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第 05 讲 古典概型与概率的基本性质
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）某同学口袋中共有 个大小相同､质地均匀的小球 其中
个编号为 ， 个编号为 ，现从中取出 个小球，编号之和恰为 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】编号之和恰为 ,则需要3个球中 个编号为 , 个编号为 ，
设 个编号为 的小球为ABC， 个编号为 的小球为ab，
则从5个球中取出3个，共有：
，共10种，
其中满足题意得情况有： 共6种，
则编号之和恰为 的概率为 .
故选:D.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）抛掷一枚骰子两次，第一次得到的点数记为 ，第二次得到的点数记为
，则平面直角坐标系 中，点 到原点 的距离不大于4的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】基本事件共有36个，而满足点 到原点 的距离不大于4的基本事件有
共8个，
所求概率为 ．
故选:C．
3．（2023·四川南充·模拟预测） 五名学生按任意次序站成一排，则 和 站两端的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先将 和 排两端，共有 种情况，
再将其余三人全排列，共有 种情况，所以共有 种情况.
因为五名学生按任意次序站成一排，共有 种情况，
故 和 站两端的概率为 .
故选：B
4．（2023·四川南充·模拟预测）同时抛掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，同时抛掷两颗质地均匀的骰子的试验，基本事件有：
，
，
，共36种，
两颗骰子出现的点数之和为4的事件包含的基本事件有： ，共3个，
所以两颗骰子出现的点数之和为4的概率是 ．
故选：B
5．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进
行服务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将四人分成两人两组共有 种，
再安排四人到篮球与演讲比赛现场进行服务工作有 种，
又甲、乙安排在一起共有 种，
所以甲、乙安排在一起的概率为 ，
故选：B.
6．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）从1，2，3，4，5中任取两个不相同的数，则这两个数的和为质数
的概率为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】从五个数字中任取两个不相同的数，
基本事件共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），
（3，5），（4，5），共10个，
其中和为质数的事件有（1，2），（1，4），（2，3），（2，5），（3，4），共5个，
所以 ．
故选：B．
7．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测） 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个
弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在 年提出的 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 ，
使得 是素数，素数对 称为孪生素数．在不超过 的素数中，随机选取两个不同的数，其中
能够组成孪生素数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不超过 的所有素数有： 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个．
在不超过 的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的有 个，即 、
、 、 ，所求概率是 ．
故选：C．
8．（2023·江西景德镇·统考三模）写算，是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算，
它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来．例如计
算 ，将被乘数89计入上行，乘数61计入右行，然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字，
将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图，即得5429，若从
表内的8个数字（含相同的数字，表周边数据不算在内）中取1个数字，这个数字大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】表内的 个数字分别为 ， ， ， ， ， ， ， ，其中大于 的有 ， ， ，
从表内的 个数字（含相同的数字，表周边数据不算在内）中取1个数字有 种取法，这个数字大于 的情况有 种取法，
这个数字大于 的概率为 ．
故选：B．
9．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为
a，第二次得到的点数为b，则函数 没有极值点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，若 没有极值点，
则 ，即 ．
由题意知，所有的基本事件为36个，其中满足 的有 ， ， ， ， ， ，
， ， ，共有9个，
所以 ．
故选：A.
10．（2023·四川成都·校联考二模）一个不透明的袋中装有2个红球，2个黑球，1个白球，这些球除颜色
外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，则“这3个球的颜色各不相同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意设2个红球分别用 表示，2个黑球分别用 表示，1个白球用 表示，
则取出的三个球的组合有以下 种情形：
、 、 、 、 、 、
、 、 、 ，
其中符号条件的有以下四种情形：
、 、 、 .
因此从袋中一次性随机抽取3个球，则“这3个球的颜色各不相同”的概率为 .
故选：D.
11．（多选题）（2023·吉林白山·统考二模）将A，B，C，D这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分
得一张卡片，则（ ）．
A．甲得到A卡片与乙得到A卡片为对立事件B．甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件
C．甲得到A卡片的概率为
D．甲、乙2人中有人得到A卡片的概率为
【答案】BCD
【解析】甲得到A卡片与乙得到A卡片不可能同时发生，但可能同时不发生，
所以甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件，A不正确，B正确．
甲得到A卡片的概率为 ，C正确．
乙2人中有人得到A卡片的概率为 ，D正确．
故选：BCD
12．（多选题）（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正
确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有2个白球的概率是 ；
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则 ；
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
；
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为 .
