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专题 18.3 平行四边形中的动点问题
◆ 典例分析
【典例1】如图①，在▱ABCD中，AD=12．动点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发沿A−D−A
运动，同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿BC运动，当点P、点Q中有一点停止运动，另
一点也同时停止运动．设点P运动的时间为t(t>0)秒．
（1）当点P从A向D运动时，PD=______，QC=______；
当点P从D向A运动时，PA=______；（用含t的代数式表示）．
（2）当直线PQ恰好平分 ▱ABCD的面积时，求t的值．
（3）如图②，点M、N分别为AD、BC的中点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形面积是 ▱ABCD面
2
积的 时，直接写出所有满足条件的t的值．
5
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）当直线PQ经过 ▱ABCD的中心点O时，恰好直线PQ恰好平分 ▱ABCD的面积，则AP=CQ，分两
种情况讨论，列式计算即可求解；
（3）分五种情况讨论，列式计算即可求解．
【解题过程】
（1）解：当点P从A向D运动时，PA=5t，BQ=2t，PD=12−5t，QC=12−2t；
当点P从D向A运动时， PA=24−5t；（用含t的代数式表示）．
故答案为：12−5t，12−2t，24−5t；
（2）解：当直线PQ经过 ▱ABCD的中心点O时，恰好直线PQ恰好平分 ▱ABCD的面积，∵▱ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠BCA，
∵AO=CO，∠AOP=∠COQ，
∴△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，
∴5t=12−2t或24−5t=12−2t，
12
解得t= 或t=4；
7
（3）解：设平行四边形的高为ℎ，则平行四边形的面积为12ℎ，
6
当00）．（1）求CD的长；
（2）连结PQ，是否存在t的值，使得PQ与CD互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若点P关于直线DQ对称的点恰好落在直线CD上，请直接写出点P的坐标．
【思路点拨】
（1）根据A的坐标求出OA，然后利用平行四边形的性质求解即可；
（2）由PQ与CD互相平分，可得四边形DPCQ是平行四边形，则DP=CQ，可得关于t的方程，求解即
可；
（3）分Q在线段BC上和线段BC的延长线讨论即可．
【解题过程】
（1）解：∵点A的坐标为(3，4)，
∴AO=❑√32+42=5，
∵▱ABCD的顶点B与坐标原点重合，
∴CD=AO=5；
（2）解：如图，连接PC，DQ，
∵PQ与CD互相平分，
∴四边形DPCQ是平行四边形，
∴DP=CQ，∵▱ABCD的顶点B与坐标原点重合，点C在x轴上， AD=8，
∴OC=8，
∵动点P从点D出发沿DA以1个单位每秒的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以3个单位每秒
的速度沿射线BC运动，
∴AP=t，CQ=3t，
∴t=3t−8，
∴t=4，
∴存在，当t=4时，PQ与CD互相平分；
（3）解：当分Q在线段BC上时，如图，
∵P，P 关于DQ对称，
1
∴∠ADQ=∠CDQ，
∵四边形AOCD是平行四边形，
∴AD∥OC，
∴∠ADQ=∠DQC，
∴∠DQC=∠CDQ，
∴CQ=CD=5，
∴OQ=OC−CQ=3，
∴t=3÷3=1，
∴DP=1，
∴AP=AD−DP=7，
∴P(10,4)；
当Q在线段BC的延长线时，如图，过D作DH⊥OC于Q，∵P，P 关于DQ对称，
1
∴∠1=∠2，
∵AD∥OC，
∴∠1=∠DQC，
又∠2=∠CDQ，
∴∠DQC=∠CDQ，
∴CQ=CD=5，
∴OQ=OC+CQ=13，
13
∴t=13÷3= ，
3
13
∴DP= ，
3
11
∴AP=AD−DP= ，
3
(20 )
∴P ,4 ；
3
(20 )
综上，P的坐标为(10,4)或 ,4 ．
3
17．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.25cm的速度从
点A向点D运动．
（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD=CP，求∠B的度数．（2）在（1）的条件下，若AB=2cm，求△PCD的面积．
（3）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C出发，在BC 间往返运动，P，Q两点同
时出发，当点P到达点D时停止运动（同时 Q点也停止），若AD=6cm，求当运动时间为多少秒时，以
P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【思路点拨】
（1）由平行线的性质和角平分线定义可得∠DPC=∠PCD，则可得DP=DC，再结合CD=CP可得
△DPC是等边三角形，进而可得∠B=∠D=60°．
（2）作CH⊥AD于H点，由平行四边形的性质可得DC=2cm，再根据等边三角形面积公式计算即可．
（3）根据题意可得， P点从A点运动到D点停止时，Q点需往返运动2次．由四边形ABCD是平行四边
形可得AD∥BC，因此PD∥BQ．若以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，设
运动时间为t秒，分4种情况讨论：①0≤t≤6，②60)．
（1）当点Q在线段CB延长线上时，用含t的代数式表示线段BQ的长；
（2）连结PQ，是否存在t的值，使得PQ与AB互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上，请求出t的值．
【思路点拨】
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质及勾股定理即可解答．
（2）连接PB、AQ，根据题意得到四边形APBQ是平行四边形，AP=BQ，列式求解即可．
