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专题 18.3 平行四边形中的动点问题
◆ 典例分析
【典例1】如图①，在▱ABCD中，AD=12．动点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发沿A−D−A
运动，同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿BC运动，当点P、点Q中有一点停止运动，另
一点也同时停止运动．设点P运动的时间为t(t>0)秒．
（1）当点P从A向D运动时，PD=______，QC=______；
当点P从D向A运动时，PA=______；（用含t的代数式表示）．
（2）当直线PQ恰好平分 ▱ABCD的面积时，求t的值．
（3）如图②，点M、N分别为AD、BC的中点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形面积是 ▱ABCD面
2
积的 时，直接写出所有满足条件的t的值．
5
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）当直线PQ经过 ▱ABCD的中心点O时，恰好直线PQ恰好平分 ▱ABCD的面积，则AP=CQ，分两
种情况讨论，列式计算即可求解；
（3）分五种情况讨论，列式计算即可求解．
【解题过程】
（1）解：当点P从A向D运动时，PA=5t，BQ=2t，PD=12−5t，QC=12−2t；
当点P从D向A运动时， PA=24−5t；（用含t的代数式表示）．
故答案为：12−5t，12−2t，24−5t；
（2）解：当直线PQ经过 ▱ABCD的中心点O时，恰好直线PQ恰好平分 ▱ABCD的面积，∵▱ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠BCA，
∵AO=CO，∠AOP=∠COQ，
∴△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，
∴5t=12−2t或24−5t=12−2t，
12
解得t= 或t=4；
7
（3）解：设平行四边形的高为ℎ，则平行四边形的面积为12ℎ，
6
当0<t≤ 时，PM=6−5t，QN=6−2t，
5
1 2 12
由题意得， (6−5t+6−2t)ℎ = ×12ℎ，解得t= ；
2 5 35
6 12
当 <t≤ 时，PM=5t−6，QN=6−2t，
5 5
1 2 16
由题意得， (5t−6+6−2t)ℎ = ×12ℎ，解得t= （舍去）；
2 5 5
12
当 <t≤3时，PM=18−5t，QN=6−2t，
5
1 2 72
由题意得， (18−5t+6−2t)ℎ = ×12ℎ，解得t= （舍去）；
2 5 3518
当3<t≤ 时，PM=18−5t，QN=2t−6，
5
1 2 4
由题意得， (18−5t+2t−6)ℎ = ×12ℎ，解得t= （舍去）；
2 5 5
18 24
当 <t≤ 时，PM=5t−18，QN=2t−6，
5 5
1 2 24
由题意得， (5t−18+2t−6)ℎ = ×12ℎ，解得t= ；
2 5 5
12 24
综上，t的值为 或 ．
35 5
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，等边三角形ABC的边长为10cm，射线AG∥BC，点E
从点A出发沿射线：AG以2cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动．设
运动时间为ts，当以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（ ）
A．2或3 B．2或5 C．5或10 D．2或10
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．
分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边
形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【解题过程】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=2t cm，BF=3t cm，
则CF=BC−BF=10−3t(cm)，
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即2t=10−3t，
解得：t=2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=2t cm，BF=3t cm，
则CF=BF−BC=3t−10(cm)，
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即2t=3t−10，
解得：t=10；
综上可得：当t=2s或10s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故选：D．
2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90∘，AD=16cm，
BC=21cm，CD=13cm．动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3cm的速度运动．动点Q同时从点A出发，
在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动；当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动
时间为t秒，当以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（ ）
37 5 5 37 37
A．2或 秒 B． 秒 C． 或 秒 D． 秒
4 2 2 4 3
【思路点拨】
本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形PCDQ为平行四边形
时，②当四边形CPDQ为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求
解．
【解题过程】
解：∵AD=16cm，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向终点D运动，
∴运动时间为16÷1=16（秒），
∵BC=21cm，P的速度为每秒3cm，P到达C的时间为21÷3=7（秒），∴当P在C点以及C点的左边时，即0≤t≤7时，PC=21−3t，
当P在C的右边时，即7<t≤16时，PC=3t−21，
以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，
①当四边形PCDQ为平行四边形时，0<t≤7，PC=DQ，
∴16−t=21−3t，
5
解得：t= ；
2
②当四边形CPDQ为平行四边形时，7<t≤16，CP=DQ，
∴3t−21=16−t，
37
解得t= ，
4
5 37
综合上述，当t= 或 时，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形．
2 4
故选：C．
3．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=16cm，∠ABC
的平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q
同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运
动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（ ）
14 14
A．2s B．5s C．2s或 s D．5s或 s
3 3
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线，一元一次方程的应用．熟练掌握平行四边形的性质，角平分线，
一元一次方程的应用是解题的关键．
由平行四边形ABCD，BF是∠ABC的平分线，可得∠AFB=∠CBF=∠ABF，则AF=AB=6，由题意
1
得CE= BC=8，点P运动到F时间为6÷1=6s，点Q运动到E时间为8÷2=4s，当0≤t<4时，AP=t，
2
CQ=2t，则PF=6−t，QE=8−2t，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF=QE，即6−t=8−2t，计算求解即可；当4≤t<6时，AP=t，CQ=2t，则PF=6−t，QE=2t−8，当以P、Q、
