∴∠ADC+______ = ______（ ），
∴AB∥DC（ ）．
练3.2 按要求完成下列证明：
已知：如图，在 △ ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2 = 90∘．
35/60-
求证：DE//BC．
证明：∵CD⊥AB（ ），
∴∠1+∠EDC = 90∘（ ），
∵∠1+∠2 = 90∘（已知），
∴∠EDC = ∠2（ ），
∴DE//BC（ ）．
例4 如图，∠1和∠D互余，CF⊥DF．AB与CD平行吗？为什么？
练4.1 如图，AC⊥BC，∠A = 35∘，∠BCD = 55∘．试说明：AB//CD．
练4.2 如图，CE⊥DG，垂足为C，∠BAF = 50∘，∠ACE = 140∘．CD与AB平行吗？为什么？
能力提高 / 初一 / 寒假
36/60-
第 5 讲 平行线的判定
自我巩固答案
1 下列说法中错误的个数为（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种；
④不相交的两条直线叫做平行线．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 0
2 如果a//b，b//c，那么a//c，这个推理的依据是（ ）
A： 等量代换
B： 平行线的定义
C： 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D： 平行于同一直线的两直线平行
3 如图，若∠A+∠CBA = 180∘，则下列关系正确的是（ ）
A： AB∥DC
B： AD∥BC
C： ∠A = ∠C
D： ∠A+∠D = 180∘
37/60-
4 如图，已知∠2 = 100∘，要使AB//CD，则需要具备的另一个条件是（ ）
A： ∠1 = 100∘
B： ∠3 = 80∘
C： ∠4 = 80∘
D： ∠4 = 100∘
5 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a//b的是（ ）
A： ∠2 = ∠5
B： ∠1 = ∠3
C： ∠5 = ∠4
D： ∠1+∠5 = 180∘
6 如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角
∠ABC = 150∘，∠BCD = 30∘，则（ ）
A： AB//BC
B： BC//CD
C： AB//DC
38/60-
D： AB与CD相交
7 如图，AB∥CD，如果∠1 = ∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由．
解：因为∠1 = ∠2，
根据__________________________，
所以________∥________．
又因为AB∥CD，
根据________________________________，
所以EF∥AB．
8 在下列括号内，填上推理的根据．
已知：如图，∠1 = 110∘，∠2 = 70∘，求证：a∥b．
证明：
∵∠1 = 110∘（已知），
∠3 = ∠1（________________），
∴∠3 = 110∘（_______________），
又∵∠2 = 70∘（__________），
∴∠2+∠3 = 180∘，
∴a∥b（______________________________）．
39/60-
9 如图，∠1 = 30∘，∠B = 60∘，AB⊥AC．AD与BC平行吗？AB与CD平行吗？
10 如图，AB⊥BC，∠1+∠2 = 90∘，∠2 = ∠3．BE与DF平行吗？为什么？
能力提高 / 初一 / 寒假
第 5 讲 平行线的判定
课堂落实答案
1 下列说法正确的是（ ）
A： 同位角相等
B： 互补的角是邻补角
C： 相等的角是对顶角
D： 在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
2 如图，在四边形ABCD中，若∠1 = ∠2，则AD∥BC，理由是（ ）
A： 两直线平行，内错角相等
B： 同旁内角互补，两直线平行
40/60-
C： 内错角相等，两直线平行
D： 同位角相等，两直线平行
3 如图，写出下列判定平行的理由．
（1）∵∠ACE = ∠D，∴CE∥DF，理由：__________________________；
（2）∵∠ACE = ∠FEC，∴AC∥EF，理由：__________________________；
（3）∵∠BFD+∠FOC = 180∘，∴OC∥DF，理由：__________________________．
4 如图，填推理过程的理由．
已知：∠1+∠2 = 180∘，求证：a∥b．
证明：∵∠1 = ∠3 （ ），
∠1+∠2 = 180∘（ ），
∴∠3+∠2 = 180∘（ ），
∴a∥b（ ）．
5 如图，已知：∠1 = 120∘，∠2 = 120∘，求证：AB∥CD．
证明：∵∠1 = 120∘，∠2 = 120∘，
∴∠1 = _____（ ），
∵∠3 = ∠2（ ），
∴∠1 = _____（ ），
41/60-
∴AB∥CD（ ）．
