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专题 5.2 解一元一次方程（2 大知识点 11 类题型）（知识梳理与题
型分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法 注意事项
(1)不要漏乘不含分母的项
在方程两边都乘以各分母的最小公倍
去分母 (2)分子是一个整体的，去分母后应加
数
上括号
先去小括号，再去中括号，最后去大 (1)不要漏乘括号里的项
去括号
括号 (2)不要弄错符号
把含有未知数的项都移到方程的一
(1)移项要变号
移项 边，其他项都移到方程的另一边(记住
(2)不要丢项
移项要变号)
合并同类项 把方程化成 的形式 字母及其指数不变
在方程两边都除以未知数的系数a，
系数化成1 不要把分子、分母写颠倒
得到方程的解 ．
【要点提示】
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合
并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意
去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
【知识点2】解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
【要点提示】此类问题一般先把方程化为 的形式，再分类讨论：
c0 c0 axb0 c0
(1)当 时，无解；（2）当 时，原方程化为： ；（3）当 时，原方程可化为：axbc axbc
或 .
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为最简形式 ，再分三种情况分类讨论：
（1）当 时， ；（2）当 时， 为任意有理数；（3） 时，方程无解．
考点与题型目录
【考点一】解一元一次方程
【题型1】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项..................................2
【题型2】解一元一次方程（二）——去括号............................................2
【题型3】解一元一次方程（三）——去分母............................................3
【考点二】解一元一次方程——拓展
【题型4】解含绝对值的一元一次方程..................................................3
【题型5】同解原理解一元一次方程....................................................4
【题型6】整体思想解一元一次方程....................................................4
【题型7】用特殊方法解较为复杂的一元一次方程........................................5
【题型8】解新定义下的一元一次方程..................................................5
【题型9】一元一次方程的含参问题——有无数解、无解、唯一解问题......................6
【考点三】直通中考
【题型10】直通中考.................................................................6
【题型11】拓展延伸.................................................................6
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点一】解一元一次方程
【题型1】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【例1】（24-25七年级上·全国·期中）解方程：
(1) ； (2) ．
【变式1】（2024·河北·一模）若非零实数x满足 ，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C． D．【变式2】（22-23七年级下·四川内江·期中）当 时，代数式 与代数式 的值相等．
【题型2】解一元一次方程（二）——去括号
【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：
(1) ； (2) ．
【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）方程 的解（ ）
A． B． C． D．2
【变式2】（20-21六年级·上海·期末）将 去括号后，方程转化为 ．
【题型3】解一元一次方程（三）——去分母
【例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程：
(1) ； (2) ； (3) ．
【变式1】（23-24七年级上·湖北恩施·单元测试）若关于y的一元一次方程 的解是
，则a的值是（ ）
A． B． C．40 D．50
【变式2】（22-23六年级上·山东烟台·期末）在解关于 的方程 时，小明在去分母的过
程中，右边的“ ”漏乘了公分母 ，因而求得方程的解为 ，则方程正确的解是 ．
【例4】（22-23七年级·全国·假期作业）解方程： ．
【变式1】（22-23六年级上·山东烟台·期末）下列方程与方程 的解相同的是方程
（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（18-19七年级上·全国·期末）解方程: ；【考点二】解一元一次方程——拓展
【题型4】解含绝对值的一元一次方程
【例5】（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）解方程
（2）在解形如 这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分 和 两种
情况讨论：
当 时，原方程可化为 ．解得 ．符合 ．
当 时，原方程可化为 ．解得 ．符合 ．
所以原方程的解为 或 ．
请你类比此法解方程： ．
（3）新定义：若 是关于x的一元一次方程的解， 是关于y的方程的一个解，且 ， 满足
，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程
的解是 ，方程 的解是 或 ，当 时，满足
，所以关于y的方程 是关于x的一元一次方程 的“航天方程”．
若关于y的方程 是关于x的一元一次方程 的“航天方程”，求a的值．
【变式1】（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知 是方程 的解，则k的值为
（ ）
A．11或 B．9或 C．11或 D． 或9
【变式2】（23-24七年级上·四川雅安·阶段练习）关于x的方程 的解为 ．
【题型5】同解原理解一元一次方程
【例6】（21-22七年级上·广东江门·阶段练习）已知关于 的方程 和 的解相同．(1)求 的值；
(2)求 的值．
【变式1】（22-23七年级上·广东广州·期末）如果方程 和方程 的解相同，那么 的
值为（ ）.
A．1 B．5 C．0 D．
【变式2】（23-24七年级上·陕西西安·期末）关于x的方程 与方程 的解相同，则常
数a是 ．
【题型6】整体思想解一元一次方程
【例7】（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）方程 可以有多种不同的
解法，观察此方程，设 ．
(1)原方程可变形为 ，解方程得： ，从而可得 ．
(2)上述解法所用到的数学思想是 ．
(3)利用上述方法解方程：
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）用整体思想解方程 ．
【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）解方程： ．
【题型7】用特殊方法解较为复杂的一元一次方程
【例8】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）观察下列等式 ，将以
上三个等式两边分别相加得： ．
(1)猜想并写出： ；
(2)解方程： ．【变式1】（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习） 的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）关于 的一元一次方程 的
解（ ）．
A．是一个大于 小于 的数 B．是一个大于 的数
C．是一个大于 小于 的数 D．不存在
【题型8】解新定义下的一元一次方程
【例9】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我们规定：若关于x的一元一次方程 的解为
，则称该方程为“和解方程”．例如：方程 的解为 ，而 ，则方程
为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题
(1)判断：方程 ______（“是”或“不是”）“和解方程”．
(2)关于x的一元一次方程 是“和解方程”，求t的值．
(3)关于x的一元一次方程 是“和解方程”，并且它的解是 ，求m、n的值．
【变式1】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）规定运算 ，例如 ．
若满足等式 的 是正整数，则正整数 的值为（ ）
A．1或4 B．2 C．2或4 D．4
【变式2】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）记关于x的一元一次方程 为 ，如 表
示方程 ，其解 ，若方程 的解比方程 的解大1，则 .
【题型9】一元一次方程的含参问题——有无数解、无解、唯一解问题
【例10】已知关于x的方程 有无数多个解，求常数a、b的值．
【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）关于x的方程 有无穷多个解，则
（ ）
A． B． C． D．【变式2】（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知 为定值，关于 的方程 ，无论
为何值，它的解总是1，则
第三部分【直通中考与拓展延伸】
【考点三】直通中考与拓展延伸
【题型10】直通中考
【例1】（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程 时，第一步出现了错误：
解： ，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【例2】（2021·重庆·中考真题）若关于x的方程 的解是 ，则a的值为 ．
【题型11】拓展延伸
【例1】（20-21七年级上·重庆·期末）已知关于 的方程 有非负整数解，则整数 的所
有可能的取值的和为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级上·全国·单元测试）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的
解为 ．