E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF=QE，即6−t=2t−8，计算求解即可．
【解题过程】
解：∵平行四边形ABCD，BF是∠ABC的平分线，
∴∠AFB=∠CBF=∠ABF，
∴AF=AB=6，
∵点E是BC的中点，
1
∴CE= BC=8，
2
∴点P运动到F时间为6÷1=6s，点Q运动到E时间为8÷2=4s，
当0≤t<4时，AP=t，CQ=2t，则PF=6−t，QE=8−2t，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF=QE，
∴6−t=8−2t，
解得，t=2，
当4≤t<6时，AP=t，CQ=2t，则PF=6−t，QE=2t−8，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF=QE，
∴6−t=2t−8，
14
解得，t= ，
3
14
综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为2s或 s，
3
故选：C．
4．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=10cm，
动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运
动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形ABCD的
任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，t= ．
【思路点拨】本题考查平行四边形的性质、解一元一次方程，设t秒后四边形ABQP是平行四边形，由题意得，
AP=tcm，CQ=2tcm，由AP=BQ列方程求解即可；当四边形DCQP是平行四边形，由题意得，
AP=tcm，CQ=2tcm，由PD=CQ或PD=BQ列方程求解即可．
【解题过程】
解：设t秒后四边形ABQP是平行四边形，
由题意得，AP=tcm，CQ=2tcm，
则BQ=(10−2t)cm，
∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t=10−2t，
10
解得t= ，
3
10
即 秒时四边形ABQP是平行四边形；
3
当四边形DCQP是平行四边形，
则PD=(6−t)cm，
∵AD∥BC，
∴当PD=CQ时，四边形DCQP是平行四边形，
∴2t=6−t，
解得t=2，
当PD=BQ时，10−2t=6−t，
解得t=4，
10
∴ 或2或4秒时，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形，
3
10
故答案为： 或2或4．
3
5．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且
BD=8cm，点 M以点 A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点 P从点 B出发，沿BA方向
匀速运动，速度为1cm/s，过点 P 的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为
t(s)(0<t<2.5)，当t为 时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形．【思路点拨】
本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；熟练掌握平行
四边形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键．
分两种情况：①当点M在点D的上方时，PQ=BP=t，AM=4t，AD=6，得MD=AD−AM=6−4t，
由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；
②当点M在点D的下方时，PQ=BP=t，AM=4t，AD=6，得MD=AM−AD=4t−6，由PQ∥MD，
当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．
【解题过程】
解：如图1所示：
∵BD⊥AC
，
∴AD=❑√AB2−BD2=❑√102−82=6，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，即∠PBQ=∠C，
∵PQ∥AC，
∴∠PQB=∠C，
∴∠PBQ=∠PQB，
∴PB=PQ；
分两种情况：
①当点M在点D的上方时，如图2所示：由题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=6，
∴MD=AD−AM=6−4t，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，
即：当t=6−4t时，四边形PQDM是平行四边形，
6
解得：t= (s)；
5
②当点M在点D的下方时，如图3所示：
根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=6，
∴MD=AM−AD=4t−6，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，
即：当t=4t−6时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：t=2(s)；
6
综上所述，当t= s或t=2s时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形；
5
6
故答案为： s或2s．
5
6．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B运动，过点P作PR∥BC，PQ∥AC，分别交AC，BC于R，Q．
（1）四边形PQCR的形状是______；若设AP=xcm，则四边形PQCR的面积可表示为______cm2．
（2）四边形PQCR的面积能为16cm2吗？如果能，请求出P点与A点之间的距离；如果不能，请说明理由．
【思路点拨】
此题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，利用平方根解方程，正确理解平行四边形的判
定定理及图形面积的求法是解题的关键．
（1）根据两组对边分别平行证明四边形PQCR是平行四边形，利用等腰直角三角形的性质推出
AP=RP=x,PB=QB=8−x，根据面积和差计算求出四边形PQCR的面积；
（2）利用（1）列方程求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵PR∥BC，PQ∥AC，
∴四边形PQCR是平行四边形，
∵等腰直角三角形ABC中，AB=BC=8cm，∠ABC=90°，
∴∠A=∠C=45°，
∵PR∥BC，PQ∥AC，
∴∠ARP=∠C=45°，∠PQB=∠C=45°，∠QPB=∠A=45°
∴∠A=∠ARP=45°，∠APR=90°，∠QPB=∠PQB=45°
∴AP=RP=x,PB=QB=8−x
∴四边形PQCR的面积为：
1 1 1
AB2− AP2− PB2
2 2 2
1 1 1
= ×82− x2− (8−x) 2
2 2 2
=8x−x2；
（2）解：能等于16cm2．
设当平行四边形PQCR的面积为16cm2时，即8x−x2=16，
∴x2−8x+16=0，(x−4) 2=0，
∴x−4=0
解得：x=4，
即P点与A点之间的距离为4cm时，平行四边形PQCR的面积为16cm2．
7．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AD=8cm，
AB=15cm，CD=21cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，
以2cm/s的速度沿折线B−C−D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，
设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示PB=______cm；
（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
【思路点拨】
本题考查平行四边形的性质，列代数式：
（1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可；
（2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可．
【解题过程】
（1）解：由题意，得：AP=tcm，
∴PB=AB−AP=(15−t)cm；
故答案为：(15−t)．
