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九年级（上）第三次月考数学试卷
一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）
1．若方程（2﹣a）x|a|+ax+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a=±2 B．a=2 C．a=﹣2D．a≠±2
2．下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图案是（ ）
A． B． C． D．
3．下列描述中不属于确定性事件的是（ ）
A．氢气在空气中燃烧生成水
B．正六边形的半径是其边心距的2倍
C．守株待兔
D．直角三角形的外心在直角三角形的外部
4．下列命题正确的有（ ）
①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③直径是圆的对称轴；④平分弦的直径垂直于这
条弦；
⑤顶点在圆上的角是圆周角；⑥同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；
⑦同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图，AB为⊙O的直径，∠DCB=30°，∠DAC=70°，则∠D的度数为（ ）
A．70° B．50° C．40° D．30°
6．如图是武汉某座天桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为
（ ）A．13m B．15m C．20m D．26m
7．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=4，点P是AB上一动点，连结OP，
将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（
）
A．4B．5C．6D．8
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．ac＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．b﹣2a=0
D．x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根
9．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，
设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB，AC的中点，将
△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A BC 的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分
1 1
的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C．πD．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．有三个形状和材质一样的盒子里分别装有3个红球、6个黄球、9个黑球，蒙着眼睛随机
从盒子中摸出一个球是黑球的概率为 ．
12．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是 ．
13．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA B ，
1 1
则∠A OB= °．
1
14．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE
（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的
点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离 cm．
15．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C ，它与x轴交于点O，A ；
1 1
将C 绕点A 旋转180°得C ，交x轴于点A ；
1 1 2 2
将C 绕点A 旋转180°得C ，交x轴于点A ；
2 2 3 3
…
如此进行下去，直至得C ．若P（37，m）在第13段抛物线C 上，则m= ．
13 13三、解答题（每小题8分，共16分）
16．用公式法解方程：2x2=﹣3+7x．
17．如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，
C都可使小灯泡发光．
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 ；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．
四.解答题（每小题8分，共16分）
18．作图题：在下图中，把△ABC向右平移5个方格，再绕点B的对应点顺时针方向旋转
90°．
（1）画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母；
（2）能否把两次变换合成一种变换，如果能，说出变换过程（可适当在图形中标记）；如果不能，
说明理由．
19．已知：在⊙O中，M、N分别是半径OA、OB的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB．求证： ．五.解答题（每小题10分，共20分）
20．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售
价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10
件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
21．如图，AB⊙O的直径，AM、BN是⊙O的切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．
（1）求证：∠DOC=90°；
（2）如果OD=3cm，OC=4cm，求⊙O的直径AB的长．
六.解答题（本小题12分）
22．阅读问题与解答，然后回答问题：
（1）若关于x的一元二次方程k2x2+2（k﹣1）x+1=0有实数根，求k的取值范围？
（2）如果这个方程的两个实数根的倒数和的平方等于8，求k的值．
解：
（1）△=[2（k﹣1） 2﹣4k2=﹣8k+4＞0，所以 ；
（2）方程的两个实数]根x 、x ．
1 2
则 ，所以
．
整理得：k2﹣2k﹣1=0；所以 或 ．
①上面的解答中有不少问题，请你指出其中三处；
②请给出完整的解答．七.解答题（本小题12分）
23．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最
大高度为6米，底部宽度为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD+DC+CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM
上，这个“支撑架”总长的最大值是多少？
八.解答题（本小题14分）
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，OA比OC大2，点E为BC的中点，
以OE为直径的⊙O′交x轴于点D，过D作DF⊥EA．交AE于点F．
（1）求OA、OC的长及点O′的坐标；
（2）求证：DF为⊙O′的切线；
（3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形，由此他断定“直线BC上一定存在除点
E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请说
明理由．九年级（上）第三次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）
