第03讲极值与最值（讲义）（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）_第三章一元函数的导数及其应用

第 03 讲 极值与最值 目录 考点要求 考题统计 考情分析 （1）借助函数图象，了解函 高考对最值、极值的考查相对稳定， 数在某点取得极值的必要和充 属于重点考查的内容．高考在本节内 分条件． 2022年乙卷第16题，5分 容上无论试题怎样变化，我们只要把 （2）会用导数求函数的极大 2022年I卷第10题，5分 握好导数作为研究函数的有力工具这 值、极小值． 2022年甲卷第6题，5分 一点，将函数的单调性、极值、最值 （3）会求闭区间上函数的最 2021年I卷第15题，5分 等本质问题利用图像直观明了地展示 大值、最小值． 2021年乙卷第10题，5分 出来，其余的就是具体问题的转化 了．最终的落脚点一定是函数的单调 性与最值，因为它们是导数永恒的主 题．知识点一：极值与最值 1、函数的极值 函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点都有 ，则称 是函数的一个极 大值，记作 ．如果对 附近的所有点都有 ，则称 是函数的一个极小值，记 作 ．极大值与极小值统称为极值，称 为极值点． 求可导函数 极值的一般步骤 （1）先确定函数 的定义域； （2）求导数 ； （3）求方程 的根； （4）检验 在方程 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负， 那么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数 在这个根处取得极小值． 注：①可导函数 在点 处取得极值的充要条件是： 是导函数的变号零点，即 ，且在 左侧与右侧， 的符号导号． ② 是 为极值点的既不充分也不必要条件，如 ， ，但 不是极值点． 另外，极值点也可以是不可导的，如函数 ，在极小值点 是不可导的，于是有如下结论：为可导函数 的极值点 ；但 为 的极值点． 2、函数的最值 函数 最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数 最小值为极小值与靠近极 大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当 时，最大值是 与 中的最大者；最小值是 与 中的最小者． （2）当 时，最大值是 与 中的最大者；最小值是 与 中的最小者． 一般地，设 是定义在 上的函数， 在 内有导数，求函数 在 上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求 在 内的极值（极大值或极小值）； （2）将 的各极值与 和 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最 值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 【解题方法总结】 （1）若函数 在区间D上存在最小值 和最大值 ，则 不等式 在区间D上恒成立 ； 不等式 在区间D上恒成立 ； 不等式 在区间D上恒成立 ； 不等式 在区间D上恒成立 ； （2）若函数 在区间D上不存在最大（小）值，且值域为 ，则 不等式 在区间D上恒成立 ． 不等式 在区间D上恒成立 ． （3）若函数 在区间Ｄ上存在最小值 和最大值 ，即 ，则对不等式有 解问题有以下结论： 不等式 在区间D上有解 ； 不等式 在区间D上有解 ； 不等式 在区间D上有解 ； 不等式 在区间D上有解 ；（4）若函数 在区间D上不存在最大（小）值，如值域为 ，则对不等式有解问题有以下结 论： 不等式 在区间D上有解 不等式 在区间D上有解 （5）对于任意的 ，总存在 ，使得 ； （6）对于任意的 ，总存在 ，使得 ； （7）若存在 ，对于任意的 ，使得 ； （8）若存在 ，对于任意的 ，使得 ； （9）对于任意的 ， 使得 ； （10）对于任意的 ， 使得 ； （11）若存在 ，总存在 ，使得 （12）若存在 ，总存在 ，使得 ． 题型一：求函数的极值与极值点 【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数 存在一个极大值 与一个极小值 满足 ，则 至少有（ ）个单调区间. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】若函数 存在一个极大值 与一个极小值 ，则 至少有3个单调区间， 若 有3个单调区间， 不妨设 的定义域为 ，若 ，其中 可以为 ， 可以为 ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减，（若 定义域为 内不连续不影响总体 单调性）， 故 ，不合题意， 若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，有 ，不合题意； 若 有4个单调区间， 例如 的定义域为 ，则 ，令 ，解得 或 ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减， 故函数 存在一个极大值 与一个极小值 ，且 ，满足题意，此时 有 4个单调区间， 综上所述： 至少有4个单调区间. 故选：B. 【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数 的大致图象如 图所示，则下列叙述正确的是（ ） A． B．函数 在x＝c处取得最大值，在 处取得最小值 C．函数 在x＝c处取得极大值，在 处取得极小值 D．函数 的最小值为 【答案】C 【解析】由题图可知，当 时， ，所以函数 在 上单调递增， 又ae时， ．