文档内容
专题21.31 用一元二次方程解决几何问题（分层练习）（培优练）
一、单选题
1．关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 ， ，且以 ， ，6为三边的三角
形恰好是等腰三角形，则 的值为（ ）
A．24 B．25 C．24或25 D．无法确定
2．设a、b、c是一个三角形三边的长，如果关于x的方程 有两个相等的实数
根，则该三角形的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不确定
3．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程 一个实数根，则该三角形的
面积是（ ）
A．24 B．48 C．24或 D．
4．如图，矩形 中， ，将矩形沿对角线 翻折，点B的对应点为点 ， 交
于点E，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在y轴上，边 在x轴上，点B的坐标是 ，
D为 边上一个动点，把 沿 折叠，若点A的对应点 恰好落在矩形的对角线 上，则点
的坐标为（ ）A． B． C． D．
6．如图，在菱形 中，在对角线 上取一点E，使得 ，连接 ，若 ，
，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
7．如图，四边形 是边长为 的菱形，对角线 、 的长度分别是一元二次方程
的两实数根， 是 边上的高，则 值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0
的根，则平行四边形ABCD的周长为（ ）A．12-6 B．6 +12 C．4+2 D．4-2
9．如图，平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，连接AC，以B为圆心，BC长为半径作弧，交AC
于点E分别以C，E为圆心，以大于 CE的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线BF，交CD于G，
交AC于点H．若AE＝EH，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．2
10．如图，菱形 中， ， ，点 是 上一点，将菱形沿着 折叠，使点 落在
点 处， 与 交于点 ，点 是 的中点， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 的两个实数根，当四
边形ABCD是菱形，这时菱形的边长为 ．12．菱形 的两边 ， 的长是关于x的方程 的两个实数根，则菱形的边长
为 ．
13．如图，将长宽比为 的矩形 沿着 折叠，使点C落到宽 上点 处，点B落到点
处，且满足 ，则 ．
14．如图，在矩形 中，对角线 上有两动点E和F，连接 和 ，若 ，
， ，则 的最小值是 ．
15．如图，正方形 的边长为 ，点 在线段 上，且四边形 为菱形，则 的长为
．
16．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点，将三角形CDE沿DE翻折，点
C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF＝2：3，若BE＝16，则CE的长度为 ．17．如图，在平行四边形 中， ， 是锐角， 于点E，F是 的中
点，连接 ．若 ，则 长为 ．
18．已知平行四边形 ， ， ，点 在边 上，将平行四边形沿 翻折，使
点 落在边 的 处，且满足 ，则 ．
19．如图所示，在矩形ABCD中， ，点P在边CD上，且 ，将 沿BP折叠，若
点C的对应点F落在矩形ABCD的边上，则CD的长度为 ．
20．如图，在平行四边形 中， ， ， 是锐角， 于点E，F是 的
中点，连结 ．若 ，则 的长为 ．三、解答题
21．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点
B，点C在直线 上，且点C的纵坐标为2．
(1) 求直线 的解析式；
(2) 点P是射线 上一点，连接 ，设点P的横坐标为t， 的面积为S，求S与t之间的函数
关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3) 在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点Q，使以O，B，P，Q为顶点的四边形是以 为一
边的菱形?若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．22．如图，矩形 中， ，点M，N分别为 上一点，且 ，连接
．
(1) 当 时，求证：四边形 是菱形；
(2) 填空：①当 时，四边形 是矩形；②当 时，以 为对角线的正方形的面积为
．
23．如图 ，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ．点 在线段
上，且 ，点 在直线 上， 的横坐标为 ，连接 ，以 ， 作平行四边形 ．
(1)当 时，求点 的坐标；
(2)若平行四边形 的面积等于 ，求 的值；
(3)如图 ，作点 关于原点 的对称点 ，以 为直角边在 轴下方作 ，使得
， ，当点 恰好落在 的一边上时，求 的值．24．已知：平行四边形 的两边 、 的长是关于x的方程 的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形 是菱形？
(2)若 ，求m的值．
25．如图，正方形 的边长是3，点 是直线 上一点，连接 ，将线段 ，将线段 绕点
逆时针旋转90°得到线段 ，在直线 上取点 ，使 ，且点 与点 在 同侧，连接 ，
．
(1) 如图①，当点 在 延长线上时，求证：四边形 是平行四边形；
(2) 如图②，当点 在线段 上时，四边形 是否还是平行四边形，说明理由；
(3) 在图②的条件下，四边形 的面积是否存在正好等于正方形 的面积的一半，若存在求
