文档内容
第一次月考（考试范围：第一、二章）（人教版）
选拔卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．（2021·重庆市实验学校）下列由四舍五入得到的近似数说法正确的是（ ）
A． 精确到百分位 B． 精确到千分位
C． 万精确到十分位 D． 精确到
【答案】D
【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．
【详解】解：A、0.720精确到千分位，故A选项错误；B、5.078×104精确到十位，故B选
项错误；
C、3.6万精确到千位，故C选项错误；D、2.90精确到0.01，故D选项正确．故选：D．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数
字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表
示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
2．（2021·河南初一期中）如图，关于 、 、 这三部分数集的个数，下列说法正确的
是（ ）
A． 、 两部分有无数个， 部分只有一个0 B． 、 、 三部分有无数个
C． 、 、 三部分都只有一个 D． 部分只有一个， 、 两部
分有无数个
【答案】A
【分析】根据有理数的分类可以看出A指的是负整数，B指的是整数中除了正整数与负整
数外的部分整数，C指的是正整数，最后根据各数性质进一步判断即可.
【解析】由图可得：A指的是负整数，B指的是整数中除了正整数与负整数外的部分整数，
C指的是正整数，
∵整数中除了正整数与负整数外的部分整数只有0、负整数与正整数都有无数个，
∴A、C两部分有无数个，B只有一个.故选：A.
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握相关概念是解题关键.3．（2020·浙江金华市·七年级期中） 所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数乘方的逆运算将原式化为 ，进一步即可求出
答案．
【详解】 = = = ，故选：
A．
【点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键．
4．（2021·青神县实验初级中学校）已知 ， 两数在数轴上的位置如图所示，则化简代
数式 的结果是（ ）
A．1 B． C． D．-1
【答案】B
【分析】通过数轴可以得到a与1、b与2、a与-b的大小关系，从而得到a-1、b-2、a-(-b)
即a+b的正负，然后根据绝对值的意义去掉绝对值符号后可以得到答案．
【详解】解：由a与b在数轴上的位置可以得到：a-1>0，b-2<0，a+b=a-（-b）>0，
∴原式=a+b-（a-1）-（2-b） =a+b-a+1-2+b =2b-1，故选B．
【点睛】本题考查有理数在数轴上的表示及其应用，熟练地根据点（或数）在数轴上的位
置判断出式子的正负是解题关键．
5．（2021·重庆潼南区·七年级期末）如果四个不同的正整数 ， ， ， 满足
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意确定出m，n，p，q的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵四个互不相同的正整数m，n，p，q，满足（4-m）（4-n）（4-p）（4-q）
=9，
∴满足题意可能为：4-m=1，4-n=-1，4-p=3，4-q=-3，解得：m=3，n=5，p=1，q=7，
则m+n+p+q=16．故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2021·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事
休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为 的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为 的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解
面积和即可.
【详解】解：分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来
求解面积和即为所求.最后一个小长方形的面积= 故
即 故选B.
【点睛】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，通过数形结合看出前面所有小长
方形的面积等于总面积减去最后一个空白的小长方形的面积是解答此题的关键.
