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专题 2.8 有理数的乘方（精选精练）（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·广东惠州·二模）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号 遥十八运载火箭在
酒泉卫星点火发射，其中长征二号F遥十八运载火箭低地球轨道的运载能力为 千克．数据 用科
学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习） （ ）
A．2 B． C．4 D．
3．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（ ）
A． 的底数是 B． 表示5个2相加
C． 与 意义相同 D． 的底数是2
4．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： 正确的结果为（ ）
A．8052 B． C．4 D．
5．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如果n是正整数，那么 的值（ ）
A．一定是零 B．一定是正偶数 C．一定是正奇数 D．是零或正偶数
6．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）已知 ，若 ，则 的值（ ）
A．86.2 B． C． D．
7．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）一张纸厚度为 ，假设可以无限对折，那么对折10次后，
纸的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果等式 ，则等式成立的 的值的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（21-22七年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（ ）A． 与 B． 与4 C． 与 D．8与
10．（23-24七年级上·四川眉山·期中）在有理数 ， ， ， ， ， 中，负
数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在 中底数是 ，指数是 ．
12．（24-25七年级上·全国·随堂练习） 的相反数是 ．
13．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知有理数n、m满足 ，则
．
14．（23-24九年级上·广西贵港·期中）已知 ，可以求 ，它是一种新的运算，称为对数运算．这种运
算的定义是：若 叫做以 为底 的对数，记作： ．例如： ，3叫做以2
为底8的对数，记作 ．则 ．
15．（23-24七年级下·上海闵行·期末）据第一财经报道：“2024年第一季度， 上海 总量
亿元， 同比增速 ， 拔得全国头筹．”将数字 保留三个有效数字后，近似数为 ．
16．（23-24七年级上·四川成都·期末）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话
的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截
取后木棍剩余的长度是 ．
17．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）若规定用 表示不超过 的最大的整数，如 ，
，计算： ．
18．（23-24六年级上·山东淄博·期中）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如
二进制中的 ，可以表示十进制中的10，那么二进制中的 表示十进制
中的 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24七年级上·广东广州·期中）已知下列有理数： ．
（1）这些有理数中，整数有_____________个，非负数有_____________个．
（2）画出数轴并在数轴上标出上述有理数，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来．
20．（8分）（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）计算
(1) ； (2) ．
21．（10分）（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
(1) ． (2) ．
(3)
22．（10分）（23-24七年级上·山东潍坊·期中）十进制是用 ～ 这十个数字来表示数，满十进一，例：
；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用 和 两个数来表示数，满二进一，例：二进制数 转化为十进制数： ；其他进制也有类似的算法．
（1）根据以上信息，将二进制数“ ”转化为十进制数．
（2）中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位
妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．根据图，计算采集到
的野果数量．
23．（10分）（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）【问题发现】
我们知道： ， ，于是 ； ，
，于是 ；
填空： ________， ________.
【结论概括】当 为正整数时， ________.
【知识迁移】
（ ）计算： ________.
（ ）计算24．（12分）（23-24七年级上·广东茂名·期中）在上个月，我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘
方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义： 与 （ ，m、n都是正整数）
叫做同底数幂，同底数幂除法记作 ．
运算法则如下：
当 时，
当 时，
当 时，
解决问题
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空： ______， ______；
（2）如果 ，求出x的值；
（3）如果 ，请直接写出x的值．参考答案：
1．C
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解：
故选：C．
2．D
【分析】此题主要考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据运算法则计算即可．
【详解】解： ，
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义，进行判断即可．
【详解】解：A、 的底数是2，∴此选项的说法错误，故不符合题意；
B、 表示5个2相乘，∴此选项的说法错误，故不符合题意；
C、 表示3个 相乘， 表示3个3相乘的相反数，∴它们表示的意义不同，故不符合题意；
D、 的底数是2，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意，
故选：D．
4．D
【分析】本题主要考查有理数的乘方以及有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键．根
据有理数的乘方以及有理数的乘法解决本题．
【详解】解：
．
故选：D．
5．D
【分析】分为两种情况当n是偶数时，当n是奇数时，求出即可．
【详解】解：当n是偶数时，原式 ，当n是奇数时，原式 ，是正偶数．
故选：D．
【点拨】本题考查了有理数的乘方的应用，注意要进行分类讨论是解决本题的关键．
6．C
【分析】根据两式结果相差2位小数点，利用乘方的意义即可求出x的值．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
则 ．
故选C．
【点拨】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．
7．B
【分析】此题考查了有理数的乘方，根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得： .