出此时 长；若不存在，请说明理由26．综合与探究
如图1，一次函数 的图象与坐标轴交于 ， 两点，点 的坐标为 ，点 是线段 上一
动点，点 的横坐标为 ．
(1) 直接写出点A，B的坐标及直线 的解析式；
(2) 如图1，连接 ，当 的面积等于 的面积时，求点 的坐标；
(3) 如图2，过点 作直线 的平行线 ，在直线 上是否存在一点 ，使四边形 是菱形？若存
在，请直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案
1．C
【分析】分类讨论6为底边和6为腰两种情况，结合一元二次方程的根与其根的判别式的情况即可确
定 的值．
解：①当6为底边时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴方程为 ，
解得： ，
∵ ，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
②当6为腰时，则设 ，
∴ ，
∴ ，
∴方程为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述： 或25．
故选：C．
【点拨】本题考查三角形三边关系以及一元二次方程的根与根的判别式．利用分类讨论的思想是解答
本题的关键．
2．C【分析】由一元二次方程根的判别式，求出 ，即可进行判断．
解：∵ 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴该三角形的形状为直角三角形；
故选：C
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式进行计算．
3．C
【分析】先利用因式分解法解方程得到x=6，x=10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾
1 2
股定理可计算出底边上的高= ，则根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10
时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解．
解： ，
，
或 ，
所以 ， ，
当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高 ，此时三角形的面积
，
当第三边长为10时，∵ ,
∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积 ．
故选C．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的
方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直角三角形的判定和勾股定理的应
用．
4．D【分析】设 ，求出 ，得到 ，由 得到
，由折叠的性质得到进一步得到 ，在 中得到 ，
解方程即可得到答案．
解：设 ，
在矩形 中， ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵矩形沿对角线 翻折，点B的对应点为点 ， 交 于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 （不合题意，舍去）， ，
∴ ．
故选：D
【点拨】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、一元二次方程的应用，
熟练掌握折叠的性质和利用勾股定理得到一元二次方程是解题的关键．
5．A
【分析】过点 作 轴于点 ，先利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，从而
可设点 的坐标为 ，则 ，再根据折叠的性质可得 ，
然后在 中，利用勾股定理可求出 的值，由此即可得．解：如图，过点 作 轴于点 ，
矩形 的边 在 轴上，边 在 轴上，点B的坐标是 ，
，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
由折叠的性质得： ，
在 中， ，即 ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质、一次函数的几何应用、勾股定理、折叠的性质、一元二次方程的应
用，正确求出直线 的函数解析式是解题关键．
6．B
【分析】如图所示，连接 交 于O，利用菱形的性质得到 ， ，设 ，则 ，利用勾股定理得到 ，即 ，解方程即可得到
答案．
解：如图所示，连接 交 于O，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，正确作出辅助线构造直角三角形
是解题的关键．
7．A
【分析】先根据菱形的性质得到 ， ， ， ，利用勾股定理得到
，利用根与系数的关系求出 ，再根据完全平方公式的变形
求出 ，得到 ，再根据菱形面积公式求出 的长即可．
解： 四边形 是菱形，
， ， ， ，
，，
对角线 ， 的长度分别是一元二次方程 的两实数根，
， ，
， ，
，
，
解得： ， ，
当 时， ，不符合题意，舍去，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
是 边上的高，
，
，
．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，一元二次方根与系数的关系，灵活运用所学知识是
解题的关键．
8．C
【分析】先解方程求得a的值，再根据勾股定理求得AB的长度，从而计算出 的周长即可．
解：x2+2x－3=0，
（x－1）（x+3）=0，
即x=1或－3，
a=1，
AE=EB=EC=1，在Rt 中，AB= ，BC=2，
的周长=2（AB+BC）=4+ ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，掌握一元二次方程的解法以及勾股
定理的应用是解题关键．
9．D
【分析】由作法得出BG垂直平分CE，从而可证得AE＝EH＝CH，设AE＝x，BH＝y，则AH＝2x，
