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专题 2.7 有理数的乘方（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】有理数的乘方
1.定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
aaaan
即有： n个 .在an 中，a叫做底数， n叫做指数.
【要点提示】
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
【知识点二】乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．
【要点提示】
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计
算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
【知识点三】科学记数法
a10n a
1.科学记数法：把一个大于10的数表示成 的形式（其中 是整数数位只有一位的数，
a n 42000000 4.2107
l≤| |＜10， 是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如 ＝ .
2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的
长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
3. 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也
叫做这个近似数的精确度.
【要点提示】（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如 -3000 =3103 ；
（2）把一个数写成a10n
形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】科学记数法与近似数
【例1】（2022七年级·全国·专题练习）世界上最大的沙漠──非洲的撒哈拉沙漠可以粗略地看成是一
个长方形，撒哈拉沙漠的长度大约是5 149 900m，沙层的深度大约是366cm．已知撒哈拉沙漠中沙的体
积约为33 345km3．请分别按下列要求取近似数．
（1）将撒哈拉沙漠的长度用科学记数法表示；
（2）将撒哈拉沙漠中沙层的深度四舍五入到10cm；
（3）将撒哈拉沙漠中沙的体积保留2个有效数字．
【变式1】（2024·河北邯郸·三模）新华社消息，2024年春节假期我国国内旅游出游4.74亿人次． 先将
数据“4.74亿”精确到亿位，再用科学记数法可表示为 （ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级上·江西九江·期中）小明量得课桌长为 米，四舍五入到十分位为
米．
【题型2】有理数幂的概念的理解
【例2】（2023七年级上·江苏·专题练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．
（1） ；
（2） ；
（3） （ 个m）．
【变式1】（23-24七年级上·福建泉州·期末）代数式 可表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）底数是 ，指数是4的幂可以写成 ．【题型3】有理数乘方运算
【例3】 （23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当 时，
；当 时， ．例： ； ．
（1）求 ； （2）求 的值；
【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： 正确的结果为（ ）
A．8052 B． C．4 D．
【变式2】（23-24七年级下·宁夏银川·期中） ．
【题型4】乘方运算中的符号规律问题
【例4】（21-22七年级上·全国·课后作业）已知m，n是正整数，若 ．化简：
（1） ； （2） ．
【变式1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：① ；② ；③ ；④ ，其中
结果等于 的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【变式2】（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算：
【题型5】有理数乘方的应用
【例5】（24-25七年级上·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端
捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细．
（1）将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？
（2）若刚开始时的面条的横截面积为 ，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？
（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀）
【变式1】（23-24六年级上·山东烟台·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼
的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（ ）
A．34 B．194 C．1234 D．6154
【变式2】（21-22七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，
部分②是下部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，受此启发，则 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·湖北武汉·中考真题）国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总
值接近 亿元，同比增长 ，国家高质量发展取得新成效．将数据 用科学记数法表示是
（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2022·西藏·中考真题）已知 ， 都是实数，若 ，则 ．
2、拓展延伸
【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知 ，解答下列问题：（1）由 ，可得 _____， _____．
（2）若 ，求 的值．
【例2】（23-24六年级下·全国·假期作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算．
计算： ．
解：设 ，
则 ，
所以
，
即 ．
按照上面的方法，计算：．
