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专题1.45 《有理数》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.
2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.
3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.
4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用.
5. 体会数学知识中的一些数学思想.
【要点梳理】
要点一、有理数的相关概念
1．有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：特别说明：（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
作用 举例
表示数的性质 0是自然数、是有理数
表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态 00C
表示冰点
表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数
2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
特别说明：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的
是有理数，如 ．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
特别说明：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相
等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若
有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的
a
绝对值是0． 数a的绝对值记作 ．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
要点二、有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相
等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0
相乘，都得0．
1
（4）除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数．即 a÷b=a·b
(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的
任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进
行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
特别说明：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－
3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负
指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）
×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为
(3)2 9 (3)3 27
负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）
c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0
大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）
作商比较法；（5)倒数比较法．
要点四、科学记数法、近似数及精确度
a10n 1 a 10 n
1.科学记数法：把一个大于10的数表示成 的形式（其中 ， 是正整
2105
数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000= ．
2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长
江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
特别说明：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一
位也叫做这个近似数的精确度.
特别说明：
（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.
（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意
0.1
义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到 米，说明
0.05
结果与实际数相差不超过 米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.
类型一、有理数相关概念
【概念1】有理数
1．把下列各数填在相应的大括号内：
， ， ， ， ， ， ， ．
正有理数：{ …}；
整数：{ …}；
负分数：{ …}．
非负整数：{ …}．
【答案】0.6，1；-35，0，1； ， ；0，1【分析】
根据有理数的分类可对给出的数字进行分类
解：正有理数：{0.6，1，…}；
整数：{-35，0，1，…}；
负分数：{ ， ，…}．
非负整数：{0，1…}．
故答案为：0.6，1；-35，0，1； ， ；0，1
【点拨】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类是解答本题的关键
举一反三：
【变式】 把下列各数分别填入相应的集合：0，﹣7， ，﹣4.8，﹣8 ， ，
