文档内容
专题 2.2 有理数的运算全章十二类必考点
【人教版2024】
【考点1 绝对值和乘方的非负性】..........................................................................................................................1
【考点2 由绝对值的性质化简】..............................................................................................................................1
【考点3 有理数中的综合求值】..............................................................................................................................2
【考点4 绝对值中的分类讨论】..............................................................................................................................3
【考点5 由绝对值的几何意义求最值】..................................................................................................................3
【考点6 结合数轴判断相关结论】..........................................................................................................................4
【考点7 有理数的实际应用】..................................................................................................................................5
【考点8 数轴、乘方中的规律问题】......................................................................................................................7
【考点9 数式规律计算探究题】..............................................................................................................................8
【考点10 有理数中的幻方问题】..........................................................................................................................10
【考点11 有理数中的新定义问题】......................................................................................................................12
【考点12 数轴中的动点问题】..............................................................................................................................14
【考点1 绝对值和乘方的非负性】
1．（2024•雨花台区模拟）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2024的值是（ ）
A．﹣2024 B．0 C．1 D．2024
2．（2023秋•博兴县期末）若5|2m﹣12|+4（n+3）4＝0，则m+n的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023秋•沈丘县期末）如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（ ）
A．2023 B．4046 C．20 D．0
4．（2023秋•肥城市期末）当式子（x+3）2+|y﹣4|+2取最小值时，xy＝ ．
3
5．（2023秋•崇川区期末）已知有理数 a，b，c满足等式|a|+ =1﹣c，|b﹣1|＝c，且c是整数，则式子
4
2a+3b﹣4c的值等于 ．
1 1
6．（2024秋•雨花区校级月考）若（a+b）2+|b+47 |＝b+47 ，且8a﹣11b+1＝0，则ab＝ ．
4 4
【考点2 由绝对值的性质化简】
1．（2024秋•苏州期末）若﹣3＜x＜﹣1，则化简|2﹣|1﹣x||等于 ．|b|
2．（2024秋•姜堰区期中）已知|a|+a=0， =−1，|c|=c，化简：|a+2b|﹣|c﹣a|+|﹣b﹣a|＝
b
．
3．（2023秋•临江市期末）若ac＜0，ab＞0，a+b＞0，|a|＜|b|＜|c|，则|a+c|+|a﹣b|﹣|c+b|＝ ．
4．（2023秋•万州区期末）设a，b，c为非零实数，且|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0．化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣
b|+|a﹣c|的结果是（ ）
A．b﹣2c B．b C．b﹣2a D．﹣2a
5．（2024春•海淀区校级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示
（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：
a+b 0，c﹣a 0，b+2 0；
（2）化简：|a+b|+2|c﹣a|﹣|b+2|．
6．（2023秋•镇赉县期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
（1）比较a，|b|，c的大小（用“＜”连接）；
（2）化简：|b﹣a|+|c﹣2|+|b+c|；
（3）若m＝|a+b|﹣|c﹣a|﹣|b﹣1|，求1﹣2022（m+c）2023的值．
【考点3 有理数中的综合求值】
1．（2023秋•小店区校级月考）若|m|+|n|＝13，|m+n|＝1，则m的值为 ．
3
2．（2023秋•崇川区期末）已知有理数 a，b，c满足等式|a|+ =1﹣c，|b﹣1|＝c，且c是整数，则式子
4
2a+3b﹣4c的值等于 ．
3．（2023秋•闽清县期末）已知有理数m，n，p满足|m+n+p﹣3|＝m+n﹣p+5，则（m+n+1）（p﹣4）＝
．
4．（2024春•崇明区校级期中）若|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c．计算a+b﹣c的
值．
5．（2024 春•南岗区校级月考）已知 a 和 b 是非 0 的相反数，c 和 d 互为倒数，|m|＝2．求
a 2024 cd
m3−( ) + −5m的值．
b 2
6．（2024秋•定南县期中）已知a，b互为倒数，c能够使得（c﹣3）2+6有最小值，d＜0，且|d﹣3|＝4，c2+3d3
求（﹣ab）2021− 的值．
ab+5
【考点4 绝对值中的分类讨论】
1．（2023秋•抚州期末）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
