文档内容
专题 2.2 有理数的运算全章十二类必考点
【人教版2024】
【考点1 绝对值和乘方的非负性】..........................................................................................................................1
【考点2 由绝对值的性质化简】..............................................................................................................................4
【考点3 有理数中的综合求值】..............................................................................................................................7
【考点4 绝对值中的分类讨论】..............................................................................................................................9
【考点5 由绝对值的几何意义求最值】................................................................................................................14
【考点6 结合数轴判断相关结论】........................................................................................................................18
【考点7 有理数的实际应用】................................................................................................................................22
【考点8 数轴、乘方中的规律问题】....................................................................................................................25
【考点9 数式规律计算探究题】............................................................................................................................28
【考点10 有理数中的幻方问题】..........................................................................................................................33
【考点11 有理数中的新定义问题】......................................................................................................................38
【考点12 数轴中的动点问题】..............................................................................................................................43
【考点1 绝对值和乘方的非负性】
1．（2024•雨花台区模拟）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2024的值是（ ）
A．﹣2024 B．0 C．1 D．2024
【分析】根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，再代入所求所占计算即可．
【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣2，b＝2，
所以（a+b）2024＝02024＝0．
故选：B．
2．（2023秋•博兴县期末）若5|2m﹣12|+4（n+3）4＝0，则m+n的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先根据非负数的性质求出m，n的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵5|2m﹣12|+4（n+3）4＝0，
∴|2m﹣12|＝0，n+3＝0，
解得m＝6，n＝﹣3，
∴m+n＝6+（﹣3）＝3，故选：D．
3．（2023秋•沈丘县期末）如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（ ）
A．2023 B．4046 C．20 D．0
【分析】根据绝对值的非负性，可知|x﹣2023|≥0，得出式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，即可选出答
案．
【解答】解：∵绝对值具有非负性，
∴|x﹣2023|≥0，
∵2023﹣|x﹣2023|有最大值，
∴当|x﹣2023|＝0时，式子有最大值，此时的值是2023，故A正确．
故选：A．
4．（2023秋•肥城市期末）当式子（x+3）2+|y﹣4|+2取最小值时，xy＝ ．
【分析】根据偶次方和绝对值的非负数性质解答即可．
【解答】解：∵（x+3）2≥0，|y﹣4|≥0，
∴当式子（x+3）2+|y﹣4|+2取最小值时，x+3＝0，y﹣4＝0，
解得x＝﹣3，y＝4，
∴xy＝（﹣3）4＝81．
故答案为：81．
3
5．（2023秋•崇川区期末）已知有理数 a，b，c满足等式|a|+ =1﹣c，|b﹣1|＝c，且c是整数，则式子
4
2a+3b﹣4c的值等于 ．
【分析】根据绝对值的非负性和c是整数可得c的值，进而求得a和b的值，然后代入求解即可．
3
【解答】解：∵|a|+ =1﹣c，
4
3 1
∴|a|＝1﹣c− = −c≥0，
4 4
1
∴c≤ ，
4
又∵|b﹣1|＝c≥0，
1
∴0≤c≤ ，
4
且c是整数，
∴c＝0，3
∵|a|+ =1﹣c，|b﹣1|＝c，
4
1 1
∴a= 或a=− ，b＝1，
4 4
1 1 7
当a= ，b＝1时，2a+3b﹣4c＝2× +3×1﹣0= ，
4 4 2
1 1 5
当a=− ，b＝1时，2a+3b﹣4c＝2×（− ）+3×1﹣0= ，
4 4 2
5 7
故答案为： 或 ．
2 2
1 1
6．（2024秋•雨花区校级月考）若（a+b）2+|b+47 |＝b+47 ，且8a﹣11b+1＝0，则ab＝ ．
4 4
【分析】根据有理数的乘方和绝对值解答即可，先根据非负数的性质求出 a、b的值，进而可求出ab的
值．
1
【解答】解：∵（a+b）2≥0，|b+47 |≥0，
4
1 1
∴（a+b）2+|b+47 |＝b+47 ≥0，
4 4
1
∴b≥﹣47 ，
4
1 1
∴（a+b）2+b+47 =b+47 ，
4 4
∴（a+b）2＝0，
∴a＝﹣b，
代入8a﹣11b+1＝0，得
﹣8b﹣11b+1＝0，
∴﹣19b＝﹣1，
1
∴b= ，
19
1
∴a=− ，
19
1 1 1
∴ab=− × =− ．
19 19 361
1
故答案为：− ．
361【考点2 由绝对值的性质化简】
1．（2024秋•苏州期末）若﹣3＜x＜﹣1，则化简|2﹣|1﹣x||等于 ．
【分析】根据x的范围判断出1+x与3+x的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结
果．
【解答】解：∵﹣3＜x＜﹣1，
∴1＜﹣x＜3，
∴2＜1﹣x＜4，﹣2＜1+x＜0，
则|2﹣|1﹣x||＝|2﹣1+x|＝|1+x|＝﹣1﹣x．
|b|
2．（2024秋•姜堰区期中）已知|a|+a=0， =−1，|c|=c，化简：|a+2b|﹣|c﹣a|+|﹣b﹣a|＝
b
．
【分析】根据题意，可得：|a|＝﹣a，|b|＝﹣b，|c|＝c，所以a≤0，b≤0，c≥0，据此化简|a+2b|﹣|c﹣a|
+|﹣b﹣a|即可．
【解答】解：∵|a|+a＝0，
∴|a|＝﹣a，
∴a≤0；
|b|
∵ =−1，
b
∴|b|＝﹣b，
∴b≤0；
∵|c|＝c，
∴c≥0，
∴|a+2b|﹣|c﹣a|+|﹣b﹣a|
＝﹣（a+2b）﹣（c﹣a）+（﹣b﹣a）
＝﹣a﹣2b﹣c+a﹣b﹣a
＝﹣a﹣3b﹣c．
故答案为：﹣a﹣3b﹣c．
3．（2023秋•临江市期末）若ac＜0，ab＞0，a+b＞0，|a|＜|b|＜|c|，则|a+c|+|a﹣b|﹣|c+b|＝ ．
【分析】因为ab＞0，a+b＞0，所以a＞0，b＞0；因为ac＜0，所以c＜0；因为|a|＜|b|＜|c|，所以a+c＜
0，a﹣b＜0，c+b＜0；将代数式进行化简即可求得．
【解答】解：∵ab＞0，a+b＞0，∴a＞0，b＞0．
∵ac＜0，
∴c＜0．
∵|a|＜|b|＜|c|，
∴a+c＜0，a﹣b＜0，c+b＜0，
|a+c|+|a﹣b|﹣|c+b|＝﹣a﹣c﹣a+b+c+b＝﹣2a+2b．
故答案为：﹣2a+2b．
4．（2023秋•万州区期末）设a，b，c为非零实数，且|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0．化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣
b|+|a﹣c|的结果是（ ）
A．b﹣2c B．b C．b﹣2a D．﹣2a
【分析】根据题意，可得：a＜0，b＜0，c＞0，据此化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|即可．
【解答】解：∵|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，
∴a＜0，b＜0，c＞0，
∴|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|
＝﹣b﹣（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）+c﹣a
＝b，
故选：B．
5．（2024春•海淀区校级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示
（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：
a+b 0，c﹣a 0，b+2 0；
（2）化简：|a+b|+2|c﹣a|﹣|b+2|．
【分析】（1）根据数轴得出﹣2＜b＜c＜0＜2＜a，再根据有理数的加减法法则解答即可；
（2）先去掉绝对值符号，再合并即可．
【解答】解：（1）从数轴可知﹣2＜b＜c＜0＜2＜a，
∴a+b＞0，c﹣a＜0，b+2＞0；
故答案为：＞，＜，＞；
（2）∵a+b＞0，c﹣a＜0，b+2＞0，
∴|a+b|+2|c﹣a|﹣|b+2|
＝a+b+2（a﹣c）﹣（b+2）＝a+b+2a﹣2c﹣b﹣2
＝3a﹣2c﹣2．
6．（2023秋•镇赉县期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
（1）比较a，|b|，c的大小（用“＜”连接）；
（2）化简：|b﹣a|+|c﹣2|+|b+c|；
（3）若m＝|a+b|﹣|c﹣a|﹣|b﹣1|，求1﹣2022（m+c）2023的值．
【分析】（1）根据数轴上点的位置可知b＜a＜0＜c，|a|＞c，据此求解即可；
（2）根据数轴化简|b﹣a|+|c﹣2|+|b+c|＝（﹣b+a）+（﹣c+2）+（﹣b﹣c）即可；
（3）先得到a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣1＜0，然后化简绝对值得到m＝﹣c﹣1，即m+c＝﹣1，据此求解即
可．
【解答】解：（1）根据数轴上点的位置可知0＜c＜1，b＜a＜﹣1，
∴a＜c＜|b|．
（2）∵b﹣a＜0，c﹣2＜0，b+c＜0，
∴原式＝（﹣b+a）+（﹣c+2）+（﹣b﹣c）
＝﹣b+a﹣c+2﹣b﹣c
＝a﹣2b﹣2c+2．
（3）∵a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣1＜0，
