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专题 22.2 二次函数 y=ax2的图象与性质
教学目标
y=ax2
1. 掌握 型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题目。
1. 重点
y=ax2
（1） 型二次函数的图象；
教学重难点 y=ax2
（2） 型二次函数的性质；
2. 难点
（1）利用二次函数的图象与性质判断二次函数图象上的点的函数值的大小关系；
知识点01
y=ax2
的图象
1. 二次函数的图象：
二次函数的图象是一条 ，有 ， ， 。函数图象关于对称
轴对称。y=ax2
2. 二次函数 的图象
（1）画函数图象的步骤：
①列表：列出 与 的表格。
②描点：在平面直角坐标系中找到相应的点的 。
③连线：用一条圆滑的曲线把所有点连接起来。
1 1
y=2x2 、y=−2x2 、y= x2 、y=− x2
2 2
（2）画二次函数 的函数图象。
列表：
描点与连线：在同一个坐标轴画出函数图象（自行画图）
知识点02
y=ax2
的性质
y=ax2
1. 二次函数 的性质：
由函数的图象可知二次函数的有关性质：
y=ax2 (a≠0) a＞0 a＜0大致图象
开口方向
a的绝对值越大，开口越
开口大小
a的绝对值越小，开口越
顶点坐标
对称轴为 对称轴为
对称轴 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越远的函数值越
离对称轴越近的函数值越 离对称轴越近的函数值越
对称轴右边y随x的增大而 对称轴右边y随x的增大而
。 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 对称轴左边y随x的增大而
。 。
函数值有最 值 函数值有最 值
最值
这个值是 。 这个值是 。
【即学即练1】
1．下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】
1
2．在同一坐标系中，作y＝2x2，y＝﹣2x2，y= x2的图象，他们共同的特点是（ ）
2
A．都关于y轴对称，抛物线开口向上
B．都关于y轴对称，抛物线开口向下
C．都关于原点对称，抛物线的顶点都是原点D．都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
【即学即练3】
3．如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．比较a，
b，c，d的大小，用“＞”连接为 ．
【即学即练4】
1
4．已知二次函数y=- x2，下列说法正确的是（ ）
2
A．该抛物线的开口向上
B．顶点坐标是（0，0）
1
C．对称轴是直线x=-
2
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【即学即练5】
5．已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（2，y ）、B（﹣1，y ）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
1 2
A．y ＞0＞y B．y ＞0＞y C．y ＞y ＞0 D．y ＞y ＞0
1 2 2 1 1 2 2 1
题型01 y=ax2的性质
【典例1】二次函数y＝ax2（a＞0）的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【变式1】抛物线y＝2x2的对称轴是直线（ ）
A．y＝0 B．y＝2 C．x＝1 D．x＝0
2
【变式2】抛物线y = x2的开口向 ，对称轴为 ；当x＝ 时，y有 值，是
5
．
【变式3】已知抛物线y＝mxm2+1的图象是不在第一、二象限，则m＝ ．【变式4】10．已知二次函数y＝（2﹣a）xa2-3，在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值
为（ ）
A．❑√5 B．±❑√5 C．-❑√5 D．0
题型02 y=ax2的图象
【典例1】如图，函数y＝2x2的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式 1】夕夕用软件绘制抛物线 y＝4x2时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是
（ ）
A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标
【变式2】函数y＝ax﹣2与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝
dx2．则a、b、c、d的大小关系为 ．
【变式4】当ab＜0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
题型03 y=ax2的图象上的点的特点
【典例1】若二次函数y＝ax2的图象经过点（2，﹣1），则a的值为 ．
【变式1】若点（0，y ），（1，y ），（2，y ）都在二次函数y＝x2图象上，则（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 1 3
1
【变式2】已知点A（1，y ）、B（﹣2，y ）、C（-❑√2，y ）在函数y = x2 的图象上，则y 、y 、y 的
1 2 3 4 1 2 3
大小关系是 ．
【变式3】若A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（﹣3，y ）为二次函数y＝ax2（a＜0）的图象上的三点，
1 2 3
则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2
【变式4】在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2的图象经过点M（x ，y ），N（x ，y ）两点，若﹣4＜
1 1 2 2
x ＜﹣2，0＜x ＜2，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y ＜y B．y ≤y C．y ＞y D．y ≥y
1 2 1 2 1 2 1 2
1．对于函数y＝6x2，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而减小
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．y随x的增大而减小
D．y随x的增大而增大
2．抛物线y＝x2与y＝﹣x2的图象的关系是（ ）
A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同
B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同
C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同
D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同
1
3．下列关于函数y=- x2 的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点
2
（0，0），其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．关于函数y＝3x2的性质的叙述，错误的是（ ）
A．对称轴是y轴
B．顶点是原点
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y有最大值
1
5．在同一坐标系中画出y ＝2x2，y ＝﹣2x2，y = x2的图象，正确的是（ ）
1 2 3 2
A． B．
C． D．
6．如图， O的半径为2，C 是函数y＝x2的图象，C 是函数y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是（
1 2
）
⊙
A． B．2 C．4 D．都不对
7．如图，当ab＞0时，函数y＝ax2与函数y＝bx+a的图象大致是（ ）
π π π
A． B．C． D．
8．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝﹣3
9．已知（﹣3，y ），（﹣2，y ），（1，y ）是抛物线上y＝﹣5x2的点，则（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 1 2 3 2 1 1 3 2
10．如图，A、B分别为y＝x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB＝6，则直线AB的表达式为（ ）
A．y＝3 B．y＝6 C．y＝9 D．y＝36
11．二次函数y＝（k+1）x2的图象如图所示，则k的取值范围为 ．
12．如图，正方形的边长为3，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数 y＝2x2与y＝﹣2x2
的图象，则图中阴影部分的面积是 ．
1
13．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②y = x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛
2
物线对应的函数依次是（填序号） ．
14．抛物线y＝ax2与y＝x2的开口大小、形状一样、开口方向相反，则a＝ ．
15．已知二次函数y＝﹣x2，当x＞0时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）；16．已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）
（1）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上？
（2）求点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P的坐标．
17．函数y＝ax2（a≠0）与直线y＝x﹣3交于点（1，b）
（1）求a，b的值；
（2）x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？
18．如图，点P是抛物线y＝x2上位于第一象限内一点，点A（3，0），设点P的坐标为（x，y）．
（1）求△AOP的面积S与y的关系式；
（2）S是y的什么函数？S是x的什么函数？
19．已知抛物线y＝ax2经过点（1，3）．
（1）求a的值；
（2）当x＝3时，求y的值；
（3）说出此二次函数的三条性质．20．已知点A（1，a）在抛物线y＝x2上
（1）求A点的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形，若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由．
