文档内容
专题18.1 平行四边形（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】平行四边形
1 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
2.符号表示：平行四边形用符号“▱”表示.平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边
形ABCD”
3.基本元素：邻边：AD和AB，BC和DC，AD和DC，AB和BC
对边：AB和DC，AD和BC.
邻角：∠BAD和∠ADC，∠BAD和∠ABC，∠ABC和∠BCD，∠ADC和∠BCD.
对角：∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC
对角线：AC和BD
特别提醒：平行四边形的表示一般按一定的方向（顺时针或逆时针）依次书写各顶点.
【知识点二】平行四边形的性质定理
性质 符号语言
边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD
角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC
对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形
1 1
∴OA=OC= AC,OB=OD= BD
2 2
特别提醒：
1. 平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形
如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB.
2. 平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形.如图S = S = S = S , △ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO
△ABO △BCO △CDO △ADO
【知识点三】平行线间距离
1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.
2.性质
（1）两条平行线间的距离处处相等.
如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线 b于点C,D，所以AC//BD,又
a//b，即两条平行线间的距离处处相等.
（2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD.
特别提醒：
平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈.
【知识点四】平行四边形的判定定理
判定定理 符号表示
边 两组对边分别相等的四边形式平行四边形 ∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AD=BC,AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC,
∴四边形ABCD是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO,BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形
特别提醒：1. 若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的
交点.
2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分.
【知识点五】平行四边形的对称性
平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点
【考点目录】
【平行四边形的性质】
【考点1】利用平行四边形的性质求值；
【考点2】利用平行四边形的性质证明；
【平行线间的距离】
【考点3】利用平行线间距离相等进行证明和求值
【平行四边形的判定】
【考点4】利用平行四边形的判定证明和求值；
【平行四边形的性质与判定】
【考点5】利用平行四边形性质与判定求值；
【考点6】利用平行四边形的性质与判定证明；
【平行四边形的性质与判定的应用】
【考点7】利用平行四边形的性质与判定的应用.
【平行四边形的性质】
【考点1】利用平行四边形的性质求值；
【例1】（2024下·全国·八年级随堂练习）如图，在四边形ABCD中，AD BC，AD=5cm，BC=9cm．
M是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．
（1）试说明△PCM≌△QDM．
（2）当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．
【答案】（1）证明见分析；（2）PC=2，理由见分析．
【分析】（1）要证明△PCM≌△QDM，可以根据ASA．利用∠QDM=∠PCM，DM=CM，∠DMQ=∠CMP即可得出；
（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．
解：（1）∵AD BC，
∴∠QDM=∠PCM．
∵M是CD的中点，
∴DM=CM，
∵∠DMQ=∠CMP，
在△PCM和△QDM中，
∵ ，
∴△PCM≌△QDM（ASA）．
（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，
∵BC﹣CP=AD+QD，
∴9﹣CP=5+CP，
∴CP=（9﹣5）÷2=2．
∴当PC=2时，四边形ABPQ是平行四边形．
【点拨】本题中和考查全等三角形、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解
题的关键．
【变式1】（2024上·山东泰安·八年级统考期末）如图，在平行四边形 中， ，
． 平分 ，交边 于点 ，连接 ，若 ，则 的长为（ ）
A．10 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的
性质、勾股定理等知识．由平行四边形的性质可得 ， ， ，由平行线的性质可得 ，由角平分线的定义可得 ，从而得到 ，推出
， ，过点 作 于点 ，由直角三角形的性质和勾股定理可得 ，
， ，即可得到答案．
解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
如图，过点 作 于点 ，
，
则 ，
，
，
， ，
，
故选：C．
【变式2】（2024下·八年级单元测试）如图，平行四边形 ，点F是 上的一点，连接
平分 ，交 于点E，且点E是 的中点，连接 ，已知 ，
则 ．【答案】4
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合
运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．
延长 交于点 ，判定 ，即可得出 ，再根据三线合一即可
得到 即可解答．
解：如图，延长 交于点 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵平行四边形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ 中， ，
故答案为： ．【考点2】利用平行四边形的性质证明；
【例2】（2024下·全国·八年级专题练习）如图，在口ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，
△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.
