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专题 2.9 有理数的混合运算（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】有理数的混合运算
一、理解运算顺序
有理数混合运算的运算顺序：①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；
②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.
③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行（或应用分配律、结合律）；
二、应用四个原则：
1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分
类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。
2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中
尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。
3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之
一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。
4、分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。
如何分段呢?主要有：
(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为
第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成
若干段。 一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果
先计算出来，最后再算出这几个加数的和．
(2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式
进行运算。
(3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺
序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进
行计算．
(4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。
说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结果再相
加。三、掌握运算技巧
（1）归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数
或负数)归类计算。
（2）凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。
（3）分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。
（4）约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。
（5）倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。
（6）正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。
（7）绝对值和偶次幂的非负性。
四、理解转化的思想方法
有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。
因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带
来的一些混乱，同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。
把所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化：
一是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加
法、乘法；
二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法；
三是将乘方运算转化为积的形式．
若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了．
五、会用三个概念的性质
如果a．b互为相反数，那么a+b=O，a= -b；
如果c，d互为倒数，那么cd=l，c=1/d；
如果|x|=a(a＞0)，那么x=a或-a.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】有理数的四则混合运算
【例1】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各题：
(1) (2)(3) (4)
【答案】(1)17 (2) (3) (4)
【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理混合运算法则与顺序是解题的关键．
（1）先计算乘除，再计算减法即可；
（2）先计算小括号里的，再计算乘除，最后计算减法即可；
（3）先计算小括号，再计算中括号，即可求解；
（4）先计算除法，并运用乘法分配律将括号展开，再进行计算即可；
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；（4）解：原式
；
【变式1】（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．
解：A、 ，故A不正确，不符合题意；
B、 ，故B不正确，不符合题意；
C、 ，故C正确，符合题意；
D、 ，故D不正确，不符合题意．
故选：C．
【变式2】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算，规定 ，则
．
【答案】
【分析】此题考查了新定义下的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用题中
的新定义计算即可求出值．解： ，
，
故答案为： ．
【题型2】含乘方的有理数混合运算
【例2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算题：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)17 (2)
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键：
（1）先去括号，计算乘方，再算乘法，最后进行加减运算；
（2）先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式1】（23-24七年级下·湖南永州·期末）计算： （ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
先算乘方，然后计算加减即可．
解：，
故选：C．
【变式2】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）计算：
．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，按照先乘方，再乘除，最后算加减的顺序计算即可．
解：
故答案为： ．
【题型3】用简便方法进行有理数的混合运算
【例3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用简便方法计算：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则，以
及乘法分配律在有理数范围依旧适用．
（1）根据乘法分配律进行计算即可；
（2）根据乘法分配律的逆用进行计算即可．
（1）解：
．（2）解：
．
【变式1】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）在简便运算时，把 变形成最合适的形
式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数简便计算的要求变形即可．
解：
= ，
故选A．
【点拨】本题考查了有理数的简便计算，正确进行变形是解题的关键．
【变式2】式子“1＋2＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和，为了简便将其表示为 ，
这里“∑”是求和符号，如 ，通过以上材料，计算 = ．
【答案】
【分析】根据题目内的计算，分析运算方式，可知： 中，n=1表示第一个数字为1，4表示4个数字，n2表示每一个数字都要进行的运算，再结合 ，列出算式，逐步计算即可解答.
解：根据题目可知： 中，n=1表示第一个数字为1，4表示4个数字，n2表示每一个数字都要进行的
运算，
则
故答案为
【题型4】有理数混合运算与程序流程图和算24点
【例4】（23-24七年级上·吉林松原·期中）请你参加计算游戏：
(1)“算24点”游戏：有四个数 ，可以按下面方式计算： ， ．利用
加、减、乘、除、乘方运算（可用括号），每个数必须用一次且只能用一次，最终计算结果为24．下面
有四个数： ，请列出一个符合要求的算式，并写出计算全过程；
(2)请在 内填上 中的一个，使计算更加简便，然后计算．
计算： ．
【分析】（1）通过四个数的组合运算，列出结果为24的算式即可．（2）根据乘法分配律计算即可．
解：（1）解：答案不唯一，例如
方法一：；
方法二：
；
（2） 内的符号应是 ；
．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，利用了“24”点游戏为背景，蕴含了对混合运算的法则和顺序的
考查，是一道开放性试题．
【变式1】小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一
次，可以加括号）使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是 ，若
再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用运算符号将四个数字连接，使其结果为24或-24，即可得出答案.
解：A：(5-2)×8×(-1)=-24，故A错误；
B：(8-3)×5+(-1)=24，故B错误；
C：(8-4)×[5-(-1)]=24，故C错误；
D：无法组成24点，故D正确；
故答案选择：D.【点拨】本题考查的是有理数的混合运算，需要熟练掌握有理数的运算法则.
