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绝密★启用前 4. 下列命题中正确的有( )
①圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径；②直径是弦，半圆是
九年级上学期第二次月考模拟试卷（一）
弧；③平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧；④相等的弧
所对的弦相等；⑤一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧；
A.5 B.2.4 C.2.5 D.4.8
⑥相等的圆心角所对的弧相等．
注意事项： 【答案】D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 【解答】∵ OO'＝5，OA＝3，O'B＝4，∴ OO'2＝OA2+O'B2，
2．请将答案正确填写在答题卡上; 【答案】B ∴ △AOO'是直角三角形，
【解答】解：①根据圆是轴对称图形可知，对称轴是圆的每一条直径 ∵ ⊙O和⊙O'相交于A、B两点，∴ AB⊥OO'，∴ AE＝
所在直线，此命题错误 ； BE，
卷I（选择题）
②弦是连接圆上两点的线段，只有过圆心的弦才是直径，在圆中直径 1 1 1 1
∵ AO×AO'= ×AE×OO'，∴ ×3×4= ×AE×5，
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ） 是经过圆心最长的弦，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 2 2 2 2
每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧，此命题正确； 解得：AE＝2.4，∴ AB＝4.8．
1. 抛物线 的顶点坐标是( )
③由垂径定理推论可知：平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的两
y=3(x+2) 2−5
条弧，此命题正确；
8. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=115∘ ，则
④在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，此命题错误；
A.(−2,5) B.(−2,−5) C.(2,5) D.(2,−5) ∠BOD的度数为( )
⑤一条弦把圆分成的两段弧中，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧
【答案】B 叫劣弧，若分成的两段一样长，则就没有优劣弧之分，此命题错误；
【解答】解：抛物线 为顶点式， ⑥在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，此命题错误.
y=3(x+2) 2−5
综上所述，正确的有②③，共2个.故选B.
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(−2,−5)．故选B. 5. 把y=x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的解
2. 如图，菱形OABC的边长为4，且点A，B，C在⊙O上，则劣弧 析式为（ ）
^BC的长度为( ) A.140∘ B.130∘ C.120∘ D.110∘
A. B.
y=(x−3) 2+2 y=(x−3) 2−2
【答案】B
【解答】解：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
C. D.
y=(x+3) 2+2 y=(x+3) 2−2 ∴ ∠A+∠C=180∘.
∵ ∠A=115∘，∴ ∠C=65∘，∴ ∠BOD=2∠C=130∘.故选B.
π 2π 8π 4π 【答案】A 9. 如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且
A. B. C. D.
3 3 3 3
【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)向右平移3 AB//CD//EF. AB=10，CD=6，EF=8，则图中阴影部分（不
个单位，再向上平移2个单位所得对应点的坐标为(3,2)， 包括弦BF与劣弧BF围成的部分）面积等于( )
【答案D
所以平移后抛物线的解析式为 ．故选 .
【解答】解：如图所示，连接OB. y=(x−3) 2+2 A
6. 商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”．下列说
法正确的是( )
A.抽10次奖必有一次抽到一等奖 25π
A.10π B.12π C. D.15π
∵ 四边形OABC是菱形，∴ OC=BC=AB=OA=4， B.抽10次也可能没有抽到一等奖 2
∴ OC=OB=BC，∴ △OBC是等边三角形，∴ ∠COB=60∘， 【答案】C
C.抽一次不可能抽到一等奖
∴ 劣弧 的长为 nπr 60∘×4π 4 .故选 ．
【解答】解：连接DO并延长，交⊙O于点G，则∠DCG=90∘，
^BC = = π D D.抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
180∘ 180∘ 3
【答案】B
a
3. 若抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=−2，则 =( ) 【解答】解：根据概率的意义可得，
b
“抽到一等奖的概率为0.1”，就是说抽到一等奖的可能性较小，
1 1 同时抽10次或抽1次都可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖， ∵ AB=10，CD=6，EF=8 ，∴ DG=10，
A.2 B. C.4 D.
2 4 所以B选项符合题意.故选B. ∴ ，∴ .
