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专题 2.15 有理数运算解题方法与技巧（六种方法技巧和八类题型）
（方法梳理与题型分类讲解）
第一部分【方法归纳与题型目录】
【方法1】归类运算
进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷。如整
数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。
【方法2】凑整求和
将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难
度，提高解题效率．
【方法3】变换顺序
在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技
巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．
【方法4】逆用运算律
在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变
形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．
【方法5】巧拆项（裂项相消）
把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．
常见的裂项相消：
① ②
③ ④
【方法6】巧用倒数
在处理多项式的乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒数运算再还原成原数的方法.
题型目录
【题型1】归类运算........................................................2;
【题型2】凑整求和........................................................4；
【题型3】变换顺序........................................................5；
【题型4】逆用运算律......................................................6；【题型5】巧拆项（裂项相消）..............................................7；
【题型6】巧用倒数........................................................9；
【题型7】直通中考.......................................................11；
【题型8】拓展延伸.......................................................12.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】归类运算
【例1】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ．
【答案】(1)1 ；(2) ； (3) .
【分析】（1）利用有理数的加减混合运算法则以及加法结合律，即可计算求值；
（2）先去绝对值符号，再利用有理数的加减混合运算法则以及加法结合律，即可计算求值；
（3）利用有理数的加减混合运算法则以及加法结合律，即可计算求值．
解：（1）
；
（2）；
（3）
．
【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键．
【变式1】（23-24七年级上·福建漳州·期中）计算 ，最适当的方法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数加法的交换律和结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算律．
解： ．
故选：D．
【变式2】（23-24七年级上·四川达州·阶段练习） ．
【答案】 /
【分析】根据有理数加减混合运算法则计算即可．解：原式
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查有理数的加减混合运算，正确计算是解题的关键．
【题型2】凑整求和
【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)10 ；(2)5.
【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算；
（1）先去括号，再把分数通分成分母相同的分数，最后根据有理数的加减混合运算法则即可求解；
（2）先去括号，再运用加法结合律把分母相同的分数结合，最后根据有理数的加减混合运算法则即可求
解．
解：（1）
；（2）
．
【变式1】（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算：
．
【答案】
【分析】原式变形后，计算即可得到结果．
解：原式
，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： ．
【答案】3
【分析】根据有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得．
解：原式
．
【题型3】变换顺序
【例3】（23-24七年级下·湖北武汉·开学考试）【答案】
【分析】此题考查了有理数的乘法，计算括号内的加法后，利用乘法交换律和结合律进行计算即可.
解：
【变式1】（23-24七年级上·广东广州·期中）计算：
【答案】
【分析】根据乘法分配律计算即可．
解：
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用．
【变式2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： ；
【答案】
【分析】利用乘法分配律进行简算即可．
解： ；故答案为： ．
【点拨】本题考查有理数的乘法运算．熟练掌握有理数的乘法分配律，进行简算，是解题的关键．
【题型4】逆用运算律
【例4】（22-23八年级上·天津西青·期末）计算： ．
【答案】
【分析】逆用乘法的分配律计算即可．
解：
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了有理数的乘法、加法、减法运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键．
【变式1】（23-24八年级上·天津西青·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律的逆运算，将原式变形为 ，再计算求解即可．
解：
，
故答案为： ．
【变式2】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）
【答案】
【分析】本题主要考查了乘法分配律的应用，利用乘法分配律裂项把乘数化为能互相约分的数，简化计
算即可.
解：【题型5】巧拆项（裂项相消）
【例5】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）巧算：
(1) ； (2)
【答案】(1) ； (2) .
