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专题 2.10 有理数的乘除法（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任
何数同0相乘，都得0．
【要点提示】
（1）不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不
应该写成-2×-3．
2. 有理数的乘法法则的推广：
（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积
为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
【要点提示】
（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对
值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一
个因数为0．
3. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：
abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积
相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
【要点提示】
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如 abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这
几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以
把运算律“逆用”．
【知识点二】有理数的除法
1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
【要点提示】
1 1
(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是 2 ，-2和 2 是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2. 有理数除法法则：
1
aba (b0)
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即 b .
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的
数，都得0.
【要点提示】
（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
【知识点三】有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定
积的符号，最后算出结果．
【知识点四】有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有
括号，则先算括号里面的．第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】两个有理数的乘法运算
【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1) ； (2) ；
(2) ； (4) ．
【答案】(1)0； (2) ；(3) ；(4)
【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则
是解题的关键．
解：（1） （2）
；
（3） （ 4）
；
【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据选项所给式子，逐个求解得到结果判定即可得到答案，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键．
解：A、 ，正确，符合题意；
B、 ，错误，不符合题意；
C、 ，错误，不符合题意；
D、 ，错误，不符合题意；
故选：A．
【变式2】（2024·西藏拉萨·一模）小明与小刚规定了一种新运算“ ”：若 ， 是有理数，则
，小明计算出 ，请帮小刚计算 ．
【答案】16
【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．根
据题中的新定义 ，将 ， 代入计算，即可求出 的值．
解：根据题中的新定义得：
．
故答案为： ．
【题型2】多个有理数的乘法运算
【例2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ；(2)1
【分析】本题主要考查了有理数的乘法，关键是熟记有理数乘法法则．
（1）根据有理数的乘法法则进行计算便可；（2）根据有理数的乘法法则进行计算便可．
（1）解： （2）解：；
．
【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列各式中，结果是正数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的乘法运算法则：两
数相乘，同号得正，异号得负，逐项判断即可．
解：A、 ，故A选项不符合题意；
B、 ，故B选项不符合题意；
C、 ，故C选项符合题意；
D、 ，故D选项不符合题意，
故选：C．
【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）已知整数 满足 ，且 ，那么
．
【答案】0
【分析】本题主要考查了有理数的乘法和加减运算，解题的关键是根据 ， ，得出
， ， ， ，然后求和即可．
解：∵ ，
又 整数 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ．
故答案为：0．【题型3】有理数的乘法运算律
【例3】（23-24六年级下·全国·假期作业）
（1）计算： ； （2）计算： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键．
（1）先将 化成 ，再运用乘法分配律计算即可；（2）逆用乘法分配律计算即可．
解：（1）原式 （2）原式
；
【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）在
中，用到的乘法运算律是（ ）
A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法分配律的逆运算．
【答案】B
【分析】本题主要考查了乘法结合律，熟记运算律是解题的关键．根据乘法交换律和结合律进行分析即
可．
解： 可得是运用了乘法结合律．故选：B．
【变式2】（23-24七年级上·山东济宁·期末）计算： ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律，根据乘法分配律把原式变形为
，再计算乘法，最后计算加减法即可．
解：
，
故答案为：1．
【题型4】有理数的除法运算
【例4】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
(1) (2)
(2) (4)
【答案】(1)4；(2) ；(3)0；(4)
【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算．
（1）-（4）根据有理数除法运算法则进行计算即可；
解：（1）解： ； （2）解： ；
（3）解： ； （4）解：．
【变式1】（23-24九年级下·吉林·阶段练习）要使 的运算结果最小，则“□”内应填入的运算符号
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加减、有理数的乘除、有理数的比较大小，先根据运算法则分别计算出各
个选项添加的符号的结果，再比较大小即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
解： ， ， ， ，
∵ ，
∴“□”内应填入的运算符号为 ，
故选：B．
【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）规定 ，例如 ，则
．
【答案】
【分析】此题考查有理数的除法，关键是根据题意得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题．
解：
解：由题意可得： ，
，
故答案为： ．
【题型5】有理数的乘除混合运算
【例5】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：(1) ． (2) ．
【答案】(1)1 (2)
【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键．
（1）（2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可；
解：（1） （2）
；
【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查有理数乘除混合运算，根据有理数乘除运算法则和混合运算顺序，依次计算即可
解：
．
故选：A．
【变式2】（23-24七年级上·湖南怀化·期中）定义一种新的运算： ，如 ，
则 = ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的混合运算，根据 ，可以求得所求式子的值，本题得以解决．解： ，
∴
；
故答案为：
【题型6】有理数乘除法的实际应用
【例6】（23-24七年级上·陕西榆林·期末）某市教育局倡导全民阅读行动，琪琪同学坚持阅读，她每天
以阅读 分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．下表是她最近一周阅读情况的记录
（单位：分）.
