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专题18.3 平行四边形（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）如果平行四边形一边长为 ，那么它的两条对角线的长
度可以是（ ）
A． 、 B． 、 C． 、 D． 、
2．（2023下·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形 中，下列结论中错误的是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·浙江嘉兴·八年级校联考期中）在四边形 中， ，要判定四边形 为
平行四边形，可添加条件（ ）
A． B．
C． 平分 D．
4．（2023上·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考开学考试）在 中，尺规作图后留
下的痕迹如图所示，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·安徽合肥·八年级期末）如图，四边形 中， ， ，E、F是对角线
上的两点，如果再添加一个条件，使 ，则添加的条件不能是（ ）A． B． C． D．
6．（2021下·福建莆田·八年级莆田第二十五中学校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，
AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（
）
A．8 B．4 C． D．
7．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）已知直角坐标系内有四个点 ， ， ，
，若以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的 ， 的值可以是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．（2024上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图， 是 的边 上的点，
是 中点，连接 并延长交 点 ，连接 与 相交于点 ，若 ， ，
则阴影部分的面积为（ ） ．A． B． C． D．
9．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，点 是 边 延长线上
一点，连接 、 、 ， 与 交于点 ．添加以下条件，不能判定四边形 为平行四边形的
是（ ）
A． B． C． D．
10．（2019下·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC、BD相交于点
O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③
四边形ABCD是平行四边形，其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022下·甘肃酒泉·八年级统考期末）在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行
四边形中两邻角的度数分别是 ．
12．（2024下·全国·八年级假期作业）一个四边形的四条边的长度依次为a，b，c，d，且满足
，则这个四边形一定是 ．
13．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，在 中， ， ， 、 分别是边 、
上一点，且 ，将 沿 折叠，使点 与点 重合，则 的长为 ．14．（2024下·八年级单元测试）如图，平行四边形 ，点F是 上的一点，连接
平分 ，交 于点E，且点E是 的中点，连接 ，已知 ，
则 ．
15．（2023下·辽宁大连·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，
，如果以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，且点 在第三象限，那么点 的坐标是
．
16．（2024下·八年级课时练习）如图，在等边 中， ，射线 ，点 从点 出
发沿射线 以 的速度运动，点 从点 出发沿射线 以 的速度运动，如果点 同时出
发，设运动时间为 ，当 时，以 为顶点的四边形是平行四边形．17．（2024下·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）已知等腰直角 ，
， ， ，延长 交 延长线于点G，若 ， ， ，则
的长为 ．
18．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）如图所示，直线 绕平行四边形 顶点 转动，分别过
点 ， ， 作 的垂线段，垂足分别为 ， ， ．已知 ， ， ，则
的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，在 中， 分别是边 和 上
的点，连接 ，且 ．求证：
（1） ；
（2） ．（要求在括号内写出每个结论的证明依据，“已知”“已证”可以不写．）20．（8分）（2024下·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）在平行四边形
中， ， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若 平分 ，连接 ，请直接写出图中的等腰三角形（ 除外）．
21．（10分）（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，E是平行四边形 内一点， ，
， ．
（1）求证： ；
（2）求证： 是为等腰直角三角形；
（3）判断 的数量关系并说明理由．22．（10分）（2023下·重庆开州·八年级校联考期末）如图， 中， 是 边上任意一点，
是 中点，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ， ， ，求 的长．
23．（10分）（2024上·山东泰安·八年级统考期末）已知， 是 的中线，过点 作 ．
（1）如图1， 交 于点 ，连接 ．求证：四边形 是平行四边形；
（2） 是线段 上一点（不与点A， 重合）， 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
如图2，四边形 是平行四边形吗？请说明理由．24．（12分）（2023上·山东济南·八年级山东省莱芜市陈毅中学校考期末）（一）知识拓展
如图Ⅰ， ，点E，F在 上，点M，N在 上，则 .即同底（或等底）等高（或
同高）的三角形的面积相等.
（二）解决问题
数学兴趣小组的同学利用含30°的角的三个全等直角三角板拼了下面的图形（如图Ⅱ）.
已知 ，点F在 上
（1）直接写出图中存在旋转关系的一对三角形;
（2）连接 ，判断四边形 的形状，并写出理由;
（3）若点G是边 上任意一点，连接 ，设 的面积为 ， 的面积为 ，写出
与 间的数量关系，并证明你的结论.
