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专题22.1.3 二次函数y=a(x-h)²与y=a(x-h)²+k的图像和性质
（五大题型）
【 题 型 1 ： 二 次 函 数 y=a(x-h)² 的 图 像 和 性
质】........................................................................3
【题型2：二次函数y=a(x-h)²的中的y值大小比较】.......................................................3
【题型3：二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质】........................................................3
【 题 型 4 ： 二 次 函 数 y=a(x-h)² +k 中 y 值 大 小 比
较】...............................................................3
【题型5：二次函数y=a(x-h)²+k图像变换问题】.....................................................5
【题型1：二次函数y=a(x-h)²的图像和性质】
1．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）二次函数y=2(x+1) 2的顶点坐标是（ ）
A．(−1,2) B．(−1,0) C．(1,0) D．(0,−1)
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数y=a(x−ℎ) 2 (a，h为常数，a≠0)的性质，
y=a(x−ℎ) 2中，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(ℎ,0)，对称轴是直线
x= ℎ．据此求解即可．
【详解】解：二次函数y=2(x+1) 2的顶点坐标是(−1,0)．
故选B．
1
2．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）抛物线y=−3(x−4) 2与抛物线y= x2 的相同
2
点是（ ）A．对称轴相同 B．顶点相同
C．顶点都在x轴上 D．形状相同
【答案】C
【分析】此题考查了 抛物线的性质，根据抛物线的解析式确定抛物线的对称轴，开口
方向，顶点坐标，两抛物线的形状，即可得到答案
【详解】解：抛物线y=−3(x−4) 2的开口向下，对称轴为直线x=4，顶点坐标为(4,0)
1
抛物线y= x2 的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)，
2
1
抛物线y=−3(x−4) 2与抛物线y= x2 的a值不相等，故形状不同，
2
∴两个抛物线的顶点都在x轴上，
故选：C
3．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）关于抛物线y=(x−1) 2，下列说法错误的是
（ ）
A．开口向上 B．当x>1时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线x=1 D．与坐标轴有两个交点
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
根据二次函数的图象与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：对于抛物线y=(x−1) 2=x2−2x+1，
∵a=1>0，
∴开口向上，A正确；
对称轴是直线x=1，C正确；
当x>1时，y随x的增大而增大，B错误；
当y=(x−1) 2=0时，
解得x=1，
∴抛物线与x轴有一个交点，
又∵抛物线与y轴有一个交点，
∴抛物线与坐标轴有两个交点，D正确；故选：B．
4．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）对于函数y=3(x−2) 2，下列说法正确的是
（ ）
A．当x>0时，y随x的增大而减小 B．当x<0时，y随x的增大而增大
C．当x>2时，y随x的增大而增大 D．当x>−2时，y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】利用形如y=a(x−ℎ) 2 (a≠0)的形式的二次函数的性质进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数y=3(x−2) 2的对称轴为直线x=2，a=3>0，
∴二次函数的开口向上，当x>2时，y随x的增大而增大，
故A、B、D错误，C正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=a(x−ℎ) 2 (a≠0)中，a决定抛物线
的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口，当a<0时，抛物线向下开口，对称轴
为直线x= ℎ，熟练掌握此二次函数的性质是解题的关键．
5．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数y=3(x−ℎ) 2，当x>1时，
y随x的增大而增大，则ℎ的取值范围是 ．
【答案】ℎ≤1
【分析】本题考查二次函数的性质，根据题中条件可得出抛物线的对称轴相对于直线
x=1的位置，进而可解决问题．
【详解】解：∵二次函数y=3(x−ℎ) 2的对称轴为直线x= ℎ，且开口向上，
∴当x> ℎ时，y随x的增大而增大，
∵当x>1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线的对称轴不能在直线x=1的右侧，
∴ℎ≤1．
故答案为：ℎ≤1．
6．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知关于x的二次函数y=−(x−ℎ) 2，当2≤x≤5时，函数有最大值−1，则ℎ的值为 ．
【答案】1或6
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，分ℎ >5，ℎ <2，2≤ℎ≤5三种情况，进行
讨论求解即可．