1．若方程（2﹣a）x|a|+ax+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a=±2 B．a=2 C．a=﹣2D．a≠±2
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义可知|a|=2，且2﹣a≠0，从而可求得a的值．
【解答】解：∵方程（2﹣a）x|a|+ax+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|a|=2，且2﹣a≠0．
解得；a=﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得到|a|=2，且2﹣
a≠0是解题的关键．
2．下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图案是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以
及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称
图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此
选项正确；
C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选
项错误；
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故
此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题
的关键．
3．下列描述中不属于确定性事件的是（ ）
A．氢气在空气中燃烧生成水
B．正六边形的半径是其边心距的2倍
C．守株待兔
D．直角三角形的外心在直角三角形的外部
【考点】随机事件．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：A、氢气在空气中燃烧生成水是必然事件，故A错误；
B、正六边形的半径是其边心距的2倍是不可能事件，故B错误；
C、守株待兔是随机事件，故C正确；
D、直角三角形的外心在直角三角形的外部是不可能事件，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概
念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生
的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．下列命题正确的有（ ）
①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③直径是圆的对称轴；④平分弦的直径垂直于这
条弦；
⑤顶点在圆上的角是圆周角；⑥同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；
⑦同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】命题与定理．
【分析】根据直径得定义对①进行判断；根据等弧的定义对②进行判断；根据对称轴的定义对
③进行判断；根据垂径定理的推理对④进行判断；根据圆周角的定义对⑤进行判断；根据圆
周角定理对⑥进行判断；利用一条弦对两条弧可对⑦进行判断．
【解答】解：直径是弦，所以①正确；
在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以②错误；
直径所在的直线是圆的对称轴，所以③错误；
平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，所以④错误；
顶点在圆上且两边与圆相交的角是圆周角，所以⑤错误；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以⑥正确；
同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以⑦错误．
故选A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结
论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如
果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
5．如图，AB为⊙O的直径，∠DCB=30°，∠DAC=70°，则∠D的度数为（ ）
A．70° B．50° C．40° D．30°
【考点】圆周角定理；三角形内角和定理．
【分析】利用圆周角定理求得∠ACB=90°，∠DCB=∠DAB=30°；然后由已知条件∠DAC=70°
结合图形可以求得∠CAB=40°，根据直角三角形内角和定理可以求得同弧所对的圆周角
∠B=∠D=50°．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵∠DCB=∠DAB=30°（同弧所对的圆周角相等），∠DAC=70°，
∴∠BAC=40°；
∴在Rt△ACB中，∠B=50°（三角形内角和定理）；
∴∠B=∠D=50°（同弧所对的圆周角相等）；
故选B．
【点评】本题综合考查了圆周角定理、三角形内角和定理．由直径所对的圆周角是直角推得
∠ACB是直角是解题的关键．
6．如图是武汉某座天桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为
（ ）
A．13m B．15m C．20m D．26m
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】应用题．
【分析】如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．
根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．
由垂径定理知，点F是AB的中点．由题意知，FH=10﹣2=8，则AE=EH，EF=EH﹣HF．
由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+（AE﹣HF）2，解得AE=13m．
故选A．
【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解．渗透数学建模思想．
7．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=4，点P是AB上一动点，连结OP，
将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（
）A．4B．5C．6D．8
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据AC=9，AO=4，求出OC=5，再根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，再根据旋
转的性质得OD=OP，∠POD=60°，根据三角形内角和和平角定义得
∠AOP+∠APO+∠A=180°，∠AOP+∠COD+∠POD=180°，利用等量代换可得∠APO=∠COD，
然后证出△AOP≌△CDO，得出AP=CO=5．
【解答】解：∵AC=9，AO=4，
∴OC=5，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵线段OP绕点D逆时针旋转60゜得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，
∴OD=OP，∠POD=60°，
∵∠AOP+∠APO+∠A=180°，∠AOP+∠COD+∠POD=180°，
∴∠AOP+∠APO=120°，∠AOP+∠COD=120°，
∴∠APO=∠COD，
在△AOP和△CDO中，
，
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP=CO=5．