（2）解：过点B作BE⊥CD，则：∠BEC=90°=∠ADE，
∴BE∥AD，
∵AB∥CD，
∴四边形ADEB是平行四边形，
∴DE=AB=15,BE=AD=8，∴CE=CD−DE=6，
∴BC=❑√82+62=10，
当直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况：
①当四边形PBCQ为平行四边形时：则：PB=CQ，
∴15−t=2t−10，
25
解得：t= ；
3
②当四边形APQD为平行四边形时，则：AP=DQ，
∴t=21+10−2t，
31
解得：t= ；
3
25 31
综上：t= 或t= ．
3 3
8．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=8cm，动
点P从点A开始以2cm/s的速度向点C运动，动点F从点B开始以1cm/s的速度向点A运动，两点同时运
动，同时停止，运动时间为t(s)．
（1）过点P作PD∥AB交BC于点D，连接DF，求证：四边形AFDP是平行四边形．
（2）当t为何值时，△PAF是等边三角形？
（3）当t为何值时，△PAF是直角三角形？请直接写出答案．
【思路点拨】
本题主要考查了平行四边形的判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质：
1
（1）先求出AC，进而求出AF=(8−t)cm，PC=(16−2t)，再求出PD= PC=(8−t)cm得到
2
PD∥AF，PD=AF，由此即可证明四边形AFDP是平行四边形；
（2）先求出∠A=60° ，则当AF=AP时，△PAF是等边三角形，据此建立方程求解即；
（3）分当∠APF=90°时，当∠AFP=90°时，两种情况讨论求解即可．
【解题过程】
（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=8cm，∴AC=2AB=16cm，
由题意得，BF=tcm，AP=2tcm，
∴AF=(8−t)cm，PC=(16−2t)，
∵PD∥AB，
∴∠PDC=∠ABC=90°，
1
∴PD= PC=(8−t)cm，
2
∴PD∥AF，PD=AF，
∴四边形AFDP是平行四边形；
（2）解：∵∠ABC=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°
∴当AF=AP时，△PAF是等边三角形，
∴8−t=2t，
8
∴t= ，
3
8
∴当t= 时，△PAF是等边三角形；
3
（3）解：当∠APF=90°时，则∠AFP=30°，
1
∴AP= AF，
2
1
∴2t= (8−t)
2
8
∴t= ；
5
当∠AFP=90°时，则∠APF=30°，
1
∴AF= AP，
2
1
∴8−t=2t×
2
∴t=4；
8
∴当t= 或t=4时，△PAF是直角三角形．
5
9．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=12cm，
BC=15cm．点P从A点出发，以1cm/s的速度向点D运动；同时点Q从点C出发以2cm/s的速度向点B运动．规定运动时间为t秒，当其中一点到达终点时另一点也同时停止运动．
（1）AP= ____cm，BQ=____cm（分别用含有t的式子表示）；
（2）四边形APCQ可能是平行四边形吗？说明理由．
（3）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．
（4）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【思路点拨】
本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想是解决问题的
关键．
（1）根据路程等于速度乘以时间，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质进行判断即可；
（3）设点A到BC距离为ℎ，根据四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍，可列方程，解方程即
可得到答案；
（4）分四种情况讨论，根据平行四边形对边相等，列出一元一次方程，解方程即可．
【解题过程】
（1）解：∵点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，
∴AP=tcm，CQ=2tcm，
∴BQ=(15−2t)cm，
故答案为：t，(15−2t)．
（2）四边形APCQ不可能是平行四边形，
由题意可得，AP=t,CQ=2t，若四边形APCQ是平行四边形，则AP=CQ，
但是AP≠CQ，
∴四边形APCQ不可能是平行四边形
（3）解：设点A到BC的距离为ℎ，
∵四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍，
1 1
∴可得： ×(12−t+2t)×ℎ =2× ×(t+15−2t)×ℎ，
2 2
解得：t=6；
（4）解：若四边形APQB是平行四边形，∴AP=BQ，
∴可得：t=15−2t，
解得：t=5，
若四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴可得：12−t=2t，
解得：t=4，
若四边形APCQ是平行四边形，
∴AP=CQ，
∴可得：t=2t，
解得：t=0（不合题意，舍去），
若四边形PDQB是平行四边形，
∴PD=BQ，
∴可得：12−t=15−2t，
解得：t=3，
综上可得：当t=4或3或5时，点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．
10．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在▱ABCD中，AB=5cm，BC=9cm，动点P从点A出发，
以每秒2cm的速度沿▱ABCD的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒3cm的速度沿
( 28)
▱ABCD的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒 0<t< ．
3
（1）当点P在BC上运动时，BP=______cm（用含t的代数式表示）；
（2）当t=______秒时，P，Q两点相遇；
（3）是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若
不存在，请说明理由．
【思路点拨】
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上
知识是解题的关键．（1）结合题意利用距离=速度×时间的关系式解答即可；
（2）利用t的代数式表示出点P，Q移动的距离，再利用两点移动的距离之和为平行四边形的周长列方程
解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当APCQ为平行四边形时，利用平行四边形的对
边相等的性质列出关于t的方程解答即可；②当AQCP为平行四边形时，利用同样的方法解答即可．
【解题过程】
（1）解：∵动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿▱ABCD的边逆时针匀速运动，
∴点Pt秒运动的距离为2tcm，
∵AB=5cm，
∴当点P在BC上运动时，BP=(2t−5)cm，
故答案为：(2t−5)；
（2）解：∵在▱ABCD中，AB=5cm，BC=9cm，
∴▱ABCD的周长为28cm．
由题意得：点P经过t秒运动的距离为2tcm，点Q经过t秒运动的距离为3tcm，
∴P，Q两点相遇时，2t+3t=28，
∴5t=28，
28
∴t= ．
5
28
∴当t= 秒时，P，Q两点相遇．
5
28
故答案为： ；
5
14 42
（3）解：存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，t的值为 秒或 秒．理
5 5
由：
①当APCQ为平行四边形时，如图，
由题意得：PC=(14−2t)cm，AQ=3tcm，
∵四边形APCQ为平行四边形，
∴14−2t=3t，∴5t=14，
14
∴t= ．
5
②当AQCP为平行四边形时，如图，
由题意得：AQ=(28−3t)cm，PC=(2t−14)cm，
∵四边形APCQ为平行四边形，
∴28−3t=2t−14，
∴5t=42，
42
∴t= ．
5
14 42
综上，存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，t的值为 秒或 秒．
5 5
11．（23-24八年级下·河南开封·期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=18，BC=30，
