文档内容
第 03 讲 直线、平面平行的判定与性质
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：直线和平面平行.................................................................................................................4
知识点2：两个平面平行.....................................................................................................................5
解题方法总结........................................................................................................................................6
题型一：平行的判定............................................................................................................................7
题型二：线面平行构造之三角形中位线法........................................................................................9
题型三：线面平行构造之平行四边形法..........................................................................................10
题型四：利用面面平行证明线面平行..............................................................................................13
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行..................................................................................15
题型六：面面平行的证明..................................................................................................................17
题型七：面面平行的性质..................................................................................................................20
题型八：平行关系的综合应用..........................................................................................................21
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................23
05课本典例·高考素材........................................................................................................................25
06易错分析·答题模板........................................................................................................................27
易错点：线面平行定理的理解不够准确..........................................................................................27
答题模板：面面平行的证明..............................................................................................................28考点要求 考题统计 考情分析
本节内容是高考中的热点，线线、线
2024年北京卷第17（1）题，5分 面、面面平行与证明通常出现在解答题的
（1）直线与平面平行
2024年I卷第17（1）题，5分 第一问．本节内容将空间中平行的判定与
的判定与性质
2022年甲卷（文）第19题，12分 性质综合在一起复习，通常在高考题目
（2）平面与平面平行
2022年乙卷（文）第9题，5分 中，虽然证明的结论是平行，但是过程中
的判定与性质
2021年浙江卷第6题，4分 经常交叉使用空间直线、平面平行的判定
定理或性质，因此题目的综合性增强．
复习目标：
（1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．
（2）掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．知识点1：直线和平面平行
1、定义
直线与平面没有公共点，则称此直线 与平面 平行，记作 ∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外的一条直线和这
线∥线 个平面内的一条直线平行，那么
这条直线和这个平面平行（简记
线∥面
为“线线平行 线面平行
如果两个平面平行，那么在
面∥面 一个平面内的所有直线都平行于
另一个平面
线∥面
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线和
一个平面平行，经过
线∥面 线∥线 这条直线的平面和这
个平面相交，那么这
条直线就和交线平行
【诊断自测】如图，在长方体 中，E是棱 的中点，试判断 与平面 的位置关系，
并说明理由.知识点2：两个平面平行
1、定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面 和 ，若 ，则 ∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内有两
线∥面 条相交的直线都平行于另
一个平面，那么这两个平
面∥面
面平行（简记为“线面平
行 面面平行
线 面 如果两个平面同垂直
于一条直线，那么这两个
面∥面 ∥
平面平行
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果两个平面平
面//面
行，那么在一个平面中
线//面
的所有直线都平行于另
外一个平面
如果两个平行平面
同时和第三个平面相
性质定理 交，那么他们的交线平
行（简记为“面面平行
线面平行”）如果两个平面中有
面//面 一个垂直于一条直线，
线 面 那么另一个平面也垂直
于这条直线
【诊断自测】如图1，在矩形 中， ，将三角形 沿着线段 向上
折起，使得点 到达点 的位置，且平面 平面 ，将正方形 沿着 向上折起，使得
点 分别到达点 的位置，且平面 平面 ，构成如图2所示的多面体，点 为线段
的中点，点 在线段 上，且满足 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
解题方法总结
线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．
线∥面
判定
判定
性质
性质
判定
线∥线 面∥面
性质
（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线 与平面 没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行 线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，
同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
题型一：平行的判定
【典例1-1】（2024·山东淄博·二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线．
若 则下列说法正确的是（ ）
A．a与l相交 B．b与l相交 C．a b D．a与β相交
∥
【典例1-2】（2024·高三·北京海淀·期末）设 是三个不同平面，且 ，则“ ”
是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【方法技巧】
排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除．
【变式1-1】（多选题）（2024·河南·三模）已知 ， 是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列
命题为假命题的是（ ）．
A．如果 ， ， ，那么
B．如果 ， ，那么
C．如果 ， ，那么
D．如果 ， ，那么m与 所成的角和n与 所成的角的大小不相等【变式1-2】（2024·贵州遵义·二模）已知平面 满足 ，下列结论正确的是（ ）
A．若直线 ，则 或
B．若直线 ，则 与 和 相交
C．若 ，则 ，且
D．若直线 过空间某个定点，则与 成等角的直线 有且仅有4条
【变式1-3】下列四个正方体中， ， ， 为所在棱的中点， ， ， 为正方体的三个顶点，则能得
出平面 平面 的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：线面平行构造之三角形中位线法
【典例2-1】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，
是棱PA上一点，且 .求证: 平面MCD;
【典例2-2】如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，点 在棱 上（不与端点重合），E，
F分别是PD，AC的中点.
