文档内容
专题 2.1 一元二次方程全章十一类必考点
【人教版】
【考点1 已知一元二次方程的解求代数式的值】.................................................................................................1
【考点2 利用根与系数的关系求代数式的值】.....................................................................................................4
【考点3 两个一元二次方程之间根的关系】.........................................................................................................8
【考点4 构造一元二次方程求解】........................................................................................................................13
【考点5 由根的判别式判断一元二次方程根的情况】.......................................................................................16
【考点6 利用配方法求值】....................................................................................................................................21
【考点7 一元二次方程的应用—传播与循环问题】...........................................................................................23
【考点8 一元二次方程的应用—增长率问题】...................................................................................................26
【考点9 一元二次方程的应用—图形面积问题】...............................................................................................28
【考点10 一元二次方程的应用—销售问题】.....................................................................................................35
【考点11 一元二次方程的应用—动点问题】......................................................................................................40
【考点1 已知一元二次方程的解求代数式的值】
1．（2024•雨花台区模拟）已知m是方程x2﹣3x﹣2024＝n（n为常数）的一个根，代数式2m2﹣6m+2024
的值是 ．
2．（2024春•长兴县月考）若a是关于x的方程3x2﹣x+1＝0的一个根，则2022﹣6a2+2a的值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
1
3．（2023秋•玉山县期末）已知x＝a是一元二次方程x2−2x− =0的一个解，则代数式3a2﹣6a+3的值
3
为（ ）
A．1 B．4 C．5 D．6
1
4．（2024•顺庆区二模）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根，则m2（m﹣3）+2m− +1的值为（
m
）
A．2 B．±❑√6 C．2❑√2 D．±2❑√2
5．（2023 秋•高阳县期末）如果 a 是一元二次方程 2x2＝6x﹣4 的根，则代数式 a2﹣3a+2024 的值为
（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．20242024
6．（2024•莘县二模）已知a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则a2−2023a+ =（ ）
a2+1
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
7．（2024•南山区校级一模）m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2009的值为（ ）
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
【考点2 利用根与系数的关系求代数式的值】
1．（2024•孝感模拟）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根为x ，x ，则 的值为（ ）
1 2 x x2+x2x
1 2 1 2
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
2．（2024春•海曙区期末）已知x ，x 是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则 的值为（ ）
1 2 x3x +x x3
1 2 1 2
21 259 63 133
A． B．− C．− D．−
4 8 8 8
1
3．（2024春•霍邱县月考）若一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为 ， ，则√β √α 的
❑ +❑
α β
α β
值为（ ）
1 1
A． B．2024 C．− D．±2024
2024 2024
4．（2024•金乡县三模）已知关于x的方程3x2﹣5x+k＝0的两根分别为x 和x ，若6x +x ＝0，则k的值为
1 2 1 2
（ ）
2 1 11
A．﹣2 B．− C．− D．−
3 2 12
5．（2024•内江校级二模）已知x ，x 是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式 2024x 的值
1 2 x3− 1+x2
1 2
为 ．
6．（2024•盐城二模）已知： ， 是方程x2+2x﹣4＝0有两个实数根．求出下列代数式的值．
（1） + （ +1）； α β
（2）α2+β4 +α2 ．
α α β
7．（2024•高坪区三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（1﹣2k）x+k2﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围，（2）当k＝2时，设方程的两个实数根分别为x ，x ，求 x 4 3的值．
1 2 x3− 1x2+ x2+x2+
1 2 1 2
【考点3 两个一元二次方程之间根的关系】