所以函数 在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值， 不一定是最小值，故B不正确，C正确． 由题图可知，当 时， ，所以函数 在[d，e]上单调递减，从而 ，所以D 不正确． 故选：C． 【对点训练2】（2023·全国·模拟预测）已知函数 的导函数为 ，则“ 在 上有两个 零点”是“ 在 上有两个极值点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】只有当 在 上有两个变号零点时， 在 上才有两个极值点，故充分性不成立； 若 在 上有两个极值点，则 在 上有两个变号零点，则 在 上至少有两个零点， 故必要性不成立.综上，“ 在 上有两个零点”是“ 在 上有两个极值点”的既不充分也 不必要条件， 故选：D. 【对点训练3】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）设函数 ， ， 为 的导函数． (1)当 时，过点 作曲线 的切线，求切点坐标； (2)若 ， ，且 和 的零点均在集合 中，求 的极小值． 【解析】（1）当 时， ，求导得 ， 设过点 作曲线 的切线的切点为 ，则 ， 于是切线方程为 ，即 ，因为切线过点 ， 即有 ，解得 或 ，所以切点坐标为 ， . （2）当 ， 时， ， 求导得 ，令 ，得 或 ， 依题意 ， ， 都在集合 中，且 ， ， 当 时， ，且 ，则 ， ， ， 当 时， ，且 ，则 ， ，不符合题意， 因此 ， ， ， ， 当 或 时， ，当 时， ， 于是函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 所以当 时，函数 取得极小值为 . 【对点训练4】（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 ．(1)证明：当 时， 有唯一的极值点为 ，并求 取最大值时 的值； (2)当 时，讨论 极值点的个数． 【解析】（1）证明：当 ， 时， ，可得 的定义域为 ， 且 ，令 ，解得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以当 时， 有唯一的极小值，即 有唯一的极值点为 ， 由 ， 令 ，设 ，可得 ， 由 ，解得 ， 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减， 所以当 ，即 时， 有唯一的极大值，即 取得最大值 ， 所以当 的最大值 时， . （2）当 时， 的定义域为 ，且 ， ①当 时， 时 恒成立，此时 单调递增， 所以 极值点的个数为 个； ②当 时，设 ，即 （i）当 ，即 时，可得 ，即 对 恒成立，即 在 上无变号零点，所以此时 极值点的个数为 个； （ii）当 ，即 时， 设 的两零点为 ，且 ， ， ，可得 即 在 上有 个变号零点，所以此时 极值点的个数为 个； 综上所述，当 时， 的极值点的个数为 ； 当 时， 的极值点的个数为 . 【对点训练5】（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数 .求 的极值；【解析】因为函数 ，所以 ， 设 ， ， 所以 在 上单调递增. 又 ，所以当 时， ；当 时， . 又因为 对 恒成立， 所以当 时， ；当 时， . 即 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 故 ， 没有极小值. 【解题方法总结】 1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程 根左右的符号，更要注意变号后极大值与 极小值是否与已知有矛盾． 2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越 轴，否 则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与 轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大． 题型二：根据极值、极值点求参数 【例2】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数 在 处取得极大值4，则 （ ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ， 所以 ，解得 ， 经检验，符合题意，所以 . 故选：B 【对点训练6】（2023·陕西商洛·统考三模）若函数 无极值，则 的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为 ，所以 ，因为 无极值，所以 ，解得 ，所以a的取值范围为 ． 故选：A. 【对点训练7】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数 在区间 上存 在极值，则 的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】函数 的定义域为 ， ， 令 ， ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以 在 单调递增， 单调递减， 所以 ， 又因为当 时， 则 ， ， 所以存在唯一 ，使得 ， 所以函数在 时 ， 时 ， 所以函数 在 单调递增， 单调递减， 所以要使函数 在区间 上存在极值， 所以 的最大值为3， 故选:B. 【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极小值， 则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数 ，则 ， 要使函数 在 处取得极小值，则 ， 故选：B. 