文档内容
第 04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：直线与圆的位置关系
题型二：圆的切线与弦长问题
角度1：弦长问题
角度2：切线问题
题型三：圆与圆的位置关系
角度1：圆与圆的位置关系
角度2：圆与圆的公共弦问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：直线与圆的位置关系
1、直线与圆的三种位置关系
直线与圆
的位置关
系的图象 C l C C
l
l
直线与圆的 相交 相切 相离
位置关系
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法
几何法（优先推荐）
图象
C l
d
r位置关 相交 相切 相离
系
判定方 C:(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 C:(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2 C:(x−a) 2 +(y−b) 2 =r2
法 ； ； ；
l:Ax+By+C=0
。
l:Ax+By+C=0
。
l:Ax+By+C=0
。
圆心
C(a,b)到直线l的距
圆心
C(a,b)到直线l的距
圆心
C(a,b)到直线l的距
|Aa+Bb+C| |Aa+Bb+C| |Aa+Bb+C|
d= d= d=
离： 。 离： 。 离： 。
√A2 +B2 √A2 +B2 √A2 +B2
dr⇒圆与直线相离。
代数法
直线 ： ；圆
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次函数
① 直线 与圆 相交
② 直线 与圆 相切
③ 直线 与圆 相离
知识点二：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
图象 位置关系 图象 位置关系
外 外
C C
1 2离 切
相 内
C C 交 C C 切
1 2 1 2
内
C 含
C
2
1
2、圆与圆的位置关系的判定
几何法
设 的半径为 ， 的半径为 ，两圆的圆心距为 .
①当 时，两圆相交；
r
C 2 C
1
2
r
1
②当 时，两圆外切；
C C
1 r r 2
1 2
③当 时，两圆外离；
C C
1 2
r r
1 2
④当 时，两圆内切；
r
C
2
C
2
1
r
1⑤当 时，两圆内含.
C r
C 2 2
1
r
1
代数法
设 :
:
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次方程 ，求出其
① 与设设 相交
② 与设设 相切（内切或外切）
③ 与设设 相离（内含或外离）
知识点三：直线与圆相交
记直线 被圆 截得的弦长为 的常用方法
1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
2、代数法
直线 ： ；圆
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次函数
弦长公式：
知识点四：圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设 :
:
联立作差得到： 即为两圆共线方程
知识点五：圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·四川甘孜·高二期末（文））若直线 与圆 相交于 两点， 且
(其中 为原点)， 则 的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
2．（2022·广西桂林·模拟预测（文））圆 与圆 的位置关系为
（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
3．（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））已知圆 ，若直线 被圆 截得的
弦长为1，则 _______.
4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期末）实数 满足 ，则 的取值范
围是___________.
5．（2022·全国·高三专题练习）若直线 被圆 截得线段的长为6，则实数
的值为__________.
6．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））若圆 与圆 有3条公切线，则正数
a=___________.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线与圆的位置关系1．（2022·重庆一中高一期末）若方程 有两个不等的实根，则实数b的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·贵州遵义·高二期末（文））若直线 始终平分圆
的周长，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（文））若直线y＝kx与圆 的两个交点关于直线
对称，则k，b的值分别为（ ）
A．k＝2，b＝－1 B．k＝－2，b＝1
C． ， D． ，
4．（2022·全国·高二专题练习）不论k为何值，直线kx－y＋1－3k＝0都与圆相交，则该圆的方程可以是
（ ）
A． B．
C． D．
题型二：圆的切线与弦长问题
角度1：弦长问题
典型例题
例题1．（2022·四川乐山·高一期末）已知直线 过点 交圆 于 、 两点．
(1)当直线 的倾斜角为 时，求 的长；
(2)当 最小时，求直线 的方程．
例题2．（2022·陕西渭南·高一期末）已知圆 的圆心为点 ，且与坐标轴相切.