参考答案：
1．D
【分析】主要考查了平行四边形的性质，要掌握平行四边形的构造，四边形的两邻边和对角线构成三角形，判断对角线的范围可利用此三角形的三边关系来判断即可．
解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三
边关系进行判断：
A、根据三角形的三边关系可知： ，不能构成三角形；
B、 ，不能构成三角形；
C、 ，不能构成三角形；
D、 ，能构成三角形；
故选：D．
2．D
【分析】根据平行四边形的对边平行、对角线互相平分和对边相等进行判断．
解：A、在 中，
∵
∴ ，所以A选项的结论正确；
B、在 中， 所以B选项的结论正确；
C、在 中， ，所以C选项的结论正确；
D、在 中，得不出 ，所以D选项的结论错误．
故选：D．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3．B
【分析】根据添加的条件和平行四边形的判定方法逐项判断即可解答．
解：如图：A.添加 后，四边形 一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，
有可能为等腰梯形，因此A选项不合题意；
B.添加 后，利用平行线的判定定理可得 ，四边形 是两组对边平行，能
判定为平行四边形，因此B选项符合题意；
C.添加 平分 后，利用角平分线的定义和平行线的性质可推出 ，四边形 一组
对边平行，一组邻边相等，不能判定为平行四边形，因此C选项不合题意；
D.添加 后，四边形 一组对边平行、邻边相等，不可以判定为平行四边形，因此D选项
不符合题意．
故选B．【点拨】本题主考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．1.两组对边
分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.对角线互相平分的四边
形是平行四边形；4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；5.两组对角分别相等的四边形是平行四
边形．
4．C
【分析】由作图痕迹可知 平分 ， 平分 ，结合角平分线和平行线的性质可得
， ，即可求解．
解：由作图痕迹可知 平分 ， 平分 ，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
， ，
， ，
，
故选C．
【点拨】本题考查角平分线的作图方法，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等，
解题的关键是根据作图痕迹判断出 平分 ， 平分 ．
5．A
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
根据所给条件，结合平行四边形的各种判定方法逐一判断即可．
解：∵四边形 是平行四边形，
；
又 ，
，，
；
；
∴四边形 是平行四边形，故B正确；
∵四边形 是平行四边形，
；
又 ，
，
，
，
；
；
；
∴四边形 是平行四边形，故C正确；
∵四边形 是平行四边形，
；
又∵ ，
，
；
；
；
∴四边形 是平行四边形，故D正确；
添加 后，不能得出 ，进而得不出四边形 平行四边形，
故选：A．
6．D
【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂
线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
解：设AC、PQ交于点O，如图所示：∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB于点P′，
∵∠BAC=45°，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∵AO= AC= ×8=4，
∴OP′= AO=2 ，
∴PQ的最小值=2OP′=4 ，
故选D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的
关键是作高线构建等腰直角三角形．
7．D
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是运用平行四边形对角线互相平分列方程组
解决问题．
分别在平面直角坐标系中确定出A、B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可
确定C的位置，从而求出m，n的值．
解：根据题意画图如下：∵ ， ， ， ，
∴分3种情况：
①以 、 为对角线，则 、 的中点重合，
∴ ，解得 ，
∴ ；
②以 、 为对角线，则 、 的中点重合，
∴ ，解得 ，
∴ ，
③以 、 为对角线，则 、 的中点重合，
∴ ，解得 ，
∴ ，
综上所述，点C的坐标可以为 或 或 ，
则符合条件的m，n的值可以是2，2，
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定和全等三角形的性质与判定，连接 ，先根据平行四边形的性质得到 ， ，再证明 ，得到 ，则可判定四边形
为平行四边形，则 ，再证明四边形 为平行四边形，得出
，最后阴影部分的面积 即可求解，熟练运用平行四边形的性质与判定和
全等三角形的性质与判定进行证明与计算是解题的关键．
解：连接 ，如图，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，即 ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积 ，
故选： ．
9．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，
理解并掌握平行四边形的判定定理是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得 ， ，
， ，若 ，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断选项
A；若 ，易得 ，即可证明 ，由“两组对边分别平行的四边形为平行
四边形”即可判断选项B；若 ，证明 ，由全等三角形的性质可得 ，由
“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断选项D；由 不能证明四边形
为平行四边形，即可判断选项C．
解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ， ， ，
即 ，
若 ，则有 ，
∴四边形 为平行四边形，故选项A不符合题意；
∵ ，
∴ ，
若 ，则有 ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形，故选项B不符合题意；
∵ ，
∴ ，
若 ，则在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
又∵
∴四边形 为平行四边形，故选项D不符合题意；
由 不能证明四边形 为平行四边形，选项C符合题意．
故选：C．
10．D
【分析】根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别分析得出即可．
解：①正确，∵DE=BF，即DF=BE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠DFC=∠BEA=90°，
又∵AB=CD，∴Rt DFC≌Rt BEA（HL），
∴CF=AE； △ △
②正确，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴CF∥AE，
由①可知，FC=AE，
∴四边形CFAE是平行四边形，∴OE=OF，
③正确，∵Rt DFC≌Rt BEA（HL），∴∠CDF=∠ABE，∴CD∥AB，
∵AB=CD，∴四△边形AB△CD是平行四边形.