∴m＝（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（﹣b+1）
﹣a﹣b﹣c+a+b﹣1＝﹣c﹣1．
∴m+c＝﹣1．
∴原式＝1﹣2022×（﹣1）2023＝2023．
【考点3 有理数中的综合求值】
1．（2023秋•小店区校级月考）若|m|+|n|＝13，|m+n|＝1，则m的值为 ．
【分析】根据绝对值的定义，分情况分别进行解答即可．
【解答】解：∵|m+n|＝1，
∴m+n＝1或m+n＝﹣1，
①当m+n＝1时，即n＝1﹣m，
∵|m|+|n|＝13，即|m|+|1﹣m|＝13，
当m＜0时，﹣m+1﹣m＝13，解得m＝﹣6；
当m＞1时，m+m﹣1＝13，
解得m＝7；
②当m+n＝﹣1时，即n＝﹣1﹣m，
∵|m|+|n|＝13，即|m|+|﹣1﹣m|＝13，
当m≤﹣1时，﹣m﹣1﹣m＝13，
解得m＝﹣7；
当m＞0时，m+m+1＝13，
解得m＝6；
综上所述，m＝±6或m＝±7．
故答案为：±6或±7．
3
2．（2023秋•崇川区期末）已知有理数 a，b，c满足等式|a|+ =1﹣c，|b﹣1|＝c，且c是整数，则式子
4
2a+3b﹣4c的值等于 ．
【分析】根据绝对值的非负性和c是整数可得c的值，进而求得a和b的值，然后代入求解即可．
3
【解答】解：∵|a|+ =1﹣c，
4
3 1
∴|a|＝1﹣c− = −c≥0，
4 4
1
∴c≤ ，
4
又∵|b﹣1|＝c≥0，
1
∴0≤c≤ ，
4
且c是整数，
∴c＝0，
3
∵|a|+ =1﹣c，|b﹣1|＝c，
4
1 1
∴a= 或a=− ，b＝1，
4 4
1 1 7
当a= ，b＝1时，2a+3b﹣4c＝2× +3×1﹣0= ，
4 4 2
1 1 5
当a=− ，b＝1时，2a+3b﹣4c＝2×（− ）+3×1﹣0= ，
4 4 25 7
故答案为： 或 ．
2 2
3．（2023秋•闽清县期末）已知有理数m，n，p满足|m+n+p﹣3|＝m+n﹣p+5，则（m+n+1）（p﹣4）＝
．
【分析】分两种情况：①当m+n+p﹣3≥0时；②当m+n+p﹣3＜0时；进行讨论即可求解．
【解答】解：①当m+n+p﹣3≥0时，
|m+n+p﹣3|＝m+n+p﹣3＝m+n﹣p+5，
则2p＝8，
解得p＝4，
则（m+n+1）（p﹣4）＝（m+n+1）（4﹣4）＝0；
②当m+n+p﹣3＜0时，
|m+n+p﹣3|＝﹣m﹣n﹣p+3＝m+n﹣p+5，
则2（m+n）＝﹣2，
解得m+n＝﹣1，
则（m+n+1）（p﹣4）＝（﹣1+1）（p﹣4）＝0．
综上所述，（m+n+1）（p﹣4）＝0．
故答案为：0．
4．（2024春•崇明区校级期中）若|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c．计算a+b﹣c的
值．
【分析】根据题意可以求得a、b、c的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，
∴a＝±2，b＝±3，c＝±6，
∵|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c，
∴a+b≤0，b+c≥0，
∴a＝±2，b＝﹣3，c＝6，
∴当a＝2，b＝﹣3，c＝6时，
a+b﹣c＝2+（﹣3）﹣6＝﹣7，
a＝﹣2，b＝﹣3，c＝6时，
a+b﹣c＝﹣2+（﹣3）﹣6＝﹣11．
5．（2024 春•南岗区校级月考）已知 a 和 b 是非 0 的相反数，c 和 d 互为倒数，|m|＝2．求a 2024 cd
m3−( ) + −5m的值．
b 2
【分析】先根据相反数的定义得到a+b＝0，cd＝1，绝对值的意义，得到m＝±2，整体代入代数式求值
即可．
【解答】解：由题意，得：a+b＝0，cd＝1，m＝±2，
∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，
a
∴ =−1，
b
1 1 1
∴当m＝2时，原式=23−(−1) 2024+ −5×2=8−1+ −10=−2 ；
2 2 2
1 1 1
当m＝﹣2时：原式=(−2) 3−(−1) 2024+ −5×(−2)=−8−1+ +10=1 ．
2 2 2
6．（2024秋•定南县期中）已知a，b互为倒数，c能够使得（c﹣3）2+6有最小值，d＜0，且|d﹣3|＝4，
c2+3d3
求（﹣ab）2021− 的值．
ab+5
【分析】利用倒数，绝对值，以及非负数的性质求出各自的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，
∵c能够使得（c﹣3）2+6有最小值，
∴c＝3，
∵d＜0，且|d﹣3|＝4，
∴d＝﹣1，
32+3×(−1) 3
则原式＝（﹣1）2021− =−1﹣1＝﹣2．
1+5
【考点4 绝对值中的分类讨论】
1．（2023秋•抚州期末）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
【分析】此方程可理解为a到﹣5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案．
【解答】解：|a+5|表示a到﹣5点的距离，
|a﹣3|表示a到3点的距离，
由﹣5到3点的距离为8，故﹣5到3之间的所有点均满足条件，
即﹣5≤a≤3，
又由a为整数，
故满足条件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9个，
故选：D．
2．（2023秋•南充期末）已知a、b、c都为整数，且满足|a﹣b|2023+|b﹣c|2024＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|的
结果为（ ）
A．0 B．0或1 C．1 D．1或2
{|a−b|=0)
【分析】先判断出 a﹣b，b﹣c 都为整数，再根据|a﹣b|2023+|b﹣c|2024＝1，得出 或
|b−c|=1
{|a−b|=1)
，然后分情况化简绝对值即可．
|b−c|=0
【解答】解：∵a、b、c都为整数，
∴a﹣b，b﹣c都为整数，
∵|a﹣b|2023+|b﹣c|2024＝1，
{|a−b|=0) {|a−b|=1)
∴ 或 ，
|b−c|=1 |b−c|=0
∴a﹣b＝0，|b﹣c|＝1或|a﹣b|＝1，b﹣c＝0，
即a＝b，|b﹣c|＝1或|a﹣b|＝1，b＝c，
当a＝b，|b﹣c|＝1时，
|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|
＝0+1﹣|b﹣c|
＝0+1﹣1
＝0；
当|a﹣b|＝1，b＝c时，
|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|
＝1+0﹣|a﹣b|
＝1+0﹣1
＝0；
综上，|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|的值为0，
故选：A．|a| |b| |c| |abc|
3．（2023秋•龙泉驿区期末）已知有理数a，b，c满足 + + =−1，则 = ．
a b c abc
|a| |b| |c| |abc|
【分析】由 + + =−1知，a、b、c中有2个为负数，故能求 的值．
a b c abc
|a| |b| |c|
【解答】解：∵ + + =−1
a b c
∴a、b、c中有2个为负数，另外1个为正数，
|abc|
∴ = 1
abc
故答案为：1．
a b c abc
4．（2023秋•上饶期中）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，且abc≠0，则 + + + =
|a| |b| |c| |abc|
．
【分析】a，b，c中有正数也有负数，分有一个负数和两个负数两种情况分别计算即可得到答案．
【解答】解：当a，b，c中有一个负数时，不妨设c＜0，
原式＝1+1﹣1﹣1＝0；
当a，b，c中有两个负数时，不妨设b＜0，c＜0，
原式＝1﹣1﹣1+1＝0；
故答案为：0．
|a+b| |b+c| 3|c+a|
5．（2023秋•新吴区校级月考）已知：m= + + 且abc＞0，a+b+c＝0．则m共有
c a b
x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝ ．
【分析】根据abc＞0，a+b+c＝0，可以知道a，b，c中有2个负数，1个正数，然后分三种情况分别计
算m的值，从而得到m的最大值和最小值，从而得出答案．
【解答】解：∵abc＞0，a+b+c＝0，
∴当a＞0，b＜0，c＜0，
a+b＝﹣c＞0，b+c＝﹣a＜0，c+a＝﹣b＞0，
|−c| 2|−a| 3|−b|
∴m= + +
c a b
−c 2a −3b
= + +
c a b
＝﹣1+2﹣3
＝﹣2；当a＜0，b＞0，c＜0，
a+b＝﹣c＞0，b+c＝﹣a＞0，c+a＝﹣b＜0，
|−c| 2|−a| 3|−b|
∴m= + +
c a b
−c −2a 3b
= + +
c a b
＝﹣1﹣2+3
＝0；
当a＜0，b＜0，c＞0，
a+b＝﹣c＜0，b+c＝﹣a＞0，c+a＝﹣b＞0，
|−c| 2|−a| 3|−b|
∴m= + +
c a b
c −2a −3b
= + +
c a b
＝1﹣2﹣3
＝﹣4；
m共有3个不同的值，
∴x＝3，
∴m的最大值为0
∴y＝0，
∴x+y＝3，
故答案为：3．
6．（2023秋•江北区期末）若a、b、c为整数，且|a﹣b|+（c﹣a）2024＝1，则|c﹣a|+2|a﹣b|+3|b﹣c|＝
．
【分析】利用数的非负性求出a、b、c的关系，再分情况利用绝对值求出答案即可．
【解答】解：∵a、b、c为整数，
∴|a﹣b|与 （c﹣a）2024 为非负整数，
∵|a﹣b|+（c﹣a）2024＝1
∴|a﹣b|＝0，（c﹣a）2024＝1 或|a﹣b|＝1，（c﹣a）2024＝0
当|a﹣b|＝0，（c﹣a）2004＝1 时，a＝b，c﹣a＝±1，
∴c﹣b＝±1，
∴|c﹣a|+2|a﹣b|+3|b﹣c|＝1+2×0+3×1＝4．当|a﹣b|＝1，（c﹣a）2m4＝0 时，a＝c，a﹣b＝±1，
∴c﹣b＝±1，
|c﹣a|+2|a﹣b|+3|b﹣c|＝0+2×1+3×1＝5．
综上，答案为4或5．
故答案为：4或5．
{ x，x＞0 ) |x| x
7．（2023秋•闽侯县期末）阅读下列材料：|x| = 0，x=0 ，即当x＞0时， = =1，当x＜0时，
x x
−x，x＜0
|x| −x
= =−1，运用以上结论解决下面问题：
x x
|m| |n|
（1）已知m，n是有理数，当mn＞0时，则 − = ；
m n
|m| |n| |t|
（2）已知m，n，t是有理数，当mnt＜0时，求 − − 的值；
m n t
|m| |n| |t|
（3）已知m，n，t是有理数，m+n+t＝0，且mnt＜0，求 − − 的值．
n+t m+t m+n
|m| |n|
【分析】（1）由mn＞0，可得 = ，即可得到答案；
m n
（2）先判断m、n、t全负或者两正一负，再分情况化简绝对值，最后计算即可；
（3）先判断m、n、t两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案．
|m| |n|
【解答】解：（1）当mn＞0时， 与 同时为1或同时为﹣1，
m n
|m| |n|
则 − = 0；
m n
故答案为：0．
（2）∵mnt＜0，
∴m，n，t全负或m，n，t两正一负，
①当m，n，t全负时，
|m| |n| |t|
− − =（﹣1）﹣（﹣1）﹣（﹣1）＝1；
m n t
②当m，n，t两正一负时，
I）当m＞0，n＞0，t＜0时，
|m| |n| |t|
− − =1﹣1﹣（﹣1）＝1；
m n tⅡ）当m＞0，n＜0，t＞0时，
|m| |n| |t|
− − =1﹣（﹣1）﹣1＝1；
m n t
Ⅲ）当m＜0，n＞0，t＞0时，
|m| |n| |t|
− − =（﹣1）﹣1﹣1＝﹣3；
m n t
|m| |n| |t|
综上所述，求 − − 的值为1或﹣3；
m n t
（3）∵m+n+t＝0，
∴n+t＝﹣m，m+t＝﹣n，m+n＝﹣t，
|m| |n| |t| |m| |n| |t| |m| |n| |t|
∴ − − = − − =−（ − − ），
n+t m+t m+n −m −n −t m n t
又∵mnt＜0，
∴m，n，t两正一负，
|m| |n| |t|
由（2）可知 − − 的值的值为﹣1或3．
n+t m+t m+n
【考点5 由绝对值的几何意义求最值】
5 1 2