（1）求证：△ABF≌△EDA；
（2）延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC．
分析：（1）证明AB=DE，FB=AD，∠ABF=∠ADE即可解决问题；（2）只要证明FB⊥AD即可解决问题.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC，
∵BC=BF，CD=DE，
∴BF=AD，AB=DE，
∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°，∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°，∠EDC=∠CBF，
∴∠ADE=∠ABF，
在△ABF与△EDA中，
∵AB＝DE，∠ABF＝∠ADE，BF=AD
∴△ABF≌△EDA．
（2）证明：延长FB交AD于H．∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∵△ABF≌△EDA，
∴∠EAD=∠AFB，
∵∠EAD+∠FAH=90°，
∴∠FAH+∠AFB=90°，
∴∠AHF=90°，即FB⊥AD，
∵AD∥BC，
∴FB⊥BC．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键
是正确寻找全等三角形全等的条件，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
【变式1】（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图，在 中，对角线 与 相交于点
O，则下列结论错误的是（ ）
A． 和 平行且相等 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键．平行四边形
的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．
根据平行四边形的性质解答即可．
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ 和 平行且相等， ， ，故A，B，C正确；∵ 与 不一定相等，故C错误． 故选C．
【变式2】（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）如图， 的对角线 ， 相交于点O，点
E，F在 上，添加一个条件使 ，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定．由平行四边形的性质得到 ，又
，结合三角形全等的判定方法即可解答．
解：添加条件： ．
理由：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ．
故答案为： （答案不唯一）
【平行线间的距离】
【考点3】利用平行线间距离相等进行证明和求值
【例3】（2023下·吉林四平·八年级四平市第三中学校校考期中）【教材呈现】如图是华师八年级
下册数学教材第75页的部分内容．
如图在方格纸上画出两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另外一条直
线的垂线，用刻度尺量出平行线之间这些垂线的长度．
你能发现什么结论？试用平行四边形的性质定理加以说明．
经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等，由此我们得到平行线的又一性质：平行线间的距离
处处相等．两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另外一条直线的距离，叫做两条平行线的距离．
请根据教材提示，写出证明“平行线之间的距离处处相等”的完整过程
已知：如图①，直线 ， 、 是直线 上的两点， 于点 ， 于点 ，求证：
【结论应用】在四边形 中， ，对角线 、 交于点 ．
（1）如图②，过点 作 交 于点 ，连结 、 ．则 与 之间的数量关系是
________．
（2）如图③，若 ， ， ，则 的面积为________．
【答案】[教材呈现]见分析；[结论应用]（1） ；（2）
【分析】[教材呈现] 由 于点 ， 于点 得 ，则 ， 、 是直线 上的两
点得 ，则四边形 是平行四边形，所以 ；
[结论应用]（1）由 ， ，得 ，根据“等底等高的三角形的面积相等”这一
规律可证明 ，则 ，同理可证明 ，所以
，即可证明 ；
（2）作 于点 ， 于点 ，则 ，根据两条平行线之间的距离处处相等求
得 的长，再根据勾股定理求出 的长，即可求出 的面积．
解：[教材呈现]证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ；
[结论应用]（1）∵ ， ，
∴ ，
设直线 与 的距离为 ，直线 与 的距离为 ，直线 之间的距离为 ，
∵ ∴ ，
∵
∴ ，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴ ，
故答案为： ．
（2）如图③，作 于点 ， 于点 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴
故答案为： ．
【点拨】此题考查平行四边形的判定与性质、两条平行线之间的距离处处相等、等腰三角形的性质、
勾股定理的应用、根据面积等式列方程求线段的长度等知识与方法，正确理解和运用等底等高的三角形的
面积相等这一规律是解题的关键．
【变式1】（2024下·全国·八年级专题练习）如图，已知 ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F
在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形△，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C【分析】想办法证明S ＝S ＋S ＝S ，再由EF∥AC，可得S ＝S 解决问题.