【详解】解：∵y=−(x−ℎ) 2，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x= ℎ，
∴当x< ℎ时，y随x的增大而增大，当x> ℎ时，y随x的增大而减小，
∵当2≤x≤5时，函数有最大值−1，
①当ℎ >5时，则：当x=5时，函数有最大值为：−(5−ℎ) 2=−1，解得：ℎ =4（舍
去）或ℎ =6；
②当ℎ <2时，则当x=2时，函数有最大值为：−(2−ℎ) 2=−1，解得：ℎ =3（舍去）
或ℎ =1；
③当2≤ℎ≤5时，则：当x= ℎ时，函数有最大值为：−(ℎ−ℎ) 2=0，不符合题意；
故答案为：1或6．
7．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）已知抛物线y=(k+1)x2，开口向下， 则k的取
值范围是 ．
【答案】k<−1
【分析】根据二次函数开口向下二次项系数k+1<0即可求出答案．
【详解】解：由 题意可知：k+1<0，
解得k<−1．
故答案为：k<−1．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．
8．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线y=4(x−2) 2与x轴的交点坐标为
．
【答案】(2,0)
【分析】根据二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：抛物线y=4(x−2) 2与x轴的交点坐标为(2,0)，故答案为：(2,0)．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数y=a(x−ℎ) 2
顶点坐标在x轴上，顶点坐标为(ℎ,0)．
【题型2：二次函数y=a(x-h)²的中的y值大小比较】
1．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数y=−2(x+5) 2的图象上有三个点，坐
标分别为A(2,y )，B(3,y )，C(−4,y )，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【答案】C
【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为x=−5，图像开口向下，
A、B、C三点在对称轴右边，y随x的增大而减小，进而求解即可．
【详解】解：由二次函数y=−2(x+5) 2可知，对称轴为x=−5，开口向下，
∴ A(2,y )，B(3,y )，C(−4,y )三点在对称轴右边，y随x的增大而减小，
1 2 3
∵−4<2<3，
∴y >y >y
3 1 2
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的增减性：当二次项系数a>0时，开口向上，在对称轴的左
边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a<0时，开口向下，
在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小，熟练掌
握二次函数增减性并灵活运用是解决问题的关键．
2．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）设A(−2,y )，B(1,y )，C(2,y )是抛物线
1 2 3
y=−(x+1) 2+m上的三点，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y −1，y随x的增大而减小，
∵0<1<2，
∴y |4−2)>|1−2)
∴y ”或者“=”）
1 2
【答案】>
【分析】由二次函数的解析式，分别把x=−2和x=1代入计算求出y ，y 的值，再进
1 2
行比较即可．
【详解】解：∵点(−2,y )，(1,y )在抛物线y=−(x+1) 2上，
1 2
∴当x=−2时，y =−(x+1) 2=−1；
1
当x=1时，y =−(x+1) 2=−4．
2
∵−1>−4，
∴y >y ，
1 2
故答案为：>．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的性质，从而进
行解题．
5．（23-24九年级上·山东济宁·期中）已知点(−7,y )，(−3,y )，(4,y )都在二次函数
1 2 3
y=a(x+1) 2 (a<0)的图象上，则y ，y 与y 的大小关系为 ．（用“>”连接）
1 2 3
【答案】y >y >y
2 3 1
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方
向及对称轴，根据二次函数的对称性和增减性即可得出结论，解题关键是掌握二次函
数的性质．
【详解】解：∵y=a(x+1) 2 (a<0)，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1，
∴点(4,y )与点(−6,y )关于直线x=−1对称，
3 3
∵−1>−3>−6>−7，
∴y >y >y ．
2 3 1
故答案为：y >y >y ．
2 3 1
6．（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）若 ( 13 ) ( 5 ) (1 )为
A − ,y ,B − ,y ,C ,y
2 1 2 2 2 3二次函数y=(x−2) 2图象上三点，则y ，y ，y 的大小关系为 ．
1 2 3
【答案】y >y >y
1 2 3
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先根据二次函数的性质得到抛物
线的对称轴为直线x=2，然后通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小．
【详解】解：∵二次函数y=(x−2) 2图象开口向上，对称轴为直线x=2，而
( 13 ) (1 )
A − ,y 到直线x=2的距离最远，C ,y 到直线x=2的距离最近，
2 1 2 3
∴y >y >y ，
1 2 3
故答案为：y >y >y
1 2 3
7．（24-25九年级上·重庆长寿·阶段练习）若点A(−3,y )，B(−2,y )都在抛物线
1 2
y=2(x+1) 2上，请将y ,y 按从小到大的顺序用“<”连接： ．
1 2
【答案】y 0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1，