星期 一 二 三 四 五 六 七
与标准的差
（分）
（1）星期一琪琪阅读了______分钟；
（2）琪琪这周阅读时间最长的一天比阅读时间最短的一天多读多少分钟？
（3）求琪琪这周平均每天的阅读时间．
【答案】(1)34 (2)琪琪这周阅读时间最长的一天比阅读时间最短的一天多读 分钟 (3)琪琪这周平均
每天阅读的时间为 分钟
【分析】本题考查了正数与负数的意义以及有理数的混合运算，正确理解正数与负数的意义是解题的关
键．
（1）列出算式，再求出即可；
（2）用其中最大的正整数减去最小的负整数即可；
（3）先求出读书的总时间，再除以 即可．
（1）解： （分钟），
即星期一琪琪阅读了 分钟，
故答案为： ；（2） 琪琪读得最多的一天是星期六，最少的一天是星期三，
（分钟），
即琪琪读得最多的一天比最少的一天多了 分钟；
（3）解： （分钟），
（分钟），
琪琪这周平均每天读书的时间为 分钟．
【变式1】（22-23七年级上·广东广州·开学考试）将2021减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的，
…最后减去余下的 ，差是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了分数的混合运算；根据题意列出算式，进而进行计算即可求解．
解：
．
故选：B．
【变式2】（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）8名乒乓球运动员参加单打比赛，两两配对进行淘汰
赛，要决出冠军，一共要比赛 场．
【答案】7
【分析】本题考查有理数除法和加法的实际应用．根据题意可知每2人赛一次，依此类推，最后选出一
位冠军，进行统计得出最后的结果，注意不要重复和遗漏．
解：由题意可知，第一次要比赛 场，剩下4名乒乓球运动员，
第二次要比赛 场，剩下2名乒乓球运动员，
第三次要比赛 场，决出冠军，
所以一共要比赛 场．
故答案为：7．
第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考
【例1】（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道
题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现
有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后
一天仅织了一尺布， 天完工，问一共织了多少布？
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
【答案】C
【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和 即可，
读懂题意，找出规律是解题的关键．
解：由题意得，第一天织布 尺，第 天织布 尺，
∴一共织布 （尺），
故选： ．
【例2】（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海
拔每升高100米，气温约下降 ．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气
温是 ，则此时山顶的气温约为 ．
【答案】－6或零下6
【分析】根据题意“海拔每升高100米，气温约下降 ”，列出式子即可求解．
解：山顶的气温约为
故答案为：－6或零下6．
【点拨】本题考查了有理数混合运算（不带乘方）的应用，正负数的意义，理解题意是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可以运用乘法分配律很容易去解决．
（1）计算：
（2）由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对
这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明
的计算过程
解：原式的倒数为：
．
故原式
请你根据对小明的方法的理解，计算
【答案】(1)5 (2)
【分析】（1）直接利用乘法对加法的分配律计算即可；
（2）先计算 的倒数 ，把除法化为乘法，利用乘法分配律计算，
最后把计算的结果求倒数即可求解．
（1）解：
．（2）解：原式的倒数为：
，
故原式 ．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的灵活运用是解题的关键．
【例2】（23-24七年级上·江西九江·期中）小华有5张写着不同数的卡片如下，请你按要求抽出卡片，
完成下列各题：
（1）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数乘积最大，最大值是______；
（2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，最小值是______；
（3）从中抽出4张卡片，用学过的运算方法使结果为30，写出运算式子（至少写出两种）．
【答案】(1)24 (2)
(3) ， （答案不唯一）．
【分析】本题考查了有理数的混合运算：
（1）观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且乘积数值最大的数，所以选 和 ；
（2）2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母的绝对值越小越好，分子的绝对值越小大越
好，所以就要选 和3，且 为分子；
（3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为30，方法不唯一，用加减乘除只要结果是30即
可，如：抽取 、 、0、 ，则 ；再如：抽取 、 、 、 ，则
．
（1）解： ，故答案为：24；
（2）解： ，
故答案为： ；
（3）解：方法不唯一，如：抽取 、 、0、 ，则 ，
如：抽取 、 、 、 ，则 ．