1．（2023秋•郫都区校级期中）|x﹣4|+|x+2|的最小值为 ；| x﹣1|+| x﹣1|+| x﹣1|的最小值为
6 2 3
．
【分析】分情况讨论：当x＞4时；当4≤x≤﹣2时；当x＜﹣2时；分别化简绝对值计算即可；当x＞2
3 6 3 6
时；当 ≤x≤2时；当 ＜x＜ 时；当x≤ 时，分别化简绝对值计算即可．
2 5 2 5
【解答】解：x﹣4＝0，x＝4；x+2＝0，x＝﹣2；
当x＞4时，|x﹣4|+|x+2|＝x﹣4+x+2＝2x﹣2＞6；
当﹣2≤x≤4时，|x﹣4|+|x+2|＝4﹣x+x+2＝6；
当x＜﹣2时，|x﹣4|+|x+2|＝4﹣x﹣x﹣2＝﹣2x+2＞6；
∴|x﹣4|+|x+2|的最小值为6；
5 6 1 2 3
x−1=0，x= ； x−1=0，x＝2； x−1=0，x= ；
6 5 2 3 2
5 1 2 5 1 2
当x＞2时，| x﹣1|+| x﹣1|+| x﹣1|= x−1+ x−1+ x−1=2x−3＞1；
6 2 3 6 2 3
3 5 1 2 5 1 2 1
当 ≤x≤2时，| x﹣1|+| x﹣1|+| x﹣1|= x−1+1− x+ x−1=x−1，此时 ≤x−1≤1；
2 6 2 3 6 2 3 26 3 5 1 2 5 1 2 1 1 1 3
当 ＜x＜ 时，| x﹣1|+| x﹣1|+| x﹣1| = x−1+1− x+1− x=1− x，此时 ＜1− x＜
5 2 6 2 3 6 2 3 3 2 3 5
；
6 5 1 2 5 1 2 3
当x≤ 时，| x﹣1|+| x﹣1|+| x﹣1|=1− x+1− x+1− x=3−2x＞ ；
5 6 2 3 6 2 3 5
3 5 1 2 1
综上，当x= 时，| x﹣1|+| x﹣1|+| x﹣1|有最小值，最小值是 ；
2 6 2 3 2
1
故答案为：6； ．
2
2．（2023秋•雁塔区校级月考）若|x+1|+|x﹣a|的最小值是5，则a的值是 ．
【分析】本题考查了解绝对值不等式问题，根据代数式的最小值，得到关于 a的方程，求出a的值即
可．
【解答】解：∵|x+1|+|x﹣a|表示数轴上x到a与x到﹣1 的距离之和，且其最小值为5，
∴当x介于a与﹣1之间时，|x+a|+|x+1|＝5，
∴a与﹣1的距离为5，即|a﹣（﹣1）|＝5，
∴若a﹣（﹣1）＝5，解得a＝4；
当x在a与﹣1之外时，
即a﹣（﹣1）＝﹣5，解得a＝﹣6，
故答案为：﹣6或4．
3．（2023秋•锦江区校级期中）设a＝|x﹣3|，b＝|x﹣1|，c＝|x+12|，则3a+b+c的最小值是 ．
【分析】由于3|x﹣3|+|x﹣1|+|x+12|表示x到1，﹣12的距离以及到3的距离的3倍之和，则当x＝3时，
3a+b+c有最小值．
【解答】解：∵a＝|x﹣3|，b＝|x﹣1|，c＝|x+12|，
∴3a+b+c＝3|x﹣3|+|x﹣1|+|x+12|，
3|x﹣3|+|x﹣1|+|x+12|表示x到1，﹣12的距离以及到3的距离的3倍之和，
所以当x＝3时，它们的距离之和最小，
此时3a+b+c＝17；
故答案为：17．
4．（2023秋•休宁县期中）已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x﹣y的最大值是 ．
【分析】根据绝对值的意义可得当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|有最小值3，当﹣3≤y≤4时，|y+3|+|y﹣4|
有最小值7，再结合已知，当x＝﹣1，y＝﹣3时2x+y有最小值．
【解答】解：|x+1|+|x﹣2|表示数轴上表示x的点与表示﹣1和2的点的距离和，当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|有最小值3，
|y+3|+|y﹣4|表示数轴上表示y的点与表示﹣3和4的点的距离和，
当﹣3≤y≤4时，|y+3|+|y﹣4|有最小值7，
∵|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，
∴﹣1≤x≤2，﹣3≤y≤4，
∴x﹣y的最大值为x﹣y＝2﹣（﹣3）＝5．
故答案为：5．
5．（2023秋•鼓楼区校级月考）若（|x﹣2|+|x+3|）×（|y+2|+|﹣4﹣y|）＝10，则x﹣y的最大值为 ．
【分析】先求出x、y的取值范围，从而得解．
【解答】解：∵|x﹣2|+|x+3|表示数轴上表示x的点到表示2与﹣3的点的距离之和，
∴|x﹣2|+|x+3|≥2﹣（﹣3）＝5，当且仅当﹣3≤x≤2取等号，
同理可得：|y+2|+|﹣4﹣y|＝|y+2|+|y+4|≥﹣2﹣（﹣4）＝2，当且仅当﹣4≤y≤﹣2取等号，
∴（|x﹣2|+|x+3|）×（|y+2|+|﹣4﹣y|）≥10，当且仅当﹣3≤x≤2，﹣4≤y≤﹣2取等号．
即当﹣3≤x≤2，﹣4≤y≤﹣2时，（|x﹣2|+|x+3|）×（|y+2|+|﹣4﹣y|）＝10
∴﹣3≤x≤2，2≤﹣y≤4，
∴﹣3+2≤x﹣y≤2+4，即﹣1≤x﹣y≤6，
∴x﹣y的最大值为6，
故答案是：6．
6．（2024春•鄞州区校级期末）实数a、b满足|a+1|+|a+3|+|b+2|+|b﹣5|＝9，记代数式2ab+2a+b的最大值
为m，最小值为n，则m+n的值为（ ）
A．﹣25 B．﹣27 C．﹣29 D．﹣31
【分析】根据|a+1|+|a+3|与|b+2|+|b﹣5所表示的意义，结合|a+1|+|a+3|+|b+2|+|b﹣5|＝9，确定a、b的取
值范围，再根据有理数乘法、加法的计算法则确定当a＝﹣3，b＝5时，代数式2ab+2a+b的值最小，当
a＝﹣3，b＝﹣2时，代数式2ab+2a+b的值最大，求出m、n的值代入计算即可．
【解答】解：由绝对值的定义可知，当﹣3≤a≤﹣1时，|a+1|+|a+3|的最小值是|﹣1+3|＝2，
当﹣2≤b≤5时，b+2|+|b﹣5|的最小值为|﹣2﹣5|＝7，
∵|a+1|+|a+3|+|b+2|+|b﹣5|＝9，
∴﹣3≤a≤﹣1，﹣2≤b≤5，
∴当a＝﹣3，b＝5时，代数式2ab+2a+b的值最小，即n＝2×（﹣3）×5+2×（﹣3）+5＝﹣31，
当a＝﹣3，b＝﹣2时，代数式2ab+2a+b的值最大，即m＝2×（﹣3）×（﹣2）+2×（﹣3）﹣2＝4，
∴m+n＝4﹣31＝﹣27，故选：B．
7．认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如：|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之
间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所
以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，A，B两点在数轴上分别表示数a，b，那么A，B
两点之间的距离可表示为|a﹣b|．
（1）如果A，B，C三点在数轴上分别表示数x，﹣2，1，那么A，B两点之间的距离与A，C两点之间
的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）；
（2）利用数轴探究：
①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的值是 ；
②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的取值在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小
值，这个最小值是 ，当x的取值在 的范围时，|x|+|x﹣2|＝的最小值是 ；
（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值；
（4）若|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|≥a对任意x的值都成立，求a的最大值；
（5）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|++…+|x﹣2023|的最小值；
（6）求3|x﹣1|+|x﹣4|的最小值．
【分析】（1）根据A，B之间的距离表示为|a﹣b|即可得出答案；
（2）①数轴上表示﹣1和3的两点距离为4，表示x的点到这两点距离和为6，故表示x的点在表示﹣1
的点左边1个单位或在表示3的点右边1个单位，
②到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离，
（3）到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离，
（4）|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|≥a对任意的有理数 x都成立即是a小于等于|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|的最小
值，求出其最小值即可，
（5）数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，
（6）分段去绝对值再求最小值．
【解答】解：（1）∵A，B之间的距离表示为|a﹣b|，
∴点A到点B的距离与点A到点C的距离之和为|x+2|+|x﹣1|，
故答案为：|x+2|+|x﹣1|；
（2）①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x在表示﹣1的点左边1个单位或在表示3的点右边1个单位，
∴x＝﹣2或x＝4，
②到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离，∴|x﹣3|+|x+1|＝p，则p＝3﹣（﹣1）＝4，
|x|+|x﹣2|取最小值时0≤x≤2，最小值时2﹣0＝2；
故答案为：①﹣2或4，
②4，0≤x≤2，2；
（3）到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离，
∴|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|在x＝2时取最小值，最小值为3﹣（﹣1）＝4；
（4）当0≤x≤2时，|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|有最小值6，
∴|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|≥a对任意的有理数x都成立，a≤6，
∴a最大值是6；
（5）数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，
∴x＝1012 时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2023|取最小值，最小值为 1011+1010+1009+1008+…
+2+1+0+1+2+…+1008+1009+1011＝1023132，
（6）①x≥4时，
3|x﹣1|+|x﹣4|＝3（x﹣1）+x﹣4＝4x﹣7，
∴x＝4时，3|x﹣1|+|x﹣4|最小值是9，
②1≤x＜4时，
3|x﹣1|+|x﹣4|＝3（x﹣1）+（4﹣x）＝2x+1，
∴x＝1时，3|x﹣1|+|x﹣4|最小值是3，
③x＜1时，
3|x﹣1|+|x﹣4|＝3（1﹣x）+（4﹣x）＝7﹣4x，
∴3|x﹣1|+|x﹣4|＞3，
综上所述，x＝1时，3|x﹣1|+|x﹣4|的最小值是3．
【考点6 结合数轴判断相关结论】
1．（2023秋•洪山区校级月考）如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．（c﹣a）b＞0 C．c（a﹣b）＞0 D．（b+c）a＞0
【分析】根据数轴上点的位置可得c＜0＜b＜a，进而逐项分析判断，即可求解．
【解答】解：∵c＜0＜b＜a，
∴abc＜0，故A选项正确；
∴c﹣a＜0，则（c﹣a）b＜0，故B选项错误；a﹣b＞0，则c（a﹣b）＜0，故C选项错误，
|c|＞|b|，c＜0，b＞0，则b+c＜0，
∴（b+c）a＜0，故D选项错误，
故选：A．
2．（2023春•南岗区校级期中）有理数m、n在数轴上的位置如图，则下列关系式正确的个数有（ ）
1 1
①m+n＜0；②n﹣m＞0；③2m﹣n＞0；④﹣n﹣m＞0；⑤ ＞− ．
m n
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据数轴判断m与n与0的大小关系，进而逐一判断即可．
【解答】解：根据数轴可得n＜0＜m且|n|＞|m|，
∴m+n＜0，n﹣m＜0，即①正确，②错误；
∵n＜0＜m，
∴2m＞n，
∴2m﹣n＞0，即③正确；