15， ．
整数集合{ …}；
分数集合{ …}；
非负数集合{ …}；
负数集合{ …}．
【答案】0，﹣7，15； ，﹣4.8，﹣8 ， ， ； ， ，15， ；﹣7，﹣4.8，﹣8
【分析】
由题意直接根据有理数的分类，把相应的数填写到相应的集合中即可．
解：整数集合{0，﹣7，15…}；
分数集合{ ，﹣4.8，﹣8 ， ， …}；
非负数集合{ ， ，15， …}；
负数集合{﹣7，﹣4.8，﹣8 …}．
故答案为：0，﹣7，15； ，﹣4.8，﹣8 ， ， ； ， ，15， ；﹣
7，﹣4.8，﹣8 .
【点拨】本题考查有理数的分类．注意掌握有理数分为整数和分数；正整数、0、负整
数统称整数；正分数、负分数统称分数．非负整数包括正整数和0．
【概念2】数轴
2．1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A和点B刚好
对着直尺上的刻度2和刻度8
(1)写出点A和点B表示的数；
(2)写出与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数；
(3)在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点点对称
的点表示的数．
【答案】(1)A表示-3，B表示3(2)-6.5(3)1
【分析】
(1)根据AB=8-2=6，点A和B互为相反数，即可得到结果；（2）利用B点表示的数减
去9.5即可得到答案；（3）利用到点A和B的距离求出D的数值，再关于原点对称即可得
到答案．解：(1)∵A对应刻度2，B对应刻度8，
∴ ，
∵A，B在数轴上互为相反数，A在左，B在右，
∴A表示-3，B表示3；
(2)∵B表示3，C在点B左侧，并与点B距离为9.5厘米，
∴C表示的数为 ；
(3)因为点D到A的距离为2，
所以点D表示的数为-1和-5．
因为点D到B的距离为4，
所以点D表示的数为-1和7．
综上，点D表示的数为-1．
所以点D关于原点对称的点表示的数为1．
【点拨】此题考查了利用数轴表示数，数轴上两点之间距离，数轴上点移动的规律，
熟记数轴上点移动的规律是解题的关键．
举一反三：
【变式】 如图，在数轴上，点A、B分别表示数2、﹣2x+6．
(1)若x＝﹣2，则点A、B间的距离是多少？
(2)若点B在点A的右侧：
① 求x的取值范围；
② 表示数﹣x+4的点应落在（ ）（填序号）
A．点A左边 B．线段AB上 C．点B右边
【答案】(1)8(2)B
【分析】
（1）由x＝﹣2解得B的坐标，再根据数轴上两点间的距离解答；
（2）由点B在点A的右侧，得到﹣2x+6＞2，解得x＜2，继而得到数轴上表示数﹣
x+4的点应落在点A的右边，在点B的左边，由此解题．
(1)解：当x＝﹣2，﹣2x+6=10
∵点A、B分别表示数2、10，
∴AB＝10﹣2＝8；
(2)①∵点B在点A右侧，∴﹣2x+6＞2，解得x＜2；
②∵x＜2，∴﹣x＞﹣2，则﹣x+4＞2，
∴数轴上表示数﹣x+4的点应落在点A的右边，
又∵（﹣x+4）﹣（﹣2x+6）＝x﹣2＜0，
∴﹣x+4＜﹣2x+6，即数轴上表示数﹣x+4的点在点B的左边，
∴数轴上表示﹣x+4的点落在线段AB上，
故答案为：B．
【点拨】本题考查数轴、数轴上两点间的距离、分类讨论法等知识，是重要考点，掌
握相关知识是解题关键．
【概念3】相反数
3．已知a，b为有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．
（1）在数轴上标出表示﹣a，﹣b的对应点的位置；
（2）试把a，b，0，﹣a，﹣b这5个有理数按从小到大的顺序用“＜”连接起来．
【答案】（1）见分析，（2）a＜﹣b＜0＜b＜﹣a．
【分析】
（1）利用相反数的意义描出﹣a与﹣b即可；
（2）利用数轴上右边的数总比左边的数大，比较大小即可．
解：（1）画出图形，如图所示，
；
（2）根据数轴上右边的数总比左边的数大，得： a＜﹣b＜0＜b＜﹣a．
【点拨】本题考查了数轴，相反数，有理数的大小比较的应用，能根据数轴上a、b的
位置得出﹣a和﹣b的位置是解此题的关键．
举一反三：
【变式】 将下列各数及它们的相反数在数轴上表示出来，并用“ < ”把这些数连接起
来，它们分别：4， ，0.2，5，-1．
【答案】数轴见分析，
【分析】先写出各数的相反数，再将这些数以及它们的相反数在数轴上表示出来，并根据数轴
用“ < ”把这些数连接起来．
解：4， ，0.2，5，-1的相反数分别为：
表示在数轴上，如图，
【点拨】本题考查了数轴上的点表示数，根据数轴比较大小，相反数的定义，数形结
合是解题的关键．
【概念4】绝对值
4．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程： ．
解：当 时，原方程可化为 ，解得 ；
当 时，原方程可化为 ，解得 ．
所以原方程的解是 或 ．
(1)利用上述方法解方程： ．
(2)当 满足什么条件时，关于 的方程 ，①无解；②只有一个解；③有两
个解．
【答案】(1) 或
(2)①当 无解时， ；②当 只有一个解时， ；当
有两个解时，
【分析】
（1）根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后化为一元一次方程即可求得；
（2）根据绝对值的意义，运用分类讨论进行解答．(1)解：当3x-2≥0时，原方程可化为：3x-2=4，
解得x=2；
当3x-2＜0时，原方程可化为：3x-2=-4，
解得 ．
所以原方程的解是x=2或 ；
(2)解：∵|x-2|≥0，
∴①当b-1＜0，即b＜1时，方程无解；
②当b-1=0，即b=1时，方程只有一个解；
③当b-1＞0，即b＞1时，方程有两个解．
【点拨】此题考查了绝对值方程，正确理解绝对值的意义是解答本题的关键，一个正
数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．
举一反三：
【变式】 如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足
以下关系式： ， ．
(1)a=______；c=______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合；