综上，故选D.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，解题关键是得出
Rt DFC≌Rt BEA．
△ 11．12△0°和60°
【分析】根据平行四边形的性质可以得到 ， ， ，即可得到
，再根据 ，求解即可．
解：如图所示， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为：60°，120°，60°，120°．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质．
12．平行四边形
【解析】略
13．
【分析】此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质等知识，证明
是等边三角形是解题的关键．
设点 的对应点为点 ，由平行四边形的性质得， ， ，则
，由折叠得 ， ， ，所以
，而 ，则 ，所以 是等边三角形，则 ，所以 ，即
可推导出 ，则 ，于是得到问题的答案．
解：设点 的对应点为点 ，
四边形 是平行四边形， ， ，
， ， ， ，
，
由折叠得 ， ， ，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为： ．
14．4
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合
运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．
延长 交于点 ，判定 ，即可得出 ，再根据三线合一即可
得到 即可解答．
解：如图，延长 交于点 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵平行四边形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ 中， ，
故答案为： ．
15．
【分析】先由 ， ，证明 轴， ，再由以 ， ， ， 为顶点的四边形为
平行四边形，且点 在第三象限，证明 ， 轴，则 ，于是得到问题的答案．
解： ， ，
∴ 轴， ，
以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，且点 在第三象限，
， ，
∴ 轴，
，
点 的坐标是 ，
故答案为： ．
【点拨】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的判定等知识，由 ， 证明 轴，
是解题的关键．
16． 或
【分析】此题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，分别从点 在 的左侧与点 在 的
右侧两种情况去分析，根据当 时，以 为顶点四边形是平行四边形，得出方程，解方
程即可求求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
解： 当点 在 的左侧时，根据题意得： ， ，
则 ，
∵ ，
∴当 时，四边形 是平行四边形，
即 ，
解得 ；
当点 在 的右侧时，根据题意得： ， ，则 ，
∵ ，
∴当 时，四边形 是平行四边形，
即 ，
解得 ；
综上可得，当 或 时，以 为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为： 或 ．
17．8
【分析】如图，延长 至点M，使 ，连接 并延长交 的延长线于点N，连接 ，
利用勾股定理求得 ，从而可得 ，根据垂直平分线的性质得 ，从而可得
，再由等腰三角形的性质可得 ， ，从而可得 ，再
根据对顶角相等可得 ，由平行线的判定可得 ，从而可证四边形 是平行四
边形，由平行四边形的性质可得 ，且 ，再由平行线的性质得 ，
，从而可得 ，可证 是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可
求解．
解：如图，延长 至点M，使 ，连接 并延长交 的延长线于点N，连接 ，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，且 ，
∴ ，即 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
【点拨】本题考查垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定
与性质、对顶角相等、平行线的判定与性质，正确作出辅助线，构造平行四边形是解题的关键．18．
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，梯形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，
勾股定理等，连接 ， 交于点 ，过点 作 直线 于 ，在 的延长线上截取 ，连接
， ，过点 作 于 ，先证四边形 为直角梯形，再证 为梯形 的中位线，则
，然后证 和 全等得 ，进而得 ，据此可证得四边形
为平行四边形，则 ， ，要求 的最大值，只
需求出 的最大值即可，根据“垂线段最短”可知： ，故得 的最大值为线段 的长，
最后在 中可求出， ， ，进而得 ，在 中由勾股定理得
，据此可得出 的最大值，熟练掌握平行四边形的判定和性质，梯形的中位线定理，
全等三角形的判定和性质，理解垂线段最短，灵活运用勾股定理进行计算是解题的关键．
解：连接 ， 交于点 ，过点 作 直线 于 ，在 的延长线上截取 ，连接 ，
，过点 作 于 ，如图所示：
∵ 直线 ， 直线 ，
∴四边形 为直角梯形，
∵四边形 为平行四边形，
∴点 为 ， 的中点，
∵ 直线 ，
∴ ，
∴ 为梯形 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ 直线 ，
在 中，点 为斜边 的中点，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
又∵ ，
∴ ，
在△OAT和△RNT中，
，
∴ ，
，
∴ ，
即 ，
∵ 直线 ， 直线 ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
要求 的最大值，只需求出 的最大值即可，
根据“垂线段最短”可知： ，
