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九年级（上）联考数学试卷（10月份）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）每小题只有一个答案是正确的，请
将正确答案的代号填入下列对应题号内．
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．2x2﹣1=3x B．2x2﹣y=1 C．ax2+bx+c=0 D．2x2+ =1
2．抛物线y=﹣x2+x+2与y轴的交点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（0，﹣1）C．（0，1）D．（0，2）
3．今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假
设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．2500x2=3500 B．2500（1+x）2=3500
C．2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500
4．把抛物线y=x2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（
）
A．y=（x+1）2+1 B．y=（x﹣1）2+1 C．y=（x﹣1）2+7 D．y=（x+1）2+7
5．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2015﹣a﹣b的值是（ ）
A．2017B．2018 C．2019 D．2020
6．已知﹣1是关于x的方程x2+4x﹣m=0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3
7．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点为A（﹣2，0），B（6，0），则该二次函数的对称轴为（
）
A．x=﹣1B．x=1 C．x=2 D．y轴
8．已知某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间（t s）的关系式是h=﹣ t2+20t+1．若此礼炮在
升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．6s
9．已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（0.5，y ），B（2，y ），C（﹣2，y ），则y 、
1 2 3 1
y 、y 的大小关系为（ ）
2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 2 3 1
10．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠211．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是x=1，则下列说法：①b＞0；
②2a+b=0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为
（ ）
A．2B．3C．4D．5
12．对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣ x+ 与x轴交于A 、B 两点，
n n
以A B 表示这两点间的距离，则A B +A B +…+A B 的值是（ ）
n n 1 1 2 2 2015 2015
A．1B． C． D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每题4分，共24分）将正确答案填写在前面对应题号的横
线上．
13．方程（x+2）（x﹣3）=x+2的解是 ．
14．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，
全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 ．
15．波音公司生产某种型号飞机，7月份的月产量为50台，由于改进了生产技术，计划9月份
生产飞机98台，那么8、9月飞机生产量平均每月的增长率是 ．
16．已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为
．
17．如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y =﹣ +3向下平移2个单位后得
1
抛物线y ，则阴影部分的面积S= ．
218．如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶
点为D，下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a=﹣1，则b=3；
③抛物线上有两点P（x ，y ）和Q（x ，y ），若x ＜1＜x ，且x +x ＞2，则y ＞y ；
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形
EDFG周长的最小值为6 ．
其中真命题的序号是 ．
三、解答下列各题：（第19题8分，20题6分，共14分）
19．解方程
①x2﹣3x+2=0
②4x2﹣12x+7=0．
20．已知抛物线的对称轴是x=﹣1，且经过点A（0，3）和B（﹣3，6），求抛物线的解析式．
四、解答下列各题：（每小题10分，共40分）
21．无锡春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用28000元，请问该单位
这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
22．李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成
一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明
理由．
23．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的
直角坐标系，抛物线可以用y=﹣ x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为
3m时，到地面OA的距离为 m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这
辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不
超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
24．对x，y定义一种新运算T，规定： （其中a、b均为非零常数），这里等
式右边是通常的四则运算，例如： ．
（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．
①求a、b的值；
②若关于m的方程T（1﹣m，﹣m2）=﹣2有实数解，求实数m的值；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a、b
应满足怎样的关系式？
五、解答下列各题：（每小题12分，共24分）
25．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价
是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元
时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每
天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
26．如图1，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若存在，求
出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图3，若抛物线的对称轴EF（E为抛物线顶点）与直线BC相交于点F，M为直线BC上
的任意一点，过点M作MN∥EF交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行