(1)求圆 的方程；
(2)求直线 被圆 所截得的弦长.例题3．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知圆 ： ，其中 ．
(1)已知圆 与圆： 外切，求 的值；
(2)如果直线 与 相交所得的弦长为 ，求 的值．
同类题型归类练
1．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知直线 与圆 相交于A，B两点
，则k＝（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二）已知圆C： ，直线l恒过点
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且 时，求l的方程.
3．（2022·全国·高二专题练习）已知圆M过点 ．
(1)求圆M的方程；
(2)若直线 与圆M相交所得的弦长为 ，求b的值．
角度2：切线问题
典型例题
例题1．（2022·广东·高二期末）已知圆 ， 为抛物线 上的动点，过点 作圆的
切线，则切线长的最小值为（ ）A．1 B． C．2 D．3
例题2．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））过点 的直线经 轴反射后与圆
相切，则切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·河北廊坊·模拟预测）已知 ： ，点 ， ，从点 观察点 ，
要使视线不被 挡住，则实数 的取值范围是（ ）
A．（－∞，－2）∪（2，＋∞） B． ∪
C． ∪ D．
同类题型归类练
1．（2022·江苏盐城·高二期末）已知直线 与圆 相切，则实数a的值为_________．
2．（2022·天津·静海一中高三阶段练习）过圆 上一点 作圆的切线 ，则直线 的方程为
______．
3．（2022·全国·高二专题练习）经过圆 上一点 且与圆相切的直线的一般式方程为
__________．
4．（2022·湖北·模拟预测）已知圆 ： ， 为过 的圆的切线， 为 上任一点，过 作
圆 ： 的切线，则切线长的最小值是__________.
5．（2022·全国·高二专题练习）已知圆 ．求满足下列条件的切线方程．
(1)过点 ；
(2)过点 ．
题型三：圆与圆的位置关系
角度1：圆与圆的位置关系
典型例题例题1．（2022·广东江门·高二期末）直线 ： 与圆 ： 的位置关系为
（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
例题2．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知圆 ： 与圆 ：
，若圆 与圆 有且仅有一个公共点，则实数 等于（ ）
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 与圆 相切，
则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
例题4．（2022·全国·高二专题练习）已知圆 与圆
内切，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线 与圆 交于 两个不
同点，则当弦 最短时，圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．内切 B．相离 C．外切 D．相交
2．（2022·全国·模拟预测）已知点 为圆 上一点，点 ，
， ，若对任意的点 ，总存在点 ， ，使得 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）与直线 和圆 都相切的半径最小的圆的方程
是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高二专题练习）已知圆 ，圆 ，则同时
与圆 和圆 相切的直线有（ ）
A．4条 B．2条 C．1条 D．0条5．（2022·湖南岳阳·高二期末）圆 与圆 外切，则实数
_________．
角度2：圆与圆的公共弦问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知两圆 和 .
圆 和 公共弦方程为___________；圆 和 公共弦的长度为___________.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）过点 作圆 的两条切线 ，切点分别为
， ，求直线 的方程．
例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知圆 和圆 ，若点 (
， )在两圆的公共弦上，求 的最小值．
例题4．（2022·江苏镇江·高二期末）圆 经过两点 ，且圆心在直线 上.
(1)求圆 的方程；
(2)求圆 与圆 的公共弦的长.
同类题型归类练
1．（2022·河南·二模（文））已知圆 与圆 的公共弦所在直线
恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东威海·三模）圆 与圆 的公共弦长为______．
3．（2022·江苏·高二）已知圆
FC⊥ED
与 相交于 两点，则公共弦
的长是___________.
4．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）若圆 与圆 相交，且公共弦长
为 ，则 __________.5．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知圆 ，直线 的斜率为2，
且过点 ．
(1)判断 与 的位置关系；
(2)若圆 ，求圆 与圆 的公共弦长．
6．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（文））已知圆 与
．
(1)过点 作直线 与圆 相切，求 的方程；
(2)若圆 与圆 相交于 、 两点，求 的长．