∵n＜0＜m且|n|＞|m|，
∴﹣n＞m＞0
∴﹣n﹣m＞0，即④正确；
∵﹣n＞m＞0
1 1
∴ ＞− ，即⑤正确；
m n
∴①③④⑤正确，正确的个数为4个，
故选：D．
3．（2022秋•越秀区校级期中）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：
①（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＜0，
②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；
③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；
④|a|＜1﹣bc．
其中正确的结论有（ ）个．A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据数轴上各数的位置得出a＜﹣1，0＜b＜c＜1，依此即可得出结论．
【解答】解：由数轴可得a＜﹣1，0＜b＜c＜1，
∴a﹣1＜0，b﹣1＜0，c﹣1＜0，
∴（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＜0，故①正确，
∵|a﹣b|+|b﹣c|＝b﹣a+c﹣b＝c﹣a，|a﹣c|＝c﹣a，
∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，故②正确，
∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0，
∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0，故③正确，
∵0＜bc＜1，
∴0＜1﹣bc＜1，
∵|a|＞1，
∴|a|＞1﹣bc，
故④错误，
故选：B．
4．（2023秋•大埔县期中）如图所示，已知A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，则下列式子成立的
有（ ）
①|a+2b|＝a+2b；②|a﹣2b|＝2b﹣a；③（b﹣1）（a+1）＞0；④﹣a2b3＞0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据绝对值、有理数的乘法、数轴上的点表示的数以及大小关系解决此题．
【解答】解：由题意得：﹣1＜a＜0＜a＜b＜2．
①由﹣1＜a＜0＜a＜b＜2，得2b＞2，故a+2b＞0，从而推断出|a+2b|＝a+2b，那么①符合题意．
②由﹣1＜a＜0＜a＜b＜2，得2b＞0，故a﹣2＜0，从而推断出|a﹣2b|＝2b﹣a，那么②符合题意．
③由﹣1＜a＜0＜a＜b＜2，得b﹣1＞0，a+1＞0，从而推断出（b﹣1）（a+1）＞0，那么③符合题
意．
④由﹣1＜a＜0＜a＜b＜2，得a2＞0，b3＞0，从而推断出﹣a2b3＜0，那么④不符合题意．
综上：成立的有①②③，共3个．
故选：C．
5．（2023秋•澄迈县校级月考）a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①a+b＞0；②a+b＞a+c；③b﹣c＞a﹣c；④a﹣b＞a﹣c．其中正确的有 （填上序号）．
【分析】由图可知，﹣2＜c＜﹣1，1＜b＜2，2＜a＜3，根据上述条件来判断①②③④的正确与否．
【解答】解：由图可知，﹣2＜c＜﹣1，1＜b＜2，2＜a＜3，
①a+b是同号两数相加，取相同的符号，即正号，∴a+b＞0，故①符合题意；
②∵b＞c，∴a+b＞a+c，故②符合题意；
③∵b＜a，∴b﹣c＜a﹣c，故③不符合题意；
④∵b＞c，∴a﹣b＜a﹣c，故④不符合题意；
故答案为：①②．
6．（2023秋•德清县期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①（a﹣1）
（b﹣1）＞0；②（a﹣1）（b+1）＜0；③（a+1）（b+1）＞0；④（a+1）（b﹣1）＜0．其中正确
式子的序号是 ．
【分析】根据表示数a，b的点在数轴上的位置可确定a，b与1，﹣1的大小关系，从而确定a﹣1，b﹣
1，a+1，b+1的符号，进而根据有理数的乘法法则判断各式子的符号，即可解答．
【解答】解：由数轴可得：b＜﹣1，0＜a＜1，
∴a+1＞0，a﹣1＜0，b+1＜0，b﹣1＜0，
∴（a﹣1）（b﹣1）＞0，故式子①正确；
（a﹣1）（b+1）＞0，故式子②错误；
（a+1）（b+1）＜0，故式子③错误；
（a+1）（b﹣1）＜0，故式子④正确．
∴正确的式子是①④．
故答案为：①④．
【考点7 有理数的实际应用】
1．（2023秋•望江县期末）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为
正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：km）
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
﹣4 +7 ﹣9 +8 +6 ﹣5 ﹣2
（1）求收工时距A地多远？（2）在第 次纪录时距A地最远．
（3）若每km耗油0.4升，问共耗油多少升？
【分析】（1）收工时距A地的距离等于所有记录数字的和的绝对值；
（2）分别计算每次距A地的距离，进行比较即可；
（3）所有记录数的绝对值的和×0.4升，就是共耗油数．
【解答】解：（1）﹣4+7﹣9+8+6﹣5﹣2＝﹣4﹣9﹣5﹣2+7+8+6＝﹣20+21＝1km；
（2）由题意得，第一次距A地4千米；第二次距A地﹣4+7＝3千米；第三次距A地|﹣4+7﹣9|＝6千
米；第四次距A地|﹣4+7﹣9+8|＝2千米；第五次距A地|﹣4+7﹣9+8+6|＝8千米；而第六次、第七次是
向相反的方向又行驶了共7千米，所以在第五次纪录时距A地最远；
（3）（4+7+9+8+6+5+2）×0.4＝41×0.4＝16.4L．
2．（2023秋•海陵区校级月考）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源
汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如
表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 +21 +22 +30 +33
（1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 km；
（2）请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？
（3）已知汽油车每行驶100km需用汽油6升，汽油价9元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15
度，每度电为0.6元，请估计小明家换成新能源汽车后一个月（按30天计算）的行驶费用比原来节省多
少钱？
【分析】（1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可得出答
案；
（2）先求出这七天高于（或低于）50km的标准所行驶的路程，再求七天的平均行驶的路程，即可求
解；
（3）分别求出汽油费和电费，即可求解．
【解答】解：（1）由表格得：（+33）﹣（﹣16）＝49（km），即这7天里路程最多的一天比最少的一
天多走49km，
故答案为：49；
（2）（﹣8）+（﹣12）+（﹣16）+（+21）+（+22）+（+30）+（+33）＝﹣36+106＝70（km），
70÷7+50＝60（km）；
答：小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了60km．（3）用汽油的费用：60×30÷100×6×9＝972（元），
用电的费用：60×30÷100×15×0.6＝162（元），
972﹣162＝810（元），
答：估计小明家换成新能源汽车后1个月的行驶费用比原来节省810元．
3．（2023秋•雁峰区月考）成章实验中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，排球垫球比赛，
如表为七年级某班50人参加排球垫球比赛的情况，若标准数量为每人垫球28个．
垫球个数与标 ﹣12 ﹣5 0 8 10 15
准数量的差值
人数 5 16 11 5 9 4
（1）求这个班50人平均每人垫球多少个？
（2）规定垫球达到标准数量记0分，规定垫球超过标准数量，每多垫1个加2分；规定垫球未达到标
准数量，每少垫1个，扣1分，求这个班垫球总共获得多少分？
【分析】（1）先根据垫球个数与标准数量的差值及对应人数求出总的垫球个数，再除以班级人数即
可；
（2）根据“每多垫1个加2分，每少垫1个扣1分”列式计算即可．
【解答】解：（1）（﹣12）×5+（﹣5）×16+0×11+8×5+10×9+15×4
＝﹣60﹣80+0+40+90+60
＝50（个），
（28×50+50）÷50
＝1450÷50
＝29（个），
答：这个班50人平均每人垫球29个；
（2）（12×5+5×16）×（﹣1）+（8×5+10×9+15×4）×2
＝140×（﹣1）+190×2
＝240（分），
答：这个班垫球总共获得240分．
4．（2023秋•萨尔图区校级期末）出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向
南记作“+”，向北记作“﹣”，他这天下午行车情况如下：（单位：千米）
﹣2，+5，﹣8，﹣3，+6，﹣6．
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多
远？（2）若出租车每公里耗油0.3升，求小王回到出发地共耗油多少升？
（3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，
除收起步价外，超过的每千米（不足1千米按1千米计算）还需收4元钱，小王今天是收入是多少元？
【分析】（1）根据有理数的加法进行计算即可得到答案；
（2）将这些数的绝对值相加，求出总路程，再根据出租车每公里耗油0.3升，可得答案；
（3）根据行车记录和收费方法列出算式，计算即可得解．
【解答】解：（1）﹣2+5﹣8﹣3+6﹣6＝﹣8（千米），
∴小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的北方，距下午出车的出发地8千米．
（2）|﹣2|+|5|+|﹣8|+|﹣3|+|6|+|﹣6|＝30（千米），
30×0.3＝9（升），
8×0.3＝2.4（升），
9+2.4＝11.4（升），
∴小王回到出发地共耗油11.4升．
（3）根据出租车收费标准，可知小王今天的收入是10+[10+（5﹣3）×4]+[10+（8﹣3）×4]+10+[10+（6
﹣3）×4]+[10+（6﹣3）×4]＝112（元），
∴小王今天的收入是112元．
5．（2024秋•方城县期中）某自行车厂一周内计划平均每天生产200辆自行车，由于种种原因，实际每天
生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产量/辆 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣10 +16 ﹣9
（1）根据记录的数据可知，该厂星期五生产自行车 辆．
（2）根据上表记录的数据可知，该厂本周实际生产自行车 辆．
（3）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另外
奖励15元，若完不成每天的计划量，则少生产一辆扣 20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少
元？
（4）若该厂实行每周计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成周计划工作量，则超过部
分每辆另外奖励15元，若完不成每周的计划量，则少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总
额是多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到该厂星期五生产自行车的数量；
（2）根据题意和表格中的数据，可以得到该厂本周实际生产自行车的数量；
（3）根据题意和表格中的数据可以解答本题；（4）根据题意和表格中的数据可以解答本题．
【解答】解：（1）∵超产记为正、减产记为负，
∴星期五生产自行车200﹣10＝190（辆），
故答案为：190；
