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专题 6.10 实数（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】平方根和立方根
类型
平方根 立方根
项目
被开方数 非负数 任意实数
符号表示 a 3 a
一个正数有两个平方根，且互为相反数； 一个正数有一个正的立方根；
性质 零的平方根为零； 一个负数有一个负的立方根；
负数没有平方根； 零的立方根是零；
( a)2 a(a 0) (3 a)3 a
重要结论 a(a 0) 3 a3 a
a2 a
a(a 0)
3 a 3 a
【知识点二】实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
a a
（1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| |≥0；
a a2
（2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥0；
a 0 a0
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ).
非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
a a
数 的相反数是－ ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对
值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，
最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数
大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
【考点目录】
【考点1】平方根与立方根定义理解； 【考点2】平方根与立方根有关运算；
【考点3】有理数与无理数的识别； 【考点4】与实数有关的运算；
【考点6】实数的应用.
【考点 1】平方根与立方根的理解；
【例1】（2023上·江苏扬州·八年级期末）已知： 的立方根是3， 的算术平方根是2，
c的平方根是它本身．
（1）求a，b，c的值；
（2）求 的平方根．
【答案】（1） ， ， ；（2）
【分析】（1）根据立方根，算术平方根，平方根的概念即可求出答案；
（2）根据（1）中所求 ， ， 的值代入代数式 中即可求出答案．
（1）解：根据题意可得： ， ， ，
， ， ；
（2） ， ，
，
∴ 的平方根为 ，
即 的平方根为 ．【点拨】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解
是解决本题的关键．
【变式1】（2024上·浙江金华·八年级统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．平方根是它本身的数只有0
C． 没有立方根 D．立方根是它本身的数只有0和1
【答案】B
【分析】题考查了平方根、算术平方根、立方根的性质，先理解正数的平方根有两个且它们互为相反
数；0的平方根和算术平方根是它本身；1的算术平方根是它本身；负数没有平方根和算术平方根，但是有
立方根；再根据以上性质对四个选项进行分析即得．解题关键是区分平方根、算术平方根和立方根的性质
的不同点．另外，特殊值法是解本题的有效方法．
解：A选项4的平方根是 ，故此选项错误；
B选项平方根是它本身的数只有0，此选项正确；
C选项 的立方根是 ，故此选项错误；
D选项立方根是它本身的数有0，1和 ，故此选项错误．
故选：B．
【变式2】（2023上·河南新乡·八年级统考期中）已知x为实数， ，则 的
平方根为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键．根据题意得：
，解出 ，代入 ，求出平方根．
解： ，
，
解得 ，
．
故答案为 ．
【考点 2】平方根与立方根的运算；
【例2】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）计算：（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查算术平方根和立方根的含义，实数的混合运算；掌握运算法则是解本题的关键.
（1）先根据算术平方根和立方根化简各项，再计算即可；
（2）先根据算术平方根和立方根化简各项，再计算即可．
解：（1）原式 ；
（2）原式 ．
【变式1】（2023下·福建南平·七年级统考期中）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根和立方根的定义逐项计算即可判断．
解： ，故 A计算错误，不符合题意．
，故B计算错误，不符合题意．
，故C计算错误，不符合题意．
，故D计算正确，符合题意．
故选D．
【点拨】本题考查涉及算术平方根和立方根的计算．掌握算术平方根和立方根的定义是解题关键．
【变式2】（2023上·北京昌平·八年级校联考期中）计算： ．
【答案】2
【分析】根据二次根式和立方根进行计算即可得．
解：
==
=2
故答案为：2．
【点拨】本题考查了实数的加法，解题的关键是掌握二次根式，立方根．
【例3】（2023上·江苏宿迁·八年级校联考阶段练习）求下列各式中的 的值：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了利用立方根、平方根解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键．
（1）利用平方根解方程即可；
（2）利用立方根解方程即可．
（1）解： ，
，
，
；
（2）解： ，
，
．
【变式1】（2020下·河北邯郸·七年级校考阶段练习）下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根、立方根、绝对值的性质逐项判断即可.
解：A. ，故错误；
B. ，故正确；
C. ， 故错误；
D. ，故错误；故答案为：B.
【点拨】本题考查了算术平方根的概念、立方根的概念、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握其定
义和性质.