【对点训练9】（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知函数 有两个极值点，则实数a的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 的定义域是 ， ， 令 ， 所以 在区间 递减；在区间 递增. 要使 有两个极值点，则 ， 此时 ， 构造函数 ， 所以 在 上递增，所以 ， 所以 ， 所以实数a的取值范围 . 故选：D 【对点训练10】（2023·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数 的 极大值点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， 令 ，得： 当 ，即 此时 在区间 单调递增， 上单调递减， 上单调递增，符合x＝a是函数 的极大值点， 反之，当 ，即 ，此时 在区间 单调递增， 上单调递减， 上单调递 增，x＝a是函数 的极小值点，不符合题意； 当 ，即 ， 恒成立，函数 在 上单调递增，无极值点. 综上得： . 故选：A. 【解题方法总结】 根据函数的极值（点）求参数的两个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：求解后验证根的合理性． 题型三：求函数的最值（不含参） 【例3】（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)求 在区间 上的最大值； 【解析】（1）因为 ， 所以 ，则 ，又 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 . （2）令 ， 则 ，当 时， ， 在 上单调递增. 因为 ， ， 所以 ，使得 . 所以当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 又 ， ， 所以 . 【对点训练11】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数 在区间 上 最大值为M，最小值为m，则 的值是_______.【答案】 【解析】由题意， ， ，在 上 ， 故函数 单调递增，所以 ， ， ， 故 的值是 . 故答案为： 【对点训练12】（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数 ，则 的最大值是 ________． 【答案】 【解析】因为 ， 所以 . 当 时， ， 所以 在 单调递增； 当 时， ， 所以 在 单调递减； 所以 . 故答案为： . 【对点训练13】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数 ， ，则函数 的最小值为______. 【答案】 /0.5 【解析】因为 ，所以 ， 记 ， ， 则 ，因为 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，所以 ， 所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增， 故当 时，函数 有最小值为 ， 故答案为： 【对点训练14】（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知 ，且 ，则 的最 小值为__________. 【答案】1 【解析】因为 ， ，所以 ，所以 ，且 ， 所以 ， 设 ， ， 则 ，因为 ，所以 ， 在 上为增函数， 因为 ，所以 ，则 ，所以 ， 所以 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ，则 在 上为增函数， 令 得 ，即 ， 则存在唯一实数 ，使得 ，即 ， 所以当 时， ， ，当 时， ， ， 所以 在 上为减函数，在 上为增函数， 所以 . 所以 的最小值为 .故答案为： . 【对点训练15】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知正实数 ， 满足： ，则 的最小 值为______. 【答案】 【解析】由 可得： , 所以 ， ， 设 ， ， 所以 在 上单调递增，所以 ， 则 ，所以 ， 所以 ，所以 ，令 ， 令 ，解得： ；令 ，解得： ； 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 . 故 的最小值为 . 故答案为： . 【解题方法总结】 求函数 在闭区间 上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 ， 与 的各极值进行比较得到函数的最值． 题型四：求函数的最值（含参） 【例4】（2023·天津和平·统考三模）已知函数 ， ，其中 . (1)若曲线 在 处的切线 与曲线 在 处的切线 平行，求 的值； (2)若 时，求函数 的最小值； (3)若 的最小值为 ，证明：当 时， . 【解析】（1）因为 ， ，所以 ， ， 所以 ， ， 因为两条切线平行，所以 ，解得 （2）由（1）可知 ，令 ，即 ， 即 ，即 ，又 ，解得 ， 令 ，解得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 时，函数 的最小值为 . （3）证明：因为 ， ， ， 令 ，则 ，即 ， 所以当 时解得 ，所以 在 上单调递增， 令 ，解得 ，所以 在 上单调递减， 所以 在 处取得极小值即最小值， 所以 ， 即 的最小值为 的解析式为 ， ， 则 ，令 ，解得 ， 所以当 时 ，即 在 上单调递增， 当 时 ，即 在 上单调递增， 所以 在 处取得极大值即最大值，即 ， 所以 ，即当 时，总有 . 