7．（2021·广东省华南师大附中初一期中）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算
符号） ， ， ， ，…，那么计算 的值是
（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】C
【分析】原式利用题中的新定义化简，约分即可得到结果．
【解析】根据题中的新定义得：原式= =2020，故选：C．
【点睛】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．（2021·沙坪坝·重庆南开中学九年级期末）下列图形都是由三角形按一定规律组成的，
其中第①个图形共有3个顶点，第②个图形共有6个顶点，第③个图形共有10个顶点，
……，按此规律排列下去，第⑦个图形顶点的个数为（ ）① ② ③ ……
A．66个 B．55个 C．45个 D．36个
【答案】D
【分析】根据已知图形找到规律：第n个图形中顶点的个数为：1+2+3+4+……+n+n+1＝
．
【详解】解：第一个图形有：1+2=3个顶点；第二个图形有：1+2+3=6个顶点；
第三个图形有：1+2+3+4=10个顶点；……∴可知第n个图形有：1+2+3+4+……+n+n+1个
顶点，
∴第七个图形有：1+2+3+4+5+6+7+8=36个顶点，故选：D．
【点睛】本题考查图形类规律，解题的关键是通过观察得出规律．
9．（2020·浙江七年级期中）若不等式 ，对一切实数x
都成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先得出代数式 的意义，从而得出结论．
【详解】解：由数轴知， 表示x到4，2，1，0这四个点的
距离之和．
当1≤x≤2时，距离之和最小，此时 =5，
即不等式 ≥5对一切数x都成立，∴a≤5，故选B．
【点睛】本题考查绝对值的意义，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
10．（2021·云南昆明·九年级一模）下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：
从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两
平行线之间的一列数：1，3，6、10，15，…，我们把第一个数记为 ，第二个数记为 ，
第三个数记为 ，…，第n个数记为 ，则 的值为（ ）A．19900 B．19915 C．19921 D．19934
【答案】C
【分析】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第
二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第n-1个数大n；所以从特
殊入手，a=1，a=1+2，a=3+3=1+2+3，a=6+4=1+2+3+4，…，由此得出一般规律：
1 2 3 4
a=1+2+3+4+…+n，从而可求得结果．
n
【详解】这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第
二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第n-1个数大n，所以
a=1，a=1+2，a=3+3=1+2+3，a=6+4=1+2+3+4，…， a=1+2+3+4+…+n．所以
1 2 3 4 n
a=1+2+3+4+5+6=21，a =1+2+3+4+5+…+198+199= =19900，从而
6 199
a+a =19900+21=19921故选：C
6 199
【点睛】本题是一个规律探索题，对于这类题，遵循由特殊到一般的原则，要求学生善于
观察并找出规律，这对学生的归纳能力提出了更高的要求．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·抚顺市第十五中学七年级月考）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要
求完成下列问题：
若从中取出2张卡片，乘积的最大值是________．商的最小值是_______．
【答案】24， ﹣7；
【分析】根据题意和题目中的数字，可以得到2张卡片上数字的乘积最大值；可以得到2
张卡片上数字相除的商的最小值．
【详解】解：若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，
则乘积的最大值是：（﹣8）×（﹣3）＝24，则商的最小值是：4÷（-1）＝﹣4，故答案为：
24，﹣4；
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的最值和写
出所求的式子．
12．（2021·青神县实验初级中学校）两个单项式 与 的和是一个单项式，
那么 ______， ____．
【答案】2 2
【分析】根据单项式 a2b2m与− anb4的和是一个单项式可判断单项式 a2b2m与− anb4是
同类项，由同类项的定义，可得出m、n的值.
【详解】解：∵单项式 a2b2m与− anb4的和是一个单项式，∴单项式 a2b2m与− anb4是同类项，∴n=2，2m=4．
解得：m=2，n=2．故答案为2，2.
【点睛】本题考查了合并同类项的知识，在整式的加减中，只有同类项才能合并.