故选B．
【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握对
应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前、后的
图形全等是本题的关键．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A．ac＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．b﹣2a=0
D．x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．
【专题】压轴题．
【分析】由函数图象可得抛物线开口向上，得到a大于0，又抛物线与y轴的交点在y轴负半
轴，得到c小于0，进而得到a与c异号，根据两数相乘积为负得到ac小于0，选项A错误；
由抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而增大，选项B错误；
由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，选项C错误；
由抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交
点为（3，0），进而得到方程ax2+bx+c=0的有一个根为3，选项D正确．
【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得：抛物线开口向上，即a＞0，
抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，即c＜0，
∴ac＜0，选项A错误；
由函数图象可得：当x＜1时，y随x的增大而减小；
当x＞1时，y随x的增大而增大，选项B错误；
∵对称轴为直线x=1，∴﹣ =1，即2a+b=0，选项C错误；
由图象可得抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），又对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
则x=3是方程ax2+bx+c=0的一个根，选项D正确．
故选D．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，难度适中．二次
函数y=ax2+bx+c=0（a≠0），a的符合由抛物线的开口方向决定，c的符合由抛物线与y轴交点
的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴决定，当抛物线开
口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口
向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析
式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．
9．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，
设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．【考点】二次函数的应用；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】代数几何综合题．
【分析】根据条件可知△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理
EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2，进而可求出函数解析式，求出答案．
【解答】解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，
∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．
设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得
EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2
即s=x2+（1﹣x）2．
s=2x2﹣2x+1，
∴所求函数是一个开口向上，
对称轴是直线x= ．
∴自变量的取值范围是大于0小于1．
故选：B．
【点评】本题需根据自变量的取值范围，并且可以考虑求出函数的解析式来解决．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB，AC的中点，将
△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A BC 的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分
1 1
的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C．πD．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】压轴题．
【分析】整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为以点B为圆心，
OB，BH为半径的两个扇形组成的一个环形．
【解答】解：连接BH，BH ，
1
∵O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A BC 的位置，
1 1
∴△OBH≌△O
1
BH
1
，
利用勾股定理可求得BH= = ，
所以利用扇形面积公式可得 = =π．
故选C．【点评】本题的关键是求出半径BH的长，然后利用扇形面积公式就可求．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．有三个形状和材质一样的盒子里分别装有3个红球、6个黄球、9个黑球，蒙着眼睛随机
从盒子中摸出一个球是黑球的概率为 ．
【考点】概率公式．
【分析】根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数为18；
②符合条件的情况数目为9；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵黑球共有9个，球数共有6+3+9=18个，
∴P（黑球）= = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中
事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
12．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是 （﹣ 2 ， 3 ） ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】常规题型．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐
标系的图形记忆．
13．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA B ，
1 1
则∠A OB= 7 0 °．
1
【考点】旋转的性质．
【专题】探究型．
【分析】直接根据图形旋转的性质进行解答即可．
【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA B ，∠AOB=30°，
1 1
∴△OAB≌△OA
1
B
1
，
∴∠A
1
OB
1
=∠AOB=30°．
∴∠A
1
OB=∠A
1
OA﹣∠AOB=70°．
故答案为：70．【点评】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此
题的关键．
14．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE
