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专题 21.3 几何动点问题
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A出发，沿AB向点B以
1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动．
（1）经过多少秒后，△PBQ的面积为8cm2？
（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由．
（3）若点P从点A出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线CB方向以
2cm/s的速度移动，经过多少秒后△PBQ的面积为1cm2？
【思路点拨】
（1）根据三角形面积公式列出方程，解方程即可；
（2）根据三角形面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答；
（3）分点P在线段AB上，点Q在线段CB上、点P在线段AB上，点Q在射线CB上、点P在射线AB
上，点Q在射线CB上三种情况，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案．
【解题过程】
（1）解：设经过x秒后，△PBQ的面积为8cm2．
根据题意得：AP=xcm,BQ=2xcm，
∴BP=(6−x)cm，
1
∴ (6−x)⋅2x=8，解得x =2，x =4，
2 1 2
故经过2秒或4秒后，△PBQ的面积为8cm2；
（2）解∶ 设经过t秒后，线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分．
1
∵S = ×6×8=24，
△ABC 21 1
∴S = (6−t)⋅2t= ×24，即t2−6t+12=0．
△PBQ 2 2
∵ ，
Δ=b2−4ac=(−6) 2−4×12=−12<0
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．
（3）解：设y秒后，△PBQ的面积为1cm2；
分三种情况：
①点P在线段AB上，点Q在线段CB上(06)，如图所示，
1
依题意得： (y−6)(2y−8)=1，
2
即y2−10 y+23=0，
解得 ，
y =5+❑√2，y =5−❑√2
1 2
经检验， 不符合题意，舍去，
y =5−❑√2
2
∴y=5+❑√2，
综上所述，经过 秒或5秒或 秒后， 的面积等于 ．
(5−❑√2) (5+❑√2) △PBQ 1cm2
1．（2022春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝
30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以2cm/s的
速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过_________________秒后△PBQ的面积等于4cm2．
2．（2022秋·山东临沂·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点
P从点A开始沿AB边向B点以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过______秒后，P，Q两点间距离为4❑√2厘米．
3．（2022春·浙江杭州·九年级专题练习）如图，长方形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分
别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一
点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒，当t=________时，以点P、Q、D为顶点的三角
形是等腰三角形．
4．（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=4cm，一
动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运
动，P，Q两点同时出发，运动时间为t(s)．
1
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的 ，求t的值？
4
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC
边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B
点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S QPC＝ cm2；
△
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S QPC＝4cm2？
△
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=8cm．点P从点A开
始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一
点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．
（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．7．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P
从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速
度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为t秒．当点Q运动到点B时，两点停止运动．
（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离为______cm．（用含t的代数式表示）
1
（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的 ．若存在，求t的值；若
6
不存在，说明理由．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12 cm，BC=16 cm．点 P从点
A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s的速度移动，点 Q从点 B开始沿 BC 边向点 C以 2 cm/s的速度移
动．如果 P、 Q分别从 A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时
间为 t秒．
（1）当 t 为何值时，△PBQ的面积等于 35cm2？
（2）当 t 为何值时，PQ的长度等8❑√2cm？（3）若点 P，Q的速度保持不变，点 P在到达点 B后返回点 A，点 Q在到达点 C后返回点 B，一个点
停止，另一个点也随之停止．问：当 t为何值时，△PCQ的面积等于 32cm2？
9．（2022秋·广东东莞·九年级统考阶段练习）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，
BC=8cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向
点C移动．
（1）如果P，Q两点同时出发，当某个点先到达终点时，运动终止．问：几秒钟后△PCQ的面积等于
8cm2？
（2）如果P，Q两点同时出发，且点Q到达点C后立即返回，速度保持不变，直到点P到达点C后同时
停止运动，那么在整个移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于1cm2？若存在，求出运
动时间；若不存在，请说明理由．
10．（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛实验初级中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝
10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以
1cm/s的速度向终点C运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
（2）是否存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2？若存在请求出t，若不存在，请说明理由．
11．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动
点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是
2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．
（1）当t＝4时，求△APQ的面积．
（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．
12．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动
点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距
离是多少cm？
（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，
问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止
时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
13．（2023春·八年级单元测试）如图，平行四边形ABCO位于直角坐标系中，O为坐标原点，点
A(−8,0)，点C(3,4)BC交y轴于点D. 动点E从点D出发，沿DB方向以每秒1个单位长度的速度终点B
运动，同时动点F从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E运动到点B时，
点F随之停止运动，运动时间为 t（秒）．
（1）用t的代数式表示： BE= ________， OF= ________
（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
（3）当△BEF恰好是等腰三角形时，求t的值．14．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P
从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向
点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止
运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？
（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止
运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分
△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由．15．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，矩形ABCD，AB=6cm，AD=2cm，点P以2cm/s的速度从
顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个
动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
4
（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ；
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（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为❑√5？若存在，求出运动所需的时间；若不存
在，请说明理由．16．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，
AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点
Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运
动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当0