四边形？若能，求点N的坐标；若不能，请说明理由．九年级（上）联考数学试卷（10 月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）每小题只有一个答案是正确的，请
将正确答案的代号填入下列对应题号内．
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．2x2﹣1=3x B．2x2﹣y=1 C．ax2+bx+c=0 D．2x2+ =1
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的
最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件
对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；
B、方程含有两个未知数，故错误；
C、方程二次项系数可能为0，故错误；
D、不是整式方程，故错误．
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否
是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．抛物线y=﹣x2+x+2与y轴的交点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（0，﹣1）C．（0，1）D．（0，2）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】把x=0代入解析式求出y的值，根据y轴上点的特征和二次函数图象上点的坐标特征
解答即可．
【解答】解：当x=0时，y=2，
故抛物线y=﹣x2+x+2与y轴的交点坐标是（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握抛物线与y轴交点的纵坐标是函
数解析中的c值是解题的关键．
3．今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假
设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．2500x2=3500 B．2500（1+x）2=3500
C．2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】根据2013年教育经费额×（1+平均年增长率）2=2015年教育经费支出额，列出方程即
可．
【解答】解：设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2=3500，
故选B．【点评】本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化
后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的
“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．
4．把抛物线y=x2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（
）
A．y=（x+1）2+1 B．y=（x﹣1）2+1 C．y=（x﹣1）2+7 D．y=（x+1）2+7
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y=x2+4向左平移1个单位所得直线解析式为：y=（x+1）2+4；
再向下平移3个单位为：y=（x+1）2+4﹣3，即y=（x+1）2+1．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的
关键．
5．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2015﹣a﹣b的值是（ ）
A．2017B．2018 C．2019 D．2020
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=1代入已知方程求得（a+b）的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，
∴a+b+5=0，
∴a+b=﹣5，
∴2015﹣a﹣b=2015﹣（a+b）=2015﹣（﹣5）=2020；
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解定义．解题时，利用了“整体代入”的数学思想．
6．已知﹣1是关于x的方程x2+4x﹣m=0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3
【考点】根与系数的关系．
【分析】设x2+4x﹣m=0的另一个根为x ，根据根与系数的关系得出﹣1+x =﹣4，求出x 的值
1 1 1
即可．
【解答】解：设方程x2+4x﹣m=0的另一个根为：x ，
1
由根与系数的关系得：﹣1+x =﹣4，
1
解得：x =﹣3，
1
故选：A．
【点评】此题是一元二次方程根与系数之间关系的综合应用，关键是能关键根与系数的关系
得出﹣1+x =﹣4．
1
7．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点为A（﹣2，0），B（6，0），则该二次函数的对称轴为（
）
A．x=﹣1B．x=1 C．x=2 D．y轴
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】数形结合．【分析】根据抛物线的对称性得到点A和点B是抛物线上的对称点，所以点A和点B的对称
轴即为抛物线的对称轴．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点为A（﹣2，0），B（6，0），
∴该二次函数的对称轴为直线x=2．
故选C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c
1 2
是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x ，0），（x ，0）．解决本题的关键是掌
1 2
握抛物线的对称性．
8．已知某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间（t s）的关系式是h=﹣ t2+20t+1．若此礼炮在
升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．6s
【考点】二次函数的应用．
【分析】将关系式是h=﹣ t2+20t+1转化为顶点式就可以直接求出结论．
【解答】解：∵h=﹣ t2+20t+1，
∴h=﹣ （t﹣4）2+41，
∴顶点坐标为（﹣4，41），
∴到达最高处的时间为4s．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质顶点式的运用，解答时将一般式化为顶点式是关键．
9．已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（0.5，y ），B（2，y ），C（﹣2，y ），则y 、
1 2 3 1
y 、y 的大小关系为（ ）
2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 2 3 1
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x=1，图象开口向上；利用y随x的增大
而增大，可判断y ＜y ，根据二次函数图象的对称性可判断y ＞y ＞y ．
1 3 3 2 1
【解答】解：A（0.5，y ），C（﹣2，y ），在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
1 3
∵0.5＞﹣2，
∴y ＜y ，
1 3
根据二次函数图象的对称性可知，B的对称点为（0，0），故有y ＞y ＞y ；
3 2 1
故选B．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性
及增减性．
10．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0
且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，
∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程
有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
11．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是x=1，则下列说法：①b＞0；
②2a+b=0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为
（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，
然后根据对称轴x=1计算2a+b与偶的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进
行判断．
【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为x=﹣ ＞0，则b＞0，故本选项正确；
②由对称轴为x=1，
∴﹣ =1，∴b=﹣2a，则2a+b=0，故本选项正确；
③由图象可知，当x=﹣2时，y＜0，则4a﹣2b+c＜0，故本选项错误；
④从图象知，当x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，
∵b=﹣2a，
∴a+2a+c=0，即3a+c=0，故本选项错误；
⑤∵对称轴为x=1，
∴当x=1时，抛物线有最大值，
∴a+b+c＞m2a+mb+c，
∴m（ma+b）＜a+b（常数m≠1），故本选项正确；
故选B．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关
系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
12．对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣ x+ 与x轴交于A 、B 两点，
n n
以A B 表示这两点间的距离，则A B +A B +…+A B 的值是（ ）
n n 1 1 2 2 2015 2015
A．1B． C． D．
【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先求出抛物线与x轴两个交点坐标，然后由题意得到A B = ﹣ ，进而求出
n n
A B +A B +…+A B 的值．
1 1 2 2 2015 2015
【解答】解：令y=x2﹣ x+ =0，
即x2﹣ x+ =0，
解得x= 或x= ，
故抛物线y=x2﹣ x+ 与x轴的交点为（ ，0），（ ，0），
由题意得A B = ﹣ ，
n n
则A B +A B +…+A B =1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = ，
1 1 2 2 2015 2015
故选D．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是用n表示出抛物线与x
轴的两个交点坐标，此题难度不大．
二、填空题：（本大题共6个小题，每题4分，共24分）将正确答案填写在前面对应题号的横
线上．
13．方程（x+2）（x﹣3）=x+2的解是 x =﹣2 ， x =4 ．
1 2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先移项，再提取公因式，求出x的值即可．
【解答】解：原式可化为（x+2）（x﹣3）﹣（x+2）=0，
提取公因式得，（x+2）（x﹣4）=0，
故x+2=0或x﹣4=0，解得x =﹣2，x =4．
1 2
故答案为：x =﹣2，x =4．
1 2
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解答
此题的关键．
14．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，
全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 x（ x﹣ 1 ） =164 0 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x=1640，
故答案为：（x﹣1）x=1640．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x﹣1
张相片，有x个人是解决问题的关键．
15．波音公司生产某种型号飞机，7月份的月产量为50台，由于改进了生产技术，计划9月份
生产飞机98台，那么8、9月飞机生产量平均每月的增长率是 40% ．
【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．
【分析】设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x，根据7月份的月产量为50台，计划9月
份生产飞机98台，列方程求解．
【解答】解：设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x，
由题意得，50×（1+x）2=98，
解得：x=0.4或x=﹣2.4（不合题意舍去），
即8、9月飞机生产量平均每月的增长率是40%．
故答案为：40%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合
适的等量关系，列方程求解．
16．已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ﹣ 1 ＜ x
＜ 3 ．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】由图可知，该函数的对称轴是x=1，则x轴上与﹣1对应的点是3．观察图象可知y＞0
时x的取值范围
【解答】解：已知抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0）对称轴为x=1，
根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
观察图象，当y＞0时，﹣1＜x＜3，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为：﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，
找出抛物线y=ax2+bx+c的完整图象．
17．如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y =﹣ +3向下平移2个单位后得
1
抛物线y ，则阴影部分的面积S= 4 ．
2
【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据已知得出阴影部分即为平行四边形的面积．
【解答】解：根据题意知，图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积：2×2=4．
故答案是：4．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．解题关键是把阴影部分的面积整理为规则图
形的面积．
18．如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶
点为D，下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a=﹣1，则b=3；
③抛物线上有两点P（x ，y ）和Q（x ，y ），若x ＜1＜x ，且x +x ＞2，则y ＞y ；
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形
EDFG周长的最小值为6 ．
其中真命题的序号是 ②③ ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题．
【分析】观察函数图象，利用抛物线在x轴上所对应的自变量的取值范围可对①进行判断；抛
物线的对称轴为直线x=1，则利用对称性可对②进行判断；确定点Q比点P离对称轴的距离
要大，则根据二次函数的性质可对③进行判断；当m=2时，先确定D（1，4），C（0，3），E（2，
3），利用勾股计算出DE= ，作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于y轴的对称点为E′，