【对点训练16】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ．讨论函数 的最值；【解析】函数 的定义域为 ， ， 当 时， ， 在 上单调递增，无最值； 当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递减； 令 ，得 ，所以 在 单调递增， 所以 的最小值为 ，无最大值． 综上，当 时， 无最值；当 时， 的最小值为 ，无最大值． 【对点训练17】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数 ，其中 ． (1)若a=2，求 的单调区间； (2)已知 ，求 的最小值．（参考数据： ） 【解析】（1）由题设 ，则 ，且 ， 所以 ， 当 时 ，当 时 ， 所以 的减区间为 ，增区间为 . （2）由题意 ， 所以 ，即 ， 又 ，且 ， 当 或 时 ， 或 时 ， 所以 、 上 递减， 、 上 递增， 又极小值 ，故 最小值为 . 【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ． (1)当 时，讨论函数 在 上的单调性； (2)当 时，求 在 内的最大值；【解析】（1）当 时， ， ，且 ． 当 时， ， ，则 ， 即 ，故函数 在 上单调递增． （2） ， 令 ，则 ， 由 且 ，可得 ， ，则 ， 在 内单调递增， 所以 ， 又当 时， ， 所以 ， 在 内单调递增， 故 ． 【对点训练19】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数 ． (1)若 存在最大值M，证明： ； (2)在（1）的条件下，设函数 ，求 的最小值（用含M，k的代数式表示）． 【解析】（1） 的定义域为 ， ， 记 ，易知 单调递增， 又因为 ， 所以存在 ，使得 ， ①当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 无最大值，即 不符题意； ②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 ． （2）由（1）可知 ，且 ，所以 ， ，令 ， 则 ，令 ，解得 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增． 当 时， ，又 ， 所以存在 ，使得 ， 可知 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 由（1）可知， ，即 ， 因为 ，所以 ， 所以 ． 设 ，易知 单调递增，且 ， 所以 ， 所以 ， 即 的最小值为 ． 【解题方法总结】 若所给的闭区间 含参数，则需对函数 求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从 而得到函数 的最值． 题型五：根据最值求参数 【例5】（2023·四川宜宾·统考三模）已知函数 .(1)讨论函数 的极值点个数； (2)若 ， 的最小值是 ，求实数m的所有可能值. 【解析】（1）函数 的定义域是 ，求导得 ， 令 ，求导得 ， 递减， 递增， ， ①当 时， ， 递减， 递增，有1个极小 值点； ②当 时， ， 令 ，则 ，函数 在 上递增， ，即 ， 当 时， ，此时 ，使得 ， 令 ，有 ，令 ， ， 即有 在 上递增， ，函数 在 上递增， ，则 ， 当 时， ，此时 ，使得 ， 因此 递减， 递增， 递减， 递增， 有3个极值点， 所以当 时， 恰有一个极值点；当 时， 恰有三个极值点. （2）由（1）知，①当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， ，即 ，令 ， ，函数 在 上单调递增， ，则 ； ②当 时， ，使得 ， ，使得 ， 递减， 递增， 递减， 递增， 其中 ，则 ， 显然 符合要求，即有 ，综上提 ， 所以m的所有可能值是 上的实数. 【对点训练20】（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数 在区间 上存在 最小值，则整数 的取值可以是______． 【答案】 （答案不唯一， 、 均可） 【解析】因为 ，则 . 由 可得 ，由 可得 或 ， 所以，函数 的减区间为 ，增区间为 、 ， 所以，函数 的极大值为 ，极小值为 ， 令 ，其中 ，则 ，解得 ， 因为函数 在区间 上存在最小值，则 ，解得 ， 所以，整数 的取值集合为 . 故答案为： （答案不唯一， 、 均可）. 【对点训练21】（2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 上有最小值，则实 数 的取值范围为________. 【答案】 【解析】 ， 所以在 和 上， ，函数 单调递减； 在 上， ，函数 单调递增； 且 当 时， ，即 ， 所以 在区间 上有最小值，则： 解得 . 故答案为： 【对点训练22】（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）已知函数 的最小值为0，则a的 取值范围为______________． 【答案】 【解析】函数 定义域为 ， ，显然 ， 当 时， ，当 时，函数 在 上单调递减， ，因此 ， 当 时，函数 在 上单调递减，其取值集合为 ， 函数 在 上单调递增，函数值集合为 ，因此存在 ，使得 ， 而 ，于是 ，不符合题意， 当 时， ，令 ， ，当 时， ， 即 在 上单调递增， ， ，即有 ， 当 时， ，即 ，当且仅当 时取等号，因此 ， 当 时， ，显然当 时， ，函数 在 上单调递减， ，不符合题意， 综上得， ， 所以则a的取值范围为 . 