2．（2023秋•南充期末）已知a、b、c都为整数，且满足|a﹣b|2023+|b﹣c|2024＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|﹣|a﹣c|的
结果为（ ）
A．0 B．0或1 C．1 D．1或2
|a| |b| |c| |abc|
3．（2023秋•龙泉驿区期末）已知有理数a，b，c满足 + + =−1，则 = ．
a b c abc
a b c abc
4．（2023秋•上饶期中）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，且abc≠0，则 + + + =
|a| |b| |c| |abc|
．
|a+b| |b+c| 3|c+a|
5．（2023秋•新吴区校级月考）已知：m= + + 且abc＞0，a+b+c＝0．则m共有
c a b
x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝ ．
6．（2023秋•江北区期末）若a、b、c为整数，且|a﹣b|+（c﹣a）2024＝1，则|c﹣a|+2|a﹣b|+3|b﹣c|＝
．
{ x，x＞0 ) |x| x
7．（2023秋•闽侯县期末）阅读下列材料：|x|= 0，x=0 ，即当x＞0时， = =1，当x＜0时，
x x
−x，x＜0
|x| −x
= =−1，运用以上结论解决下面问题：
x x
|m| |n|
（1）已知m，n是有理数，当mn＞0时，则 − = ；
m n
|m| |n| |t|
（2）已知m，n，t是有理数，当mnt＜0时，求 − − 的值；
m n t
|m| |n| |t|
（3）已知m，n，t是有理数，m+n+t＝0，且mnt＜0，求 − − 的值．
n+t m+t m+n
【考点5 由绝对值的几何意义求最值】
5 1 2
1．（2023秋•郫都区校级期中）|x﹣4|+|x+2|的最小值为 ；| x﹣1|+| x﹣1|+| x﹣1|的最小值为
6 2 3
．
2．（2023秋•雁塔区校级月考）若|x+1|+|x﹣a|的最小值是5，则a的值是 ．3．（2023秋•锦江区校级期中）设a＝|x﹣3|，b＝|x﹣1|，c＝|x+12|，则3a+b+c的最小值是 ．
4．（2023秋•休宁县期中）已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x﹣y的最大值是 ．
5．（2023秋•鼓楼区校级月考）若（|x﹣2|+|x+3|）×（|y+2|+|﹣4﹣y|）＝10，则x﹣y的最大值为 ．
6．（2024春•鄞州区校级期末）实数a、b满足|a+1|+|a+3|+|b+2|+|b﹣5|＝9，记代数式2ab+2a+b的最大值
为m，最小值为n，则m+n的值为（ ）
A．﹣25 B．﹣27 C．﹣29 D．﹣31
7．认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如：|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之
间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所
以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，A，B两点在数轴上分别表示数a，b，那么A，B
两点之间的距离可表示为|a﹣b|．
（1）如果A，B，C三点在数轴上分别表示数x，﹣2，1，那么A，B两点之间的距离与A，C两点之间
的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）；
（2）利用数轴探究：
①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的值是 ；
②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的取值在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小
值，这个最小值是 ，当x的取值在 的范围时，|x|+|x﹣2|＝的最小值是 ；
（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值；
（4）若|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|≥a对任意x的值都成立，求a的最大值；
（5）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|++…+|x﹣2023|的最小值；
（6）求3|x﹣1|+|x﹣4|的最小值．
【考点6 结合数轴判断相关结论】
1．（2023秋•洪山区校级月考）如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．（c﹣a）b＞0 C．c（a﹣b）＞0 D．（b+c）a＞0
2．（2023春•南岗区校级期中）有理数m、n在数轴上的位置如图，则下列关系式正确的个数有（ ）
1 1
①m+n＜0；②n﹣m＞0；③2m﹣n＞0；④﹣n﹣m＞0；⑤ ＞− ．
m nA．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022秋•越秀区校级期中）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：
①（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＜0，
②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；
③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；
④|a|＜1﹣bc．
其中正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2023秋•大埔县期中）如图所示，已知A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，则下列式子成立的
有（ ）
①|a+2b|＝a+2b；②|a﹣2b|＝2b﹣a；③（b﹣1）（a+1）＞0；④﹣a2b3＞0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023秋•澄迈县校级月考）a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①a+b＞0；
②a+b＞a+c；③b﹣c＞a﹣c；④a﹣b＞a﹣c．其中正确的有 （填上序号）．
6．（2023秋•德清县期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①（a﹣1）
（b﹣1）＞0；②（a﹣1）（b+1）＜0；③（a+1）（b+1）＞0；④（a+1）（b﹣1）＜0．其中正确
式子的序号是 ．
【考点7 有理数的实际应用】
1．（2023秋•望江县期末）某检修小组从 A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为
正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：km）
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
﹣4 +7 ﹣9 +8 +6 ﹣5 ﹣2
（1）求收工时距A地多远？
（2）在第 次纪录时距A地最远．（3）若每km耗油0.4升，问共耗油多少升？
2．（2023秋•海陵区校级月考）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源
汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如
表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 +21 +22 +30 +33
（1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 km；
（2）请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？
（3）已知汽油车每行驶100km需用汽油6升，汽油价9元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15
度，每度电为0.6元，请估计小明家换成新能源汽车后一个月（按30天计算）的行驶费用比原来节省多
少钱？
3．（2023秋•雁峰区月考）成章实验中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，排球垫球比赛，
如表为七年级某班50人参加排球垫球比赛的情况，若标准数量为每人垫球28个．
垫球个数与标 ﹣12 ﹣5 0 8 10 15
准数量的差值
人数 5 16 11 5 9 4
（1）求这个班50人平均每人垫球多少个？
（2）规定垫球达到标准数量记0分，规定垫球超过标准数量，每多垫1个加2分；规定垫球未达到标
准数量，每少垫1个，扣1分，求这个班垫球总共获得多少分？
4．（2023秋•萨尔图区校级期末）出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向
南记作“+”，向北记作“﹣”，他这天下午行车情况如下：（单位：千米）
﹣2，+5，﹣8，﹣3，+6，﹣6．
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多
远？
（2）若出租车每公里耗油0.3升，求小王回到出发地共耗油多少升？
（3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，
除收起步价外，超过的每千米（不足1千米按1千米计算）还需收4元钱，小王今天是收入是多少元？
5．（2024秋•方城县期中）某自行车厂一周内计划平均每天生产200辆自行车，由于种种原因，实际每天
生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产量/辆 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣10 +16 ﹣9（1）根据记录的数据可知，该厂星期五生产自行车 辆．
（2）根据上表记录的数据可知，该厂本周实际生产自行车 辆．
（3）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另外
奖励15元，若完不成每天的计划量，则少生产一辆扣 20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少
元？
（4）若该厂实行每周计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成周计划工作量，则超过部
分每辆另外奖励15元，若完不成每周的计划量，则少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总
额是多少元？
【考点8 数轴、乘方中的规律问题】
1．（2023秋•苍溪县期末）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，
对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到 7条折痕，那么对折n次可以得（
）条折痕．
A．2n﹣1 B．n2﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1﹣1
1 1
2．（2023秋•海阳市期末）一根1m长的铜丝，第一次剪去铜丝的 ，第二次剪去剩下铜丝的 ，如此剪
4 4
下去，第2023次剪完后剩下铜丝的长度是（ ）
1 1
A．( ) 2023m B．( ) 2022m
4 4
3 3
C．( ) 2023m D．( ) 2022m
4 4
3．（2024•凉州区三模）等边三角形纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A，B对应的数分别为0和﹣
1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转第 1次后，点C所对应的数为1，则翻转
2023次后，点C所对应的数是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
4．（2023秋•安新县期末）如图，周长为4个单位长度的圆上四个等分点为P，Q，M，N，点P落在数轴
上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上﹣2023的点是（ ）A．M B．N C．P D．Q
5．（2024秋•梁溪区校级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序
运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，x 表示第n秒时机器人在数
n
轴上的位置所对应的数．给出下列结论：
①x ＝2；
4
②x ＝3；
7
③x ＜x ；
106 103
④x ＜x ；
2026 2023
其中，正确的结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①④ D．①②③④
6．（2023秋•大连期中）电子青蛙在数轴上的某点A 处，第一步从A 向右跳1个单位到A ，第二步从A
0 0 1 1
向左跳2个单位到A ，第三步从A 向右跳3个单位到A ，第四步从A 向左跳四个单位到A ，以此类
2 2 3 3 4
推，按以上规律跳了2023步时，电子青蛙恰好到达原点，则电子青蛙的初始点位置A 所表示的数字是
0
．
【考点9 数式规律计算探究题】
1．（2023秋•高邮市校级月考）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对
值符号去掉，例如：
|7﹣6|＝7﹣6；
|6﹣7|＝7﹣6；
1 1 1 1
| − |= − ；
2 3 2 3
1 1 1 1
| − |= − ．
3 2 2 3
观察上述式子的特征，解答下列问题：
（1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：
2 2
①| − |= ；
3 5
②|3.14﹣ |＝ ；
π（2）当a＞b时，|a﹣b|＝ ；当a＜b时，|a﹣b|＝ ；
1 1 1 1 1 1 1
（3）计算：| −1|+| − |+| − |+⋯+| − |．
2 3 2 4 3 2023 2022
2．（2024春•冠县期中）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，
将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014，
将下式减去上式得：2S﹣S＝22014﹣1，
即S＝22014﹣1，
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1．
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+22024；
（2）1+3+32+32+34+…+3n （其中n为正整数）．
3．（2024春•佛冈县期中）若n为正整数，观察下列各式：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