1．（2024•南充模拟）已知关于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根为x＝2024，则关于x的方
程a（x﹣1）2+bx＝b的两个根分别为 ．
2．（2024春•庐阳区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元
二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
3．（2024•常德模拟）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx＝c（ac≠0）的一个实数根为2024，则方程cx2+bx
＝a（ac≠0）一定有实数根（ ）
1 1
A．2024 B．− C．﹣2024 D．
2024 2024
4．（2024春•凤阳县月考）已知关于x的一元二次方程a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，
3，则方程a（x+1﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为（ ）
A．﹣2，3 B．﹣1，3 C．﹣3，2 D．﹣1，﹣2
5．（2024春•滨江区校级期末）已知关于x的一元二次方程3（x﹣x ）（x﹣x ）＝0与一元一次方程3x﹣
1 2
3＝0有一个公共解x＝x ，若一元二次方程3（x﹣x ）（x﹣x ）+（3x﹣3）＝0有两个相等的实根，则
1 1 2
x ＝（ ）
2
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
1
6．（2024 春•下城区校级月考）方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是﹣2 和 ，则方程
3
1
a(x−2) 2+bx=2b−3c的两根为（ ）
3
7 2 1
A．0， B．﹣6，1 C．− ， D．﹣4，3
3 3 9
7．（2024春•拱墅区期末）已知一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个正根和方程x2+bx+a＝0的一个
正根相等，若ax2+bx+1＝0的另一个根为4，则x2+bx+a＝0的两个根分别为（ ）
1 1
A．﹣4，4 B．﹣4，1 C． ，4 D． ，1
4 4
8．（2024•建邺区二模）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，则关于y
的方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的两根之积是（ ）A．p+q+1 B．p﹣q+1 C．q﹣p+1 D．q﹣p﹣1
9．（2024春•合肥期中）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是m，两根之积是n，则关于t
的方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0的两根之积是（ ）
A．n+m﹣1 B．n+m+1 C．n﹣m+1 D．n﹣m﹣1
10．（2024春•杭州期末）已知方程x2+bx+c＝0的两个根是± ，x2+dx+e＝0的两个根是± ．当x＝ 时，
x2+bx+c的值记作y ；当x＝ 时，x2+dx+e的值记作y ．则下α列结论一定成立的是（ β） β
1 2
A．y +y ＝0 B．y ﹣α y ＝0 C．y •y ＝1 D．y ﹣y ＝1
1 2 1 2 1 2 1 2
11．（2024春•上城区校级期中）已知一元二次方程 a（x﹣x ）（x﹣x ）＝0（a≠0，x ≠x ）与一元一次
1 2 1 2
方程dx+e＝0有一个公共解x＝x ，若一元二次方程a（x﹣x ）（x﹣x ）+（dx+e）＝0有两个相等的实
1 1 2
数根，则（ ）
A．a（x ﹣x ）＝d B．a（x ﹣x ）＝d
1 2 2 1
C． D．
a(x −x ) 2=d a(x −x ) 2=d
1 2 2 1
【考点4 构造一元二次方程求解】
1．（2024•石门县模拟）若实数a，b满足a2+3a＝2，b2+3b＝2，且a≠b，则（1+a2）（1+b2）＝（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
n m
2．（2024春•迎江区校级期末）已知不相等的两实数m，n满足3m2﹣m﹣2＝0，3n2﹣n﹣2＝0，则 +
m n
的值为（ ）
13 13 13
A．− B．2 C．2或− D．
6 6 6
a
3．（2024•赛罕区二模）若ab≠1，且有5a2+2024a+9＝0，及9b2+2024b+5＝0，则 的值是（ ）
b
9 5 2012 2012
A． B． C．− D．−
5 9 5 9
a−b
4．（2024•南充模拟）已知实数a，b满足a2+11a﹣13＝0，13b2+11b﹣1＝0，且ab≠﹣1，则
ab+3b−1
的值为（ ）
6 3 7
A．﹣1 B．− C．− D．
7 2 6
1 5 1 1
5．（2023秋•德城区期末）已知2m2﹣5m﹣1＝0， + −2=0，且m≠n，则 + 的值为（ ）
n2 n m n5 5
A． B．− C．5 D．﹣5
4 4
6．（2024春•启东市校级月考）如果x、y是两个实数（x•y≠1）且3x2﹣2023x+2＝0，2y2﹣2023y+3＝0，
则x2 x ．
+ =
y y2
【考点5 由根的判别式判断一元二次方程根的情况】
1．（2024春•嘉兴期末）关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有下列两种说法：①若a﹣b+c＝0，则此
方程一定有实数根；②若a，c异号，则此方程一定有实数根．下列判断正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①，②都正确 D．①，②都错误
2．（2024春•萧山区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0无实根；
③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x ，x 且满足x ≠x ≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实
1 2 1 2
1 1
根 ， ；
x x
1 2
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则 ．
0 b2−4ac=(2ax +b) 2
0
其中正确的（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
3．（2024春•蜀山区期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法错误的是（ ）
A．若a﹣b+c＝0，则b2﹣4ac≥0
B．若c是方程ax2+bx+c＝0的一个实数根，则一定有ac+b+1＝0成立
C．若方程ax2＝c没有实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根
D．若m是方程ax2+bx+c＝0的一个实数根，则b2﹣4ac＝（2am+b）2
4．（2024春•玉环市期末）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法不正确的是（ ）
