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专题 6.7 实数（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
特别提醒：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示
成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含 类.②看似循环而实质不循环的数，如：
1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 .
【知识点二】实数
有理数和无理数统称为实数.
（1）实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
（2）实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之
对应.
【知识点三】实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
【知识点四】实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为
0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在
进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【考点目录】
【考点1】无理数的认识； 【考点2】实数的理解及分类；
【考点3】实数的性质与数轴； 【考点4】实数大小比较；
【考点5】无理数的估值整数部分与小数部分；【考点6】实数的混合运算；
【考点7】实数运算的应用； 【考点8】与实数有关的规律题；
【考点1】无理数的认识；
【例1】（2023上·河南周口·八年级统考阶段练习）已知实数 是8的立方根， 是1的平方根．
（1）求 ， 的值；
（2）判断 是有理数还是无理数，并说明理由．
【答案】(1) ， ；（2）当 ， 时，是有理数；当 ， 时，是无理数，见解析
【分析】本题考查了求一个数的立方根，平方根，
（1）根据立方根、平方根的概念即可作答；（2）代入 ， ，即可作答．
解：（1）∵实数 是8的立方根， 是1的平方根，
∴ ， ，
即 ， ；（2）∵ ，
∴ ，
当 时， ，结果为有理数；
当 时， ，结果为无理数；
则：当 ， 时，结果是有理数；当 ， 时，结果是无理数，
【变式1】（2024上·山东泰安·七年级统考期末）下列各数中不是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了无理数的定义，即无限不循环小数，根据定义一一判断即可．
解：A． 为无限不循环小数，即 为无理数，故本选项不符合题意；
B． 为无限不循环小数，即 为无理数，故本选项不符合题意；
C． 为有理数，故本选项符合题意；
D． 为无限不循环小数，即 为无理数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】（2023上·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在实数 ，0， ， ， 中，
无理数有 个．
【答案】3
【分析】根据无理数的定义逐一进行判断即可．
本题主要考查了无理数的判断．熟练掌握无理数和有理数的概念，化简平方根和立方根，是解决问题的关
键．
解：0是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
， ， 共3个，都是无限不循环小数，是无理数．故答案为：3．
【考点2】实数的理解及分类；
【例2】（2022上·山东青岛·八年级校考阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里：
，0， ， ， ， ， ，
有理数集合：｛______ }； 无理数集合：｛______}； 负实数集合：｛______}．
【分析】根据有理数、无理数、负实数的定义解答．
解： 在 ，0， ， ， ， ， ， 中， ， ，
，
有理数集合∶ ；
无理数集合∶ ；
负实数集合∶ ．
【点拨】本题考查了实数的定义，掌握实数的范围以及分类方法是解题的关键．
【变式1】（2023上·山东菏泽·八年级统考阶段练习）若 x，y 为实数，且 ，则
的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求得 的值，然后代入代数式即可求解．
解： ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值，求得 的值是解题的关键．
【变式2】（2023下·福建龙岩·七年级统考期中）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是 ，则 ．
【答案】256
【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值 代入计
算即可．
解：∵第4次的程序运算输出的数值是 所代入的数值为2，
第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为 ，
第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为 ，
第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为 ，
∴ 符合题意，
故答案为：256．
【点拨】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和
无理数的定义是解题的关键．
【考点3】实数的性质与数轴；
【例3】（2022上·福建泉州·七年级福建省永春第三中学校联考期中）已知实数 满足
