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专题18.3 解题技巧专题：矩形、菱形、正方形中折叠、旋转问题之六大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 矩形中的折叠问题】........................................................................................................................1
【考点二 菱形中的折叠问题】......................................................................................................................11
【考点三 正方形中的折叠问题】..................................................................................................................17
【考点四 矩形中的旋转问题】......................................................................................................................25
【考点五 菱形中的旋转问题】......................................................................................................................30
【考点六 正方形中的旋转问题】..................................................................................................................38
【典型例题】
【考点一 矩形中的折叠问题】
例题：（2023上·江西九江·九年级统考期末）如图，在矩形 中，将 沿 折叠，点D刚好落
在对角线 上的点F．
(1)若 ， ，求 的长．
(2)若 ，求证： ．
【变式训练】
1．（2023上·山东菏泽·七年级统考阶段练习）如图，将矩形纸片 沿 折叠，得到 ， 与
交于点 ．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
2．（2023上·山东东营·七年级校考阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，点 为射线
上一个动点，把 沿直线 折叠，当点 的对应点 刚好落在线段 的垂直平分线上时，则
的长为 ．
3．（2022下·河北衡水·八年级校联考阶段练习）如图1，在矩形纸片 中， ， ，折叠
纸片使B点落在边 上的点E处，折痕为 ．过点E作 交 于F，连接 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)当点E在 边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形 的边长
②若限定P、Q分别在边 、 上移动，菱形 的面积的最大值为______；最小值为______．
4．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，在矩形 中， ， ，点E是 上一点.将
沿 折叠后，得到 .点F在矩形 内部，延长 交 于点G.(1)如图①，当点E是 中点时，求 的长；
(2)如图②，在（1）的条件下，当矩形变化为平行四边形时，求证： ；
(3)如图③，在矩形 中，当点F落在矩形对角线 上时， 的长是
5．（2023上·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，有一矩形纸片 ， ， ，如图1，将
纸片折叠使 落在 边上， 的对应点为 ，折痕为 ．如图2，再将 以 为折痕向右折叠，
与 交于点 ．
(1)求 的值；
(2)四边形 的面积为________；
(3)如图3，将 绕点 旋转得到 ，点 刚好落在 上， 的对应点为 ， 的对应点为
，则 旋转的角度为________度；
【考点二 菱形中的折叠问题】
例题：（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）如图，菱形 中， ，M为边 上的一点，将菱
形沿 折叠后，点A恰好落在 的中点E处，则 ．【变式训练】
1．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校联考期中）如图，若菱形 的面积为 ， ，
将菱形 折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为 ，则 cm．
2．（2023下·河南南阳·八年级统考期末）如图，在菱形 中， ， 分别在边 上，
，将 沿 折叠，点 落在 的延长线上的点 处，则 ．
3．（2023下·广西来宾·八年级校考期末）如图，在菱形 中， ，将菱形折叠，使点 恰
好落在对角线 上的点 处（不与 、 重合），折痕为 ，若 ， ，则 的长为
．
4．（2023·河南南阳·统考二模）如图，在菱形 中， ， ，点 是 边上的动点，把
沿着 折叠得到 ，点 的对应点为 ，当 垂直于菱形的一边时， 的长为．
【考点三 正方形中的折叠问题】
例题：（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一三四中学校考阶段练习）如图，已知在正方形 中，
， ．将正方形 折叠，使点B落在 边的中点Q处，
点A落在P处，折痕为 ．已知 长为 ．
(1)求线段 和线段 的长；
(2)连接 ， ．
【变式训练】
1.（2023下·天津北辰·八年级校联考期中）如图，将正方形纸片 折叠，使边 均落在对角线
