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专题 2.10 有理数的混合运算（精选精练）（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·天津和平·三模）计算 的结果等于（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24六年级上·山东淄博·期末）使式子： 的运算结果为正整数，“□”中的运算
符号为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数 和 ，
．例如： ，则 的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．
4．（21-22七年级上·浙江·期末）下列四个式子中，计算结果最大的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，相等的一组是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
6．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c，则下列结论
错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）从 个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数，叫做从
个不同元素中取出 个元素的组合数，用符号 表示．已知“！”是一种数学运算符号，且
， ，若公式 为正整数），则 为（ ）
A．28 B．64 C．70 D．84
8．（20-21七年级上·山西吕梁·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结
来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的
方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为
天，（ ），按同样的方法，图2表示的天数是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24七年级上·福建厦门·期末）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目
表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金
额还可参加“满减”的优惠活动．
套餐 内容 价格（元） 优惠活动
套餐A 1张电影票＋1桶爆米花 60
消费满300元，减25元
消费满600元，减60元
套餐B 1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币 70
若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，
则最少需要支付（ ）
A．530元 B．540元 C．545元 D．550元
10．（23-24七年级上·重庆大足·期末）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求
和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到： ．
①对 ， ，5进行“差绝对值运算”的结果是16；
② ， ，4的“差绝对值运算”的最小值是10；
③ ， ， 的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种；
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24七年级上·广西来宾·阶段练习）计算： ．
12．（23-24七年级下·海南儋州·阶段练习）计算 的结果为 ．
13．（23-24六年级下·上海浦东新·期中）一件商品原价为 元，现打七五折出售，则顾客打折后购买可
节省 元．
14．（23-24七年级上·广东深圳·期末）对正整数a，b规定运算★如下： ，则
．
15．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）计算 的结果是 ．
16．（23-24七年级下·重庆万州·期中）已知甲、乙、丙三人分别拿出相同数量的钱，合伙订购某种商品
若干件，商品买来后，甲、乙分别比丙多拿了9件、12件，最后结算时，三人要求按所得商品的实际数
量付钱，进行多退少补，已知甲要付给丙18元，那么乙还应付给丙 元．
17．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）若规定用 表示不超过 的最大的整数，如 ，
，计算： ．
18．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知数轴上点A表示的数为 ，点O表示的数为0．
（1）点B是数轴上不与点A重合的点，且A、B两点间的距离为6个单位长度．则点B所表示的数为
；（2）若有一只小乌龟从A点出发，以每分钟2个单位长度的速度向左作匀速运动，有一只小白兔从原点
O出发，以每分钟5个单位长度的速度向左作匀速运动，但小白兔每走2分钟原地休息1分钟，小乌龟和
小白兔同时出发，问运动 分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1) ； (2) ．
20．（8分）计算：
(1) ； (2) ．
21．（10分）（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．
逆用乘法分配律解题
我们知道，乘法分配律是 ，反过来 ．这就是说，当 中有相同的a
时，我们可以逆用乘法分配律得到 ，进而可使运算简便．例如：计算 ，
若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有 ，因此逆用乘法分配律可得
，这样计算就简便得多
计算：
(1) ； (2) ；
(3) ． (4)22．（10分）（23-24七年级下·山东聊城·期中）阅读材料：求 的值．