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算：
（1）分析式子中的每一项，得到
，据此求解即可；
（2）分析式子中的每一项，得到
，据此求解即可．
解：（1）
；
（2）．
【变式1】（2024七年级上·广西·专题练习）计算：
【答案】
【分析】本题考查了有理数加减混合运算，观察得到每个加数的规律是解题的关键．
从第二个分数开始，每个分数的分母可以拆分成2个数相加，而分子是这2个数的和，据此将分数变为
，然后将括号去掉进行简算即可．
解：
．
【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业） ．
【答案】 /
【分析】本题考查了运算与技巧，先将公因数提出来，然后将分母进行裂项即可求解，根据式子的特点
进行运算是解题的关键．
解：，
故答案为： ．
【题型6】巧用倒数
【例6】（22-23七年级上·广西贺州·期中）阅读下列材料：
计算：
解法一：原式 ；
解法二：原式 ；
解法三：原式的倒数为 ，
故原式 ．
（1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的；
（2）请你运用合适的方法计算： ．
【答案】(1)一； (2) ．
【分析】（1）根据题意，第一种解法是错误，除法运算没有这样的运算律，不能自己杜撰乱用致错．
（2）选择适当且正确的方法解答即可．
本题考查了除法的运算，乘法分配律，熟练掌握运算律是解题的关键．
解：（1）根据题意，得第一种解法是错误的，故答案为：一．
（2）原式的倒数为
，
故原式 ．
【变式1】（22-23七年级上·河南郑州·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查有理数四则混合运算，注意运用运算律进行简便宜计算．
先将除法化成乘法，再运用乘法分配计算即可．
解：
．
故答案为： ．
【变式2】（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算．
（1）根据倒数的定义我们知道，若 ，则 __________；
（2）计算： ；
（3）根据以上信息可知 ＝________．【答案】(1) (2) (3)
【分析】本题考查了倒数的定义，有理数的除法运算，利用分配率进行有理数的运算等知识．
（1）根据倒数的定义即可求解；
（2）先将除法运算化为乘法运算，再利用分配率进行计算即可求解；
（3）根据倒数的定义即可求解．
解：（1）根据倒数的定义，若若 ，则 ．
故答案为： ；
（2）
；
（3）因为 ，
所以 ．
故答案为：
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型7】直通中考
【例】 （2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定 ，例如： ，
， ， ，计算：（ ）
A．199 B．200 C．201 D．202
【答案】C
【分析】通过计算 ， 可以推出
结果．
解：
…
， ， ，
故选：C．
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．
【题型8】拓展延伸
【例1】（22-23七年级上·云南楚雄·期末）如图，将一张正方形纸片剪成两个小长方形，每个小长方形
的面积占大正方形面积的 ，将其中一个小长方形进行第二次裁剪，使得每个图形的面积占大正方形面积的 ，以此类推…
（1）第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的______， 的值为______．
（2）请你利用（1）中的结论，求下列各式的值：
① ______． ②计算： ．
【答案】(1) （或填 ）； （或填 ）； (2)① ，②
【分析】（1）根据图形即可得出第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的比例；根据图
形可得 表示的几何意义为大正方形减去第四次剪裁的图形面积；
（2）①根据题意可得， 的几何意义为大正方形减去第2022次剪裁的图形面积；②
将原式转化为 ，再进行计算即可．
解：（1）由图可知：第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的 （或填 ）；
根据图形可得 表示的几何意义为大正方形减去第四次剪裁的图形面积，
故 ；
故答案为：① （或填 ）； （或填 ）；
（2）①根据题意可得， 的几何意义为大正方形减去第2022次剪裁的图形面积，
∴ ．
故答案为： ；②原式
．
【点拨】本题主要考查了有理数的加减法的几何意义，解题的关键是仔细观察图形和算术，总结出算术
和几何图形之间的关系．
【例2】（22-23七年级上·河南开封·开学考试）怎样简便怎样算
(1) ； (2) ;
(3) ; (4) .
1
【答案】(1)0 ; (2) ; (3)1; (4)
3
【分析】（1）根据 将原式变形为
即可得到答案；
（2）将原式先加上 ，再减去 ，根据有理数加减计算法则求解即可；
（3）根据 ，利用乘法的分配律将分子变形为 ，由此即可得
到答案；
（3）根据 先将括号内的式子变形为 ，再由
进行求解即可．解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）．
【点拨】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数的相关计算法则和运算律是解题的关键．