，化简 ．
【答案】
【分析】根据实数的性质，绝对值的性质，相反数的意义，判断出 的符号，进而化简绝对值，再根
据整式的加减进行化简即可求解．
解：∵
∴ ，
∴
∴．
【点拨】本题考查了实数的性质，整式的加减，化简绝对值，判断出 的符号是解题的关键．
【变式1】（2023上·贵州毕节·七年级校考期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简
结果是（ ）
A． B．b C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求算术平方根，先根据数轴得到 ，且
，进而得到 ，据此化简绝对值和算术平方根即可得到答案．
解：由数轴上点的位置可得： ，且 ，
∴ ，
∴
故选：A．
【变式2】（2023下·湖北孝感·七年级校考期中）
（1）在数轴上离原点距离是 的点表示的数是 ；
（2）若 ，则 的值是 ；
（2） 的相反数是 ．
【答案】 或 / 或 /
【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求解；（2）根据平方根的定义解方程，即可求解；
（3）根据相反数的定义，即可求解．解：（1）在数轴上离原点距离是 的点表示的数是 ；
故答案为： ．
（2）
∴ ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
（3） 的相反数是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了实数的性质，实数与数轴，平方根的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【考点4】实数大小比较；
【例4】（2023下·河北石家庄·七年级统考阶段练习）比较大小：
________ ； ________ ； ________ ； ________ ．
【答案】
【分析】分别计算 的值即可得出 ；利用作差法即可得出 ；判断 ，
，即可得出 ；得到 ，即可得出 ．
解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了实数的大小比较，掌握解答的方法是关键．
【变式1】（2023上·河南平顶山·八年级统考期中）比较实数 ， ，0， 的大小，其中最小
的实数为（ ）．
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查有理数的比较大小，解答本题的关键在于熟练掌握负数与负数，以及负数与0的
大小比较的方法．
解：根据“正数 负数”，以及两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得：
∵ ，
．
故选：A．
【变式2】（2024·全国·八年级竞赛）已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，则
的值是 ．
【答案】15
【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，根据不等式的性质计算无理数的整数部分和
小数部分的代数式解决本题的关键．通过估算 和 ，求出a、b值，再代入计算即可．
解：∵ ，
∴
∴ 的整数部分为1，
∴ ，
∵b是 的小数部分，
∴ ．
∴ ．
故答案为：15
【考点5】无理数的估值整数部分与小数部分；
【例5】（2022下·湖北恩施·七年级统考期中）求值：
（1）已知实数 、 满足 ，求 的值．
（2）已知 的整数部分为 ， 的小数部分为 ，求 的值．
【答案】(1)2 (2)
【分析】
（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性可得， ，求 的值，然后代入求解
即可；
（2）估算无理数，可得 的整数部分为 ， 的小数部分为 ，然后代入求解
即可．
（1）解：∵ ，
∴ ，
解得， ，∴ ，
∴ 的值为2；
（2）解：由题意知， ，
∴ ， ，
∴ 的整数部分为 ， 的小数部分为 ，
∴ ，
∴ 的值为 ．
【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，有理数的乘方，无理数的估算，无理数整数、
小数部分的计算，代数式求值等知识．熟练掌握算术平方根的非负性，绝对值的非负性，有理数的乘方，
无理数的估算，无理数整数、小数部分的计算，代数式求值是解题的关键．
【变式1】（2024上·重庆万州·八年级统考期末）估算 的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的估算，由逐步逼近法得 ，即可求解；掌握逐步逼近法是解题的关
键．
解： ，
，
，
故选：B．
【变式2】（2024上·湖南岳阳·八年级统考期末）大家知道 的小数部分我们不可能全部地写出来，于
是可以用 来表示 的小数部分（因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）．
（1）如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求 的值 ．
（2）已知： ，其中x是整数，且 ，求 的相反数 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．
（1）先根据 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求出 、 的值，然后求出 即可；
（2）根据 ，其中x是整数，且 ，得出x为 的整数部分，y为 的
小数部分，得出 ， ，求出 ，最后写出其相反数即可．
解：（1）∵ ， ,
∴ ， ，
∵ 的小数部分为 ，
∴ ，
∵ 的整数部分为 ，
∴ ，
∴ .
（2）∵ ，其中x是整数，且 ，
∴ ， ，
∴
的相反数为 .