证明： 平面 .
【方法技巧】
利用三角形中位线找线线平行.
【变式2-1】（2024·山东济南·三模）如图所示， 为矩形， 为梯形，平面 平面 ，
.若点 为 的中点，证明: 平面 ；
【变式2-2】（2024·陕西铜川·三模）如图，四棱锥 的底面是正方形， 平面 ，点 是
的中点， 是线段 上靠近 的三等分点， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
题型三：线面平行构造之平行四边形法
【典例3-1】如图，在四棱锥 中，底面ABCD是直角梯形， ， ， 底面
ABCD，点E为棱PC的中点， ．证明： 平面PAD；
【典例3-2】如图，在棱长为1的正方体 中，E、F及G分别为棱 、 和 的中点.
求证： 平面DEG；
【方法技巧】
利用平行四边形找线线平行.
【变式3-1】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥 中， 底面 ， ，
分别为线段 上一点， .若 为 的中点，证明： 平面 ；
【变式3-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 分别
是 和 的中点，平面 平面 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
【变式3-3】如图，在正三棱柱 中， 分别是 ， ， 的中点， ，
的边长为2．求证：： 平面 ；
题型四：利用面面平行证明线面平行
【典例4-1】（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台 中，
分别为 的中点， ，侧面 与底面 所成角为 .
求证： 平面 ；
【典例4-2】（2024·江苏南京·二模）如图， ， ，点 、 在平面 的同侧，
， ， ，平面 平面 ， .求证： 平面 ；
【方法技巧】
本法原理：已知平面 平面 ，则平面 里的任意直线均与平面 平行
【变式4-1】（2024·四川达州·二模）如图，在直角梯形 中， ， ， ，
把梯形 绕 旋转至 ， ， 分别为 ， 中点．
证明： 平面 ；
【变式4-2】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考开学考试）如图，多面体 中，四边形
为矩形，二面角 的大小为 ， ， ， ， ．（1）求证： 平面 ；
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行
【典例5-1】如图，直四棱柱 被平面 所截，截面为CDEF，且 ，
， ，平面 与平面 所成角的正切值为 ．证明： .
【典例5-2】如图，平面ABCD, 平面ADE， ．求证： ．【方法技巧】
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
【变式5-1】如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为 和 为圆台的两条不同的母线.
分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且 为等边三角形. 求证： .
【变式5-2】（2024·江苏·模拟预测）如图，在四棱台 中，
， ， ．
记平面 与平面 的交线为 ，证明： ；
【变式5-3】（2024·甘肃·一模）如图，空间六面体 中, ,
，平面 平面 为正方形，平面 平面.
求证： ；
题型六：面面平行的证明
【典例6-1】如图，在多面体 中，四边形 是正方形， 平面 ， 平面 ，
．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ，求多面体 的体积．
【典例6-2】（2024·高三·陕西西安·期中）如图，在圆台 中， 为轴截面， ，
， 为下底面圆周上一点， 为下底面圆 内一点， 垂直下底面圆 于点 ，
．(1)求证：平面 平面 ；
【方法技巧】
常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同
时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．
【变式6-1】（2024·重庆·二模）如图，直棱柱 中，底面 为梯形， ，且
分别是棱 ， 的中点.
证明：平面 平面 ；
【变式6-2】（2024·四川眉山·三模）如图，在多面体 中，四边形 为菱形，平面 平
面 ，平面 平面 是等腰直角三角形，且 .证明：平面 平面 ；
【变式6-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 为矩形，M，
N分别为AC， 的中点．
求证：平面 平面 ；
题型七：面面平行的性质
【典例7-1】（2024·福建南平·二模）在正四面体 中， 为棱 的中点，过点 的平面 与平面
平行，平面 平面 ，平面 平面 ，则 ， 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【典例7-2】已知正方体 ，平面 与平面 的交线为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行 线面平
行”）
【变式7-1】如图，平面 平面 ， 所在的平面与 ， 分别交于 ， ，若 ， ，
，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
【变式7-2】如图，梯形 中 ，四边形 是梯形 在平面α内的投影（
），则对四边形 的判断正确的是（ ）
A．可能是平行四边形不可能是梯形 B．可能是任意四边形
C．可能是平行四边形也可能是梯形 D．只可能是梯形
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）在长方体 中， ，过顶点 作平
面 ，使得 平面 ，若 平面 ，则直线l和直线 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
题型八：平行关系的综合应用
【典例8-1】（2024·四川乐山·三模）在三棱柱 中，点 在棱 上，满足，点 在棱 上，且 ，点 在直线 上，若 平面 ，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例8-2】如图1， 是边长为3的等边三角形，点 分别在线段 上，且 ，
沿 将 翻折到 的位置，使得 ，如图2.