(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式 取得最小值
时，此时x=______，最小值为______．
【答案】(1) ，9(2) (3)1，12
【分析】
（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）先求出AB的中点表示的数，由此即可得到答案；
（3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可．
(1)解：∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
故答案为：-3；9；
(2)解：∵点A表示的数为-3，点B表示的数为1，
∴AB中点表示的数为-1，
∴点C到AB中点的距离为10，
∴点C与数-1-10=-11表示的点重合，
故答案为：-11；
(3)解：由题意得
，
∴代数式 的值即为点P到A、B、C三点的距离和，
如图3-1所示，当点P在A点左侧时
如图3-2所示，当点P在线段AB上时，
如图3-3所示，当点P在线段BC上时，
如图3-4所示，当点P在C点右侧时，
∴综上所述，当P与B点重合时， ．【点拨】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用
数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键．
【概念5】科学记数法和近似数
5.．莹莹家里今年种植的猕猴桃获得大丰收，她家卖给了一位客户10箱猕猴桃．
莹莹帮助爸爸记账，每箱猕猴桃的标准重量为5千克，超过标准重量的部分记为“+”，不
足标准重量的部分记为“-”，莹莹的记录如下（单位：千克）：+0.15，+0.25，-
0.2，+0.1，-0.2，+0.3，-0.2，0，+0.05，-0.15．
(1)计算这10箱猕猴桃的总重量为多少千克？
(2)如果猕猴桃的价格为12元/千克，计算莹莹家出售这10箱猕猴桃共收入多少元？
（精确到1元）
(3)若都用这种纸箱装，莹莹家的猕猴桃共能装500箱，按照12元/千克的价格，把猕
猴桃全部出售，莹莹家大约能收入多少元？（精确到万位，用科学记数法表示）
【答案】(1)这10箱猕猴桃的总重量为50.1千克；(2)莹莹家出售这10箱猕猴桃共收入
大约601元；(3)莹莹家大约能收入3×104元．
【分析】
（1）根据有理数的加法，确定这10个数的和，再计算这10箱猕猴桃的总重量；
（2）根据总重量×单价列出算式，然后计算即可得解；
（3）求出1箱猕猴桃的总价，乘以500即可得．
(1)解：+0.15+0.25-0.2+0.1-0.2+0.3-0.2+0+0.05-0.15=0.1．
根据题意，得5×10+0.1=50+0.1=50.1（千克）．
所以这10箱猕猴桃的总重量为50.1千克；
(2)解：12×50.1=601.2≈601（元）．
所以莹莹家出售这10箱猕猴桃共收入大约601元；(3)解：601÷10×500=30050≈3×104（元）．
所以莹莹家大约能收入3×104元．
【点拨】本题主要考查了有理数的加减混合运算，正负数的意义，解题关键是理解
“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量
中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
举一反三：
【变式1】 一只草履虫每小时大约能够形成60个食物泡，每个食物泡中大约含有30
个细菌，那么，一只草履虫每天大约能够吞食多少个细菌?100只草履虫呢?(用科学记数法
表示)
【答案】一只草履虫每天大约能够吞食4.32×104个细菌，100只草履虫则可吞食
4.32×106个细菌
【分析】
根据题意进行计算，再由科学记数法的定义，即任何一个绝对值大于或等于1的数都
可表示为a×10n的形式，其中n=整数位数－1，进行表示即可．
解：30×60×24=43200=4.32×104（个），
4.32×104×100=4.32×106（个），
答：一只草履虫每天大约能够吞食4.32×104个细菌，100只草履虫则可吞食4.32×106个
细菌．
【点拨】本题考查了科学记数法，明确科学记数法的定义，准确确定a与n的值是解
题的关键．
【变式2】 按照要求，用四舍五入法对下列各数取近似值：
(1)0.76589（精确到千分位）；
(2)289.91（精确到个位）；
(3)320541（保留三个有效数字）；
(4) （精确到千位）．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】
对于（1），确定万分位上的数字，再精确即可；
对于（2），确定十位上的数字，再精确即可；
对于（3），先将数字用科学记数法表示，再根据有效数字的定义判断即可；对于（4），先将1.423×104化为14230，再确定万位上的数字是2，即可得出答案．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【点拨】本题主要考查了近似数和有效数字，掌握定义是解题的关键.注意：精确到哪
一位，只需对下一个数字进行四舍五入．
类型二、有理数的运算
【运算一】有理数加减混合运算
6.计算：
【答案】-1.9
【分析】根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可
解：原式=
=
=-1.9
【点拨】本题考查了有理数的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键
举一反三：
【变式】 阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，
所以当 时 ，当 时 ，根据以上阅读完成：
（1） ______；
（2）计算： ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）根据绝对值的意义可直接进行求解；
（2）利用绝对值的意义及有理数加减混合运算可直接进行求解．解：（1）∵ ，
∴ ；
故答案为 ；
（2）原式 ．
【点拨】本题主要考查有理数的加减混合运算及绝对值的意义，熟练掌握有理数的加