① = (1− )；② = ( − )；③ = ( − )．
1×3 2 3 3×5 2 3 5 5×7 2 5 7
根据观察计算并填空：
1 1 1
（1） + + = ．
1×3 3×5 5×7
1 1 1 1
（2） + + +⋯+ = ．
1×3 3×5 5×7 (2n−1)(2n+1)
1 1 1 1 1
（3）计算：(1− )(1− )(1− )×⋯×(1− )(1− )．
22 32 42 20232 20242
4．（2023秋•信州区期末）观察下列各式：
1×2×3 2×3×5 3×4×7 4×5×9
12= ；12+22= ；12+22+32= ；12+22+32+42= ；…
6 6 6 6
（1）根据你发现的规律，计算下面算式的值：12+22+32+42+52＝ ；
（2）请用一个含n的算式表示这个规律：12+22+32+…+n2＝ ；
（3）根据发现的规律，请计算算式512+522+…+992+1002的值（写出必要的解题过程）
5．（2023秋•射阳县期末）先观察下列各式，再完成题后问题：
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= − ； = − ； = − ．
2×3 2 3 3×4 3 4 4×5 4 5
1
（1）①请仿照上面各式的结构写出： = ；
5×61 1 1 1
② + + +⋯+ = ；（其中，n为整数，且满足n≥1）
1×2 2×3 3×4 n(n+1)
1 1 1 1 1 1 1 1
（2）运用以上方法思考：求 + + + + + + + 的值．
4 12 24 40 60 84 112 144
6．（2024秋•舒城县期末）请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题．
13＝12
13+23＝9＝32＝（1+2）2
13+23+33＝36＝62＝（1+2+3）2
13+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2
（1）13+23+33+…+103＝
（2）13+23+33+…+203＝
（3）13+23+33+…+n3＝
（4）计算：113+123+133+…+203的值．
【考点10 有理数中的幻方问题】
1．（2024春•莆田期末）将﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每
个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于n，则n的最大值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（2024春•荆门期末）如图，若各行、各列、各条斜线上的三个数之和相等，则图中 a处应填的数为（
）
A．7 B．6 C．5 D．4
3．（2023秋•锡山区期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，
将﹣6，8，﹣10，12，﹣14，16，﹣18，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶
点处圈内4个数字之和都相等，则a+b的值为（ ）A．﹣28或﹣10 B．﹣28或10 C．2或﹣2 D．2或﹣16
4．（2023秋•朝阳区期末）对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图1是一个幻方的图案，其中9个格
中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是
15．如图2是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的 3个数的和
都相等，那么正中间的方格中的数字为（ ）
A．5 B．1 C．0 D．﹣1
5．（2023秋•商南县校级期末）爱动脑筋的小青同学设计了一种“幻圆”游戏，将﹣1、2、﹣3、4、﹣
5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4、
6、﹣7、8这四个数填入了圆圈，则图中b的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣5
6．（2023秋•潢川县期末）在如图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”，现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中
的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是 23，若2，4，
5，a已填入图中，位置如图所示，则a表示的数是 ．
7．（2023秋•汉川市期末）我国古老的幻方如图1，就是将1～9的9个整数分别填入在3×3的网格中，使
每一横行，每一竖行以及两条斜对角线上的3个数的和相等．如图2，现将1～25的25个整数分别填入
5×5的网格中，也能满足上述类似要求，使每一横行，每一竖行以及两条斜对角线上的 5个数的和相
等，但其中有未完成的空格，则空格中m+n的值为 ．
【考点11 有理数中的新定义问题】
1．（2024春•梓潼县期末）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义；{x}
＝x﹣[x]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{2.1}+{﹣3.6}﹣{5}＝ ．
2．（2023秋•莲池区期末）定义一种对正整数n的“F运算”：
①当n为奇数时，结果为3n﹣1；
n n
②当n为偶数时，结果为 （其中k是使 为奇数的正整数），并且运算重复进行．
2k 2k
例如n＝12，第一次“F运算”的结果是3；第二次“F运算”的结界是8；第三次“F运算”的结果是
1．若n＝171，则：
（1）第一次“F运算”的结果为 ．
（2）照这样运算下去．第2024次“F运算”的结果为 ．
3．（2023秋•槐荫区期末）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进
制数，只需将该数写为若干个2n的数字之和，依次写出1或0即可．如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为19＝16+2+1＝1×24+0×23+0×22+1×21+1×20；37可以写为二进制数字100101，因为37
＝32+4+1＝1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+1×20，则十进制数字70是二进制下的（ ）
A．7位数 B．6位数 C．5位数 D．4位数
4．（2023秋•沙坪坝区校级月考）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化
的方法解决一些数学问题，比如|x ﹣x |表示在数轴上数x ，x 对应的点之间的距离．现定义一种“F运
1 2 1 2
算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对﹣1，1，2进行
“F运算”，得|﹣1﹣1|+|﹣1﹣2|+|1﹣2|＝6．下列说法：
①对m，﹣1进行“F运算”的结果是3，则m的值是2；
②若2＜x＜y，对于2，x，y进行“F运算”的结果是8，则y的值是8；
③对a，b，c进行“F运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式．
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2023秋•崇左月考）定义一种运算符号“★”：a★b＝b2﹣ab，如：1★（﹣2）＝（﹣2）2﹣1×（﹣
2）＝6．
计算：（1）（﹣3）★（﹣5）；