【变式2】（2022下·广东惠州·七年级惠州一中校考期中） ．
【答案】0
【分析】分别计算乘方和开方，再算加减法，即可求解．
解：原式
．
故答案为：0．
【点拨】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
【考点 3】有理数与无理数的识别；
【例4】（2024上·浙江金华·七年级统考期末）把下列各数的序号填在相应的数集内：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ：⑥ ．
（1）整数集合{_______}；
（2）分数集合{_______}；
（3）无理数集合{_______}．
【答案】（1）①③；（2）②⑤；（3）④⑥
【分析】本题考查实数的分类，掌握实数的概念是关键．
（1）直接找到整数，即可作答；
（2）直接找到分数，即可作答；
（3）根据无限不循环小数是无理数进行作答即可．
（1）解：① ，③ 是整数，
整数集合{①，③}；
故答案为：①，③；
（2）解：② ，⑤ 是分数，
分数集合{②，⑤}；
故答案为： ；
（3）解：④ ，⑥ 是无理数，无理数集合{④，⑥}．
故答案为： ．
【变式1】（2023·安徽·模拟预测）下面的四个数中，比 小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查实数的比较大小，掌握整数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比较
大小绝对值大的反而小是解题的关键．
解：∵ ，
故选A．
【变式2】（2024上·江苏镇江·七年级统考期末）下列数中： （每两
个3之间的0依次增加），其中无理数有 个．
【答案】2
【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
根据无理数的定义：无限不循环小数，即可求解．
解： （每两个3之间的0依次增加）中无理数有 ，
（每两个3之间的0依次增加）共2个，
故答案为：2．
【考点 4】与实数相关的运算；
【例5】（2024上·山东淄博·七年级统考期末）计算：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先根据绝对值的性质，算术平方根的意义，有理数的乘法法则计算，再算加减；
（2）先根据算术平方根，立方根的意义化简，再算加减．解：（1）
（2）
【变式1】（2023上·安徽宿州·八年级统考阶段练习）若a，b分别是 的整数部分和小数部分，
则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了与无理数整数部分，小数部分有关的计算．
先估算出 ，进而得到 ，由此求出a、b的值即可得到答案．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的整数部分 ，小数部分 ，
∴ ．
故选：B
【变式2】（2024上·山东青岛·八年级统考期末）比较大小： （用“ ”“ ”“
”填空）．
【答案】【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握算术平方根的性质以及不等式的性质是解题的关
键．由 ，得 ，故 ，那么可得 与 的大小关系．
解： ，
，即 ，
，
即 ，
∴ ，
即
故答案为： ．
【考点 5】实数的应用.
【例6】（2022下·北京·七年级北京八十中校考期中）“说不完的 ”探究活动，根据各探究小组
的汇报，完成下列问题．
（1） 到底有多大？
下面是小欣探索 的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是 ，且 ．设 ，画出如下示意图．由面积公式，可得 ______ ．
因为 值很小，所以 更小，略去 ，得方程______，解得 ____（保留到0.001），即 _____．
（2）怎样画出 ？请一起参与小敏探索画 过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画
出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为 ．依题意，割补前后图形的面积相等，有 ，
解得 ．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的
正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图
形，不要求写分析过程．
【答案】（1） ， ， ， ；
（2）见分析
【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；
（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．
解：（1）由面积公式，可得
∵ 值很小，所以 更小，略去 ，得方程 ，解得 （保留到0.001），即
．
故答案为： ， ， ， ；
（2）小敏同学的做法，如图：排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
【点拨】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长
是解题的关键．
【变式1】（2019上·浙江温州·七年级校联考期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图
①，卡片的长为 ，宽为 ）不重叠地放在一个底面为长方形（长为 ，宽为4）的盒子底部（如图②），
盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出较大阴影的周长和较小阴影的周长，再相加整理，即得出答案．解：较大阴影的周长为： ，
较小阴影的周长为： ，
两块阴影部分的周长和为： = ，
故两块阴影部分的周长和为16．
故选B．
【点拨】本题考查了图形周长，整式加减的应用，利用数形结合的思想求出较大阴影的周长和较小阴
影的周长是解题的关键．
【变式2】（2023上·江苏淮安·九年级统考阶段练习）已知实数 满足 ，则
．
【答案】
【分析】根据题意可知 ，即有 ，进而有 ， ，再结合整体代入
的思想即可作答．
解：根据题意可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了根据式子的值求解代数式的值的知识，掌握整体代入的思想，是解答本题的关键．