【答案】AD
【解析】对于A，从中任取3球，恰有2个白球的概率是 ,故A正确，
对于B, 从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X服从二项分布，即
，故B错误，
对于C ,第一次取到红球后，第二次取球时，袋子中还有3个红球和2个白球，再次取到红球的概率为 ，
故C错误，
对于D，有放回的取球，每次取到白球的概率为 ，没有取到白球的概率为 ，
所以取球3次没有取到白球的概率为 ，.所以至少有一次取到白球的概率为 ，故D正确，
故选：AD
13．（多选题）（2023·吉林长春·统考模拟预测）有两批种子，甲批种子15粒，能发芽的占80％，乙批种
子10粒，能发芽的占70％，则下列说法正确的有（ ）．
A．从甲批种子中任取两粒，至少一粒能发芽的概率是
B．从乙批种子中任取两粒，至多一粒能发芽的概率是
C．从甲乙两批中各任取一粒，至少一粒能发芽的概率是
D．如果将两批种子混合后，随机抽出一粒，能发芽的概率为
【答案】ACD
【解析】甲批种子15粒，能发芽的占80％，乙批种子10粒，能发芽的占70％，
则甲批有 粒发芽，乙批有 粒发芽.
A：从甲批种子任取2粒，至少1粒能发芽的概率为 ，故A正确；
B：从乙批种子任取2粒，至多1粒能发芽的概率为 ，故B错误；
C：从甲、乙批两种种子中各取1粒，至少1粒能发芽的概率为 ，故C正确；
D：将两批种子混合后，随机抽取1粒能发芽的概率为 ，故D正确.
故选：ACD.
14．（多选题）（2023·全国·校联考二模）七巧板是古代中国劳动人民的发明，顾名思义，它由七块板组
成，其中包括五个等腰直角三角形，一个正方形和一个平行四边形.利用七巧板可以拼出人物､动物等图案
一千余种.下列说法正确的是（ ）
A．七块板中等腰直角三角形的直角边边长有3个不同的数值，它们的比为
B．从这七块板中任取两块板，可拼成正方形的概率为
C．从这七块板中任取两块板，面积相等的概率为D．使用一套七巧板中的 块 ，可拼出不同大小的正方形3种
【答案】AC
【解析】如图所示：
设小正方形的边长为a，则等腰直角三角形的直角边边长由小到大为 ，所以它们的比为 ，
故A正确；
从这七块板中任取两块板，若能拼成正方形，则选则两个相同的等腰直角三角形，所以拼成正方形的概率
为 ，故B错误；
由题意得 ，则从这七块板中任取两块
板，面积相等的概率为 ，故C正确；
由C知拼成的正方形的边长分别为 ，拼成的正方形的面积分别为 ，所以可
拼出不同大小的正方形有4种，故D错误；
故选：AC
15．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其
中红色的5个，黄色的3个，蓝色的2个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同颜色的小球的
概率为 .
【答案】
【解析】由题意，取出3个为同一种颜色有 种取法，
10个大小一样的小球任取3个球有 种取法，
所以至少含有两种不同颜色的小球的概率为 .
故答案为：
16．（2023·江西九江·统考一模）2022年11月第十四届中国国际航空航天博览会在珠海举办.在此次航展
上，国产大飞机“三兄弟”运油-20、C919、AG600M震撼亮相，先后进行飞行表演.大飞机是大国的象征、
强国的标志.国产大飞机“三兄弟”比翼齐飞的梦想，在航空人的接续奋斗中成为现实.甲乙两位同学参观
航展后各自从“三兄弟”模型中购买一架，则两位同学购买的飞机模型不同的概率是 .【答案】
【解析】设三架飞机模型分别为A，B，C，
甲乙各购买一架的可能情况有9种：AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC，
其中两位同学购买的飞机模型不同有6种情况：AB，AC，BA，BC，CA，CB，
所以甲乙两位同学购买的飞机模型不同的概率是 .
故答案为： .