CG=√GD2−CD2=8 CG=EF
7. 如图，⊙O和⊙O'相交于A、B两点，且OO'＝5，OA＝3，O'B
【答案】D
＝4，则AB＝（ ） 连接OC，OE，OF，
【解答】解：∵ 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=−2，
∵ △OEF的面积和△BEF的面积相等，
b b a 1
∴ − =−2，∴ =4，∴ = .故选D． ∴ 阴影部分BEF的面积和扇形OEF的面积相等，
2a a b 4
同理，阴影部分ACD的面积和扇形COD的面积相等.…
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∵ CG=EF，∴ 扇形OCG的面积和扇形OEF的面积相等， 3 15. 如图，已知AD为半圆形O的直径，点B，C在半圆形上，AB=BC，
( ,y )是抛物线上两点，则y >y ，其中正确的是( )
∴ 阴影部分的面积等于⊙O面积的一半. 2 2 1 2 ∠BAC=30∘，AD=8，则AC的长为________.
∵ AB=10，∴ OA=5，
1 25π
∴ 阴影部分的面积是π×52× = .故选C．
2 2
10. 如图，在一块长为20，宽为12的矩形ABCD 空地内修建四条宽度
【答案】4√3
相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一
【解答】解：如图，连接CD.
个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40，设道路宽为
x，则以下方程正确的是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
∵ AB=BC，∠BAC=30∘，∴ ∠ACB=∠BAC=30∘，
【答案】C
∴ ∠B=180∘−∠ACB−∠BAC=180∘−30∘−30∘=120∘，
b
【解答】解：∵ 抛物线的对称轴是直线x=−1，∴ − =−1， ∴ ∠D=180∘−∠B=60∘.
2a
∵ AD是半圆O的直径，∴ ∠ACD=90∘，∴ ∠CAD=30∘.
b=2a，
A.32x+4x2=40 B.32x+8x2=40 1
∴ b−2a=0，故①正确； ∵ AD=8，∴ CD= AD=4，
2
C.64x−4x2=40 D.64x−8x2=40 ∵ 抛物线的对称轴是直线x=−1，和x轴的一个交点是(2,0)，
在Rt△ACD中，∠ACD=90∘，
∴ 抛物线和x轴的另一个交点是(−4,0)，
【答案】B
∴ .故答案为： ．
【解答】解：设道路宽为x， 则中间正方形的边长为4x， ∴ 把x=−2代入得：y=4a−2b+c>0，故②错误； AC=√AD2−CD2=√82−42=4√3 4√3
∵ 图象过点(2,0)，
依题意，得：x (20+4x+12+4x)=40，即32x+8x2=40.故选B． 16. 如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水
代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0，
11. 如图1、2、3中，点E、D分别是正△ABC、正方形ABCM、正五 面l为4米，则当水面下降2米时，水面宽度增加________米．
又∵ b=2a，∴ c=−4a−2b=−8a，
边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE＝CD，DB交
∴ a−b+c=a−2a−8a=−9a，故③正确；
AE于P点，∠APD的度数分别为60∘，90∘，108∘．若其余条件不变，
根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，
在正九边形ABCFGHIMN中，∠APD的度数是（ ）
∵抛物线和x轴的交点坐标是(2,0)和(−4,0)，抛物线的对称轴是直线
x=−1，
∴ 点(−3,y )关于对称轴的对称点的坐标是(1,y )，
1 1
3 【答案】(4√2−4)
∵ 1< ，∴ y >y ，故④正确；即正确的有①③④.故选C．
2 1 2 【解答】解：建立如下图所示平面直角坐标系，
卷II（非选择题）
A.120∘ B.135∘ C.140∘ D.144∘
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）
【答案】C
13. 若关于x的一元二次方程x2−2x+a−1=0有实数根，则a的取值范
(3−2)×180
【解答】正△ABC时，∠APD＝∠ABC= =60∘，
围是________．
3
(4−2)×180 【答案】a≤2
正方形ABCM时，∠APD＝∠ABC= =90∘，
4 【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程x2−2x+a−1=0有实数根， 可设这条抛物线为y=ax2，
正五边形时，∠APD＝∠ABC= (5−2)×180 =108∘， ∴ Δ≥0 ，即 (−2) 2−4(a−1)≥0 ，解得 a≤2 .故答案为： a≤2 . 把(2,−2)代入上式得，−2=a×22解得：a=− 1 ，∴ y=− 1 x2，
5 2 2
正六边形时，∠APD＝∠ABC= (6−2)×180 =120∘， 当y=−4时，− 1 x2=−4，解得：x =−2√2，x =2√2，
6 2 1 2
14. 已知一元二次方程x2−3x−1=0的两个根分别是x ，x ，则
(n−2)×180 1 2 水面下降2m，水面宽度为4√2m，
依此类推得出正n边形时，∠APD＝∠ABC=
n
．
x2x +x x2
的值是________.