AB=DC=12，动点P从点D出发，以每秒1个单位长的速度沿线段DA的方向向点A运动，动点Q从点C
出发，以每秒2个单位长的速度沿射线CB的方向运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到
点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒)．
（1）当t=3时，△APQ的面积为______；
（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t；
（3）是否存在t，使得以A、P、Q三点为顶点的三角形是以AQ为底的等腰三角形？若存在，直接写出t
的值；若不存在，说明理由．
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是
正确分类，列出方程求解．
（1）作AE⊥BC，DF⊥BC，证明△ABE≌△DCF，从而求得EB=CF=6，进而求得AE和DF的长，
进一步求得结果；（2）由AP=BQ列出方程求得结果；
（3）作PG⊥BC于G，DF⊥BC于F，以A、P、Q三点为顶点的三角形是以AQ为底的等腰三角形，即
PQ=AP， 据此求解即可．
【解题过程】
（1）如图1，
作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
∴AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴AE=DF，四边形AEFD是平行四边形，
∴EF=AD=16，
∵AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
BC−EF
∴BE=CF= =6，
2
∴AE=❑√AB2−BE2=❑√122−62=6❑√3，
当t=3时，PD=3，
∴AP=AD−PD=18−3=15，
1 1
∴S = AP⋅AE= ×15×6❑√3=45❑√3，
△APQ 2 2
故答案为：45❑√3；
（2）∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴18−t=30−2t，
∴t=12；
（3）如图，作PG⊥BC于G，DF⊥BC于F，以A、P、Q三点为顶点的三角形是以AQ为底的等腰三角形，即PQ=AP，
∵PG=DF=6❑√3，QG=CQ−CF−GQ=t−6，
∴PQ2=PG2+QG2=(6❑√3) 2+(t−6) 2，
∴(6❑√3) 2+(t−6) 2=(18−t) 2，
15
∴t= ，
2
12．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，BD⊥CD，
AB=6cm，BC=10cm．点E从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度匀速运动，到点A时停止运动，连接
EO并延长交BC于点F．设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形EDCF是平行四边形？并说明理由；
（2）当t=3s时，求四边形OFCD的面积．
【思路点拨】
（1）当运动的时间为ts时，DE=2t，FC=10−2t，因为四边形EDCF是平行四边形，所以ED∥FC，
当ED=FC时，四边形EFCD是平行四边形，可得关于t的方程10−2t=2t，解方程求出t的值；
（2）过点D作DM⊥BC于点M，过点O作ON⊥BC于点N，利用三角形的面积公式求出DM的长度，
从而可求△DBC的面积，根据三角形中位线的性质可求出ON的长度，从而可求△BOF的面积，用
△DBC的面积减去△BOF的面积即可得到四边形OFCD的面积．
【解题过程】
（1）解：当t=2.5s时，四边形EDCF是平行四边形，
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=10cm，BO=DO，∴∠EDO=∠FBO，
{∠EDO=∠FBO
)
在△DEO和△BFO中， DO=BO ，
∠EOD=∠FOB
∴△DEO≌△BFO(ASA)，
∴DE=BF=2t．
∵BC=10cm，
∴CF=(10−2t)cm．
∵CF∥ED，
CF=ED，即10−2t=2t时，
四边形EDCF是平行四边形，
解得：t=2.5s；
（2）解：如图所示，过点D作DM⊥BC于点M，过点O作ON⊥BC于点N，
∵BD⊥CD，AB=6cm，BC=10cm，
∴在Rt△DBC中，由勾股定理，得BD=8cm，
1 1
由三角形的面积公式，得S = BD⋅CD= BC⋅DM，
△BDC 2 2
∴6×8=10DM，
∴DM=4.8cm，
∵ON⊥BC,DM⊥BC，
∴DM∥ON，
∵DO=BO，
1
∴ON= DM=2.4cm，
2
1
∵S = ×6×8=24(cm2)，
△BDC 2
当t=3s时，DE=BF=6cm，
1
∴S = ×2.4×6=7.2(cm2)，
△BOF 2∴S =24−7.2=16.8(cm2)．
四边形OFCD
13．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=16cm．
点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线BC以3cm/s的速度向右
运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为ts．
（1）在点P，Q运动过程中，AP=___________cm，BQ=___________cm；
（2）连接BP，AQ，若BP与AQ互相平分，求此时t的值；
（3）在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出
此时的运动时间t；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据AD=12cm，BC=16cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，
沿着射线BC以3cm/s的速度向右运动，列出代数式即可解决；
（2）根据BP与AQ互相平分，得四边形ABQP是平行四边形，所以AP=BQ，得12−t=3t，解方程即可
解答；
（3）有两种情况：①点Q在线段BC上，②点Q在线段BC的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方
程解答即可．
【解题过程】
（1）解：∵AD=12cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，
∴DP=tcm，
∴AP=(12−t)cm，
∵BC=16cm，点Q从点B出发，沿着射线BC以3cm/s的速度向右运动，
∴BQ=3tcm，
故答案为：(12−t)，3t；
（2）解：若BP与AQ互相平分，则ABQP是平行四边形，
∴AP=BQ，
即12−t=3t，
解得：t=3；（3）解：存在，理由如下：
①点Q在线段BC上，
当PD=CQ时，以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
此时PD=tcm，QC=(16−3t)cm，
即t=16−3t，
解得t=4；
②点Q在线段BC的延长线上，
当PD=CQ时，以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
此时PD=tcm，QC=(3t−16)cm，
即t=3t−16，
解得t=8；
综上所述，存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为4s或8s．
14．（23-24八年级下·四川德阳·期中）已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，
AD=3，AB=❑√10．
（1）如图1，求BC长．
（2）如图2，点E在BC的延长线上，连接DE，若DE=CE，且四边形ABCD的面积为9．求DE的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，动点P从点A出发沿AD以每秒0.5个单位长度的速度向终点D匀速运动，
动点Q从点E出发以每秒3.5个单位长度的速度沿EB向终点B匀速运动．点P和点Q同时出发，当点Q
到达终点停止运动时点P也随之停止运动，当运动时间t（秒）为何值时，以C、D、P、Q四点为顶点的
四边形是平行四边形？
【思路点拨】
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握平行四
边形的性质与判定．
（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由平行四边形的性质可得结果；