13．（2021·四川宜宾市·七年级期末）我们常用的数是十进制，如
，十进制数要用10个数码（又叫数字）：0，
1，2，3，4，5，6，7，8，9．而在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1，
如二进制 ，相当于十进制数中的6，
，相当于十进制数中的53．那么
二进制中的101011等于十进制中的数是________．（提示：非零有理数的零幂都为1）
【答案】43
【分析】依据题中二进制的换算方式将二进制转化为十进制计算即可．
【详解】解：101011＝1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝32+0+8+0+2+1＝43．故答案为
43．
【点睛】本题考查有理数的乘方运算．根据已知转化方法，找出其中规律是解决此题的关
键．
14．（2021·山东潍坊市·七年级期末）观察下列等式： ， ， ，
， ， ，…，根据其中的规律可得 的
结果的个位数字是__________．
【答案】8
【分析】先根据已知等式发现个位数字是以 为一循环，再根据
即可得．
【详解】因为 ， ， ， ， ， ，…，
所以个位数字是以 为一循环，且 ，
又因为 ， ，
所以 的结果的个位数字是8，故答案为：8．
【点睛】本题考查了有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规
律是解题关键．
15．（2020·浙江金华市·七年级开学考试）已知： =3， =10，
=15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算： =___．
【答案】4【分析】根据 计算可得．
【详解】解： =4，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是根据已知等式得出计算公式．
16．（2021·湖南七年级期末）如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，
根据此规律确定n的值为________．
【答案】10
【分析】根据所给图形的数字的规律进行求解即可．
【详解】∵表格中的左上角的数字分别为：1、2、3、4，……，∴第n个表格中左上角的
数字为n，
∵表格中的右下角的数字分别为2、4、6、8、……，∴第n个表格中右下角的数字为2n，
∴2n=20，解得：n=10，故答案为：10
【点睛】本题主要考查规律形数字的变化，能熟练找出规律是解题的关键．
17．（2021·浙江）设 ， ， ，…；另设 ， ，
，…．已知 是一个关于 的三次多项式（ 为正整数），可表示为
，则 ________．
【答案】1
【分析】由N =n=1,那么令n=1代入 即可解答．
1 1
【详解】解：∵N =n=1∴令k=1，则有：N = =a+b+c+d ∴a+b+c+d=1．
1 1 1
故填1．
【点睛】本题主要考查了特殊值法的应用，发现N =n=1,是解答本题的关键．
1 1
18．（2021·北京西城·北师大实验中学七年级期中）古希腊毕达格拉斯学派的数学家常用
小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，
6，10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，
4，9，16，…．这样的数为正方形数）．
（1）请你写出一个既是三角形数又是正方形数的自然数______；
（2）类似地，我们将 边形数中第 个数记为 ．以下列出了部分 边形数中第 个数的表达式：三角形数
正方形数
五边形数
六边形数
根据以上信息，得出 ______．（用含有 和 的代数式表示）
【答案】36. （k≥3）．
【分析】（1）由题意得第8个图的三角形数是36，所以既是三角形数又是正方形数，且
大于1的最小正整数为36；（2）由已知等式进行变形进而可推出结果．
【详解】解：（1）由题意第8个图的三角形数为 ×8（8+1）＝36，
∴既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为36，故答案为36．
（2）∵ ，N（n，4）＝n2＝ ，
， ，
由此推断出N（n，k）＝ （k≥3）．故答案为：
（k≥3）．
【点睛】本题考查三角形数、正方形数的规律与归纳推理等知识，观察已知式子的规律并
改写形式是解决问题的关键．
三、解答题：本题共8个小题，19-24每题8分，25-26每题9分，共66分。
19.（2021·绵阳市七年级期中）计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）26；（2） ；（3） ；（4） ．
【分析】（1）利用有理数乘法的分配律、乘法与加减法法则计算即可得；
（2）先计算有理数的乘方运算，再计算有理数的乘除法，然后去括号、计算有理数的加减法即可得；
（3）先计算有理数的乘方运算、绝对值运算，再计算括号内的减法，然后计算有理数的乘
除法，最后计算有理数的加法即可得；（4）利用有理数乘法的分配律计算即可得．
【解析】（1）原式 ；
（2）原式
；
（3）原式 ，
；
（4）原式 ．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数加减乘除混合运算、乘法的分配律等知识点，熟练掌
握各运算法则是解题关键．
20．（2021·浙江杭州市·七年级期末）阅读与写作：一个数学问题，在特定的题设下，有
时其结论并不唯一，因而我们需要对这一问题进行必要的分类，将一个数学问题根据题设
分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的结果进行
归纳综合，这种解决问题的思维方法在数学上称为“分类讨论”
例如在解方程 时，我们就可以利用这种思维方式来解决．当 时，原方
程可化为 ，解得 ；当 时，原方程可化为 ，解得
．所以原方程的解是 或 ．
（1）请你用这种思维方式解方程 ．
（2）围绕“分类讨论”这一主题撰写一篇数学小文章，题目自拟．（要求：书写端正，字
数限于100字内．）
【答案】（1） 或 ；（2）见解析
【分析】（1）分 ， 两种情况，分别化简方程求解，最后合并即可；
（2）根据“分类讨论”的意义书写即可．
【详解】解：（1）当 时，原方程可化为 ，解得 ；
当 时，原方程可化为 ，解得 ．所以原方程的解是 或 ．
（2）分类讨论是在解决一个复杂问题时，将讨论的对象分成若干相对简单的情况，然后对
各种情况逐个讨论，使问题得以解决．分类讨论思想是生活中普遍使用的分析解决问题的
思想，是为了简化问题，分类时要做到不重不漏．
【点睛】本题考查了解绝对值方程，解题的关键是理解“分类讨论”的意义．
21．（2021·绵阳市七年级期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题．
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，
对数式记作：logaN＝b．例如：
①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log 4＝2；
2
②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log 16＝2.
