专题2.7有理数的乘方（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（教师版）_初中数学_七年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4

专题 2.7 有理数的乘方（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的乘方 1.定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)． aaaan      即有： n个 .在an 中，a叫做底数， n叫做指数. 【要点提示】 （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 【知识点二】乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ． 【要点提示】 (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计 算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数． 【知识点三】科学记数法 a10n a 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成 的形式（其中 是整数数位只有一位的数， a n 42000000 4.2107 l≤| |＜10， 是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如 ＝ . 2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的 长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 3. 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也 叫做这个近似数的精确度. 【要点提示】（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如 -3000 =3103 ； （2）把一个数写成a10n 形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】科学记数法与近似数 【例1】（2022七年级·全国·专题练习）世界上最大的沙漠──非洲的撒哈拉沙漠可以粗略地看成是一 个长方形，撒哈拉沙漠的长度大约是5 149 900m，沙层的深度大约是366cm．已知撒哈拉沙漠中沙的体 积约为33 345km3．请分别按下列要求取近似数． （1）将撒哈拉沙漠的长度用科学记数法表示； （2）将撒哈拉沙漠中沙层的深度四舍五入到10cm； （3）将撒哈拉沙漠中沙的体积保留2个有效数字． 【答案】(1)5.1499×106m (2)3.7×102cm (3)3.3×104km3 【分析】(1)根据较大数的科学记数法的表示方法求解即可； (2) 利用近似数精确度的确定方法求解即可； (3) )利用近似数精确度的确定方法求解即可． 解：（1）撒哈拉沙漠的长度大约是5 149 900m＝5.1499×106m； （2）沙层的深度大约是366cm≈3.7×102cm； （3）撒哈拉沙漠中沙的体积约为33 345km3≈3.3×104km3． 【点拨】本题考查了科学记数法和近似数的知识，熟知较大数的科学记数法的表示方法及近似数精确度 的确定方法是解决问题的关键． 【变式1】（2024·河北邯郸·三模）新华社消息，2024年春节假期我国国内旅游出游4.74亿人次． 先将 数据“4.74亿”精确到亿位，再用科学记数法可表示为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，以及近似数，先将数据“4.74亿”利用四舍五入精确到亿位，再根据 科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数（确定 的值时，要看把原数变 成 时，小数点移动了多少位）表示该数即可． 解：“4.74亿”精确到亿位为5亿，5亿 ， 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·江西九江·期中）小明量得课桌长为 米，四舍五入到十分位为 米． 【答案】 【分析】本题考查了近似数、四舍五入的方法，熟记定义和方法是解题关键． 四舍五入到十分位就 是对这个数十分位以后的数进行四舍五入即可． 解：把 四舍五入到十分位是 ， 故答案为： ． 【题型2】有理数幂的概念的理解 【例2】（2023七年级上·江苏·专题练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． （1） ； （2） ； （3） （ 个m）． 【答案】(1)底数是 ，指数是5 (2)底数是 ，指数是6；(3)底数是m，指数是 【分析】（1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． （1）解： ， 其中底数是 ，指数是5； （2）解： 其中底数是 ，指数是6； （3）解： （ 个m） ， 其中底数是m，指数是 ．【点拨】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果， 当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数． 表示n个a相乘． 【变式1】（23-24七年级上·福建泉州·期末）代数式 可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义：表示几个相同因数的积的运算；由乘方的意义即可求解． 解： ， 故选：C． 【变式2】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）底数是 ，指数是4的幂可以写成 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的概念，关键是注意分数为底时，需要把底数加括号．根据幂的书写规则即可求 解． 解： 底数为 ，指数为4， 得 ， 故答案为： ． 【题型3】有理数乘方运算 【例3】（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当 时， ；当 时， ．例： ； ． （1）求 ； （2）求 的值； 【答案】(1)16 (2)64 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算．理解题意，正确的运算是解题的关键．（1）由 ，可得 ，计算求解即可； （2）根据 ，计算求解即可． （1）解：∵ ， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： 正确的结果为（ ） A．8052 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方以及有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键．根 据有理数的乘方以及有理数的乘法解决本题． 解： ． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·宁夏银川·期中） ． 【答案】 / 【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，分别计算乘方再算乘法即可． 解： ，故答案为： ． 【题型4】乘方运算中的符号规律问题 【例4】（21-22七年级上·全国·课后作业）已知m，n是正整数，若 ．化简： （1） ； （2） ． 【答案】（1） ；（2）0 【分析】（1）根据有理数乘方的性质，判断出 为偶数，然后求解即可； （2）根据有理数乘方的性质，判断出 为偶数， 为奇数，然后求解即可； 解： ，则 为偶数， 为奇数 （1） ， （2） ， ， 【点拨】此题考查了有理数乘方的有关性质，解题的关键是根据题意判定出 为偶数， 为奇数． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：① ；② ；③ ；④ ，其中 结果等于 的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 解：① ， ② ， ③ ， ④ ， ∴其中结果等于 的是：①②③④． 故选：D． 【点拨】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的 前边添加“ ”．【变式2】（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 解：原式 ， 故答案为：0． 【题型5】有理数乘方的应用 【例5】（24-25七年级上·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端 捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． （1）将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ （2）若刚开始时的面条的横截面积为 ，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？ （每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 【答案】(1)128 (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）根据题意列式计算即可得出答案． （1）解：由题意得： （根） ∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根． （2）解：将这个流程重复8次后，面条的数量是 ． ∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀， ∴8次后，平均每一根面条横截面积 ． 【变式1】（23-24六年级上·山东烟台·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳 子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼 的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（ ）A．34 B．194 C．1234 D．6154 【答案】B 【分析】本题主要考查了用数字表示事件，理解题意是解题的关键．根据题意列式即可． 解： ． 故选B． 【变式2】（21-22七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分， 部分②是下部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，受此启发，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用；根据题意可以写出前几部分的面积，从而可以发现各部分面 积的变化规律，再根据图形可知阴影部分的面积和部分⑥的面积相等，进而即可求解． 解：由题意可知， 部分①面积是 ， 部分②面积是 ， 部分③面积是 ， …，则阴影部分的面积是 ， 阴影部分的面积是 ； ∴ ． 故答案为： ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·湖北武汉·中考真题）国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总 值接近 亿元，同比增长 ，国家高质量发展取得新成效．将数据 用科学记数法表示是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数． 确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值大于 与小数点移动的位数相同． 解： ， 故选：C． 【例2】（2022·西藏·中考真题）已知 ， 都是实数，若 ，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值，偶次幂的非负性求出 ， ，再代入计算即可． ∵ ， ∴ ， ， 即 ， ， ∴ ， 故答案为： ．【点拨】本题主要考查了绝对值，偶次幂的非负性，求出 ， 的值是解本题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知 ，解答下列问题： （1）由 ，可得 _____， _____． （2）若 ，求 的值． 【答案】(1) ， ； (2)2 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法，解题的关键是掌握有理数的 乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法． （1）根据绝对值的定义和有理数的乘方的定义即可得出答案； （2）由 得出 ， 或 ， ，代入计算即可得出答案． （1）解：∵ ， ∴ ， ； （2）解：由（1）得 ， ， 又∵ ， 异号， ∴ ， 或 ， ； 或 ， 综上所述， ． 【例2】（23-24六年级下·全国·假期作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算： ． 解：设 ， 则 ， 所以 ， 即 ．按照上面的方法，计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．设 ，然后两边同乘以3，进而按照题中所给方法进行求解即可． 解：设 则 所以 ， 即 ．