解：设 ，将等式两边同时乘2得：
将下式减去上式得 即
即
请你仿照此法计算：
(1)
(2) （其中 为正整数）．
23．（10分）（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有20筐萝卜，以每筐24千克为标准，超过或
不足的千克数分别用正，负来表示，记录如下：
与标准质量的值（单位：千
1 0 2.5
克）
筐数 1 2 3 6 4 4
(1)20筐萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
(2)20筐萝卜一共重多少千克？
(3)若萝卜每筐进价60元，在运输过程中有 的萝卜损耗掉不能出售，剩下的以每千克多少元出售，才
能获得 的利润？（精确到0.1）
24．（12分）（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列各式：…
(1)猜想 _______
(2)根据上面的规律，解答下列问题：
①
将 减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，以此类推，直到最后减去
②
余下的 ，最后结果是多少？参考答案：
1．D
【分析】本题考查有理数的混合运算，先运算除法，然后运算减法解题即可．
【详解】解： ，
故选D．
2．B
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则成为解题的关键．
先计算 ，然后再根据 即可解答．
【详解】解： ，
A. 由 ，故该选项不符合题意；
B. 由 ，故该选项符合题意；
C.由 ，则该选项不符合题意；
D.由 ，则该选项不符合题意．
故选：B．
3．A
【分析】根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题目所给新运算的运算顺序和运算
法则．
4．A
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：
，，
，
，
，
计算结果最大的是选项A．
故选： ．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．B
【分析】本题考查了有理数的混合运算．先计算各式，然后再进行比较即可解答．
【详解】A选项： ， ，
∴ 与 不相等，
故A选项不符合题意；
B选项： ， ，
∴ 与 相等，
故B选项符合题意；
C选项：∵ ，
∴ 与 不相等，
故C选项不符合题意；
D选项：∵ ， ，∴ 与 不相等，
故D选项不符合题意．
故选：B
6．D
【分析】本题主要考查了利用数轴判定代数式的正负以及有理数的运算法则等知识点，正确比较数轴上
的点的大小是解题的关键．
由数轴可得 且 ，然后根据有理数的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：由数轴可得： 且 ，
A. 正确，不符合题意；
B. 正确，不符合题意；
C. 正确，不符合题意；
D. ，故D项错误，符合题意．
故选D．
7．D
【分析】本题考查了新定义运算及有理数的混合运算，理解 的含义及“ ”的运算方法是解决本题的
关键．
先表示出 ，再利用新定义的运算符号“ ”计算得结论．
【详解】解：
．
故选：D．
8．C
【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：千位上的数×63+百位上的数
×62+十位上的数×6+个位上的数．【详解】解：图2表示的天数是1×63+0×62+3×6+2=236，
故选：C
【点睛】本题考查了用数字表示事件和有理数的运算．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一
计算自采集到的野果数量，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学
生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
9．B
【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意，得到至少要购买5份套餐 ，再结合优惠活动进行
求解即可．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键．
【详解】解：∵全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，
∴至少要购买5份套餐 ，
①当购买5份套餐 ，其余全部购买电影票时：
（元），
∵消费满300元，减25元，
∴共消费： 元，
②当购买6份套餐 ，其余全部购买电影票时：
元，
∵消费满600元，减60元，
∴共消费： 元，
此时最优惠，
故选B．
10．C
【分析】本题主要考查了有理数的减法，绝对值的意义，利用“差绝对值运算”的规定对每个结论进行
逐一判断即可．正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
【详解】解： 对 ， ，5进行“差绝对值运算”，
得到 ，
①的结论正确；
， ，4的“差绝对值运算”
得到
，
当 时， 取得最小值为5，的最小值为10，
②的结论正确；
， ， 的“差绝对值运算”得到 ，
而利用绝对值的意义 的不同表达式一共有7种：
， ， ， ， ， ，0，
③的结论不正确．
以上说法中正确的个数为2个．
故选： ．
11．
【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘除，然后运算加减解题即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．26
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则．先计算
乘方，再计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
13．
【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意，列出算式，计算即可求解，正确列出算式