上，得折痕 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
2．（2024上·江苏盐城·八年级统考期末）如图，四边形 是边长为 的正方形纸片，将其沿 折
叠，使点 落在 边上的 处，点 对应点为 ，且 ，则AM的长是 ．
3．（2023·广东茂名·三模）如图，正方形 中， 是边 的中点，将 沿 折叠，得到 ，
延长 交边 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
4．（2023·广西贵港·统考二模）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片 ，组织同学们进行折纸探究活动．
【初步尝试】把正方形对折，折痕为 ，然后展开，沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点 处，
连接 ，如图1，请直接写出 与 的数量关系．
【能力提升】把正方形对折，折痕为 ，然后展开，沿过点A与 上的点G所在的直线折叠，使点B落
在 上的点P处，连接 ，如图2，猜想 的度数，并说明理由．
【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ，如图3，求的度数．
【考点四 矩形中的旋转问题】
例题：（2023上·全国·九年级专题练习）如图，将矩形 绕点 旋转得到矩形 ，点 在 上，
延长 交 于点 ．连接 、 ．
(1)四边形 是怎样的特殊四边形？证明你的结论；
(2)若 长为2，则 的长为 时，四边形 为菱形．
【变式训练】
1．（2022上·湖北武汉·九年级校联考期中）已知大小一样的矩形 和矩形 如图1摆放，
，现在把矩形 绕点A旋转，如图2， 交 于点M，交 于点N，若 ，
则 的值为（ ）．A． B． C． D．
2．（2023上·广东珠海·九年级珠海市九洲中学校考期中）如图，在矩形 中， ， ，将
矩形 绕点A逆时针旋转（旋转角小于90度）得到矩形 ．
(1)如图①，若在旋转过程中，点E落在对角线 上， 分别交 于点M，N，
①求证： ；
②求 的长；
(2)在旋转过程中，当旋转到如图②所示的情况，若直线 经过线段 的中点 ，连接 ，求 的
面积．
【考点五 菱形中的旋转问题】
例题：（2023上·吉林长春·九年级校联考期末）如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕
对角线的交点O顺时针旋转90°后到 的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为( )
A．8 B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴，AD=4，∠A=60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐
标是 ．
2．（2023上·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，在菱形 中， ， ，将菱形
绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形 ，点E在 上， 与 交于点P．（1） 与
的关系是 ，（2） 的长为 ．
3．（2021下·江苏南京·八年级统考期末）如图①，菱形 和菱形 有公共顶点A，点 ， 分别
落在边 ， 上，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)将菱形 绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角 ，且 ， ，
．
①如图②，当 时，则线段 的长度是多少？
②连接 ，当 为直角三角形时，则旋转角 的度数为多少度？【考点六 正方形中的旋转问题】
例题：（2023上·安徽阜阳·九年级统考期中）如图，点F为正方形 内一点，连接 ， ，
，将 绕着点A按顺时针方向旋转 至 ，延长 交 于点H．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由．
(2)已知 ， ，求 的长．
【变式训练】
1．（2023上·广东惠州·九年级校联考阶段练习）如图，将边长为为3厘米的正方形 绕点C按顺时针
方向旋转 ，得到正方形 ， 与 交于H，则 的长是 厘米．
2．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）【问题情境】已知四边形 和四边形 均为正方形，连
接 ， ，直线 与 交于点 .如图1，当点 在 上时，不难得出线段 ， .
【类比探究】如图2，将正方形 绕点 旋转任意角度.
(1)请你判断图1中得到的线段 和 的关系是否仍然成立，并说明理由；(2)当点 在直线 左侧时，连接 ，存在实数 满足等式 ，请求出 的值并说明理
由；
(3)若 ， ，正方形 在绕点 旋转过程中，当点 ， 重合时，请直接写出线段 的
长.
3．（2023·山东菏泽·菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考二模）【课本再现】
(1)如图1，正方形 的对角线相交于点O，点O又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形
的边长都为1，四边形 为两个正方形重叠部分，正方形 可绕点O转动，则下列结论正确的是
_______（填序号即可）．① ；② ；③四边形 的面积总等于 ；④连接 ，
总有 ．
【类比迁移】
(2)如图2，矩形 的中心O是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点E， 与边 相交于
点F，连接 ，矩形 可绕着点O旋转，猜想 之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
(3)如图3，在 中， ，直角 的顶点D在边 的中点处，它的
两条边 和 分别与直线 相交于点E，F， 可绕着点D旋转，当 时，求线段的长度．