∴ 的最大值为线段 的长，
∵ ， ， ，
在 中， ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，∴ 的最大值为 ，
∴ 的最大值为 ．
故答案为： ．
19．（1）见分析；（2）见分析
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形性质是解本题的关
键．
（1）证明四边形 是平行四边形即可；
（2）用 证明全等即可．
解：（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
又 ．
四边形 是平行四边形．
（平行四边形对角相等）．
（2）证明： 四边形 是平行四边形，
， （平行四边形对边相等），
四边形 是平行四边形，
， （平行四边形对边相等），
（等量代换），
在 和 中，
，
．
20．（1）见详解；（2）
【分析】第（1）题求证两个三角形全等，根据判定两个三角形全等几种方法，找出边角对应关系，
由平行四边形和等腰三角形性质得出两个对应角相等， 公用，用 方法求解；
第（2）题求等腰三角形个数，关键在三角形的角上找两个相等角或边上找两边相等求解．
解：（1）证明：如图1，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 与 中，
∴ ．
（2）解：如图2，
等腰三角形有：
．
理由：由（1）知， ，
∴
∴ 是等腰三角形，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，∴
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，还有线段、角的和差，等量代换，全等三角形的判定与性
质，等腰三角形的判定与性质．知识点安排上呈螺旋上升，符合学生的认知规律，上完平行四边形性质新
课后，呈现本题，既反映出知识的衍接和梯度，又是一道综合性强的复习巩固题．
21．（1）见分析；（2）见分析；（3） ，理由见分析
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，通
过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由平行四边形中对角相等可得 ，结合 ， ，即可证明
；
（2）延长 交 于F，连接 ，先证 是等腰直角三角形，再证 ，推
出 ，即可证明 是为等腰直角三角形；
（3）根据 是等腰直角三角形，可得 ， ，根据 可得
，通过等量代换可得 ．
解：（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）证明：如图，延长 交 于F，连接 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形；
（3）解： ，
理由如下：由（2）可得 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
由（2）可得 ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
22．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据 ，得 ， ；结合 ，通过证明
得 ，即可完成证明；
（2）过点 作 于点 ，由 ， 推导得 ；结合 ，
， ，通过计算得 ；结合 ， ， ，通过计算得
；通过 关系计算，即可得到答案．
解：（1）证明：∵ // ，
∴ ， ，
∵ 是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：过点 作 于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股
定理，正确的识别图形是解题的关键．
23．（1）见分析；（2）四边形 是平行四边形；理由见分析
【分析】（1）由平行线的性质可得 ， ，由题意可知 ，可证得
，进而可知 ，即可证得四边形 是平行四边形；
（2）延长 ，交 于 ，取 中点 ，连接 ，由平行线的性质可得 ，
，由题意可知 为 的中位线，先证四边形 为平行四边形，可得 ，
进而证得 ，即可证明 ，可得 ，即可证得四边形 是平行四边形．
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：四边形 是平行四边形，理由如下：
延长 ，交 于 ，取 中点 ，连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中线，点 为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ， ，即
又∵ ，即 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
【点拨】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角形的中位线定理，平行
线的性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
24．（1）存在旋转关系的一对三角形为 和 ；（2）四边形 的形状是平行四边形，
见分析；（3） ，见分析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的面积，以及平行四边形的判定的综合应用，灵
活应用以上知识解题是关键；
（1）根据 ，可得 ，进而得出存在旋转关系的一对
三角形；
（2）根据全等三角形的性质可得， ，根据平行线的判定，可得 ，进而可得四边形是平行四边形；
（3）根据 ，可得 的面积 的面积，再根据 ，可得 的面积
的面积，最后得出 与 间的数量关系．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 以C为顶点旋转 的度数可得 ，
∴存在旋转关系的一对三角形为 和 ；
（2）解：四边形 的形状是平行四边形，
理由:∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形.
（3）解： ，理由：∵ ，
∴ ，
∴ 的面积 的面积，
，
，
∴ 的面积 的面积，
∴ 的面积 的面积，
即．