（2）该厂本周实际生产自行车200×7+（+5）+（﹣2）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（+16）+（﹣9）
＝1409（辆），
故答案为：1409；
（3）200×7+（+5）+（﹣2）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（+16）+（﹣9）＝1409（辆），
1409×60+（5+13+16）×15+（﹣2﹣4﹣10﹣9）×20＝84550（元），
答：该厂工人这一周的工资总额是84550 元；
（4）实行每周计件工资制的工资为1409×60+9×15＝84675（元），
答：该厂工人这一周的工资总额是84675元．
【考点8 数轴、乘方中的规律问题】
1．（2023秋•苍溪县期末）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，
对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到 7条折痕，那么对折n次可以得（
）条折痕．
A．2n﹣1 B．n2﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1﹣1
【分析】探究规律，利用规律即可解决问题．
【解答】解：我们不难发现：
第一次对折：1＝2﹣1；
第二次对折：3＝22﹣1；
第三次对折：7＝23﹣1；
第四次对折：15＝24﹣1；
…．
依此类推，第n次对折，可以得到（2n﹣1）条．
故选：A．
1 1
2．（2023秋•海阳市期末）一根1m长的铜丝，第一次剪去铜丝的 ，第二次剪去剩下铜丝的 ，如此剪
4 4下去，第2023次剪完后剩下铜丝的长度是（ ）
1 1
A．( )
2023m
B．( )
2022m
4 4
3 3
C．( )
2023m
D．( )
2022m
4 4
【分析】根据有理数的乘方运算法则即可求出答案．
1 3
【解答】解：第一次剪去绳子的 ，剩下是 m，
4 4
1 3 3 1 3
第二次剪去剩下绳子的 ，剩下是( − × )=( ) 2m，⋯⋯
4 4 4 4 4
3
第2023次剪完后剩下绳子的长度是( )
2023m．
4
故答案为：C．
3．（2024•凉州区三模）等边三角形纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A，B对应的数分别为0和﹣
1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转第 1次后，点C所对应的数为1，则翻转
2023次后，点C所对应的数是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【分析】由题意可知，等边三角形纸板ABC每3次翻转为一个循环组依次循环，用2023除以3，根据
余数为1可知点C在数轴上，然后进行计算即可得解．
【解答】解：由题意，翻转第1次后，点C落在数轴上，对应的数为1，每经过3次翻转后，A，B两点
落在数轴上，点C位于数轴上方，
∵2023÷3＝674……1，
∴点C落在数轴上，对应的数为1+674×3＝2023；
故选：C．
4．（2023秋•安新县期末）如图，周长为4个单位长度的圆上四个等分点为P，Q，M，N，点P落在数轴
上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上﹣2023的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q【分析】根据圆的周长为4，且P，Q，M，N为圆的四等分点，可得P，N，M，Q四点依次循环，求
得﹣2023到2的距离，然后计算即可．
【解答】解：根据题意可得：P，N，M，Q四点依次循环，
∵数轴上表示﹣2023的点到2的距离为|﹣2023﹣2|＝2025，
2025÷4＝506……1，
所以圆上落在数轴上﹣2023的点是N．
故选：B．
5．（2024秋•梁溪区校级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序
运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，x 表示第n秒时机器人在数
n
轴上的位置所对应的数．给出下列结论：
①x ＝2；
4
②x ＝3；
7
③x ＜x ；
106 103
④x ＜x ；
2026 2023
其中，正确的结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①④ D．①②③④
【分析】根据前5秒对应的数是：1，2，3，2，1，由此规律推断选项是否正确即可．
【解答】解：根据题意，机器人每5秒完成一个前进或后退，即前5秒对应的数是：1，2，3，2，1，
由此规律推断①②正确；
③中106÷5＝21余1，x ＝22，103÷5＝20余3，x ＝23，故③正确；
106 103
④2026÷5＝405余1，所以x ＝406；2023÷5＝404余3，x ＝407，故④正确．
2026 2023
故选：D．
6．（2023秋•大连期中）电子青蛙在数轴上的某点A 处，第一步从A 向右跳1个单位到A ，第二步从A
0 0 1 1
向左跳2个单位到A ，第三步从A 向右跳3个单位到A ，第四步从A 向左跳四个单位到A ，以此类
2 2 3 3 4
推，按以上规律跳了2023步时，电子青蛙恰好到达原点，则电子青蛙的初始点位置A 所表示的数字是
0
．
【分析】根据题意列出方程 a+1﹣2+3﹣4+...﹣2022+2023＝0，然后得出 a+（1﹣2）+（3﹣4）+...
+（2021﹣2022）+2023＝0，进行求解即可．
【解答】解：设A 所表示的数字是a，
0
由题意得，a+1﹣2+3﹣4+...﹣2022+2023＝0，
a+（1﹣2）+（3﹣4）+...+（2021﹣2022）+2023＝0，即a+1011×（﹣1）+2023＝0，
解得a＝﹣1012，
即A 所表示的数字是﹣1012，
0
故答案为：﹣1012．
【考点9 数式规律计算探究题】
1．（2023秋•高邮市校级月考）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对
值符号去掉，例如：
|7﹣6|＝7﹣6；
|6﹣7|＝7﹣6；
1 1 1 1
| − |= − ；
2 3 2 3
1 1 1 1
| − |= − ．
3 2 2 3
观察上述式子的特征，解答下列问题：
（1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：
2 2
①| − |= ；
3 5
②|3.14﹣ |＝ ；
（2）当a＞π b时，|a﹣b|＝ ；当a＜b时，|a﹣b|＝ ；
1 1 1 1 1 1 1
（3）计算：| −1|+| − |+| − |+⋯+| − |．
2 3 2 4 3 2023 2022
【分析】（1）①②结合有理数加法减法运算法则以及绝对值的意义进行化简；
（2）根据绝对值的意义进行化简；
（3）根据有理数减法运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计
算．
2 2 2 2
【解答】解：（1）① | − |= − ；
3 5 3 5
②|3.14﹣ |＝ ﹣3.14；
π2 π2
故答案为： − ， ﹣3.14；
3 5
π
（2）当a＞b时，|a﹣b|＝a﹣b；当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a；
故答案为：a﹣b，b﹣a；1 1 1 1 1 1 1
（3）原式＝1− + − + − +•••+ −
2 2 3 3 4 2023 2022
1
＝1−
2023
2022
= ．
2023
2．（2024春•冠县期中）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，
将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014，
将下式减去上式得：2S﹣S＝22014﹣1，
即S＝22014﹣1，
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1．
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+22024；
（2）1+3+32+32+34+…+3n （其中n为正整数）．
【分析】（1）设S＝1+2+22+23+24+…+22024，则2S＝2+22+23+24+…+22025，将两式相减即可；
（2）设S＝1+3+32+32+34+…+3n，则3S＝3+32+32+34+…+3n+1，将两式相减并计算即可．
【解答】解：（1）设S＝1+2+22+23+24+…+22024，
将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+22025，
将下式减去上式得：2S﹣S＝22025﹣1，
即S＝22025﹣1，
即1+2+22+23+24+…+22024＝22025﹣1；
（2）设S＝1+3+32+32+34+…+3n，
将等式两边同时乘3得：3S＝3+32+32+34+…+3n+1，
将下式减去上式得：3S﹣S＝3n+1﹣1，
即2S＝3n+1﹣1，
3n+1−1
则S= ，
2
3n+1−1
即1+3+32+32+34+…+3n= ．
2
3．（2024春•佛冈县期中）若n为正整数，观察下列各式：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
① = (1− )；② = ( − )；③ = ( − )．
1×3 2 3 3×5 2 3 5 5×7 2 5 7
根据观察计算并填空：
1 1 1
（1） + + = ．
1×3 3×5 5×7
1 1 1 1
（2） + + +⋯+ = ．
1×3 3×5 5×7 (2n−1)(2n+1)
1 1 1 1 1
（3）计算：(1− )(1− )(1− )×⋯×(1− )(1− )．
22 32 42 20232 20242
【分析】（1）根据裂项相消即可得出答案；
（2）根据裂项相消即可得出答案；
（3）先利用平方差公式进行变形，再约分即可得出答案．
1 1 1 1 1 1
【解答】解：（1）原式= ×[（1− ）+（ − ）+（ − ）]
2 3 3 5 5 7
1 1 1 1 1 1
= ×（1− + − + − ）
2 3 3 5 5 7
1 6
= ×
2 7
3
= ．
7
3
故答案为： ．
7
1 1 1 1 1 1 1 1
（2）原式= ×[（1− ）+（ − ）+（ − ）+⋯+（ − ）]
2 3 3 5 5 7 2n−1 2n+1
1 1 1 1 1 1 1 1
= ×（1− + − + − + ⋯+（ − ）
2 3 3 5 5 7 2n−1 2n+1
1 1
= ×（1− ）
2 2n+1
n
= ．
2n+1
n
故答案为： ．
2n+1
1 1 1 1 1 1 1 1
（3）原式＝（1− ）（1+ ）（1− ）（1+ ）（1− ）（1+ ）⋯（1− ）（1+ ）（1
2 2 3 3 4 4 2023 20231 1
− ）（1+ ）
2024 2024
1 3 2 4 3 5 2022 2024 2023 2025
= × × × × × ×
⋯
× × × ×
2 2 3 3 4 4 2023 2023 2024 2024
1 2025
= ×
2 2024
2025
= ．
4048
4．（2023秋•信州区期末）观察下列各式：
1×2×3 2×3×5 3×4×7 4×5×9
12= ；12+22= ；12+22+32= ；12+22+32+42= ；…
6 6 6 6
（1）根据你发现的规律，计算下面算式的值：12+22+32+42+52＝ ；
（2）请用一个含n的算式表示这个规律：12+22+32+…+n2＝ ；
（3）根据发现的规律，请计算算式512+522+…+992+1002的值（写出必要的解题过程）
【分析】（1）根据所给的4个算式的规律，12+22+32+42+52等于分母是6，分子是5×6×11的分数的大
小．
（2）根据所给的4个算式的规律，12+22+32+…+n2等于分母是6，分子是n（n+1）（2n+1）的分数的大
小．
（3）用12+22+…+992+1002的值减去12+22+…+492+502的值，求出算式512+522+…+992+1002的值是多
少即可．
5×6×11
【解答】解：（1）12+22+32+42+52= =55．
6
n(n+1)(2n+1)
（2）12+22+32+…+n2= ．
6
（3）512+522+…+992+1002