AC＝3x，在Rt△ABH与Rt△CBH中，利用勾股定理建立方程求出x值，即可求解．
解：由作法得BG垂直平分CE，
∴EH＝CH，∠BHA＝∠BHC＝90°，
∵AE＝EH，
∴AE＝EH＝CH，
设AE＝x，BH＝y，则AH＝2x，AC＝3x，
在Rt△ABH中，4x2+y2＝62，①
在Rt△CBH中，x2+y2＝42，②
①﹣②得3x2＝20，
解得x ，
∴AC＝3x＝2 ．
故选：D．
【点拨】本题考查用尺规作线段垂直平分线，勾股定理，掌握尺规基本作图和利用勾股定理建立方程
求解是解题的关键．
10．D
【分析】作辅助线如解析图，要求 ，因为 ，故只要求出 即可，根据三角形的中位线
定理和含30度角的直角三角形的性质依次求出 ，然后设
，在 中，由勾股定理列出方程即可求出 ．
解：取 的中点I，过点B作 交 的延长线于点J，连接 ，如图，∵点 是 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵将菱形沿着 折叠，使点 落在点 处， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，解得 （舍去负值），
∴ ，
∴ ， ，
延长 交于点K，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
作 于点L，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴设 ，
在 中，由勾股定理得 ，解得 ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查了菱形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、一
元二次方程的求解、勾股定理以及等腰三角形的判定和性质等知识，综合性较强，难度较大，正确添加辅
助线、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键．
11．
【分析】由菱形的性质可得AB=AD，结合一元二次方程的根的判别式可得关于m的方程，解之即可求
出m的值，将其代入原方程后再解方程即得答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵AB，AD 的长是关于x的方程 的两个实数根，
∴ ，解得：m =m =1；
1 2
当m=1时，原方程为 ，解得：x =x = ；
1 2
即菱形的边长为 ．
故答案为： ．【点拨】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法和根的判别式，属于常见题型，熟练掌握上述
知识是解题关键．
12． /0.5
【分析】根据菱形的边 ， 的长是关于x的方程 的两个实数根，得到 ，
求得 ，原方程的两个实数根为 ，得到菱形 的边长是 ．
解：∵四边形 是菱形，
∴ ．
又∵ ， 的长是关于x的方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
当 时，原方程为 ，即 ，
解得： ，
∴菱形 的边长是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了菱形，一元二次方程等，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，一元二次
方程的根的判别式，解一元二次方程．
13．
【分析】设矩形 的长为 ，宽为 ，则 ，设 ，由题意可知，
，根据勾股定理得到 ，则 ，解得 ，即可得
到 ．解：设矩形 的长为 ，宽为 ，则 ，设 ，
由题意可知，点C落到宽 上点 处，
∴ ，
由折叠可知， ，
则 ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中，由勾股定理得到 ，
即 ，
则 ，
解得 （不合题意，舍去）， ，
即 ，
∴ ．
故答案为：
【点拨】此题考查了矩形性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等知识，熟练掌握矩形性质
和折叠的性质是解题的关键．
14．17
【分析】如图，连接 ， ，由全等三角形判定（ ）可以证得 ，得到 ，
进而得到 ，再根据题意及勾股定理求出 的值，即可得出答案．
解：如图，连接 ， ，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
，
，，
，
又 ， 为矩形的对角线，
，
是直角三角形， ， ，
，
移项得 ，
配方得 ，
，
解得 ，或
，
，
，
故答案为：17．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及
解一元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程方法是解题关键．
15．
【分析】过点F作FG⊥BC交BC延长线于G，根据正方形性质可得：BD=2，∠CBD＝45°，再由菱形
性质可得：CE//BD，BF＝BD=2，∠FCG＝∠CBD＝45°，因此△CFG是等腰直角三角形，设CG＝FG＝
m，则CF= m，由勾股定理可列方程求解．
解：如图，过点F作FG⊥BC交BC延长线于G，则∠CGF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝ ，∠BCD＝90°，∠CBD＝45°，
∴BD= =2，
∵四边形BFED为菱形，
∴CE//BD，BF＝BD=2，
∴∠FCG＝∠CBD＝45°，
∴△CFG是等腰直角三角形，
设CG＝FG＝m，则CF= m，
∴BG＝ +m，
∵在Rt△BFG中， ，
∴ ，
解得： ， (舍去)，
∴CF= （- ）= ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了正方形性质，菱形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，解题关键是利