（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的
点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离 2 cm．
【考点】平面展开-最短路径问题；圆锥的计算．
【专题】压轴题．
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得
出结果．
【解答】解：因为OE=OF=EF=10（cm），
所以底面周长=10π（cm），
将圆锥侧面沿OF剪开展平得一扇形，此扇形的半径OE=10（cm），弧长等于圆锥底面圆的周
长10π（cm）
设扇形圆心角度数为n，则根据弧长公式得：
10π= ，
所以n=180°，
即展开图是一个半圆，
因为E点是展开图弧的中点，
所以∠EOF=90°，
连接EA，则EA就是蚂蚁爬行的最短距离，
在Rt△AOE中由勾股定理得，
EA2=OE2+OA2=100+64=164，
所以EA=2 （cm），
即蚂蚁爬行的最短距离是2 （cm）．
【点评】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆
锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
15．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C ，它与x轴交于点O，A ；
1 1
将C 绕点A 旋转180°得C ，交x轴于点A ；
1 1 2 2
将C 绕点A 旋转180°得C ，交x轴于点A ；
2 2 3 3
…如此进行下去，直至得C ．若P（37，m）在第13段抛物线C 上，则m= 2 ．
13 13
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】压轴题．
【分析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m
的值．
【解答】解：∵一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），
∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），
∵将C 绕点A 旋转180°得C ，交x轴于点A ；
1 1 2 2
将C 绕点A 旋转180°得C ，交x轴于点A ；
2 2 3 3
…
如此进行下去，直至得C ．
13
∴C 的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，
13
∴C 的解析式为：y =﹣（x﹣36）（x﹣39），
13 13
当x=37时，y=﹣（37﹣36）×（37﹣39）=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题
关键．
三、解答题（每小题8分，共16分）
16．用公式法解方程：2x2=﹣3+7x．
【考点】解一元二次方程-公式法．
【分析】先移项，再求出b2﹣4ac的值，最后代入公式求出即可．
【解答】解：2x2=﹣3+7x，
2x2﹣7x+3=0，
b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×3=25，
x= ，
x = ，x =3．
1 2
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程的应用，能熟记公式是解此题的关键．
17．如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，
C都可使小灯泡发光．
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 ；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】跨学科．
【分析】（1）根据概率公式直接填即可；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出
该事件的概率．
【解答】解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，
所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是 ；
（2）画树状图如右图：
结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种，
其中能使小灯泡发光的情况有6种，
小灯泡发光的概率是 ．
【点评】本题是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的
条件，主要考查概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
四.解答题（每小题8分，共16分）
18．作图题：在下图中，把△ABC向右平移5个方格，再绕点B的对应点顺时针方向旋转
90°．
（1）画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母；
（2）能否把两次变换合成一种变换，如果能，说出变换过程（可适当在图形中标记）；如果不能，
说明理由．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【专题】作图题；网格型．
【分析】（1）把△ABC的各顶点向右平移5个方格，得到新点顺次连接，得到新三角形．再绕
点B的对应点顺时针方向旋转90度．得到又一个新图．
（2）从两图中仔细找规律，找出这两图是如何变换出来的，可以看出是将△ABC绕CB、C″B″
延长线的交点顺时针旋转90度得到的．【解答】解：（1）如图：
（2）能，将△ABC绕CB、C″B″延长线的交点顺时针旋转90°．
【点评】本题综合考查了三角形平移，旋转变换作图．
19．已知：在⊙O中，M、N分别是半径OA、OB的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB．求证： ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】证明题．
【分析】首先连接OC，OD，由M、N分别是半径OA、OB的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB，易证
得Rt△OMC≌Rt△OND（HL），继而证得∠MOC=∠NOD，然后由圆心角与弧的关系，证得结
论．
【解答】证明：连接OC，OD，则OC=OD，
∵M、N分别是半径OA、OB的中点，
∴OM=ON，
∵CM⊥OA，DN⊥OB，
∴∠OMC=∠OND=90°，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴∠MOC=∠NOD，∴ ．
【点评】此题考查了圆心角与弧的关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线
是解此题的关键．
五.解答题（每小题10分，共20分）
20．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售
价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10
件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】设售价为x元，则有（x﹣进价）（每天售出的数量﹣ ×10）=每天利润，解方程求
解即可．
【解答】解：设售价为x元，根据题意列方程得（x﹣8）（200﹣ ×10）=640，
整理得：（x﹣8）（400﹣20x）=640，即x2﹣28x+192=0，
解得x =12，x =16．
1 2
故将每件售价定为12或16元时，才能使每天利润为640元．
又题意要求采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，