利用关于坐标轴对称的点的坐标特征得到D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），根据对称的性质得
FD=FD′，GE=GE′，于是FD+FG+GE=D′E′，根据两点之间线段最短可判断此时四边形EDFG
周长的最小，然后利用勾股定理计算出D′E′= ，于是可对④进行判断．
【解答】解：当a＜x＜b时，y＞0，所以①错误；
抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，当a=﹣1，即A（﹣1，0），而点A与点B为对称
点，则B（3，0），所以②正确；
因为x ＜1＜x ，所以点P和Q在对称轴两侧，而x +x ＞2，则点Q比点P离对称轴的距离要
1 2 1 2
大，所以y ＞y ，所以③正确；
1 2
当m=2时，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则D（1，4），C（0，3），
∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E，
∴E（2，3），
∴DE= = ，
作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于y轴的对称点为E′，则D（′ ﹣1，4），E（′ 2，﹣3），
∴FD=FD′，GE=GE′，
∴FD+FG+GE=FD′+FG+GE′=D′E′，∴此时四边形EDFG周长的最小，
而D′E′= = ，
∴四边形EDFG周长的最小值为 + ，所以④错误．
故答案为②③．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x
轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和求最短路径
的解决方法．
三、解答下列各题：（第19题8分，20题6分，共14分）
19．解方程
①x2﹣3x+2=0
②4x2﹣12x+7=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
【分析】①先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
②先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：①x2﹣3x+2=0，
（x﹣2）（x﹣1）=0，
x﹣2=0，x﹣1=0，
x =2，x =1；
1 2
②4x2﹣12x+7=0，
b2﹣4ac=（﹣12）2﹣4×4×7=32，
x= ，
x = ，x = ．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的
关键．
20．已知抛物线的对称轴是x=﹣1，且经过点A（0，3）和B（﹣3，6），求抛物线的解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A点和B点坐标代入得到两个方程，再利用抛物线的对称
轴方程得到关于a、b的方程，这样可得到关于a、b、c的三元方程组，然后解方程组即可．
【解答】解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得 ，
解得a=1，b=2，c=3．
所以抛物线解析式为y=x2+2x+3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式
时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已
知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线
的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可
选择设其解析式为交点式来求解．
四、解答下列各题：（每小题10分，共40分）
21．无锡春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用28000元，请问该单位
这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】首先分析得出这次旅游员工大体人数，因为支付给春秋旅行社旅游费用为28000元，
当旅游人数是30时，30×800=24000元，低于28000元，可得出实际人数超过了30人，再表示
出每人应交钱数800﹣（x﹣30）×10，结合实际问题列出方程求出即可．
【解答】解：∵支付给春秋旅行社旅游费用为28000元，当旅游人数是30时，30×800=24000元，
低于28000元．
∴这次旅游超过了30人．
∴假设这次旅游员工人数为x人，根据题意列出方程得：
∵[800﹣（x﹣30）×10 x=28000，
∴x2﹣110x+2800=0，
]
解得：x =40，x =70，
1 2
当x =40时，800﹣10（x﹣30）=700＞700（符合题意）
1
当x =70时，800﹣10（x﹣30）=400＜500（不合题意，舍去）
2
答：该单位这次共有40员工去天水湾风景区旅游．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法及应用，关键是表示出参加旅游每人所付费用
是解决问题的关键．
22．李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成
一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明
理由．【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个
正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形
的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法
错误，否则正确．
【解答】解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得
（ ）2+（ ）2=58，
解得：x =12，x =28，
1 2
当x=12时，较长的为40﹣12=28cm，
当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）．
答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；
（2）李明的说法正确．理由如下：
设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得
（ ）2+（ ）2=48，
变形为：m2﹣40m+416=0，
∵△=（﹣40）2﹣4×416=﹣64＜0，
∴原方程无实数根，
∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判
别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键．
23．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的
直角坐标系，抛物线可以用y=﹣ x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为
3m时，到地面OA的距离为 m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这
辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不
超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【考点】二次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法
确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；
（2）由于抛物线的对称轴为直线x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外
侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与
6进行大小比较即可判断；