【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）按照以下程序图输入 的值为 ，则输出的 值为
．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中图形给出的计算程序．由于将
开始代入计算是6，不是负数，返回继续计算，要平方后再代入，这是本题易出错的地方．
解： ，
，
故答案为： ．
【题型5】有理数混合运算的实际应用
【例5】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）初夏逢盛会，冰城万象新．2024年第三十三届哈尔滨
国际经济贸易洽谈会，吸引了众多采购商和消费者的目光，让海内外宾朋收获颇丰，也给哈尔滨市的旅
游行业带来了新的生机，某出租车驾驶员在一条东西向的道路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下
（规定向东为正，向西为负，单位： ）．
第一批 第二批 第三批 第四批 第五批
(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？
(2)若出租车每千米耗油 升，那么在连续接送5批客人的过程中共耗油多少升？
(3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过 收费9元，超过 的部分每千米加 元收费，在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费多少元？
【答案】(1)在公司东面，距离公司6千米 (2)共耗油6升 (3)一共收到车费56.4元
【分析】本题考查正负数的意义以及有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练运用正负数的意义．
（1）根据有理数加法即可求出答案．（2）（3）根据题意列出算式即可求出答案．
（1）解：由行驶路程记录得：
，
答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司东面，距离公司6千米；
（2）解：由行驶路程记录得：
（升），
答：在连续接送5批客人的过程中共耗油6升；
（3）解：由行驶路程记录得：
（元），
答：在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费 元．
【变式1】（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记
事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放
牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（ ）
A．1234 B．310 C．60 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的运算，根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为 ，右边第2位的计
数单位为 ，右边第3位的计数单位为 ，右边第4位的计数单位为 ，……，依此类推，可求出结果．
解：根据题意得：
（只），
答：他所放牧的羊的只数是310只．
故选：B．【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在2024年“五·一”黄金周期间，哈市凤凰山旅游
景区在三天假期中，每天旅游的人数变化如下表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少
的人数）：
日期 4月29日 4月30日 5月1日
人数变化单位：万
－0.1 ＋0.3 －0.2
人
若4月30日的游客人数为1.5万人，且每张入山门票为100元，那么三天内游客管理中心一共收取门票费
万元
【答案】400
【分析】本题考查了正数和负数及有理数的混合远算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
解：4月29日游客为 （万人），
5月1日游客为 （万人），
则 （万元），
即三天内游客管理中心一共收取门票费400万元，
故答案为：400．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为： （m，n均为整数，
且 ）．例： ，则 ．
【答案】8
【分析】根据定义，得 ，解得即可．
本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．
解：根据定义，得 ，
故答案为：8．
【例2】（2021·山东日照·中考真题）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于 的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，
则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数 ，按照上述规则，
恰好实施5次运算结果为1的 所有可能取值的个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出 的所有可能的取值．
解：如果实施5次运算结果为1，
则变换中的第6项一定是1，
则变换中的第5项一定是2，
则变换中的第4项一定是4，
则变换中的第3项可能是1，也可能是8．
则变换中的第3项可能是1，计算结束，1不符合条件，第三项只能是8.
则变换中第2项是16．
则 的所有可能取值为32或5，一共2个，
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法，有理数的混合运算，进行逆向验证是解决本题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．
逆用乘法分配律解题
我们知道，乘法分配律是 ，反过来 ．这就是说，当 中有相同的a
时，我们可以逆用乘法分配律得到 ，进而可使运算简便．例如：计算 ，
若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有 ，因此逆用乘法分配律可得
，这样计算就简便得多
计算：
(1) ； (2) ；(3) ． (4)
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键；
（1）逆用分配律把原式化为 ，再计算即可；
（2）逆用分配律把原式化为 ，再计算即可；
（3）逆用乘法分配律计算即可；
（4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：；
（4）解：
=
=
= ．
【例2】．（22-23七年级上·广东广州·期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点， 厘米，点
C在线段 上，且 厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速
度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发，在直线上运动，则经过 秒时线段 的
长为6厘米．
【答案】2、10、 或
【分析】此题考查了两点间的距离有理数混合运算的应用，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．首
先根据 厘米， 厘米，求出 的长度是多少；然后分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；
（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；
求出经过多少秒时线段 的长为6厘米即可．
解：∵ 厘米， 厘米，
∴ （厘米）；
（1）点P、Q都向右运动时，
（秒）
（2）点P、Q都向左运动时，（秒）
（3）点P向左运动，点Q向右运动时，
（秒）
（4）点P向右运动，点Q向左运动时，
（秒）
∴经过2、10、 或 秒时线段 的长为6厘米．
故答案为：2、10、 或 ．
