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专题 04 直角坐标系的三种考法全攻略
类型一、规律性问题
例．如图，已知正方形 对角线的交点M的坐标为 ．规定“把正方形 先
沿 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2021次变换后，正
方形 的对角线交点M的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵对角线交点M的坐标为 ，
根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为 ，即 ，
第2次变换后的点M的对应点的坐标为： ，即 ，
第3次变换后的点M的对应点的坐标为 ，即 ，
第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为 ，当n为偶数时为 ，
∴连续经过2021次变换后，正方形 的对角线交点M的坐标变为 ．
故选：A．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，第一次将 变换成 ，第二次将
变换成 ，第三次将 变换成 ，…，观察每次变换前后的三角形的变化规律，找出规律，推测 的坐标分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： ，
；
，
；
故选：D．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系 上有点，点 第一次跳动至点 ，第
二次点 向右跳到 ，第三次点 跳到 ，第四次点 向右跳动至点 ，
……，依此规律跳动下去，则点 第2022次跳动至点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意可以可知： ， ， ， ……
由此发现规律，顺序数为偶数的点都在第一象限，且对应点的坐标的纵坐标比横坐标小
1，横坐标等于顺序数的一半，
，
，故选：C．
【变式训练3】在平面直角坐标系中，将若干个整点按图中方向排列，即
，……，按此规律排列下去第24个点
的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵
……
∴观察发现：每三个点为一组，每组第一个点坐标为： ，
，
∴第24个点在第八组的第三个，
∵第八组的第一个点坐标为： ，
∴第24个点的坐标为： ，
故选：C．
【变式训练4】如图，点 ， 是正方形 的两个顶点，以它的对角线
为一边作正方形 ，以正方形 的对角线 为一边作正方形 ，再以
正方形 的对角线 为一边作正方形 ，…，依次进行下去，点 的坐标
是______．【答案】
【详解】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转 ，边长都乘以 ，
∵从B到 经过了3次变化，
∵ ， ．
∴点 所在的正方形的边长为2，点 位置在x轴正半轴．
∴点 的坐标是 ；
可得出： 点坐标为 ，
点坐标为 ，
点坐标为 ，
点坐标为 ，
点坐标为 ，
点坐标为 ，
点坐标为 ，
点坐标为 ，
点坐标为 ，
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形
的边长变为原来的 倍，
∵ ，
∴ 的纵横坐标符号与点 的相同，横坐标是负数，纵坐标为0，
∴ 的坐标为 ．
故答案为： ．
【变式训练5】在平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，且
规定：正方形内部不包括边界上的点．请你观察如图所示的正方形，边长为1的正方形内
部有1个整点，边长为2的正方形的内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，……，则边长为9的正方形内部的整点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设边长为9的正方形内部的整点的坐标为 ， 都为整数．
则 ，
故x只可取 共9个，y只可取 共9个，
它们共可组成点 的数目为 （个）
故选：C．
类型二、点的坐标问题
例．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，
再向上平移2个单位长度，得到 ，那么点B的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意：作图如下， 点B的对应点 的坐标为 ．故选：C．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标∴系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将三角
形ABC绕点P旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ）A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）
【答案】C
【详解】解：选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P，由图知，旋
转中心P的坐标为（1，2），故选：C．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，现同
时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点
C，D，则D的坐标为_______，连接AC，BD．在y轴上存在一点P，连接PA，PB，使
S ABDC，则点P的坐标为_______．
四边形
【答案】 （4，2） （0，4）或（0，-4）
【详解】解：由题意得点D是点B（3，0）先向上平移2个单位，再向右平移1个单位的
对应点，
∴点D的坐标为（4，2）；同理可得点C的坐标为（0，2），∴OC=2，
∵A（-1，0），B（3，0），∴AB=4，∴ ，
设点P到AB的距离为h，∴S PAB= ×AB×h=2h，∵S PAB=S ABDC，得2h=8，解得
四边形
h=4， △ △
∵P在y轴上，∴OP=4，∴P（0，4）或（0，-4）．故答案为：（4，2）；（0，4）或
（0，-4）．
【变式训练3】作图题（不写作法）已知：如图，在平面直角坐标系中．(1)作出△ABC关于y轴对称的△ABC ，并写出△ABC 三个顶点的坐标：A（
1 1 1 1 1 1 1
），B（ ），A（ ）；
1 1
(2)直接写出△ABC的面积为 ；
(3)在x轴上画点P，使PA+PC最小．
【答案】(1)-1，2；-3，1；-4，3；(2) ；(3)作图见详解
(1)解：关于y轴对称的点的坐标特征为，纵坐标相同横坐标互为相反数，
∵ ， ， ，∴ ， ， ，故答案为：-1，2；-3，
1；-4，3；
(2)△ABC的面积为长方形面积减去三块三角形面积，
故 ，故答案为： ．
(3)解：如图作A点关于x轴的对称点 ，连接C与 ，与x轴交点为P，
如图所示，点P即为所求作点．
类型三、面积问题例．如图， 、 、 、 ，点P在x轴上，直线 将四边形
面积分成 两部分，求 的长度（ ）．
A． B． C． D． 或
【答案】B
【详解】解：作 轴于点P，
∵ 、 、 、 ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
①当 即 时，
即 ，解得： ，
∴ ；
②当 即 时，即 ，解得： ，
∴ ；
综上可知 ．
故选：B．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是 ， ，
，将 先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应的
．
(1)画出平移后的 ；
(2)若 边上一点 经过上述平移后的对应点为 ，请直接写出点 的坐标（用含
x，y的式子表示）；
(3)连接 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)9
【详解】（1）∵ ， ， ，将 先向左平移6个单位长度，再向上
平移5个单位长度，∴ ， ， 即 ，
， ，画图如下：故 为所求．
（2）∵ 先向左平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度，
．
（3）过点 作 于点D，
．
【变式训练2】如图，在下面直角坐标系中，已知 ， ， 三点，其中 、
、 满足关系式 和 ．
(1)求 、 、 的值；
(2)如果在第二象限内有一点 ，请用含 的式子表示四边形 的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点 ，使得四边形 的面积与 的面积相等？若存
在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)(3)存在点 ，使得四边形 的面积与 的面积相等
【详解】（1）解；∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）解；∵ ，
∴ 轴，
∴ ，
∵四边形 的面积与 的面积相等，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴存在点 ，使得四边形 的面积与 的面积相等．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，其中 ， 满足
．
(1)填空： ______， ________；
(2)若存在一点 ，点M到x轴距离_______，到y轴距离_______，求的面积（用含m的式子表示）；
(3)在（2）条件下，当 时，在y轴上有一点P，使得 的面积与 的面积相
等，请求出点P的坐标．
【答案】(1) ，3
(2) ，2，
(3) 或
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，解得： ．
故答案为： ，3；
（2）∵ ，
∴点M到x轴距离为 ，到y轴距离为 ．
由（1）可知 ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ，2， ；
（3）当 时， ．
设 ，
∴ ．
∵ ，∴ ，
解得： ，
∴ 或 ．