（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自
变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．
【解答】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3， ），
把B（0，4），C（3， ）代入y=﹣ x2+bx+c得 ，
解得 ．
所以抛物线解析式为y=﹣ x2+2x+4，
则y=﹣ （x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x=2或x=10时，y= ＞6，
所以这辆货车能安全通过；
（3）令y=8，则﹣ （x﹣6）2+10=8，解得x =6+2 ，x =6﹣2 ，
1 2
则x ﹣x =4 ，
1 2
所以两排灯的水平距离最小是4 m．
【点评】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛
物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直
角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他
问题．24．对x，y定义一种新运算T，规定： （其中a、b均为非零常数），这里等
式右边是通常的四则运算，例如： ．
（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．
①求a、b的值；
②若关于m的方程T（1﹣m，﹣m2）=﹣2有实数解，求实数m的值；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a、b
应满足怎样的关系式？
【考点】一元二次方程的应用；分式的混合运算；解二元一次方程组．
【专题】新定义．
【分析】（1）①利用题意得出关于a，b的方程组进而求出答案；
②利用已知得出关于m的等式求出答案；
（2）根据题意得出： ，进而得出a，b的关系．
【解答】解：（1）①由题意得： ，
解得： ；
②由题意得： =﹣2，
化简得：m2+m﹣1=0，
解得： ；
（2）由题意得： ，
化简得：（a﹣2b）（x2﹣y2）=0，
∵该式对任意实数x、y都成立，
∴a﹣2b=0，
∴a=2b．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及新定义，根据题意得出正确等式是解题关
键．
五、解答下列各题：（每小题12分，共24分）
25．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价
是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元
时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每
天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每
天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且
每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y
（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，y=700﹣20（x﹣45）=﹣20x+1600；
（2）P=（x﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a=﹣20＜0，
∴当x=60时，P最大值=8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000=6000，
解得x =50，x =70．
1 2
∵抛物线P=﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y=﹣20x+1600中，k=﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，
即超市每天至少销售粽子440盒．
【点评】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润=1盒粽子
所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．
26．如图1，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若存在，求
出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图3，若抛物线的对称轴EF（E为抛物线顶点）与直线BC相交于点F，M为直线BC上
的任意一点，过点M作MN∥EF交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行
四边形？若能，求点N的坐标；若不能，请说明理由．【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由于抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，根据待定系数法可求
抛物线的解析式；
（2）将点D（m，m+1）代入y=﹣x2+3x+4中，得到D（3，4），得到CD∥x轴，由B（4，0）、C（0，
4）可得：OB=OC=4，根据等腰直角三角形的判定可得△OBC是等腰直角三角形，得：
∠OCB=∠DCB=45°；再关于直线的对称点的性质即可求解；
（3）根据待定系数法可求直线BC的解析式，再根据三角形面积公式和二次函数的最值即可
求解；
（4）根据抛物线y=﹣x2+3x+4的顶点坐标得到E ，直线BC：y=﹣x+4；当 时，
y=﹣ +4= ，可得 ，根据两点间的距离公式可得 ，如图3，过点M作
MN∥EF，交抛物线于点N，设N（x，﹣x2+3x+4），则M（x，﹣x+4）；则MN=（| ﹣x2+3x+4）﹣
（﹣x+4）|=|﹣x2+4x|；当EF与NM平行且相等时，四边形EFMN是平行四边形，则|﹣x2+4x|=
，解方程可求点N的坐标．
【解答】解：（1）依题意，有： ，
解得 ．
故抛物线的解析式：y=﹣x2+3x+4．
（2）将点D（m，m+1）代入y=﹣x2+3x+4中，得：﹣m2+3m+4=m+1，
化简，得：m2﹣2m﹣3=0，
解得：m =﹣1（舍），m =3；
1 2
∴D（3，4），
∴CD∥x轴；
由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=OC=4，即△OBC是等腰直角三角形，得：∠OCB=∠DCB=45°；
设点D关于直线BC的对称点为点E，则点E在y轴上，且CD=CE=3，OE=OC﹣CE=1，则：
点D关于直线BC的对称点的坐标为（0，1）．
（3）由B（4，0）、C（0，4）可知，直线BC：y=﹣x+4；
如图2，过点P作PQ∥y轴，交直线BC于Q，设P（x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣x+4）；
则PQ=（﹣x2+3x+4）﹣（﹣x+4）=﹣x2+4x；
S = PQ•OB= ×（﹣x2+4x）×4=﹣2（x﹣2）2+8；
△PCB所以，当P（2，6）时，△PCB的面积最大．
（4）存在．
抛物线y=﹣x2+3x+4的顶点坐标E ，
直线BC：y=﹣x+4；当 时，y=﹣ +4= ，
则 ，
则 ，
如图3，过点M作MN∥EF，交抛物线于点N，设N（x，﹣x2+3x+4），则M（x，﹣x+4）；
则MN=|（﹣x2+3x+4）﹣（﹣x+4）|=|﹣x2+4x|；
当EF与NM平行且相等时，四边形EFMN是平行四边形，
则|﹣x2+4x|=
由 ，解得 （不合题意，舍去），
，
则 ，
由 ，解得 ，
则N （ ）；N （2﹣ ，﹣ + ）；
2 3
综上所述，存在平行四边形，点N的坐标为 ，N（
2
）；N （2﹣ ，﹣ + ）．
3【点评】考查了二次函数综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法可求抛物线的解析式，等
腰直角三角形的判定和性质，关于直线的对称点的性质，待定系数法求直线B解析式，三角
形面积公式，二次函数的最值，抛物线的顶点坐标，两点间的距离公式，平行四边形的性质等
知识点，以及方程思想，分类思想的应用，综合性较强，难度较大．