＝（12+22+…+992+1002）﹣（12+22+…+492+502）
100×101×201 50×51×101
= −
6 6
＝338350﹣42925
＝295425
5×6×11 n(n+1)(2n+1)
故答案为： =55； ．
6 6
5．（2023秋•射阳县期末）先观察下列各式，再完成题后问题：1 1 1 1 1 1 1 1 1
= − ； = − ； = − ．
2×3 2 3 3×4 3 4 4×5 4 5
1
（1）①请仿照上面各式的结构写出： = ；
5×6
1 1 1 1
② + + +⋯+ = ；（其中，n为整数，且满足n≥1）
1×2 2×3 3×4 n(n+1)
1 1 1 1 1 1 1 1
（2）运用以上方法思考：求 + + + + + + + 的值．
4 12 24 40 60 84 112 144
【分析】（1）①直接利用已知将原式分成两分数的差即可；
②利用已知中规律将原式化简求出答案；
1
（2）首先提取 ，进而利用已知规律化简求出答案．
2
1 1 1
【解答】解：（1）① = − ；
5×6 5 6
1 1
故答案为： − ；
5 6
1 1 1 1 1
②原式=1− + − +...+ −
2 2 3 n n+1
1
=1−
n+1
n
= ；
n+1
n
故答案为： ；
n+1
1 1 1 1 1 1
（2）原式= ×( + + +...+ + )
2 2 6 12 56 72
1 1 1 1 1 1
= ×( + + +...+ + )
2 1×2 2×3 3×4 7×8 8×9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ×(1− + − + − +...+ − + − )
2 2 2 3 3 4 7 8 8 9
1 1
= ×(1− )
2 9
4
= ．
9
6．（2024秋•舒城县期末）请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题．
13＝1213+23＝9＝32＝（1+2）2
13+23+33＝36＝62＝（1+2+3）2
13+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2
（1）13+23+33+…+103＝
（2）13+23+33+…+203＝
（3）13+23+33+…+n3＝
（4）计算：113+123+133+…+203的值．
【分析】根据已知一系列等式，得出一般性规律，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）13+23+33+…+103＝3025；
（2）13+23+33+…+203＝44100；
n2 (n+1) 2
（3）13+23+33+…+n3= ；
4
（4）113+123+133+…+203＝44100﹣3025＝41075．
n2 (n+1) 2
故答案为：（1）3025；（2）44100；（3） ；（4）41075．
4
【考点10 有理数中的幻方问题】
1．（2024春•莆田期末）将﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每
个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于n，则n的最大值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
①+②
【分析】先求出所有数字之和，得出 15+①+②＝3n，且n为整数，则n=5+ ，进而推出当
3
①+②＝3+6＝4+5＝9时，n有最大值，即可解答．
【解答】解：﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5+6＝15，
∵所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于n，
∴15+①+②＝3n，且n为整数，
①+②
整理得：n=5+ ，
3∴当①+②最大时，n有最大值，
∵n为整数，
∴当①+②＝3+6＝4+5＝9时，n有最大值，
9
此时n=5+ =8，
3
故选：A．
2．（2024春•荆门期末）如图，若各行、各列、各条斜线上的三个数之和相等，则图中 a处应填的数为（
）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】根据各行、各列、各条斜线上的三个数之和相等，由最右边一列之和把表格填完，列出关于a
的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：观察可得：最右边一列之和为a+3+17＝a+20，
最中间的数为a+20﹣（1+17）＝a+20﹣18＝a+2，
左下边的数为a+20﹣（a+2+3）＝a+20﹣a﹣5＝15，
最下边第二个数为a+20﹣（15+a）＝a+20﹣a﹣15＝3，
等于最下边一行之和，即3+17+a＝a+15+5，
根据题意补全表格，如图所示：
b+13+3＝a+20，b+a+2+a＝a+20，
整理得：b＝a+4，b＝18﹣a，即a+4＝18﹣a，
解得：a＝7．
故选：A．3．（2023秋•锡山区期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，
将﹣6，8，﹣10，12，﹣14，16，﹣18，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶
点处圈内4个数字之和都相等，则a+b的值为（ ）
A．﹣28或﹣10 B．﹣28或10 C．2或﹣2 D．2或﹣16
【分析】根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定b
＝﹣6或b＝8，从而求出d的值，即可求解．
【解答】解：∵﹣6+8﹣10+12﹣14+16﹣18+20＝8，
∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，
∴﹣14+12+16+a＝4，
∴a＝﹣10，
∵12+8+a+c＝4，b+16﹣14+d＝4，
∴c＝﹣6，b+d＝2，
∴b＝﹣18或b＝20，
当b＝﹣18时，d＝20，此时a+b＝﹣10﹣18＝﹣28，
当b＝20时，d＝﹣18，此时a+b＝﹣10+20＝10．
∴a+b的值为﹣28或10．
故选：B．4．（2023秋•朝阳区期末）对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图1是一个幻方的图案，其中9个格
中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是
15．如图2是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的 3个数的和
都相等，那么正中间的方格中的数字为（ ）
A．5 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】由题意推出0+（﹣1）＝中间的数+（﹣2），即可得到答案．
【解答】解：∵同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，
∴0+（﹣1）＝中间的数+（﹣2），
∴那正中间的方格中的数字为1．
故选：B．
5．（2023秋•商南县校级期末）爱动脑筋的小青同学设计了一种“幻圆”游戏，将﹣1、2、﹣3、4、﹣
5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4、
6、﹣7、8这四个数填入了圆圈，则图中b的值为（ ）A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣5
【分析】根据横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等进行列式计算即可．
【解答】解：∵﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
∴内，外两个圈上的4个数之和都是2，横、竖以的4个数字之和也都是2，
∴﹣7+6+b+8＝2，
解得b＝﹣5．
故选：D．
6．（2023秋•潢川县期末）在如图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的
边长为2的大三角形称为一个“单元”，现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中
的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是 23，若2，4，
5，a已填入图中，位置如图所示，则a表示的数是 ．
【分析】根据每个“单元”中的四个数之和都是23可得x+y＝16，再由4+a+x+y＝23即可求出a的值．
【解答】解：如图，
由题意得，x+y+2+5＝23，
∴x+y＝16，
又∵4+a+x+y＝23，
即4+a+16＝23，∴a＝3，
故答案为：3．
7．（2023秋•汉川市期末）我国古老的幻方如图1，就是将1～9的9个整数分别填入在3×3的网格中，使
每一横行，每一竖行以及两条斜对角线上的3个数的和相等．如图2，现将1～25的25个整数分别填入
5×5的网格中，也能满足上述类似要求，使每一横行，每一竖行以及两条斜对角线上的 5个数的和相
等，但其中有未完成的空格，则空格中m+n的值为 ．
【分析】设最左侧一列最下面的空格为a，根据题意可得：17+23+10+a＝6+13+20+22，求出a值后可得
5个数的和为65，进而求出m、n即可．
【解答】解：设最左侧一列最下面的空格为a，根据题意可得：17+23+10+a＝6+13+20+22，
解得：a＝11，
∴5个数的和为：11+18+25+2+9＝65，
∴n＝65﹣10﹣12﹣19﹣3＝21，
∴m＝65﹣17﹣13﹣21﹣9＝5，
∴m+n＝21+5＝36．
故答案为：26．
【考点11 有理数中的新定义问题】
1．（2024春•梓潼县期末）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义；{x}
＝x﹣[x]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{2.1}+{﹣3.6}﹣{5}＝ 0. 5 ．
【分析】根据题意列出计算式解答即可．
【解答】解：{2.1}+{﹣3.6}﹣{5}
＝2.1﹣2+[（﹣3.6）﹣（﹣4）]﹣（5﹣5）
＝0.1+0.4﹣0
＝0.5．
故答案为：0.5．2．（2023秋•莲池区期末）定义一种对正整数n的“F运算”：
①当n为奇数时，结果为3n﹣1；
n n
②当n为偶数时，结果为 （其中k是使 为奇数的正整数），并且运算重复进行．
2k 2k
例如n＝12，第一次“F运算”的结果是3；第二次“F运算”的结界是8；第三次“F运算”的结果是
1．若n＝171，则：
（1）第一次“F运算”的结果为 ．
（2）照这样运算下去．第2024次“F运算”的结果为 ．
【分析】（1）根据所给的运算进行求解即可；
（2）运算出前几次的结果，找到存在的规律进行求解即可．
【解答】解：（1）当n＝171时，
第一次运算的结果为：3×171﹣1＝513﹣1＝512，
故答案为：512；
512
（2）第二次运算的结果为： =1，
29
第三次运算的结果为：3×1﹣1＝2，
2
=
第四次运算的结果为： 1，
21
第五次运算的结果为：3×1﹣1＝2，
…，
则从第2次开始以1，2这两个数循环出现，
∵（2024﹣1）÷2＝1011……1，
∴第2024次运算的结果为：1．
故答案为：1．
3．（2023秋•槐荫区期末）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进
制数，只需将该数写为若干个2n的数字之和，依次写出1或0即可．如十进制数字19可以写为二进制
数字10011，因为19＝16+2+1＝1×24+0×23+0×22+1×21+1×20；37可以写为二进制数字100101，因为37
＝32+4+1＝1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+1×20，则十进制数字70是二进制下的（ ）
A．7位数 B．6位数 C．5位数 D．4位数
【分析】根据70＝64+4+2，然后进行计算即可解答．
【解答】解：70＝64+4+2
＝1×26+0×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20，∴十进制数字70写为二进制数字1000110，
∴十进制数字70是二进制下的7位数，
故选：A．