A．若x＝﹣1是方程的解，则a﹣b+c＝0
B．若c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根
C．若ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根
D．若a+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根5．（2024春•庐阳区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），则下列说法错误的是（
）
A．若a﹣b+c＝0，则方程没有实数根
B．若b＝0且方程存在实数根时，两根一定互为相反数
C．若ac＜0，则方程必有两个不相等的实数根
D．若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实数根
6．（2024•湖州一模）对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：
①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；
②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；
③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；
④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．（2024春•同安区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣5x+c＝0，当c＝t 时，方程有两个相等的实数
0
根；若将c的值在t 的基础上增大，则此时方程根的情况是（ ）
0
A．没有实数根 B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根 D．一个实数根
【考点6 利用配方法求值】
1．（2024春•蒙城县期末）已知x2+y2+2x﹣6y+10＝0，则yx＝（ ）
1 1
A．3 B．﹣3 C． D．−
3 3
2．（2024•江北区校级开学）已知a、b满足等式x＝a2﹣6ab+9b2，y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是
（ ）
A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y
y+1 21
3．（2024春•灞桥区校级月考）已知x−1= ，则代数式x2+x+(y−1) 2+ 有（ ）
2 4
85
A．最大值10 B．最小值 C．最小值10 D．最大值
4
4．（2024春•双流区校级月考）如果多项式p＝a2+4b2+2a+4b+2024，则p的最小值是 ．
5．（2024春•江干区校级期末）配方法是中学数学中非常重要的内容．如，若 m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
求m、n的值时，可以用配方法：
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b＝4，c2﹣6c+ab+13＝0，求a+b+c的值．
【考点7 一元二次方程的应用—传播与循环问题】
1．（2024•西乡塘区模拟）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，
所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比
赛．已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（ ）
1 1
A． n(n+1)=6 B． n(n−1)=6
2 2
C．n（n+1）＝6 D．n（n﹣1）＝6
2．（2024•莫旗一模）毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为
780，则这次参加聚会的同学有（ ）
A．38人 B．40人 C．41人 D．42人
3．（2024•北碚区校级开学）今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送
给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（ ）
x(x−1)
A．x（x+1）＝1980 B． =1980
2
x(x+1)
C．x（x﹣1）＝1980 D． =1980
2
4．（2023秋•大足区期末）班级元旦晚会，同学们互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了1560件小
礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝1560 B．x（x﹣1）＝1560×2
C．2x（x+1）＝1560 D．x（x﹣1）＝1560
5．（2023秋•曲靖期末）初三毕业之际，在毕业晚会上同学们互赠照片以表留念，每人给其他同学送一张
照片，一共送出110张照片，设晚会上有x人，则可列方程为（ ）
1
A．x（x+1）＝110 B． x(x−1)=110
2
1
C．x（x﹣1）＝110 D． x(x+1)=110
2
6．（2023秋•集贤县期末）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一
个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 人．
7．（2023秋•建湖县期中）某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目
的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 57，则这种植物每个支干
长出的小分支个数是 ．
【考点8 一元二次方程的应用—增长率问题】
1．（2024•潍坊一模）某厂生产一种产品起初的成本为225元/件，经过两次技术改进，现生产一件这种产
品的成本比起初下降了29元，设每次技术改进产品的成本下降率均为x，根据以上信息列关于x的一元
二次方程为 ．
2．（2024•夏津县二模）某商场在“五•一”当天将定价为200元的某种儿童玩具进行降价销售．该玩具经
过两次降价后，售价由原来的每件200元降到每件162元．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的
百分率为 ．
3．（2024•霍邱县二模）某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增
加了15%，若这两个月的平均增长率为x，则x满足的关系是（ ）
A．（a﹣10%）（a+15%）＝2（1+x）a
B．a（1﹣10%）（1+15%）＝a（1+x2）
C．a（1﹣10%+15%）＝a（1+x）2
D．a（1﹣10%）（1+15%）＝a（1+x）2
4．（2024•安徽三模）随着“二胎政策”出生的孩子越来越多，纷纷到了入学年龄，某校2021年学生数比
2020年增长了8.5%，2022年新学期开学统计，该校学生数又比2021年增长了9.6%，设2021、2022这