减混合运算及绝对值的意义是解题的关键．
【运算二】用简单方法进行有理数加减混合运算
7.计算．
(1) ． (2) ．
【答案】(1)-24 (2)6
(1)解：原式=(23-2)+(-41.23-8.77)+(23 -18 )
=21-50+5
=-24
(2)解：原式=3 + +2 -
=(3 - )+( +2 )
=3+3
=6
【点拨】本题考查有理数加减混合，熟练掌握运用加法换律与结合合律简便运算是解
题的关键．
举一反三：
【变式】 计算：
（1） （2）
（3） （4）【答案】（1） ；（2）3；（3） ；（4）
【分析】
（1）利用加法即结合律及交换律计算即可；
（2）利用加法的结合律计算即可；
（3）利用加法的结合律计算即可；
（4）利用有理数的加法的结合律进行计算即可．
解：（1）
，
，
；
（2） ，
，
，
；
（3） ，
，
，
；
（4），
．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算及运算律，解题的关键是掌握有理数的混合运
算顺序和运算法则及其运算律．
【运算三】有理数加减乘除乘方混合运算
8.计算
(1) (2)
【答案】(1)－7 (2)
(1)解：
．
(2)解：
．
【点拨】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算
方法．
举一反三：
【变式】计算：(1) ； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】
（1）按照有理数混合运算的顺序依次计算即可得出答案．
（2）按照有理数混合运算的顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算
括号里面的．
(1)原式
(2)原式
【点拨】本题考查了有理数的运算能力，解题的关键是正确掌握有理数混合运算的顺
序：先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．
类型三、数学思想在本章中的应用
【应用一】数形结合
9.如图，周长为2个单位长度的圆片上的一点A与数轴上的原点O重合，圆片沿
数轴来回无滑动地滚动．
(1)把圆片沿数轴向左滚动一周，点A到达数轴上点B的位置，则点B表示的数为
__________．
(2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动情况
记录如下表：①第6次滚动a周后，点A距离原点4个单位长度，请求出a的值；
②当圆片结束第6次滚动时，点A一共滚动了多少个单位长度？
【答案】(1)-2(2)①1或-3；②28或32个
【分析】
（1）由圆片沿数轴向左滚动1周，得点A表示的数：-2；
（2）①第6次滚动a周后，Q点距离原点是4，得|3-1-2+4-3+a|=4÷2=2，解方程即可
求解；②当a=1时，（3+1+2+4+3+1）×2=28；当a=-3时，（3+1+2+4+3+3）×2=32．
(1)解：∵圆片沿数轴向左滚动1周，
∴点A表示的数：-2；
故答案为：-2；
(2)解：①∵第6次滚动a周后，Q点距离原点是4，
∴|3-1-2+4-3+a|=4÷2=2，
∴|a+1|=2，
∴a=1或-3；
②当a=1时，（3+1+2+4+3+1）×2=28；
当a=-3时，（3+1+2+4+3+3）×2=32．
答：当圆片结束六次滚动时，Q点一共运动的路程是28或32．
【点拨】本题考查有理数与数轴上的点的对应关系：找出点到原点的距离，点对应的
数的正负是关键．
举一反三：
【变式】 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动
5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下
列问题：
(1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______；
(2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______；
(3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞
0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？
【答案】(1)4(2)1(3)终点表示数是（a﹣m+n）
【分析】
（1）根据-3点为A，右移7个单位得到B点为-3+7=4，则可以得出答案；
（2）根据3表示为A点，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，
得到点为3-7+5=1，可以得出答案；
（3）方法同（2），根据数轴上表示的数左减右加的原则计算即可．．
解：(1)∵点A表示数﹣3，
∴点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是﹣3+7＝4，
故答案是：4；
(2)∵点A表示数3，
∴将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，
那么终点表示的数是3﹣7+5＝1；
故答案是：1；
(3)∵A点表示的数为a，
∴将A点向左移动m个单位长度，再向右移动n个单位长度，
那么终点表示数是（a﹣m+n）．
【点拨】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是
解本题的关键．
【应用二】分类讨论
10.对于平面内的两点M、N，若直线MN上存在点P，使得MP= NP成立，则
称
点P为点M、N的“和谐点”，但点P不是点N、M的“和谐点”.
(1)如图1，点A、B在直线l上，点C、D是线段AB的三等分点，则 是点A、B的
“和谐点”（填“点C或“点D”）；
(2)如图2，已知点E、F、G在数轴上，点E表示数－2，点F表示数1，且点F是点E、G的“和谐点”，求点G表示的数；
(3)如图3，数轴上的点P表示数5，点M从原点O出发，以每秒3个单位的速度向左
运动，点N从点P出发，以每秒10个单位的速度向左运动，点M、N同时出发.在M、N、
P三点中，若点M是另两个点的“和谐点”，则OM= .