∴ 水面宽度将增加 米·故答案为： .
1 2 1 2 (4√2−4) (4√2−4)
(9−2)×180
当n＝9时，∠APD＝∠ABC= =140∘， 9 17. 如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰
【答案】 −3
三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB=2，
【解答】解：∵ 一元二次方程x2−3x−1=0的两个根分别是x ，x ， BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI的长是________．
1 2
12. 如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 图象的一部分， x=−1 是对 ∴ x
1
+x
2
=3，x
1
⋅x
2
=−1，
∴ ．故答案为： . 称轴，有下列判断： x2x +x x2=x x ⋅(x +x )=−1×3=−3 −3
1 2 1 2 1 2 1 2
①b−2a=0；②4a−2b+c<0；③a−b+c=−9a；④若(−3,y )，
1
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4 ； .
【答案】 (1)3x2−6x+4=0 (2)(x−2)(x−3)=12
3
【解答】解：∵ △ABC，△DCE，△FEG，△HGI是四个全等的等
【答案】解：(1)在方程3x2−6x+4=0中，
腰三角形，∴ HI=AB=2，GI=BC=1，BI=4BC=4，
∵a=3，b=−6，c=4，
AB 2 1 BC 1 AB BC
∴ = = ， = ，∴ = . ，
BI 4 2 AB 2 BI AB
∴Δ=b2−4ac=(−6) 2−4×3×4=36−48=−12<0
AC AB
又∵ ∠ABI=∠ABC，∴ △ABI∼△CBA，∴ = ， ∴原方程没有实数根.
AI BI
(2)去括号，移项得x2−3x−2x+6−12=0，
∵ AB=AC，∴ AI=BI=4. 请根据以上信息，解答下列问题：
合并同类项得x2−5x−6=0，
QI GI 1
∵ ∠ACB=∠FGE，∴ AC//FG，∴ = = ，∴ 则(x−6)(x+1)=0， (1)计算：m=________；
AI CI 3
即x−6=0，x+1=0，
1 4
(2)在扇形统计图中，“戏剧”类所占的百分比为________；
QI= AI= ． 解得x =6，x =−1.
1 2
3 3 (3)在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从
20.（本题满分6分） 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标
4 中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，
故答案为： .
3
分别为(0,0)，A(2,1)，
求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
18. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标 B(1,−2)．
【解答】解：(1)因为喜欢散文的有10人，频率为0.25，
为(1,0)，点D的坐标为 (0,2) .延长CB交x轴于点A
1
，作正方形 (1)以原点O为位似中心，在y轴
所以m=10÷0.25=40.故答案为：40.
A
1
B
1
C
1
C; 延长C
1
B
1
交x轴于点A
2
，作正方形A
2
B
2
C
2
C
1
，⋯按这 的右侧画出将△OAB放大为原来
(2)因为喜欢戏剧的有4人，
样的规律进行下去，则正方形A 20 B 20 C 20 C 19 的面积为________. 的2倍得到的△OA 1 B 1 ， 请写出 4
点A的对应点A 的坐标________； 所以“戏剧”类所占的百分比为 ×100%=10%.故答案为：10%.
1 40
(2)画出将△OAB向左平移2个单
(3)由于抽到每位同学的可能性相同，
位，再向上平移1个单位后得到的
所以画树状图，如图所示：
△O A B ， 写出点B的对应点B 的坐标________；
2 2 2 2
(3)请在图中标出△OA B 与△O A B 的位似中心M，并写出点M的
9 20 1 1 2 2 2
【答案】5×( ) 坐标________．
4
【解答】解：∵点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)， 【解答】解：(1)如图，△OA B 为所作，点A 的坐标为(4,2).
1 1 1
∴OA=1，OD=2，
所有等可能的情况有12种，其中恰好是乙与丙的情况有2种，
， ， .