（2）过点D作DH⊥BE，设EC=ED=x，由勾股定理列出方程求解即可得出结论；
（3）分为当点Q在线段CE上时及当点Q在线段BC上时两种情况进行讨论，再利用平行四边形的判定列
出方程求解即可．【解题过程】
（1）解：∵A∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∵∠ABC=∠ADC
∴∠A+∠ADC=180°，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3；
（2）如图2，过点D作DH⊥BE，设DE=x，
∴EC=ED=x，
∵▱ABCD的面积为9，BC=3，
∴S =3DH=9，
▱ABCD
∴DH=3，
∵▱ABCD中，AB=❑√10，
∴CD=AB=❑√10，
∴CH=1，
∴HE=x−1，
∵在Rt△DHE中，DH2+H E2=DE2，
∴32+(x−1) 2=x2，
∴x=5，
∴DE=5；
（3）如图3，当点Q在线段CE上时，由题意得：PD=3−0.5t,CQ=5−3.5t，
∵PD∥CQ，
∴只要使PD=CQ，四边形PCQD是平行四边形，
∴3−0.5t=5−3.5t
2
解得：t= ，
3
当点Q在线段BC上时，
由题意得：PD=3−0.5t,CQ=3.5t−5，
∵PD∥CQ，
∴只要使PD=CQ，四边形PQCD是平行四边形，
∴3−0.5t=3.5t−5，
解得：t=2，
2
综上所述：t=2或 时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形．
3
15．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图四边形ABCD是平行四边形，点P为AD边上一动点，连接
CP并延长交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是 N，连接AN，NP，设点 P 运动时间为t
（s）解答下列问题：
（1）若AD=6cm，CD=2cm，∠B=45°，点 P 从点A 出发沿AD方向运动速度为3cm/s．当t为何
值时，四边形ACDM是平行四边形？
（2）在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形ANPM是平行四边形？若存在求出相应的t的值；
若不存在请说明理由．
【思路点拨】
本题考查平行四边形的性质及判定，勾股定理，运用反证法是解题的关键．（1）连接AC，MD，当AP=DP时，可推出△APM≌△DCM(ASA)，得到MP=CP，从而四边形
ACDM是平行四边形，根据AP=3tcm，DP=AD−AP=6−3t(cm)，代入AP=DP，即可求解；
（2）根据已知条件得出BN=MN，由四边形ABCD是平行四边形得到AP∥BC，假设四边形ANPM是
平行四边形，则PN∥AB，得到四边形ABNP是平行四边形，从而得到PN=AB=AM=2，
2❑√2
BM=❑√BN2+M N2=3❑√2t，根据BM=AB+AM得到得t= ．另外若四边形ANPM是平行四边形，
3
2❑√2
AM平行且等于CD，从而四边形ACDM是平行四边形，由（1）可得此时t=1s，与当t= s时，四边
3
形ABNP是平行四边形相矛盾，即四边形ANPM不是平行四边形．
【解题过程】
（1）解：连接AC，MD，
∵在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠MAP=∠CDP，
∵∠MPA=∠CPD
∴当AP=DP时，△APM≌△DCM(ASA)，
∴MP=CP，
∴四边形ACDM是平行四边形．
∵AP=3tcm，DP=AD−AP=6−3t(cm)，
∴3t=6−3t，
解得t=1，
∴当t=1s时，四边形ACDM是平行四边形．
（2）解：∵MN⊥BC，
∴∠MNB=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BMN=90°−∠B=45°，
∴∠B=∠BMN，∴BN=MN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AP∥BC，
假设四边形ANPM是平行四边形，则PN∥AM，PN=AM，
∴PN∥AB
∵AP∥BN
∴四边形ABNP是平行四边形，
∴PN=AB=2，NB=AP=3t，
∴AM=PN=2，MN=NB=3t，
∴BM=❑√BN2+M N2=3❑√2t
又∵BM=AB+AM
∴3❑√2t=2+2，
2❑√2
解得t= ，
3
2❑√2
∴当t= s时，四边形ANPM是平行四边形，
3
若四边形ANPM是平行四边形，则PN∥AM，PN=AM，
∵AM=AB=CD
∴AM平行且等于CD
∴四边形ACDM是平行四边形，
由（1）可得此时t=1s，
2❑√2
与当t= s时，四边形ABNP是平行四边形相矛盾，
3
∴四边形ANPM不是平行四边形．
16．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，▱ABCD的顶点B与坐标原点重合，点C在x轴上，点A的
坐标为(3，4)，AD=8．动点P从点D出发沿DA以1个单位每秒的速度向终点A运动，同时点Q从点B
出发，以3个单位每秒的速度沿射线BC运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动
时间为t秒（t>0）．（1）求CD的长；
（2）连结PQ，是否存在t的值，使得PQ与CD互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若点P关于直线DQ对称的点恰好落在直线CD上，请直接写出点P的坐标．
【思路点拨】
（1）根据A的坐标求出OA，然后利用平行四边形的性质求解即可；
（2）由PQ与CD互相平分，可得四边形DPCQ是平行四边形，则DP=CQ，可得关于t的方程，求解即
可；
（3）分Q在线段BC上和线段BC的延长线讨论即可．
【解题过程】
（1）解：∵点A的坐标为(3，4)，
∴AO=❑√32+42=5，
∵▱ABCD的顶点B与坐标原点重合，
∴CD=AO=5；
（2）解：如图，连接PC，DQ，
∵PQ与CD互相平分，
∴四边形DPCQ是平行四边形，
∴DP=CQ，∵▱ABCD的顶点B与坐标原点重合，点C在x轴上， AD=8，
∴OC=8，
∵动点P从点D出发沿DA以1个单位每秒的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以3个单位每秒
的速度沿射线BC运动，
∴AP=t，CQ=3t，
∴t=3t−8，
∴t=4，
∴存在，当t=4时，PQ与CD互相平分；
（3）解：当分Q在线段BC上时，如图，
∵P，P 关于DQ对称，
1
∴∠ADQ=∠CDQ，
∵四边形AOCD是平行四边形，
∴AD∥OC，
∴∠ADQ=∠DQC，
∴∠DQC=∠CDQ，
∴CQ=CD=5，
∴OQ=OC−CQ=3，
∴t=3÷3=1，
∴DP=1，
∴AP=AD−DP=7，
∴P(10,4)；
当Q在线段BC的延长线时，如图，过D作DH⊥OC于Q，∵P，P 关于DQ对称，
1
∴∠1=∠2，
∵AD∥OC，
∴∠1=∠DQC，
又∠2=∠CDQ，
∴∠DQC=∠CDQ，
∴CQ=CD=5，
∴OQ=OC+CQ=13，
13
∴t=13÷3= ，
3
13
∴DP= ，
3
11
∴AP=AD−DP= ，
3
(20 )
∴P ,4 ；
3
(20 )
综上，P的坐标为(10,4)或 ,4 ．
3
17．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.25cm的速度从
点A向点D运动．
（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD=CP，求∠B的度数．（2）在（1）的条件下，若AB=2cm，求△PCD的面积．
（3）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C出发，在BC 间往返运动，P，Q两点同
时出发，当点P到达点D时停止运动（同时 Q点也停止），若AD=6cm，求当运动时间为多少秒时，以
P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【思路点拨】
（1）由平行线的性质和角平分线定义可得∠DPC=∠PCD，则可得DP=DC，再结合CD=CP可得
△DPC是等边三角形，进而可得∠B=∠D=60°．
（2）作CH⊥AD于H点，由平行四边形的性质可得DC=2cm，再根据等边三角形面积公式计算即可．
（3）根据题意可得， P点从A点运动到D点停止时，Q点需往返运动2次．由四边形ABCD是平行四边
形可得AD∥BC，因此PD∥BQ．若以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，设