阴 ADE DEC AEC AEC ACF
△ △ △ △ △
解：
连接AF、EC．
∵BC＝4CF，S ＝12，
ABC
△
∴S ＝ ×12＝4，
ACF
△
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥AC，
∴S ＝S ，
DEB DEC
△ △
∴S ＝S ＋S ＝S ，
阴 ADE DEC AEC
△ △ △
∵EF∥AC，
∴S ＝S ＝4，
AEC ACF
△ △
∴S ＝4．
阴
故选C．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高
模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【变式2】（2018下·江苏·八年级校考期末）如图，在 中， 、 分别是 、 边上的
点， 与 交于点 ， 与 交于点 ，若 ， ，则图中阴影部分的面积
为 ．
【答案】50
【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S EFC=S BCF，S EFD=S ADF，所以
△ △ △ △S EFQ=S BCQ，S EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S APD+S BQC．
△ △ △ △ △
解：如图，连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S EFC=S BCF，
△ △
∴S EFC－S QFC =S BCF－S QFC，
△ △ △ △
即S EFQ=S BCQ，
△ △
同理：S EFD=S ADF，
△ △
∴S EFP=S APD，
△ △
∵S APD=20cm2，S BQC=30cm2，
△ △
∴S EPFQ= S APD + S BQC =50cm2，
四边形
△ △
故答案为：50．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．
【平行四边形的判定】
【考点4】利用平行四边形的判定证明和求值；
【例4】（2012上·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标
分别是O（0，0），A（-3，0），B（0，2），求平行四边形第四个顶点C的坐标．
【答案】顶点C坐标为（3，2）或（-3，2）或（-3，-2）．
【分析】先由点的坐标求出求出线段OA，OB的长度，再分情况进行求解，即可解得C点的坐标为（3，2）或（-3，2）或（-3，-2）．
解：设C点的坐标为（x，y），
∵BOAC时平行四边形，
①当BC=AO时，
∵O（0，0），A（-3，0），B（0，2）
∴AO=3，∴BC=3，
∴C点坐标为C（3，2）或C（-3，2）
②BO=AC时，
∵BO=2，∴AC=2，
∴C点坐标为C（-3，-2）．
则C点的坐标为（3，2）或（-3，2）或（-3，-2）．
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，点的坐标与图形的性质．解答本题关键要注意分两种情况
进行求解，不能忽略任何一种可能的情况，同学们一定要注意这一点．
【变式1】（2024上·吉林长春·八年级校考期末）如图，在 中，E，F是对角线 上不同的
两点，下列条件中，不能得出四边形 一定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可．
解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
；
，，
，
又 ，
四边形 是平行四边形．故A正确；
四边形 是平行四边形，
，
，
又 ，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形．故B正确；
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形．故D正确；
C选项中由 ，不能得出 ，故C不能判断四边形 是平行四边形．
故选：C
【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行
四边形的性质和判定方法．
【变式2】（2024·全国·八年级假期作业）在四边形 中, , 为两条对角线,若 ,
,则在下列结论中,不正确的是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行四边形的性质及判定．通过证明 ,根据 得到 ,根据已知条件 即可判定三角形全等,继而根据全等三角形
性质得出结论．
解：∵ ,
∴ ,
在 和 中,
,
∴ ,
∴ ,故 正确；
∴ ,故 正确；
∴ ,故 错误；
∴四边形 是平行四边形, ,故 正确．
故答案为: ．
【平行四边形的性质与判定】
【考点5】利用平行四边形性质与判定求值；
【例5】（2024下·全国·八年级假期作业）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线
AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．【答案】（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，∠DAE＝∠AEB，利用AE平分∠BAD，推出
∠BAE＝∠AEB，得到BE=AB，即可得到结论；
（2）根据BE＝AB，BF平分∠ABE，得到AF＝EF，证明△ADF≌△ECF，推出DF＝CF，即可得到结
论．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB＝CD
∴∠DAE＝∠AEB
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠DAE
∴∠BAE＝∠AEB
∴BE＝AB
∴BE=CD
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE
∴AF＝EF
在△ADF和△ECF中
∴△ADF≌△ECF
∴DF＝CF
又∵AF＝EF
∴四边形ACED是平行四边形．