∵∠AOD=90∘ ∴AB=AD=√12+22=√5 ∠ODA+∠OAD=90∘ 2 1
则选取的2人恰好是乙和丙的概率为P= = ．
12 6
∵四边形ABCD是正方形，
， ，
22.（本题满分8分） 如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使
∴∠BAD=∠ABC=90∘ S =(√5) 2=5
正 方 形ABCD BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，
， ， ， E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．
∴∠ABA =90∘ ∠OAD+∠BA A =90∘ ∴∠ODA=∠BA A
1 1 1
（1）求证：四边形AECG是平行四边形；
BA AB BA √5 √5 故答案为：A (4,2).
∴△ABA
1
∼△DOA，∴
OA
1=
OD
，即
1
1=
2
，∴BA
1
=
2
，
(2)如图，△O
1
A B 为所作，点B 的坐标分别为(−1,−1).
（2）若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．
2 2 2 2
∴C A = 3√5 ， 故答案为：B 2 (−1,−1). 【解答】
1 2
(3)如图，点M为所，位似中心M的坐标为M(4,2)．
（1）证明：在矩形ABCD中，
正方形 的面积 3√5 2 9， ， 故答案为：M(4,2).
AD1BC．∠DAC=∠BCA
∴ A B C C =( ) =5× ⋯ 由题意，得
1 1 1
2 4 21.（本题满分8分）某中学九年级开展了“读一本好书”的活动，通
1 1
9 n 过抽样对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”
△GAH=
2
∠DAC,∠ECF=
2
∠BCA
正方形A n B n C n C n−1 的面积为5×( 4 ) ， “戏剧”“散文”“其他”四个类别，每位同学仅选一项，根据调查 …
9 20 9 20 结果绘制了如图不完整的频数分布表和扇形统计图． ．AGIICE．
∴正方形A B C C 的面积为5×( ) .故答案为：5×( ) .
20 20 20 19 4 4 又：AElICG，
三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计66分 ） …四边形AECG是平行四边形．
（2）在R△ABC中，AB=4,BC=3；AC=5；CF=CB=3；AF=2
19.（本题满分6分） 解方程
在RtΔAF中，…
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设EF=x，则AE=4−x 由题意得：−10x2+500x+6000＝10000， ∴ AD＝3，
根据勾股定理，得 ；即 解得：x ＝10，x ＝40． 由（2）知，CD⋅DE＝2OD⋅PD，
AE2=AF2+EF2 (4−x) 2=22+x2 1 2
∴ 该玩具销售单价应定为50元或80元；
CD⋅DE 15 9
3 3 答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润； ∴ PD= = ，∴ PA＝PD−AD= ．
解得x= ，即线段EF长为 cm 20D 2 2
2 2
销售单价为在40元的基础上上涨x，
23. （本题满分8分）西安市某学校的数学探究小组利用无人机在操场 根据题意得：600−10x≥540，解得x≤6，故00) x W −10x2+500x+6000 −10(x−25) 2+12250
D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为37∘，测得教学楼
A(−3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为 D．
楼顶点C处的俯角为45∘，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的 ∵ a＝−10<0，对称轴x＝25，
距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一 ∴ 当00) x A(−3,0)
AE= ≈ =40， ∴ ∠E+∠ODE＝90∘，
tan∠DAE 0.75
∵ PC＝PD，∴ ∠PCD＝∠PDC， B(1,0)两点，
∵ AB＝57，∴ BE＝AB−AE＝17，
∵ ∠PDC＝∠ODE，∴ ∠PCD＝∠ODE， {9a−3b+c=0
∵ CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，∴ 四边形BCFE为矩形， ∴ ，解得：b＝2a，
∴ ∠PCD+∠OCD＝∠ODE+∠E＝90∘，∴ OC⊥PC， a+b+c=0
∴ CF＝BE＝17，在Rt△DFC中，∠CDF＝45∘，
∴ PC是⊙O的切线； ∴ a、b之间的数量关系为b＝2a．