4．（2023秋•沙坪坝区校级月考）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化
的方法解决一些数学问题，比如|x ﹣x |表示在数轴上数x ，x 对应的点之间的距离．现定义一种“F运
1 2 1 2
算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对﹣1，1，2进行
“F运算”，得|﹣1﹣1|+|﹣1﹣2|+|1﹣2|＝6．下列说法：
①对m，﹣1进行“F运算”的结果是3，则m的值是2；
②若2＜x＜y，对于2，x，y进行“F运算”的结果是8，则y的值是8；
③对a，b，c进行“F运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式．
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；
②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；
③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定．
【解答】解：①由题意，|m+1|＝3，可得m＝2或﹣4，故①错误；
②由题意|y﹣x|+|y﹣2|+|x﹣2|＝8，
∵2＜x＜y，
∴y﹣x+y﹣2+x﹣2＝8，
∴y＝6，
故②错误；
③对a，b，c进行“差绝对值运算”得：|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|，
当a﹣b≥0，a﹣c≥0，b﹣c≥0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝a﹣b+a﹣c+b﹣c＝2a﹣2c，
当a﹣b≥0，a﹣c≥0，b﹣c≤0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝a﹣b+a﹣c﹣b+c＝2a﹣2b，
当a﹣b≥0，a﹣c≤0，b﹣c≤0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝a﹣b﹣a+c﹣b+c＝2c﹣2b，
当a﹣b≤0，a﹣c≤0，b﹣c≤0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣a+c﹣b+c＝﹣2a+2c，
当a﹣b≤0，a﹣c≥0，b﹣c≥0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣a+b+a﹣c+b﹣c＝2b﹣2c，
当a﹣b≤0，a﹣c≤0，b﹣c≥0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣a+c+b﹣c＝﹣2a+2b，
a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，
故③正确；
故选：B．5．（2023秋•崇左月考）定义一种运算符号“★”：a★b＝b2﹣ab，如：1★（﹣2）＝（﹣2）2﹣1×（﹣
2）＝6．
计算：（1）（﹣3）★（﹣5）；
1 1
（2）[（− ）★4]★ ．
2 3
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式括号中利用题中的新定义化简，再利用新定义计算即可求出值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
（﹣3）★（﹣5）＝（﹣5）2﹣（﹣3）×（﹣5）
＝25﹣15
＝10；
（2）根据题中的新定义得：
1 1
[（− ）★4]★
2 3
1 1
＝[42﹣4×（− ）]★
2 3
1
＝18★
3
1 1
＝（ ）2﹣18×
3 3
1
= −6
9
53
=− ．
9
6．（2023秋•江州区期末）[新定义运算]：如果ab＝N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对
数，记作log N＝b，例如：因为53＝125，所以log 125＝3；因为112＝121，所以log 121＝2．
a 5 11
1
（1）填空：log 3＝ ，log = ；
3 0.516
（2）如果log |m﹣4|＝2，求m的值；
5
（3）若log 27+log x＝log 32，求2（x﹣1）的值．
3 4 2
【分析】（1）根据“如果ab＝N（a＞0，a≠1，N＞0），则log N＝b”进行解答即可；
a
（2）根据新定义的运算，得出|m﹣4|＝25，再根据绝对值的定义求出答案即可；
（3）根据新定义的运算求出log 27＝3，log 32＝5，进而得到log x＝2，再根据新定义运算求出结果即
3 2 4可．
【解答】解：（1）∵31＝3，
∴log 3＝1，
3
1 1 1
又∵0.5= ，而（ ）4= ，
2 2 16
1
∴log = 4，
0.516
故答案为：1，4；
（2）∵log |m﹣4|＝2，
5
∴|m﹣4|＝25，
解得m＝29或m＝﹣21，
答：m的值为29或﹣21；
（3）∵33＝27，25＝32
∴log 27＝3，log 32＝5，
3 2
∵log 27+log x＝log 32，即3+log x＝5，
3 4 2 4
∴x＝16，
当x＝16时，2（x﹣1）＝2×（16﹣1）＝30．
7．（2023秋•内乡县期末）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的商的运算
叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写
作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的
圈4次方”．一般地，把 a÷a÷a⋯÷a 记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．
¿
【初步探究】（1）直接写出计算结果：2023②＝ ；
（2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么
有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝ ；1
（4）计算：﹣1⑧﹣142÷（− ）④×（﹣7）⑥．
2
【分析】（1）利用a的圈n次方的意义，进行计算即可解答；
（2）利用a的圈n次方的意义，逐一判断即可解答；
（3）根据的圈n次方的意义计算即可；
（4）利用（3）的结论，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）2023②＝2023÷2023＝1，
故答案为：1；
（2）A．因为a2＝a÷a＝1（a≠0），所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确；
1
B．因为a3＝a÷a÷a= （a≠0），所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确；
a
C．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1，说法错误，（﹣1）②＝1；
D．根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果
是正数，正确；
故答案为：ABD；
1 1 1 1 1
（3）aⓝ＝a÷a÷a÷…÷a＝a• • • •…• =（ ）n﹣2，
a a a a a
1
故答案为：（ ）n﹣2；
a
1
（4）原式＝﹣1﹣196÷4×
74
1
＝﹣1﹣49×
2401
1
＝﹣1−
49
1
＝﹣1 ．
49
【考点12 数轴中的动点问题】
1．（2023秋•小店区校级月考）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意
一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝ ；
（2）若AP+BP＝8，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会
随着t的变化而变化？请说明理由．
【分析】（1）观察数轴，可得答案；
（2）根据点P在点A左侧或点P在点A右侧，分别列式求解即可；
（3）分别用含t的式子表示出BP和AP，再计算4BP﹣AP，即可得答案．
【解答】解：（1）由数轴可得：若AP＝BP，则x＝1；
故答案为：1；
（2）∵AP+BP＝8，
∴若点P在点A左侧，则﹣1﹣x+3﹣x＝8，
∴x＝﹣3，
若点P在点A右侧，则x+1+x﹣3＝8，
∴x＝5，
∴x的值为﹣3或5．
（3）BP＝5+3t﹣（3+2t）＝t+2，
AP＝t+6+3t＝4t+6，
∴4BP﹣AP＝4（t+2）﹣（4t+6）＝2，
∴4BP﹣AP的值不会随着t的变化而变化．
2．（2023秋•广陵区校级月考）如图，数轴上，O点与C点对应点的数分别是0、60，将一根质地均匀的
直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B
点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
（1）直尺AB的长为 个单位长度；
（2）若直尺AB在数轴上，且满足B点与C点的距离等于B点与O点距离的3倍时，此时A点对应的
数为 ；
（3）当A点对应的数为20时，作为起始位置，直尺AB以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动，同时
点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒．
①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，则m的值为 ；
②当t＝15时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，请直接写出所有满足条件的 m
的值．【分析】（1）根据题意可得OA＝AB＝BC，即得AB＝20；
1 1
（2）根据AB＝20，OC＝60，BC＝3OB，即得OB＝60× =15或OB＝60× =30，进而求得A点表
1+3 2
示的数；
60−40
（3）①B、C重合时t= =10，即得10m＝60﹣20，故m＝4；
2
②t＝15时，运动后B表示的数是40+15×2＝70，P表示的数是20+15m，C表示的数是60，分五种情
况：（Ⅰ）当B是P、C中点时，（Ⅱ）当B与P重合时，（Ⅲ）当P是B、C中点时，（Ⅳ）当P与
C重合时，（Ⅴ）当C是P、B中点时，分别列出方程，即可解得答案．
【解答】解：（1）∵当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，
∴AB＝BC，
∵当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
∴OA＝AB，
∴OA＝AB＝BC，
∵OC＝60，
1
∴AB＝60× =20，
3
故答案为：20；
（2）∵OC＝60，
∴OB+BC＝60或BC﹣OB＝60，
∵BC＝3OB，
1
∴OB= ×60＝15或OB＝30，
1+3
∴A点对应的数是15﹣20＝﹣5或﹣30﹣20＝﹣50，
即A点对应的数是﹣5或﹣50；
（3）①当A点对应的数为20时，
∴B运动前表示的数是20+20＝40，
∵直尺AB以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动，
∴B、C重合时t＝（60﹣40）÷2＝10（秒），∵点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，若B、P、C三点恰好在同一时刻重
合，
∴10m＝60﹣20，
∴m＝4，
故答案为：4；
②t＝15时，运动后B表示的数是40+15×2＝70，P表示的数是20+15m，C表示的数是60，
（Ⅰ）当B是P、C中点时，
依题意有20+15m+60＝70×2，
解得m＝4；
（Ⅱ）当B与P重合时，
依题意有20+15m＝70，
10
解得m= ；
3
（Ⅲ）当P是B、C中点时，
依题意有70+60＝2（20+15m），
解得m＝3；
（Ⅳ）当P与C重合时，20+15m＝60；
8
解得m= ，
3
（Ⅴ）当C是P、B中点时，
依题意有20+15m+70＝60×2，
解得m＝2．
8 10
综上所述，m的值是2或 或3或 或4．
3 3
3．（2023秋•榆树市月考）如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是﹣3，点N在点M的右边，且