【考点6】实数的混合运算；【例6】（2024上·山东烟台·七年级统考期末）
（1）计算：
（2）求x的值：
【答案】（1）1；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算，利用立方根的定义解方程，熟练掌握立方根和算术平方根的意义是
解答本题的关键．
（1）先算乘方和开方，再算加减即可；
（2）利用立方根的意义求解即可．
解：（1）
（2）∵
∴
∴
∴
【变式1】（2022下·新疆阿克苏·七年级统考期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根、立方根的意义和实数的运算法则计算即可．
解：A、原式 ，故A不符合题意．
B、原式 ，故B不符合题意．
C、原式 ，故C不符合题意．D、 原式成立，故D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查算术平方根、立方根的意义和实数的运算，熟练掌握术平方根、立方根的意义是解答本
题的关键．
【变式2】（2023上·河南郑州·八年级校考期中）根据图中的程序，当输入 为64时，输出的值是
【答案】
【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，先把64输入，计算出y的值，若结果为无理数则输出
结果，若结果为有理数，继续把y的值输入进行计算，如此反复直至y的结果为无理数即可得到答案．
解：输入64时， ，是有理数，
输入 时， ，是有理数，
输入2时， ，是无理数，
∴输出结果为 ，
故答案为： ．
【考点7】实数运算的应用；
【例7】（2021下·湖北武汉·七年级武汉市粮道街中学校考期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积
为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为 ．
（1）求该长方形的长宽各为多少?
（2）农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为 ，
面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由．
【答案】（1）长方形的长30米，宽20米
（2）不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析
【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为 设长为 米，宽为 米，以面积为600平方米作等量关系列方程，解得x的值即可得出答案；
（2）设大正方形的边长为 米，则小正方形的边长为 米，根据面积之和为500m2，列出方程求出
y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解．
（1）解： 长方形长宽之比为 ，
设该长方形花坛长为 米，宽为 米，
依题意得： ，
，
∴ 或 （不合题意，舍去）
，
答：该长方形的长30米，宽20米；
（2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下：
两个小正方形的边长比为 ，
设大正方形的边长为 米，则小正方形的边长为 米，依题意得： ，
，
，
或 （不合题意，舍去）
，
，
所以不能改造出这样两块不相符的实验田．
【点拨】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系．
【变式1】（2024上·湖北·九年级校考周测）对于正实数，定于运算“ ”为： ，其中 为超过
的最小整数，定义运算“*”为： ，其中 为不超过 的最大整数，则 的值为
（ ）
A． B．9 C．8 D．6【答案】C
【分析】此题主要考查实数的新定义运算，解题的关键是掌握无理数的比较大小.
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C.
【变式2】（2023上·浙江宁波·七年级校联考期中）若 ， ，则代数式 的值是
.
【答案】
【分析】本题考查立方根和实数的运算．根据立方根的定义求得 ，然后将 ， 代入 中计算
即可．
解： ，
则
，
故答案为： ．
【考点8】与实数有关的规律题；
【例8】（2024下·全国·七年级假期作业）观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题：
，
，
,，
…
（1）计算： ；
（2）试比较 与 的大小．
【答案】(1)2022； (2)
解：（1）原式
．
（2） ，
，
．
又 ,
，
，
．
【变式1】（2024上·河北石家庄·七年级校考阶段练习）有一列数按一定规律排列：
…．则第n个数是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，找到实数的变化规律是解题的关键．根据规律可知，第奇数
个数为正数，第偶数个数为负数，再按分子、分母分别找规律求解即可．
解：根据规律可知，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，该列数的分子是 ，分母是 ，
第 个数是
故选B．
【变式2】（2023下·七年级课时练习）已知 ， ， ， ，…，
．
定义： ， ，
，…，按此规律类推，
Sn＝a＋a＋a＋…＋an＝ ．
1 2 3
【答案】
【解析】略