17．（2023·新疆·统考三模）从 至 世纪涌现出一批著名的数学家和其创作的数学著作，如秦九韶的
《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．某学校
团委为拓展学生课外学习兴趣，现从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，则
所选的两部中至少有一部是杨辉著作的概率为 ．
【答案】 /
【解析】将著作《数书九章》、《测圆海镜》分别记为 、 ，
将著作《详解九章算法》、《日用算法》、《杨辉算法》分别记为 、 、 ，
从上述五部著作中任意选择两部，所有的基本事件有： 、 、 、 、 、
、 、 、 、 ，共 个基本事件，
其中，事件“所选的两部中至少有一部是杨辉著作”所包含的基本事件有：
、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个基本事件，
故所求概率为 .
故答案为： .
18．（2023·山西吕梁·统考二模）现有小赵、小钱、小孙、小李、小刘5人去北京、上海、广州三地参加
研讨会，每人只能去一个城市，每个城市至少去一人，则小赵不去北京的概率为 ．
【答案】
【解析】①若三地分配人数分别为1，1，3时，共有 种安排方法；
其中小赵去北京的安排方法有 种；
②若三地分配人数分别为1，2，2时，共有 种安排方法；
其中小赵去北京的安排方法有 种；
故小赵不去北京的概率为 ．故答案为： .
19．（2023·江西九江·统考一模）2022年11月8日，江西省第十六届运动会在九江市体育中心公园主体育
场开幕，这是九江市举办的规模最大、规格最高的综合性体育赛事．赛事期间，有3000多名志愿者参加了
活动．现将4名志愿者分配到跳高、跳远2个项目参加志愿服务活动，每名志愿者只分配到1个项目，每
个项目至少分配1名志愿者，则“恰好有一个项目分配了3名志愿者”的概率为 ．
【答案】
【解析】4名志愿者分配到跳高、跳远2个项目，有 种方法，
将4名志愿者按照1，3的分组，再分配的方法，共有 种方法，
所以“恰好有一个项目分配了3名志愿者”的概率 ．
故答案为：
20．（2023·新疆·统考三模）中医是中国传统文化的瑰宝．中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药
配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的．中医传统名
方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物
汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂．现从
“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药既不能组成“四君子汤”也不能组成“四物汤”的概率是
．
【答案】
【解析】首先从“八珍汤”的八味药中任取四味，有 种取法，其中四味药能组成“四君子汤”或组
成“四物汤”，有 种方法，
所以取到的四味药既不能组成“四君子汤”也不能组成“四物汤”的概率 .
故答案为：
21．（2023·贵州遵义·统考三模）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功
发射嫦娥四号探测器，开启了月球探测的新旅程．为了解广大市民是否实时关注了这一事件，随机选取了
部分年龄在20岁到70岁之间的市民作为一个样本，将此样本按年龄 ， ， ， ，
分为5组，并得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a的值，并估计样本数据中市民年龄的众数；
(2)为进一步调查市民在日常生活中是否关注国家航天技术发展的情况，现按照分层抽样的方法从 ，
， 三组中抽取了6人，再从这6人中任意抽取2人来讲述自己所了解的中国航天的发展历程，
求这2人中至少有1人的年龄位于 之间的概率．
【解析】（1） ，得 ，
由图知：年龄位于 这一组频率为0.35，此时频率最大，
所以，众数为 .
（2）由题可得，后三组 ， ， 的人数比例为 ，
∴从后三组抽取的6人中有3人的年龄位于 之间，分别记为 ， ， ；
2人的年龄位于 之间，分别记为 ， ；1人的年龄位于 之间，记为 ，
从6人中任意抽取2人有： ,
，共15种不同的方法.
则2人中至少有1人的年龄位于 之间有如下情况：
， ， ， ， ， ， ， ， ，共有9种不同的情况，
则2人中至少有1人的年龄位于 之间的概率为 ．
22．（2023·甘肃临夏·统考一模）某学校学生会积极组织学生学习《中共中央关于党的百年奋斗重大成就
和历史经验的决议》，组织线上考试后，随机抽取了若干人线上考试的成绩（满分60分），得到如图的频
率分布直方图：已知，成绩最高的一组的人数为10．
(1)求样本容量n；
(2)样本估计总体的思想，估计该校学生的平均分数（每一组取组中点值近似代替本组考试成绩）；
(3)按照分层抽样从成绩在 两个组内共抽取8人组成交流互助小组，在这个小组中任选2人
发言，求至少有1人的成绩在 内的概率．
【解析】（1）根据题意，成绩最高的一组的人数为10，
则 ，
解得 ；
（2）该校学生的平均分数为：
（分）；
（3）根据题意，按照分层抽样从成绩在 ， 两个组内共抽取8人，
因为两组人数之比为 ，
则从成绩在 中抽取3人，从成绩在 中抽取5人，
在这个小组中任选2人发言，至少有1人的成绩在 内的概率为：
.