能力提高 / 初一 / 寒假
第 5 讲 平行线的判定
精选精练
1 对于同一平面内的三条直线a，b，c，下列说法中不正确的是（ ）
A： 若a//b，b//c，则 a//c
B： 若a⊥b，a⊥c，则 b⊥c
C： 若a//b，a⊥c，则 b⊥c
D： 若a⊥b，a⊥c，则 b//c
2 如图，有下列条件：①∠1 = ∠2；②∠3 = ∠4；③∠3+∠4 = 180∘；④∠1+∠2 = 180∘；⑤
∠1+∠2 = 90∘；⑥∠3+∠4 = 90∘；⑦∠1 = ∠4．其中能判断直线l //l 的条件有（ ）
1 2
A： ②④
B： ①②⑦
C： ③④
D： ②③⑥
3 在同一平面内有2017条直线a ，a ，…，a ，如果a ⊥a ，a //a ，a ⊥a ，a //a ，…，那
1 2 2017 1 2 2 3 3 4 4 5
么a 与a 的位置关系是__________．
1 2017
4 如图，可以推断AB∥CD的是（ ）
42/60-
A： ∠2 = ∠3
B： ∠1 = ∠4
C： ∠BCD = ∠BAD
D： ∠B+∠4+∠5 = 180∘
5 如图，在 △ ABC中，∠B = ∠ACB，点D、F分别在BC、AC的延长线上，CD平分∠ECF，求证：
AB//CE．
6 某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是
（ ）
A： 第一次左拐30∘，第二次右拐30∘
B： 第一次右拐50∘，第二次左拐130∘
C： 第一次右拐50∘，第二次右拐130∘
D： 第一次向左拐50∘，第二次向左拐130∘
能力提高 / 初一 / 寒假
第 6 讲 平行线的性质
43/60-
例题练习题答案
例1 AB∥CD，∠BEF = 70∘，下列结论正确的是（ ）
A： ∠EFC = 110∘
B： ∠EFD = 110∘
C： ∠EFD = 70∘
D： ∠CFN = 70∘
练1.1 如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF = 140∘，则∠A等于（ ）
A： 35°
B： 45°
C： 40°
D： 50°
练1.2 如图，AB∥CD，∠1 = 50∘，则∠2的度数是（ ）
A： 50°
B： 100°
C： 130°
44/60-
D： 140°
例2 补全解答过程：
已知：如图，直线AB//CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点G，H；GM平分∠FGB，∠3 = 60∘
．求∠1的度数．
解：∵EF与CD交于点H（已知），
∴∠3 = ∠4（________________），
∵∠3 = 60∘（______），
∴∠4 = 60∘（___________），
∵AB//CD（已知），
∴∠4+∠FGB = 180∘（______________________），
∴∠FGB = ______°，
∵GM平分∠FGB（已知），
∴∠1 = ______°（___________________）．
练2.1 已知AB//CD，EF交AB于E，交CD于F，∠AEF = 68∘，FG平分∠EFD，KF⊥FG，求∠KFC的度
数．
解：∵AB//CD（_____），
∴∠EFD = ∠AEF（___________________________），
∵∠AEF = 68∘（已知），
∴∠EFD = ∠AEF = 68∘（____________________），
∵FG平分∠EFD（已知），
45/60-
1
∴∠EFG = ∠GFD = ∠EFD = 34∘（____________________），
2
又∵KF⊥FG，
∴∠KFG = 90∘（____________________），
∴∠KFC = 180∘ −∠GFD−∠KFG = ______°．
例3 如图，AB//CD，∠BEC的平分线EF交CD于点F，若∠MEB = 52∘，求∠EFC的度数．
练3.1 如图，已知AB∥CD，EF分别交CD，AB于点C，G，∠FCD = 110∘，求∠AGF的度数．
练3.2 已知：如图，CD平分∠ACB，DE//BC，∠AED = 80∘，求∠EDC的度数．
例4 已知∠1与∠2，利用尺规作图，比较它们的大小．
练4.1 如图，以点B为顶点，射线BA为一边，在∠ABC外作一个角，使它等于∠ABC．
46/60-
练4.2 如图，已知∠α，∠β，求作一个角，使它等于∠α与∠β的和．
能力提高 / 初一 / 寒假
第 6 讲 平行线的性质
自我巩固答案
1 如图，点B，C，D在同一直线上，AB//CE，若∠A = 55∘，∠ACB = 65∘，则∠1的度数为
（ ）
A： 80∘
B： 65∘
C： 60∘
D： 55∘
2 如图，直线a，b被直线c所截，若a//b，则下列说法不正确的是（ ）
A： ∠1 = ∠2
47/60-
B： ∠2 = ∠4
C： ∠1 = ∠4
D： ∠1 = ∠5
3 如图，点B，C，D在同一条直线上，∠A = ∠B，如果CE//AB，那么∠ACE = ∠DCE．补全下列
的推理过程：
∵ CE//AB（已知），
∴ ∠DCE = _______（__________________________），