故选：B．
8．B
【分析】当 时， ，此时 ，成立；当 时， ，此时 ，成立；
当 时， ，此时 ，不成立；本题考查了幂的分类计算，分类是解题的关键．
【详解】当 时， ，此时 ，成立；
当 时， ，此时 ，成立；
当 时， ，此时 ，不成立；
故选B．
9．C
【分析】此题考查绝对值的性质、相反数的定义及有理数的乘方，此题是一道基础题，比较简单．根据
相反数的定义，对A、B、C、D四个选项进行一一计算，从而进行判断．
【详解】解：A、 与 ，两者不互为相反数，故选项不符合题意；
B、 ，两者不互为相反数，故选项不符合题意；
C、 ， ，两者互为相反数，故选项符合题意；D、 ，两者不互为相反数，故选项不符合题意；
故选C．
10．C
【分析】本题考查有理数的分类，将各数化简后，根据负数是小于0的数，进行判断即可．
【详解】解： ， ， ， ， ，
中，负数有4个；
故选C．
11．
【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据幂的定义中指数与底数
的说明解答本题．
【详解】解：在 中底数是 ，指数是 ，
故答案为： ，
12．
【分析】本题考查了有理数的乘方和相反数，由有理数的乘方法则计算 ，再根据相反数的定义
即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 的相反数是 ，
故答案为： ．
13．
【分析】本题考查了绝对值的非负性及乘方运算的符号规律，依题意得 ， ，再代入原式即可
求解，熟练掌握绝对值的非负性及乘方运算的符号规律是解题的关键．
【详解】解：依题意得：
，即： ，，即： ，
，
故答案为： ．
14．
【分析】本题主要考查了新定义运算，乘方的逆运算，根据题干提供的信息进行解答即可．解题的关键
是熟练掌握乘方运算法则．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为 ．
15．
【分析】本题主要考查了科学记数法，四舍五入求近似数，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式
（ ，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法，确定 的方法是，将原数变为
时，小数点移动的位数，当小数点向右移动时， 的值为移动位数的相反数，当小数点向左移动时，
的值为小数点移动位数的值，根据科学记数法进行计算即可．
【详解】解： ，
保留三个有效数字后 ，
故答案为： ．
16．
【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意，正确找出数式规律，是解答本题的关键．
根据题意，先分别求出第一、二、三天截取后木棍剩余的长度，从而找出规律，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
第一天截取后木棍剩余长度为： ，
第二天截取后木棍剩余长度为： ，
第三天截取后木棍剩余长度为： ，第 天截取后木棍剩余长度为： ，
第6天截取后木棍剩余长度为： ．
故答案为： ．
17．
【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算，根据新定义得到
，据此计算求解即可。
【详解】解： 规定用 表示不超过 的最大的整数，
∴
，
故答案为： ．
18．
【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据十进制中的数与二进
制中的数的相互转化的方法进行计算，即可解答．
【详解】解：
；
故答案为： ．
19．(1)3，3
(2)图见解析，【分析】本题考查有理数的分类，在数轴上表示数并比较大小：
（1）根据有理数的分类作答即可；
（2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上右边的数比左边的数大，比较大小即可．
【详解】（1）解：在 中，整数有 ，共3个，非负数有
，共3个；
故答案为：3，3；
（2）数轴表示如图：
由图可知： ．
20．(1)24
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．
（1）利用乘法分配律计算即可；
（2）先算乘方并把除法转化为乘法，然后算乘法，再算加减．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．
（1）根据有理数的加减法法则计算即可；
（2）根据有理数的乘除法法则计算即可．
（3）按照有理数混合运算的顺序，先乘方再乘除最后算加减的顺序进行计算；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
22．(1)
(2)采集到的野果数量为 个【分析】本题考查了有理数的乘方的应用；
（1）根据题意写成 ，进而进行计算即可求解；
（2）由于满六进一，类似于六进制数，转化为十进制数为： ，进而计算即可
求解．
【详解】（1）解： 101110转化为十进制数是：
，
故答案为： ；
（2）由于满六进一，类似于六进制数，转化为十进制数为：
．
答：采集到的野果数量为 个．
23．问题发现： ， ；结论概括： ；知识迁移：（ ） ；（ ） ．
【分析】结论概括：根据有理数的运算即可求解；
结论概括：由问题发现即可得到结论；
知识迁移：
（ ）根据找到的结论直接运算即可求解；
（ ）根据有理数的运算法则、运算律及找到的结论展开运算即可得到结果；
本题考查了有理数的运算，掌握并灵活运用 的运算是解题的关键．
【详解】解：问题发现：
， ，
故答案为： ， ；
结论概括：
由问题发现可得， ，故答案为： ；
知识迁移：
（ ） ，
故答案为： ；
（ ）原式 ，
，
，
，
，
．
24．(1) ，
(2)
(3) 或2或3
【分析】（1）根据指数的大小，直接利用新定义运算的法则计算即可；
（2）根据新定义运算法则的含义建立方程 ，再解方程即可；
（3）根据新定义的运算法则结合乘方运算的含义建立方程，再分情况解方程即可．
【详解】（1）解： ；
；
（2）∵
∴∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
或 或 、
∴ 或2或3，经检验符合题意；
【点拨】本题考查的是新定义运算的含义，理解新定义运算的运算法则结合同底数幂的除法运算法则是
解本题的关键．