两年该校学生数平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．2x＝8.5%+9.6%
B．2（1+x）＝（1+8.5%）（1+9.6%）
C．2（1+x）2＝（1+8.5%+9.6%）
D．（1+x）2＝（1+8.5%）（1+9.6%）
5．（2024春•瑶海区期中）某商场今年1月份销售额为60万元，2月份销售额下降10%，改进经营管理后
月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3、4月份销售额的月平均增长率．
6．（2023秋•阳城县期末）某图书馆阅览室一直在鼓励市民借阅，近几年该图书馆统计每年借阅人数及图
书馆借阅量（单位：本），发现2021年图书馆借阅量为6000本，2023年为8640本．
（1）请计算该图书馆借阅量从2021年至2023年的年平均增长率．
（2）图书馆还统计出2023年借阅人数有1080人，预计2024年将达到1152人．若2023年至2024年图书馆借阅量增长率不低于2021年至2023年的年平均增长率，那2024年的人均借阅量比2024年增长
m%，则m至少是多少？
【考点9 一元二次方程的应用—图形面积问题】
1．（2024春•越城区期末）如图，某校旁边有一块长为40m，宽为30m的矩形荒地，地方政府准备在此对
该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空
白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为a（m））．
（1）设通道的宽度为x（m），则a＝ （用含x的代数式表示）；
（2）若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为850m2，请问通道的宽度为多少？
2．（2024春•兴隆台区期末）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃
ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开
分成面积相等的两个区域，修建所用木栏总长30米．
（1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长；
（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．
3．（2024春•两江新区期末）新高考采用“3+1+2”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物
组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水
果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是
21．
（1）这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？
（2）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长
度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，
有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如下图所示）．设种植田的宽AB为m米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m．
4．（2024春•开化县期中）三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用图形的方法
来求一元二次方程的正根．以方程x（x+4）＝12为例，如图1，用四个边长分别为x和x+4的长方形
（每个长方形面积为12）围成一个大正方形，则大正方形的面积等于四个长方形的面积加上中间小正
方形的面积，从而求出方程的正根．
根据上述材料，回答问题：
（1）求出图1中AB的长和正方形MNOP的面积．
（2）根据赵爽记载的方法，结合图1求出方程x（x+4）＝12的正根．
（3）小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形（图2），已知大正方形的面积
为15，小正方形的面积为5，求m，n的值．
5．（2024•深圳模拟）社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝
52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的
面积为640m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车
位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收
入为10125元？6．（2023秋•济阳区期末）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门
独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长
度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边CD靠院墙，AD和BC与院
墙垂直，设AB的长为x m．
（1）当围成的矩形养殖园面积为100m2时，求BC的长；
（2）如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离
网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到 100m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理
由．
【考点10 一元二次方程的应用—销售问题】
1．（2024春•合肥期中）某超市将进货价为20元的玻璃杯以25元售出，平均每月能售出600个．调查表
明：这种玻璃杯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月5500元的销售利润，
超市决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种玻璃杯的售价应定为多少元？
2．（2024•深圳模拟）随着重庆动物园的熊猫新馆建成和使用，熊猫相应的文创物品类型更加丰富．某店
6
有A、B两种熊猫玩偶，已知每个A款熊猫玩偶的售价是每个B款熊猫玩偶售价的 倍，顾客用150元
5
购买A款熊猫玩偶的数量比用150元购买B款熊猫玩偶的数量少1个．
（1）求每个B款熊猫玩偶的售价为多少元？
（2）经统计，该店每月卖出A款熊猫玩偶100个，每个A款熊猫玩偶的利润为16元．为了尽快减少库
存，该店决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款熊猫玩偶的售价每降低2元，那么平均每月可
多售出20个．该店想每月销售A款熊猫玩偶的利润达到1200元，每个A款熊猫玩偶应降价多少元？3．（2023秋•铜梁区期末）杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛线玩具玩
偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利
10500元．
（1）求玩偶套装的进价是多少元？
（2）该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出80套．随着
亚运会接近尾声，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，通过调查发现每件下降5元，在第一天的销量
基础上增加10套．第二天按某一固定价格出售，销售结束时，这批玩偶已卖出的部分获利 4400元．求
第二天销售结束后还剩余多少套玩偶套装？
4．（2023秋•武侯区校级期末）面向世界的年度文化盛会、四川建设文化强省的闪亮名片﹣﹣﹣2023天府
书展于10月13日至16日在四川成都开幕．本次盛会以“共享书香互鉴文明”为年度主题，定位“书
香天府盛典，出版发行盛会”，值得一提的是，成都将为市民举办一场“巴适的购书节”，为庆祝活动
的顺利召开，某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B
书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍．
（1）求商家购买A书籍和B书籍的进价．
（2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本34元时，平均每天可
卖出50本A书籍，25本B书籍，据统计，B书籍的售价每降低0.5元平均每天可多卖出5本．商家在保
证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了尽快促进B的销量，要使A书籍和B书籍
平均每天的总获利为825元，则每本B书籍的售价定为多少元？
5．（2023秋•达州期末）某服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚 T恤衫，甲种款型共用了13500元，乙
种款型共用了10000元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍少10件，甲种款型每件的进价比乙种
款型每件的进价少50元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）该服装店第一个月甲种款型的 T恤衫以200元/件的价格售出20件，乙种款型的T恤衫以280
元/件的价格售出10件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的 T恤衫都进行降价a元销售，其
中甲种款型的T恤衫的销售量增加4a件、乙种款型的T恤衫的销售量增加a件．结果第二个月的销售
总额比第一个月的销售总额增加了1000a元，求第二个月的销售利润．
6．（2023秋•江北区期末）某鲜花店出售甲、乙两种艺术花篮，八月份时，每个乙花篮的单价比甲花篮单价低20元，一个甲花篮与两个乙花篮的售价之和为260元．
（1）八月份，甲、乙两种艺术花篮的销售单价分别是多少元？
（2）据统计八月份甲、乙两种艺术花篮分别销售了40个和50个；九月份，随着国庆节的即将到来，
顾客对艺术花篮的需求量增大，店主决定对甲种花篮进行降价促销，经市场调研，甲种花篮单价每降低
1元，预计销量比八月份增加3个；乙种花篮销售单价不变，但其销量相比八月份也有所增加，预计增
1
加的销量是甲种花篮增加销量的 ．若预计九月份甲、乙两种花篮的销售总额是11100元，求甲花篮应
3
降价多少元？
【考点11 一元二次方程的应用—动点问题】
1．（2023秋•郑州月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝24cm，AC＝16cm，现有动点P从点B出
发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是4cm/s，点Q的
速度是2cm/s，它们同时出发，经过 秒，△APQ的面积是△ABC面积的一半？
2．（2024春•栾城区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边
AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果
点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：
（1）经过多长时间，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理
由．
3．（2024•江阴市校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s，
2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm？
（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移
动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
4．（2024•城关区校级模拟）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分
别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向
D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ ，BP＝ ，CQ＝ ，DQ＝ （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
5．（2023秋•贵阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，
沿CA方向运动，动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．
（1）运动几秒时，点P，Q相距6cm？
（2）△PCQ的面积能等于10cm2吗？为什么？6．（2023秋•绵阳期末）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB
边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于4❑√2cm？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积1：2的两部分？若能，求出运
动时间；若不能说明理由．
7．（2023秋•顺德区校级月考）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘
米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向
点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：
（1）两动点经过几秒时，使得BP＝CQ；
5
（2）两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的 ；
12
（3）连接BQ，两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形（直接写出答案）．