∴在对称轴左侧y随x增大而减小，
∵−3<−2，点A(−3,y )，B(−2,y )都在抛物线y=2(x+1) 2上，
1 2
∴y ”，“<”或“=”）．
1 2 1 2
【答案】>
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即
可．【详解】解：∵y=(x−2) 2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点A(−1,y )，B(4,y )在二次函数y=(x−2) 2的图象上，且|−1−2)>|4−2)，
1 2
∴y >y ；
1 2
故答案为：>．
9．（24-25九年级上·青海海西·期末）已知A(−4,y )，B(3,y )两点都在二次函数
1 2
y=−2(x+2) 2的图象上，则y ，y 的大小关系为 ．
1 2
【答案】y 0，
∴开口向上，故A不符合题意；
B、∵开口向上，
∴当x=−2时，有最小值为3，故B不符合题意；
C、顶点坐标为(−2,3)，正确，故C符合题意；
D、当x=0,y=7，
则与y轴的交点坐标为(0,7)，故D不符合题意；
故选：C．
3．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数y=3(x−2) 2−3，其图象的对称
轴是（ ）
A．直线x=3 B．直线x=−2 C．直线x=2 D．直线x=−3
【答案】C
【分析】本题考查了学生对于二次函数顶点式的应用，通过顶点式可得到对称轴．
【详解】解：二次函数y=3(x−2) 2−3图象的对称轴是直线x=2，
故选C．
4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数y=a(x−2) 2−3(a>0)，下列说法正
确的是（ ）
A．对称轴为x=−2 B．顶点坐标为(2,3)C．函数有最大值是−3 D．函数有最小值是−3
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
【详解】解：二次函数y=a(x−2) 2−3(a>0)的对称轴为x=2，顶点坐标为(2,−3)
∵a>0
∴二次函数图象开口向上，函数有最小值，为−3
∴A、B、C选项错误，D选项正确
故选：D
1
5．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）把抛物线y= (x+2) 2+1先向左平移2个单位，再向
2
下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（ ）
A．(−4,0) B．(0,0) C．(0,2) D．(4,2)
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的平移规律，再根据“左加右减，上加下减”的原则写
出平移后的抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可．
1
【详解】解：把抛物线y= (x+2) 2+1先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
2
1 1
得y= (x+2+2) 2+1−1= (x+4) 2
2 2
∴平移后抛物线的顶点坐标为(−4,0)，
故选：A
6．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知二次函数y=−2(x+3) 2−3，下列说法正确的是
（ ）
A．它的图象的对称轴为x=3 B．函数的最大值为−3
C．它的图象的顶点坐标为(3,−3) D．函数的最小值为−3
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，进行判断即
可．
【详解】解：∵y=−2(x+3) 2−3，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=−3，顶点坐标为(−3,−3)，函数有最大值为
−3；
故选项A，C，D错误，选项B正确；
故选B．
7．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）关于二次函数y=(x−2) 2−3的最值，下列叙述正确
的是（ ）
A．当x=−2时，y有最小值−3 B．当x=2时，y有最小值−3
C．当x=−2时，y有最大值−3 D．当x=2时，y有最大值−3
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数顶点式的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关
键．
根据二次函数顶点式y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)中的正负性，判定图象开口，顶点坐标为
(ℎ,k)，结合图形开口和对称轴直线确定最值即可求解．
【详解】解：二次函数y=(x−2) 2−3中，a=1>0，顶点坐标为(2,−3)，对称轴直线
为x=2，
∴二次函数图象开口向上，二次函数在x=2时，取得最小值−3，
故选：B ．
8．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数y=2(x+1) 2−5，当−41−(−1)=2，且当x=−4时，y=13，
∴−5≤ y<13，故答案为：−5≤ y<13．
9．（2025·江西南昌·一模）二次函数y=(x−2) 2+5的最小值是 ．
【答案】5
【分析】本题考查二次函数y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)的图象与性质，熟练掌握
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)的图象与性质是解题的关键．利用二次函数
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，当a>0时最小值为k，即可解答．
【详解】解：∵二次函数y=(x−2) 2+5中，1>0，
即开口向上，
∴二次函数y=(x−2) 2+5的最小值是5，
故答案为：5．
10．（2025九年级下·全国·专题练习）若二次函数y=(x−m) 2−1，当x≤3时，y随x的增
大而减小，则m的取值范围是
【答案】m≥3
【分析】本题考查了二次函数的性质，先确定抛物线的对称轴为直线x=m，根据二次
函数的性质得当x0，