运动时间为t秒，分4种情况讨论：①0≤t≤6，②6<t≤12，③12<t≤18，④18<t≤24，根据PD=BQ
列方程，即可求出t的值．
【解题过程】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB，
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCB=∠PCD，
∴∠DPC=∠PCD，
∴DP=DC，
又∵CD=CP，
∴DP=DC=CP，
∴△DPC是等边三角形，
∴∠D=60°，
∴∠B=60°．
（2）如图，作CH⊥AD于H点，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=2cm，
∵△DPC是等边三角形，
∴DP=DC=2cm，
1
∴DH= DP=1cm，
2
∴CH=❑√DC2−DH2=❑√3cm，
1 1
∴S = DP⋅CH= ×2×❑√3=❑√3cm2 ．
△PCD 2 2
（3）由题知P点从A点运动到D点需要6÷0.25=24s，Q点从C点运动到B点需要6÷1=6s，因此P点
从A点运动到D点停止时，Q点需往返运动2次．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴PD∥BQ，
若以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ．
设运动时间为t秒，
①当0≤t≤6时，PD=6−0.25t，BQ=6−t，
∴6−0.25t=6−t，
此方程无解；
②当6<t≤12时，PD=6−0.25t，BQ=t−6，
∴6−0.25t=t−6，
解得t=9.6；
③当12<t≤18时，PD=6−0.25t，BQ=6×3−t=18−t，
∴6−0.25t=18−t，
解得t=16；
④当18<t≤24时，PD=6−0.25t，BQ=t−6×3=t−18，
∴6−0.25t=t−18，
解得t=19.2．
综上，当运动时间为9.6秒或16秒或19.2秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．
18．（23-24九年级下·广西梧州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，CD=12cm，
AC=16cm．动点P从点A出发沿AD以1cm/s速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以4cm/s速度沿射线CB运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒(t>0)．
（1）当点Q在线段CB延长线上时，用含t的代数式表示线段BQ的长；
（2）连结PQ，是否存在t的值，使得PQ与AB互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上，请求出t的值．
【思路点拨】
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质及勾股定理即可解答．
（2）连接PB、AQ，根据题意得到四边形APBQ是平行四边形，AP=BQ，列式求解即可．
（3）分两种情况∶①当点P关于直线AQ对称的点恰好落在点A下方时；②当点P关于直线AQ对称的点
恰好落在点A上方时，根据平行四边形的性质即可解答
【解题过程】
（1）解： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC=12，
∵∠BAC=90°，
∴CB=❑√AC2+AB2=❑√162+122=20，
当点Q在线段CB延长线上时，QB=CQ−CB=4t−20(t>5)
（2）存在，理由如下：
如图1，连接PB、AQ，
∵PQ与AB互相平分，则四边形APBQ是平行四边形，
∴AP=BQ，
∴t=4t−20，20
解得：t= ，
3
20
∴当t的值为 时；PQ与AB互相平分；
3
（3）分两种情况：
①当点P关于直线AQ对称的点恰好落在点A下方时，如图2，
由对称的性质得：∠PAQ=∠P′ AQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠PAQ=∠AQB，
∴∠P′ AQ=∠AQB，
∴BQ=AB=12，
∴CQ=CB−BQ=20−12=8，
即4t=8，解得：t=2；
②当点P关于直线AQ对称的点恰好落在点A上方时，如图3，
由对称的性质得：∠PAF=∠P′ AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠PAF=∠BQA，
∵∠P′ AF=∠BAQ，
∴∠BQA=∠BAQ，∴BQ=AB=12，
∴CQ=CB+BQ=20+12=32，
即4t=32，解得：t=8；
综上所述，t的值为2或8．
19．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=90°，
AB=6cm，AD=10cm．动点M从点B出发沿边BC以2cm/s速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，
以4cm/s速度沿射线DA运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为ts．
（1）当t=3时，AM=__________；
（2）是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，
请说明理由；
（3）若动点M关于直线BN对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出t的值．
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称
的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质是解决问题的关键．
（1）当t=3时，BM=6cm，可知△ABM为等边三角形，即可求得AM=AB=6cm；
5 5
（2）由题意可知，DN=4t，BM=2t，分两种情况：当0≤t< 时，点N在点A右侧，当 <t≤6时，点
2 2
N在点A左侧，建立等式即可求解；
（3）分两种情况：当对称点F落在线段AB上时，当对称点F落在线段AB的延长线上时，建立等式即可求
解．
【解题过程】
（1）解：当t=3时，BM=2×3=6cm，
又∵∠B=60°，AB=6cm，
∴△ABM为等边三角形，
∴AM=AB=6cm，
故答案为：6cm；
（2）∵AD∥BC，∠C=90°，∴∠D=90°，
过点A作AE⊥BC，
∵∠B=60°，AB=6cm，则∠AEB=∠AEC=90°，∠BAE=30°，
1
∴BE= AB=3cm，四边形ADCE是矩形，
2
∴CE=AD=10cm，则BC=13cm，
∴13÷2=6.5，则0≤t≤6.5，
由题意可知，DN=4t，BM=2t，
5
当0≤t< 时，点N在点A右侧，则AN=AD−DN=10−4t，
2
∵AD∥BC，
∴当AN=BM时，四边形ABMN是平行四边形，
5
即：10−4t=2t，解得：t= ；
3
5
当t= 时，点N与点A重合，符不符合题意；
2
5
当 <t≤6.5时，点N在点A左侧，则AN=4t−10，
2
∵AD∥BC，
∴当AN=BM时，四边形BMAN是平行四边形，
即：4t−10=2t，解得：t=5；
5
综上，当t= 或t=5时，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形；
3
（3）如图，当对称点F落在线段AB上时，根据题意，得BN平分∠ABC，
此时，由（2）可知AN=10−4t，∵AD∥BC，∠ABC=60°，BN平分∠ABC，
∴∠ABN=∠CBN=∠ANB=30°，
∴AB=AN=6cm，即：10−4t=6，
解得：t=1；
如图，当对称点F落在线段AB的延长线上时，根据题意，得BN的反向延长线BG平分∠FBC，此时，由
（2）可知AN=4t−10，
∵AD∥BC，∠ABC=60°，BG平分∠FBC，
∴∠BAN=∠ABC=∠CBG=∠FBG=60°，则∠ABN=∠FBG=60°，
∴∠ABN=∠BAN=60°，
∴△ABN为等边三角形，
∴AN=AB=6cm，即：4t−10=6，
解得：t=4，
综上，动点M关于直线BN对称的点恰好落在直线AB上时，t=1或t=4．
20．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，
CF平分∠BCD，交AD于点F．
（1）若AB=3，AD=6，求BE,EC的长；
（2）求证：四边形AECF为平行四边形；
（3）若AB=1，AD>AB，∠B=60°，动点P，Q分别从B，C两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边