用勾股定理建立方程求解．
16．19【分析】作EM⊥AB于M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM＝ BE＝8，ME＝ BM
＝8 ，由折叠的性质得出FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，得出BF＝ （16+x），求出FM
＝BF﹣BM＝ （16+x）﹣8＝ + x，在Rt△EFM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：作EM⊥AB于M，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB，∠B＝60°，
∵EM⊥AB，
∴∠BEM＝30°，
∴BM＝ BE＝8，ME＝ BM＝8 ，
由折叠的性质得：FE＝CE，设FE＝CE＝x，
则AB＝BC＝16+x，
∵AF：BF＝2：3，
∴BF＝ （16+x），
∴FM＝BF﹣BM＝ （16+x）﹣8＝ + x，
在Rt△EFM中，由勾股定理得：（8 ）2+（ + x）2＝x2，
解得：x＝19，或x＝﹣16（舍去），
∴CE＝19；
故答案为19．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟
练掌握翻折变换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．17．
【分析】设 ，通过作辅助线构造平行四边形 ，可用x表示出 ，最后分别在
和 中利用勾股定理得到用x表示 的式子，建立方程后，求出x，进而即可求出 的长．
解：设 ，则在 中有 ．
如图，延长 至点G使 ，连接 ，
∵F是 的中点，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
又∵ ，
∴ 三点共线，
∴ ．
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： （舍），
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题综合考查平行四边形的性质与判定、线段的垂直平分线的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用等内容，要求学生能够通过作辅助线构造平行四边形或等腰三角形，能利用勾股定理建立
方程求出线段的长，本题综合性较强，运用了数形结合思想，考查了学生的综合分析能力．
18． /
【分析】过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ，得出 是等腰直角三角形，
设 ，则 ，在 中， ，求得 ，在 中，
，得出 ，即可求解．
解：如图，过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ，
设 ，
则 ，
∵ ，四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，在 中， ，
即
解得： 或 （舍去）
在 中， ，
∴
解得：
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解一元二次方程，正确的作出图形
是解题的关键．
19． 或
【分析】根据矩形的形状分类讨论，分AD＞DC和AD＜DC两种情况讨论，当AD＞DC时，点F落在
AD边上，则设CD的长度为x．根据翻折的性质，有 ， ．即在 中，用勾股
定理表示出 ，再在 中，利用勾股定理得 ，解方程即可得解；当AD＜DC时，
由翻折变换可知四边形BCPF是正方形，即有PC=BC，则CD易求．
解：如图1所示，AD＞DC时，
当点F落在AD边上，则设CD的长度为x．
由翻折变化可知， ， ．在 中，
由勾股定理得， ，
∴ ．
根据翻折可知BF=BC，
在 中，
由勾股定理得， ，即 ，
解得 ，或 （舍去）；
如图2所示，AD＜DC时，
当点F落在AB边上，由翻折变换可知，四边形BCPF是正方形，
∴ ，
解得 ．
故CD的长度为： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了几何图形的翻折、勾股定理、正方形的判定与性质以及一元二次方程的应用等知
识，注重分类讨论的思想是解答本题的关键．
20．
【分析】如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x＋2，利用
勾股定理构建方程即可解决问题．解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，
∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x＋2，
∵AE⊥BC，BC AD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2−AD2＝AB2−BE2，
∴（x＋2）2−4＝6−x2，
整理得：2x2＋4x−6＝0，
解得x＝1或−3（舍弃），
∴BE＝1，
∴AE＝ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性
质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
21．(1) ；(2) ；(3) 或
【分析】（1）先求出点C坐标，再运用待定系数法求出直线 的解析式即可；（2）求出 ，设 ，由三角形面积公式可得结论；
（3）分 为边长或对角线两种情况画出图形，根据菱形的性质即可得出Q点的坐标．
解：（1）对于 ，点C在直线上，且点C的纵坐标为2．即 ，
∴
解得， ，
∴ ,
设直线 的解析式为 ，
把 代入得，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）点P是射线 上一点，点P的横坐标为t，
∴ ，
对于 ，当 时， ；当 时， ，解得， ，
∴
