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专题 18.2 中位线定理与几何综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
◆ 知识点总
结
一、三角形的中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
◆ 典例分析
【典例1】知识回顾：（1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，如图1，点D，E分别为边
AB，AC的中点，则线段DE称为ΔABC的中位线，则DE与BC的位置关系是 ；DE与BC的数量关
系是 ．
方法探究：（2）请将图2中的三角形通过剪切拼接成一个与之面积相等的平行四边形，若要求只有一条剪
切线，请画出剪切线及剪拼成的平行四边形，并说明拼接方法．
问题解决：（3）如图3，有一块空地和水井E，李大爷计划利用该空地和水井修建一片菜地ABCD，其中
点E为BC的中点，AD∥BC，AB=40m，CD=30m，∠A+∠D=240°．为灌溉方便，李大爷想在水
井E处修建一条水渠EF(EF为线段，且F在AD上），且水渠两边的菜地面积相等，已知修建该水渠的费
用为60元/m，请你帮助李大爷计算修建这条水渠EF所需的总费用．【思路点拨】
（1）根据三角形中位线定理即可求解；
（2）取AB的中点D，AC的中点E，连接DE，延长DE至F，使DE=EF，由三角形中位线定理可得
1
DE∥BC，DE= BC，AE=CE，于是可通过SAS证明ΔADE≅ΔCFE，得到S =S ，进而得
2 ΔADE ΔCFE
到S =S ，由对边平行且相等的四边形为平行四边可得四边形BCFD为平行四边形，以此即可
ΔABC 四边形BCFD
求解；
（3）取AD的中点F，连接EF，作FM∥AB交BC于点M，FN∥CD交BC于点N，过点N作
NO⊥FM于点O，过点E作EP⊥FM于点P，由梯形的面积公式可知S =S ，易得四边形
梯形ABEF 梯形CDFE
ABMF，四边形CDFN为平行四边形，得到AB=FM=40m，CD=FN=30m，由四边形内角和为360°
得∠B+∠C=120°，由平行线的性质得FMN+∠FNM=120°，再根据三角形内角和定理得
1
∠MFN=60°，由含30°的直角三角形性质得OF= FN=15(m)，ON=❑√3OF=15❑√3(m)，则
2
1 15❑√3
OM=FM−OF=25(m)，易得PE为ΔMON的中位线，则PE= ON= (m)，
2 2
1 25 55
OP=PM= OM= (m)，进而求得FP=OF+OP= (m)，再利用勾股定理求出EF的长，进一步算
2 2 2
出总费用即可求解．
【解题过程】
解：（1）∵点D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE为ΔABC的中位线，
1
∴DE∥BC，DE= BC；
2
1
故答案为：DE∥BC ，DE= BC；
2
（2）如图，取AB的中点D，AC的中点E，连接DE，延长DE至F，使DE=EF，∵点D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE为ΔABC的中位线，
1
∴DE∥BC，DE= BC，AE=CE，
2
在ΔADE和ΔCFE中，
{
AE=CE
)
∠AED=∠CEF ，
DE=EF
∴ΔADE≅ΔCFE(SAS)，
∴S =S ，
ΔADE ΔCFE
∴S =S +S =S +S =S ，
ΔABC 四边形DBCE ΔADE 四边形DBCE ΔCFE 四边形BCFD
∵DE=EF，
∴DF=BC，
∵DF∥BC，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴取AB的中点D，AC的中点E，以DE为剪切线将三角形ABC裁剪，将ΔADE绕点E顺时针旋转至点A
与点C重合，则四边形BCFD为拼成的平行四边形；
（3）取AD的中点F，连接EF，作FM∥AB交BC于点M，FN∥CD交BC于点N，过点N作
NO⊥FM于点O，过点E作EP⊥FM于点P，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为梯形，
由梯形的面积公式可知，S =S ，
梯形ABEF 梯形CDFE
∵FM∥AB，FN∥CD，
∴四边形ABMF，四边形CDFN为平行四边形，∴AB=FM=40m，CD=FN=30m，
∵∠A+∠D=240°，
∴∠B+∠C=120°，
∵FM∥AB，FN∥CD，
∴∠FMN=∠B，∠FNM=∠C，
∴∠FMN+∠FNM=∠B+∠C=120°，
∴∠MFN=180°−(∠FMN+∠FNM)=180°−120°=60°，
∵NO⊥FM，∠MFN=60°，
∴∠FNO=30°，
1
∴OF= FN=15(m)，ON=❑√3OF=15❑√3(m)，
2
∴OM=FM−OF=40−15=25(m)，
∵NO⊥FM，EP⊥FM，
∴PE∥ON，
∵点E为BC的中点，
∴PE为ΔMON的中位线，
1 15❑√3 1 25
∴PE= ON= (m)，OP=PM= OM= (m)，
2 2 2 2
25 55
∴FP=OF+OP=15+ = (m)，
2 2
在 中， ，
RtΔPEF EF=❑√PE2+FP2=5❑√37(m)
∵修建该水渠的费用为60元/m，
∴修建这条水渠EF所需的总费用为5❑√37×60=300❑√37（元)．
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点D是△ABC的边AB上一点（AD