运动，点P沿B→A→E→B运动，点Q沿C→D→F→C运动，点P的运动速度为1个单位长度/秒，
点Q的运动速度是点P的2倍，点Q到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，直接写出t为
何值时，四边形BPDQ是平行四边形．【思路点拨】
本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是
解题的关键．
（1）根据角平分线的意义及平行四边形的性质可证∠BAE=∠BEA，则BE=AB=3，因此
EC=BC−BE=3；
（2）由等腰三角形的判定及平行四边形的性质可证AF=CE，而AF∥CE，故得证；
（3）△ABE、△CDF为边长为1的等边三角形， 则①当点P在AB上，点Q在CD上时，可得t=1−2t；
②当点P在AE上，点Q在CF上时，可得t−1=3−2t，分别求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵AE平分∠BAD，
1
∴∠FAE=∠BAE= ∠BAD．
2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=AB=3，EC=BC−BE=6−3=3；
（2）证明：∵CF平分∠BCD，
∴与（1）同理可得CD=FD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴BE=FD，
∴AD−FD=BC−BE，
∴AF=CE．
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
（3）解：∵AB=BE，∠B=60°，AB=1，
∴△ABE为边长为1的等边三角形，同理△CDF也为边长为1的等边三角形．
①当点P在AB上，点Q在CD上时，如图．当BP=DQ时四边形BPDQ为平行四边形，
∵BP=t，CQ=2t，
∴t=1−2t，
1
∴t= ；
3
②当点P在AE上，点Q在CF上时，如图．
当AP=CQ时，
∵四边形AFCE为平行四边形，
∴∠EAF=∠ECF，
∵AD=BC，
∴△ADP≌△CBQ，
∴DP=BQ，
同理可证：△BAP≌△DCQ，
∴BP=QD，
∴此时四边形BPDQ为平行四边形，
∴t−1=3−2t，
4
∴t= ，
3
1 4
综上所述，t的值为 或 ．
3 3
21．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿
B→A→C→B的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2cm/s的速
度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点
A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？请画出对应的图形，并求出时间t和CD的
值．
【思路点拨】
（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程=AB+CA列方程求解即
可；
8 8 16 16
（2）分四种情况进行讨论：当0≤t≤ 时，当 <t≤4时，当4<t≤ 时，当 <t≤8时，分别画出图形
3 3 3 3
进行求解即可．
【解题过程】
（1）解：设经过t秒钟两点第一次相遇，由题意得：
3t+2t=16，
16
解得：t= ，
5
16
∴经过 秒钟两点第一次相遇；
5
8
（2）解：①当0≤t≤ 时，点M、N、D的位置如图所示：
3
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DM=AN，DM∥AN，DN∥AB，
∴∠MDB=∠C=60°，∠NDC=∠B=60°，∴∠NDC=∠C，∠MDB=∠B，
∴ND=NC，BM=DM，
∴BM+CN=DM+NC=AN+NC=AC=8，
8
即：3t+2t=8，t= ，
5
8 16
∴CN=2× = ，
5 5
∵ND=NC，∠C=60°，
∴△CDN为等边三角形，
16
∴CD=CN= ；
5
8
②当 <t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
3
16
③4<t≤ 时，点M、N、D的位置如图所示：
3
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN=AM，DM=AN，DM∥AB，DN∥AC，
∴∠NDB=∠ACB=60°，∠MDC=∠B=60°，
∴∠MDC=∠C，
∴MD=MC，
∴AN=MC，
∴AB+AM+AC+AN
=AB+AM+AC+CM
=AB+AC+AM+CM
=AB+AC+AC
=8+8+8
=24，
∴3t+2t=24，24
解得：t= ，
5
MC=AB+AC−(AB+AM)
=8+8−3t
24
=16−3×
5
8
= ，
5
∵MD=MC，∠C=60°，
∴△MDC为等边三角形，
8
∴CD=MC= ；
5
16
④当 <t≤8时，点M、N、D的位置如图所示：
3
∵四边形ADMN为平行四边形，
∴MN∥AC，
∴∠NMB=∠C=60°，
∴∠B=∠NMB=60°，
∴△BMN为等边三角形，
∴BN=BM，
∵BN=16−2t，BM=24−3t，
∴16−2t=24−3t，
解得：t=8，
此时M、N重合，不能构成平行四边形．
8 24 16 8
综上分析可知：运动了 秒或 秒时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，CD= 或 ．
5 5 5 5
22．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、
BC于点E、F，交BD于点O．（1）试说明：BF=DE；
（2）试说明：△ABE≌△CDF；
（3）如果在▱ABCD中，AB=5，AD=10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和
△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点
Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）
【思路点拨】
（1）根据ASA证△EOD≌△FOB即可；
（2）推出DE=BF，根据平行四边形性质求出∠A=∠C，推出AE=CF，根据SAS证△ABE≌△CDF
即可；
（3）求出△DFC的周长，分为三种情况，①当P在AB上，Q在CD上，②当P在AE上，Q在CF上，③
当P在BE上，Q在DF上，每种情况m+n都等于△DFC的周长．
【解题过程】
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ODE=∠OBF，
∵EF垂直平分BD，
∴OB=OD，
在△OBF和△ODE中，
{∠OBF=∠ODE
)
OB=OD ，
∠BOF=∠DOE
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF=DE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠A=∠C，
∵BF=DE，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，{
AB=CD
)
∠A=∠C ，
AE=CF
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
（3）解：∵EF垂直平分BD，
∴BF=DF，
∵△ABE≌△CDF，
∴DF=BE，
AE=CF，
∴△DFC的周长是
DF+CF+CD
=BF+CF+CD
=BC+CD
=15，
故△ABE的周长也是15，
①当P在AB上，Q在CD上，
∵AB∥CD，
∴∠BPO=∠DQO，
在△BPO和△DQO中
{∠BPO=∠DQO
)
∠POB=∠DOQ ，
OB=OD
∴△BPO≌△DQO(AAS)，
∴BP=DQ，
∴m+n
=BP+DF+CF+CQ
=DF+CF+CQ+DQ
=DF+CF+CD
=15②当P在AE上，Q在CF上，
∵AD∥BC，
∴∠PEO=∠QFO，
∵△EOD≌△FOB，
∴OE=OF，
在△PEO和△QFO中
{∠PEO=∠QFO
)
OE=OF ，
∠EOP=∠FOQ
∴△PEO≌△QFO(ASA)，
∴PE=QF，
∵AE=CF，
∴CQ=AP，
m+n
=AB+AP+DF+PQ
=CD+CQ+DF+FQ
=DF+CF+CD
=15；
③当P在BE上，Q在DF上，
∵AD=BC，
AE=CF，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF，
