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专题 18.2 中位线定理与几何综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
◆ 知识点总
结
一、三角形的中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
◆ 典例分析
【典例1】知识回顾：（1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，如图1，点D，E分别为边
AB，AC的中点，则线段DE称为ΔABC的中位线，则DE与BC的位置关系是 ；DE与BC的数量关
系是 ．
方法探究：（2）请将图2中的三角形通过剪切拼接成一个与之面积相等的平行四边形，若要求只有一条剪
切线，请画出剪切线及剪拼成的平行四边形，并说明拼接方法．
问题解决：（3）如图3，有一块空地和水井E，李大爷计划利用该空地和水井修建一片菜地ABCD，其中
点E为BC的中点，AD∥BC，AB=40m，CD=30m，∠A+∠D=240°．为灌溉方便，李大爷想在水
井E处修建一条水渠EF(EF为线段，且F在AD上），且水渠两边的菜地面积相等，已知修建该水渠的费
用为60元/m，请你帮助李大爷计算修建这条水渠EF所需的总费用．【思路点拨】
（1）根据三角形中位线定理即可求解；
（2）取AB的中点D，AC的中点E，连接DE，延长DE至F，使DE=EF，由三角形中位线定理可得
1
DE∥BC，DE= BC，AE=CE，于是可通过SAS证明ΔADE≅ΔCFE，得到S =S ，进而得
2 ΔADE ΔCFE
到S =S ，由对边平行且相等的四边形为平行四边可得四边形BCFD为平行四边形，以此即可
ΔABC 四边形BCFD
求解；
（3）取AD的中点F，连接EF，作FM∥AB交BC于点M，FN∥CD交BC于点N，过点N作
NO⊥FM于点O，过点E作EP⊥FM于点P，由梯形的面积公式可知S =S ，易得四边形
梯形ABEF 梯形CDFE
ABMF，四边形CDFN为平行四边形，得到AB=FM=40m，CD=FN=30m，由四边形内角和为360°
得∠B+∠C=120°，由平行线的性质得FMN+∠FNM=120°，再根据三角形内角和定理得
1
∠MFN=60°，由含30°的直角三角形性质得OF= FN=15(m)，ON=❑√3OF=15❑√3(m)，则
2
1 15❑√3
OM=FM−OF=25(m)，易得PE为ΔMON的中位线，则PE= ON= (m)，
2 2
1 25 55
OP=PM= OM= (m)，进而求得FP=OF+OP= (m)，再利用勾股定理求出EF的长，进一步算
2 2 2
出总费用即可求解．
【解题过程】
解：（1）∵点D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE为ΔABC的中位线，
1
∴DE∥BC，DE= BC；
2
1
故答案为：DE∥BC ，DE= BC；
2
（2）如图，取AB的中点D，AC的中点E，连接DE，延长DE至F，使DE=EF，∵点D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE为ΔABC的中位线，
1
∴DE∥BC，DE= BC，AE=CE，
2
在ΔADE和ΔCFE中，
{
AE=CE
)
∠AED=∠CEF ，
DE=EF
∴ΔADE≅ΔCFE(SAS)，
∴S =S ，
ΔADE ΔCFE
∴S =S +S =S +S =S ，
ΔABC 四边形DBCE ΔADE 四边形DBCE ΔCFE 四边形BCFD
∵DE=EF，
∴DF=BC，
∵DF∥BC，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴取AB的中点D，AC的中点E，以DE为剪切线将三角形ABC裁剪，将ΔADE绕点E顺时针旋转至点A
与点C重合，则四边形BCFD为拼成的平行四边形；
（3）取AD的中点F，连接EF，作FM∥AB交BC于点M，FN∥CD交BC于点N，过点N作
NO⊥FM于点O，过点E作EP⊥FM于点P，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为梯形，
由梯形的面积公式可知，S =S ，
梯形ABEF 梯形CDFE
∵FM∥AB，FN∥CD，
∴四边形ABMF，四边形CDFN为平行四边形，∴AB=FM=40m，CD=FN=30m，
∵∠A+∠D=240°，
∴∠B+∠C=120°，
∵FM∥AB，FN∥CD，
∴∠FMN=∠B，∠FNM=∠C，
∴∠FMN+∠FNM=∠B+∠C=120°，
∴∠MFN=180°−(∠FMN+∠FNM)=180°−120°=60°，
∵NO⊥FM，∠MFN=60°，
∴∠FNO=30°，
1
∴OF= FN=15(m)，ON=❑√3OF=15❑√3(m)，
2
∴OM=FM−OF=40−15=25(m)，
∵NO⊥FM，EP⊥FM，
∴PE∥ON，
∵点E为BC的中点，
∴PE为ΔMON的中位线，
1 15❑√3 1 25
∴PE= ON= (m)，OP=PM= OM= (m)，
2 2 2 2
25 55
∴FP=OF+OP=15+ = (m)，
2 2
在 中， ，
RtΔPEF EF=❑√PE2+FP2=5❑√37(m)
∵修建该水渠的费用为60元/m，
∴修建这条水渠EF所需的总费用为5❑√37×60=300❑√37（元)．
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点D是△ABC的边AB上一点（AD<BD），点D
关于AC，BC的对称点分别为F，E，连接DE，DF，EF，且EF经过点C．（1）求证：点C是EF的中点；
（2）如图2，连接AF，BE，求证：AF∥BE；
（3）在（2）的条件下，延长EB到点G使BG=AF，连接GF交AB于点H，连接EH，DC，若
EH⊥FG，当DC=4时，求AB的长．
2．（23-24八年级上·山东济南·期末）问题情景：老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直
角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图1，△ABC和
△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，点M，P，N分
别为DE，AD，AB的中点．试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系．