∠ACE = _______（__________________________），
∵ ∠A = ∠B（已知），
∴ ∠ACE = ∠DCE（_________________）．
4 如图，完成证明．
已知：AC∥BD，BE平分∠ABD，求证：∠ABE = ∠AEB．
证明：∵AC//BD（已知），
∴∠AEB = _______（_______________________________），
∵BE平分∠ABD（________），
∴∠ABE = _______（_______________________），
∴∠ABE = ∠AEB（________________________）．
5 如图，已知AB//DC，BE平分∠ABD，DF平分∠BDC．说明∠1 = ∠2的理由．
48/60-
证明：∵AB∥DC（_______），
∴∠ABD = ∠CDB（______________________________），
∵BE平分∠ABD（已知），
1
∴∠1 = ∠ABD（___________________________），
2
1
同理∠2 = ∠BDC，
2
∴∠1 = ∠2（___________________）．
6 如图，直线AB//CD，MN⊥CE于M点，若∠MNC = 60∘，求∠EMB的度数．
7 如图，已知AD//BC，∠B = 25∘，DB平分∠ADE，求∠DEC的度数．
8 如图，AB//CD，点E在AB上，EF平分∠BED，∠FEG = 102∘，∠D = 62∘，求∠AEG的度数．
9 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，下列叙述正确的有（ ）
①OA = O ′ A ′ ，②OC = O ′ C ′ ，③CD = C ′ D ′ ，④∠AOB = ∠A ′ O ′ B ′ ．
49/60-
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
10 如图，已知∠AOB，∠EO ′ F，利用尺规作图，比较它们的大小．
能力提高 / 初一 / 寒假
第 6 讲 平行线的性质
课堂落实答案
1 下列图形中，能由AB∥CD得到∠1 = ∠2的是（ ）
A：
B：
C：
D：
50/60-
2 如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC = 50∘，则∠C的度数是（ ）
A： 20°
B： 25°
C： 30°
D： 50°
3 如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A = 150∘，则∠1 = _____°．
4 如图，已知直线EF与AB，CD都相交，AB∥CD．
求证：∠1 = ∠2．
证明：∵EF与AB相交（已知），
∴∠1 = ____（_____________），
∵AB∥CD（已知），
∴∠2 = ______（_____________________________），
∴∠1 = ∠2（______________）．
5 ⌢
如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠NCB = ∠AOB，作图痕迹中，FG是（ ）
51/60-
A： 以点C为圆心，OD为半径的弧
B： 以点C为圆心，DM为半径的弧
C： 以点E为圆心，OD为半径的弧
D： 以点E为圆心，DM为半径的弧
能力提高 / 初一 / 寒假
第 6 讲 平行线的性质
精选精练
1 如图，将一块含有30∘角的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1 = 48∘，那么∠2的度数是
（ ）
A： 48∘
B： 78∘
C： 92∘
D： 102∘
2 将两张长方形纸片按如图所示的方式摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长
方形纸片的一条边上，则∠1+∠2 = ______°．
52/60-
3 将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1 = 40∘，则∠2的度数是（ ）
A： 40∘
B： 50∘
C： 60∘
D： 70∘
4 根据解答过程填空：
如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1 = 54∘，求∠2的度数．
解：∵AB∥CD，∠1 = 54∘（已知），
∴∠1 = ∠ABC = 54∘（_____________________________），
又∵BC平分∠ABD（已知），
∴∠ABC = ________ = 54∘（_________________________），
∴∠DBE = 180∘ −∠ABC−∠CBD = 180∘ −54∘ −54 = 72∘，
又∵AB∥CD（已知），
∴_________ = __________（_________________________），
∵∠DBE = 72∘，