∴抛物线开口向上， 当xy >y B．y >y >y
2 3 1 1 3 2
C．y >y >y D．y >y >y
2 1 3 1 2 3
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题
的关键．
根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线解析式可知：开口向上，对称轴为直线x=1，
该二次函数上所有的点满足：离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵(−2,y )距离对称轴有3个单位长度，
1
(0,y )距离对称轴有1个单位长度，
2
(3,y )距离对称轴有2个单位长度，
3
∴y ”连接）．
1 2 3
【答案】y >y >y
2 1 3
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质的性质是解
题的关键．
根据二次函数解析式可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为x=−1，根据二次函
数增减性即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=a(x+1) 2 (a<0)，
∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为x=−1，
当x≤−1时，y随x的增大而增大，当x≥−1时，y随x的增大而减小，
∴离对称轴直线越远，值越小，
∵4−(−1)=5，−1−(−3)=2，−1−(−2)=1，5>2>1，
∴y >y >y ，
2 1 3
故答案为：y >y >y ．
2 1 3
4．（24-25九年级上·广东广州·期中）A(−1,a)，B(1,b)，C(4,c)三点都在二次函数
y=(x−2) 2+k的图象上，则a，b，c的大小关系为 ．（用“<”或“>”连
接）
【答案】b0，
∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越小，
∵2−1<4−2<2−(−1)，
∴b3时，函数值y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∴y=5(x−3) 2−2，∴抛物线的顶点坐标为(3,−2)
∴A错误，不符合题意；
∴对称轴是直线x=3，
∴B错误，不符合题意；
∴a=5>0，开口向上，
∴函数的最小值为−2，
∴C错误，不符合题意；
∴当x>3时，y随x的增大而增大，D正确，符合题意．
故选：D．
3．（23-24九年级上·全国·课后作业）若小明将如图所示的两条水平线AB，CD中的一条
当成x轴，且向右为正方向；两条铅垂线AC，BD中的一条当成y轴，且向上为正方
向，并在此坐标平面中画出了二次函数y=2(x−1) 2的图象，则坐标原点可能是
（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】根据y=2(x−1) 2得到顶点是(1,0)，结合图像即可得到坐标原点；
【详解】解：∵y=2(x−1) 2，
∴二次函数顶点是(1,0)，
由图像可得，顶点在CD上，
∴点C是标原点，
故选C；
【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标及图像，解题的关键是熟练掌握
y=a(x−ℎ) 2+k的顶点是(ℎ,k)．4．（23-24九年级上·吉林长春·期中）已知二次函数y=−2(x−b) 2，当x<3时，y随x的增
大而增大，当x>3时，y随x的增大而减小，则当x=1时，y的值为()
A．−8 B．8 C．−32 D．32
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据当x<3时，y随x的增大而增大，
当x>3时，y随x的增大而减小，即可得到抛物线的对称轴为直线x=3，由此求解即
可．
【详解】解：∵当x<3时，y随x的增大而增大，当x>3时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴b=3，
∴当x=1时，y=−2×(1−3) 2=−8，
故选：A．
5．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数y=−(x+a) 2，当x≤−4时，y随x的增
大而增大；当x≥−4时，y随x的增大而减小，当x=0时，y的值是 ．
【答案】−16
【分析】根据二次函数的增减性，结合图像与性质即可得到二次函数图像的对称轴为
x=−4，从而确定a值，得到二次函数解析式为y=−(x+4) 2，将x=0代入即可得到结
论．
【详解】解：∵二次函数y=−(x+a) 2，当x≤−4时，y随x的增大而增大；当x≥−4
时，y随x的增大而减小，
∴x=−a=−4，即a=4，
∴二次函数解析式为y=−(x+4) 2，
当x=0时，y=−(0+4) 2=−16，
故答案为：−16．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数增减性与对称轴的关系
是解决问题的关键．
( 13 ) ( 5 )
6．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）若A − ,y ，B − ,y ，C(8,y )为二
2 1 2 2 3
次函数y=(x−2) 2图象上三点，则y ，y ，y 的大小关系为 ．（用 “>”号表
1 2 3
示）
【答案】y >y >y
1 3 2
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后通过比较三个
点到对称轴的远近确定函数值的大小．
【详解】解：∵二次函数y=(x−2) 2图象开口向上，对称轴为直线x=2，
13 ( 13) 17
而A（− ,y ）到直线x=2的距离为2− − =
2 1 2 2
( 5 ) ( 5) 9
B − ,y 到直线x=2的距离为2− − = ，
2 2 2 2
C(8,y )到直线x=2的距离为8−2=6,
3
( 13 ) ( 5 )
∴A − ,y 到直线x=2的距离最远，B − ,y 到直线x=2的距离最近，
2 1 2 2
∴y >y >y ．
1 3 2
故答案为：y >y >y ．
1 3 2
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题
的关键．