【点拨】此题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，
熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
【变式1】（2024上·山东烟台·八年级统考期末）已知直角坐标系内有四个点 ， ，
， ，若以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的 ， 的值可以是
（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
【答案】D
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是运用平行四边形对角线互相平分列方程组
解决问题．
分别在平面直角坐标系中确定出A、B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可
确定C的位置，从而求出m，n的值．
解：根据题意画图如下：
∵ ， ， ， ，
∴分3种情况：
①以 、 为对角线，则 、 的中点重合，
∴ ，解得 ，
∴ ；
②以 、 为对角线，则 、 的中点重合，
∴ ，解得 ，
∴ ，
③以 、 为对角线，则 、 的中点重合，
∴ ，解得 ，∴ ，
综上所述，点C的坐标可以为 或 或 ，
则符合条件的m，n的值可以是2，2，
故选：D．
【变式2】（2024上·江苏泰州·八年级统考期末）如图，四边形 中， ， 于
点 ，在 右侧的平面内有一点 的面积是 ，当 的最小值是 时，
那么 ．
【答案】9
【分析】设 的 上的高为 ，先证明点 在平行于 ，且到 边的距离等于 的直线
上，延长 交 于点 ，并在射线 上取 ，连接 交直线 于点 ，连接 ，过点
作 于 ，求得点 、 关于直线 对称时， ，再证四边形 是平
行四边形，得 ， ，最后利用勾股定理即可得解．
解：设 的 上的高为 ，
∵ 的面积是 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴点 在平行于 ，且到 边的距离等于 的直线 上，
延长 交 于点 ，并在射线 上取 ，连接 交直线 于点 ，连接 ，
过点 作 于 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点 、 关于直线 对称，
∵当 的最小值是 ，
∴点 、 关于直线 对称时 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点拨】此题主要考查平行四边的判定及性质，勾股定理，轴对称的判定及性质，线段最短以及平行
线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解．
【考点6】利用平行四边形的性质与判定证明；
【例6】（2024上·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，在 中，点 ， 分
别在 ， 上， ， 分别交 ， 于点 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；（2）已知 ，连接 ，若 平分 ，求 的长．
【答案】（1）证明见分析；（2） ．
【分析】（ ）由平行线四边形 的性质可以得出 ， ，再利用线段和差证明
，即可得出结论；
（ ）由（ ）得： ， ，再由平行线的性质得 ，然后证
，则可由 求解；
本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平
行线的判定与性质是解题的关键．
解：（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵ 平分 ，
∴ ，
由（ ）得：四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，
G、H是对角线BD上的两点，且BG=DH．则下列结论中不正确的是（ ）A． B．四边形EGFH是平行四边形
C． D．
【答案】D
【分析】连接EF交BD于O，易证四边形EGFH是平行四边形，然后证明是否得出选项．
解：连接EF交BD于点O，
在平行四边形ABCD中，AD=BC，∠EDH=∠FBG，
∵E、F分别是AD、BC边的中点，
∴DE=BF= BC，∠EDO=∠FBO，∠DOE=∠BOF，
∴ EDO≌ FBO，
∴△EO=FO，△DO=BO，
∵BG=DH，
∴OH=OG，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴GF=EH，EG=HF，故选项A、B、C正确；
∵∠EHG不一定等于90°，
∴EH⊥BD不正确，故选项D不正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边
形的判定与性质，证明 EDO≌ FBO是解题的关键．
【变式2】（2024△·全国·八△年级竞赛）如图，在等腰梯形 中，AB平行CD，对角线 于
点O， ，则 ．【答案】
【分析】作 于点E， 交DC延长线于点F，，从而构建了平行四边形 ，则把
转化到 边上，利用等腰直角三角形的判定与性质求出 ，由勾股定理求出
的长，从而 ，然后求出 ， 的值即可求解．
解：如图，作 于点E， 交 延长线于点F，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是等腰梯形，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 、 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得：，
∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∵ 与 等高，
∴ ．
【点拨】本题考查的是等腰题型的性质、等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，
勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．
【平行四边形的性质与判定的应用】
【考点7】利用平行四边形的性质与判定的应用.