4
（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①62＝36；②43＝64；
（2）将下列对数式改为指数式：①log 25＝2；②log 27＝3；
5 3
（3）计算：log 32
2
【答案】（1）①log 36＝2；②log 64＝3；（2）①52＝25；②33＝27；（3）5
6 4
【分析】（1）根据题意可以把指数式写成对数式；（2）根据题意可以把对数式写成指数
式；
（3）根据题目中提供的信息可以计算出式子的结果．
【详解】解：（1）①62＝36；对数式记作：log 36＝2；
6
②43＝64；对数式记作：log 64＝3；
4
（2）①log 25＝2；指数式为52＝25，②log 27＝3；指数式为33＝27；
5 3
（3）∵25＝32，log 32＝5.
2
【点睛】本题考查了对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，
明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
22．（2021·成都市七年级期中）根据等式和不等式的性质，可以得到：若 ，则
；若 ，则 ；若 ，则 ．这是利用“作差法”比较两个数
或两个代数式值的大小．
（1）试比较代数式 与 的值之间的大小关系；
解： ，
因为 所以
所以 _______ ．（用“＞”或“＜”填空）
（2）已知 ， ，请你运用前面介绍的方法比较代数
式A与B的大小．（3）已知 ，比较A，B的大小．
【答案】（1）＞；（2）A＜B；（3）当m＞1时，A＞B；当m=1时，A=B；当m＜1时，
A＜B
【分析】（1）根据之差大于0，即可做出判断；（2）利用作差法判断即可；（3）利用作
差法计算，再根据m值判断即可．
【详解】解：（1）（5m2-4m+2）-（4m2-4m-7）=5m2-4m+2-4m2+4m+7=m2+9，
∵m2≥0，∴m2+9＞0，∴5m2-4m+2＞4m2-4m-7；故答案为：＞；
（2）∵ ， ，
∴A-B= =5m2-7m+2-7m2+7m-3=-2m2-1≤-1＜0，则A＜B；
（3）∵ ，
∴A-B= = =
当m＞1时， ＞0，则A＞B；
当m=1时， =0，A=B；
当m＜1时， ＜0，A＜B．
【点睛】此题考查了整式的加减，理解题干中的作差法是解本题的关键．
23．（2021·重庆市七年级期末）一次性购物金额促销方案低于300元所购商品全部按九折
结算，不低于300元但低于600元所购商品全部按八折结算，600元或超过600元其中前
600元按八折结算，超过600元的部分按七折结算．
“双十一”已经成为中国电子商务行业的年度盛事，每年这一天成为全民的购物节．在今
年的“双十一”期间，某网店举办促销活动，方案如下表所示：
一次性购物金额 促销方案
低于300元 所购商品全部按九折结算
不低于300元但低于600元 所购商品全部按八折结算
600元或超过600元 其中前600元按八折结算，超过600元的部分按七折结算
（1）如果顾客在该网店一次性购物x元（ ），求实际付款多少元？（用含x的代
数式表示）
（2）某顾客在该店两次购物的商品共计800元．若第一次购物商品的金额为a元（
），求该顾客两次购物的实际付款共多少元？（用含a的代数式表示）
（3）当 时，，求该顾客两次购物的实际付款共多少元？【答案】（1）（0.7x+60）元；（2） ；（3）640元
【分析】（1）根据600元或超过600元，其中前600元按八折结算，超过600元的部分按
七折结算可列出代数式；（2）分三种情况进行讨论，求出该顾客两次购物的实际付款共多
少元即可；
（3）将a=700代入（2）中结果计算即可．
【详解】解：（1）600×0.8+0.7（x-600）=（0.7x+60）元．答：实际付款（0.7x+60）元．
（2）①当300＜a≤500时，则300≤800-a＜500，则两次均按八折结算，
∴购物实际付款： 0.8×800=640（元）；
②当500＜a＜600时，则200＜800-a＜300，
则第一次按八折结算，第二次按九折结算，
∴购物实际付款：0.8a+0.9（800-a）=（-0.1a+720）元；
③当600≤a＜800时，则0＜800-a≤200，
则第一次中前600元按八折结算，超过600元的部分按七折结算，第二次按九折结算，
∴购物实际付款：600×0.8+0.7（a-600）+0.9（800-a）=（-0.2a+780）元．
故本次实际付款= ；
（3）当 时，该顾客两次购物的实际付款为：-0.2×700+780=640元．
【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，关键明白优惠的方案，从而可求出解．
24．（2021·北京一零一中石油分校七年级期末）如图，某校的“图书码”共有7位数字，