1 1
（2）[（− ）★4]★ ．
2 3
6．（2023秋•江州区期末）[新定义运算]：如果ab＝N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对
数，记作log N＝b，例如：因为53＝125，所以log 125＝3；因为112＝121，所以log 121＝2．
a 5 11
1
（1）填空：log 3＝ ，log = ；
3 0.516
（2）如果log |m﹣4|＝2，求m的值；
5
（3）若log 27+log x＝log 32，求2（x﹣1）的值．
3 4 2
7．（2023秋•内乡县期末）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的商的运算
叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写
作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的
圈4次方”．一般地，把
a÷a÷a⋯÷a
记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．
¿
【初步探究】（1）直接写出计算结果：2023②＝ ；
（2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号）
A．任何非零数的圈2次方都等于1B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么
有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝ ；
1
（4）计算：﹣1⑧﹣142÷（− ）④×（﹣7）⑥．
2
【考点12 数轴中的动点问题】
1．（2023秋•小店区校级月考）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意
一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝ ；
（2）若AP+BP＝8，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点
B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会
随着t的变化而变化？请说明理由．
2．（2023秋•广陵区校级月考）如图，数轴上，O点与C点对应点的数分别是0、60，将一根质地均匀的
直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B
点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
（1）直尺AB的长为 个单位长度；
（2）若直尺AB在数轴上，且满足B点与C点的距离等于B点与O点距离的3倍时，此时A点对应的
数为 ；
（3）当A点对应的数为20时，作为起始位置，直尺AB以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动，同时
点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒．
①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，则m的值为 ；
②当t＝15时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，请直接写出所有满足条件的 m
的值．3．（2023秋•榆树市月考）如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是﹣3，点N在点M的右边，且
距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点．
（1）求出点N所对应的数；
（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数；
（3）若点P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运
动3个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点
P、Q分别对应的数．
4．（2023秋•乐清市月考）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两
点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．
求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
5．（2023秋•翁源县月考）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为﹣10、5、15，点P为数轴上一动
点，其对应的数为x．
（1）点A到点C的距离为 ；
（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出x的
值；若不存在，请说明理由；（3）设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一
运动过程中，求出S的最大值与最小值．
6．（2023秋•碑林区校级月考）如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数
轴上表示的数是﹣12，点C在数轴上表示的数是14．
（1）若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数
是 ；
（2）若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单
位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运
动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个
单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 个单位长度；
（3）若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左
BD−AP
匀速运动．点P是线段AB＝2上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式 =2，若
PC
存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．
7．（2023秋•崇川区校级月考）阅读并解决相应问题：
（1）问题发现：
在数轴上，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与
1
点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n节点”．如图1，若点P表示的数为 ，有点
2
5 5
P到点A的距离与点P到点B的距离之和为 + =5，则称点P为点A、B的“5节点”．填空：
2 2
①若点P表示的数为0，则n的值为 ．
②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为A、B的“5节点”，请直接写出整点P所表示的数．（2）类比探究：
如图2，若点P为数轴上一点，且点P到点A的距离为1，请你求出点P表示的数及n的值，并说明理
由．
（3）拓展延伸：
在（1）（2）的条件下，若点P在数轴上运动（不与点A、B重合），满足点P到点B的距离等于点P
2
到点A的距离的 ，且此时点P为点A、B的“n的节点”，求点P表示的数及n的值，并说明理由．
3