∴∠2 = 72∘（_____________）．
53/60-
5 如图，BF∥CD，AB⊥BE，∠BEC的角平分线EA与BF交于A，AC平分∠EAF，求∠ACE的度数．
6 如图，以点B为顶点，射线BC为一边，利用尺规作∠CBE，使得∠CBE = ∠A．
能力提高 / 初一 / 寒假
第 7 讲 阶段自检
期末试卷答案
1 计算a2⋅a3
，正确的结果是（ ）
A： 5
a
B： a6
C： 8
a
D： a9
2 下列运算正确的是（ ）
A： 6 2 3
m ÷m = m
B： 2 2 2
3m −2m = m
C： ( 2 )3 6
3m = 9m
54/60-
D： 1
2 2
m⋅2m = m
2
3 若点P为直线l外一定点，点A为直线l上一定点，且PA = 2，点P到直线l的距离为d，则d的取值范
围为（ ）
A： 0 < d < 2
B： d = 2或d > 2
C： 0 < d < 2或d = 0
D： 0 < d < 2或d = 2
4 下列说法中，正确的是（ ）
A： 有公共顶点的两个角是对顶角
B： 相等的角是对顶角
C： 有公共顶点和一条公共边，并且大小互补的两个角是邻补角
D： 两条直线相交形成的四个角，任取其中两个，其关系不是对顶角就是邻补角
5 下列计算正确的是（ ）
A： 2a3+3a3 = 5a6
B： (
x5
)3
= x8
C： 2
−2m(m−3) = −2m −6m
D： 2
(−3a−2)(−3a+2) = 9a −4
6 如右图，下列说法错误的是（ ）
①∠1与∠3是对顶角
②∠1与∠4是内错角
③∠1与∠2是同旁内角
55/60-
④∠3与∠4是同位角
A： ①
B： ②
C： ③
D： ④
7 如果一个角的补角是120∘，那么这个角的余角是（ ）
A： 150∘
B： 90∘
C： 60∘
D： 30∘
8 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A： (a−2b)(2b+a)
B： (2a−3b)(3b−2a)
C： (a+3b)(a−3b)
D： (−2a+3b)(−2a−3b)
9 如图，∠1 = 65∘，CD//EB，则∠B的度数为（ ）
A： 115∘
B： 110∘
C： 105∘
D： 65∘
56/60-
10 如图，下列条件中，不能判断直线l //l 的是（ ）
1 2
A： ∠1 = ∠3
B： ∠2 = ∠3
C： ∠4 = ∠5
D： ∠2+∠4 = 180∘
11 计算： ( −5a4 ) ⋅ ( −8ab2 ) = ______________．
12 如图，直线AB、CD、EF交于点O，则∠1+∠2+∠3 = ________．
13 化简：(2a−b)(a−3b) = __________．
14 如图，两直线a、b被第三条直线c所截，若∠1 = 50∘，∠2 = 130∘，则直线a、b的位置关系是
________．
15 如图，直线AB与CD相交于E点，EF⊥AB，垂足为E，∠1 = 125∘，则∠2的度数是________°．
57/60-
16 如图，AB//CD，AF交CD于E，∠CEF = 140∘，那么∠A = ________．
17 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据甲、乙两个图形的面积关系能得到的数学
公式是____________________．
18 如 图 ， 给 出 下 列 四 个 条 件 ： ① AC = BD； ② ∠DAC = ∠BCA； ③ ∠ABD = ∠CDB； ④
∠ADB = ∠CBD，其中能使AD//BC的条件是_____________．
19 计算：
1
( )
2 3 4
（1）10x yz ⋅ − xy
2
2 1
( )
（2） ab2−2ab ⋅ ab
3 2
(
6
)2 (
4
)3
（3）2 y − y
（4）(x+y)(−y+x)
58/60-
20 如图，如果∠1与∠2互补，且∠1 = 112∘，那么∠3，∠4的度数是多少？
21 如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOB = 90∘，OC平分∠AOF，∠AOF = 40∘，求∠EOD的度
数．
22 计算：
2
（1）(2x−3y)
（2）(−2a−3b)(−2a+3b)
23 如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1 = ∠2．求证：BE∥CF．
证：∵AB⊥BC，BC⊥CD （已知）
∴_____ = ______ = 90∘（垂直定义）
∵∠1 = ∠2（已知）
∴∠ABC−∠1 = ∠BCD−∠2，即∠EBC = ∠BCF
∴______∥______．（_____________________________）
24 先化简，再求值：(x+2)(x−2)−x(x−1)，其中x = −2．
25 如图，直线AB//CD，BC平分∠ABD，∠1 = 54∘，求∠2的度数．
59/60-
26 已知am = 2，an = 4，求①am+n 的值；②a4m−2n 的值．
27 计算：
2 2
（1）102 （2）98
60/60
