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专题 21.1 一元二次方程定义及配方法解一元二次方程
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 一元二次方程的识别】....................................................................................................................1
【考点二 利用一元二次方程的定义求参数的值】........................................................................................3
【考点三 一元二次方程的一般形式、各项系数】........................................................................................5
【考点四 已知一元二次方程的解求参数（式子）的值】............................................................................6
【考点五 解一元二次方程——直接开平方法】............................................................................................8
【考点六 解一元二次方程——配方法】......................................................................................................10
【考点七 用配方法解一元二次方程错解复原】..........................................................................................13
【考点八 配方法的应用】..............................................................................................................................17
【过关检测】...................................................................................................................................................21
【典型例题】
【考点一 一元二次方程的识别】
【例题1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023春·河北石家庄·八年级石家庄二十三中校考阶段练习）下列方程中，一定是一元二次
方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·全国·九年级假期作业）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
① ；② ；③ ； ④ ； ⑤ ；⑥
．A．①②④⑥ B．② C．①②③④⑤⑥ D．②③
【变式1-3】（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）下列方程：① ；②
；③ ；④ ；⑤ 中，属于一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点二 利用一元二次方程的定义求参数的值】
【例题2】（2023·全国·九年级假期作业）当 ______时，关于 的方程 是一元二
次方程．
【变式2-1】（2023·山东青岛·统考二模）关于x的方程 是一元二次方程，则a的值为
________．
【变式2-2】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若方程 是关于x的一元二次方
程，则m等于_______．
【变式2-3】（2022秋·四川乐山·九年级统考期末）若 关于x的一元二次方程，则
__________．
【考点三 一元二次方程的一般形式、各项系数】
【例题3】（2023·全国·九年级假期作业）若方程 的二次项系数是4，则方程的一次
项系数是______，常数项是_______．
【变式3-1】（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）将方程 化为一般形式为
__________，其中 ________， ________， ________．
【变式3-2】（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）方程 的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．
【变式3-3】（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）将方程 化成一元二次方程的一般
形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ，则 ______．
【考点四 已知一元二次方程的解求参数（式子）的值】
【例题4】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）关于 的一元二次方
程 的一个根是0，则 的值为______．
【变式4-1】（2023·湖南长沙·校考二模）若 是一元二次方程 的一个根，则m的值是
________．
【变式4-2】（2023·甘肃平凉·统考二模）若m是方程 的一个根，则 的值为
______．
【变式4-3】（2023·全国·九年级假期作业）若m是一元二次方程 的根，则 的值
为_____
【考点五 解一元二次方程——直接开平方法】
【例题5】（2023·上海·八年级假期作业）解关于 的方程： ．
【变式5-1】（2023·上海·八年级假期作业）解关于 的方程： ．【变式5-2】（2023·江苏·九年级假期作业）解下列一元二次方程： ；
【变式5-3】（2023·上海·八年级假期作业）解下列方程：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【考点六 解一元二次方程——配方法】
【例题6】（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解关于 的方程： ．
【变式6-1】（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）解方程： ．
【变式6-2】（2023秋·广东东莞·九年级校联考期末）解方程： ．
【变式6-3】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）用配方法解 ．【变式6-4】（2023春·八年级单元测试）用配方法解一元二次方程： ．
【变式6-5】（2022春·江苏南通·八年级校考期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
【考点七 用配方法解一元二次方程错解复原】
【例题7】（2023·全国·九年级假期作业）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程 的过程：
解：移项得
配方：
开平方得：
移项：
所以： ，
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【变式7-1】（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）阅读材料，并回答问题：
佳佳解一元二次方程 的过程如下：
解：
-------------------------------- ①----------------------------- ②
-------------------------------③
--------------------------------④
．
问题：
(1)佳佳解方程的方法是______；
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
(2)上述解答过程中，从______步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是______；
(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．
【变式7-2】（2023秋·山西朔州·九年级统考期末）下面是某同学解方程 的部分运算过程：
解：移项，得 ，…………………第一步
配方，得 ，………………第二步
即 ，………………………………第三步
两边开平方，得 ，……………………第四步
…
(1)该同学的解答从第______步开始出错；
(2)请写出正确的解答过程．
【变式7-3】（2023春·八年级单元测试）用配方法解一元二次方程： ．小明同学的解题过
程如下：解：
，
小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．
【考点八 配方法的应用】
【例题8】（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如
的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫作“配方法”．运用多
项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如
．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)分解因式： ．
(2)求多项式 的最小值．【变式8-1】（2023春·浙江·七年级专题练习）代数式 的最小值为（ ）．
A． B．0 C．3 D．5
【变式8-2】（2023春·浙江·七年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行
有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式： ，解：原式
② ，利用配方法求M的最小值：
解：
因为 ，所以当 时，M有最小值5
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式 ；
(2)用配方法因式分解 ；
(3)若 ，求M的最小值．
【变式8-3】（2023秋·河南信阳·八年级统考期末）教材中这样写道：“我们把多项式 及
叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：
先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配
方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能
解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式 ．
原式 ；；
例如：求代数式 的最小值．
原式 ．
，
当 时， 有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)求代数式 的最小值；
(3)若 当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·九年级假期作业）将方程 化为一元二次方程的一般式，正确的是（ ）A． B． C． D．
3．（2023·安徽阜阳·统考三模）若关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D． 或
4．（2020秋·广东清远·九年级期末）若关于 的一元二次方程 有一个根是0，则 的值
为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）用配方法解方程 时，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2020秋·广东清远·九年级期末）一元二次方程 有一个根为2，则 __．
7．（2022秋·湖北恩施·九年级校联考期中）二元一次方程 的二次项系数是___________，
一次项系数是___________ 常数项是___________．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）若方程 是关于x的一元二次方程，则
__________．
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）m＝______时，关于x的方程 是一元二次方程．
10．（2023·江苏·九年级假期作业）若m是方程 的一个根，则代数式 的值为
________．
三、解答题
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知方程 是关于x的一元二次方程，求a
的值．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、
一次项系数及常数项．(1) ．
(2) ．
(3) ．
13．（2023·江苏·九年级假期作业）用配方法解方程： ．
14．（2022秋·广东广州·九年级铁一中学校考开学考试）解方程：
(1) (2) ．
15．（2022春·八年级单元测试）解方程：
(1) (2)
16．（2022春·八年级单元测试）按照指定方法解下列方程：
(1) （用直接开平方法） (2) （用配方法）17．（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解下列方程
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
18．（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
19．（2023春·八年级课时练习）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解： 第一步第二步
第三步
第四步
第五步
所以， 第六步
任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第
________步开始出现错误；
任务二：请你直接写出该方程的正确解．
20．（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）【阅读理解】我们知道 ，所以代数式 的最小值为0，
可以用公式 来求一些多项式的最小值．
例如：求 的最小值问题
解：∵
∵ ，∴ ，
∴ 的最小值为-8．
【类比应用】请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)类比： 的最小值为_______．(2)探究：代数式 有最______（填“大”或“小”）值为______．
(3)拓展：如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的棚栏的总长是20米，设垂直墙面的
棚栏围x米，则当x为多长时花圃面积最大，最大面积是多少？