在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【方法技巧】
证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．
面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
【变式8-1】在三棱柱 中，点 、 分别是 、 上的点，且平面 平面 ，试
求 的值.
【变式8-2】（2024·上海嘉定·三模）在长方体 中， ， ，E、F、G
分别为AB、BC、 的中点.(1)求三棱锥 的体积；
(2)点P在矩形 内，若直线 平面 ，求线段 长度的最小值.
【变式8-3】如图，在正四面体 中， ，E，F，R分别是 ， ， 的中点，取 ，
的中点M，N，Q为平面 内一点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 平面 ，求线段 的最小值．
【变式8-4】如图，在三棱锥P-ABC中，PA 底面ABC，AC BC，H为PC的中点，M为AH的中点，
.
⊥ ⊥(1)求证： ；
(2)求点C到平面ABH的距离；
(3)在线段PB上是否存在点N，使MN 平面ABC？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
1．（2021年浙江省高考数学试题）如图已知正方体 ，M，N分别是 ， 的中点，
则（ ）A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 相交，直线 平面
D．直线 与直线 异面，直线 平面
2．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（琼、宁卷））已知平面α 平面β，α∩β＝l，点
A α，A l，直线AB l，直线AC l，直线m α，m β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
⊥
A．AB m B．AC m C．AB β D．AC β
∈ ∉ ∥ ⊥ ∥ ∥
∥ ⊥ ∥ ⊥
3．（多选题）（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版））如图，在下列
四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线
与平面 平行的是（ ）
A． B．C． D．
4．（2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（福建卷））如图，在正方体 中，
，E为AD的中点，点F在CD上，若 平面 ，则 .
1．如图， 是异面直线， ，求证： .2．如图， ，直线a与b分别交 于点A，B，C和点D，E，F，求证 .
3．一木块如图所示，点 在平面 内，过点 将木块锯开，使截面平行于直线 和 ，应该怎样
画线？
4．如图，在长方体 中，E，F分别是AB，BC的中点，求证 .
5．如图，在长方体木块 中，面 上有一点P，怎样过点P画一条直线与棱CD平行？6．如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A B C D 内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，
1 1 1 1
再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终呈棱柱形；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面EFGH所在四边形的面积为定值；
④棱AD 始终与水面所在平面平行；
1 1
⑤当容器倾斜如图(3)所示时，BE•BF是定值．
其中所有正确命题的序号是 ．
易错点：线面平行定理的理解不够准确
易错分析：在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，定要注意定理成立的条件，通常应严格按照
定理成立的条件规范书写步骤.
【易错题1】如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线
平面 的是（ ）A． B．
C． D．
【易错题2】如图，已知四棱锥 中，底面 是平行四边形， 为侧棱 的中点.
求证： 平面 ；
答题模板：面面平行的证明
1、模板解决思路
解决这类面面平行问题，关键在于利用面面平行的判定定理。核心步骤是在一个平面内找到两条相交
的直线，这两条直线需要平行于另一个平面。为了找到这样的直线，我们需要仔细分析题目给出的条件，
并结合所给的立体图形，从中寻找和平行关系相关的信息。有时候，我们也需要勇于做出合理的猜测，以辅助我们找到解决问题的线索。
2、模板解决步骤
第一步：在一个平面 内找到平行于平面 的两条相交直线a，b
第二步：通过线面平行的判定定理证明直线a，b都平行于平面 .
第三步：通过面面平行的判定定理得到平面 平行于平面 .
【典型例题1】如图所示，在三棱柱 中，若 、D分别为 、BC的中点，求证：平面
平面 ．
【典型例题2】如图，已知三棱柱 中， 与 交于点 为 边上一点， 为 中
点，且 平面 .求证：平面 平面 .