【例7】（2021上·辽宁大连·八年级统考期中）如图，四边形 中， ， ，过
点 作 ，垂足为 ，且 ．连接 ，交 于点 ．
（1）探究 与 的数量关系，并证明；
（2）探究线段 ， ， 的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由见分析；（2）AF=EF+CE，理由见分析．
【分析】（1）设∠CAE= ，先证∠EAB=∠EBA=45°，再证∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2 ，最后
由∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE得出结论；
（2）延长DC交AE延长线于G，连接BG，先证 CEA≌△GEB，再证四边形ABGD是平行四边形，最
后根据平行四边形的性质解答即可． △
解：（1）∠DAE+∠CAE=90°，
理由：设∠CAE= ，
∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB=45°+ ，
∵AC=AD，
∴∠DCA=∠ADC=45°+ ，
∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2 ，
∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2 + + =90°；
（2）AF=EF+CE，
理由：延长DC交AE延长线于G，连接BG，
∵CD∥AB，
∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°，
∴CE=EG，AE=BE，
又∵∠CEA=∠GEB=90°，
∴△CEA≌△GEB，
∴AC=GB=AD，∠ACE=∠BGE，
∴∠CAE=∠GBE，
∵∠GEB=90°，
∴∠AGB+∠GBE=90°，
∵由（1）知∠DAE+∠CAE=90°，
∴∠DAE=∠AGB，
∴AD∥BG，
∵DG∥AB，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴AF=GF，
∵GF=EF+GE=EF+CE，
∴AF=EF+CE．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，正确
作出辅助线是解题的关键．
【变式1】（2023上·八年级课时练习）有一条以互相平行的直线 为岸的河流，其两侧有村庄
和村庄 ，现在要在河上建一座桥梁 （桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来
看，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称确定最短路线，即可得到答案．
解：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄 作河岸的垂线并且等于河的宽度，
然后与村庄 连接与河岸 相交于一点 ，
过点 作 与 相交于点 ，
连接 ，则 即为最短路径，
如图 所示，
故选：D．
【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，利用的原理为平行四边形的对边相等，难度较大．【变式2】（2023·甘肃陇南·统考二模）如图，四边形 是平行四边形，以点B为圆心， 的
长为半径作弧交 于点E，分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线
交 的延长线于点F， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】连接 交 于G，连接 ．根据平行四边形的性质，平行线的性质确定 ，
根据题目中作图过程确定 是 的平分线，根据等角对等边和等价代换思想确定 ，根据菱
形的判定定理和性质确定 ， ，根据角平分线的定义， 所对的直角边是斜边的一半，
勾股定理求出 的长度，进而即可求出 的长度．
解：如图所示，连接 交 于G，连接 ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ．
∴ ．
∵以点B为圆心， 的长为半径作弧交 于点 ，
∴ ．
根据作图过程可知 是 的平分线．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．∴四边形 是平行四边形．
∴平行四边形 是菱形．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查平行四边形的判定定理和性质，平行线的性质，角平分线作图，等角对等边，菱形
的判定定理和性质，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．