（3）分两种情况∶①当点P关于直线AQ对称的点恰好落在点A下方时；②当点P关于直线AQ对称的点
恰好落在点A上方时，根据平行四边形的性质即可解答
【解题过程】
（1）解： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC=12，
∵∠BAC=90°，
∴CB=❑√AC2+AB2=❑√162+122=20，
当点Q在线段CB延长线上时，QB=CQ−CB=4t−20(t>5)
（2）存在，理由如下：
如图1，连接PB、AQ，
∵PQ与AB互相平分，则四边形APBQ是平行四边形，
∴AP=BQ，
∴t=4t−20，20
解得：t= ，
3
20
∴当t的值为 时；PQ与AB互相平分；
3
（3）分两种情况：
①当点P关于直线AQ对称的点恰好落在点A下方时，如图2，
由对称的性质得：∠PAQ=∠P′ AQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠PAQ=∠AQB，
∴∠P′ AQ=∠AQB，
∴BQ=AB=12，
∴CQ=CB−BQ=20−12=8，
即4t=8，解得：t=2；
②当点P关于直线AQ对称的点恰好落在点A上方时，如图3，
由对称的性质得：∠PAF=∠P′ AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠PAF=∠BQA，
∵∠P′ AF=∠BAQ，
∴∠BQA=∠BAQ，∴BQ=AB=12，
∴CQ=CB+BQ=20+12=32，
即4t=32，解得：t=8；
综上所述，t的值为2或8．
19．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=90°，
AB=6cm，AD=10cm．动点M从点B出发沿边BC以2cm/s速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，
以4cm/s速度沿射线DA运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为ts．
（1）当t=3时，AM=__________；
（2）是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，
请说明理由；
（3）若动点M关于直线BN对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出t的值．
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称
的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质是解决问题的关键．
（1）当t=3时，BM=6cm，可知△ABM为等边三角形，即可求得AM=AB=6cm；
5 5
（2）由题意可知，DN=4t，BM=2t，分两种情况：当0≤t< 时，点N在点A右侧，当 AB，∠B=60°，动点P，Q分别从B，C两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边
运动，点P沿B→A→E→B运动，点Q沿C→D→F→C运动，点P的运动速度为1个单位长度/秒，
点Q的运动速度是点P的2倍，点Q到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，直接写出t为
何值时，四边形BPDQ是平行四边形．【思路点拨】
本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是
解题的关键．
（1）根据角平分线的意义及平行四边形的性质可证∠BAE=∠BEA，则BE=AB=3，因此
EC=BC−BE=3；
（2）由等腰三角形的判定及平行四边形的性质可证AF=CE，而AF∥CE，故得证；
（3）△ABE、△CDF为边长为1的等边三角形， 则①当点P在AB上，点Q在CD上时，可得t=1−2t；
②当点P在AE上，点Q在CF上时，可得t−1=3−2t，分别求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵AE平分∠BAD，
1
∴∠FAE=∠BAE= ∠BAD．
2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=AB=3，EC=BC−BE=6−3=3；
（2）证明：∵CF平分∠BCD，
∴与（1）同理可得CD=FD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴BE=FD，
∴AD−FD=BC−BE，
∴AF=CE．
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
（3）解：∵AB=BE，∠B=60°，AB=1，
∴△ABE为边长为1的等边三角形，同理△CDF也为边长为1的等边三角形．
①当点P在AB上，点Q在CD上时，如图．当BP=DQ时四边形BPDQ为平行四边形，
∵BP=t，CQ=2t，
∴t=1−2t，
1
∴t= ；
3
②当点P在AE上，点Q在CF上时，如图．
当AP=CQ时，
∵四边形AFCE为平行四边形，
∴∠EAF=∠ECF，
∵AD=BC，
∴△ADP≌△CBQ，
∴DP=BQ，
同理可证：△BAP≌△DCQ，
∴BP=QD，
∴此时四边形BPDQ为平行四边形，
∴t−1=3−2t，
4
∴t= ，
3
1 4
综上所述，t的值为 或 ．
3 3
21．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿
B→A→C→B的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2cm/s的速
度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点
A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？请画出对应的图形，并求出时间t和CD的
值．
【思路点拨】
（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程=AB+CA列方程求解即
可；
8 8 16 16
（2）分四种情况进行讨论：当0≤t≤ 时，当