∴∠PEO=∠QFO，
在△PEO和△QFO中
{∠PEO=∠QFO
)
OE=OF ，
∠EOP=∠FOQ
∴△PEO≌△QFO(ASA)，
∴PE=FQ，
∴m+n
=AB+AE+PE+DQ
=CD+CF+QF+DQ
=DF+CF+CD
=15；
综上所述：m与n满足的数量关系是m+n=15．
23．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒
0.5cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，在运动过程中，若CD=CP，CP平分∠BCD，求∠B的度数．
（2）如图3，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，CE平分∠ACF交BF于E点，当AE⊥CE，
DF=8时，求AC的长
（3）如图4，在（1）的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，若AB=4cm，求△APF的面积．
（4）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止)，若AD=6cm，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，
B四点组成的四边形是平行四边形．
【思路点拨】
（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到∠DPC=∠DCP，得到DP=DC，证明△PDC是等
边三角形，根据等边三角形的性质解答；
（2）延长AE交CF于点H，证明△AEC≌△HEC(ASA)，可得AE=EH，AC=CH，再证明
△ABE≌△HEF(AAS)，得AB=FH，然后利用线段的和差即可解决问题；
（3）作CH⊥AD，求出S ，根据三角形面积公式得到S =S ，得到答案；
△PCD △APF △PCD
（4）分0<t≤3、3<t≤6、6<t≤9、9<t≤12四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到
答案．
【解题过程】
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB，
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD=∠PCB，
∴∠DPC=∠DCP，
∴DP=DC，
∵CD=CP，
∴PC=CD=PD，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠D=∠B=60°；
（2）解：如图3，延长AE交CF于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACE=∠HCE，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠HEC=90°，
∵CE=CE，
∴△AEC≌△HEC(ASA)，
∴AE=EH，AC=CH，
∵ AB∥CD，
∴∠ABE=∠HFE，
∵∠AEB=∠HEF，
∴△ABE≌△HEF(AAS)，
∴AB=FH，
∵AB=CD，
∴FH=CD，
∵DF=DH+FH=DH+CD=CH=8，
∴AC=CH=8；
∴AC的长为8；
（3）解：如图2，作CH⊥AD于H，
∵△PDC是等边三角形，
∴CD=PD=AB=4，∠DCH=30°，
1 1
∴DH= PD= CD=2，
2 2
∴CH=❑√3DH=2❑√3，1
∴S = ×4×2❑√3=4❑√3，
△PCD 2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，BC∥AD，
1
∴S =S = S ，
△PBC △FAB 2 平行四边形ABCD
1
∴S +S = S ，
△ABP △PCD 2 平行四边形ABCD
∴S +S =S +S ，
△APF △ABP △ABP △PCD
∴ S =S =4❑√3cm2 ；
△APF △PCD
（4）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，
∴ PD∥BC，
要使四边形PDQB是平行四边形，则PD=BQ，
设运动时间为t秒，根据题意可知：AP=t，AD=6，
分以下四种情况：
①当0<t≤3时，PD=(6−0.5t)，BQ=(6−2t)
∴6−0.4t=6−2t，
解得t=0，不合题意；
②当3<t≤6时，PD=(6−0.5t)，BQ=(2t−6)
∴6−0.5t=2t−6，
解得，t=4.8；
③当6<t≤9时，PD=(6−0.5t)，BQ=(18−2t)
∴6−0.5t=18−2t，
解得，t=8；
④当9<t≤12时，PD=(6−0.5t)，BQ=(2t−18)
∴6−0.5t=2t−18，
解得，t=9.6；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形；
故答案为：4.8秒或8秒或9.6秒．
24．（23-24八年级下·四川成都·期末）平行四边形ABCD中，BD是对角线，过点B作AD、CD的垂线，
垂足点E在AD边上，垂足点F在CD延长线上，∠A=45°，AB=6，DF=2．（1）如图1，求△BDF的面积；
（2）如图2，连接EF，点G是EF的中点，求BG的长；
（3）如图3，BF与AD交点为P，∠MBN=45°，∠MBN的两边BM，BN分别与AD，CD所在直线交
于点M、N，∠MBN绕点B逆时针旋转，当点M从点A运动到点P时，求线段BN中点H的运动路径长．
【思路点拨】
（1）根据平行四边形的性质，易证△BCF是等腰直角三角形，得到CF=BF=8，再结合三角形面积公式
求解即可；
（2）过点F作FM⊥BC于点M，交AD于点N，与BG延长线交于点L，根据等腰直角三角形的性质，得
到BM=CM=FM=4❑√2，∠CFM=45°，结合平行四边形的性质，易证△DNF是等腰直角三角形，得
出FN=❑√2，进而得到BE=MN=3❑√2，证△BGE≌△LGF(AAS)，得出FL=BE=3❑√2，BG=LG，
ML=7❑√2再由勾股定理求出BL=❑√130，即可得到BG的长；
（3）延长BE、CN交于点G，取BG、BC的中点S、T，连接ST，当点M在点A位置时，点N与点G重合，
中点H与中点S重合，当点M运动到点P位置时，点N与点C重合，中点H与中点T重合，从而得出中点H
的运动路径长为ST的长，证明△BCG是等腰直角三角形，得到CG=❑√2BC=16，再利用三角形中位线定
理，求出ST的长，即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=45°，AB=CD=6，
∴CF=CD+DF=8，
∵BF⊥CD，
∴∠F=90°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴CF=BF=8，
1 1
∴S = DF⋅BF= ×2×8=8；
△BDF 2 2（2）解：如图2，过点F作FM⊥BC于点M，交AD于点N，与BG延长线交于点L，
∵△BCF是等腰直角三角形，CF=BF=8
∴BC=❑√CF2+BF2=8❑√2，
∵FM⊥BC，
∴BM=CM=FM=4❑√2，∠CFM=45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴FM⊥AD，
∴△DNF是等腰直角三角形，
∴DN=FN，DF=❑√DN2+FN2=❑√2FN=2，
∴FN=❑√2，
∴MN=FM−FN=3❑√2，
∴BE=MN=3❑√2，
∵BE∥ML，
∴∠EBG=∠L，
∵点G是EF的中点，
∴EG=FG，
在△BGE和△LGF中，
{
∠EBG=∠L
)
∠BGE=∠LGF ，
EG=FG
∴△BGE≌△LGF(AAS)，
∴FL=BE=3❑√2，BG=LG，
∴ML=FM+FL=7❑√2，在Rt△BML中，BL=❑√BM2+M L2=❑√130，
1 ❑√130
∴BG= BL= ；
2 2
（3）解：如图3，延长BE、CN交于点G，取BG、BC的中点S、T，连接ST，
∵BE⊥AD，∠A=45°，
∴∠ABE=45°，
当点M在点A位置时，
∵∠MBN=ABE=45°，
∴点N与点G重合，中点H与中点S重合，
当点M运动到点P位置时，
∵∠MBN=FBC=45°，
∴点N与点C重合，中点H与中点T重合，
∴中点H的运动路径长为ST的长，
∵BC∥AD，BE⊥AD，
∴BE⊥BC，
∵∠C=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
由（2）可知，BC=8❑√2，
∴CG=❑√BC2+BG2=❑√2BC=16，
∵S、T为BG、BC的中点，
∴ST是△BCG的中位线，
1
∴ST= CG=8，
2
即线段BN中点H的运动路径长为8．