1．（2022•新高考Ⅰ）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】从2至8的7个整数中任取两个数共有 种方式，
其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，
故所求概率为 ．故选： ．
2．（2022•全国）在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，则这3个数的和能被3整除
的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，
基本事件总数 ，
，4，7被3除余1；2，5，8被3除余2；3，6，9刚好被3除，
若要使选取的三个数字和能被3整除，
则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，
这3个数的和能被3整除的不同情况有：
，
这3个数的和能被3整除的概率为 ．
故选： ．
3．（2021•甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】
【解析】将两个0捆绑在一起，进行插空，故共有 种方法，
故2个0不相邻的概率 ．
故选： ．
4．（2020•新课标Ⅰ）设 为正方形 的中心，在 ， ， ， ， 中任取3点，则取到的3
点共线的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ， ， ， ， 中任取3点，共有 ， ， ， ， ， ， ，
， ， 十种，
其中共线为 ， ， 和 ， ， 两种，
故取到的3点共线的概率为 ，
故选： ．5．（2020•全国）从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张共有 个结果，
而2张卡片上的数字和为偶数的条件为2个奇数或2个偶数，
张卡片上的数字和为偶数包含 个结果，
张卡片上的数字和为偶数的概率是 ．
故选： ．
6．（2019•新课标Ⅱ）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随
机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】法一：由题意，可知：
根据组合的概念，可知：
从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为 ，
恰有2只测量过该指标的所有情况数为 ．
．
法二：设其中做过测试的3只兔子为 ， ， ，剩余的2只为 ， ，则从这5只中任取3只的所有
取法有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， 种，其中恰好有两只做过测试的取法有 ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 种，故恰有两只做过测试的概率
为 ．
故选： ．
7．（2019•新课标Ⅰ）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排
列的6个爻组成，爻分为阳爻“
”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】在所有重卦中随机取一重卦，
基本事件总数 ，
该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数 ，
则该重卦恰有3个阳爻的概率 ．
故选： ．
8．（2019•新课标Ⅲ）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】方法一：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有 种排法，
再所有的4个人全排列有： 种排法，
利用古典概型求概率原理得： ，
方法二：假设两位男同学为 、 ，两位女同学为 、 ，所有的排列情况有24种，如下：
其中两位女同学相邻的情况有 12种，分别为 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 ，
故两位女同学相邻的概率是： ，
故选： ．
9．（2023•上海）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有 4名男生，
6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 ．
【答案】0.5【解析】从10人中任选3人的事件个数为 ，
恰有1名男生2名女生的事件个数为 ，
则恰有1名男生2名女生的概率为 ．
故答案为：0.5．
10．（2022•乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为
．
【答案】
【解析】方法一：设5人为甲、乙、丙、丁、戊，
从5人中选3人有以下10个基本事件：
甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；
甲、乙被选中的基本事件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；
故甲、乙被选中的概率为 ．
方法二：
由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数 ，
甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数 ，
根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率 ．
11．（2022•上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类 1项，球类3项，田径类4项共8项项目
中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．
【答案】 ．
【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，
则每一类都被抽到的方法共有 种，
而所有的抽取方法共有 种，
故每一类都被抽到的概率为 ，
故答案为： ．
12．（2022•甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
【答案】 ．【解析】根据题意，从正方体的8个顶点中任选4个，有 种取法，
若这4个点在同一个平面，有底面2个和侧面4个、对角面6个，一共有12种情况，
则这4个点在同一个平面的概率 ；
故答案为： ．
13．（2021•上海）已知花博会有四个不同的场馆 ， ， ， ，甲、乙两人每人选2个去参观，
则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 ．
【答案】
【解析】甲选2个去参观，有 种，乙选2个去参观，有 种，共有 种，
若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有 种，然后从剩余3个馆种选2个进行排列，有
种，共有 种，
则对应概率 ，
故答案为： ．
