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专题1 绝对值重点及难点归类训练（原卷版）
类型一 绝对值的概念
1．在数轴上到原点距离等于4的点表示为 ；绝对值不大于4的整数是 ．
2．（2022秋•福清市校级期末）如果|m|＝|﹣3|，那么m＝ ．
类型二 绝对值的代数意义
3．（2021春•包河区期中）若|2a﹣7|＝7﹣2a，则a＝ ．（请写出一个符合条件的正无理数）
4．（2023春•肇东市期末）若|a|＝5，b＝6且a＜b，则2a﹣b＝ ．
5．（2022秋•海口期末）当x＝﹣3时，|x﹣5|＝ ．
类型三 简单的绝对值方程
6．（2020秋•江阴市月考）阅读下面的例题：
我们知道|x|＝2，则x＝±2
请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题．
（1）|x+3|＝2，则x＝ ；
（2）5﹣|x﹣4|＝2，则x＝ ．
7．（2023春•沈阳月考）已知|2x|＝4x+9，则x＝ ．
类型四 化简绝对值
8．（2022秋•临朐县期末）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|的结果是（ ）
A．2a+2c﹣2b B．0 C．2c﹣2b D．2c
9．（2022秋•岳阳县期末）|3﹣ |﹣|4﹣ |＝ ．
10．（2022秋•清河区期末）有理π 数a，πb，c在数轴上表示的点如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣2|b+c|＝
．
11．（2023春•松江区期中）如果a＜1，化简：|2﹣a|﹣|a﹣1|＝ ．
12．（2022秋•永春县期末）若|x|+1＝|x﹣1|，则化简|x﹣1|+|x|得到的结果为 ．
类型五 绝对值的非负性的应用
13．（2022秋•封开县期末）若|x﹣2|+|2y﹣6|＝0，则x+y的值为（ ）
A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣6
14．（2023•浠水县一模）若|a+2|与|b﹣3|互为相反数，则2a+b＝ ．15．（2022秋•光泽县期中）若|a﹣5|+|b+6|＝0，则﹣b+a﹣1的值是（ ）
A．﹣11 B．10 C．﹣2 D．2
16．（2022秋•大方县月考）若a是有理数，则|a﹣1|+2的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
17．（2022秋•东海县期中）式子|x﹣1|+2取最小值时，x等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
18．按要求回答下列问题：
（1）若|2x﹣3|+|y﹣4|+|2z+5|＝0，求x+y+z的相反数；
（2）根据|x|是非负数，且非负数中最小的数是0．
①当x取何值时，|x﹣2022|有最小值，这个最小值是多少？
②当x取何值时2022﹣|x+2021|有最大值，这个最大值是多少？
类型六 绝对值的几何意义
19．（2022秋•临洮县期中）我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣
0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上
数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．
①解方程|x|＝2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x＝±2．
②在方程|x﹣1|＝2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x＝3或x＝﹣1．
③在方程|x﹣1|+|x+2|＝5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，在数
轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，
由图示可知，x＝2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，所以原方程的解是x＝2或x＝﹣
3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x|＝5的解是 ．
（2）方程|x﹣2|＝3的解是 ．
（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|＝9．
类型七 绝对值的分类讨论21．（2021秋•剑河县期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a时，可以这样分类：当a＞0时，
|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题：
a a a
（1）当a＝5时，求 的值；（2）当a＝﹣2时，求 的值；（3）若有理数a不等于零，求
|a| |a| |a|
的值；
a |b|
（4）若有理数a、b均不等于零，试求 + 的值．
|a| b
22．（2021秋•浏阳市期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运
用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．
|a| |b| |c|
【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求 + + 的值．
a b c
【解决问题】
解：由题意得：a、b、c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a、b、c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，
|a| |b| |c| a b c
则： + + = + + =1+1+1＝3；
a b c a b c
a
（备注：一个非零数除以它本身等于1，如：3÷3＝1，则 =1，（a≠0））
a
②当a、b、c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，
|a| |b| |c| a −b −c
则： + + = + + =1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1，
a b c a b c
|a| |b| |c|
∴ + + 的值为3或﹣1．
a b c
−b
（备注：一个非零数除以它的相反数等于﹣1，如：﹣3÷3＝﹣1，则 =−1，（b≠0））
b
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
|a| |b| |c|
（1）三个有理数a、b、c满足abc＜0，求 + + 的值；
a b c
（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．23．同学们，我们在《有理数》这一章中学习过绝对值的概念：一般的，数轴上表示数 a的点与原点的距
离叫做数a的绝对值，记作|a|．实际上，数轴上表示数﹣3的点与原点的距离可表示为|﹣3﹣0|＝3：数
轴上表示数﹣3的点与表示数2的点的距离可表示为|﹣3﹣2|＝5，那么，
（1）数轴上表示数3的点与表示数﹣1的点的距离可表示为 |3 ﹣（﹣ 1 ） | ；数轴上表示数a的点与
表示数2的点的距离可表示为 | a ﹣ 2 | ；
（2）请同学们利用数轴探究|a﹣2|+|a+1|的最小值；并写出你的解题过程．（提示：结合数轴对数a的
范围进行分类讨论）
类型八 利用绝对值进行有理数的大小比较
11 1
24．（2023秋•启东市期中）（1）在数轴上表示下列各数：1.5，0，﹣3，﹣（− ），﹣|﹣4 |，并用
2 2
“＜”号把它们连接起来；
1 11
（2）根据（1）中的数轴，找出大于﹣|﹣4 |的最小整数和小于﹣（− ）的最大整数，并求出它们的
2 2
和．
25．探索研究：
（1）比较下列各式的大小．（用“＜”、“＞”或“＝”连接）
①|﹣2|+|3| |﹣2+3|；
1 1 1 1
②|− |+|− | |− − |；
2 3 2 3
③|6|+|﹣3| |6﹣3|；
④|0|+|﹣8| |0﹣8|．
（2）通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有理数时，|a|+|b|与|a+b|的大小关系．
（3）根据（2）中得出的结论，当|x|+2021＝|x﹣2021|时，x的取值范围是 ；整数a ，a ，a ，a 满
1 2 3 4
足|a +a |+|a +a |＝15，|a +a +a +a |＝5，则a +a ＝ ．
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2