∴ DF＝CF＝17，∴ BC＝EF＝DE−DF＝13，
证明：连接AC，BE，BC， ∵ 抛物线 ＝ 与 轴交于点 ，抛物线的顶点为
y ax2+bx+c(a>0) y C
∵ ∠ACD＝∠DBE，∠CAD＝∠DEB，∴ △ACD∽△EBD，∴
24. （本题满分10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 AD CD D，且b＝2a，a+b+c＝0，∴ 3a+c＝0，即c＝−3a．∴
= ，
30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是 DE BD C(0,−3a)，
600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． ∴ CD⋅DE＝AD⋅BD＝(AO−OD)(AO+OD)＝AO2−OD2； ∴ 抛物线的解析式为 ＝ ＝ ，∴
y ax2+2ax−3a a(x+1) 2−4a
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为在40元的基础上上涨x(x>0)， ∵ AB为⊙O的直径，∴ ∠ACB＝90∘，
请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润W ∵ ∠PCO＝90∘，∴ ∠ACP+∠ACO＝∠ACO+∠BCO＝90∘， D(−1,−4a)，
∴ ∠ACP＝∠BCO， ∵ A(−3,0)、B(1,0)，∴ AB＝4，∴
（元），并把结果填写在表格中：
∵ ∠BCO＝∠CBO，∴ ∠ACP＝∠PBC， 1 1
销售单价（元） 40+x PC PA S △ABC = 2 AB⋅OC= 2 ×4×3a＝6a．
∵ ∠P＝∠P，∴ △ACP∽△CBP，∴ = ，
销售量y（件） ________ PB PC 如图1，连接OD，
销售玩具获得利润W（元）________❑ 2+500________+6000 ∴ PC2＝PB⋅PA＝(PD+DB)(PD−AD)＝
（2）在（1）问的条件下，若商场获得10000元销售利润，则该玩具销 (PD+OD+OA)(PD+OD−OA) ＝ (PD+OD) 2−OA2 ＝
售单价应定为多少元？
PD2+2PD⋅OD+OD2−OA2，
（3）在（1）问的条件下，若商场要完成不少于540件的销售任务，求
∵ PC＝PD，∴ PD2＝PD2+2PD⋅OD+OD2−OA2，
商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
∴ OA2−OD2＝2OD⋅PD，∴ CD⋅DE＝2OD⋅PD；
【解答】由题意得，销售量为：y＝600−10x， ∵ S ＝S +S −S ，
∵ AB＝8，∴ OA＝4， △ADC △OAD △OCD △OAC
销售玩具获得利润为：W＝(40+x−30)(600−10x)＝ 1 1 1
由（2）知，CD⋅DE＝AO2−OD2； ∴ S = ×3×4a+ ×3a×1− ×3×3a＝3a．∴
−10x2+500x+6000； △ADC 2 2 2
∵ CD⋅DE＝15，∴ 15＝42−OD2，
故答案为：600−10x，−10x2+500x+6000； S :S ＝1:2．
∴ OD＝1（负值舍去）， △ADC △ABC
第43页 共510页 ◎ 第44页 共510页如图2，过点D作DH⊥y轴于点H， √11 5
综上所述，点P坐标为(−1+√5,1)或(−1− ,− )．
2 4
∵ ∠ACD＝90∘，∴ ∠ACO+∠DCH＝90∘，
∵ ∠ACO+∠CAO＝90∘，∴ ∠DCH＝∠CAO，
∵ ∠AOC＝∠DHC＝90∘，∴ △OAC∽△HCD，∴
OA OC
= ，
CH DH
3 3a
由（2）可知，OC＝3a，CH＝4a−3a＝a，DH＝1，∴ = ，
a 1
解得a＝1或a＝−1（舍去），
∴ 抛物线的解析式为y＝x2+2x−3，
如图3，过点E作EF⊥PQ于点F，连接ME，
设点 坐标为 ，则点 坐标为 ，
P (m,m2+2m−3) Q (−2−m,m2+2m−3)
3
点F坐标为( ,m2+2m−3)，则PQ＝−2−2m，
2
1
∵ PM+QN＝MN，∴ MN= PQ＝−1−m，
2
1 1 1
∴ MF= MN=− − m，在Rt△EFM中，M F2+EF2＝EM2，
2 2 2
1 1 3
即(− − m) 2+(m2+2m−3) 2=( ) 2，∴
2 2 2
11
[(m+1) 2−4][(m+1) 2− ]=0，
4
√11
解得m ＝−1+√5（不合题意舍去），m ＝−1−√5，m ＝−1+
1 2 3 2
√11
（不合题意舍去），m ＝−1− ，
4 2
当m ＝−1+√5时，有m2+2m−4＝0，则m2+2m＝4，则y＝
2
m2+2m−3＝4−3＝1；
∴ P(−1+√5,1)．
√11 7
当m ＝−1− 时，有m2+2m= ，则y＝
4 2 4
7 5
m2+2m−3= −3=− ．
4 4
√11 5
∴ P(−1− ,− )
2 4