问题探究：
（1）甲小组发现：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把△CDE绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置，请判断
△PMN的形状并证明；
问题拓展：
（3）两小组的同学继续探究：把 △CDE绕点C在平面内自由旋转，当CD=4，CB=10时，直接写出线
段MN长度的最大值．3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）在△ABC中，∠B=∠C= α（0°< α <45°），AM⊥BC于点
M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．
（1）如图1，当点E在线段AC上，求证：D是MC的中点；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接ME并延长至点G，使得¿=ME，连接AG，GC，
①求证AG=AM；
②求出∠AEM的度数．
（3）如图3，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF=DC，连接AE，EF，写出∠AEF
的大小，并证明．4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线MN上一点，
连接AP，BP．若∠APM=∠BPN，则称点P是点A和点B关于直线MN的“等角点”．
（1）如图2，∠ABD是等边三角形ABC的外角，点P是该外角平分线上一点，试说明点B是点P和点A关
于直线CD的“等角点”．
（2）如图3，点B，C在∠PAQ的两边上，且AB=AC，连接BC，点D是线段BC上的一点，点D关于
AP的对称点为E，连接EB并延长至点G，使点C是点G和点B关于直线AQ的“等角点”．连接DE，当
∠BDE=35°时，求∠BGC的度数．
（3）如图4，将两个大小不同的直角三角板ABC和EDG（∠ABC=∠EDG=60°，AB<DE）的斜边
摆放在直线l上，且点D与BC中点重合，连接AE并延长至点F，使EF=AE．连接CF，FG．若FG上存
在一点M，使得点C恰好是点A和点M关于直线l的“等角点”．设AB=m，DE=n，求MG的长．（用
含m，n的式子表示）5．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图1，△ABC与△AEF都是等边三角形，边长分别为4和❑√3，
连接FC，AD为△ABC的高，连接CE，N为CE的中点．
（1）求证：△ACF≌△ABE；
（2）将△AEF绕点A旋转，当点E在AD上时，如图2，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；
（3）连接BN，在△AEF绕点A旋转过程中，求△BCN面积的最大值．6．（23-24九年级上·陕西西安·开学考试）已知，AD是△ABC的中线，过点C作CE∥DA．
（1）如图1，DE∥BA交AC于点F，连接AE．求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）P是线段AD上一点（不与点A，D重合），PE∥BA交AC于点F，交CE于点E，连接AE．如图
2，四边形ABPE是平行四边形吗？请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，如图3，延长BP交AC于点Q，若BQ⊥AC，∠ACB=45°，
∠CAD=30°，BC=4，请求出AQ的值．7．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D是边AB上一动点
（点D不与点A、B重合），连接CD．
（1）如图1，若∠ACD=30°,BC=6，求CD的长；
（2）如图2，将线段CD绕C点顺时针旋转90°至CE位置，连接BE，过点C作BE的垂线交AB于点F，求
证：AF=DF；
（3）如图3，以B为直角顶点，在BD下方作直角△BDM，点N为DM的中点，连接CN，点Q为CN的中
点，连接DQ，若BC=6,BM=2❑√2，直接写出DQ的取值范围．8．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，△ABC和△ADC都是等腰直角三角形，
∠ABC=∠ADC=90°，点E，F分别在射线BA，BC上，DE⊥DF，点M为EF的中点，点P在BC上，
BP=2，CP=6，
（1）当点E在BA的延长线上，证明AE=CF；
（2）当△MPF为直角三角形，求AE的长
（3）直接写出PM的最小值_____________．9．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期中）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图所示，若点E恰好是BC边的中点，过点E作AD延长线的垂线，垂足为点G，交AC于点F，交
AB的延长线于点H．求证：AC−AB=2BH；
（2）若∠DAE=90°，∠BAC=48°，且满足AB+AC=EC，直接写出∠ACB的度数．10．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，
∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC，连接BD，取DE、BD、AB的中点分别为G、F、H，连
接FG、GH、HF．
图1 图2
（1）当点D在AC边上，点E在BC边上时，如图1，判断△FGH的形状为 ；
（2）把图1中△DCE绕点C在平面内旋转得到图2，判断△FGH的形状是否改变？请说明理由；
（3）把△DCE绕点C在平面内任意旋转，若AC=10，DC=6，求线段GH的最大值与最小值．11．（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E为直线
BC上一动点，连接AE并延长交过点C且与AB平行的线于点F．
（1）如图1，若点E为线段BC上的一点，BE=2CE，AE=2EF且AF=3❑√10，求AB的长；
（2）如图2，点E为线段BC上一点，过点B作BG⊥AF于G，延长BG交CF于点H，连接EH，求证：
AE=BH+EH；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点B作BG⊥AF于G，点D为AG的中点，连接CD，当
AB=4❑√2时，请求出CD的最小值．