是解题的关键．
【详解】解： ，
∴顾客打折后购买可节省 元，
故答案为： ．
14．2
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，正确理解规定的新运算是解题关键．根据规定的新运算进
行转化，再计算有理数的乘法与加法，然后化简即可得．【详解】解：由题意得： ，
故答案为：2．
15．
【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方和括号内的式子，再算括号外的乘法即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
16．45
【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，因为出了同样的钱买所有商品，所以三人在丙买的件数
以外还有21件商品的钱也由三个人均摊，就是说又各出了7件的钱．丙出的钱实际上是帮甲垫了一件加
帮乙垫了2件，也是甲乙该还的钱．
【详解】解：根据题意得： ，
∵甲要付给丙18元，
∴甲比丙多拿了2件，一件是9元，
则乙还应付给丙 元．
故答案为：45．
17．
【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算，根据新定义得到
，据此计算求解即可。
【详解】解： 规定用 表示不超过 的最大的整数，∴
，
故答案为： ．
18． 1或 1或4
【分析】本题考查了数轴上的动点，两点间的距离，分情况求解是解题关键．
（1）根据实际情况分两种情况进行求解即可；
（2）小乌龟运动t秒的长度为 ，小白兔运动t秒的长度为 ， ，根据题意分为小白兔在小乌龟
的左边时，小白兔在小乌龟的左边时，分别进行求解即可．
【详解】解：（1）点A表示的数为 ，点B是数轴上不与点A重合的点，且A、B两点间的距离为6个
单位长度，
当点B位于点A的右侧时， ，
当点B位于点A的左侧时， ，
故答案为：1或 ．
（2）小乌龟运动t秒的长度为 ，小白兔运动t秒的长度为 ， ，
①小乌龟在小白兔的左边时，
当 时，小乌龟所在的表示为 ，
小白兔所在的表示为 ，
小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度，
②小白兔在小乌龟的左边时，
时，小乌龟所在的表示为 ，
小白兔所在的表示为 ，
小乌龟和小白兔之间的距离为1个单位长度，
时，小乌龟所在的表示为 ，
小白兔每走2分钟原地休息一分钟，故小白兔所在的表示为 ，
小乌龟和小白兔之间的距离为1个单位长度，
时，小乌龟所在的表示为 ，小白兔每走2分钟原地休息一分钟，故小白兔所在的表示为 ，
小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度，
时，小乌龟追不上小白兔，不会再出现距离为2个单位长度的情况，
故综上所述，当 或 分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度，
故答案为：1或4．
19．(1)
(2)
【分析】此题考查了有理数的乘法与除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）先计算括号中的运算，以及除法化为乘法运算，约分即可得到结果；
（2）原式先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律计算即可得到结果．
【详解】（1）
；
（2）
．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
（1）先计算乘方，再利用乘法分配律计算即可；
（2）先计算乘方和绝对值，再计算加减即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
21．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键；
（1）逆用分配律把原式化为 ，再计算即可；
（2）逆用分配律把原式化为 ，再计算即可；
（3）逆用乘法分配律计算即可；
（4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可．
【详解】（1）解：
；（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
=
=
= ．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查的是探索运算规律题，根据已知材料中的方法，探索出运算规律是解决此题的关键．
（1）设 ，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求
式子的值；（2）设 ，两边乘以3后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式
子的值．
【详解】（1）解：设 ，
将等式两边同时乘2得： ，
将下式减去上式得： ，即 ，
则 ；
（2）解：设 ①，
两边同时乘3得： ②，
②-①得： ，即 ，则
则 ．
23．(1)5.5
(2)480
(3)3.3
【分析】本题考查了正负数，有理数的混合运算在实际问题中的应用，正确理解题意，掌握运算法则是
解题的关键．
（1）运用有理数的减法法则计算即可；
（2）运用有理数的混合运算解决；
（3）分别计算获得20%的利润的总售价和可以售出的质量，然后用除法解题即可．
【详解】（1）解： （千克）
答：最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克
（2）解： （千克）
答：20筐萝卜一共重480千克
（3）解： ， ， （元）
答：剩下的以每千克3.3元出售．24．(1)
(2)① ，②
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据有理数的乘法运算法则即可求解；
（2）①根据材料提示，以及有理数的乘法运算法则即可求解；②有理数的乘法运算法则，材料提示信息
进行计算即可．
【详解】（1）解：∵
…
∴
故答案为： ；
（2）解：①
；
②由题意得，
．