故应将商品的售价定为16元．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题
的关键．
21．如图，AB⊙O的直径，AM、BN是⊙O的切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．
（1）求证：∠DOC=90°；
（2）如果OD=3cm，OC=4cm，求⊙O的直径AB的长．
【考点】切线的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据切线长定理得到OD平分∠ADE，OC平分∠BCE，即∠ODC=∠ADC，
∠OCD=∠BCD，再根据切线的性质AB⊥AM，AB⊥BN，则AM∥BN，利用平行线的性质得
∠ADC+∠BCD=180°，所以∠ODC+∠OCD=90°，则根据三角形内角和可就是出∠DOC=90°；（2）连接OE，如图，利用勾股定理可就是出CD=5，再根据切线长定理得到OE⊥DC，则利用
面积法克就是出OE，从而得到AB的长．
【解答】（1）证明：∵AM、BN是⊙O的切线，DE切⊙O于E，
∴OD平分∠ADE，OC平分∠BCE，
∴∠ODC=∠ADC，∠OCD=∠BCD，
∵AM、BN是⊙O的切线，
∴AB⊥AM，AB⊥BN，
∴AM∥BN，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠DOC=90°；
（2）解：连接OE，如图，在Rt△OCD中，∵OD=3，OC=4，
∴CD= =5，
∵DE切⊙O于E，
∴OE⊥DC，
∵OE•CD=OD•OC，
∴OE= = ，
∴AB=2OE= ．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计
算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
六.解答题（本小题12分）
22．阅读问题与解答，然后回答问题：
（1）若关于x的一元二次方程k2x2+2（k﹣1）x+1=0有实数根，求k的取值范围？
（2）如果这个方程的两个实数根的倒数和的平方等于8，求k的值．
解：
（1）△=[2（k﹣1） 2﹣4k2=﹣8k+4＞0，所以 ；
（2）方程的两个实数]根x 、x ．
1 2则 ，所以
．
整理得：k2﹣2k﹣1=0；所以 或 ．
①上面的解答中有不少问题，请你指出其中三处；
②请给出完整的解答．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【专题】阅读型．
【分析】①问题1：k的取值范围有误；
问题2：由根与系数的关系得出x +x 的表达式有误；
1 2
问题3：所求k的值有误．
②根据①中指出的问题解答即可．
【解答】解：①问题1：k的取值范围有误；
问题2：由根与系数的关系得出x +x 的表达式有误；
1 2
问题3：所求k的值有误；
②∵关于x的一元二次方程k2x2+2（k﹣1）x+1=0有实数根，
∴k2≠0，且△=[2（k﹣1） 2﹣4k2=﹣8k+4＞0，
解得 且k≠0； ]
设方程的两个实数根为x 、x ，则x +x =﹣ ，x x = ，
1 2 1 2 1 2
所以 ．
整理得：k2﹣2k﹣1=0，
解得 或 ，
∵ 且k≠0，
∴k=1﹣ ．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关
系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
也考查了根与系数的关系．
七.解答题（本小题12分）
23．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最
大高度为6米，底部宽度为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD+DC+CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM
上，这个“支撑架”总长的最大值是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】应用题；压轴题；图表型．
【分析】（1）看图可得出M，P的坐标．
（2）已知M，P的坐标，易求出这条抛物线的函数解析式．
（3）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m， +m+3），D（m， +m+3）可得
支撑架总长．
【解答】解：（1）由题意得：
M（12，0），P（6，6）；
（2）由顶点P（6，6）设此函数解析式为：y=a（x﹣6）2+6，
将点（0，3）代入得a= ，
∴y= （x﹣6）2+6
= x2+x+3；
（3）设A（m，0），则
B（12﹣m，0），C（12﹣m， m2+m+3），D（m， m2+m+3）
∴“支撑架”总长AD+DC+CB=（ m2+m+3）+（12﹣2m）+（ m2+m+3）=
∵此二次函数的图象开口向下．
∴当m=0时，AD+DC+CB有最大值为18．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，
第三种是公式法．
八.解答题（本小题14分）
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，OA比OC大2，点E为BC的中点，
以OE为直径的⊙O′交x轴于点D，过D作DF⊥EA．交AE于点F．
（1）求OA、OC的长及点O′的坐标；（2）求证：DF为⊙O′的切线；
（3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形，由此他断定“直线BC上一定存在除点
E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请说
明理由．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）在矩形OABC中，利用边长之间的关系和面积公式即可求得OC，OA的长，再利
用已知结合O′是OE的中点得出答案；
（2）连接O′D，通过证明△OCE≌△ABE得到DF⊥O′D，所以DF为⊙O′切线；
（3）分两种情况进行分析：①当AO=AP；②当OA=OP，从而得到在直线BC上，除了E点外，
既存在⊙O′内的点P，又存在⊙O′外的点P 、P 、P ，它们分别使△AOP为等腰三角形．
2 3 4
【解答】（1）解：在矩形OABC中，设OC=x，则OA=x+2
∴x（x+2）=15
∴x =3，x =﹣5
1 2
∵x =﹣5（不合题意，舍去）
2
∴OC=3，OA=5；
∵点E为BC的中点，
∴EC= ，
∵O′是OE的中点，
∴O′（ ， ）；
（2）证明：如图，连接O′D；
在△0CE和△ABE中，
∵ ，
∴△0CE≌△ABE（SAS），
∴EA=EO，
∴∠1=∠2；
∵在⊙O′中，O′O=O′D，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴O′D∥AE；
∵DF⊥AE，∴DF⊥O′D，
∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径，
∴DF为⊙O′切线；
（3）解：不同意．理由如下：
①当A0=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P 和P 两点
1 4
过P
1
点作P
1
H⊥OA于点H，P
1
H=0C=3；
∵AP=OA=5，
l
∴AH=4，
∴OH=l，
则点P （1，3），同理可得：P （9，3）；
1 4
②当OA=OP时，
同上可求得P （4，3），P （﹣4，3），
2 3
故在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P ，又存在⊙O′外的点P 、P 、P ，它们分别
1 2 3 4
使△AOP为等腰三角形．
【点评】此题主要考查了矩形的性质和圆中的有关性质，等腰三角形的判定以及一元二次方
程在几何图形中的运用．要熟练掌握这些性质才能灵活运用．