∴ ；
（3）①若 为边， 为对角线时，如图1，∵
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵点 与点 关于 轴对称，
∴ ；
②若 为边， 为边时，如图1，过点P作 轴于点E，如图2，则有：
∴ ，
在 中， ,
∴
解得， 或 （舍去），
∴ ,
把点 向下平移5个单位得点 ，
∴ ，
综上，点Q的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查了一次函数，熟练运用待定系数法、菱形的判定是解题的关键．
22．(1)见分析；(2)①4；② 或
【分析】（1）求出四边形 的各个边长即可；
（2）设 ，①四边形 是矩形时 ，列方程计算即可；
②以 为对角线的正方形的面积为 解方程即可．
解：（1）∵矩形 中，
∴ ,
∵ ，
∴ ， ， ，
∴
∴四边形 是菱形
（2）设 ，则①∵四边形 是矩形
∴ ，
∴ ，解得
即当 时，四边形 是矩形；
故答案为：4；
②当 或 时，以 为对角线的正方形的面积为
证明：当 时，
过N作 于 ，则四边形 是矩形
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵以 为对角线的正方形的面积为 ，
∴
∴ ，
解得 或 ，
即当 或 时，以 为对角线的正方形的面积为 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查特殊四边形的判定与性质，解一元二次方程，理解矩形、菱形、正方形的性质是解
题的关键．23．(1) ；(2) ；(3)当点 恰好落在 的一边上时， 的值为 或 ．
【分析】（1）先求出 ，可得 ，即 ，再求出点 ，设点C的坐标为 ，
根据平行四边形的性质，可得 的中点重合，即可求解；
（2）由题意得： ，点Q的纵坐标为 ，再根据 ，即
可求解；
（3）根据题意得：在平行四边形 中， ， ， ，可得到
，然后分两种情况讨论，即可求解．
解：当 时， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即点 ，
当 时， ，
∴点 ，
设点C的坐标为 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ 的中点重合，
∴ ，解得： ，
；（2）解：由题意得： ，点Q的纵坐标为 ，
，
，
解得： ， （舍去）．
．
（3）解：根据题意得：在平行四边形 中， ， ， ，
，
是 关于 的对称点，
．
①当点 在 上时， ， 的横坐标相同， ，解得 ；
②当点 在 上时，作 于点 ，则 ， ，
， ，
，
．，
，解得 ．
综上，当点 恰好落在 的一边上时， 的值为 或 ．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，一元二次方程的应用，利用数
形结合思想解答是解题的关键．
24．(1) ；(2)
【分析】（1）根据题意 ，构建方程，解方程即可．
（2）利用根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可解决问题．
解：（1）四边形 为菱形，则方程有两个相等的实数根，
∴ ，
即 ，
解得 ，
所以当 时，四边形 为菱形．
（2）∵ 、 的长是关于x的方程 的两个实数根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【点拨】本题考查菱形的性质、一元二次方程的解、根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握基本
知识，用转化的思考思考问题．
25．(1)见分析；(2)是，见分析；(3)不存在，见分析
【分析】（1）由正方形的性质可以得出 ， ，可以得出 ，
由其性质就可以得出结论；（2）由正方形的性质可以得出 ， ，可以得出 ，由其性质
就可以得出结论；
（3）设 ，则 平行四边形 的面积为 ，由平行四边形的面积公式就可以求出其
解析式，再根据四边形 的面积等于正方形 的面积的一半，得到 方程 ，然后
根据根的判别式判定方程无解即可得出结论．
解：（1）证明： 四边形 是正方形，
，
在 和 中，
，
，
， ．
，
．
，
．
，
，
即 ，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解：四边形 是平行四边形，
理由： 四边形 是正方形，
，
在 和 中，
，
，， ．
，
．
，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（3）解：不存在．
理由：设 ，则 平行四边形 的面积为 ，
由题意得：
整理为 ，
∵ ，
∴此方程无解，
∴四边形 的面积不存在正好等于正方形 的面积的一半．
【点拨】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性
质的运用，平行四边形的面积公式的运用，一元二次方程根的判别式，解答时灵活运用平行四边形的判定
方法是关键．
26．(1) ， ，直线 的解析式： ；(2) ；(3)存在．
【分析】（1）根据一次函数 的图象与坐标轴交于 ， 两点求解 ， 两点的坐标，从而求
解；
（2）过点 作 轴的垂线，根据 的面积等于 的面积列方程求解即可；
（3）根据四边形 是菱形， ， 的坐标为 ，得出
即可解答．解：（1） 一次函数 的图象与坐标轴交于 ， 两点，点 的坐标为 ，
， ，
点 的坐标为 ，
直线 的解析式： ；
（2）解：过点 作 轴的垂线，垂足为 ，
点 在线段 上，横坐标为 ，
纵坐标为 ，则 ，
， ，
，
解得， ，
点 的坐标为 ，
（3） 四边形 是菱形， ， 的坐标为
，
，
设 ，其中 ，
∴ ，
解得： ， （不合题意舍去），
即点 ，
四边形 是菱形，
∴点E坐标为 即 ，
【点拨】该题主要考查了一次函数的解析式求法，一次函数的性质与图像以及一次函数与三角形面积
求解，菱形的性质等知识点，解题的关键是能够画出菱形的图像，将题目转化为全等三角形线段关系求解．