12．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期中）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC=EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE,BD,AB的中点，连接
PM,PN,MN．
（1）则PM与PN的关系是________；
（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出
证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）若CB=3,CE=❑√2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条
直线上时，直接写出MN的长度．
13．（22-23八年级下·四川成都·期中）已知，如图1，△ABC中，AC=BC，D，E分别是线段AC，AB
的中点，且满足DE∥BC，BC=2DE，P为边AB上一动点，连接DP，以DP为一边在右侧作△DPQ，使DP=DQ，且∠PDQ=∠ACB，连接EQ并延长交直线BC于点H．
（1）求证：△APD≌△EQD；
（2）若∠ACB=120°，判断线段BC与线段CH的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，延长DQ交BC于点G，若AC=6，当△HQG为直角三角形时，求AP的长度．
14．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC边上的
动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE．（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是BC的中点；
（2）如图2，连接BE，取线段BE的中点M，连接AM，直接写出∠MAC的大小并证明；
（3）若F是BC的中点，BC=6，直接写出EF的最小值为______．
15．（22-23九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点
D在AB的延长线上，且BD=3，分别过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E，连接BE，交CD于点
G，（1）求DE的长，并证明EB⊥CD；
（2）如图1，在射线DC上只用圆规作一点Q，使得AQ⊥AE（保留作图痕迹，并简要说明作法）；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接EQ，分别取EQ、CE的中点M、N，动点H在EG上运动，求
MH+NH的最小值
16．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）（1）【探究发现】如图①，等腰△ACB，∠ACB=90°，D
为AB的中点，∠EDF=90°，∠EDF的两边分别与线段AC、线段BC交于点E、F（点F与点B、C不
重合），请写出线段CF、CE、BC之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）【类比应用】如图②，等腰△ACB，∠ACB=120°，D为AB的中点，∠EDF=60°，∠EDF的两边分别与线段AC、、线段BC交于点E、F（点F与点B、C不重合）．直接写出线段CF、CE、BC
之间的数量关系为______；
（3）【拓展延伸】如图③，在四边形CEDF中，CD平分∠ACF，∠ACF=120°，∠EDF=60°，过点
D作AD⊥CD，交CE的延长线于点A，若CE=6，FC=2，求AE的长．
17．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图1，四边形ABCD中AD∥BC，
∠ABC=∠ADC．（1）求证：四边形ABCD 是平⾏四边形；
（2）如图2，点E、F 分别在BC、AD上，连接EF，AC 交于点K，AF=KF，∠ADC=60°，
∠ACD=90°，求证：AC=❑√3EF；
（3）如图 3，在（2）的条件下，点P是BC下⽅⼀点，连接PE，PB，∠BPE=∠ACB，PE=2，G为
PE中点，连接KG，若CK=2AK， KG=❑√17，求BP的⻓．
18．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）已知，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D
为AB边上的一点，连接CD，以CD为斜边向右侧作直角△CDE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．（1）如图1，当∠CDE=30°，AD=1，BD=3时，求线段DE的长；
（2）如图2，当CE=DE时，求证：点E为线段AF的中点；
（3）如图3，点D与点A重合，AB=4，H为BF边上一点，G为AB边上一点，连接BE，当BE取最大值
时，请直接写出三角形EHG周长的最小值．
19．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
AB=CD=4cm，BC=AD=3cm，点E从点D开始以3cm/s的速度沿DC边向点C运动，点F从点B开始
以4cm/s的速度沿射线CB的方向运动，连接AE，AF，连接EF交AB于点G，如果E、F同时出发，当
点E运动到点C时E、F都停止运动，设运动时间为ts．（1）判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）当△AEG成为以AG为腰的等腰三角形时，求出t的值；
（3）当点G是EF中点时，点M、N分别在AF、AE上，且GM⊥GN，当AN=2时，请直接写出AM
的值．
20．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）在Rt△ABC和Rt△CDE中，
AC=BC=a，CD=CE=b(b<a)，∠ACB=∠DCE=90°，如图（1），以AC、CE为边作平行四边
形ACEM，以CD、CB为边作平行四边形BCDN，点F，G分别是CM，BD的中点，当△DCE绕点C
旋转时，（1）证明：△MCA≌△DBC；
（2）①求△CFG的面积（用含a，b的代数式表示）；
②直接写出FG的长度的最大值为（用含a，b的代数式表示）．