故答案为： 【对点训练23】（2023·江苏南通·高三校考开学考试）若函数 的最小值为 ，则 ______． 【答案】 【解析】当 时， ， ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 解得 ，与 矛盾； 当 时， ， (i)若 ，即 ， 则有 在 单调递减， 单调递增， 所以 解得 ，与 矛盾； (ii)若 ，即 ， 则有 在 单调递减， 单调递增， 所以 解得 ，满足题意； 综上， ， 故答案为: . 【对点训练24】（2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 上存在最大值， 则实数 的取值范围为_______ 【答案】 【解析】因为 ， 且函数 在区间 上存在最大值， 故只需 满足 ， 所以 ， 解得 ． 故答案为： 【对点训练25】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 在 上存在最小值.则实数 的取值范围是________. 【答案】 【解析】 ， ， 当 时， ， 单调递减；当 或 时， ， 单调递增，∴ 在 处取得极小值，在 处取得极大值. 令 ，解得 或 ， 又∵函数 在 上存在最小值，且 为开区间， 所以 ，解得 . 即 的取值范围是 . 故答案为： . 题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用 【例6】（2023·天津河北·统考二模）已知 ，函数 ，其中e是自然对数的底 数. (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)当 时，求函数 的单调区间； (3)求证：函数 存在极值点，并求极值点 的最小值. 【解析】（1）当 时， , , , , 曲线 在点 处的切线方程 , 切线方程 . （2）当 时， ， 则 令 ，得 ； 令 ，得 ； 所以，函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ． （3） 令 ，因为 ， 所以方程 ，有两个不相等的实根 ， 又因为 ，所以 ， 令 ，列表如下: - 0 + 减 极小值 增 所以 存在极值点 . 所以存在 使得 成立， 所以存在 使得 ， 所以存在 使得 对任意的 有解，因此需要讨论等式左边的关于 的函数， 记 ， 所以 ， 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增． 所以当 时， 的最小值为 ． 所以需要 ， 即需要 ， 即需要 ， 即需要 因为 在 上单调递增，且 ， 所以需要 ， 故 的最小值是e． 【对点训练26】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ． (1)当 时，求函数 在 内的极值； (2)若函数 在 上的最小值为5，求实数 的取值范围． 【解析】（1）由题意得，当 时， ， 则 ， 令 ，得 ， ， ， 在 内随x变化而变化的情况如下表所示：x 1 + 0 单调递增 极大值9 单调递减 故 在 内的极大值为9，无极小值； （2） ， ①当 时， ， 且不恒为0， 所以函数 在区间 上单调递增， 所以在 上， ， 由题意，则 ，解得 ，与 矛盾， ②当 时， ， 且不恒为0， 所以函数 在区间 上单调递减， 所以在 上， ，符合题意， ③当 时，当 时， ，函数 在区间 上单调递减， 当 时， ，函数 在区间 上单调递增， 所以在 上， ， 由题意，则 ，即 ，即 ， 即 ，解得 或 ，与 矛盾， 综上，实数a的取值范围为 ． 【对点训练27】（2023·全国·高三专题练习）已知 ． (1)求函数 在 内的极值点； (2)求函数 在 上的最值． 【解析】（1）由 得 ． 令 ，解得 ， ，即 ， ． 又 ，所以 ， ． ， 随x变化而变化的情况如下表所示：x + 0 - 0 + 极小 ↑ 极大值 ↓ ↑ 值 所以函数 在 内的极大值点为 ，极小值点为 ． （2）由题知 ． ， 记 ， 则 ． 因为 ，所以 ，又 ， 所以 ，所以函数 单调递增， ， 所以当 时， ，即 ，函数 单调递减； 当 时， ，即 ，函数 单调递增． ， ， ， 显然 ，所以函数 在 上的最小值为 ，最大值为 ． 【对点训练28】（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，已知 是函数 的极值 点． (1)若函数 在 内单调递减，求实数m的取值范围； (2)讨论函数 的零点个数； (3)求 在 内的最值． 【解析】（1）由已知可得 ， . 因为 是函数 的极值点，所以当 时， ，即 ，所以 . 此时有 ， . 令 ， ， 则 在 上恒成立， 所以 ，即 在 上单调递减. 又当 时， ， 所以 时， ，所以函数 在 上单调递增； 时， ，所以函数 在 上单调递减. 所以，当 时，函数 取得极小值，所以 ， 所以 ． 则 ， 所以 ， ． 因为 ，所以 . 设 ， 要使 在 内单调递减，则应有 在 内恒成立， 只需 在 内恒成立，只需 在 上的最小值 即可． 当 时， 满足条件； 当 时， ， 此时，函数 在 处有最小值 ， 所以 ，解得 ，所以 ； 当 时， ， 此时，要使 在 上恒成立， 所以只需 ，解得 ，所以 .综上可知，实数m的取值范围为 ． （2）由已知可得 ， ， 则 . 因为 ，所以 ， . 当 时，有 . 当 时， ，所以 在 上单调递增； 当 时， ，所以 在 上单调递减. 故 的极大值为 . 又 ， 由零点存在性定理知，可知 在 内存在一个零点. 又 ， 故函数 有2个零点． （3）由题可得 （ 且 ）， 则 . 