它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码
和校验码”．
其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得
来的．以上图为例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和 ，即 ；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和 ，即 ；
步骤3：计算 与 的和 ，即 ；步骤4：取大于或等于 且为10的整数倍的最小数 ，即 ；
步骤5：计算 与 的差就是校验码 ，即 ．
请解答下列问题：
（1）《数学故事》的图书码为978753 ，则“步骤3”中的 的值为______，校验码 的
值为______．
（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为 ，你能用只含有
的代数式表示上述步骤中的 吗？从而求出 的值吗？写出你的思考过程．
（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多
少？请直接写出结果．
【答案】（1）73，7；（2）3，过程见解析；（3）4、0或9、5或2、6
【分析】（1）根据特定的算法代入计算计算即可求解；
（2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为10的整数倍即可求解；
（3）根据校验码为8结合两个数字的差是4即可求解．
【详解】（1）∵《数学故事》的图书码为978753Y，∴a=7+7+3=17，b=9+8+5=22，
则“步骤3”中的c的值为3×17+22=73，校验码Y的值为80-73=7．故答案为：73，7；
（2）依题意有：a=m+1+2=m+3，b=6+0+0=6，
c=3a+b=3(m+3)+6=3m+15，d=c+X=3m+15+6=3m+21，
∵d为10的整数倍，∴3m的个位数字只能是9，∴m的值为3；
（3）可设这两个数字从左到右分别是p，q，依题意有：
a=p+9+2=p+11，b=6+1+q=q+7，c=3(p+11)+(q+7)=3p+q+40，
∵校验码是8，则3p+q的个位是2，
∵|p-q|=4，∴p=4，q=0或p=9，q=5或p=2，q=6．
故这两个数字从左到右分别是4，0或9，5或2，6．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意，学会探究规律、利用规律
是解题的关键．
25．（2021·重庆北碚区·七年级期末）阅读下面材料，回答问题
距离能够产生美．
唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．
当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：
“世界上最遥远的距离
不是瞬间便无处寻觅
而是尚未相遇
便注定无法相聚”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世
界尺度．
已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．
（1）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB=OB=|b|-|a|=b-a=|a-
b|．
（2）当A，B两点都不在原点时，
①如图2，点A，B都在原点的右边，AB=OB-OA=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
②如图3，点A，B都在原点的左边，AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-（-a）=a-b=|a-b|；
③如图4，点A，B在原点的两边，AB=OA+OB=|a|+|b|=a+（-b）=a-b=|a-b|．
综上，数轴上A，B两点的距离AB=|a-b|，如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是5．
利用上述结论，回答以下三个问题：
（1）若表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么a=______；
（2）若数轴上表示数a的点位于-5与2之间，则|a+5|+|a-2|的值为_____；
（3）若x表示一个有理数，且|x-1|+|x+3|＞4，求有理数x的取值范围；
（4）若未知数x，y满足（|x-1|+|x+3|）（|y+1|+|y-2|）=12，求代数式x+y的最小值和最大值．
【答案】（1）1或-5；（2）7；（3）x＞1或x＜-3；（4）最大值是5，最小值是0．
【分析】（1）根据题意得绝对值方程，求解即可；（2）由题意可得a+5＞0，a-2＜0，去