【答案】(1)点C (2)-5或7 (3)45或 或
【分析】
（1）点C、D是线段AB的三等分点，故可直接依题意判断得到答案．
（2）按“和谐点”的定义列出等式，然后可求得答案．
（3）设经过t秒后满足点M是点N、P的“和谐点”或点M是P、N的“和谐点”，
求出t的值，进而得到答案．
(1)解：∵点C、D是线段AB的三等分点
∴
故点C是点A、B的“和谐点”．
(2)解：点F是点E、G的“和谐点”，依题意有 ，
∵
∴
∴点G为-5或7．
(3)解：设时间t秒后：
①满足点M是点N、P的“和谐点”，此时点M为-3t，点N为5-10t，依题意有
∴
当 时， ，解得
∴点M为 ，
当 时， ，解得
∴点M为 ，②满足点M是P、N的“和谐点”，此时点M为-3t，点N为5-10t，依题意有
∴ ，解得
∴
综上所述， 或 或
【点拨】本题考查数轴上的两点距离及动点问题，熟练掌握数轴的相关知识，按定义
列出等式求解是解题的关键．
举一反三：
【变式】 在数轴上有A，B，C三点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是
2，点C所对应的数是c．
(1)若A，B两点的距离小于4，求满足条件的整数a的值；
(2)若C，B两点的距离小于3，求满足条件的c的范围．
【答案】(1) 、0、1、2、3、4、5(2)
【分析】
（1）先根据数轴上两点间的距离公式，列出关于a的不等式，然后进行分类讨论，根
据绝对值的意义，去掉绝对值，解不等式组得出，a的整数解即可；
（2）先根据数轴上两点间的距离公式，列出关于c的不等式，然后进行分类讨论，根
据绝对值的意义，去掉绝对值，解不等式组得出，c的取值范围即可．
(1)解：∵A，B两点的距离小于4，
∴ ，
当 时， ，解得 ，整数 、3、4、5；
当 时， ，解得 ，整数 、0、1．
∴整数 、0、1、2、3、4、5．
(2)∵C，B两点的距离小于3，
∴ ．
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ．所以c的范围是 ．
【点拨】本题主要考查了不等式的应用，数轴上两点间的距离公式，绝对值的意义，
根据数轴上两点间的距离公式，列出不等式，并根据绝对值的意义，进行分类讨论，是解
题的关键．
【应用三】方程思想
11.如图，在数轴上点A表示的数是 ，点B在点A的右侧，且到点A的距离是
24，点C在点A与点B之间，且 ．
(1)点B表示的数是 ，点C表示的数是 ；
(2)若点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q
从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，在运
动过程中，
①当t为何值时，点P与点Q相遇？
②当t为何值时，点P与点Q间的距离为9个单位长度？
【答案】(1)（1）20； 2
(2)①当 为 时，点 与点 相遇；②当 为3或 时，点 与点 间的距离为9个
单位长度
【分析】
（1）根据数轴上点的距离，求解即可；
（2）当运动时间为 秒时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，①由题
意知， ，计算求解即可；②由题意知， ，
计算求解即可．
(1)解：由题意知
∴点 表示的数是
∵
∴
解得∴点 表示的数是
故答案为：20；2．
(2)解：当运动时间为 秒时，点 表示的数为 ，点 表示的数为
①由题意知，
解得：
∴当 为 时，点 与点 相遇．
②由题意知
∴ 时， ；
时， ；
∴当 为3或 时，点 与点 间的距离为9个单位长度．
【点拨】本题考查了用数轴上的点表示有理数数，数轴上两点之间的距离．解题的关
键在于对知识的灵活运用．
举一反三：
【变式】 如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从
原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每
秒3个单位长度，运动时间为t秒．
（1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）；
（2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t；
（3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，
当PQ+AM＝17时，求运动时间t．
【答案】（1）点M、点N分别所对应的数分别为 ， ；（2） ；（3）t=1
或18
【分析】
（1）根据题意进行求解即可；（2）由（1）所求，根据数轴上两点距离公式可得 ，
，再由 ，得到 ，由此即可得到答案；
（3）分当M、N均在A点右侧时，当N在A点左侧，M在A点右侧时，当M、N都在
A点左侧时，三种情况讨论求解即可．
解：（1）由题意得：点M、点N分别所对应的数分别为 ， ；
（2）∵点A表示的数为-6，点M、点N分别所对应的数分别为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图1所示，当M、N均在A点右侧时，
由（1）（2）得点M、点N分别所对应的数分别为 ， ，
∵点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，
∴点P和点Q表示的数分别为 ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ；
如图2所示，当N在A点左侧，M在A点右侧时，
同图1可知点P和点Q表示的数分别为 ， ，∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，不符合题意；
如图3所示，当M、N都在A点左侧时，
同图1可得点P和点Q表示的数分别为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，此时方程无解；
如图4所示，当M、N都在A点左侧时，
同理可得点P和点Q表示的数分别为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴综上所述，当 ，t=1或18．【点拨】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，
熟知数轴的相关知识是解题的关键．