距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点．
（1）求出点N所对应的数；
（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数；
（3）若点P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运
动3个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点
P、Q分别对应的数．【分析】（1）根据数轴表示数的意义，由点M表示的数是﹣3，点N在点M的右侧且MN＝4，可确定
点N所表示的数；
（2）因为MN＝4，因此点P不可能在点M、N之间，所以分两种情况进行解答，即点P在点M的左
侧，在点N的右侧，设未知数，利用数轴上两点距离的计算方法列方程求解即可；
（3）设Q移动的时间为t s，用含有t的代数式表示移动后点P、Q所表示的数，再根据两点距离计算
方法列方程求出时间t，最后再计算所表示的数．
【解答】解：（1）∵点M表示的数是﹣3，点N在点M的右侧且MN＝4，
∴点N所表示的数为﹣3+4＝1，
答：点N所表示的数为1；
（2）因为MN＝5，因此点P不可能在点M、N之间，
当点P在点M的左侧时，设点P所表示的数为x，则PM＝﹣3﹣x，PN＝1﹣x，
由PM+PN＝5得，﹣3﹣x+1﹣x＝5，
解得x＝﹣3.5，
当点P在点N的右侧时，设点P所表示的数为y，则PM＝y+3，PN＝y﹣1，
由PM+PN＝5得，y+3+y﹣1＝5，
解得y＝1.5，
所以当点P到点M，N的距离之和是5个单位时，点P所对应的数是﹣3.5或1.5；
（3）点P从点M向左移动5s后所对应的数为﹣3﹣2×5＝﹣13，
设点Q移动的时间为t s，则点P所对应的数为（﹣13﹣2t），点Q所对应的数为（1﹣3t），
①当点Q在点P的右侧时，有（1﹣3t）﹣（﹣13﹣2t）＝2，
解得t＝12，
此时点P所表示的数为﹣13﹣2×12＝﹣37，点Q所表示的数为1﹣3×12＝﹣35，
②当点Q在点P的左侧时，有（﹣13﹣2t）﹣（1﹣3t）＝2，
解得t＝16，
此时点P所表示的数为﹣13﹣2×16＝﹣45，点Q所表示的数为1﹣3×16＝﹣47，
答：当P，Q两点相距2个单位长度时，点P，Q对应的数为﹣37，﹣35或﹣45，﹣47．
4．（2023秋•乐清市月考）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两
点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
t（t＞0）秒．（1）数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．
求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【分析】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表
示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀
速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则6t＝10+4t，然后解方
程得到t＝5；
②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10+4a﹣6a＝8；超过Q，则10+4a+8＝6a；由此求
得答案解即可．
【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA＝6，
则OB＝AB﹣OA＝4，
点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为﹣4；
点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，
根据题意得6t＝10+4t，
解得t＝5，
答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；
②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，
当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1；
当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9；
答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．5．（2023秋•翁源县月考）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为﹣10、5、15，点P为数轴上一动
点，其对应的数为x．
（1）点A到点C的距离为 ；
（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出x的
值；若不存在，请说明理由；
（3）设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一
运动过程中，求出S的最大值与最小值．
【分析】（1）利用两点间距离公式即可求解；
（2）当P点在A点的左侧（含A点）时：得方程﹣10﹣x+5﹣x＝25；当P点在A点和B点的之间（含
B点）时：x﹣（﹣10）+5﹣x＝25；当P点在B点的右侧时：x﹣（﹣10）+x﹣5＝25，解方程即可；
（3）设点P表示的数为x，则点P到A、B、C的距离和等于PA+PB+PC，得PA+PB+PC＝AC+PB＝
25+PB，分析出PB的最值即可．
【解答】解：（1）AC＝15﹣（﹣10）＝25，
∴点A到点C的距离为25，
故答案为：25；
（2）存在，设点P表示的数为x，
当P点在A点的左侧（含A点）时：﹣10﹣x+5﹣x＝25，
解得：x＝﹣15，
当P点在A点和B点的之间（含B点）时：x﹣（﹣10）+5﹣x＝25，
解得：无解；
当P点在B点的右侧时：x﹣（﹣10）+x﹣5＝25，
解得：x＝10，
∴数轴上存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度，当x＝﹣15或10，使得点P到
点A、点B的距离之和为25单位长度；
（3）由题意得点P到A、B、C的距离和等于PA+PB+PC，
∵点P在点A、C之间，
∴PA+PB+PC＝AC+PB＝25+PB，
当点P与点A重合时，PB最大，此时PB＝5﹣（﹣10）＝15，∴PA+PB+PC的最大值为25+15＝40，
当点P与点B重合时，PB最小，此时PB＝0，
∴PA+PB+PC的最小值为25，
∴S的最大值为40，最小值为25．
6．（2023秋•碑林区校级月考）如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数
轴上表示的数是﹣12，点C在数轴上表示的数是14．
（1）若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数
是 ；
（2）若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单
位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运
动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个
单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 个单位长度；
（3）若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左
BD−AP
匀速运动．点P是线段AB＝2上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式 =2，若
PC
存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点P的位置进行分类讨论即可．
（2）设运动时间为t，根据M，N两点间的距离为12个单位长度即可解决问题．
（3）根据题意建立方程，并进行分类讨论即可解决问题．
【解答】解：（1）设点P对应的数为x，
当P在A、D两点之间时，PA+PD＝30，不存在满足条件的P点，
当点P在点A的左侧时，﹣12﹣x+（18﹣x）＝34，解得x＝﹣14；
当点P在点A的右侧时，x﹣（﹣12）+（x﹣18）＝34，解得x＝20．
故答案为：﹣14或20．
（2）设运动t秒时，M，N两点相距12个单位长度，
此时点M所对应的数为：﹣12+2t，
点N所对应的数为：18﹣4t．
当点M和点N相遇前，
则18﹣4t﹣（﹣12+2t）＝12，解得t＝3，
又因为点P的速度为3单位每秒，
所以点P移动的路程为：3×3＝9个单位长度．
当点M和点N相遇后，
因为点N速度比点P速度快，
所以此种情况不存在．
故答案为：9．
（3）设运动的时间为a秒，
因为点B运动到线段CD上，
则3a+a＝14﹣（﹣10），
解得a＝6，
3a+a＝18﹣（﹣10），
解得a＝7，
所以6≤a≤7．
设点P所对应的数为m，
由点P是线段AB上一点得，
﹣12≤m≤﹣10．
则BD＝18﹣（﹣10）﹣3a﹣a＝28﹣4a，
AP＝m﹣（﹣12）＝m+12，
PC＝14﹣a﹣（m+3a）＝﹣m﹣4a+14或m+3a﹣（14﹣a）＝m+4a﹣14．
当PC＝﹣m﹣4a+14时，
28−4a−(m+12)
=2，
−m−4a+14
整理得m+4a＝12，
又因为PD＝18﹣a﹣（m+3a）＝18﹣（m+4a），
所以PD＝18﹣12＝6．
当PC＝m+4a﹣14时，
44
同理可求得m+4a= ，
3
又因为PD＝18﹣（m+4a），
44 10
所以PD＝18− = ．
3 310
故线段PD的长为：6或 ．
3
7．（2023秋•崇川区校级月考）阅读并解决相应问题：
（1）问题发现：
在数轴上，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与
1
点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n节点”．如图1，若点P表示的数为 ，有点
2
5 5
P到点A的距离与点P到点B的距离之和为 + =5，则称点P为点A、B的“5节点”．填空：
2 2
①若点P表示的数为0，则n的值为 ．
②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为A、B的“5节点”，请直接写出整点P所表示的数．
（2）类比探究：
如图2，若点P为数轴上一点，且点P到点A的距离为1，请你求出点P表示的数及n的值，并说明理
由．
（3）拓展延伸：
在（1）（2）的条件下，若点P在数轴上运动（不与点A、B重合），满足点P到点B的距离等于点P
2
到点A的距离的 ，且此时点P为点A、B的“n的节点”，求点P表示的数及n的值，并说明理由．
3
【分析】（1）①根据“n节点“定义可得答案；
②由P为A、B的“5节点”，可知P在线段AB上，故整点P所表示的数是﹣2，﹣1，0，1，2，3；
（2）分点P在A左侧和右侧两种情况可得答案；
2
（3）设点P表示的数是x，分两种情况：当P在线段AB上时，3﹣x= （x+2），当P在线段B右侧
3
2
时，x﹣3= （x+2），解方程即可得到答案．
3
【解答】解：（1）①∵点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为2+3＝5，
∴n＝5，故答案为：5；
②∵P为A、B的“5节点”，
∴PA+PB＝5，即P在线段AB上，
∴整点P所表示的数是﹣2，﹣1，0，1，2，3；
（2）∵﹣2+1＝﹣1，﹣2﹣1＝﹣3，
∴点P表示的数是﹣1或﹣3，
当点P表示的数是﹣1时，PA+PB＝1+4＝5，即n＝5，
当点P表示的数是﹣3时，PA+PB＝1+6＝7，
∴n的值为5或7；
综上所述，点P表示的数是﹣1，n＝5或点P表示的数是﹣3，n＝7；
（3）设点P表示的数是x，
当P在线段AB上时，PA＝x﹣（﹣2）＝x+2，PB＝3﹣x，
2
∴3﹣x= （x+2），
3
解得x＝1，
∴点P表示的数是1，此时n＝1﹣（﹣2）+3﹣1＝5；
当P在线段B右侧时，PA＝x﹣（﹣2）＝x+2，PB＝x﹣3，
2
∴x﹣3= （x+2），
3
解得x＝13，
∴点P表示的数是13，此时n＝13﹣（﹣2）+13﹣3＝25；
综上所述，点P表示的数是1，n＝5或点P表示的数是13，n＝25．