绝对值化简可得结果（3）分类讨论当x＞1、x＜-3、3≤x≤1，再去绝对值，化简求解即可；
（4）分别得出|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2和|y﹣2|+|y+1|的最小值为3，从而得出x和y的范
围，则问题得解．
【详解】解：（1）|a-（-2）|=3，所以，a+2=3或a+2=-3，
解得：a=1或a=-5．故答案为：1或-5；
（2）∵表示数a的点位于-5与2之间，∴a+5＞0，a-2＜0，
∴|a+5|+|a-2|=（a+5）+[-（a-2）]=a+5-a+2=7．故答案为：7；
（3）当x＞1时，原式=x-1+x+3=2x+2＞4，解得：x＞1；
当x＜-3时，原式=-x+1-x-3=-2x-2＞4，解得：x＜-3；
当-3≤x≤1时，原式=-x+1+x+3=4，不符合题意，故舍去；
∴有理数x的取值范围是：x＞1或x＜-3；
（4）∵（|x-1|+|x-3|）（|y-2|+|y+1|）=6
又∵|x-1|+|x-3|的最小值为2，|y-2|+|y+1|的最小值为3，∴1≤x≤3，-1≤y≤2，∴代数式x+y的最大值是5，最小值是0．
【点睛】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及代数式的最值问题，明确数轴上的点之
间的距离及绝对值的运算法则，是解题的关键．
26．（2021·重庆初三一模）数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化
包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发
明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答
应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第 格放 粒米，第
格放 粒米，第 格放 粒米，然后是 粒、 粒、 粒······一只到第 格.”“你真傻！
就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国
库里真没有这么多米吗？题中问题就是求 是多少？请同学们阅读
以下解答过程就知道答案了.
设 ,
则
即：
事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的 个格子需要
粒米.那么 到底多大呢?借助计算机中的计算器进
行计算，可知答案是一个 位数: ，这是一个非常大的数，所
以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共
灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座 层塔共挂了 盏灯，且相邻两层中的下
一层灯数是上一层灯数的 倍，则塔的顶层共有多少盏灯?
计算:
某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这
款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知一列数： ，其中第一项是 ，接下来的两项是
，再接下来的三项是 ，以此类推，求满足如下条件的所有正整数
，且这一数列前 项和为 的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件
激活码正整数 的值.
【答案】（1）3；（2） ；（3）【分析】 设塔的顶层共有 盏灯，根据题意列出方程，进行解答即可.
参照题目中的解题方法进行计算即可.
由题意求得数列的每一项，及前n项和S=2n+1-2-n，及项数，由题意可知：2n+1为2的
n
整数幂．只需将-2-n消去即可，分别分别即可求得N的值
【解析】 设塔的顶层共有 盏灯，由题意得
.
解得 ， 顶层共有 盏灯.
设 ,
,
即： . 即
由题意可知：20第一项,20,21第二项,20,21,22第三项,…20,21,22…,2n−1第n项，
根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为：
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为
所有项数的和为
由题意可知： 为2的整数幂，只需将−2−n消去即可，
则①1+2+(−2−n)=0,解得：n=1,总共有 ，不满足N>10，
②1+2+4+(−2−n)=0,解得：n=5,总共有 满足 ，
③1+2+4+8+(−2−n)=0,解得：n=13,总共有 满足 ，④1+2+4+8+16+(−2−n)=0,解得：n=29,总共有 不满足 ，
∴
【点睛】考查归纳推理，读懂题目中等比数列的求和方法是解题的关键.