设 ，则 ， 令 ，解得 ， 当 时， ，所以 在 上单调递减； 当 时， ，所以 在 内单调递增. 所以 ，故 恒成立. 又因为当 且 时， ， 所以 恒成立，所以 在 上单调递减， 故 在 内的最大值为 ，最小值为 ． 题型七：不等式恒成立与存在性问题 【例7】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若存在实数 （ ），使得关于x的不等式对 恒成立，则b的最大值是_________. 【答案】 【解析】当 ，且 时，由 ，得 . 设 ，则 . 当 时， ， 在 上单调递增， 当 时， ， 在 上单调递减. 所以 ，得 ， 等价于 ，而 ， 当且仅当 时等号成立. 所以 ，则 ， 所以 ， 解得 ，所以b的最大值是 . 故答案为： 【对点训练29】（2023·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）若不等式 对 恒成立，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】令 ，则 ， 令 ， ，则 , 当 时， ；当 时， ，所以函数 在区间 上单调递增，在区间上单调递减， 所以 ,当x趋近于0时， 趋近于 ，所以 ， 令 ， ， ，则 ， 当 时， ；当 时， ，所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以 ， 若 恒成立，即 恒成立，所以 ，所以 ； 故答案为： . 【对点训练30】（2023·全国·高三专题练习）若存在 ，使得不等式 成立，则m的 取值范围为______ 【答案】 【解析】存在 ，要使 成立，即 ， ， 令 ， ，即 ， 又 ，设 ， ， 则 ，则 在 内单调递增， ，则 ， 在 内单调递增， ，故m的取值范围为 ． 故答案为： . 【对点训练31】（2023·浙江金华·统考模拟预测）对任意的 ，不等式 恒成立， 则实数 的取值范围为___________. 【答案】 【解析】原题等价于 ， .令 ， ，则 . 当 时， . 当 时， ，所以函数 在 上单调递增； 当 时， ，所以函数 在 上单调递减. 所以，函数 在 处取得唯一极大值，也是最大值 . 又 ，所以 . 令 ， ，则 . 当 时， . 因为 ， 所以，当 时， ，所以函数 在 上单调递减； 当 时， ，所以函数 在 上单调递增. 所以，函数 在 处取得唯一极小值，也是最小值 . 所以，当 时，有 . 要使 时，有 恒成立，则应有 . 故答案为： . 【对点训练32】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 是 上 的奇函数，当 时， 取得极值 ． (1)求函数 的单调区间和极大值； (2)若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围； (3)若对任意 ， ，都有 成立，求实数 的取值范围． 【解析】（1） 是 上的奇函数， ，即 ，得 恒成立， 可得 ，即 ，又当 时， 取得极值 ， ， 解得 ，故函数 ，导函数 ， 令 解得 ，当 或 时， ， 当 时， ， 单调增区间为 和 ，单调减区间为 ， 故当 时， 取到极大值 （2） ，对任意 ，都有 成立，只需 在 时恒成立， 构造函数 ， ，则有 ， 令 可得 或 ，当 时， ， 单调递减 当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减， 当 时， 取到极大值 ，又 ，故 的最大值为8， 故实数 的取值范围为： ； （3）若对任意 ， ，都有 成立， 即 在区间 上的最大值都小于或等于 的最小值， 由（1）可知：当 时， 单调递减，当 时， 单调递增， 故当 时，函数 取到极小值，也是该区间的最小值 ， 而 为开口向上的抛物线，对称轴为 ，故当 时取最大值 ， 由 ，解得 故实数 的取值范围为： 【解题方法总结】 在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最 值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数． 1．（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的最小值、最大值分别为 （ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 所以 在区间 和 上 ，即 单调递增； 在区间 上 ，即 单调递减， 又 ， ， ， 所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 . 故选：D 2．（2022·全国·统考高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以 ，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减， 时取最大值，满足题意，即有 ． 故选：B. 3．（2021·全国·统考高考真题）设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 . 有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意， 为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的. 当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：由图可知 ， ，故 . 当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示： 由图可知 ， ，故 . 综上所述， 成立. 故选：D